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第十二章 简单回归分析

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第12章-多重线性回归分析

第12章-多重线性回归分析
8
6 因变量总变异的分解
P
(X,Y)

Y
（Y Y） （Y Y）

（Y Y）
Y X

Y
Y
9
Y的总变异分解
Y Y Yˆ Y Y Yˆ
Y Y 2 Yˆ Y 2 Y Yˆ 2
总变异 SS总
回归平方和 剩余平方和
SS回
SS剩
10
Y的总变异分解
病程 (X2)
10.0 3.0 15.0 3.0 4.0 6.0 2.9 9.0 5.0 2.0 8.0 20.0
表 12-1 脂联素水平与相关因素的测量数据
空腹
回归模空型腹 ？
瘦素
脂联 BMI 病程 瘦素
脂联
(X3)

血糖 (X4)
素(Y)
(X1)
(X2)
(X3)
血糖 素(Y) (X4)
5.75 13.6 29.36 21.11 9.0 4.90 6.0 17.28
H 0： 1 2 3 4 0 ，即总体中各偏回归系数均为0； H 1：总体中各偏回归系数不为0或不全为0；
= 0.05。
2 计算检验统计量： 3 确定P值，作出推断结论。
拒绝H0，说明从整体上而言，用这四个自变量构成 的回归方程解释糖尿病患者体内脂联素的变化是有统 计学意义的。
的平方和 (Y Yˆ)2为最小。
只有一个自变量
两个自变量
例12-1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因 素，某医师测定30例患者的BMI、病程、瘦素、空腹血糖， 数据如表12-1所示。
BMI (X1)
24.22 24.22 19.03 23.39 19.49 24.38 19.03 21.11 23.32 24.34 23.82 22.86

社会统计学第十二章 相关和回归分析

社会统计学第十二章 相关和回归分析

自己志愿
快乐家庭 理想工作 增广见闻
总数
知心朋友志愿
快乐家 理想工 增广见
庭
作
闻
28
9
3
2
41
7
2
4
4
32
54
14
总数
40 50 10 100
两个边际分布：
r
F Xi fi1fi2 fij fir fij j1 c
F Yj f1jf2j fi j fcj fi j i 1
cr
F X 1F X 2 F X i F X c fijn i 1j 1
rc
F Y 1F Y 2 F Y j F Y r fi jn j 1i 1
条件频数表中各频数因基数不同不 便作直接比较，因此有必要将频数化成 相对频数，使基数标准化。这样，我们 就从频数分布的列联表得到了相对频数 分布的列联表(或称频率分布的列联表)。 下表是r×c相对频数分布列联表的一般 形式。
第十二章 相关与回归分析
第一节 相关关系及种类 第二节 定类变量的相关分析 第三节 定序变量的相关分析 第四节 定距变量的相关分析 第五节 回归分析
社会上，许多现象之间也都有相互联系，例如： 身高与体重、教育程度和收入、学业成就和家庭环境、 智商与父母智力等。在这些有关系的现象中，它们之 间联系的程度和性质也各不相同。
本书第十章提出了两总体的检验及估计的问题，这 意味着我们开始与双变量统计方法打交道了。双变量 统计与单变量统计最大的不同之处是，客观事物间的 关联性开始披露出来。这一章我们将把相关关系的讨 论深入下去，不仅要对相关关系的存在给出判断，更 要对相关关系的强度给出测量，同时要披露两变量间 的因果联系，其内容分为相关分析和回归分析这两个 大的方面。

