简单回归分析计算例

回归平方和和残差平方和是统计学中常用的两个概念，它们在回归分析和方差分析中起着至关重要的作用。

在进行统计建模和分析时，我们经常需要计算回归平方和和残差平方和，以评估模型拟合的好坏程度以及分析变量间的关系。

一、回归平方和的计算公式回归平方和（SSR）是用来衡量回归模型的拟合程度的统计量。

它表示了因变量的变异中被自变量或自变量的线性组合解释的部分。

回归平方和的计算公式如下：SSR = Σ(ŷi - Ȳ)²其中，ŷi表示第i个观测值的预测值，Ȳ表示因变量的均值，Σ表示求和运算。

回归平方和衡量了因变量的变异中被回归模型解释的部分，它越大表示模型的拟合程度越好。

二、残差平方和的计算公式残差平方和（SSE）是用来衡量回归模型的拟合程度的另一个统计量。

它表示了因变量的变异中不能被自变量或自变量的线性组合解释的部分。

残差平方和的计算公式如下：SSE = Σ(yi - ŷi)²其中，yi表示实际观测值，ŷi表示对应观测值的预测值，Σ表示求和运算。

残差平方和衡量了因变量的变异中不能被回归模型解释的部分，它越小表示模型的拟合程度越好。

三、回归平方和和残差平方和的关系在回归分析中，回归平方和和残差平方和有着密切的关系。

回归平方和与残差平方和之和等于因变量的总变异，即：SSR + SSE = SST其中，SST表示因变量的总变异，是因变量观测值与均值之差的平方和。

这个公式可以用几何直观的方式理解，即总变异等于模型解释的部分加上模型不能解释的部分。

通过计算回归平方和和残差平方和，我们可以得到关于模型拟合程度的丰富信息。

四、回归平方和和残差平方和的应用回归平方和和残差平方和在统计分析中有着广泛的应用。

在回归分析中，我们经常使用这两个统计量来评价回归模型的拟合程度。

如果回归平方和较大，残差平方和较小，那么说明回归模型能够较好地解释因变量的变异，模型拟合较好；反之，则需要重新考虑模型的适用性。

在方差分析中，回归平方和和残差平方和也被用于计算F统计量，以检验因子对因变量的影响是否显著。

《实用回归分析》方开泰等，P58，例2.5例2.5 某病虫测报站为了能较准确地预报第三代棉铃虫的产卵期，以便能适时采取杀虫措施，保证棉花现根据这些数据建立预报方程。

