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选修2—１ 1.2.2充要条件（学案）【知识要点】1．充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的概念； 2．根据命题判断充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件．【学习要求】1．理解充要条件的概念；2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件．【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）1．若的是则即且q p q p p q q p ⇔⇒⇒, 条件,的也是p q 条件．2．若q q p 但⇒p ，的是则q p 条件．3．若p q 但p q ⇒，的是则q p 条件．4．若p q 且qp ，的是则q p 条件．【基础练习】1．用符号＂⇒＂与＂＂或＂⇐＂填空：（1）若p 的充分条件是q ,则p q ；若p 的必要条件是q ,则p q ． （2）若p 是q 的充分不必要条件；则p q ，q p ． （3）若p 的充分不必要条件是q ；则p q ，q p ． （4）若p 的必要不充分条件是q ；则p q ，q p ．2．下列形如“q p 则若,”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？的是q p 什么条件．（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行；（2）若数列{}n a 的通项公式是c c n a n (+=是常数），则数列{}n a 是公差等于１的等差数列；（3）若直线a 与平面α内的两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直． 3．若集合{}4321、、、=P ，{}R x x x Q ∈<<=,50|，则（ ）．（A ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件（B ）“P x ∈”是“Q x ∈”的必要不充分条件 （C ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充要条件（D ）“P x ∈”是“Q x ∈”的既不充分也不必要条件4．甲：21A A 、是互斥事件；乙：21A A 、是对立事件，那么（ ）． （A ）甲是乙的充分不必要条件 （B ）甲是乙的必要不充分条件 （C ）甲是乙的充要条件 （D ）甲是乙的既不充分也不必要条件 【典型例题】例1 下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形； （2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0>>y x ，:q 0xy >； （4）:p a b >，:q a c b c +>+．变式练习：下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）43,432+=+=x x q x x p ：：；（2）0)4)(3(,03=--=-x x q x p ：：；（3）)0(0),0(0422≠=++≠≥-a c bx ax q a ac b p ：：有实根； （4）0,012=++=++=c b a q c bx ax x p ：的一个根是方程：；例2 求关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件．变式练习：1.50<<x 是不等式4|2|<-x 成立的（ ）. (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2. 一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）.(A)0<a (B)0>a (C)1-<a (D)1>a3.方程mx 2+2x +1=0有异号两根的充要条件是 ．例3 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d r =是直线l 与 ⊙O 相切的充要条件．变式练习：求证实系数一元二次方程20x px q ++=有两个异号根的充要条件是0.q <1．已知实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，下列结论中正确的是（ ）． （1）240b ac ∆=->是这个方程有实根的充分不必要条件； （2）240b ac ∆=->是这个方程有实根的必要不充分条件；（3）240b ac ∆=-≥是这个方程有实根的充要条件；（4）240b ac ∆=-=是这个方程有实根的充分不必要条件． （A ）（1）（3） （B ）（3）（4） （C ）（1）（3）（4） （D ）（2）（3）（4） ２．A ⊆B 是A ∪B ＝B 的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件３．“a b >”是“11a b<”的（ ）．（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件４．2x 2－5x －3＜0的一个必要不充分条件是（ ）． （A ）－21＜x ＜3 （B ）－21＜x ＜0 （C ）－3＜x ＜21 （D ）－1＜x ＜65.直线1:210l x ay --=与2:210l x ay +-=平行的充要条件是 ．6．给出下述条件：①四边形为等腰梯形．②四边形有两个角等于90º．③四边形有两个内角的和等于180º．④四边形的一个外角等于其内对角．则其中是四边形内接于圆的充分但不必要条件是 ，是四边形内接于圆的必要但不充分条件是 （填写序号）．7.若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的 条件．8.求证：关于x 的方程02=++c bx ax 有一个根为１的充要条件是0=++c b a ．9.已知p ：2x y +≠-；q ：y x ,不都是1-，p 是q 的什么条件？1．（2009浙江理）已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 ２．（2009四川卷文）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件选修２—１ 1.２.２ 充要条件（教案）【教学目标】1．理解充要条件的概念；2．根据命题的条件与结论的关系判断充要条件． 【重点】充要条件【难点】弄清条件p 的充要条件与条件p 的关【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第11页～第12页）1．若的是则即且q p q p p q q p ⇔⇒⇒, 充要 条件,的也是p q 充要 条件．2．若q q p 但⇒p ，的是则q p 充分不必要 条件．3．若p q 但p q ⇒，的是则q p 必要不充分 条件．4．若p q 且qp ，的是则q p 既不充分也不必要 条件．【基础练习】1．用符号＂⇒＂与＂＂或＂⇐＂填空：（1）若p 的充分条件是q ,则p ⇐q ；若p 的必要条件是q ,则p ⇒q ．（2）若p 是q 的充分不必要条件；则p ⇒q ，q p ．（3）若p 的充分不必要条件是q ；则pq ，q ⇒p ．（4）若p 的必要不充分条件是q ；则p ⇒q ，q p ．2．下列形如“q p 则若,”的命题是真命题吗？它的逆命题是真命题吗？的是q p 什么条件．（1）若平面α外一条直线a 与平面α内一条直线平行，则直线a 与平面α平行； （2）若数列{}n a 的通项公式是c c n a n (+=是常数），则数列{}n a 是公差等于１的等差数列；（3）若直线a 与平面α内的两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直． 解：(1)原命题和它的逆命题都是真命题,所以p 是q 的充要条件； （2）原命题和它的逆命题都是真命题,所以p 是q 的充要条件；(3) 原命题是假命题，逆命题是真命题,所以p 是q 的必要不充分条件；3．若集合{}4321、、、=P ，{}R x x x Q ∈<<=,50|，则（ A ）． （A ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件 （B ）“P x ∈”是“Q x ∈”的必要不充分条件 （C ）“P x ∈”是“Q x ∈”的充要条件（D ）“P x ∈”是“Q x ∈”的既不充分也不必要条件4．