第12章简单回归分析2

第12章简单回归分析2
Y ˆ2.99+40.9 39X 73
假设检验
例： 用上例资料检验脐带血TSH水平对母血TSH水 平的直线关系是否成立?
Ho:β＝0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间 无线性关系
H1:β≠0 即母血TSH水平与脐带血TSH水平之间有 线性关系
α ＝0.05
方差分析表
已知 υ1＝1， υ2＝8，查F界值表，得P<0.05，按 α＝0.05水准拒绝Ho，接受H1，故可以认为脐带血 TSH水平与母血TSH水平之间有线性关系
残差(residual)或剩余值，即实测值Y与假定回
归线上的估计值 Y ˆ 的纵向距离 Y Yˆ。
求解a、b实际上就是“合理地”找到一条能最好
地代表数据点分布趋势的直线。
原则：最小二乘法(least sum of squares)，即可 保证各实测点至直线的纵向距离的平方和最小。
最小二乘法
两部分构成，即：
(yy)(y ˆy)+(yy ˆ)
上式两端平方，然后对所有的n点求和，则有
(yy)2 [(y ˆy)+(yy ˆ)2 ]
离差平方和的分解
（三个平方和的关系）
1. 从图上看有
y y y y ˆ+ y ˆ y
2. 两端平方后求和有
n
求X，Y，l XX，lYY，l XY X 15.79 8 2.00，Y 249.01 8 31.13
lXX 47.0315.972 8 15.15 lYY 8468.78 249.012 8 718.03
lXY 594.4815.97249.01 8 97.39
另一次抽样研究 50岁年龄组舒张压得总体均数估

第十二章 分层回归分析--Hierarchy Regression

第十二章 分层回归分析--Hierarchy Regression

分层回归其实是对两个或多个回归模型进行比较。

我们可以根据两个模型所解释的变异量的差异来比较所建立的两个模型。

一个模型解释了越多的变异，则它对数据的拟合就越好。

假如在其他条件相等的情况下，一个模型比另一个模型解释了更多的变异，则这个模型是一个更好的模型。

两个模型所解释的变异量之间的差异可以用统计显著性来估计和检验。

模型比较可以用来评估个体预测变量。

检验一个预测变量是否显著的方法是比较两个模型，其中第一个模型不包括这个预测变量，而第二个模型包括该变量。

假如该预测变量解释了显著的额外变异，那第二个模型就显著地解释了比第一个模型更多的变异。

这种观点简单而有力。

但是，要理解这种分析，你必须理解该预测变量所解释的独特变异和总体变异之间的差异。

一个预测变量所解释的总体变异是该预测变量和结果变量之间相关的平方。

它包括该预测变量和结果变量之间的所有关系。

预测变量的独特变异是指在控制了其他变量以后，预测变量对结果变量的影响。

这样，预测变量的独特变异依赖于其他预测变量。

在标准多重回归分析中，可以对独特变异进行检验，每个预测变量的回归系数大小依赖于模型中的其他预测变量。

在标准多重回归分析中，回归系数用来检验每个预测变量所解释的独特变异。

这个独特变异就是偏相关的平方（Squared semi-partial correlation）-sr2（偏确定系数）。

它表示了结果变量中由特定预测变量所单独解释的变异。

正如我们看到的，它依赖于模型中的其他变量。

假如预测变量之间存在重叠，那么它们共有的变异就会削弱独特变异。

预测变量的独特效应指的是去除重叠效应后该预测变量与结果变量的相关。

这样，某个预测变量的特定效应就依赖于模型中的其他预测变量。

标准多重回归的局限性在于不能将重叠（共同）变异归因于模型中的任何一个预测变量。

这就意味着模型中所有预测变量的偏决定系数之和要小于整个模型的决定系数（R2）。

总决定系数包括偏决定系数之和与共同变异。

简单回归分析(2)

简单回归分析(2)

16.153114.881 11.4 54 771
t6.142219.2584 14 212
4.881
查t界值表，t 0.001(12) =4.318，所以p<0.001，拒 绝H0，可以认为体重与基础代谢之间存在线 性回归关系
h
18
3、总体回归系数的可信区间
利用上述对回归系数的t检验，可以得到β的1α双侧可信区间为
b (x (xx )(xy) 2 y)
703.023329 114.54771
61.4229
aYbX632.93 6 2.1 42 2797.27
14
14
11.0 76 864
得到的回归方程为：
Y ˆ11.7086 6.4 4 12X 29
h
10
四、线性回归方程的假设检验
需要检验总体回归方程是否成立！
3500
线性回归直线
3000
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
体重
图 14名中年健康妇女的基础代谢与体重的散点图
h
4
线性回归分析：用一条直线（即直线方程）来描 述两个变量间依存变化的数量关系，得出的直 线方程称为线性回归方程。
线性回归方程的一般表达式：
Yˆ abX
a：截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标 b：斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)
h
6
7
8
根据求极值方法可得到a、b的值
b (X ( X X )X Y ) ( 2 Y ) X X 2 Y X X 2 Y /n /n l lX XX Y