首先画散点图（图2.9）。

从图看出y与x之间有线性关系。

年序6月份平均气温x（℃）7月份卵见期y（日）经计算得12023.9x平均=23.33，y平均=20.7821424.6Lxx=4.44，Lyy=171.56，Lxy=-23 31824.1由此得42722.7b=Lxy/Lxx=-23.433/4.44=-5.28 52622.3a=y平均-bx平均=20.78-(-5.28)* 61823.1回归方程为72422.9y=143.96-5.28x81623.5又计算得92422.9S回=123.726S残=47.834F=S回/S残(-)=18.107因为临界值F0.01(1,7)=12.25，所最后，求预测区间(α=5%）当x=x0时，y的预测区间为[y0-△这里y0=143.96-5.28x0验算y x2023.9n91424.6平均值23.3333320.777781824.1Lxx 4.442722.7Lxy-23.43332622.3Lyy171.55561823.1b-5.277782422.9a143.92591623.5回归方程y=143.93-5.28x2422.9r-0.84906S总171.5556S回123.6759S残47.87963F检验18.08142十分显著F0.05 5.591448F0.0112.24638σ 2.615329回归分析程序如下（双击后不是乱码）：' 回归分析C u r R o w = A c t i v e C e l l .R o w () ' 当前行号C u r C o l = A c t i v e C e l l .C o l u m n () ' 当前列号 c o l _x = C u r C o l - 2: c o l _y = C u r C o l - 3 ' 回归分析数据所在列 c o l _r e s = C u r C o l ' 分析结果所在列E l s e I f (F > F 001) T h e nF T e s t _R e s u l t = "十分显著" E n d I f ' 不同置信区间的预测范围 S i g m a _h a t 2 = S S E / (n - 2) S i g m a _h a t = S q r (S S E / (n - 2)) i m e t h o d = 2 ' 由于数据不多，使用n 不大情况下的算法 I f (i m e t h o d = 1) T h e n F o r i = 1 T o n ' 这种算法用于n 较大，x 0接近x _a v g 的情况 y _005(i , 1) = y _h a t (i ) - 2 * S i g m a _h a t y _005(i , 2) = y _h a t (i ) + 2 * S i g m a _h a t y _001(i , 1) = y _h a t (i ) - 3 * S i g m a _h a t y _001(i , 2) = y _h a t (i ) + 3 * S i g m a _h a t N e x t E l s e F o r i = 1 T o n ' 这是一种算法，用于n 不大的情况 S i g m a _h a t _y 02 = S i g m a _h a t 2 * (1 + 1 / n + (x (i ) - x _a v g ) ^ 2 / L x x ) D e l t a _005 = S q r (F 005 * S i g m a _h a t _y 02) D e l t a _001 = S q r (F 001 * S i g m a _h a t _y 02) y _005(i , 1) = y _h a t (i ) - D e l t a _005 ' 2 * S i g m a _h a t _y 0 y _005(i , 2) = y _h a t (i ) + D e l t a _005 ' 2 * S i g m a _h a t _y 0 y _001(i , 1) = y _h a t (i ) - D e l t a _001 ' 3 * S i g m a _h a t _y 0 y _001(i , 2) = y _h a t (i ) + D e l t a _001 ' 3 * S i g m a _h a t _y 0 N e x t E n d I f ' ---------------------输出到e x c e l 中 c o l _s t a t = C u r C o l i = 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "平均值": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = x _a v g : C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t + 1) = y _a v g : i = i + 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "L x x ": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = L x x : i = i + 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "L x y ": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = L x y : i = i + 1 C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t - 1) = "L y y ": C e l l s (C u r R o w + i , c o l _s t a t ) = L y y : i = i + 1措施，保证棉花丰收，他们统计了近9年的当地6月份平均气温和7月份卵见期数据如表2.7..33，y平均=20.78，Lyy=171.56，Lxy=-23.433x=-23.433/4.44=-5.28bx平均=20.78-(-5.28)*23.33=143.96残(-)=18.107值F0.01(1,7)=12.25，所以回归方程高度显著。

