北师大版数学高二-选修1-1课时作业 充要条件

[A 组 基础巩固]1．“2a >2b ”是“log 2a >log 2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若2a >2b ，则只能得到a >b ，但不能确定a ，b 的正负，当0>a >b 时，log 2a ，log 2b 均无意义，更不能比较其大小；若log 2a >log 2b ，则a >b >0，从而有2a >2b 成立．综上，“2a >2b ”是“log 2a >log 2b ”的必要不充分条件．答案：B2．已知a ，b 都是实数，那么“a 2>b 2”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：①当a 2>b 2时，有a 2－b 2>0⇔(a ＋b )(a －b )>0，由此推不出a >b . ②当a >b 时，如若a ＝－2，b ＝－3，有a 2<b 2，故推不出a 2>b 2. 所以“a 2>b 2”是“a >b ”的既不充分也不必要条件． 答案：D3．l 1，l 2表示空间中的两条直线，若p ：l 1，l 2是异面直线，q ：l 1，l 2不相交，则( ) A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：根据空间两条直线的位置关系和充要条件的定义进行判断．若l 1，l 2异面，则l 1，l 2一定不相交；若l 1，l 2不相交，则l 1，l 2是平行直线或异面直线，故p ⇒q ，q /⇒p ，故p 是q 的充分不必要条件．答案：A4．“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝π4时，函数y ＝sin 2x ＝sin π2＝1取得最大值；反过来，当函数y ＝sin 2x 取得最大值时，不能推出x ＝π4，如x ＝5π4时，函数y ＝sin 2x 也可取得最大值．综上所述，“x ＝π4”是“函数y ＝sin 2x 取得最大值”的充分不必要条件，选A.答案：A5．在下列四个结论中，正确的有( ) ①x 2>4是x 3<－8的必要不充分条件；②在△ABC 中，“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充要条件； ③若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 全不为0”的充要条件； ④若a ，b ∈R ，则“a 2＋b 2≠0”是“a ，b 不全为0”的充要条件． A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③解析：对于结论①，由x 3<－8⇒x <－2⇒x 2>4；但是x 2>4⇒x <－2或x >2⇒x 3<－8或x 3>8，不一定有x 3<－8.故x 3<－8⇒x 2>4，但x 2>4⇒/ x 3<－8.所以①正确．根据选择题的特点，对以上的四个结论有选择地进行判断，现已判定①正确，则不必对③进行判定了．因为由①正确可知应淘汰B ，D ，进而只要对A ，C 作进一步的选择，而选A 还是选C ，只需对②或④中的一个作出判定即可，可以从②④中选择容易判定的一个．结论②，“△ABC 为直角三角形”没有明确哪个顶点为直角顶点，因此就不一定有“AB 2＋AC 2＝BC 2”成立．故“AB 2＋AC 2＝BC 2”是“△ABC 为直角三角形”的充分不必要条件．答案：C6．已知p ：x 2＋x －2＞0，q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是________．解析：将p ，q 分别视为集合A ＝{x |x 2＋x －2＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－2}，B ＝{x |x ＞a }，已知q 是p 的充分不必要条件，即B A ，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a 的取值范围为a ≥1.答案：[1，＋∞)7．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的________条件．解析：∵0<ab <1，∴a ，b 同号，且ab <1. ∴当a >0，b >0时，a <1b ；当a <0，b <0时，b >1a .∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的充分条件．而取a ＝－1，b ＝1，显然有a <1b ，但不能推出0<ab <1，∴“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分不必要条件．答案：充分不必要8．已知p ：x 2－4x －5≤0，q ：|x －3|<a (a >0)．若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．解析：设A ＝{x |x 2－4x －5≤0}＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x ||x －3|<a }＝{x |－a ＋3<x <a ＋3}．因为p 是q 的充分不必要条件，所以A B ，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋3<－1a ＋3>5，解得a >4，即实数a 的取值范围为(4，＋∞)．答案：(4，＋∞)9．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的实数根中有且只有一个负实数根的充要条件． 解析：若方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一个负实数根，则 a ＝0时，x ＝－12，符合题意．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根，则Δ＝4－4≥0，解得a ≤1， 当a ＝1时，方程有且仅有一个负实数根x ＝－1，当a <1且a ≠0时，若方程有且仅有一个负实数根，则1a<0，即a <0.综上，“方程ax 2＋2x ＋1＝0有且仅有一个负实数根”的充要条件为“a ≤0或a ＝1”． 10．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件． (1)已知a 、b 是不等于0的实数，p ：ab >1，q ：a >b ；(2)p ：m <－2，q ：方程x 2－x －m ＝0无实根；(3)已知p ：－2<m <0,0<n <1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根． 解析：(1)由条件“ab >1”可得a －b b >0，若b >0，则a >b ；若b <0，则有a <b ， ∴“ab>1”⇒/ “a >b ”，条件不充分．反过来，a >b ⇔a －b >0，也不能推出a －b b >0⇔ab >1，条件也不必要．∴p 是q 的既不充分也不必要条件，q 也是p 的既不充分也不必要条件． (2)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根； 方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2.∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．(3)若x 2＋mx ＋n ＝0有两根x 1，x 2，则由根与系数的关系，有x 1＋x 2＝－m ，x 1·x 2＝n ， 又0<x 1，x 2<1，∴0<x 1＋x 2<2,0<x 1x 2<1. ∴－2<m <0,0<n <1，∴q ⇒p .当m ＝－1，n ＝12时，方程x 2＋mx ＋n ＝0，即x 2－x ＋12＝0，此方程无实根，故p ⇒/ q .∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．[B 组 能力提升]1．已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (4－x )＝f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么“f (0)<0”是“函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：依题意，得f (4－x )＝f (x )＝f (－x )，即函数f (x )是以4为周期的函数．因此，当f (0)<0时，不一定能得出函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点，如当f (2)<0时，结合该函数的性质及图像，分析可知此时函数f (x )在区间[0,6]上不存在零点；当函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点时，结合该函数的性质及图像，分析可知此时f (0)<0.