第十二章 简单回归分析

第十二章 简单回归分析

第十二章简单回归分析习题一、是非题1．直线回归反映两变量间的依存关系，而直线相关反映两变量间的相互线性伴随变化关系.2．对同一组资料，如相关分析算出的r越大，则回归分析算出的b值也越大. 3．对同一组资料，对r与b分别作假设检验，可得t r=t b4．利用直线回归估计X值所对应的Y值的均数置信区间时，增大残差标准差可以减小区间长度.5．如果直线相关系数r=0，则直线回归的SS残差必等于0.二、选择题1. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点距直线的( )．A．纵向距离之和最小 B. 纵向距离的平方和最小C. 垂直距离之和最小D．垂直距离的平方和最小E．纵向距离的平方和最大2．Y＝14十4X是1~7岁儿童以年龄(岁)估计体质量(市斤)的回归方程，若体质量换成位kg，则此方程( )A 截距改变B 回归系数改变C 两者都改变D 两者都不改变E．相关系数改变4．直线回归系数假设检验，其自由度为( )A．n B. n-1C．n-2 D. 2n-1E．2(n-1)5．当r＝0时，Y＝a+b X回归方程中( )A a必大于零B a必大于XC a必等于零D a必大于YE a必等于b6．在多元线性回归分析中，反应变量总离均差平方和可以分解为两部分，残差是指( )．A．观察值与估计值之差B．观察值与平均值之差C．估计值与平均值的平方和之差D．观察值与平均值之差的平方和E．观察值与估计值之差的平方和三、筒答题1．用什么方法考察回归直线是否正确?2．简述回归系数方差分析Y的平方和与自由度的分解.3. 举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？4. 直线回归分析时怎样确定自变量和因变量？5. 简述曲线回归常用的几种曲线形式.。

第十二章 简单的回归分析卫生统计学考研PPT课件


到这条直线的上纵向距离的平方和为最小，
则称这一对a和b为与的最小二乘估计
（least estimation,LES)。
8
二）回归参数的估计方法 Yˆ abX
a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X每改变 一个单位，Y的变化的值，称为回归系数；表 示 系数在，X值根处据Y数Y的ˆ 学总上体的均最数小估二计乘值法。原为理求，a和可b导两 出a和b的算式如下：
在通常情况下，研究者只能获取一定数 量的样本数据，用该样本数据建立的有关Y 与X变化的线性方程称为回归方程
（regression equYˆatioan)即b：X
3
在描述两变量的关系时，一般把两个变量中能 精确容易测量的作自变量，不易测量作为因变量。 即用易测量的数据X估计不易测量的另一数据。如 年龄估算小儿体重等。在描述凝血时间与凝血浓度 的依存关系中，将凝血酶浓度作为自变量（ X ）， 凝血时间作为应变量（Y）。由图12－1可见，凝 血时间随凝血酶浓度增大而减少且呈直线趋势，但 并非15点恰好全部都在一直线上。两变量数量间虽 然存在一定关系，但不是十分确定的。这与两变量 间严格对应的函数关系不同，称为直线回归 （Linear regression)。直线回归是回归分析中 最基本、最简单的一种，故又称简单simple regression)。
4
凝 20 血 时 19 间 （ 18 秒 ） 17
16
15
14
13
12
.5
.6
.7
.8
.9
1.0 1.1
1.2 1.3
凝血酶浓度（毫升）
图 12－1 凝血浓度与凝血时间的散点分布 5
二、回归模型的前提假设 线性回归模型的前提条件是：线性 （linear)、独立(independent)，正态 (normal)，等方差(equal variance) 1、线性是指反应变量Y的总体平均值与自 变量X呈线性关系。 2、独立是指任意两观察值互相独立。 3、正态性假定是指线性模型的误差项i服 从正态分布。 4、等方差是指在自变量X取值范围内，不 论X取什么值，Y都具有相同的方差。

