等比数列教案15新必修5

高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【一】教学目标熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学重难点熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学过程【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差(或公比)等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

一、基础训练1.某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成 ( )A、511B、512C、1023D、10242.若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为( )A、 B、C、 D、二、典型例题例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap……，第n期(即最后一期)的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少?评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。

存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。

计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的方法。

用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期(存期+1)利率]例2：某人从1999到2002年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到2003年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元?例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从2000年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠.问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%.(lg2=0.3)例4、.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多?并求这一天的新患者人数.高中数学必修5《等比数列的前n项和》教案【二】整体设计教学分析本节是数列一章的最后内容，分两课时完成，第一课时侧重于公式的推导及记忆，第二课时侧重于公式的灵活应用.等比数列的前n项和是教材中很重要的一部分内容，是等比数列知识的再认识和再运用，它对学生进一步掌握、理解等比数列以及数列的知识有着很重要的作用.等比数列前n项和公式的推导，也是培养学生分析、发现、类比等能力的很好的一个工具.在讲求和公式推导时，应指出其运算的依据是等式性质和数运算的通性(交换律、结合律、分配律).培养学生逻辑思维的习惯和代数运算技能.新大纲中对本知识有较高层次的要求，教学地位很重要，是教学全部学习任务中必须优先完成的任务.这项知识内容有广泛的实际应用，很多问题都要转化到等比数列的求和上来才能得到解决.如增长率、浓度配比、细胞分裂、储蓄信贷、养老保险、分期付款的有关计算等许多方面均用到等比数列的知识，因而考题中涉及数列的应用问题屡见不鲜.掌握等比数列的基础知识，培养建模和解模能力是解决数列应用问题的基本途径.等比数列的通项公式与前n项和公式中共涉及五个量，将两个公式结合起来，已知其中三个量可求另两个量，即已知a1，an，q，n，Sn五个量中的任意三个，就可以求出其余的两个量，这其中渗透了方程的思想.其中解指数方程的难度比较大，训练时要控制难度和复杂程度，要大胆地摒弃“烦琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”.数列模型运用中蕴含着丰富的数学思想方法(如方程的思想、分类讨论思想、算法思想等)，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等基本能力有着不可替代的作用.教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.三维目标1.通过本节学习，使学生会用方程的思想认识等比数列前n项和公式，会用等比数列前n项和公式及有关知识解决现实生活中存在着的大量的数列求和的问题，将等比数列前n项和公式与等比数列通项公式结合起来解决有关的求解问题.2.通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养.3.通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观.重点难点教学重点：等比数列前n项和公式的推导及灵活运用，及生产实际和社会生活中有关的实际问题.教学难点：建立等比数列模型，用等比数列知识解决有关的生产实际及社会生活中的热点问题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(故事导入)国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分别涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法.国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩.高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢?数学家开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了.“好吧!”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求.国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢?”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算吧!”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天!我哪来这么多的麦子?”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋.假定千粒麦子的质量为40 g，那么，数学家要求的麦粒的总质量究竟是多少呢?由此传说向学生发问：怎样算出小麦的总质量呢?思路2.(问题导入)买24枚钉子，第一枚14分钱，第二枚12分钱，第三枚1分钱，以此类推，每一枚钉子的钱是前一枚的2倍，共要多少钱?请学生想一想，多数学生认为大概没有多少钱，结果一算吓一跳，大约要4万2千元.事实上，这是等比数列的求和问题，即S=14+12+1+2+…+221=?那么怎样求等比数列的前n项和呢?