(推荐)高中数学充要条件教案

1.2 充分条件和必要条件（2）[教学目标]：1．进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；2．掌握判断命题的条件的充要性的方法； [教学重点、难点]：理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断[教学过程]：一、复习回顾一般地，如果已知p q ⇒，那么我们就说p 是q 成立的充分条件，q 是p 的必要条件 ⑴“a b c >>”是“()()()0a b b c c a ---<”的 充分不必要 条件． ⑵若a 、b 都是实数，从①0ab >；②0a b +>；③0ab =；④0a b +=；⑤220a b +>；⑥220a b +=中选出使a 、b 都不为0的充分条件是 ①②⑤ ．二、例题分析条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断．下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题．1．要注意转换命题判定，培养思维的灵活性例1：已知p ：2x y +≠-；q ：x 、y 不都是1-，p 是q 的什么条件？分析：要考虑p 是q 的什么条件，就是判断“若p 则q ”及“若q 则p ”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性“若p 则q ”的逆否命题是“若x 、y 都是1-，则2x y +=-”真的“若q 则p ”的逆否命题是“若2x y +=-，则x 、y 都是1-”假的故p 是q 的充分不必要条件注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手．练习：已知p ：2x >或23x <；q ：2x >或1x <-，则p ⌝是q ⌝的什么条件？ 方法一：2:23p x ⌝≤≤ :12q x ⌝-≤≤ 显然p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件方法二：要考虑p ⌝是q ⌝的什么条件，就是判断“若p ⌝则q ⌝”及“若q ⌝则p ⌝”的真假性“若p ⌝则q ⌝”等价于“若q 则p ”真的“若q ⌝则p ⌝”等价于“若p 则q ”假的故p ⌝是q ⌝的的充分不必要条件2．要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性例2：若M 是N 的充分不必要条件，N 是P 的充要条件，Q 是P 的必要不充分条件，则M 是Q 的什么条件？分析：命题的充分必要性具有传递性M N P Q ⇒⇔⇒ 显然M 是Q 的充分不必要条件3．充要性的求解是一种等价的转化例3：求关于x 的一元二次不等式21ax ax +>于一切实数x 都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化由题可知等价于000004040a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或4．充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么例4：证明：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件必要性：对于x 、y ∈R ，如果220x y +=则0x =，0y = 即0xy =故0xy =是220x y +=的必要条件不充分性：对于x 、y ∈R ，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠故0xy =是220x y +=的不充分条件综上所述：对于x 、y ∈R ，0xy =是220x y +=的必要不充分条件．例5：p ：210x -≤≤；q ：()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件于是有12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥ 三、练习：1．若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件．（必要不充分的条件）2．对于实数x 、y ，判断“x+y ≠8”是“x ≠2或y ≠6”的什么条件．（充分不必要条件）3．已知0ab ≠，求证：1a b +=的充要条件是：33220a b ab a b ++--=.。

高中数学重点《充分条件与必要条件》教案学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。

对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。

华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。

方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。

下面就和一起看看有关高中数学重点《充分条件与必要条件》教案。

高中数学选修1-1《充分条件与必要条件》教案1教学准备教学目标运用充分条件、必要条件和充要条件教学重难点运用充分条件、必要条件和充要条件教学过程一、基础知识（一）充分条件、必要条件和充要条件1.充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。

2.必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。

3.充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A 是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件。

（二）充要条件的判断1若成立则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件。

2.若且BA，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件。

3.若成立则A、B互为充要条件。

（1）充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；（2）必要性：把B当作已知条件，结合命题的前提条件推出A。

二、范例选讲例1.（充分必要条件的判断）指出下列各组命题中，p是q的什么条件？（1）在△ABC中，p：A>B q：BC>AC；（2）对于实数x、y，p：x y≠8 q：x≠2或y≠6；（3）在△ABC中，p：SinA>SinB q：tanA>tanB；（4）已知x、y∈R，p：（x-1）2 （y-2）2=0 q：（x-1）（y-2）=0解：（1）p是q的充要条件（2）p是q的充分不必要条件（3）p是q的既不充分又不必要条件（4）p是q的充分不必要条件练习1（变式1）设f（x）=x2-4x（x∈R），则f（x）>0的一个必要而不充分条件是（ C ）A、x<0B、x<0或x>4C、│x-1│>1D、│x-2│>3（3）若A是B的充分条件，B是C的充要条件，D是C的必要条件，则A是D的条件.答案：（1）充分条件（2）充要、必要不充分（3）A=> B <=> C=> D故填充分。