[医学]卫生统计学 第六版第12章简单回归分析

体重（kg）
14名中年健康妇女基础代谢与体重测量值的关系
基础代谢（ Kj/d）
min (Yi Yi )2
6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000
35 40 45 50 55 60 65 70 75 体重（kg）
14名中年健康妇女的基础代谢与体重测量值的关系
2. 回归参数估计的最小二乘(LSE)原则：
5
47.8
3987.4
2284.84 15899358.76 190597.72
6
62.8
4970.6
3943.84 24706864.36 312153.68
7
67.3
5359.7
4529.29 28726384.09 360707.81
8
48.6
3970.6
2361.96 15765664.36 192971.16
9
44.6
3983.2
10
58.6
5050.1
11
71.0
5355.5
12
59.7
4560.6
13
62.1
4874.4
14
61.5
5029.2
合计
777.2
63232.9
基础代谢 (（Kj/d）
(1) 由样本数据绘制散点图：
6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000
35 40 45 50 55 60 65 70 75
60岁的健3康妇女，测得37.1每人的基础代谢34(6k0j.2/d)与体重的
4
51.7
4020.8
Байду номын сангаас
数据，见5表11-1。据此47数.8 据如何判断这3两987项.4 指标间有无

第12章 回归分析 ppt课件


回归分析中的显著性检验包括两方面的内容：
一是对单个自变量回归系数的显著性检验（ t检 验）；
二是对整个回归方程（所有自变量回归系数） 显著性的整体检验（ F检验）
在一元线性回归模型中，由于只有一个解释 变量X，因此，对β1＝0的t检验与对整个方 程的F检验是等价的。
PPT课件
51
一、单个回归系数显著性的t检验
量非线性相关关系的强弱和多变量时的相
关。因此，测定系数的应用范围比相关系
数更广泛。
PPT课件
46
第四节 模型假定
在进行回归分析时，为了建立适当 的模型来说明因变量和自变量之间的关 系，需要做出一些假定。
简单线性回归的假定模型是：
y 0 1x
PPT课件
47
要确定假定模型是否恰当，就需要进 行显著性检验。
b1
xi yi x y
x2

2
nx
b1

n
n
xi yi x2
xi yi x2
12.7a 12.7b
b0 y b1 x （12.8）
PPT课件
23
PPT课件
24
b1
n
xi yi n x2
xi yi x2
PPT课件
30
离差分解图
y
(xi , yi )
{ } y yˆ
yy
}yˆ y
yˆ ˆ0 ˆ1x
y
离差分解图
PPT课件
x
31
离差平方和的分解
y y ( yˆ y) ( y yˆ) （12.9）
两端平方后求和有
yi y2 yˆi y2 yi yˆ 2 （12.10）