在学生急于揭开谜底的强烈欲望下展开新课的探究.推进新课新知探究提出问题(1)回忆等差数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?(2)对任意数列{an}，前n项和与通项an的关系是什么?(3)对首项为1的等比数列{an}，你能探究它的前n项和吗?(4)对任意等比数列{an}，怎样推导它的前n项和公式呢?你能联想到哪些推导思路?(5)对于思路1中麦粒问题，国王应发给数学家多少麦粒?对于Sn=1+2+22+…+2n-1的两边为什么要乘以2而不是乘以3或4呢?活动：教师引导学生回忆前面学过的等差数列前n项和问题，我们用倒序相加法推得了它的前n项和公式，并且得到了求等差数列通项公式的一个方法：an=a1，Sn-Sn-1，n=1，n≥2，还知道这个由数列Sn来确定an的方法适用于任何数列，且a1不一定满足由Sn-Sn-1=an求出的通项表达式.类比联想以上方法，怎样探究等比数列的前n项和呢?我们先来探究象棋格里填麦粒的问题，也就是求S=1+2+…+263=?让学生充分观察这个式子的特点，发现每一项乘以2后都得它的后一项，点拨学生找到解决问题的关键是等式左右同乘以2，再相减得和.通过这个问题的解决，先让学生有一个感觉，就是等比数列的前n项和可化为一个比较简单的形式，关键的问题是如何简化.再让学生探究首项为1的等比数列的前n项和，即1，q，q2，…，qn-1的前n项和.观察这个数列，由于各项指数不同，显然不能倒序相加减.但可发现一个规律，就是次数是依次增加的，教师引导学生模仿等差数列写出两个求和式子，给学生以足够的时间让其观察、思考、合作交流、自主探究.经过教师的点拨，学生的充分活动，学生会发现把两个Sn=1+q+q2+…+qn-1错一个位，两边再同乘以公比q，那么相同的指数就对齐了.这一发现是突破性的智慧发现，是石破惊天的发现.这样将Sn=1+q+q2+…+qn-1与qSn=q+q2+q3+…+qn两式相减就有(1-q)Sn=1-qn，以下只需讨论q的取值就可得到Sn了.在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.如果记Sn=a1+a2+a3+…+an，那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.这里要提醒学生注意q的取值.如果q≠1，则有Sn=a1-anq1-q.上述过程我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn，要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.如果q≠1，则有Sn=a11-qn1-q.上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四个;后者出现的是a1，q，Sn，n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.对于等比数列的一般情形，如果q=1会是什么样呢?学生很快会看出，若q=1，则原数列是常数列，它的前n项和等于它的任一项的n倍，即Sn=na1.由此我们得到等比数列{an}的前n项和的公式：Sn=na1，q=1，a11-qn1-q，q≠1或Sn=na1，q=1，a1-anq1-q，q≠1.教师进一步启发学生根据等比数列的特征和我们所学知识，还能探究其他的方法吗?经过学生合作探究，联想初中比例的性质等，我们会有以下推导方法：思路一：根据等比数列的定义，我们有a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q，再由合比定理，则得a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an-1=q，即Sn-a1Sn-an=q，从而就有(1-q)Sn=a1-anq.当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=a1-anq1-q.思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an，得Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an)，从而得(1-q)Sn=a1-anq.(以下从略)在思路二中，我们巧妙地利用了Sn-Sn-1=an这个关系式，教师再次向学生强调这是一个非常重要的关系式，应引起足够的重视，几乎在历年的高考中都有它的影子.但要注意这里n≥2，也就是n的取值应使这个关系式有意义，若写Sn-1-Sn-2=an-1，则这里n≥3，以此类推.教师引导学生对比等差数列的前n项和公式，并结合等比数列的通项公式，从方程角度认识这个公式，以便正确灵活地运用它.(1)在等比数列的通项公式及前n项和公式中共有a1，an，n，q，Sn五个量，只要知道其中任意三个量，都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量;(2)在应用公式求和时，应注意到公式的使用条件q≠1，当q=1时，应按常数列求和，即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时，常应分类讨论q=1与q≠1两种情况.讨论结果：(1)倒序相加法;(2)an=Sn-Sn-1(n≥2);(3)利用错位相减法;(4)利用an=Sn-Sn-1(n≥2);(5)乘以2的目的是为了错位相减，共有麦粒264-1(颗)，每千粒麦子按40 g计算，共约7 000亿吨.应用示例例1求下列等比数列的前8项的和：(1)12，14，18，…;(2)a1=27，a9=1243，q<0.活动：本例目的是让学生熟悉公式，第(1)小题是对等比数列的前n项和公式的直接应用;第(2)小题已知a1=27，n=8，还缺少一个已知条件，由题意显然可以通过解方程求得公比q.题目中要求q<0，一方面是为了简化计算，另一方面是想提醒学生q既可为正数，又可为负数.本题中由条件可得q8=a9a1=1243×27，再由q<0可得q=-13.将所得的值代入公式就可以了.本例可由学生自己探究解答.解：(1)因为a1=12，q=12，所以当n=8时，S8=12[1-128]1-12=255256.(2)由a1=27，a9=1243，可得q8=a9a1=1243×27，又由q<0，可得q=-13，于是当n=8时，S8=271-1243×271--13=1 64081.点评：通过本例要让学生熟悉方程思想，再次让学生明确，等比数列的通项公式与前n项和公式中共五个量：a1，an，q，n，Sn，五个量中已知任意三个就可以求出其余的两个，其中a1，q为最基本的两个量.同时提醒学生注意，由于等比数列涉及到指数问题，有时解题计算会很烦琐，要注意计算化简中的技巧，灵活运用性质.例2(教材本节例2)活动：本例是等比数列求和公式的直接运用，引导学生结合方程思想，按算法的思路来解答.本例可由学生自己完成.点评：通过本例让学生明确，等比数列的通项公式和求和公式共涉及5个量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3个量就可以求出另外的2个量.变式训练设{an}是公比为正数的等比数列，若a1=1，a5=16，则数列{an}前7项的和为( )A.63B.64C.127D.128答案：C解析：∵a5=a1q4，∴16=q4.