甲：21A A 、是互斥事件；乙：21A A 、是对立事件，那么（ B ）． （A ）甲是乙的充分不必要条件 （B ）甲是乙的必要不充分条件（C ）甲是乙的充要条件 （D ）甲是乙的既不充分也不必要条件 【典型例题】例1下列各题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形； （2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数； （3）:p 0,0>>y x ，:q 0xy >； （4）:p a b >，:q a c b c +>+．【审题要津】判断q p 是否是的充要条件，只要判断p q q p ⇒⇒且是否同时成立． 解：在（１）中pq ，在（２）（４）中q p ⇔，在（３）中q p ，所以，（２）（４）中的q p 是的充要条件，（１）（３）中的q p 不是的充要条件．变式练习：下列各题中，p 是q 的什么条件？ （1）43,432+=+=x x q x x p ：：；（2）0)4)(3(,03=--=-x x q x p ：：；（3）)0(0),0(0422≠=++≠≥-a c bx ax q a ac b p ：：有实根； （4）0,012=++=++=c b a q c bx ax x p ：的一个根是方程：； 答案：（1）必要不充分 （2）充分不必要 （3）充要条件 （4）充要条件 例2 求关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件．【审题要津】求“关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立的充要条件”就是求“关于x 的不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立”的等价条件.解：“不等式21ax ax +>对于一切实数x 都成立”等价于00004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或变式练习：1.50<<x 是不等式4|2|<-x 成立的（ A ）. (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2. 一元二次方程)0(0122≠=++a x ax 有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ C ）.(A)0<a(B)0>a (C)1-<a (D)1>a3.方程mx 2+2x +1=0有异号两根的充要条件是0<m ．例3 已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ．求证：d r =是直线l 与 ⊙O 相切的充要条件．【审题要津】设：q r d p ,:=直线l 与⊙O 相切．要证q p 是的充要条件，只需分别证明充分性（q p ⇒）和必要性)(p q ⇒即可．证明：（１）充分性（q p ⇒）：作P l OP 与点⊥，则d OP =．若r d =，则点在P ⊙O 上．在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ .在OPQ Rt ∆中，r OP OQ =>．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ．所以直线l 与⊙O 相切．（２）必要性)(p q ⇒：若直线l 与⊙O 相切，不妨设切点为P ，则l OP ⊥．因此，r OP d ==．【方法总结】证明充要条件要分别证明充分性和必要性，也可以证明q p 的等价条件是．但要注意弄清充分性和必要性分别是哪一个命题．变式练习：求证实系数一元二次方程20x px q ++=有两个异号根的充要条件是0.q < 证明：（1）先证充分性 ∵0.q <∴方程20x px q ++=的240p q ∆=->∴方程20x px q ++=有两个不相等的实根，设其为12x x ，。
1.2.2充要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．（三）教学过程学生探究过程：1.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒ p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件２.类比归纳一般地,如果既有p⇒q ，又有q⇒p 就记作 p ⇔ q.此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p ⇔ q,那么p 与 q互为充要条件.3.例题分析例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．解：命题（１）和（３）中，p⇒q ，且q⇒p，即p ⇔ q，故p 是q的充要条件；命题（２）中，p⇒q ,但q ≠>p，故p 不是q的充要条件；命题（４）中，p≠>q ，但q⇒p，故p 不是q的充要条件；命题（５）中，p≠>q ，且q≠>p，故p 不是q的充要条件；４．类比定义一般地，若p⇒q ,但q ≠>p，则称p是q的充分但不必要条件；若p≠>q，但q ⇒p，则称p是q的必要但不充分条件；若p≠>q，且q ≠>p，则称p是q的既不充分也不必要条件．在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：①若p⇒q ,但q ≠>p，则p是q的充分但不必要条件；②若q⇒p，但p ≠>q，则p是q的必要但不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若p ≠>q，且q ≠>p，则p是q的既不充分也不必要条件．５．巩固练习：P14 练习第 1、2题说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．６．例题分析例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）即可．证明过程略．例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？７．教学反思：充要条件的判定方法如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。
1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件教学目标1.知识与技能(1)正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念；(2)能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系；(3)在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．2．过程与方法(1)培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性；(2)培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律；(3)培养学生的建构能力：“善建构”，通过反复的观察分析和类比，对归纳出的结论，建构于自己的知识体系中．3．情感、态度与价值观(1)通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；(2)通过对命题的四种形式及充分条件、必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点；(3)通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神．教学重点难点重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义．难点：必要条件的定义、充要条件的充分必要性．重难点突破的关键：找出题目中的p、q，判断p⇒q是否成立，同时还需判断q⇒p是否成立，再弄清是问“p是q的什么条件”，还是问“q是p的什么条件”．教学过程一、充分条件、必要条件与充要条件问题导思观察下面四个电路图，开关A闭合作为命题的条件p，灯泡B亮作为命题的结论q.1．在上面四个电路中，你能说出p，q之间的推出关系吗？【答案】①开关A闭合，灯泡B一定亮，灯泡B亮，开关A不一定闭合，即p⇒q，q p；②开关A闭合，灯泡B不一定亮，灯泡B亮，开关A必须闭合，即p q，q⇒p；③开关A闭合，灯泡B亮，反之灯泡B亮，开关A一定闭合，即p⇔q；④开关A闭合与否，不影响灯泡B，反之，灯泡B亮与否，与开关A无关，即p q，且q p.2．电路图③中开关A闭合，灯泡B亮；反之灯泡B亮，开关A一定闭合，两者的关系应如何表述？【答案】p⇔q.1．充分条件与必要条件2.充要条件的概念一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.