高二数学向量垂直、平行的充要条件及应用(教师版)

空间向量在立体几何中的应用（一）授课时间：2014年5月11日第7节课 授课班级：高二（9）班 授课教师：高志华教学目标 1、知识与技能(1) 进一步理解向量垂直的充要条件； (2)利用向量法证明线线、线面垂直；(3)利用向量解决立体几何问题,培养学生数形结合的思想方法； 2、过程与方法通过学生对空间几何图形的认识，建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的坐标将几何问题代数化，提高学生应用知识的能力。

3、情感态度与价值观通过空间向量在立体几何中的应用，让学生感受数学、体会数学的美感， 从而激发学数学、用数学的热情。

教学重点建立恰当的空间直角坐标系,用向量法证明线线、线面垂直。

教学难点、关键建立恰当的空间直角坐标系,直线的方向向量; 正确写出空间向量的坐标。

教学方法启发式教学、讲练结合 教学媒体ppt 课件学法指导交流指导，渗透指导. 课型 新授课教学过程一、知识的复习与引人 自主学习1.若OP =x i +y j +z k ，那么（x ，y ，z ）叫做向量OP 的坐标，也叫点P 的坐标.2. 如图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为AB=2,AD=2,1AA '=．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，试求长方体各个顶点及A C '中点G 的坐标．3.设a =（x 1，y 1，z 1），b =（x 2，y 2，z 2），那么b a ±=（x 1±x 2，y 1±y 2， ）， a ⊥b ⇔ b a ∙=x 1x 2+y 1y 2+ =0.4.设M 1（x 1，y 1，z 1），M 2（x 2，y 2，z 2），则 12M M =（2121,x x y y --， ） [探究]1．直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有 个． 2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l 1的方向向量为1l ， 直线l 2的方向向量为2l ， 直线a 的方向向量为a ， 直线b 的方向向量为b .l 1⊥ l 21l ⊥2l ⇔l 1⊥αl 1⊥a ,l 1⊥b, ,a b αα⊂⊂，a ∩b=o ，[合作探究]二、新授课：利用空间向量证明线线垂直、线面垂直例1、如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为BC的中点，N为AB的中点，P为BB1的中点．(Ⅰ)求证：BD1⊥B1C；(Ⅱ)求证：BD1⊥平面MNP．设计意图：使学生明确空间向量在证明线线垂直、线面垂直中的作用。

高二数学选修2－1 第三章 第1节 空间向量及其运算人教实验B 版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 空间向量及其运算二、教学目标：1．理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

2．理解共线向量定理和共面向量定理及其意义。

3．掌握空间向量的数量积的计算，掌握空间向量的线性运算，掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。

三、知识要点分析： 1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）b a AB OA OB+=+=b a-=-=)(R a OP ∈=λλ运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．共线向量定理：对于空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .4．共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=。

5．空间向量基本定理：如果三个向量c ,b ,a 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使c z b y a x p ++= 6．夹角定义：b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作b OB a OA ==,，则AOB ∠叫做向量a 与向量b 的夹角，记作><b a , 规定：π>≤≤<b a ,0特别地，如果0,>=<b a ，那么a 与b 同向；如果π>=<b a ,，那么a 与b 反向；如果90b ,a >=<，那么a 与b 垂直，记作b a ⊥。

向量垂直条件在数学和物理中，向量是一种具有大小和方向的量，它广泛应用于各个领域。

在向量运算中，垂直条件是一种重要的概念，它描述了两个向量之间的关系。

本文将从不同角度介绍向量垂直条件，旨在帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、向量的定义和基本性质向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。

向量的大小可以用模长来表示，方向可以用角度或方向余弦来表示。

两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同。

二、向量的垂直条件两个向量垂直的条件是它们的点积为零。

点积是向量运算中的一种运算，它描述了两个向量之间的关系。

具体来说，设向量A和向量B，它们的点积为A·B，计算公式为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

当两个向量垂直时，它们的夹角θ等于90度或π/2弧度。

此时，cosθ的值为0，因此A·B = 0。

由此可见，向量A和向量B的点积为零是它们垂直的充分必要条件。

三、向量垂直条件的几何意义在几何中，两个向量垂直意味着它们所代表的直线相互垂直。

具体来说，设直线l1由向量A表示，直线l2由向量B表示。

当向量A和向量B垂直时，直线l1和直线l2相互垂直。

根据向量的性质，如果两个向量垂直，则它们所代表的直线也垂直。

这一性质在几何推理和证明中经常被应用。

通过判断两条直线所对应的向量是否垂直，可以简化几何问题的解决过程。

四、向量垂直条件的应用向量的垂直条件在实际问题中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1.平面几何中的垂直线段：当两条线段相互垂直时，它们所对应的向量相互垂直。