又∵q>0，∴q=2.∴S7=a11-q71-q=127.例3(教材本节例3)活动：本例仍属等比数列求和公式的直接应用.虽然原数列不是等比数列，不能用公式求和，但可这样转化：9=10-1,99=100-1,999=1 000-1，…，这样就容易解决了.点评：让学生体会本例中的转化思想.变式训练求和：2+22+222+…+ .解：原式=29(10-1)+29(102-1)+…+29(10n-1)=29(10+102+…+10n-n)=29[101-10n1-10-n]=2081(10n-1)-29n.例4求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n-1)an-1的前n项的和.活动：教师引导学生观察数列特点，其形式是{an•bn}型数列，且{an}是等差数列，{bn}是等比数列.根据本节等比数列求和公式的推导方法，可采用错位相减法进行求和.教学时可让学生自己独立探究，教师适时地点拨，要注意学生规范书写.解：当a=1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n-1)，则Sn=n[1+2n-1]2=n2.当a≠1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1，①aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an，②①-②，得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+…+2an-1-(2n-1)an，(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)=1-(2n-1)an+2•a1-an-11-a=1-(2n-1)an+2a-an1-a.又1-a≠0，∴Sn=1-2n-1an1-a-2a-an1-a 2.点评：通过本例，让学生反思解题时要善于识别题目类型，善于分类讨论.在应用错位相减时，写出的“Sn”与“qSn”的表达式应特别注意将两式“同项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.变式训练等差数列{an}中，a2=8，S6=66.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{Cn}的通项为Cn=2n，求数列{anCn}的前n项和An.解：(1)由已知，得a1+d=8，a1+a662=66，解得a1=6，d=2.∴an=2n+4.(2)由题意，知anCn=(2n+4)•2n，∴An=6•21+8•22+10•23+…+(2n+4)•2n.①在上式中两边同乘以2，得2An=6•22+8•23+10•24+…+(2n+4)•2n+1.②①-②，得-An=6•21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+4)•2n+1=4-(2n+2)•2n+1，∴An=(n+1)•2n+2-4.例5已知数列{an}中，a1，a2，a3，…，an，…构成一个新数列：a1，(a2-a1)，…，(an-an-1)，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列.(1)求数列{an}的通项;(2)求数列{an}的前n项和Sn.活动：教师引导学生观察新数列的各项，不难发现这样一个事实：新数列的前n项和恰为an，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列{an}的通项公式求出后，计算其前n项和Sn就容易多了 .解：(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+13+(13)2+…+(13)n-1=32[1-(13)n].(2)Sn=a1+a2+a3+…+an=32(1-13)+32[1-(13)2]+…+32[1-(13)n]=32{n-[13+(13)2+…+(13)n]}=32n-34[1-(13)n]=34(2n-1)+14(13)n-1.点评：本例思路新颖，方法独特，解完本例后教师引导学生反思本例解法，注意平时学习中培养思路的灵活性.知能训练1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3=1∶2，则S9∶S3等于( )A.1∶2B.2∶3C.3∶4D.1∶32.在等比数列{an}中，(1)已知a2=18，a4=8，求a1与q;(2)已知a5-a1=15，a4-a2=6，求a3.答案：1.C 解析：∵S6∶S3=1∶2，由a11-q61-q+a11-q31-q=12，得q3=-12.∴S9S3=1-q91-q3=34.2.解：(1)由已知得a1q=18，a1q3=8.解这个方程组，得a1=27，q=23或a1=-27，q=-23.(2)根据题意，有a1q4-a1=15，a1q3-a1q=6.方程两边分别相除，得a1q4-a1a1q3-a1q=156.整理，得2q2-5q+2=0.解这个方程，得q=2或q=12.当q=2时，a1=1;当q=12时，a1=-16.所以a3=4或a3=-4.课堂小结1.由学生总结本节学习的内容：等比数列前n项和公式的推导，特别是在推导过程中，学到了错位相减法;在运用等比数列求和时，注意q的取值范围是很重要的一点，需要放在第一位来思考.2.等比数列求和公式有两种形式，在应用中应根据题目所给的条件灵活选用，注意从方程的角度来观察公式，并结合等比数列的通项公式共5个量，知三可求二，并注意解题中的化简技巧.作业课本习题2—3 B组2、3.[设计感想“探索是教学的生命线”，本教案设计体现以学生为本的思想.为了让学生较好掌握本课内容，本节课主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活.本教案设计加强数学思想方法的训练.因为数列内容几乎渗透了中学数学所有的数学思想方法，而数列模型运用中更是蕴含着丰富的数学思想方法，这些思想方法对培养学生的阅读理解能力、运算能力和逻辑思维能力等有着不可替代的作用.教学中应充分让学生体会这些思想方法的运用.“问题是数学的心脏”，本教案设计注重了情境教学.通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得的成功.(设计者：张晓君)第2课时导入新课思路1.(情境导入)一个人为了积累养老金，他每个月按时到银行存100元，银行的年利率为4%，假设可以任意分段按复利计算，试问此人在5年后共积累了多少养老金?如果存款和复利按日计算，则他又有多少养老金?如果复利和存款连续计算呢?银行复利计息的计算方法正是我们今天要探究的内容，由此展开新课.思路2.(习题导入)在等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，则数列前15项的和S15为( )A.112B.312C.5D.15本题如果运用方程的思想，求数列{an}的首项a1和公比q之后再求S15，是一种常规思路，但运算量较大.可将原数列按一定规律重新组合成一个新的等比数列，S15又刚好是新数列前5项的和，新数列的首项和公比又容易求得，使得小题巧解.