综上，“f (0)<0”是“函数f (x )在区间[0,6]上有3个零点”的必要不充分条件．答案：C2．设0<x <π2，则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的________条件．解析：因为0<x <π2，所以0<sin x <1.由x ·sin x <1知x sin 2x <sin x <1，因此必要性成立．由x sin 2x <1得x sin x <1sin x ，而1sin x >1，因此充分性不成立．答案：必要不充分 3．给出下列命题：①命题“若b 2－4ac <0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)无实根”的否命题； ②命题“在△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若a >b >0，则3a >3b >0”的逆否命题；④“若m >1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ”的逆命题． 其中真命题的序号为________．解析：①否命题：若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ，真命题；③因为命题“若a >b >0，则3a >3b >0”是真命题，故其逆否命题为真；④逆命题：若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1，假命题，因为⎩⎪⎨⎪⎧m >0，[－2(m ＋1)]2－4m (m －3)<0，得m ∈∅. 所以应填①②③. 答案：①②③4．已知条件p ：A ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}，条件q ：B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，当a 为何值时，(1)p 是q 的充分不必要条件； (2)p 是q 的必要不充分条件； (3)p 是q 的充要条件．解析：由p ：A ＝{x |(x －1)(x －a )≤0}，由q ：B ＝[1,2]． (1)∵p 是q 的充分不必要条件， ∴A ⊆B 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]⇒1≤a <2. (2)∵p 是q 的必要不充分条件，∴B ⊆A 且A ≠B ，故A ＝[1，a ]且a >2⇒a >2. (3)∵p 是q 的充要条件，∴A ＝B ⇒a ＝2.5．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －2x －3a －1<0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x －a 2－2x －a <0.记p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解析：B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．∵q 是p 的必要条件，∴A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤23a ＋1≤a 2＋2，得13<a ≤3－52. ②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意．③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1a 2＋2≥2，得－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

§2 充分条件与必要条件课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.了解充分而不必要条件，必要而不充分条件，既不充分也不必要条件的含义.3.正确推断充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.4.通过学习，理解对条件的判定可以归结为推断命题的真假．1．充分条件 “若p ，则q ”形式的命题为真命题是指：由条件p 可以得到结论q .通常记作________，读作“p 推出q ”．此时我们称________________________． 2．必要条件假如“若p ，则q ”形式的命题为真命题，即________，称p 是q 的____________，同时，我们称q 是p 的____________．3．充要条件：由于p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件；由于q ⇒p ，所以p 是q 的必要条件，在这种状况下，我们称p 是q 的充分必要条件，简称充要条件． 4．推出与充分条件、必要条件若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的________________________； 若p ⇒q ，但q ⇒p ，则称p 是q 的_________________________； 若p ⇒q ，且q ⇒p ，则称p 是q 的________________________．一、选择题1．“A ＝B ”是“sin A ＝sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件，又是必要条件D ．既不充分又不必要条件2．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，那么“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若f (x )是R 上的减函数，且f (0)＝3，f (3)＝－1，设P ＝{x ||f (x ＋t )－1|<2}，Q ＝{x |f (x )<－1}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( ) A ．{t |t ≤0} B ．{t |t ≥0} C ．{t |t ≥－3} D ．{t |t ≤－3}题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．“lg x >lg y ”是“x >y ”的____________条件．7．p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件，那么p 是r 的____________条件．8．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．三、解答题9．求证：关于x 的方程x 2＋2ax ＋b ＝0有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件是a ≥2且|b |≤4.10.已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．力量提升11．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l =max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．。

2.3 充要条件课时目标1．结合实例，理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条件求一些字母的范围，进一步理解数学概念．1．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作__________．这时p 是q 的____________条件，简称________条件，实际上p 与q 互为________条件．如果p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的____________________条件．2．我们常用“当且仅当”表达充要条件．命题p 和命题q 互为充要条件，称它们是两个相互等价的命题．一、选择题1．“x >0”是“x ≠0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．“m <14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的( ) A ．充分非必要条件 B ．充分必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件4．