高二数学(新课标人教A版)选修2-1《1.2.2充要条件》教案

选修2—１ 1.2.2充要条件（学案）【知识要点】1．充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的概念； 2．根据命题判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件．【学习要求】1．理解充要条件的概念；2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）1．若的是则即且q p q p p q q p ⇔⇒⇒, 条件,的也是p q 条件．2．若q q p 但⇒p ，的是则q p 条件．3．若p q 但p q ⇒，的是则q p 条件．4．若p q 且qp ，的是则q p 条件．【基础练习】1．用符号＂⇒＂与＂＂或＂⇐＂填空：（1）若p 的充分条件是q ,则p q ；若p 的必要条件是q ,则p q ． （2）若p 是q 的充分不必要条件；则p q ，q p ． （3）若p 的充分不必要条件是q ；则p q ，q p ． （4）若p 的必要不充分条件是q ；则p q ，q p ．2．下列形如“q p 则若,”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？的是q p 什么条件．（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；（2）若数列{}n a 的通项公式是c c n a n (+=是常数），则数列{}n a 是公差等于１的等差数列；（3）若直线a 与平面α内的两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直． 3．若集合{}4321、、、=P ，{}R x x x Q ∈<<=,50|，则（ ）．（A ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件（B ）“P x ∈”是“Q x ∈”的必要不充分条件 （C ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充要条件（D ）“P x ∈”是“Q x ∈”的既不充分也不必要条件4．甲：21A A 、是互斥事件；乙：21A A 、是对立事件，那么（ ）． （A ）甲是乙的充分不必要条件 （B ）甲是乙的必要不充分条件 （C ）甲是乙的充要条件 （D ）甲是乙的既不充分也不必要条件 【典型例题】例1 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形； （2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0>>y x ，:q 0xy >； （4）:p a b >，:q a c b c +>+．变式练习：下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）43,432+=+=x x q x x p ：：；（2）0)4)(3(,03=--=-x x q x p ：：；（3）)0(0),0(0422≠=++≠≥-a c bx ax q a ac b p ：：有实根； （4）0,012=++=++=c b a q c bx ax x p ：的一个根是方程：；例2 求关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件．变式练习：1.50<<x 是不等式4|2|<-x 成立的（ ）. (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2. 一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）.(A)0<a (B)0>a (C)1-<a (D)1>a3.方程mx 2+2x +1=0有异号两根的充要条件是 ．例3 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d r =是直线l 与 ⊙O 相切的充要条件．变式练习：求证实系数一元二次方程20x px q ++=有两个异号根的充要条件是0.q <1．已知实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列结论中正确的是（ ）． （1）240b ac ∆=->是这个方程有实根的充分不必要条件； （2）240b ac ∆=->是这个方程有实根的必要不充分条件；（3）240b ac ∆=-≥是这个方程有实根的充要条件；（4）240b ac ∆=-=是这个方程有实根的充分不必要条件． （A ）（1）（3） （B ）（3）（4） （C ）（1）（3）（4） （D ）（2）（3）（4） ２．A ⊆B 是A ∪B ＝B 的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件３．“a b >”是“11a b<”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件４．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ）． （A ）－21＜x ＜3 （B ）－21＜x ＜0 （C ）－3＜x ＜21 （D ）－1＜x ＜65.直线1:210l x ay --=与2:210l x ay +-=平行的充要条件是 ．6．给出下述条件：①四边形为等腰梯形．②四边形有两个角等于90º．③四边形有两个内角的和等于180º．④四边形的一个外角等于其内对角．则其中是四边形内接于圆的充分但不必要条件是 ，是四边形内接于圆的必要但不充分条件是 （填写序号）．7.若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的 条件．8.求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一个根为１的充要条件是0=++c b a ．9.已知p ：2x y +≠-；q ：y x ,不都是1-，p 是q 的什么条件？1．（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ２．（2009四川卷文）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件选修２—１ 1.２.２ 充要条件（教案）【教学目标】1．理解充要条件的概念；2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件． 【重点】充要条件【难点】弄清条件p 的充要条件与条件p 的关【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）1．若的是则即且q p q p p q q p ⇔⇒⇒, 充要 条件,的也是p q 充要 条件．2．若q q p 但⇒p ，的是则q p 充分不必要 条件．3．若p q 但p q ⇒，的是则q p 必要不充分 条件．4．若p q 且qp ，的是则q p 既不充分也不必要 条件．【基础练习】1．用符号＂⇒＂与＂＂或＂⇐＂填空：（1）若p 的充分条件是q ,则p ⇐q ；若p 的必要条件是q ,则p ⇒q ．（2）若p 是q 的充分不必要条件；则p ⇒q ，q p ．（3）若p 的充分不必要条件是q ；则pq ，q ⇒p ．（4）若p 的必要不充分条件是q ；则p ⇒q ，q p ．2．下列形如“q p 则若,”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？的是q p 什么条件．（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行； （2）若数列{}n a 的通项公式是c c n a n (+=是常数），则数列{}n a 是公差等于１的等差数列；（3）若直线a 与平面α内的两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直． 解：(1)原命题和它的逆命题都是真命题,所以p 是q 的充要条件； （2）原命题和它的逆命题都是真命题,所以p 是q 的充要条件；(3) 原命题是假命题，逆命题是真命题,所以p 是q 的必要不充分条件；3．若集合{}4321、、、=P ，{}R x x x Q ∈<<=,50|，则（ A ）． （A ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件 （B ）“P x ∈”是“Q x ∈”的必要不充分条件 （C ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充要条件（D ）“P x ∈”是“Q x ∈”的既不充分也不必要条件4．甲：21A A 、是互斥事件；乙：21A A 、是对立事件，那么（ B ）． （A ）甲是乙的充分不必要条件 （B ）甲是乙的必要不充分条件（C ）甲是乙的充要条件 （D ）甲是乙的既不充分也不必要条件 【典型例题】例1下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形； （2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0>>y x ，:q 0xy >； （4）:p a b >，:q a c b c +>+．【审题要津】判断q p 是否是的充要条件，只要判断p q q p ⇒⇒且是否同时成立． 解：在（１）中pq ，在（２）（４）中q p ⇔，在（３）中q p ，所以，（２）（４）中的q p 是的充要条件，（１）（３）中的q p 不是的充要条件．变式练习：下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）43,432+=+=x x q x x p ：：；（2）0)4)(3(,03=--=-x x q x p ：：；（3）)0(0),0(0422≠=++≠≥-a c bx ax q a ac b p ：：有实根； （4）0,012=++=++=c b a q c bx ax x p ：的一个根是方程：； 答案：（1）必要不充分 （2）充分不必要 （3）充要条件 （4）充要条件 例2 求关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件．【审题要津】求“关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件”就是求“关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立”的等价条件.解：“不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立”等价于00004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或变式练习：1.50<<x 是不等式4|2|<-x 成立的（ A ）. (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2. 一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）.(A)0<a(B)0>a (C)1-<a (D)1>a3.方程mx 2+2x +1=0有异号两根的充要条件是0<m ．例3 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d r =是直线l 与 ⊙O 相切的充要条件．【审题要津】设：q r d p ,:=直线l 与⊙O 相切．要证q p 是的充要条件，只需分别证明充分性（q p ⇒）和必要性)(p q ⇒即可．证明：（１）充分性（q p ⇒）：作P l OP 与点⊥，则d OP =．若r d =，则点在P ⊙O 上．在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ .在OPQ Rt ∆中，r OP OQ =>．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ．所以直线l 与⊙O 相切．（２）必要性)(p q ⇒：若直线l 与⊙O 相切，不妨设切点为P ，则l OP ⊥．因此，r OP d ==．【方法总结】证明充要条件要分别证明充分性和必要性，也可以证明q p 的等价条件是．但要注意弄清充分性和必要性分别是哪一个命题．变式练习：求证实系数一元二次方程20x px q ++=有两个异号根的充要条件是0.q < 证明：（1）先证充分性 ∵0.q <∴方程20x px q ++=的240p q ∆=->∴方程20x px q ++=有两个不相等的实根，设其为12x x ，。