具体解法如下：解析：设b1=a1+a2+a3=8;b2=a4+a5+a6=-4;…;b5=a13+a 14+a15，则b1，b2，b3，b4，b5构成一个等比数列，其首项为8，公比为-12.故S15=S5′=b1+b2+b3+b4+b5=112.选A.由此展开本课的进一步探究.答案：A推进新课新知探究提出问题1回忆等比数列前n项和公式的推导过程，是用什么方法推导的?需要注意什么问题?2比较等差、等比数列的前n项和公式，从推导方法到应用有什么不同?怎样从方程的角度理解等比数列的求和公式?3利用等比数列求和的关键是什么?4你能对等差、等比数列求和问题作一归纳总结吗?5应用等比数列可解决哪些类型的实际问题?活动：教师引导学生回忆上节课所学的等比数列的求和公式，通过“错位相减”的思路方法很巧妙地将等式Sn=a1+a1q+…+a1qn-1的两边同乘以该数列的公比q，使得等式右边各项都向右错了一位;然后通过求Sn-qSn把相同项消去，达到简化的目的，最后解出Sn.这种求和方法具有普通性，教师再次引导学生回顾这种求和方法的精髓，注意的问题是必须注意q是否等于1，如果不确定，就应分q=1与q≠1两种情况或更多的情况进行讨论.等比数列求和的关键与等差数列求和一样，在于数列通项公式的表达形式，由通项公式的形式特点确定相应的求和方法.为了达到求和时的简化运算，应充分利用等比数列的前n项和的性质.(1)若某数列的前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,1)，则{an}成等比数列.(2)若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列;若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇=q.应用等比数列可解决的实际问题有：产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题.解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题，要让学生明了数列的实际应用一直是全国各地市高考的热点、重点，考题的形式多种多样，难度为中、高档.等比数列求和问题作为数列的重要内容之一，蕴含着丰富的数学思想方法，教学时可与等差数列对比，归纳、总结.(1)求和问题可以利用等差、等比数列的前n项和公式解决，在具体问题中，既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律，又要注意项数.(2)非等差(比)的特殊数列求和题通常的解题思路是：①设法转化为等差数列或等比数列，这一思考方法往往通过通项分解或错位相减来完成.②不能转化为等差(比)的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法和倒序相加法求和.一般地，如果数列能转化为等差数列或等比数列就用公式法;如果数列项的次数及系数有规律，一般可用错位相减法;如果每项可写成两项之差一般可用拆项法;如果能求出通项，可用拆项分组法.(3)数列求和的关键在于数列通项公式的表达形式，根据通项公式的形式特点，观察采用哪种方法是这类题的解题诀窍.(4)通项公式中含有(-1)n的一类数列，在求Sn时要注意需分项数n的奇偶性讨论.讨论结果：(1)(2)(3)(5)略.(4)数列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法和裂项相消法，这也是高考常考的几种求和方法.例1某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台?(结果保留到个位)活动：教师引导学生探究，根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列模型，并明确这是一个已知Sn=30 000求n的问题.本例的解答应先根据等比数列的前n项和公式列方程，再用对数的知识解方程.解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5 000，q=1+10%=1.1，Sn=30 000.于是得到5 0001-1.1n1-1.1=30 000，整理，得1.1n=1.6，两边取对数，得nlg1.1=lg1.6，用计算器算得n=lg1.6lg1.1≈0.20.041≈5(年).答：大约5年可以使总销售量达到30 000台.点评：本例是一道关于等比数列模型的应用题，需要从实际问题中抽象出等比数列模型.从实际背景的角度讲，本例的设计一方面是想让学生了解计算机日益普及，其销量越来越大;另一方面，对于一个商场来讲，为实现一定的商品销售目标而制订计划也是一件自然的事情.变式训练某市2003年共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车?(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13?解：(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列{an}，其中a1=128，q=1.5，则在2010年应该投入的电力型公交车为a7=a1•q6=128×1.56=1 458(辆).(2)记Sn=a1+a2+…+an，依据题意，得Sn10 000+Sn>13.于是Sn=1281-1.5n1-1.5>5 000(辆)，即1.5n>65732，则有n-lg65732lg1.5≈7.5，因此n≥8.所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的13.例2(教材本节例4)活动：这是本单元教材安排的最后一道例题.教师引导学生写出每个月的产值，建立等比数列的数学模型，通过数量分析理解任一月份的计算表达式和求总和的计算方法.例3某教师购买安居工程集资房72 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400元，余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款，每期为1年，等额付款.签订购房合同后，1年付款1次，再过1年又付款1次等等，共付10次，10年后还清.如果按年利率7.5%，每年复利1次计算，那么每年应付多少元?(计算结果精确到百元.下列数据供参考：1.0752≈1.921,1.07510≈2.065,1.07511≈2.221)活动：教师引导学生理清问题中的基本数量关系，建立等比数列的模型，然后按等比数列的知识就很容易解决了.本例由教师与学生共同探究完成.解：设每年应付款x元，那么到最后1次付款时付款金额的本利和为x(1+1.075+1.0752+1.0753+…+1.0759)元;购房余款10年后的本利和为[1 000×72-(28 800+14 400)]•1.07510=28 800×1.07510元，根据10年后还清，得x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=28 800×1.07510，∴x=28 800×1.07510×1.075-11.07510-1≈4 200(元)，即每年应付4 200元.点评：解决本例的关键是建立等比数列模型.分期付款以及新生利息之和，应等于购房个人分担部分10年后的本息和.变式训练。

