高二数学1.2充分条件与必要条件,第2课时,充要条件及其证明

1.2.3充分条件、必要条件第2课时充要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系．教学重点：掌握充要条件的概念，理解充要条件的意义，会判断条件与结论之间的充要性．教学难点：判断条件与结论之间的充要性.【情境导学】(教师独具内容)已知p：三角形的三条边都相等．q：三角形是等边三角形．问题1：“若p，则q”为真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，充分条件．问题2：“若q，则p”是真命题吗？p是q的什么条件？提示：是真命题，必要条件．问题3：p是q的什么条件？q是p的什么条件？提示：充要条件，充要条件．【知识导学】知识点一充分不必要条件一般地，如果□01p⇒q且□02q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．知识点二必要不充分条件如果□01p⇒/q且□02q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．知识点三充要条件(1)□01p⇒q且□02q⇒p，则称p是q的□03充分必要条件(简称为充要条件)，记作□04 p⇔q.(2)当p是q的充要条件时，q也是p的□05充要条件．(3)p是q的充要条件也常常说成“p成立□06当且仅当q成立”，或“p与q□07等价”．(4)□08定义有关，一个数学对象的□09定义实际上给出了这个对象的一个充要条件．【新知拓展】1．从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件(1)若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2)若p⇔q，则p是q的充要条件．(3)若p⇒q，且q⇒/p，则称p是q的充分不必要条件．(4)若p⇒/q，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件．(5)若p⇒/q，且q⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．2．从集合的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．(4)若A⊆B且B A，即A B，则p是q的充分不必要条件．(5)若B⊆A且A B，即B A，则p是q的必要不充分条件．(6)若A B且B A，则p是q的既不充分也不必要条件．若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立．()(2)符号“⇔”具有传递性．()(3)若p⇒/q和q不能推出p有一个成立，则p一定不是q的充要条件．()(4)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充分不必要条件．()(5)“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”的充要条件．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)“x2－3x＋2＝0”的充要条件是___________________________．(2)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________条件．(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)(3)如果不等式x≤m成立的充分不必要条件是1≤x≤2，则m的最小值为________．答案(1)x＝1或x＝2(2)充要(3)2题型一充要条件的概念及判断方法例1在下列各题中，试判断p是q的什么条件．(1)p：a＝b，q：ac＝bc；(2)p：a＋5是无理数，q：a是无理数；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.[解](1)因为a＝b⇒ac＝bc，而ac＝bc不能推出a＝b，所以p是q的充分条件，但不是必要条件．(2)因为a＋5是无理数⇒a是无理数，并且a是无理数⇒a＋5是无理数，所以p是q的充要条件．(3)因为a2＋b2＝0⇒a＝b＝0，并且a＝b＝0⇒a2＋b2＝0，所以p是q的充要条件．(4)因为A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁U A⊇∁U B，并且∁U B⊆∁U A⇒B⊇A⇒A∩B＝A，所以p是q的充要条件．[题型探究]已知p是q的充分条件，q是r的必要条件，也是s的充分条件，r是s的必要条件，问：(1)p是r的什么条件？(2)s是q的什么条件？(3)p，q，r，s中哪几对互为充要条件？解作出“⇒”图，如右图所示，可知：p⇒q，r⇒q，q⇒s，s⇒r.(1)p⇒q⇒s⇒r，且r⇒q，q能否推出p未知，∴p是r的充分条件．(2)∵s⇒r⇒q，q⇒s，∴s是q的充要条件．(3)共有三对充要条件，q⇔s；s⇔r；r⇔q.金版点睛判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立．若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q 的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．此外，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇔等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度．[跟踪训练1]指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ； (2)p ：⎩⎨⎧ α>2，β>2，q ：⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4；(3)已知实数a ，b ，p ：a >0且b >0，q ：a ＋b >0且ab >0.解 (1)因为A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ，而A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，所以A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(2)由⎩⎨⎧ α>2，β>2，根据不等式的性质可得⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4.即p ⇒q ，而由⎩⎨⎧ α＋β>4，αβ>4不能推出⎩⎨⎧α>2，β>2. 如：α＝1，β＝5满足⎩⎨⎧α＋β>4，αβ>4，但不满足α>2.所以p 是q 的充分不必要条件．(3)由a >0且b >0⇒a ＋b >0且ab >0，并且由a ＋b >0且ab >0⇒a >0且b >0，所以p 是q 的充要条件.题型二 充要条件的证明例2 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． [证明] ①充分性： ∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0，即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0.∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2≠0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件．[题型探究] 已知a ，b 是实数，求证：a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件．该条件是否为必要条件？试证明你的结论．证明 因为a 2－b 2＝1，所以a 4－b 4－2b 2＝(a 2－b 2)·(a 2＋b 2)－2b 2＝(a 2＋b 2)－2b 2＝a 2－b 2＝1.即a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的充分条件． 另一方面，若a 4－b 4－2b 2＝1， 即a 4－(b 4＋2b 2＋1)＝0， a 4－(b 2＋1)2＝0， (a 2－b 2－1)(a 2＋b 2＋1)＝0.又a 2＋b 2＋1≠0，所以a 2－b 2－1＝0，即a 2－b 2＝1. 因此a 2－b 2＝1是a 4－b 4－2b 2＝1成立的必要条件． 金版点睛充要条件的证明证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．[跟踪训练2] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 必要性：由于方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根， ∴Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝ca <0，∴ac <0.充分性：由ac <0可得b 2－4ac >0及x 1x 2＝ca <0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．综上可知，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 题型三 探求充要条件例3 求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． [解] ①当a ＝0时，方程为一元一次方程，其根为x ＝－12，符合要求．②当a ≠0时，方程为一元二次方程，此时ax 2＋2x ＋1＝0有实根的充要条件是判别式Δ≥0，即4－4a ≥0，从而a ≤1.