《充分条件与必要条件》说课教案一、背景分析1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

在旧教材中，这节内容安排在《解析几何》第二章“圆锥曲线”的第三节讲授，而在新教材中，这节内容被安排在数学第一册（上）第一章中“简易逻辑”的第三节。

除了教学位置的前移之外，新教材中与充要条件相关联的知识体系也作了相应的扩充。

在“充要条件”这节内容前，还安排了“逻辑联结词”和“四种命题”这二节内容作为必要的知识铺垫，特别是“逻辑联结词”这部分内容是第一次进入中学数学教材，安排在充要条件之前讲授，既可以使学生丰富并深化对命题的理解，也便于老师讲透充要条件这一基本数学概念。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难．因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”（注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”），这是比较切合教学实际的．由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=>A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=>B与B=>A是否成立。

高中数学2.2 充分条件、必要条件、充要条件教学教案教案名称：高中数学2.2 充分条件、必要条件、充要条件教学教案教学目标：1. 理解充分条件、必要条件和充要条件的概念。

2. 能够运用所学知识判断一个命题是否为充分条件、必要条件或充要条件。

3. 能够应用所学知识解决相关问题。

教学重点：1. 充分条件和必要条件的定义和判断方法。

2. 充要条件的定义和判断方法。

教学难点：1. 掌握充要条件的概念和判断方法。

2. 运用所学知识进行实际问题分析和解决。

教学过程：Step 1：引入概念（10分钟）通过实例引入充分条件、必要条件和充要条件的概念，让学生了解这三种命题在数学推理中的重要性。

通过简单的例子演示，让学生感受到这些概念对于数学推理过程中正确性的保证。

Step 2：充分条件与必要条件（20分钟）介绍充分条件与必要条件之间的关系，并阐述如何根据定义判定一个命题是充分还是必要。

通过具体例子演示，让学生掌握如何使用逻辑推理方法判断一个命题是充分条件还是必要条件。

Step 3：充要条件（20分钟）介绍充要条件的概念和判断方法。

阐述如何通过充分条件和必要条件的结合来得到一个命题的充要条件，并强调在数学证明过程中，正确使用充要条件可以大大简化证明过程。

通过具体例子演示，让学生掌握如何判定一个命题是否为充要条件。

Step 4：实例分析（20分钟）提供一些实际问题案例，让学生应用所学知识进行分析和解决。

例如，在解决数学问题或做出某种判断时，我们需要考虑这个命题是否为充分、必要或者充要条件。

教师可以给予指导和提示，引导学生利用所学知识进行推理和分析。

通过实例演示，让学生掌握如何运用所学知识解决实际问题，并能够独立应用于其他情境。

Step 5：练习与巩固（10分钟）提供一些涉及充分、必要和充要条件的练习题目，让学生独立或小组合作完成。

教师可以给予指导和反馈，帮助学生巩固所学知识。

鼓励学生自主思考，并培养他们灵活运用所学知识解决问题的能力。

高中数学充要条件教案
教学内容：充要条件
教学目标：
1. 了解充要条件的定义；
2. 能够理解并运用充要条件判断数学命题的真假；
3. 能够灵活运用充要条件解决问题。