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件二、填空题7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a >b ________ac 2>bc 2；(2)a 2c ≠0________c ≠0.8．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．9．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．(填序号)三、解答题10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件：(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.能力提升12．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．13．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件1．判断条件p 和结论q 之间的关系，可以先尝试确定p 、q 间的推出关系．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．2．3 充要条件知识梳理1．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]2．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]3．A [若一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解，则Δ＝1－4m ≥0，因此m ≤14. 故m <14是方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解的充分非必要条件．] 4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1)⇒ (2)⇒8．(2，＋∞)解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2. 9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．12．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－1,5]．13．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a.又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c ， 即a b ＝a c 或b c ＝a c ，得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]。

充要条件同步练习1．在下列括号中填写“充分而不必要条件”“必要而不充分条件”“充要条件”三者中的一种．(1)“a=0”是“ab=0”的( )(2)“|x|＜3”是“|x|＜5”的( )(3)“a3－b3是偶数”是“a－b是偶数”的( )(4)“x＋y=7”是“x2－y2－6x＋8y=7”的( )(5)“x＋y=4”是“2x2－xy－3y2－7x＋13y－4=0”的( )．(1)a＋b＞0________a＞0且b＞0．(2)c2a＞c2b________a＞b．(3)A∪B≠φ________A∩B≠φ．(5)A∩B=φ________A=φ或B=φ．3．用“充分”“必要”填空．(1)“某数能被9整除”是“某数能被3整除”的________条件．(2)“两三角形对应三边相等”是“两三角形对应角相等”的________条件．(4)“(1－|x|)(1＋x)＞0”是“|x|＜1”的________条件．4．用“充分”“必要”填空．(1)“0＜x＜5”是“|x－2|＜3”的________条件．(2)“四边形的对角线相等”是“这个平行四边形为正方形”的________条件．(3)“xy＞0”是|x＋y|=|x|＋|y|”的________条件．(4)“个位数是5的整数”是“这个数能被5整除”的________条件．5．证明：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0对于一切实数都成立的必要条件是0＜a＜4．答案:1．(1)充分而不必要条件(2)充分而不必要条件(3)充要条件(4)充分而不必要条件(5)充分而不必要条件3．(1)充分 (2)充分 (3)必要 (4)必要4．(1)充分 (2)必要 (3)充分 (4)充分∴不等式ax2－ax＋1＞0对一切实数都成立的必要条件是0＜a ＜4．。

2.3充要条件[学习目标] 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点一充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作_p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q 也是p的充要条件.概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件.思考(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案(1)正确.若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点二常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：知识点三从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.题型一充要条件的判断例1(1)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C解析分别判断x＞y⇒x＞|y|与x＞|y|⇒x＞y是否成立，从而得到答案.当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件.(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B；②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；③p：|x|>3，q：x2>9.解①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B，所以p是q的充要条件.②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件.③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.反思与感悟判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p⇒q及q⇒p这两个命题是否成立.若p⇒q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q⇒p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p⇒q及q⇒p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合⇒大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.跟踪训练1 (1)已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析 若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A. (2)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是________. 答案 a <－1解析 函数没有零点，即方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根，即函数没有零点. 故“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是a <－1. 题型二 充要条件的证明例2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2. 证明 ①必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，(x 1＋x 2)－2>0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0.即⎩⎪⎨⎪⎧k ≤14，－(2k －1)－2>0，k 2＋(2k －1)＋1>0，解得k <－2.②充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0. 