例1.(1)已知实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是这个方程有实根的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是这个方程有实根的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是这个方程有实根的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是这个方程没有实根的充要条件．A．③④B．②③C．①②③D．①②④(2)若p：(x－1)(x＋2)≤0，q：x＜2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】(1)①对，Δ≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0有实根；②对，Δ＝0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根；③错，Δ＞0⇒方程ax2＋bx＋c＝0有实根，但ax2＋bx＋c＝0有实根Δ＞0；④对，Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0无实根．故选D.(2)p：－2≤x≤1，q：x＜2，显然p⇒q，但q p，即p是q的充分不必要条件．【答案】(1)D(2)A规律方法判定方法常用以下几种：(1)定义法：借助“⇒”号，可记为：箭头所指为必要，箭尾跟着充分．(2)集合法：将命题p、q分别看做集合A，B，当A⊆B时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，即p⇒q，可以用“小范围推出大范围”来记忆；当A＝B时，p、q互为充要条件．变式训练已知如下三个命题中：①若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件；②对于实数a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件；③直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0.则“ab＝1”是“l1∥l2”的必要不充分条件；④“m＜－2或m＞6”是“y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同零点”的充要条件．正确的结论是________．【解析】①中，当a＝2时，有(a－1)(a－2)＝0；但当(a－1)(a－2)＝0时，a＝1或a＝2，不一定有a＝2.∴“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分不必要条件，①正确．②∵a>b ac2>bc2(c＝0)，但ac2>bc2⇒a>b.∴“a>b”是“ac2>bc2”必要不充分条件，②错．③中，ab ＝1且ac ＝3时，l 1与l 2重合，但l 1∥l 2⇒a 1＝1b ，即ab ＝1，∴“ab ＝1”是“l 1∥l 2”的必要不充分条件，③正确．④中，y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同零点⇔Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0⇔m ＜－2或m ＞6.故是充要条件，④正确． 【答案】①③④例2.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)． (1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 解:(1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0， 解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则綈q ⇒綈p ，由此可得p ⇒q ， 则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2} 由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜3－2＜2a ，⇒a ＞－1. 法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }， 由綈p 是綈q 的必要不充分条件， 可得綈q ⇒綈p ， 也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒a ＞－1. 规律方法1．利用充分、必要条件求参数的取值范围问题，常利用集合法求解，即先化简集合A ＝{x |p (x )}和B ＝{x |q (x )}，然后根据p 与q 的关系(充分、必要、充要条件)，得出集合A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组(也可借助数轴)，求出参数的取值范围．2．判断p 是q 的什么条件，若直接判断困难，还可以用等价命题来判断，有时也可通过举反例否定充分性或必要性．变式训练已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)．若綈p 是綈q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：法一 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0，得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)． ∴綈p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}， 綈q ：B ＝{x |x ＞1＋m 或x ＜1－m }． ∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，∴A B . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}． 法二 由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0得1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)， ∴p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}， q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 也是p 的充分不必要条件，∴B A . ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1＋m ≤10，1－m ≥－2，解得0＜m ≤3. ∴m 的取值范围是{m |0＜m ≤3}.例3.求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不等的实根的充要条件是：0＜m ＜13.证明：充分性(由条件推结论)： ∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0， ∴方程有两个不等的实根．设方程的两根为x 1、x 2，当0＜m ＜13时，x 1＋x 2＝2m ＞0且x 1x 2＝3m ＞0，故方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，即0＜m ＜13⇒方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．必要性(由结论推条件)：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m ＞0x 1x 2＞0，∴0＜m ＜13，即方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根⇒0＜m ＜13.综上，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13.规律方法1．证明p 是q 的充要条件，既要证明命题“p ⇒q ”为真，又要证明“q ⇒p ”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．2．证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论． 变式训练求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0. 