教学重点与难点：
1. 充要条件的概念和意义；
2. 充要条件的判断与运用。

教学准备：
1. 教材《高中数学教程》；
2. 课件工具；
3. 案例分析题集。

教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引出充要条件的概念，让学生了解充要条件的定义和作用。

二、讲解（10分钟）
1. 讲解充要条件的概念和定义；
2. 以图表或实例形式展示充要条件的划分；
3. 分析充要条件的特点和逻辑关系。

三、练习（15分钟）
1. 给学生提供一些基础例题，让学生通过计算和分析来确定充要条件；
2. 引导学生思考充要条件在实际问题中的应用。

四、讨论（10分钟）
1. 让学生展示他们的解题过程，并对学生的答案进行讨论；
2. 引导学生针对具体问题展开讨论，探究充要条件在实际问题中的应用。

五、总结（5分钟）
1. 整理概括充要条件的要点；
2. 强调充要条件在数学问题中的重要性。

六、作业（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对充要条件的掌握和应用。

【教学手段】
1. 利用课件工具展示解题过程和案例分析；
2. 利用白板书写相关公式和逻辑推理过程；
3. 利用小组合作讨论，促进学生自主学习。

【教学评价】
1. 每节课结束时进行小测验，检测学生对充要条件的掌握情况；
2. 鼓励学生在课后积极思考和讨论，提高对充要条件的理解和应用能力。

北师大版--选修2-1--第一章《常用逻辑用语》充分条件与必要条件一、教学内容解析：1. 教学内容：“充分条件与必要条件”是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要研究命题的条件与结论之间的逻辑关系. “若p，则q”为真命题，记作p q⇒.称p是q的充分条件，称q是p的必要条件.所以“p q⇒”与“p是q的充分条件”、“q是p的必要条件”之间是同一逻辑关系的三种不同描述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.通过对命题真假的判断，研究命题中p与q之间的关系，所以判断充分条件与必要条件的关键是分清条件与结论，再判断命题的真假. 另外，充分条件与必要条件和集合知识的联系在丰富知识外延拓展的同时，从“形”上（韦恩图表示集合关系）帮助我们进一步理解充分条件与必要条件的内涵.2. 知识地位：“充分条件与必要条件”是高中北师大版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第二节的内容. 逻辑是研究思维规律的学科，而“充分条件与必要条件”是数学中常用的逻辑用语，逻辑用语在数学中具有重要的作用.所以掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构.为了提高这部分内容的学习质量，在“充分条件与必要条件”这节内容前, 教材安排了“命题”这一节内容作为必要的知识铺垫. 并把充分条件与必要条件安排在第一课时，第二课时学习充要条件.在选修中学习逻辑用语，可以结合逻辑用语的使用，对我们已经学习过的必修部分的数学知识加以巩固和提升，同时能够体现出逻辑用语的工具价值，也可以更好地应用于今后的学习当中，这使得逻辑用语的教学起到了承上启下的作用．3. 思想方法：充分条件与必要条件的知识学习过程中，蕴含着观察、推理、归纳、总结等方法，在知识的形成与运用中，还体现了数学思维的合理性与严密性，以及数形结合、分类讨论的数学思想，这些都是数学的精髓.4. 教学重点：充分条件与必要条件的概念的形成及判定方法.5. 教学难点：必要条件的概念的理解.二、教学目标设置：1.通过江西鄱阳湖候鸟视频介绍地方文化，教育学生加强生态、环保意识，并由生活问题抽象到数学问题，从而感悟逻辑关系,引入新课.2.通过“数”、“形”两个例子的设计，让学生自主探究，经历观察、发现、归纳、概括出充分条件的概念，培养学生数学抽象以及逻辑推理的能力.3.通过电路图中开关闭合与灯泡亮的设计，让学生经历“直观感受”、“数学抽象”、“逻辑关系”、“深化理解”四个过程，突破必要条件概念的难点，培养学生的直观想象、数学抽象以及逻辑推理的能力.4. 通过探究充分条件和必要条件与集合间的联系，让学生建立概念间的多元联系，从“形”上帮助其进一步理解充分条件与必要条件的内涵，培养学生数学抽象的能力.5. 通过以学生为主体的数学活动的设计，让学生自主构建知识网络，加深对充分条件与必要条件的认识，体验获取知识的感受.师生互动及时评价培养了学生敢于质疑，善于发现、提出问题的能力，养成严谨规范表达的学习习惯.三、学生学情分析：1．教学有利因素：学生在初中阶段已经接触过命题、真假命题，高中教材在本节课教学之前安排了命题、命题的形式（若p则q）和四种命题的学习，以及学生日常生活中已有大量逻辑经验的积累都为本节课“充分条件与必要条件”概念的学习奠定了良好的基础.江西师大附中高二（12）班学生基础较好，数学思维活跃，有强烈的求知欲，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2.教学不利因素：“充分条件与必要条件”是密不可分的、相对的两个概念，由于概念较抽象, 与学生的原有思维习惯又有差异，导致学生不易理解，容易停留在形式上. 特别是对“必要条件”概念的理解较为困难. 此外，充分条件与必要条件是一个开放性的知识交汇点，往往涉及其它数学知识或者其它学科知识，对学生其它知识的掌握也有一定要求.3.难点突破策略：从“数”、“形”的两个例子自主探究，感悟到改变命题的条件（有的是增加条件，有的是替换条件），足以使结论成立.让学生充分理解充分条件的概念，同时学会文字语言、符号语言的表达.通过电路图中开关闭合与灯泡亮的直观感知，体会到条件的不可缺少，从而感悟逻辑关系，进而加深对命题的新的表述方式的理解，突破必要条件的难点. 循序渐进，再从充分条件、必要条件与集合间的联系上，结合集合的韦恩图表示，直观、形象的理解充分条件与必要条件的概念.四、教学策略分析：鉴于以上分析，为达成课堂教学目标，突出重点、突破难点，本节课的设计融合人教A版的教材理念，对教材进行二次开发，实现教学资源的整合. 主要贯彻与执行以下思路：1. 体现“教师为主导，学生为主体”的教学理念本节课的教学，教师更多的是站在一个引路人的角度，告诉学生该向哪里走，怎么走，让他们自己去走，让学生更多的亲身体验数学的发现之美.通过独立思考、主动探究、合作交流，使学生切实学好数学知识，提高数学能力.2. 注重对学生的思维训练引导学生多角度的审视问题，让学生从不同角度去看待问题，分析问题，思考问题. 例如：在概念教学中，从“数”与“形”两个角度入手，通过实例让学生亲身感知充分条件概念的发生与形成过程。

充分条件、必要条件【教材分析】常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言。

本单元的学习，可以帮助学生使用常用逻辑用语表达数学对象，进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内容和论证数学结论中的作用，提升交流的严谨性与准确性。

【教学目标】1．理解充分条件和必要条件的概念。

2．掌握充分条件和必要条件的判断方法。

3．理解充分必要条件的概念。

4．能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明【核心素养】1．数学抽象：在课前导读中抽象出充分、必要的概念。