简单回归分析和相关分析

各組殘差項為一常態分配，或各組之依變數為一常態分配。 Cov( i , j ) 0 i j i, j 1,, n
i 與 j 的共變數為0，即任何兩組殘差項 i 與 j 間無關。 Cov( i , X ) 0 或 E( i X ) 0
即任何一組殘差項 i 與 X 無關。 X 為一固定變數或事前決定之變數，Y 為一隨機變數。
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X 44
表7 判定係數的計算
Xi 300 400 500 500 800 1,000 1,000 1,300 總和
Yi 9,500 10,300 11,000 12,000 12,400 13,400 14,500 15,300
(Yi Y )2 7,840,000 4,000,000 1,690,000
〗
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箇 代 y
34
圖23 時間序列相關
y y
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〗
丁t 35
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1.由原始数据及散点图的初步分析，本例 呈直线趋势，故作下列计算。
2.求
3.求回归系数b和截距a。 4. 列出回归方程
三）、直线回归方程的图示
为了进行直观分析或实际需要，可按 回归方程在坐标纸上作图。在自变量X的 实测全距范围内任取相距较远且易读的两 X值，代入回归方程，如上例取
在图上确定（37.1，3385.47）和（67.3， 5240.36)两点，用直线连接，即得直线方 程的图形。
5300
4800
4300
3800
3300
2800
30
40
50
60
70
80
体 重 (kg)
二)、个体Y值的容许区间 总体中，X为某定值时，个体Y值的波动范围，其 标准差SY（请勿与样本标准差相混）它为：
例12－5 用例12－1所求回归方程，试计算当 X0=50.7时，个体Y值的95%容许区间。
即估计总体中体重50.7KG者，有95%的人，基础代 谢率在3844.83～4596.737范围内。
身高（CM） 身高（cm）
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
0
2
4
6
8
10
时间（月）
70
68
66
64
62
60
58
56
54
52
-.5
0.0
.5
1.0
1.5
2.0
2.5
对 数 时 间 （ 月 ） lnx
分别拟合三种不同的回归模型的结果综合于 表12-4中。
表12-4 拟合不同回归模型的结果
模型名称
5800
基础代谢率(KJ/d)
5300
4800
4300
3800
3300
2800
30
40
50
60
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80
体 重 (kg)
图 12－1 14名健康妇女的基础代谢率与体重的散点分 布
表12－1 不同IgG浓度下的沉淀环直径测量值
IgG(IU/ml)浓度X 沉淀环直径(mm)Y
1
2
3
4
5
4.0
5.5
6.2
第七节 小结
1、回归分析是从预测的角度，通过样本数据 在最小二乘原则下建立线性回归方程，以便用 自变量(X)的数值估计反应变量(Y)的数值及变 异； 2、最小二乘原则是指观测样本的实测反应变 量值与方程估计值之差之和最小的回归参数估 计； 3、总体回归线的95%置信带与个体值Y预测带 均由对称于回归线的弧形曲线构成，而且后者 比前者更远离回归线；
四）决定系数
第二节 线性回归的应用 一、统计预测
一） 、总体回归线的95%置信带 是总体中当 X为某一定值X0的条件下Y的均数。它的点估计 为 Yˆ0 a bX0 ，其标准误为
它的（1－）置信区间为 例12－1试计算当X0=50.7时， 的95%可信 区间。
5800
基础代谢率(KJ/d)
值到这条直线的上纵向距离的平方和为最
小，则称这一对a和b为与的最小二乘估
计（least estimation,LES)。
二）回归参数的估计方法
a为Y轴上的截距；b为斜率，表示X每改 变一个单位，Y的变化的值，称为回归系数； 表示在X值处Y的总体均数估计值。为求a和b 两系数，根据数学上的最小二乘法原理，可 导出a和b的算式如下：
三、回归参数的估计
一）回归参数估计的最小二乘原则
参数与一般只能通过样本数据来估计。
当X取值为Xi时，Y的平均值的估计应为 yˆi
a+bXi,而实际观察值为Yi。两者之差称为
残差（residual)，即
ei Yi a bXi
当a与b取不同值时获取不同的候选直
线，如能求a与b的适宜值，能使所有实测
回归方程
F值 P值 R2值
简单线性
Yˆ 54.22 1.8 x
103.44 <0.0001 0.937
对数函数
Yˆ 53.20
7.04ln x
632.18 <0.0001 0.989
二次函数
Yˆ 50.6905 3.7246x .1926x2
357.85 <0.0001 0.992
5800
基础代谢率(KJ/d)
5300
4800
4300
3800
3300
2800
30
40
50
60
70
80
体 重 (kg)
图12－6 基础代谢率依体重回归线的95%置信带与Y个体值95%预 测带
第三节 残差分析
残差分析（rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱsidual analysis）旨在 通过残差深入了解数据与模型之间的关系， 评价资料是否符合回归模型假设，识别异 常点等。
一、通过自变量的变换实现线性化 实践中有两类非线性关系，一类是通过自变
量X的适当变换可线性化，另一类是不可能通过自 变量X的变换实现线性化的。
例如，假定观察样本(Xi,Yi)，i=1,2，…,n满 足
例如，假定观察样本(Xi,Yi)，i=1,2，…,n满足
但是诸如：
Yi