证明：假设p ：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1，q ：a ＋b ＋c ＝0. (1)证明p ⇒q ，即证明必要性． ∵x ＝1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴a ·12＋b ·1＋c ＝0， 即a ＋b ＋c ＝0.(2)证明q ⇒p ，即证明充分性． 由a ＋b ＋c ＝0，得c ＝－a －b . ∵ax 2＋bx ＋c ＝0，∴ax 2＋bx －a －b ＝0，即a (x 2－1)＋b (x －1)＝0. 故(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0. ∴x ＝1是方程的一个根．故方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.课堂小结充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法用定义法判断直观、简捷，且一般情况下，错误率低，在解题中应用极为广泛．(2)集合法从集合角度看，设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|满足条件q}．①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的充分不必要条件．②若A⊇B，则p是q的必要条件；若A B，则p是q的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．④若A⊈B，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．(3)等价转化法当某一命题不易直接判断条件和结论的关系(特别是对于否定形式或“≠”形式的命题)时，可利用原命题与逆否命题等价来解决．(4)传递法充分条件与必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒p3⇒…⇒p n，则可得p1⇒p n，充要条件也有传递性．练习1．“x＝3”是“x2＝9”的()A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件2．设p：x2＋3x－4＞0，q：x＝2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．在“x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的充分不必要条件”这句话中，已知条件是________，结论是________．4．若p：x＝1或x＝2；q：x－1＝x－1，则p是q的什么条件？【答案】1．A【解析】当x＝3时，x2＝9；但x2＝9，有x＝±3.∴“x＝3”是“x2＝9”的充分不必要条件．2．B【解析】当x2＋3x－4＞0时，不一定有x＝2；但当x＝2时，必有x2＋3x－4＞0，故p是q 的必要不充分条件．3．x2＋(y－2)2＝0x(y－2)＝04．解：因为x＝1或x＝2⇒x－1＝x－1；x－1＝x－1⇒x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件.。
1. 2 充分条件和必要条件单元课时分配:1.第一课充分条件和必要条件1个课时2.第二课充要条件1个课时1.2 .1 充分条件和必要条件【教学目标】一、知识目标1．使学生理解充分条件、必要条件的概念；2．能正确判断是否是充分条件或必要条件；二、能力目标1．通过对充分条件和必要条件的研究，使学生掌握有关的逻辑知识，以保证推理的合理性和论证的严密性；2．通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力；三、情感目标1．通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受；2．通过对充分条件和必要条件与集合的关系的教学，建立概念间的多元联系，培养同学们多角度审视问题的习惯；3．通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。
【教学重难点】重点：充分条件、必要条件的概念；难点：充分条件、必要条件的判断；【学前准备】：多媒体，预习例题{x|x>0} 同位角相四边形对等四边形是平行四边解：因为在问题）中。
所以，）的必要条）和问。
）和不是3的充分条件．用“充分条件”或“必要条件”）四边形的对角线相等是四边形为为相当于Q P ⊆，即 或即：要使Q x ∈成立，只要P x ∈就足够了——有它就行。
（2）p q ⇒，相当于Q P ⊇，即 或即：为使Q x ∈成立，必须要使P x ∈——缺它不行。
1.2．2充要条件【教学目标】掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系。
【教学重难点】充要条件关系的判定。
【学前准备】：多媒体，预习例题例1．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件 （1）在ABC ∆中，:p A B >，:sin sin q A B > （2）对于实数,x y ，:8p x y +≠，:2q x ≠或6y ≠ （3）在ABC ∆中，:sin sin p A B >，:tan tan q A B > （4）已知,x y R ∈，22:(1)(2)0p x y -+-=，:(1)(2)0q x y --= 解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理知道：,∴sin sin A B a b >⇔> 又由a b A B >⇔>,所以，sin sin A B A B >⇔>即p 是q 的充要条件。
1.2.2充要条件【学习目标】理解充要条件的定义．【自主学习】研读教材1.2.2节内容，回答下列问题：三、已知p：整数a是6的倍数，q:整数a是2和3的倍数.那么p是q的什么条件？q是p的什么条件？（1）上述问题中，p q，故p是q的条件，q是p的条件；另一方面，q p，故p是q的条件，q是p的条件；（2）一般地，如果既有p q，又有q p，就记作，此时我们说p是q的条件，简称： . 显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的条件.概括地说,如果p q,那么p 与 q互为条件.2.若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件.在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：14.若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；15.若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；16.若p q，且q p，则p是q的充要条件；17.若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．【自主检测】“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【典型例题】例1下列各题中，哪些p是q的充要条件?（2）p:b＝0，q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；（3）p:x ＞ 0,y ＞ 0，q: xy＞ 0；（4）p: a ＞ b ，q: a + c ＞ b + c；例2下列各题中， p 是q 的什么条件？（1）p:-3=0x ，q: ()()-3-4=0x x ；（2）p:-23x ≤，q ：-15x ≤≤；例3仿照教材例4，证明：△ABC 是等边三角形的充要条件是222++=++a b c ab ac bc .【课堂检测】1．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：（1）“m ≠3”是“|m |≠3”的________；（2）“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；（3）“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________；（4）△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的 ．2．已知{}=A x x p 满足条件，{}=B x x 满足条件q .(1)如果A B ⊆，那么p 是q 的什么条件？(2)如果B A ⊆，那么p 是q 的什么条件？(3)如果=A B ，那么p 是q 的什么条件？。