2．逻辑推理：判定推出与不推出，推理充分条件与必要条件的基本形式和规则。

3．直观想象：借助坐标轴和几何图形来判定充分条件与必要条件。

4．数学运算：掌握、q运算，正确判断推出与不推出的关系。

【教学重点】1．掌握充分条件和必要条件的概念和判断方法。

2．掌握充要条件的概念和判断方法。

【教学难点】能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明。

【教学准备】通过课前导读、身边的例子来了解充分、必要的概念。

【教学过程】【课前导读】“充分”“必要”是我们日常生活中经常使用的词语，你知道下列语句中的这两个词分别表达的是什么意思吗？（1）“不断出现的数据让禁放派理由更加充分”（《中国青年报》2021年1月23日）；（2）“做到了目标明确、数据翔实、理由充分、逻辑严密”（《人民日报》2021年3月4日）；（3）“积极乐观的人，相信办法总比问题多，内心充满希望，当然，他们更懂得去寻求必要的帮助，给自己创造更多的机会”（《中国青年报》2021年6月22日）；（4）“文学不只是知识，同时也是一种能力，写作对于一个文学系的学生而言是一种必要的素质”（《人民日报》2021年7月28日）。

本小节我们要学习数学中的充分条件和必要条件。

一、充分条件、必要条件【新课讲授】我们已经接触过很多形如“如果，那么q”①的命题，例如：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；（3）如果>2，那么>3；（4）如果a>b且c>0，那么ac>bC．在“如果，那么q”形式的命题中，称为命题的条件，q称为命题的结论。

高中数学必修一《充分条件与必要条件》优质教案学习目标1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念；2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件．3.通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.重难点1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法；知识梳理一、充分与必要条件的基本概念1．充分条件与必要条件的概念一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.2．一般地，如果既有，又有，就记作： , 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的 条件，简称 条件。

其中叫做等价符号。

教学过程探究一、充分条件与必要条件的含义1.思考:下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

2、归纳新知（1）充分条件、必要条件的含义一般地,用p、q分别表示两个命题,如果命题p成立,可以推出命题q也成立,即 ,那么p叫做q的 条件, p叫做q 的 条件.P足以导致q,也就是说条件p充分了；q是p成立所必须具备的前提.（2）3.思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；（3）若（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。

4、思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。

5、思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？【结论】一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