2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。

再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。

高中数学必修5《等比数列》教案答案：1458或128。

例2、正项等比数列{an}中，a6 a15+a9 a12=30，则log15a1a2a3 a20 =_ 10 ____.例3、已知一个等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，，2n，，能否在这个数列中取出一些项组成一个新的数列{cn}，使得{cn}是一个公比为2的等比数列，若能请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项?(本题为开放题，没有唯一的答案，如对于{cn}：2，4，8，16，，2n，，则ck=2k=2 2k-1，所以{cn}中的第k项是等差数列中的第2k-1项。

关键是对通项公式的理解)1、小结：今天我们主要学习了有关等比数列的概念、通项公式、以及它的性质，通过今天的学习我们不仅学到了关于等比数列的有关知识，更重要的是我们学会了由类比猜想证明的科学思维的过程。

2、作业：P129：1，2，3思考题：在等差数列：2，4，6，8，10，12，14，16，，2n，，中取出一些项：6，12，24，48，，组成一个新的数列{cn}，{cn}是一个公比为2的等比数列，请指出{cn}中的第k项是等差数列中的第几项?教学设计说明：1、教学目标和重难点：首先作为等比数列的第一节课，对于等比数列的概念、通项公式及其性质是学生接下来学习等比数列的基础，是必须要落实的;其次，数学教学除了要传授知识，更重要的是传授科学的研究方法，等比数列是在等差数列之后学习的因此对等比数列的学习必然要和等差数列结合起来，通过等比数列和等差数列的类比学习，对培养学生类比猜想证明的科学研究方法是有利的。

这也就成了本节课的重点。

2、教学设计过程：本节课主要从以下几个方面展开：1) 通过复习等差数列的定义，类比得出等比数列的定义;2) 等比数列的通项公式的推导;3) 等比数列的性质;有意识的引导学生复习等差数列的定义及其通项公式的探求思路，一方面使学生回顾旧知识，另一方面使学生通过联想，为类比地探索等比数列的定义、通项公式奠定基础。

北师大版高中必修5《等比数列》教案《北师大版高中必修5《等比数列》教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！3.4.1等比数列教案课题：3.4.1等比数列(一)教学目标教学知识点等比数列的定义.等比数列的通项公式.能力训练要求掌握等比数列的定义.理解等比数列的通项公式及推导.德育渗透目标培养学生的发现意识.提高学生的逻辑推理能力.增强学生的应用意识.教学重点等比数列的定义及通项公式.教学难点灵活应用等比数列的定义及通项公式解决一些相关问题.教学方法比较式教学法采用比较式教学法,从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握与应用.教学过程Ⅰ 复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容1、等差数列定义：an-an-1=d(n≥2)(d为常数)a+b22、等差数列性质：①若a、A、b成等差数列，则A=②若m+n=p+q，则，am+ an= ap+ aq,③Sk ，S2k - S3k，S2k…成等差数列.3、等差数列的前n项和公式：Ⅱ 新课讲授下面我们来看这样几个数列，有何时共特点?1，2，4，8，16，…，263 ;①5，25，125，625，…; ②1418121，- ，，- ，…; ③仔细观察数列，寻其共同特点：数列①：;数列②:数列③:共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.(也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的式都具有“相等”的特点)1、定义12等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即：an ：an-1= q(q≠0)数列①②③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，- ，与等差数列比较，仅一字之差。

总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”这常数，则为等差数列，之“比”这常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.注意公差①“d”可为0，②公比“q”不可为0.2、等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一推等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得a2= a1qa3= a2q=( a1q)q= a1q2a4= a3q=( a2q)q=( (a1q)q)q= a1q3……an= an-1q= a1qn-1(a4，q≠0)，n=1时，等式也成立，即对一切n∈N*成立.解法二：由定义式可得：(n-1)个等式①②a2a1= qa3a2= qn-1n-1a na n-1……若将上述n-1个等式相乘，便可得：即: an = a1qn-1(n≥2)当n=1时，左=a1，右=a1，所以等式成立.∴等比数列通项公式为： an= a1qn-1(a1，q≠0)写出数列①②③的通公式.数列①: an=1×2n-1(a1，q≠0)数列②: an=5×5n-1=5n(a1，q≠0)数列③: an=与等差数列比较,两者均可用归纳法求得通项公式.或者, 等差数列是将由定义得到的n-1个式子相“加”，便可求得通项公式;而等比数列则需将由定义行到的n-1个式子相“乘”，方可求得通项公式.[例1]一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q，= q②÷①得：③③代入①得：∴∴答：这个数列的第1项与第2项分别是评析：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.Ⅳ课堂练习课本P128练习1、2，Ⅴ课时小结：本节为要学习了等比数列的定义，即：.等比数列的通项公式：an= a1qn-1(n≥2)及推导过程.Ⅵ课后作业(一)课本P129 习题3.9 1(二)1、预习内容：课本P127～P1282、预习提纲：⑴什么是等比中项?⑵等比数列有哪些性质?③怎样应用等比数列的定义式、通项公式以有重要性质解决一些相关问题.北师大版高中必修5《等比数列》教案这篇文章共5020字。

Your choice is to do or not, but if you do not, you will never have a chance.悉心整理助您一臂（页眉可删）高中数学必修5等比数列教学教案设计
一、概述
教材内容:等比数列的概念和通项公式的推导及简单应用教材难点：灵活应用等比数列及通项公式解决一般问题教材重点：等比数列的概念和通项公式
二、教学目标分析
1. 知识目标
1）
2）掌握等比数列的定义理解等比数列的通项公式及其推导
2．能力目标
1）学会通过实例归纳概念
2）通过学习等比数列的通项公式及其推导学会归纳假设
3）提高数学建模的能力
3、情感目标：
1）充分感受数列是反映现实生活的模型
2）体会数学是________于现实生活并应用于现实生活
3）数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的.
三、教学对象及学习需要分析
1、教学对象分析：
1）高中生已经有一定的学习能力，对各方面的知识有一定的基础，理解能力较强。