回归系数的标准误计算回归系数的标准误是用来衡量回归系数估计值的稳定性和精确度的重要指标。

在进行回归分析时，除了关注回归系数的估计值外，我们还需要考虑其估计的精确程度，即标准误。

本文将介绍回归系数的标准误的计算方法，希望能对您有所帮助。

回归系数的标准误计算公式为：SE(β) = √(σ² / ∑(xᵢx)²)。

其中，SE(β)表示回归系数的标准误，σ²表示误差方差，xᵢ表示自变量的取值，x表示自变量的均值。

在进行回归分析时，我们通常会使用统计软件进行计算，但了解标准误的计算方法仍然是非常重要的。

下面我们将通过一个简单的示例来说明回归系数的标准误的计算过程。

假设我们有以下线性回归模型：Y = β₀ + β₁X₁ + β₂X₂ + ε。

其中，Y表示因变量，X₁和X₂表示自变量，β₀、β₁、β₂分别为截距和回归系数，ε为误差。

首先，我们需要利用最小二乘法对回归系数进行估计。

然后，我们可以计算回归系数的标准误。

假设我们已经得到了回归系数的估计值为β̂₀、β̂₁、β̂₂，以及误差方差的估计值σ̂²。

接下来，我们可以利用上述公式来计算回归系数的标准误。

首先，我们需要计算自变量的均值x，然后计算每个观测值与均值的差值，并求平方和。

最后，将误差方差除以自变量的平方和，再开平方即可得到回归系数的标准误。

在实际应用中，我们通常会利用统计软件进行回归分析，软件会自动给出回归系数的标准误。

但了解标准误的计算方法仍然是非常有益的，可以帮助我们更好地理解回归分析的结果。

总结一下，回归系数的标准误是衡量回归系数估计值的稳定性和精确度的重要指标。

在进行回归分析时，除了关注回归系数的估计值外，我们还需要考虑其估计的精确程度，即标准误。

通过本文的介绍，希望能够帮助您更好地理解回归系数的标准误的计算方法。

七种常见的回归分析什么是回归分析？回归分析是⼀种预测性的建模技术，它研究的是因变量（⽬标）和⾃变量（预测器）之间的关系。

这种技术通常⽤于预测分析，时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。

例如，司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系，最好的研究⽅法就是回归。

回归分析是建模和分析数据的重要⼯具。

在这⾥，我们使⽤曲线/线来拟合这些数据点，在这种⽅式下，从曲线或线到数据点的距离差异最⼩。

我会在接下来的部分详细解释这⼀点。

我们为什么使⽤回归分析？如上所述，回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。

下⾯，让我们举⼀个简单的例⼦来理解它：⽐如说，在当前的经济条件下，你要估计⼀家公司的销售额增长情况。

现在，你有公司最新的数据，这些数据显⽰出销售额增长⼤约是经济增长的2.5倍。

那么使⽤回归分析，我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。

使⽤回归分析的好处良多。

具体如下：1.它表明⾃变量和因变量之间的显著关系；2.它表明多个⾃变量对⼀个因变量的影响强度。

回归分析也允许我们去⽐较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响，如价格变动与促销活动数量之间联系。

这些有利于帮助市场研究⼈员，数据分析⼈员以及数据科学家排除并估计出⼀组最佳的变量，⽤来构建预测模型。

我们有多少种回归技术？有各种各样的回归技术⽤于预测。

这些技术主要有三个度量（⾃变量的个数，因变量的类型以及回归线的形状）。

我们将在下⾯的部分详细讨论它们。

对于那些有创意的⼈，如果你觉得有必要使⽤上⾯这些参数的⼀个组合，你甚⾄可以创造出⼀个没有被使⽤过的回归模型。

但在你开始之前，先了解如下最常⽤的回归⽅法：1. Linear Regression线性回归它是最为⼈熟知的建模技术之⼀。

线性回归通常是⼈们在学习预测模型时⾸选的技术之⼀。

在这种技术中，因变量是连续的，⾃变量可以是连续的也可以是离散的，回归线的性质是线性的。

线性回归使⽤最佳的拟合直线（也就是回归线）在因变量（Y）和⼀个或多个⾃变量（X）之间建⽴⼀种关系。

如何计算回归方程
计算回归方程的方法主要是使用最小二乘法。

最小二乘法是一种常用的回归分析方法，用于拟合一条直线或曲线与一组数据点的最佳拟合。

以简单线性回归为例，回归方程可以表示为`y = mx + b`，其中`y` 是因变量（或称为响应变量），`x` 是自变量（或称为解释变量），`m` 是斜率，`b` 是截距。

以下是计算回归方程的步骤：
1. 收集数据：收集自变量`x` 和因变量`y` 的一组数据点。

2. 计算均值：计算自变量和因变量的均值，分别记为`x_mean` 和`y_mean`。

3. 计算差值：对每个数据点，计算自变量`x` 和因变量`y` 与均值的差值，分别记为`dx` 和`dy`。

4. 计算乘积：对每个数据点，计算`dx * dy` 的乘积，记为`dx_dy`。

5. 计算平方差值：对每个数据点，计算`dx` 的平方，记为
`dx_squared`。

6. 计算斜率：计算斜率`m`，公式为`m = sum(dx_dy) / sum(dx_squared)`，其中`sum()` 表示求和。

7. 计算截距：计算截距`b`，公式为`b = y_mean - m * x_mean`。

8. 得到回归方程：将斜率`m` 和截距`b` 代入回归方程`y = mx + b`，得到最终的回归方程。

需要注意的是，以上步骤适用于简单线性回归，即自变量和因变量之间的关系可以用一条直线来拟合。

对于多元线性回归或非线性回归，计算回归方程的方法会有所不同。

另外，可以使用统计软件或编程语言的回归函数来自动计算回归方程，例如在Python中，可以使用NumPy或SciPy库的回归函数来计算回归方程。

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明;(2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 参考数据：646.27,55.0)(,17.40,32.97127171≈=-==∑∑∑===i ii ii i iy y yt y参考公式：相关系数：.)()())((11221∑∑∑===----=ni ni iini i iy yt ty y t tr回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式：.ˆˆ,)())((ˆ121t b y at ty y t tbni ini i i-=---=∑∑==某互联网公司为了确定下一季的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如下表：月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他们分别用两种模型① y =bx +a ，② y =a e bx 分别进行拟合，得到相应回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值。