《充要条件》教学设计◆教学目标1．通过研究大量的实例抽象出充要条件的概念，能利用充要条件对具体的例子进行分析表述，在这个过程中提升数学抽象素养．2．通过探索充要条件与数学定义的关系，进一步理解充要条件，能进行充要条件的判断与证明，在这个过程提升逻辑推理、直观想象和数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：充要条件的意义；教学难点：充要条件和数学定义之间关系．◆课前准备PPT课件◆教学过程（一）确定方案问题1：类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？师生活动：学生独立思考，写出研究过程，展示交流．预设的答案：具体实例（命题真假判断）——抽象概念——概念辨析——应用概念．抽象概念：什么是充要条件？概念辨析：充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关？应用概念：如何判断充要条件？设计意图：通过类比所学知识，猜想新知识的研究过程．首先让学生对本节的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．（二）问题导入问题2：阅读教科书的边框内容，完成下列问题：（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？（2）请分别写出下列命题的逆命题．①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；③若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；④若A ∪B 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：学生独立思考，写出结果，展示交流，教师帮助学生规范表达．预设的答案：（1）“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，而且它们是互逆的；（2）①若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等； ②若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；③若0<ac ，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；④若A 与B 均是空集，则B A 是空集．设计意图：逆命题对学生来说是一个新概念，首先通过举例让学生认识它，为后续学习做好铺垫．（三）新知探究1．形成概念问题3：对于下列“若p ，则q ”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；（3）若一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根，则0<ac ；（4）若B A 是空集，则A 与B 均是空集．师生活动：在问题1的基础上，学生独立思考，给出判断，展示交流，互相更正． 追问1：根据以上命题及其逆命题的真假，那么p 是否为q 的充分条件或必要条件？为什么？师生活动：学生独立思考，回答问题，互相更正．预设的答案：（1）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（2）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为假，所以p 不是q 的必要条件；（3）原命题为假，所以p 不是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件；（4）原命题为真，所以p 是q 的充分条件；逆命题为真，所以p 是q 的必要条件． 追问2：阅读教科书，你能说说什么是充要条件吗？师生活动：学生独立思考，回答问题．老师板书．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．设计意图：从学生熟悉的具体命题出发，通过分析命题及其逆命题的真假，引出充要条件的概念．2．辨析概念问题4：根据定义，上述四个命题中，哪些p 是q 的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p 应该称为q 的什么条件？你认为如何判断p 是q 的什么条件？师生活动：学生独立思考，回答问题，老师更正并板书．预设的答案：上述命题（1）（4）中的p 是q 充要条件．对于命题（2），p 是q 的充分条件，p 不是q 的必要条件，称p 是q 的充分不必要条件； 对于命题（3），p 不是q 的充分条件，p 是q 的必要条件，称p 是q 的必要不充分条件． 如果p 不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件，称p 是q 的既不充分又不必要条件． 如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 充要条件；如果“若p ，则q ”为真命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 充分不必要条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为真命题，则p 是q 必要不充分条件； 如果“若p ，则q ”为假命题，且“若q ，则p ”为假命题，则p 是q 即不充分又不必要条件．设计意图：借助学生熟悉的命题，说明p 是q 的充要、充分不必要等条件与p 是q 的充分条件、p 是q 的必要条件之间的关系．同时利用定义解决问题，形成方法．3．应用概念例3 下列各题中，p 是q 的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．（1）p ：两个三角形全等，q ：两个三角形三边成比例；（2）p ：四边形是平行四边形，q ：四边形的对角线互相平分；（3）p ：0>xy ，q ：0,0>>y x ；（4）p ：1=x 是一元二次方程02=++c bx ax 的一个根，q ：)0(0≠=++a c b a ． 追问1：判断p 是q 的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）师生活动：学生独立完成，要求写出判断过程和结果，然后展示交流，教师帮助学生规范过程．如果学生只写出命题的真假，而没有给出理由，老师要进行追问．例如：学生在（1）中写出“若q，则p为假命题”，老师追问“为什么”，直到学生给出反例为止．设计意图：进一步熟悉利用判断命题真假来判定充要条件、充分不必要等条件的方法．追问2：例3（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？（答案略）师生活动：学生回答，教师将学生的回答板书在黑板上．追问3：这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流．预设的答案：例如：相似三角形；菱形；子集等定义．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：借助具体的数学命题，理解数学定义和充要条件的关系，进一步深化对充要条件的理解．例4已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d=r是直线l与⊙O 相切的充要条件．追问：依据充要条件定义，证明“d=r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．师生活动：学生独立思考，分析题意，尝试写出要证的命题以及证明思路，展示交流，老师帮忙完善．在此基础上，学生完成证明，老师帮助订正并规范学生的表达，并指出哪一步是“充分性”，哪一步是“必要性”．或者也可以让学生阅读教科书，并说明哪一步是充分性，哪一步是必要性．预设的答案：需要证明的命题以及证明思路：（1）若d=r，则直线l与⊙O相切；思路：要证“直线l与⊙O相切”⇐“直线l与⊙O有且只有一个公共点”⇐先根据条件“d=r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．这一步称为“充分性”.（2）若直线l与⊙O相切，则d=r．思路：由“直线l与⊙O相切”⇒“直线l与⊙O有且只有一个公共点P ”⇒“r OP l OP =⊥,”⇒“d =r ”．这一步称为“必要性”．证明：（1）充分性(⇒): 如图，作OP ⊥l 于点P ，则OP =d ．若d =r ，则点P 在⊙O 上，在直线l 上任取一点Q （异于点P ），连接OQ ．在Rt △OPQ 中，OQ ＞OP=r ．所以，除点P 外直线l 上的点都在⊙O 的外部，即直线l 与⊙O 仅有一个公共点P ． 所以直线l 与⊙O 相切．（2）必要性（⇐）：若直线l 与⊙O 相切，不防设切点为P ，则OP ⊥l ．因此d=OP =r ．由（1）（2）得，d =r 是直线l 与⊙O 相切的充要条件．设计意图：通过充要条件的证明，进一步加深学生对充要条件的理解．另外，这个题目推理过程有一定难度，所以在推理之前，分清条件和结论，理清证明思路很重要．（四）梳理总结问题5：本节课我们学习了充要条件，充要条件的含义是什么？对于“若p ，则q ”命题，判断p 是q 的什么条件的方法是什么？充要条件与数学定义有什么关系？师生活动：师生一起总结．预设的答案：如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，则记作q p ⇔．此时p 既是q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们说p 是q 充分必要条件，简称为充要条件．判断方法：通过判断“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”的真假，从而得出p 是q 的充要或充分不必要或必要不充分或既不充分也不必要条件．数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生进一步明确充要条件的含义以及它在数学中的地位和价值．作业布置：教科书练习第1，2，3题；习题1.4第1到6题．（五）目标检测设计1．（2015浙江）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件设计意图：考查充要条件的判断方法．2．已知集合A ，B ，则“A ∩B =B ”的一个充分不必要条件是（ ）A ．A =∅B ．A ⊆BC ．B ⊆AD ．A =B设计意图：考查充分不必要条件的判断方法．3．求证：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根的充要条件是310<<m ． 设计意图：考查充要条件的证明．参考答案：1．D 2．D3．证明：设p ：方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根；q ：310<<m ． （1）必要性（q p ⇒）：若方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根，设其两根为21,x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=,03,012421m x x m ∆解得310<<m ．（2）充分性（p q ⇒）：若310<<m ，则0124>-=m ∆，所以一元二次方程0322=+-x mx 有两个不相等的实根． 又因为310<<m ，所以,0321>=m x x 则方程0322=+-x mx 有两个同号且不相等的实根．。