2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学案新人教A版选修2-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.2.1 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件学案新人教A版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2.1 充分条件与必要条件1。
2。
2 充要条件1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义。
（重点）2。
会求（判定)某些简单命题的条件关系。
(重点）3.通过对充分条件、必要条件概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳逻辑思维的能力.(难点)［基础·初探］教材整理1 充分条件与必要条件阅读教材P9“例1"以上部分，完成下列问题.命题真假“若p,则q”是真命题“若p,则q”是假命题推出关系p________q p________q条件关系p是q的______条件q是p的______条件p不是q的______条件q不是p的______条件错误!判断(正确的打“√”，错误的打“×")（1）q是p的必要条件时,p是q的充分条件。
（)(2)q不是p的必要条件时,“p⇒/q"成立。
( ）(3)若q是p的必要条件，则q成立,p也成立。
( )【答案】(1)√（2）√(3)×教材整理2 充要条件阅读教材P11“例3”以上部分,完成下列问题。
一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q。
“充分条件与必要条件”教学设计一、教学目标通过本节课学习，要达到以下四个目标：（1）知识目标：理解充分、必要、充要条件的定义及简单运用。
（2）能力目标深刻领会充分、必要、充要条件定义的本质。
能在日常生活和学习中自觉地运用逻辑推理的思想。
（3）德育渗透目标使学生认识对逻辑知识，特别是对“条件”的推断及推理这种思维方式在日常工作、学习中认识问题和分析问题的自觉运用。
（4）情感目标通过本节学习，使学生体会到教学的简洁美，感受到数学严谨的逻辑，同时认识到数学知识源自生产生活实际，是人类文化的结晶这一特点。
二、教材分析1. 本节内容地位和作用“充分条件与必要条件”内容出现在高中数学第一册第一章第八节，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，具有如下特点：（1）逻辑性强，抽象度大，辐射面广。
（2）与旧教材比较，除将教学位置前移外，新教材在这部分内容上作了如下处理。
将相关联的知识体系作了相应扩充，在“充要条件”这节内容之前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这两节作知识铺垫。
这种处理充分说明“充要条件”这节内容在整个高中数学体系中的基础性和重要性，新教学大纲把教学目标定位在“掌握充要条件的意义”。
从教材编写角度看，新旧教材最大差异在于对“充分条件”和“必要条件”定义的处理上，旧教材对定义作了较为详尽但也枯燥、难懂的解释，而新教材的定义显得更为简洁精炼，同时新教材的例题、练习题、习题数量大增，是旧教材的两倍左右。
显然，新教材的编写者在处理上贯彻了“淡化形式，注重实质”这一新的教学理念，但一次性给出定义，也存在一定的不足，学生在判断条件与结论的逻辑关系之前，还必须先分清何者是条件，何者是结论，这增加了学生理解上的困难。
（3）充分、必要性的思想贯穿于数学命题，数学定理。
公理等的始终，同时，这种思维在日常生活中对分析问题和解决问题是大有裨益的。
2. 重、难点分析（1）重点分析对于学习充分、必要、充要条件其主要目的就是用于判别命题的条件与结论之间的逻辑关系，故充分、必要、充要条件的判定当之成为本节重点。
1.2.充要条件-人教A版选修2-1教案一、教学目标1.了解充要条件的概念；2.掌握使用“若…则…”的方式表示充分必要条件；3.能够根据题目要求得出充分必要条件。
二、教学重难点1.科学地理解“充要条件”的概念。
2.学会应用“若…则…”的方式表述充分必要条件。
三、教学过程1. 导入（5分钟）教师出示一张图片，图片上面写明了“只有A才能够B”，让学生分析这张图片表达了什么意思。
引导学生想一想它和充要条件的关系，并带入新词“充要条件”。
2. 观察实例（15分钟）老师出示一些日常生活中的实例，如“只有会游泳的人才能够下水打捞物品”、“只有拥有VIP卡才能享受VIP待遇”，并让学生分析这些句子中含有什么条件。
3. 讨论探究（30分钟）让学生自己动手思考，将上述实例中的条件化为“若…则…”的形式，进而推出充分必要条件。
教师对学生的探究给予指导和帮助，并对学生疑难问题进行解答。
4. 巩固练习（20分钟）教师出示一些充要条件的练习题，让学生利用刚才学习的方法列算式，并利用已学知识解决问题。
5. 课堂小结（5分钟）教师对本节课学习的内容进行课堂小结，提醒学生下节课预习相关内容。
四、教学反思在本节课的教学过程中，我重点让学生了解“充要条件”的含义、应用“若…则…”方式表示充分必要条件，并通过实例让学生把充要条件改写为“若…则…”的形式并化简，从而加深学生对知识点的理解。
此外，在巩固练习中，教师对学生的问答进行了纠正和指导，以确保学生掌握了该知识点。
在今后的教学中，我会根据学生的实际情况，适当调整教学策略，帮助学生更好地理解并应用充要条件知识。
高中数学人教A版选修1-1第一章《1.2.2 充要条件》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.知识与技能
(1)知道充要条件的意义并会判断充要条件;
(2)通过学习使学生明白对充要条件的判定归结为判断命题的真假.
2.过程与方法
通过例题分析,让学生进一步体会充要条件的意义.
3. 情感、态度与价值观
通过充要条件的学习让学生感受数学思维的严谨性;通过合作交流逐步形成学生良好的学习习惯.
2新设计
1.通过例题分析,让学生进一步体会充要条件的意义.
2.通过充要条件的学习让学生感受数学思维的严谨性;通过合作交流逐步形成学生良好的学习习惯.
3学情分析
在学习充分条件,必要条件的基础上进一步理解充要条件的意义。
4重点难点
重点:充要条件的判断;
难点:充要条件的概念.
5教学过程
5.1第一学时
教学活动
1【导入】复习引入。
1.2.1分条件与必要条件(一)教学目标1.知识与技能目标：（１）正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．（２）正确判断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.（３）通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．2.过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．3. 情感、态度与价值观：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．（二）教学重点与难点重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题难点：正确区分充要条件．教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．（三）教学过程一.复习引入充分条件与必要条件的定义二.思考、分析已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．三.归纳总结：易知：p⇒q，故p是q的充分条件；又q ⇒p，故p是q的必要条件．此时,我们说, p是q的充分必要条件四.抽象概括充要条件(1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，p是q的充分必要条件，简称充要条件．(2)概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．注意：1．p与q互为充要条件，也称“p等价于q”，“q当且仅当p”等．2．当命题“若p，则q”与其逆(或否)命题都为真时，p是q的充要条件．五.例题分析及练习[例1]指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC.(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B.(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)·(y－2)＝0.[思路点拨]首先判断是否有p⇒q和q⇒p，再根据定义下结论，也可用等价命题判断．