1.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．（三）教学过程学生探究过程：1.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒ p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件２.类比归纳一般地,如果既有p⇒q ，又有q⇒p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p⇒q ，且q⇒p，即p ⇔ q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p⇒q ,但q ≠>p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p≠>q ，但q⇒p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p≠>q ，且q≠>p，故p 不是q的充要条件；４．类比定义一般地，若p⇒q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠>q，但q ⇒p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p⇒q ,但q ≠>p，则p是q的充分但不必要条件；②若q⇒p，但p ≠>q，则p是q的必要但不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p ≠>q，且q ≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件．５．巩固练习：P14 练习第 1、2题说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．６．例题分析例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可．证明过程略．例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？７．教学反思：充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。

1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件教学目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．教学重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．教学过程一、充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【答案】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即p q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p q，且q p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【答案】p⇔q.1．充分条件与必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.例1.(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但q p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D(2)A规律方法判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>b ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b ，即ab ＝1，∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6.故是充要条件，④正确． 【答案】①③④例2.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)． (1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解:(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则綈q ⇒綈p ，由此可得p ⇒q ， 则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}． 法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}， q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.例3.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.证明：充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论． 变式训练求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. (1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．练习1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？【答案】1．A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q 的必要不充分条件．3．x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。

1. 2 充分条件和必要条件单元课时分配:1.第一课充分条件和必要条件1个课时2.第二课充要条件1个课时1.2 .1 充分条件和必要条件【教学目标】一、知识目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；二、能力目标1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；三、情感目标1．通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2．通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；3．通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