高中数学充要条件的教案
教学内容：充要条件在数学中的应用
教学目标：
1. 了解充要条件的概念及其在数学中的应用
2. 能够正确运用充要条件解题
3. 培养学生逻辑思维和推理能力
教学重点和难点：
重点：充要条件的概念和应用
难点：能够准确理解充要条件，并将其运用到实际问题中
教学准备：
1. 教师准备充要条件的概念讲解及相关例题
2. 准备教学用具、课件等辅助教学工具
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入充要条件概念，通过生活中的例子引发学生对充要条件的思考。

二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解充要条件的定义和特点
2. 介绍充要条件在数学中的应用及相关定理
三、例题分析（20分钟）
通过一些具体的例题，让学生理解充要条件的运用方法，并引导他们进行讨论和分析。

四、练习训练（15分钟）
布置一些练习题目，让学生独立完成并相互交流讨论，并及时纠正错误。

五、总结（5分钟）
总结本节课的重点内容，强调充要条件在数学中的重要性，并鼓励学生加强实践训练。

六、作业布置
布置相关练习题目，并要求学生认真完成并及时交卷。

教学心得：
本节课通过实例讲解、分析解题方法等多种途径，让学生更容易理解和掌握充要条件的概念和应用方法。

通过丰富的练习和讨论，学生逐渐提高了解题的能力和逻辑推理能力。

希望学生能够在今后的学习中，善于灵活运用充要条件解决问题，提高数学学习的深度和广度。

1.2 充分条件和必要条件（1） 【教学目标】1．从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；2．结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法；3．培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识． 【教学重点】构建充分条件、必要条件的数学意义；【教学难点】命题条件的充分性、必要性的判断．【教学过程】一、复习回顾1．命题：可以判断真假的语句，可写成：若p 则q ．2．四种命题及相互关系：3．请判断下列命题的真假：（1）若x y =,则22x y =; （2）若22x y =,则x y =;（3）若1x >,则21x >; （4）若21x >,则1x >二、讲授新课1.推断符号“⇒”的含义：一般地,如果“若p ,则q ”为真, 即如果p 成立，那么q 一定成立,记作:“p q ⇒”; 如果“若p ,则q ”为假, 即如果p 成立，那么q 不一定成立,记作:“p q ⇒/”. 用推断符号“⇒和⇒/”写出下列命题：⑴若a b >，则ac bc >；⑵若a b >，则a c b c +>+；2．充分条件与必要条件一般地，如果p q ⇒，那么称p 是q 的充分条件；同时称q 是p 的必要条件． 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？由上述定义知“p q ⇒”表示有p 必有q ，所以p 是q 的充分条件，这点容易理解．但同时说q 是p 的必要条件是为什么呢？q 是p 的必要条件说明没有q 就没有p ,q 是p 成立的必不可少的条件,但有q 未必一定有p . 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p 则q ”为真（即p q ⇒）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q 则非p ”为真（即q p ⌝⇒⌝）的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即 p q ⇒且q p ⇒；（2）充分不必要条件，即p q ⇒且q p ⇒/； （3）必要不充分条件，即p q ⇒/且q p ⇒；（4）既不充分又不必要条件，即p q ⇒/且q p ⇒/．3．从不同角度理解充分条件、必要条件的意义（1）借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。

1.4.2 充要条件教学目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.教学知识梳理知识点一充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.『思考』(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？『答案』(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点二常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p题型探究题型一充要条件的判断例1(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』A『解析』若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.解①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，所以p是q的充要条件.②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.反思与感悟判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.跟踪训练1(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab＝0B.ab>0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2>0『答案』D『解析』a 2＋b 2>0，则a 、b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2>0.(2)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________.『答案』a <－1『解析』函数没有零点，即方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根，即函数没有零点.故“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是a <－1. 题型二 充要条件的证明例2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2. 证明 ①必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，(x 1＋x 2)－2>0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－(2k －1)－2>0，k 2＋(2k －1)＋1>0，解得k <－2.②充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2. 则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)>0. 又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2 ＝－(2k －1)－2＝－2k －1>0， ∴x 1－1>0，x 2－1>0. ∴x 1>1，x 2>1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k <－2.反思与感悟 一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .跟踪训练2 求证：一次函数f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么f (x )＝kx ， 因为f (－x )＝k (－x )＝－kx ， 所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.②必要性：因为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.课堂小结1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.当堂检测1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』A『解析』当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』A『解析』a＝3时，A＝{1,3}，A⊆B，当A⊆B时，a＝2或3.3.已知α：“a＝±2”；β：“直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切”，则α是β的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件『答案』C『解析』a＝±2时，直线x－y＝0与圆x2＋(y±2)2＝2相切；当直线x－y＝0与圆x2＋(y－a)2＝2相切时，得|a |2＝2，∴a ＝±2.∴α是β的充要条件 4.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝ ________.『答案』－1『解析』由1×3－a ×(a －2)＝0得a ＝3或－1，而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.5.命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的________条件.『答案』充要『解析』当x >0，y <0时，x >y 且1x >1y 成立，当x >y 且1x >1y 时，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x －y xy <0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0.所以p 是q 的充要条件.。