设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2. 则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)>0. 又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2 ＝－(2k －1)－2＝－2k －1>0， ∴x 1－1>0，x 2－1>0. ∴x 1>1，x 2>1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k <－2.反思与感悟一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.跟踪训练2求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.证明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.充分必要条件的应用例3使得x2＋2x≤0成立的充分不必要条件可以是()A.－1≤x≤1B.－3<x≤0C.－1<x<0D.－1<x<1错解 B错因分析没有分清命题的条件和结论.若p的充分不必要条件是q，应有q⇒p且pD⇒/q.正解 C1.设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析2.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 a ＝3时，A ＝{1,3}，A ⊆B ；当A ⊆B 时，a ＝2或3.3.已知α：“a ＝±2”；β：“直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝2相切”，则α是β的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 答案 C解析 a ＝±2时，直线x －y ＝0与圆x 2＋(y ±2)2＝2相切；当直线x －y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝2相切时，得|a |2＝2，∴a ＝±2.∴α是β的充要条件. 4.已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和直线l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a ＝________. 答案 －1解析 由1×3－a ×(a －2)＝0得a ＝3或－1， 而a ＝3时，两条直线重合，所以a ＝－1.5.命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y ，则p 是q 的________条件.答案 充要解析 当x >0，y <0时，x >y 且1x >1y 成立，当x >y 且1x >1y时，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，x －yxy <0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y <0. 所以p 是q 的充要条件.1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p 是q 的充要条件，则由p ⇒q 证的是充分性，由q ⇒p 证的是必要性； ②p 的充要条件是q ，则由p ⇒q 证的是必要性，由q ⇒p 证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.。

1.2.1 充分条件与必要条件一、选择题1．若¬p 是¬q 的必要条件，则q 是p 的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．非充分条件D ．非必要条件解析：¬p 是¬q 的必要条件，即¬q ⇒¬p 为真命题，故¬q ⇒¬p 的逆否命题p ⇒q 也为真命题．∴q 是p 的必要条件．答案：B2．对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )A. “ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B. “ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C. “ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D. “ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析：当a ＝b 时，ac ＝bc ，而当ac ＝bc 时，若c ＝0，则a 和b 不一定相等． 答案：B3．已知条件p ：y ＝lg(x 2＋2x －3)的定义域，条件q ：5x －6>x 2，则¬p 是¬q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：¬p ：x 2＋2x －3≤0，则－3≤x ≤1；¬q ：5x －6≤x 2，即x 2－5x ＋6≥0，∴x ≥3或x ≤2.由小集合⇒大集合，∴¬p ⇒¬q ，但¬q ¬p .故选A.答案：A 4．一次函数y ＝－m n x ＋1n的图像同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是( ) A. m >0，n >0B. mn <0C. m <0，n <0D. mn >0解析：一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图像同时经过第一、二、四象限，即⎩⎪⎨⎪⎧ －m n <0，1n >0，得m >0，n >0.由题意可得，m >0，n >0可以推出选项条件，而反之不成立，所以选D.答案：D二、填空题5．用“充分条件”和“必要条件”填空．(1)“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的__________．(2)“△ABC ≌△A ′B ′C ′”是“△ABC ∽△A ′B ′C ′”的__________．解析：(1)xy ＝1lg x ＋lg y ＝0(如x ＝y ＝－1)，lg x ＋lg y ＝0⇒lg(xy )＝0⇒xy ＝1.(2)△ABC ≌△A ′B ′C ′⇒△ABC ∽△A ′B ′C ′，△ABC ∽△A ′B ′C ′△ABC ≌△A ′B ′C ′.答案：(1)必要条件 (2)充分条件6．已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β， p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β，则p 是q 的________条件．解析：面面平行时定有分别位于两个面内的直线无公共点，但是两个面内的直线无公共点时，这两个面的关系可能是平行的，也可能是相交，故p 是q 的必要不充分条件．答案：必要不充分7．已知p ：x 2＋x －2>0，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是__________．解析：将p ，q 分别视为集合A ＝{x |x 2＋x －2>0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |x >a }，已知q 是p 的充分不必要条件，即B A ，在数轴上表示出两个集合(图略)，可知满足题意的a 的取值范围为a ≥1.答案：a ≥1三、解答题8．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件：(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．解：(1)∵|x |＝|y |x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．9．[2014·河南省郑州一中月考]已知p ：关于x 的不等式3－m 2<x <3＋m 2，q ：x (x －3)<0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：记A ＝{x |3－m 2<x <3＋m2}，B ＝{x |x (x －3)<0}＝{x |0<x <3}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B .注意到B ＝{x |0<x <3}≠∅，分两种情况讨论：(1)若A ＝∅，即3－m 2≥3＋m2，求得m ≤0，此时A B ，符合题意；(2)若A ≠∅，即3－m 2<3＋m2，求得m >0，要使A B ，应有⎩⎪⎨⎪⎧ 3－m2>0，3＋m2<3，m >0，解得0<m <3.综上可得，实数m 的取值范围是(－∞，3)．。