设方程ax 2＋2x ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－2a ，x 1x 2＝1a .(ⅰ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有一负根一正根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，a ≤1，1a <0⇒a <0；(ⅱ)方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负根的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，a ≤1，－2a <0，1a>0⇒0<a ≤1.综上所述，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 金版点睛探求充要条件的两种方法(1)先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明．(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来证．[跟踪训练3] 已知方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．解 方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0，则方程有两个大于1的实数根x 1，x 2：⇔⎩⎨⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)(x 2－1)>0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，(x 1＋x 2)－2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，k 2＋(2k －1)＋1>0，－(2k －1)－2>0⇔k <－2.所以使方程有两个大于1的实数根的充要条件是k<－2.1．已知A，B是非空集合，命题p：A∪B＝B，命题q：A B，则p是q的()A．充要条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．必要不充分条件答案D解析由A∪B＝B，得A B或A＝B；反之，由A B，得A∪B＝B，所以p是q的必要不充分条件．2．设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之x＋y>2 ⇒/x>1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以q⇒/p．因此p是q的充分不必要条件．故选A.3．设x∈R，则“x<－1”是“|x|>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 因为x <－1⇒|x |>1，而|x |>1⇒x <－1或x >1，故“x <－1”是“|x |>1”的充分不必要条件．4．关于x 的不等式|x |>a 的解集为R 的充要条件是________．答案 a <0解析 由题意知|x |>a 恒成立，∵|x |≥0，∴a <0.5．已知x ，y 都是非零实数，且x >y ，求证：1x <1y 的充要条件是xy >0.证明 证法一：①充分性：由xy >0及x >y ，得x xy >y xy ，即1x <1y .②必要性：由1x <1y ，得1x －1y <0，即y －x xy <0.因为x >y ，所以y －x <0，所以xy >0.所以1x <1y 的充要条件是xy >0.证法二：1x <1y ⇔1x －1y <0⇔y －x xy <0.由条件x >y ⇔y －x <0，故由y －x xy <0⇔xy >0.所以1x <1y ⇔xy >0，即1x <1y 的充要条件是xy >0.A级：“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是() A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1答案A解析函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是－m2×1＝1，即m＝－2.故选A.2．已知p：x≤－1或x≥3，q：x>5，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由{x|x>5}是{x|x≤－1或x≥3}的真子集，可知p是q的必要不充分条件．故选B.3．若x，y∈R，则“x≤1，y≤1”是“x2＋y2≤1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析因为若x，y∈R，x≤1，y≤1，则x2＋y2≤1不一定成立，所以充分性不成立．若x2＋y2≤1，则可得x≤1且y≤1，所以必要性成立．故选B.4．已知a，b是实数，则“a<0且b<0”是“a＋b<0且ab>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析“a<0且b<0”可以推出“a＋b<0且ab>0”，反之也是成立的．故选C.5．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；可从集合的角度考虑得出A⇒/D．故选B.二、填空题6．下列命题中是真命题的是________(填序号)．①“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充要条件；②“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件；③“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的充要条件；④“三角形的三边满足勾股定理”的充要条件是“此三角形为直角三角形”．答案②④解析①因为由x>2且y>3⇒x＋y>5，但由x＋y>5不能推出x>2且y>3，所以“x>2且y>3”是“x＋y>5”的充分不必要条件．②因为由x>1⇒|x|>0，而由|x|>0不能推出x>1，所以“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件．③因为由b2－4ac<0不能推出f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0，而由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0⇒b2－4ac<0，a<0，所以“b2－4ac<0”是“f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数值恒小于0”的必要不充分条件．④由三角形的三边满足勾股定理⇒此三角形为直角三角形，由三角形为直角三角形⇒该三角形的三边满足勾股定理，故②④是真命题．7．“x >0成立”是“|x |＝x 成立”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．答案 充分不必要解析 因为|x |＝x ⇒x ≥0，{x |x >0}{x |x ≥0}，由此可知“x >0成立”是“|x |＝x 成立”的充分不必要条件．8．“方程x 2－2x －a ＝0无实根”的充要条件是_______．答案 a <－1解析 方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根．故“方程x 2－2x －a ＝0无实根”的充要条件是a <－1.三、解答题9．证明：ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.证明 ①充分性：由a ＋b ＋c ＝0得a ＝－b －c ，代入ax 2＋bx ＋c ＝0，得(－b －c )x 2＋bx ＋c ＝0，即(1－x )(bx ＋cx ＋c )＝0.∴ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.②必要性：由ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，把它代入方程即有a ＋b ＋c ＝0.综上可知，ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.10．已知p ：0<m <13；q ：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根，那么p 是q 的什么条件？解 设x 1，x 2是方程mx 2－2x ＋3＝0的两个根，则方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实数根等价于⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠0，Δ＝4－4×3×m >0，⇔0<m <13，x 1x 2＝3m >0，因此，p 是q 的充要条件．B 级：“四能”提升训练1．求方程x 2＋kx ＋1＝0与x 2＋x ＋k ＝0有一个公共实根的充要条件．解 ⎩⎨⎧ x 2＋kx ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0⇔⎩⎨⎧ x 2－(x 2＋x )x ＋1＝0，x 2＋x ＋k ＝0 ⇔⎩⎨⎧ 1－x 3＝0，x 2＋x ＋k ＝0⇔⎩⎨⎧ x ＝1，k ＝－2.所以两方程有一个公共实根的充要条件为k ＝－2.2．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．当xy >0，即x >0，y >0或x <0，y <0时．又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ＝－(x ＋y )，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．。