充要条件教案教案主题：充要条件时间：1小时班级：高中数学班学生年级：高一教学目标：1. 理解充要条件的概念；2. 掌握判断充要条件的方法；3. 能够灵活运用充要条件解决问题。

教学内容：1. 充要条件的定义；2. 判断充要条件的方法；3. 充要条件的应用。

教学步骤：第一步：导入（10分钟）1. 教师向学生提问：“你们知道什么是充要条件吗？”2. 结合学生回答，教师介绍充要条件的概念与重要性。

第二步：讲解（20分钟）1. 教师通过示意图和实例，详细解释充要条件的定义。

2. 教师向学生提出几个简单的问题，引导学生思考如何判断充要条件。

3. 教师介绍几种判断充要条件的方法，如逆否命题、充分条件等。

第三步：练习（20分钟）1. 教师出示若干个充要条件的题目，让学生在小组内进行讨论，并给出解答。

2. 教师逐个解答学生提出的问题，并对学生答案进行评价和指导。

3. 老师根据学生的讨论情况，给予及时的指导和辅导。

第四步：巩固（10分钟）1. 教师出示几个需要通过充要条件进行求解的实际问题，让学生思考如何运用充要条件解决问题。

2. 学生可结合所学知识进行讨论，找到合理的解题思路，并完成问题求解。

3. 老师对学生的解答进行评价和指导，帮助学生理解充要条件的应用。

第五步：总结（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，重点强调充要条件的基本概念与判断方法。

2. 教师鼓励学生将所学知识应用到实际生活中，提高解决问题的能力。

教学反思：本节课通过引导学生思考、讨论、解答问题等方式，使学生逐步掌握了充要条件的基本概念与判断方法，并通过练习和实例细化了充要条件的应用。

教学过程中，学生积极参与，思维活跃，对充要条件的理解和应用逐渐提高。

但教学中也发现部分学生理解上有一定难度，需要后续课程进一步加强。

因此，下一步可以通过更加具体的例题和实际问题的讲解和讨论，帮助学生更好地理解与运用充要条件。

同时，在提问的时候也需要尽量给予学生更多启发式的问题，帮助学生主动思考，提高解题能力。

1.2充分条件、必要条件与充要条件教学设计（一）设计依据充要条件是本章的核心概念，也是中学数学的基本概念之一，高中阶段主要讨论了命题的条件和结论之间的逻辑关系，目的为学习数学推理打下基础。

本节课逻辑思维比较强，所以本节课以生活的例子入手，加强对概念理解。

（二）教材分析充要条件是中学数学重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件和结论之间的逻辑关系，目的是为了今后数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

（三）教学目标1、知识与技能：理解充分条件、必要条件、充要条件这三个概念，掌握判断充要条件的方法与步骤。

2、过程与方法：通过对充分条件、必要条件、充要条件的概念的感知、形成、理解和深化运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。

3、情感、态度与价值观：培养学生的辨析能力以及培养他们的思维的严谨性，在练习过程中进行辨证唯物主义思想教育。

（四）教学重点与难点教学重点：充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解，判断给定命题的条件与结论之间的关系。

中，q是p的必要条件的理解；如何判断p是q的什么条件。

教学难点：在p q（五）教学方法与手段教学方法：探究式教学法。

教学手段：多媒体辅助教学。

（六）教学过程一.情景引入：姚明大家都认识，他说过很多很经典的话，其中有一句给我留下来了很深刻的印象，他说：“努力不一定成功，但放弃一定失败。

”话语中有两组关键词：“努力”和“成功”；“放弃”和“失败”。

每组中的两个词之间有什么样的逻辑关系？我们今天所学的内容就可以解决这个问题。

二.给出定义下列两个命题中：⑴、若22x a b >+，则2x ab >； ⑵、若0ab =，则0a =；命题⑴为真命题，命题⑵为假命题。

一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q 。

这时，我们就说，由p 可推出q ，记作：p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 必要条件。

一般地，如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作：p q ⇔。

高中数学充分与必要教案
主题：充分与必要条件
教学目标：
1. 了解充分与必要条件的概念；
2. 能够应用充分与必要条件解决实际问题；
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学重点：
1. 充分条件的定义和应用；
2. 必要条件的定义和应用；
3. 充分与必要条件的关系。