并掌握了函数及个别特殊函数的性质及图像，如指数函数。

之前也刚学习了等差数列，在学习这一章节时可联系以前所学的进行引导教学。

2）对归纳假设较弱，应加强这方面教学
2、学习需要分析：
四. 教学策略选择与设计
1.课前复习
1）复习等差数列的概念及通向公式
2）复习指数函数及其图像和性质
2．情景导入。

广东省佛山市中大附中三水实验中学高二数学《等比数列》教案新人教A版必修5科组长签名：科组成员签名：中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。

教学难点：等比数列通项公式的探求。

教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，（２）8，16，32，64，128，256，（３）1，1，1，1，1，1，1，（４）1，2，4，8，16，263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q0)，3.递推公式：an1∶anq(q0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0.（4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。

最新⼈教版⾼中数学必修5第⼆章《等⽐数列》⽰范教案§3 等⽐数列3.1 等⽐数列整体设计教学分析等⽐数列与等差数列在内容上是完全平⾏的,包括定义、性质、通项公式等,两个数的等差(等⽐)中项、两种数列在函数⾓度下的解释等,因此在教学时要充分利⽤类⽐的⽅法,以便于弄清它们之间的联系与区别.等⽐数列是另⼀个简单常见的数列,研究内容和⽅法可与等差数列类⽐,这是本节的中⼼思想⽅法.本节⾸先归纳出等⽐数列的定义,导出通项公式,进⽽研究图像,⼜给出等⽐中项的概念,最后是通项公式的应⽤.等⽐数列概念的引⼊,可按教材给出⼏个具体的例⼦,由学⽣概括这些数列的相同特征,从⽽得到等⽐数列的定义.也可将⼏个等差数列和⼏个等⽐数列混在⼀起给出,由学⽣将这些数列进⾏分类,由此对⽐地概括等⽐数列的定义.根据定义让学⽣分析等⽐数列的公⽐不为0,以及每⼀项均不为0的特性,加深对概念的理解.启发学⽣⽤函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征,联想到指数函数进⽽画出数列的图像.由于有了等差数列的研究经验,等⽐数列的研究完全可以放⼿让学⽣⾃⼰解决,充分利⽤类⽐思想,教师只需把握课堂的节奏,真正作为⼀节课的组织者、引导者出现,充分发挥学⽣的主体作⽤.⼤量的数学思想⽅法渗透是本章的特⾊,如类⽐思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、⽅程思想、⼀般到特殊的思想等,在教学中要充分体现这些重要的数学思想⽅法,所有能⼒的体现最终归结为数学思想⽅法的体现.三维⽬标1.通过实例,理解等⽐数列的概念；探索并掌握等⽐数列的通项公式、性质,能在具体的问题情境中,发现数列的等⽐关系,提⾼数学建模能⼒；体会等⽐数列与指数函数的关系.2.通过现实⽣活中⼤量存在的数列模型,让学⽣充分感受到数列是反映现实⽣活的模型,体会数学是丰富多彩的⽽不是枯燥⽆味的,达到提⾼学⽣学习兴趣的⽬的.3.通过对等⽐数列概念的归纳,进⼀步培养学⽣严密的思维习惯,以及实事求是的精神,严谨的科学态度.体会探究过程中的主体作⽤及探究问题的⽅法,经历解决问题的全过程.重点难点教学重点：掌握等⽐数列的定义；理解等⽐数列的通项公式及推导.教学难点：灵活应⽤等⽐数列的定义及通项公式解决相关问题,在具体问题中抽象出等⽐数列模型及掌握重要的数学思想⽅法.课时安排2课时教学过程第1课时导⼊新课思路1.(情境导⼊)将⼀张厚度为0.044 mm的⽩纸⼀次⼜⼀次地对折,如果对折1 000次(假设是可能的)纸的厚度将是4.4×10296 m,相当于约5.0×10292个珠穆朗玛峰的⾼度和,这可能吗？但是⼀位数学家曾经说过：你如果能将⼀张报纸对折38次,我就能顺着它在今天晚上爬上⽉球.将⼀张报纸对折会有那么⼤的厚度吗？这就是我们今天要解决的问题,让学⽣带着这⼤⼤的疑问来展开新课.思路2.(练习导⼊)先给出四个数列：1,2,4,8,16,…1,-1,1,-1,1,…-4,2,-1,…1,1,1,1,1,…由学⽣⾃⼰去探究在这四个数列中,每个数列相邻两项之间有什么关系？这四个数列有什么共同点？由此引导学⽣⾃⼰去观察、研究,从中发现规律,突出了以学⽣为主体的思想,训练和培养了学⽣的归纳思维能⼒.让学⽣观察这些数列与上节课学习的等差数列有什么不同？由此引⼊新课.推进新课新知探究提出问题①回忆等差数列的概念及等差数列的通项公式的推导⽅法.②阅读教科书上的①,② 2个背景实例,领会2个实例所传达的思想,写出由2个实例所得到的数列.③观察数列①,②,它们有什么共同的特征?你能再举出2个与其特征相同的数列吗? ④类⽐等差数列的定义,怎样⽤恰当的语⾔给出等⽐数列的定义?⑤你能举出既是等差数列⼜是等⽐数列的例⼦吗?⑥类⽐等差数列通项公式的推导过程,你能推导出等⽐数列的通项公式吗?⑦类⽐等差数列通项公式与⼀次函数的关系,你能说明等⽐数列的通项公式与指数函数的关系吗?活动:教师引导学⽣回忆等差数列概念的学习过程,指导学⽣阅读并分析教科书中给出的2个实例.实例①是与我们⽣活有关的拉⾯问题.