[精解详析](1)在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔BC>AC，所以p是q的充要条件．(2)因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，即￢q⇒￢p，但￢p⇒/ ￢q，所以p是q的充分不必要条件．(3)取∠A＝120°，∠B＝30°，p⇒/ q，又取∠A＝30°，∠B＝120°，q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件．(4)因为p：A＝{(1,2)}，q：B＝{(x，y)|x＝1或y＝2}，A B，所以p是q的充分不必要条件．[感悟体会](1)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)判断A是B的什么条件，常用方法是验证由A能否推出B，由B能否推出A.对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．训练题组11．下列命题中，p是q的充分条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b解析：对A，a＝0时，一定有ab＝0，p⇒q；对B，a2＋b2≥0时，a，b∈R，∴p⇒/ q；对C，x2>1时，x>1或x<－1，∴p⇒/ q；对D，当a>b>0时，有a>b，而a>0>b或0>a>b时，a或b无意义，∴p⇒/ q.答案：A2．(2012·天津高考)设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos (x ＋φ)(x ∈R)为偶函数”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时，函数f (x )＝cos(x ＋φ)＝cos x 是偶函数，而f (x )＝cos(x ＋φ)是偶函数时，φ＝π＋k π(k ∈Z)．故φ＝0是函数f (x )＝cos(x ＋φ)为偶函数的充分而不必要条件．答案：A3．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)．(1)p ：△ABC 中，b 2>a 2＋c 2，q ：△ABC 为钝角三角形；(2)p ：△ABC 有两个角相等，q ：△ABC 是正三角形；(3)若a ，b ∈R ，p ：a 2＋b 2＝0，q ：a ＝b ＝0.解：(1)△ABC 中，∵b 2>a 2＋c 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac<0， ∴B 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．反之，若△ABC 为钝角三角形，B 可能为锐角，这时b 2<a 2＋c 2.∴p ⇒q ，q ⇒/ p ，故p 是q 的充分不必要条件．(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，∴p ⇒/ q ，q ⇒p ，故p 是q 的必要不充分条件．(3)若a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0，故p ⇒q .若a ＝b ＝0，则a 2＋b 2＝0，即q ⇒p ，所以p 是q 的充要条件.[例2] 已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0.若￢p 是￢q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 解决本题可先求出命题p 和q 成立的条件，再得到￢p ，利用￢p 是￢q 的必要不充分条件，即￢q ⇒￢p 求出a 的取值范围，或利用等价条件p ⇒q 求得a .[精解详析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0且a <0得3a <x <a ，∴p ：3a <x <a .由x 2－x －6≤0得－2≤x ≤3，∴q ：－2≤x ≤3.∵￢q ⇒￢p ，∴p ⇒q .∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，∴a 的取值范围是[－23，0)． [感悟体会] 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时，可以先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件、充要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．训练题组24．集合A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }．若“a ＝1”是“A ∩B ”≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是( )A ．[－2,0)B ．(0,2]C ．(－2,2)D ．[－2,2]解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x ||x －b |<a }＝{x |b －a <x <b ＋a }，因为“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即－2<b <2.答案：C5．已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．解：不等式x 2－8x －20>0的解集为A ＝{x |x >10或x <－2}；不等式x 2－2x ＋1－a 2>0的解集为B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q 但q ⇒/ p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1＋a ≤10，1－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1＋a <10，1－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]. [例3] 求证：关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[思路点拨] 证明时首先搞清楚条件p 和结论q 分别指什么，然后证明p ⇒q (充分性)和q ⇒p (必要性)成立．[精解详析] 充分性：∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－a －b ，代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0中得 ax 2＋bx －a －b ＝0，即(x －1)(ax ＋a ＋b )＝0.∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1，∴x ＝1满足方程ax 2＋bx ＋c ＝0.∴有a ×12＋b ×1＋c ＝0，即a ＋b ＋c ＝0.故关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.[感悟体会](1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p 的充要条件是q ”，那么“充分性”是q ⇒p ，“必要性”是p ⇒q .若证明“p 是q 的充要条件”，则与之相反．(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明．训练题组36．试证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明：必要性：因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，所以Δ＝b 2－4ac >0，x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)，所以ac <0.充分性：由ac <0可推得Δ＝b 2－4ac >0及x 1x 2＝c a<0(x 1，x 2为方程的两根)．所以方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．7．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．解：当a ＝0时，x ＝－12符合题意．当a ≠0时，令f (x )＝ax 2＋2x ＋1. 因为f (0)＝1>0，∴若a >0时，则－2a <0，1a>0，∴只要Δ＝4－4a ≥0，即a ≤1，∴0<a ≤1. 