教学难点：
1. 理解充分与必要条件的概念；
2. 能够灵活运用充分与必要条件解决问题。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师引入充分与必要条件的概念，让学生了解这两个概念在数学中的重要性，并给出生活中的例子进行解释。

二、讲解（15分钟）
1. 讲解充分条件的定义和应用，指导学生如何找到充分条件；
2. 讲解必要条件的定义和应用，指导学生如何找到必要条件；
3. 讲解充分与必要条件的关系，指导学生如何应用这两个概念解决问题。

三、练习（20分钟）
1. 完成课本上的练习题，巩固充分与必要条件的应用；
2. 让学生分组进行练习，提高他们解决问题的能力。

四、总结（10分钟）
让学生总结本节课所学内容，强调充分与必要条件在解决问题中的重要性，并展示典型的应用例子。

五、作业（5分钟）
作业：完成课后练习题，巩固所学内容。

教学后记：
通过本节课的教学，学生应该能够了解充分与必要条件的概念，掌握灵活运用这两个概念解决问题的能力。

希望学生能够在日常生活和学习中应用这些知识，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。

“充要条件”教学设计一.教学内容解析1.教学内容“充要条件”是高中数学教学中的最为重要的数学概念之一.“课标”中对于本节内容的教学要求是通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.并从集合角度对概念加以剖析，使学生更加直观地理解概念的内涵。

2.知识分析本节内容属于概念性知识，教学重点是对概念的理解。

是高中人教B版《数学》选修2-1第一章《简单逻辑用语》第三节的内容。

首先，教材中先对命题“若p则q”的真假进行讨论：“若p则q”为真命题，等价于“由p推出q”。

之后，给出“充分条件”，“必要条件”，“充要条件”的概念，并在具体应用中始终强调命题“若p则q”为真与“p⇒q”与“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”这四种表达形式的一致性。

这样安排，体现知识层层深入，螺旋上升，符合学生认知规律。

另外，对这一概念的学习，既可以培养学生的逻辑推理能力，又可以让数学核心素养在课堂中落地生根。

3.素养体现在普通高中数学课程标准（2017年版)中，这部分知识调整到了预备知识这一主题中，内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。

足见这部分知识对整个高中阶段数学学习的重要性。

在“充要条件”的教学中，首先，要体现逻辑推理数学素养，提升学生研究问题严谨性与精准性的能力。

其次，由具体实例抽象生成数学概念，体现数学抽象在概念教学中的作用。

再次，通过集合思想直观呈现概念的几何含义，培养学生直观想象数学素养。

二．教学目标设置1.了解“若p则q”形式的命题，能正确描述“条件”和“结论”，会判断其真假；2.能够理解“若p则q”为真与“p⇒q”与“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”这四种表达形式的一致性；3.会用集合思想直观理解“充分条件”与“必要条件”，理解“以小见大，大而必要”的含义；4.能够充分理解“充分条件”，“必要条件”与“充要条件”之间的区别；5.将“直观想象”、“数学抽象”和“逻辑推理”核心素养落实到课堂教学中。

标题：?充要条件?教学设计〔一〕教学内容1.充要条件的意义，以及充要条件的判断和证明；2.数学定义与充要条件的关系。

〔二〕教材分析1.教材来源本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第一章第4节?充分条件和必要条件?第2课时。

2.地位与作用常用逻辑用语是数学语言的重要组成局部，是数学表达和交流工具，是逻辑思维的根本语言，充分条件、必要条件和充要条件是数学中常用的逻辑用语。

在数学知识体系中，数学定义、判定定理和性质定理是重要的组成局部，它们都可以用逻辑用语表达。

每一条数学定义都给出了相应数学结论成立的一个充要条件；每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件；每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。

运用常用逻辑用语进行数学表达、论证和交流，可以提高交流的严谨性和准确性。

充要条件是中学数学中重要的数学概念之一，它主要讨论了命题之间的逻辑关系，目的是为数学推理的学习打下根底。

〔三〕学情分析1.认知根底：学生已经掌握了由判断“假设p，那么q〞命题的真假来判断p是q的充分条件，必要条件。

学生会判断一些简单命题的真假。

2.认知障碍：充要条件的证明，容易混淆条件和结论。

〔四〕教学目标知识与技能：1.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系；2.初步使用常用逻辑用语进行数学表达，论证和交流，提高逻辑推理素养。

能力目标：利用条件的推导，了解学习一个命题要顺推也要倒推，即了解学习一个新事物不仅会正向思维，也要逆向思维。

过程与方法在观察、思考、解题过程中，培养学生思维的严密性品质；在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维能力，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑根底.情感、态度与价值观激发学生的学习热情和学生的求知欲，培养严谨的学习态度和积极进取的精神。

〔五〕教学重难点：教学重点：理解充要条件的概念；学会对命题进行充要性的判断；教学难点：充分性与必要性的推导顺序及充要条件的证明.〔六〕教学思路与方法问题引领——小组讨论——教师标准总结。