2.力学中的力的分解：在力学问题中，一个力可以分解为两个垂直的力。

这样做可以简化问题的分析过程。

3.电磁学中的电场和磁场：在电磁学中，电场和磁场是两个相互垂直的向量场。

4.三角函数中的正交性：在三角函数中，正弦函数和余弦函数是相互垂直的。

五、总结向量的垂直条件是一种重要的概念，它描述了两个向量之间的关系。

高二数学平面向量与空间向量的垂直与共线数学中，平面向量和空间向量是两个重要的概念。

在这篇文章中，我们将探讨平面向量与空间向量之间的垂直与共线的关系。

垂直向量是指两个向量的夹角为90度的情况。

对于平面向量来说，我们可以通过向量的点乘与零向量的判断来确定垂直关系。

设有平面向量a和b，若a·b=0，则a与b垂直。

而对于空间向量来说，我们可以通过向量的数量积与零向量的判断来确定垂直关系。

设有空间向量A和B，若A·B=0，则A与B垂直。

举个简单的例子来理解垂直向量的概念。

设有两个平面向量a=(1, 2)和b=(-2, 1)，我们可以计算它们的点乘：a·b=1*(-2)+2*1=0。

因此，向量a和b是垂直的。

在数学中，共线向量是指两个或多个向量的方向相同或相反的情况。

对于平面向量来说，我们可以通过向量的叉乘和零向量的判断来确定共线关系。

设有平面向量a和b，若a×b=0，则a与b共线。

而对于空间向量来说，我们可以通过向量的叉积和零向量的判断来确定共线关系。

设有空间向量A和B，若A×B=0，则A与B共线。

举个简单的例子来理解共线向量的概念。

设有两个空间向量A=(1, 2, 3)和B=(2, 4, 6)，我们可以计算它们的叉积：A×B=(2*3-4*2, 6*1-2*3, 1*4-2*2)=(0, 0, 0)。

因此，向量A和B是共线的。

在实际应用中，垂直向量和共线向量有着重要的意义。

例如在物理学中，力的合成和分解中的平行四边形法则和三角法则都是基于向量的垂直和共线性质而建立的。

总结起来，平面向量和空间向量之间的垂直与共线关系可以通过点乘和叉乘来判断。

而在实际应用中，垂直向量和共线向量有着广泛的应用，特别是在力学、物理学等领域。

通过本文的探讨，我们对于高二数学中平面向量与空间向量的垂直与共线关系有了更深入的理解。

垂直向量的判断可以通过点乘与零向量进行，而共线向量的判断则可以通过叉乘与零向量进行。

8．4（1）向量的应用（1）上海市田园高级中学俞德斌一、教学内容分析向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。

本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题，以及不等式、有关三角公式的证明、物理学中的应用.本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题，突破难点的关键是如何启发学生发现问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.二、教学目标设计运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题；提高分析问题、解决问题的能力.三、教学重点及难点教学重点：利用平面向量知识证明平行、垂直等问题；教学难点：数形结合方法的渗透，思维能力的提高.四、教学流程设计五、教学过程设计一、 复习与回顾 思考并回答下列问题1．判断：（平行向量的理解）（1）若A 、B 、C 、D 四点共线，则向量CD AB //；（ ） （2）若向量//，则A 、B 、C 、D 四点共线；（ ） （3）若=，则向量=； （ ） （4）只要向量→→b a ,满足→→=b a ，就有→→=b a ；（ ） 2．提问：（1）两个非零向量平行的充要条件是什么？ （2）两个非零向量垂直的充要条件是什么？[说明] 教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.二、学习新课 例题分析例1、证明：菱形对角线互相垂直。

（补充） 证：设==→a , == →b∵ABCD 为菱形 ∴|→a | = |→b |∴⋅= (→b + →a )( →b - →a ) = →b 2- →a 2= |→b |2- |→a |2 = 0 ∴⊥ 证法二：设B (b ,0)，D (d 1,d 2)， 则AB = (b ,0), AD = (d 1,d 2)于是=+= (b ,0) + (d 1,d 2)= (b +d 1 ,d 2)=-= (d 1 -b ,d 2)∵•= (b +d 1)(d 1 -b ) + d 2d 2 = (d 12 + d 22)- b 2= |AD |2 - b 2 = |AB |2 - b 2 = b 2 - b 2 = 0∴AC ⊥BD[说明]二种方法进行比较，开拓学生的解题思维，提高能力. 例2、已知)2,1(A ，)3,2(B ，)5,2(-C ，求证ABC ∆是直角三角形.(补充).,900),3,3(),1,1(:0是直角三角形即证明ABC BAC ∆=∠∴=⋅-==例3、.,,.AC BH BC AH ABC ⊥⊥∆已知中在如图CB.CH⊥求证(课本P72例2):AB[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系.例4、证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本P71例1)三、课堂练习例5、用向量方法证明：对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册P39习题8.4 A组1)四、课堂小结1.用向量知识证明平行、垂直问题.2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.四、作业布置1、书面作业:课本P73, 练习8.4 1, 2, 32、习题册P39，习题8.4 A组/1；习题册P40，习题8.4 B组/13、思考题:如图,在ABC∆中，D，E分别是边AB、AC的中点，F ，G 分别是DB 、EC 的中点， 求证：向量与FG 共线.3、思考题:如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点.七、教学设计说明1．注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻.2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口.3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.CD。