如何理解充分条件、必要条件、充要条件一、充分条件一般地，如果A 成立，那么B 成立，就称A 是B 成立的充分条件。

用符号表示，若A ⇒B ，则称A 是B 成立的充分条件。

注：１．A 是B 成立的充分条件就是说，为使B 成立只要具备条件A 就足够了。

２．如果条件A 能保证结论B 成立，就是条件A 对于结论B 的成立是充分的。

３．条件A 是B 成立的充分条件，即若A 成立，则B 成立。

但是A 不成立时，B 未必不成立。

例如：若1=x 时，1=2x 成立，而1≠x ，1=2x 也可能成立（如1-=x ）由此可看出：命题的条件和结论的因果关系的特征是：有其因必有其果，无其因未必无其果。

４．判断A 是否为B 的充分条件，就要看从A 能否推出B 。

换言之看命题“若A 成立，则B 成立”是否成立。

若命题是真命题，A 就是B 成立的充分条件。

二、必要条件一般地，如果B 成立，那么A 成立，即B ⇒A 或者如果A 不成立，那么B 就不成立，就称A 是B 成立的必要条件。

注： １．A 是B 成立的必要条件也就是说要使B 成立就必须A 成立。

即只有A 成立，B 才成立。

２．因为B ⇒A 和B A ⌝⌝⇒是等价的，所以A 是B 成立的必要条件，可理解为如果A 不成立，那么B 就不成立。

即如果没有条件A 就没有结论B ，那么说A 对B 成立是必要的。

３．B A ⌝⌝⇒是A ⇒B 的否命题，因此只要说明了原命题的否命题是成立的，就说明原命题的条件对结论是必要的。

４．条件A 是B 的必要条件，但是A 成立时未必B 成立。

例如“22=y x 是y x =”的必要条件，有22=y x 不一定得到y x =，因此原命题“若22=y x 则y x =”中，条件和结论的因果关系的特征是：有其因未必有其果，无其因必无其果。

５．判断A 是不是B 的必要条件，就要看命题“若A 不成立则B 不成立”，是否是真命题，若是真命题，则A 是B 的必要条件。