若a <0，则1a<0，Δ＝4－4a >0，方程恒有两异号实数根．综上所述，a ≤1为所求． 六.课堂小结与归纳1．判断充分、必要条件时，首先要分清条件和结论，然后进行推理和判断．常用的判断方法有以下三种：(1)定义法(直接法).(2)集合法，即用集合的包含关系判断．设命题p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件若B A ，则p 是q 的必要不充分条件(3)等价转化法，即利用A ⇒B 与￢B ⇒￢A ，A ⇔B 与￢B ⇔￢A 来判断．一般地，对于条件或结论是否定形式的命题，可运用等价转化法判断．2．在涉及含有字母参数的充要条件的问题中，常利用集合的包含、相等关系来考虑．七.当堂训练1．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：直线l 与平面内无数直线都垂直，不能得到直线l ⊥α，因为有可能是直线l 在平面α内与一组平行直线垂直．若l ⊥α，则直线l 垂直于α内的所有直线．答案：B2．(2011·福建高考)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的 ( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若“a ＝2”，则“(a －1)(a －2)＝0”，即a ＝2⇒(a －1)·(a －2)＝0.若“(a －1)(a －2)＝0”，则“a ＝2或a ＝1”，故(a －1)(a －2)＝0不一定能推出a ＝2.答案：A3．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么( )A ．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B ．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C ．丙是甲的充要条件D ．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇒/ 丙，如图．综上，有丙⇒甲，但甲⇒/ 丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．答案：A4．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则￢p 是￢q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由已知得￢p ：－1≤x ≤1，￢q ：－2≤x ≤1，所以￢p 是￢q 的充分不必要条件． 答案：A5．直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切的充要条件是________．解析：直线x ＋y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2相切⇔圆心(1,1)到直线x ＋y ＋m ＝0的距离等于2⇔|1＋1＋m |2＝2⇔|m ＋2|＝2⇔m ＝－4或0. 答案：m ＝－4或06．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________________条件．解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A ⇒/ B .又因否命题为真，所以逆命题为真，即B ⇒A ，所以A 是B 的必要不充分条件． 答案：必要不充分7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.证明：充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．当n ＝1时，上式也成立． 于是a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p ，即数列{a n }为等比数列． 必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n p －1p n －1p －1＝p . 因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ＝p p －1p ＋q，∴q ＝－1， 即数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：阴红菊 审稿人：张林1．2．2 充要条件教学目标：进一步理解充分条件、必要条件的概念，同时学习充要条件的概念. 教学重点：充要条件概念的理解.教学难点：理解必要条件的概念.教学过程：一、复习准备：指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件？（1）:p a Q ∈，:q a R ∈；（2）:p a R ∈，:q a Q ∈；（3）:p 内错角相等，:q 两直线平行；（4）:p 两直线平行，:q 内错角相等.二、讲授新课：1. 教学充要条件：①一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔. 此时，我们说，p 是q 的充 必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition ）.②上述命题中（3）（4）命题都满足p q ⇔，也就是说p 是q 的充要条件，当然，也可以说q 是p 的充要条件.2. 教学典型例题：①例1：下列命题中，哪些p 是q 的充要条件？（1）:p 四边形的对角线相等，:q 四边形是平行四边形；（2）:p 0b =，:q 函数2()f x ax bx c =++是偶函数；（3）:p 0,0x y <<，:q 0xy >；（4）:p a b >，:q a c b c +>+.（学生自练→个别回答→教师点评）解析：从充分和必要两个方面入手。
解：在（2）（4）中，p q ⇔，所以（2）（4）中的p 是q 的充要条件，（1）（3）p 不是q 的充要条件。
点评：既有p q ⇒，又有q p ⇒，p 才是q 的充要条件。
②变式练习：教材P12 练习第1、2题③探究：请同学们自己举出一些p 是q 的充要条件的命题来.④例2：已知：⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d . 求证：d r =是直线l 与⊙O相切的充要条件.（教师引导→学生板书→教师点评）解析:设p ：d r =，q ：直线l 与⊙O 相切。
1.2.1 充分条件与必要条件（第一课时）教案一、教材内容分析充分条件与必要条件是简易逻辑的重要内容,也是认识问题、研究问题的工具,是高考的热点内容．这节内容在“四种命题”的基础上，通过若干实例，概括出充分条件、必要条件的定义;明确了充分条件、必要条件和集合论之间的联系；总结出判断充分条件、必要条件的方法．教学重点是充分条件与必要条件的概念与判断；难点是对必要条件意义的理解．二、教学目标分析1、知识与技能（1）使学生能正确理解充分条件、必要条件的意义；（2）使学生会判断充分条件、必要条件.2、过程与方法（1）通过生活实例，引导学生联系四种命题间的相互关系，应用类比的方法来理解p与q的共存关系——p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；（2）通过题组的设置，让学生发现充分条件、必要条件和集合间的包含关系之间的联系，使学生学会用联系的观点来看待问题.3、情感态度与价值观（1）通过设置问题串的方式，引发学生思考，使学生养成勤学善思的好习惯；（2）通过小组成员之间互相交流，创设生动活泼的学习氛围，激发学生学数学的热情，使学生享受学以致用的快乐.三、学习者特征分析通过对必修部分的学习，学生已经有了一定的知识储备，在教学中，可以利用学生熟悉的知识来辅助“充分条件与必要条件”的概念的教学,但不宜过难，以免阻碍学生对充分条件与必要条件的理解.四、教学策略的选择与设计（1）先行组织者策略：教师先举例子，让学生感受充分性和必要性的意义，再由学生抽象概括出充分条件与必要条件的定义；（2）以问题解决为主的教学策略：以问题串的方式引导学生思考，使学生在具体问题的解决过程中提炼方法，更深刻理解充分条件与必要条件的意义,充分体现教师“为思维而教”的教育理念.五、教学过程（一）设置情境，引入新知1.对充分条件、必要条件的意义的理解（1）通过与学生互动，构造出“若p，则q”形式的命题并使其为真命题，即p q⇒；（2）p成立，充分保证了q成立，那么p是q的充分条件；刎Þ；（3）写出其逆否命题并判断出为真命题，即q p（4）提出问题：当p是q的充分条件时，q是p的什么条件？（5）理解学生预习情况，若对课本内容有不理解的，提出来大家共同解决；（6）提出问题：你能结合（1）中的命题，仿照课本的处理方式来解释必要条件的意义吗？