xy∑=61i ii yx∑=612i ix730 1464.24 364（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： （i ）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程； （ii ）若广告投入量x =18时，该模型收益的预报值时多少？附：对于一组数据（x 1 , y 1）,（x 2 , y 2）, … ,（x n , y n ）,其回归直线a x b yˆˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.ˆˆ,)())((ˆ1221121x b y a x n xyx n yx x xy y x xbni ini i i ni ini i i-=--=---=∑∑∑∑====某公司为确定下一年度投人某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位:千元）的影响. 对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i =1,2,..,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw∑=-812)(i ix x∑=-812)(i iw w∑=--81))((i i iy y x x∑=--81))((i iiy yw w46.6 563 6.8289.8 1.61469108.8其中：i i x w =，.8181∑==i iw w(1)根据散点图判断，bx a y +=与x d c y +=哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3) 已知这种产品的年利润z 与y x ,的关系为x y z -=2.0.根据(2)的结果回答下列问题： (i)年宣传费49=x 时，年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大?附：对于一组数据),(,,),(,),(2211n n v u v u v u ，其回归直线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为.ˆ,)())((ˆ121u v u uv v u uni ini i iβαβ-=---=∑∑==为了预测2018年双十一购物狂欢节成交额，建立了y 与时间变量t 的两个回归模型。

一元回归分析MATLAB计算一元线性回归分析是一种基本的统计方法，用于研究一个因变量和一个自变量之间的线性关系。

在MATLAB中，可以使用polyfit和polyval函数来进行一元线性回归分析。

下面是一个简单的示例，说明如何在MATLAB中进行一元线性回归分析：假设我们有一组数据，其中x是一个自变量，y是一个因变量。

我们想要找到一个线性模型来描述x和y之间的关系。

% 创建一组数据x = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];y = [2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13];% 使用polyfit函数进行一元线性回归分析p = polyfit(x, y, 1); % 这里1表示我们想要拟合一个一次多项式（即线性关系）% p(1)是斜率，p(2)是截距% 使用polyval函数计算拟合值yfit = polyval(p, x);% 绘制原始数据和拟合直线plot(x, y, 'o'); % 绘制原始数据hold on;plot(x, yfit, '-'); % 绘制拟合直线xlabel('x');ylabel('y');legend('原始数据', '拟合直线');在这个示例中，我们首先创建了一组数据，然后使用polyfit函数进行一元线性回归分析。

这个函数返回一个向量p，其中p(1)是斜率，p(2)是截距。

然后，我们使用polyval函数计算拟合值，并将其与原始数据进行绘图。

这个示例只是最基本的一元线性回归分析。

在实际应用中，可能需要处理更复杂的数据和模型。

例如，可能需要处理缺失数据、异常值、多元线性回归等问题。

但是，基本的步骤和概念仍然是相同的。

可以使用MATLAB提供的各种函数和工具来处理这些问题。

实验报告1日期姓名班级一简单线性回归分析题目：设公司的每周广告费支出和每周销售额数据如下图所示：要求：（1）广告费与消费额之间是否存在显著的相关关系？（2）计算回归模型参数。

（3）回归模型能解释销售额变动的比例有多大？（4）计算D-W的统计量。

（5）如下周的广告费支出为6700元，试预测下周的消费额（取置信区间a=0.05）步骤：一在excel里输入数据：每周广告费每周消费额4100 12.505400 13.806300 14.255400 14.254800 14.504600 13.006200 14.006100 15.006400 15.757100 16.50根据上表数据画出散点图由图可知，所有点几乎在同一条直线上，由插入趋势线后的散点图可知，每周销售额和每周广告费间的函数关系为：y=0.0011x+8.3039 ;本例中R 2值为0.719，表明销售额的变动中有71.9%可用广告费通过线性回归模型加以解释，剩余的28.1%则由其余因素引起，两个变量间的线性关系显著，可以进行下一步的回归分析。

二 回归分析(1)斜率计算公式为∑∑∑∑∑--=∧22)(x n y x xy n b x ，在H1中输入n ，在K2输入斜率b ，在L2中输入n 截距公式=(10*D12-B12*C12)/(10*E12-(B12)*(B12))；(2) 截距计算公式为 nx b n y a ∑∑∧∧-=，在K3输入截距a ，在L3输入公式=(C12/10-I2*B12/10);(3)y 的估计值为x b a y ∧∧∧+=，在F2输入公式=$L$3+$L $2*B2，并往下复制到F11处(4)检验线性关系的显著性可决系数222)(/)(1∑∑-∧---=y y y y R i i i ,在L4输入公式=1-SUMXMY2(C2:C11,F2:F11)/DEVSQ(C2:C11)；可得719039.02=R ，在L5中输入=soqr （L4），可得相关系数R=0.847962。