拉⾯馆的师傅将⼀根很粗的⾯条,拉伸、捏合,再拉伸、再捏合,这样前8次捏合成的⾯条根数构成⼀个数列:1,2,4,8,16,32,64,128.①实例②是星⽕化⼯⼚今年产值为a 万元,计划在以后5年中每年⽐上年产值增长10%.这样6年的产值构成⼀个数列:a,a(1+10%),a(1+10%)2,a(1+10%)3,a(1+10%)4,a(1+10%)5.②再如,我们常见的某种细胞分裂的模型:图1每次分裂后细胞的个数构成⼀个数列就是:1,2,4,8,….③“⼀尺之棰,⽇取其半,万世不竭”,如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”,得到的数列是1,21,41,81,….④教师引导学⽣探究数列①②③④的共同特点:对于数列①,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于2;对于数列②,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于1+10%;对于数列③,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于2;对于数列④,从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于21.也就是说,这些数列有⼀个共同的特点:从第2项起,每⼀项与前⼀项的⽐都等于同⼀常数,这⾥仍是后项⽐前项,⽽不是前项⽐后项,具有这样特点的数列我们称之为等⽐数列.让学⽣类⽐等差数列给出等⽐数列的定义:⼀般地,如果⼀个数列,从第2项起,每⼀项与它的前⼀项的⽐都等于同⼀个常数,那么这个数列叫作等⽐数列.这个常数叫作等⽐数列的公⽐,公⽐通常⽤字母q 表⽰,显然q≠0,上⾯的四个数列都是等⽐数列,公⽐依次是2,1.1,2,21. 教师引导学⽣进⼀步探究,既是等差数列,⼜是等⽐数列的数列存在吗?学⽣思考后很快会举出1,1,1,…,是等⽐数列也是等差数列,其公⽐为1,公差为0.教师可再提出:常数列都是等⽐数列吗?让学⽣充分讨论后可得出0,0,0,…是常数列,但不是等⽐数列.⾄此,学⽣已经清晰了等⽐数列的概念,⽐如,从等⽐数列定义知,等⽐数列中的任意⼀项不为零,公⽐可以为正,可以为负,但不能为0.接下来,教师引导学⽣类⽐等差数列的通项公式的推导⽅法来归纳猜想等⽐数列的通项公式.课件演⽰:不完全归纳法得到等差数列通项公式的过程:a 2=a 1+d,a 3=a 2+d=(a 1+d)+d=a 1+2d,a 4=a 3+d=(a 1+2d)+d=a 1+3d,……归纳得到a n =a 1+(n-1)d.类⽐这个过程,可得等⽐数列通项公式的归纳过程如下:a 2=a 1q,a 3=a 2q=(a 1q)q=a 1q 2,a 4=a 3q=(a 1q 2)q=a 1q 3,……归纳得到a n =a 1q n-1(a 1≠0,q≠0).这样做可以帮助学⽣体会归纳推理对于发现新的数学结论的作⽤.这个结论的正确性可⽤后⾯的数学归纳法进⾏严格证明,现在我们先承认它.下⾯我们再类⽐等差数列,探究推导等⽐数列通项公式的其他⽅法:∵{a n }是等⽐数列, ∴.,,3,21,1124q a a q a a q a a q a a n n n n n n ==-=--=-- 把以上n-1个等式两边分别乘到⼀起,即叠乘,则可得到11-=n n q a a , 于是得到a n =a 1q n-1.容易知道本节开始的实例①的通项公式是a n =2n-1(如图2).图2对于通项公式,教师引导学⽣明确这样⼏点:(1)不要把a n 错误地写成a n =a 1q n (a 1≠0,q≠0).(2)对公⽐q,要和等差数列的公差⼀样,强调“从第2项起,每⼀项与它的前⼀项的⽐”,不要把相邻两项的⽐的次序颠倒,且公⽐q 可以为正,可以为负,但不能为0.(3)在等⽐数列a,aq,aq 2,aq 3,…中,当a=0时,⼀切项都等于0；当q=0时,第2项以后的项都等于0,这不符合等⽐数列的定义.因此等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0.(4)类⽐等差数列中d>0,d<0时的情况,若q>0,则各项符号同号,若q<0,则各项符号异号;若q=1,则等⽐数列为⾮零常数列;若q=-1,则如2,-2,2,-2,…这样的数列;若|q|<1,则数列各项的绝对值递减.应⽤⽰例思路1例1由下⾯等⽐数列的通项公式,求⾸项与公⽐.(1)a n =2n ;(2)a n =41·10n . 活动:本例的⽬的是让学⽣熟悉等⽐数列的概念及通项公式,可由学⽣⼝答或互相提问. 解：(1)a n =2·2n-1, ∴a 1=2,q=2.(2)∵a n =41·10·10n-1, ∴a 1=41×10=25,q=10. 点评:可通过通项公式直接求⾸项,再求公⽐.如(1)中,a 1=21=2,a 2=22=4,∴q=2.变式训练设a 1,a 2,a 3,a 4成等⽐数列,其公⽐为2,则432122a a a a ++的值为( ) A.41 B.21 C.81 D.1解析:由题意知,a 2=a 1q=2a 1,a 3=a 1q 2=4a 1,a 4=a 1q 3=8a 1, ∴4188222211114321a a a a a a a a +=++. 答案：A例2 以下数列中,哪些是等⽐数列? (1)1,-21,41,-81,161; (2)1,1,1, (1)(3)1,2,4,8,12,16,20;(4)a,a 2,a 3,…,a n .