e1Xi 0
i ,Yi
4、最常用的残差定义为实测值与预测值之差， 通过绘制残差图可以简单而又直观地评价回归 分析的前提条件线性是否满足； 5、观察散点图是判断线性关系或非线性关系 及其类型的既简单又直观的方法； 6、对于非线性情形，仅对自变量X进行变换可 以线性化时才能采用线性回归的办法；当需作 Y变换才能线性化 ，建议用统计软件包直接作 非线性回归。
5800
基础代谢率(KJ/d)
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3800
3300
2800
30
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50
60
70
80
体 重 (kg)
图 12－1 14名健康妇女的基础代谢率与体重的散点分 布
四、回归系数的统计推断
前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y是 否 有直线关系，是回归分析要考虑的首要问 题。我们知道即使X、Y的总体回归系数 为
7.7
8.5
在实际应用中，线性回归的自变量和应 变量的要求？
9
沉淀环直径(mm)Y
8
7
6
5
4
3 0
图 12－2
1
2
3
4
5
6
IgG(IU/ml)浓 度 X
IgG浓度与沉淀环直径的散点分布
二、回归模型的前提假设 线性回归模型的前提条件是：线性 （linear)、独立(independent)，正态 (normal)，等方差(equal variance) 1、线性是指反应变量Y的总体平均值与自 变量X呈线性关系。 2、独立是指任意两观察值互相独立。 3、正态性假定是指线性模型的误差项i服 从正态分布。 4、等方差是指在自变量X取值范围内，不 论X取什么值，Y都具有相同的方差。
零，由于抽样误差，其样本回归系数b也不一
定为零。因此需作
是否为零的假设检验，
用方差分析或t检验。
一）、方差分析
三、直线回归中的统计推断
一）回归方程的假设检验
1、方差分析
前面所求得的回归方程是否成立，即X、Y 是否 有直线关系，是回归分析要考虑的首要问 题。我们知道即使X、Y的总体回归系数为零， 由于抽样误差，其样本回归系数b也不一定为 零。因此需作 是否为零的假设检验，用方差 分析或t检验。在讲述假设检验之前,我们先对 就应变量Y的离均差平方和lYY作一分析。
回归变异 4318227.72 1 4318227.22 158.36 <0.01
剩余变异 327219.30 12 27268.27
二）总体回归系数的假设检验
例12－2 检验例12－1 求体重与基础代谢率的 直线关系是否成立?
1.假设
2.检验统计量
本章例12－1，
三）回归系数的区间估计
例12－3 试用例12－11所计算的样本回归系 数b=61.422,估计总体回归系数的 95%的可 信区间：Sb=4.881，

e0 1X i
i
, Yi

0
Xi
1X i
i,
等情形，都不能通过自变量的变换实现线 性化，只能通过应变量 Y的变换 实现线性化。
二、变换自变量实现线性回归的步骤
1.将观察样本(Xi,Yi)，i=1,2，…,n 作散 点图，观察散点分布特征类似于何种函 数类型；
2.按照所选定的函数进行相应的变量变换； 3.对变换后数据用常规最小二乘法(OLS)作
第一节 简单直线回归
一、直线回归的概念及其统计描述
反应变量（Y）与自变量（X）的简单线 性模型（simple linear regression model）可表达为：
Yi Xi i
在描述两变量的关系时，一般把两个变量中能精 确容易测量的作自变量，不易测量作为因变量。即用 易测量的数据X估计不易测量的另一数据。如年龄估 算小儿体重等。在描述体重与基础代谢率的依存关系 中，将体重作为自变量（ X ），基础代谢率作为应 变量（Y）。由图12－1可见，基础代谢率随体重增 大而增大且呈直线趋势，但并非15点恰好全部都在 一直线上。两变量数量间虽然存在一定关系，但不是 十分确定的。这与两变量间严格对应的函数关系不同， 称为直线回归（Linear regression)。直线回归是 回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单 simple regression)。
第十二章 简单回归分析
宁夏医学院公共卫生学院 流行病与卫生统计学教研室