【教学重难点】重点：充分条件、必要条件的概念；难点：充分条件、必要条件的判断；【学前准备】：多媒体，预习例题{x|x>0} 同位角相四边形对等四边形是平行四边解：因为在问题）中。

所以，）的必要条）和问。

）和不是3的充分条件．用“充分条件”或“必要条件”）四边形的对角线相等是四边形为为相当于Q P ⊆，即 或即：要使Q x ∈成立，只要P x ∈就足够了——有它就行。

（2）p q ⇒，相当于Q P ⊇，即 或即：为使Q x ∈成立，必须要使P x ∈——缺它不行。

1.2．2充要条件【教学目标】掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系。

【教学重难点】充要条件关系的判定。

【学前准备】：多媒体，预习例题例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件 （1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：,∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>,所以，sin sin A B A B >⇔>即p 是q 的充要条件。

1.2.2充要条件【学习目标】理解充要条件的定义．【自主学习】研读教材1.2.2节内容，回答下列问题：三、已知p：整数a是6的倍数，q:整数a是2和3的倍数.那么p是q的什么条件？q是p的什么条件？（1）上述问题中，p q，故p是q的条件，q是p的条件；另一方面，q p，故p是q的条件，q是p的条件；（2）一般地，如果既有p q，又有q p，就记作，此时我们说p是q的条件，简称： . 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的条件.概括地说,如果p q,那么p 与 q互为条件.2.若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件.在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：14.若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；15.若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；16.若p q，且q p，则p是q的充要条件；17.若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．【自主检测】“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【典型例题】例1下列各题中，哪些p是q的充要条件?（2）p:b＝0，q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（3）p:x ＞ 0,y ＞ 0，q: xy＞ 0；（4）p: a ＞ b ，q: a + c ＞ b + c；例2下列各题中， p 是q 的什么条件？（1）p:-3=0x ，q: ()()-3-4=0x x ；（2）p:-23x ≤，q ：-15x ≤≤；例3仿照教材例4，证明：△ABC 是等边三角形的充要条件是222++=++a b c ab ac bc .【课堂检测】1．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：（1）“m ≠3”是“|m |≠3”的________；（2）“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；（3）“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________；（4）△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的 ．2．已知{}=A x x p 满足条件，{}=B x x 满足条件q .(1)如果A B ⊆，那么p 是q 的什么条件？(2)如果B A ⊆，那么p 是q 的什么条件？(3)如果=A B ，那么p 是q 的什么条件？。

2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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1.2.1 充分条件与必要条件1。

2。

2 充要条件1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义。

（重点）2。

会求（判定)某些简单命题的条件关系。

(重点）3.通过对充分条件、必要条件概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳逻辑思维的能力.(难点)［基础·初探］教材整理1 充分条件与必要条件阅读教材P9“例1"以上部分，完成下列问题.命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p________q p________q条件关系p是q的______条件q是p的______条件p不是q的______条件q不是p的______条件错误!判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1）q是p的必要条件时,p是q的充分条件。

（)(2)q不是p的必要条件时,“p⇒/q"成立。

( ）(3)若q是p的必要条件，则q成立,p也成立。

( )【答案】(1)√（2）√(3)×教材整理2 充要条件阅读教材P11“例3”以上部分,完成下列问题。

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q。

“充分条件与必要条件”教学设计一、教学目标通过本节课学习，要达到以下四个目标：（1）知识目标：理解充分、必要、充要条件的定义及简单运用。

（2）能力目标深刻领会充分、必要、充要条件定义的本质。

能在日常生活和学习中自觉地运用逻辑推理的思想。

（3）德育渗透目标使学生认识对逻辑知识，特别是对“条件”的推断及推理这种思维方式在日常工作、学习中认识问题和分析问题的自觉运用。

（4）情感目标通过本节学习，使学生体会到教学的简洁美，感受到数学严谨的逻辑，同时认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。

二、教材分析1. 本节内容地位和作用“充分条件与必要条件”内容出现在高中数学第一册第一章第八节，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，具有如下特点：（1）逻辑性强，抽象度大，辐射面广。

（2）与旧教材比较，除将教学位置前移外，新教材在这部分内容上作了如下处理。

将相关联的知识体系作了相应扩充，在“充要条件”这节内容之前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这两节作知识铺垫。

这种处理充分说明“充要条件”这节内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。

从教材编写角度看，新旧教材最大差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材对定义作了较为详尽但也枯燥、难懂的解释，而新教材的定义显得更为简洁精炼，同时新教材的例题、练习题、习题数量大增，是旧教材的两倍左右。

显然，新教材的编写者在处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念，但一次性给出定义，也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。

（3）充分、必要性的思想贯穿于数学命题，数学定理。

公理等的始终，同时，这种思维在日常生活中对分析问题和解决问题是大有裨益的。

2. 重、难点分析（1）重点分析对于学习充分、必要、充要条件其主要目的就是用于判别命题的条件与结论之间的逻辑关系，故充分、必要、充要条件的判定当之成为本节重点。