活动:教师引导学⽣利⽤等⽐数列的定义来判断.解：(1)是等⽐数列,公⽐q=-21; (2)是公⽐为1的等⽐数列;(3)因为48≠812,所以该数列不是等⽐数列; (4)当a≠0时,这个数列是公⽐为a 的等⽐数列;当a=0时,它不是等⽐数列.点评:本例第(4)⼩题的分类讨论要引起学⽣的注意.变式训练已知数列{lga n }是等差数列,求证:{a n }是等⽐数列.证明:∵{lga n }是等差数列,设公差为d,则lga n+1-lga n =d,即d nn a a 101=+(常数). ∴{a n }是等⽐数列.例3 ⼀个等⽐数列的⾸项是2,第2项与第3项的和是12.求它的第8项的值.活动:本例是⼀道基础题⽬,⽬的在于熟悉等⽐数列通项公式的基本量运算.可让学⽣⾃主探究、体会⽅程思想的运⽤.解:设等⽐数列的⾸项为a 1,公⽐为q,则由已知,得=+=)2(,12)1(,22111q a q a a将①式代⼊②式,得q 2+q-6=0.解得q=-3或q=2.当q=-3时,a 8=a 1q 7=2×(-3)7=-4 374,当q=2时,a 8=2q 7=2×27=256.故数列的第8项是-4 374或256.点评:⽅程思想是本章的重要数学思想,基本量运算是本章的重要题型.例1 数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9,就成为等⽐数列,求此三个数. 活动:教师引导学⽣分析题意,因为所求三个数成等差数列,它们的和已知,故可设这三个数为a-d,a,a+d,再根据已知条件寻找关于a 、d 的两个⽅程,通过解⽅程组即可获解.解：设所求三个数为a-d,a,a+d,则由题设得+++-=+=+++-),9)(1()3(,152d a d a a d a a d a解此⽅程组,得a=5,d=2.∴所求三个数为3,5,7.点评:此类问题要注意设未知数的技巧.若设所求三个数为a,b,c,则列出三个⽅程求解,运算过程将过于繁杂.因此在计算过程中,应尽可能地少设未知数.例2 在等⽐数列中,已知⾸项为89,末项为31,公⽐为32,则项数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6解析:设等⽐数列为{a n }.⼜∵a 1=89,q=32,a n =31, ∴q n-1=1a a n ,即(32)n-1=278. ∴n-1=3,n=4,即项数为4.答案:B例3 已知数列{a n }满⾜a 1=1,a n+1=2a n +1.(1)求证:数列{a n +1}是等⽐数列;(2)求a n 的表达式.活动:教师引导学⽣观察,数列{a n }不是等差数列,也不是等⽐数列,要求a n 的表达式,通过转化{a n +1}是等⽐数列来求解.解：(1)∵a n+1=2a n +1,∴a n+1+1=2(a n +1).∵a 1=1,故a 1+1≠0,则有2111=+++n n a a .∴{a n +1}是等⽐数列. (2)由(1)知{a n +1}是以a 1+1=2为⾸项,以2为公⽐的等⽐数列,∴a n +1=2·2n-1,即a n =2n -1.点评:教师引导学⽣进⾏解后反思.如本题(1),不能忽视对a n +1≠0的说明,因为在等⽐数列{a n }中,a n ≠0,且公⽐q≠0,否则解题会出现漏洞.知能训练课本本节练习1,习题1—3 1—3.课堂⼩结1.让学⽣归纳总结本节学习内容：等⽐数列的概念和等⽐数列的通项公式的推导及简单的应⽤,等⽐数列的证明⽅法．可让学⽣对⽐⼩结等差数列与等⽐数列的知识,对⽐各⾃性质的异同,让学⽣⽤列表的形式给出．2.教师点出,通过本节内容的学习,在掌握知识的同时,我们还学到了探究新问题的⽅法,提⾼了我们解决问题的能⼒,进⼀步明确了学习必须经历探究问题全过程的意义,必须领悟凝练数学思想⽅法.作业课本习题1—3 A 组 5、6.。

高三数学必修五等比数列的概念教案
教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书，包括教材简析和学生分析、教学目的、重难点、教学准备、教学过程及练习设计等，下面是由小编为大家整理的范文模板,仅供参考,欢迎大家阅读.
【教学目标】
1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式;掌握等比中项的概念.
2. 逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题.
3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力.
【教学重点】
等比数列的概念及通项公式.
【教学难点】
灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题.
【教学方法】
本节课主要采用类比教学法和自主探究教学法.充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性.在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的.
【教学过程】略
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