；（7）当q不成立时，一定有p不成立；这就是说，要使p成立，必须满足q成立，那么q是p的必要条件.【设计意图】（1）举学生身边的例子，使学生觉得有趣，更容易接受，激发学生的学习热情，在轻松愉悦的氛围中自然地引出课题，有利于学生对充分条件、必要条件的意义的理解；（2）从逆否命题的角度来帮助学生理解必要条件的意义.2.充分条件与必要条件的定义定义：一般地，如果“若p，则q”为真命题，即p qÞ，那么p是q的充分条件，q是p的必要条件.（初步想法是让学生通过对例子的分析来抽象概括，现场需结合学情灵活把握）（二）巩固新知，深化概念3.充分条件与必要条件的判断例1 在下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件吗？q是p的必要条件吗？（1）若()-∞+∞上为增函数；f x在(,)f x x=，则()（2）若直线a和b是异面直线，则a和b不相交；（3）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；（4）若x为无理数，则2x为无理数.【设计意图】（1）在课件中先显示前三个命题，让学生在熟悉的知识情境中判断充分条件和必要条件，加深对概念的理解；（2）强调判断充分条件、必要条件的关键点是分清p与q的推出关系；（3）通过对命题（4）的分析发现p不是q的充分条件，以此来充实学生对概念的认识.例2 判断下列命题的真假：（1）1x¹的充分条件；x¹是1（2）若{2}=>，则x AB x x=>，{3}A x xÎ.Î的充分条件是x B 【设计意图】（1）对比两个命题的说法，强调审题的重要性，要分清哪个是充分条件；（2）引导学生从集合的角度进一步理解充分条件与必要条件，即“小充分，大必要”；（3）总结出判断充分条件与必要条件的方法：○1定义；○2集合的角度.（三）牛刀小试，能力提升练习：判断下列问题中，p是q的充分条件吗？请说明理由.（1）p：四边形对角线相等，q：四边形是平行四边形；（2）已知圆C的方程是221+=，p：直线l是圆C的切线，q：点(0,0)x yO到直线l的距离等于1；a b；（3）已知两个向量a，b，p：¹a b，q：¹（4）p：0m>，q：方程20+-=有实数根.x x m【设计意图】（1）让学生进一步掌握判断充分条件、必要条件的方法；(2)以判断充分条件为载体再现易错点，帮助学生巩固知识点；（3）在这四个命题中依次满足“p 是q的既不充分也不必要条件、充要条件、必要而不充分条件、充分而不必要条件”，为学生下节课的学习做好铺垫.思考题：1.已知p：0m>，q：方程20x x m+-=有实数根.○1p是q的必要条件吗？○2若不是，你能通过修改p，使得p是q的必要条件吗？变式：已知p：m a>，q：方程20+-=有实数根. 若p是q的必要条件，x x m求实数a的取值范围.（先独立思考，再小组交流，最后展示成果）2.请写出“5+=”的一个充分条件.（若时间不够，留作课后作业）a b【设计意图】（1）通过这组练习，引导学生积极地思考，进一步理解概念；（2）强调从集合的角度来理解充分条件与必要条件；（3）通过小组活动，加强同学间的交流，激发学生的学习热情，形成良好的学习氛围.（四）总结提炼 ，推陈出新1.请你对本节课的学习内容进行小结.【设计意图】（1）引导学生养成总结的习惯；（2）再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点.2.引导学生从练习的四个命题中发现p 与q 之间存在以下四种关系：○1p q ?且q p ?；○2p q Þ且q p Þ；○3p q ?且q p Þ；○4p q Þ且q ?p .对于这四种关系我们应该如何描述呢？下节课，我们将解决这一问题.【设计意图】（1）巩固本节课的重点内容；（2）体现知识的连贯性，为下节课的引入埋下伏笔，同时激发学生的好奇心和求知欲，做好课前预习.【作业布置】一、写作业本上1.课本第10页练习4；第12页A 组1(1)(2)、2 (1)(2)；2.（1）“函数()f x 是奇函数”是“()00f =”的充分条件吗？（2）“22x a b >+”是“2x ab >”的必要条件吗？3.反思：上完这节课我的主要收获是什么？还没有弄清楚的内容是什么？二、预习作业1.自主阅读课本第11页，尝试理解充要条件的概念；2.分析课本第11页例4的解答过程,体会p 与q 之间的关系;3.做第12页练习1，分析p 与q 之间充分性和必要性的关系可分为哪几种？。
高中数学人教A版选修2-1第一章《1.2.1 充要条件》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
1.通过实例探究归纳出充分必要条件的概念,并能够判定给定命题的条件与结论之间的关系.
2.通过标杆题、类比题的学习能正确判断是充分条件、必要条件还是充要条件.
3.通过学习培养等价转化思想,逻辑推理能力及归纳总结能力.
2学情分析
从学生学习的角度看,知识储备不够,逻辑推理能力训练不够充分。
学生对于充分条件和必要条件的理解,需要一定时间的体会,为帮助学生理解概念,教学中适当举一些数学命题的例子结合具体的数学命题来学习。
数学上的充分条件和必要条件,与日常生活中的“充分”“必要”的意义很相近,教学中可以适当借助日常生活中“充分条件”“必要条件”的例子,帮助学生理解充分条件和必要条件。
3重点难点
重点:充要条件的概念;
难点:充要条件的概念的理解及判断;
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】1.2.2 充要条件
(一)创设情境,引入课题
【教师活动】有一首歌曲《我是一只鱼》中有句歌词是这样写的“没有你,像离开水的鱼,快要活不下去”。
鱼非常需要水,没了水,鱼就无法生存,但是只有水够吗?如果把“没有水”记作命题p,把“鱼不能生存”记作命题q。
那么p是q的什么条件?。
1.2.2充要条件
学生探究过程：
1.思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．
易知：p q，故p是q的充分条件；
又q p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件
２.类比归纳
一般地,如果既有p q ，又有q p 就记作 p q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p q,那么p 与 q互为充要条件.
3.例题分析
例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（１）p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（２）p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
（３）p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
（４）p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
（５）p: a ＞ b ,q: a2＞ b2
分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．
解：命题（１）和（３）中，p q ，且q p，即p q，故p 是q的充要条件；
命题（２）中，p q ,但q p，故p 不是q的充要条件；
命题（４）中，p q ，但q p，故p 不是q的充要条件；
命题（５）中，p q ，且q p，故p 不是q的充要条件；
４．类比定义
一般地，
若p q ,但q p，则称p是q的充分但不必要条件；
若p q，但q p，则称p是q的必要但不充分条件；
若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若p q ,但q p，则p是q的充分但不必要条件；
②若q p，但p q，则p是q的必要但不充分条件；
③若p q，且q p，则p是q的充要条件；
④若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件．
５．巩固练习：P14 练习第 1、2题
说明：要求学生回答p是q的充分但不必要条件、或 p是q的必要但不充分条件、或p是q 的充要条件、或p是q的既不充分也不必要条件．
６．例题分析
例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p q）和必要性（q p）即可．
证明过程略．
例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？
７．教学反思：
充要条件的判定方法
如果“若p，则q”与“若p则q”都是真命题，那么p就是q的充要条件，否则不是．８．作业：P1４：习题 1.2A组第1(3)(2),2(3),3题。
