2017 2018高中数学第二章数列24等比数列第1课时等比数列新人教A必修5

2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。

§2.4 等比数列(一) 课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1. 3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.12答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53.6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于() A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍)∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12.二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 答案 4·(32)n －1解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则 a 6＋a 7＝________.答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案 －9解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n. ∴a n＝2n－1.。

新人教A 版高中数学必修5：等比数列的概念与通项公式A 级 基础巩固一、选择题1．下列数列为等比数列的是( ) A ．0，0，0，0，… B ．22，42，62，82，…C ．q －1，(q －1)2，(q －1)3，(q －1)4，… D ．1a ，1a 2，1a 3，1a4，…解析：A 选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B 选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；C 选项中，当q ＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；D 选项中的数列是首项为1a ，公比为1a的等比数列，故选D.答案：D2．(多选)已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝－2，则( ) A ．数列{2a n ＋a n ＋1}是等比数列 B ．数列{a n ＋1－a n }是等比数列 C ．数列{a n a n ＋1}是等比数列 D ．数列{log 2|a n |}是递减数列解析：因为{a n }是等比数列，所以a n ＋1＝－2a n ，2a n ＋a n ＋1＝0，故A 项错．a n ＝a 1·q n －1＝(－1)n －1·2n －1，a n ＋1＝(－1)n ·2n ，于是a n ＋1－a n ＝(－1)n·2n－(－1)n －1·2n －1＝3(－2)n －1，故{a n ＋1－a n }是等比数列，故B 项正确．a n a n ＋1＝(－1)n －1·2n －1·(－1)n ·2n ＝(－2)2n －1，故C 项正确．log 2|a n |＝log 22n －1＝n －1，是递增数列，故D 项错．答案：BC3．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4， 则a n ＝( )A ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1C ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD ．4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：由题意得(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5， 故a 1＝4，a 2＝6，所以q ＝32，a n ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：B4．在数列{a n }中，对任意n ∈N *，都有a n ＋1－2a n ＝0，则2a 1＋a 22a 3＋a 4的值为( )A.14B.13C.12D.1解析：a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，a 4＝8a 1， 所以2a 1＋a 22a 3＋a 4＝4a 116a 1＝14.答案：A5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15解析：因为log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，所以a n ＋1＝3a n ， 又a n ≠0.所以数列{a n }是以3为公比的等比数列． 所以a 2＋a 4＋a 6＝a 2(1＋q 2＋q 4)＝9.所以a 5＋a 7＋a 9＝a 5(1＋q 2＋q 4)＝a 2q 3·(1＋q 2＋q 4)＝35. 所以log 1335＝－5.答案：A 二、填空题6．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝4，则数列{lg a n }的通项公式为____________．解析：因为a 5＝a 4q ，所以q ＝2，所以a 1＝a 4q 3＝14，所以a n ＝14·2n －1＝2n －3，所以lg a n ＝(n －3)lg 2.答案：lg a n ＝(n －3)lg 27．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________． 解析：因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1(舍去)，所以a 6＝a 2q 4＝1×22＝4.答案：48．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则a 2－a 1b 2的值为________．解析：因为－1，a 1，a 2，－4成等差数列，设公差为d ， 则a 2－a 1＝d ＝13[(－4)－(－1)]＝－1，因为－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列， 所以b 22＝(－1)×(－4)＝4， 所以b 2＝±2.若设公比为q ，则b 2＝(－1)q 2， 所以b 2＜0，所以b 2＝－2， 所以a 2－a 1b 2＝－1－2＝12. 答案：12三、解答题9．在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n . 解：(1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.10．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827.(1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项． (2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．(1)证明：因为2a n ＝3a n ＋1， 所以a n ＋1a n ＝23. 又因为数列{a n }的各项均为负数， 所以a 1≠0，所以数列{a n }是以23为公比的等比数列．所以a n ＝a 1·q n －1＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.所以a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝23a 1， a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫235－1＝1681a 1，又因为a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝827，所以a 21＝94.又因为a 1<0，所以a 1＝－32.所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2(n ∈N *)．(2)解：令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2＝－1681，则n －2＝4，n ＝6∈N *，所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项．B 级 能力提升1．(多选)已知数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则以下一定是等比数列的是( )A ．{2a n }B ．{a 2n } C ．{a n ＋1·a n }D ．{a n ＋1＋a n }解析：因为数列{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，则a n ＋1a n＝q ， 对于A 项，2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ，因为a n ＋1－a n 不是常数，故A 项错误．对于B 项，a 2n ＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝q 2，因为q 2为常数，故B 项正确．对于C 项，a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝q 2，因为q 2为常数，故C 项正确．对于D 项，若a n ＋1＋a n ＝0，即q ＝－1时，该数列不是等比数列，故D 项错误． 答案：BC2．已知等比数列{a n }为递增数列，a 1＝－2，且3(a n ＋a n ＋2)＝ 10a n ＋1，则公比q ＝________．解析：因为等比数列{a n }为递增数列，且a 1＝－2<0， 所以0<q <1，又因为3(a n ＋a n ＋2)＝10a n ＋1，两边同除a n ， 可得3(1＋q 2)＝10q ，即3q 2－10q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝13.而0<q <1，所以q ＝13.答案：133．设关于x 的二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是等比数列；(3)当a 1＝76时，求数列{a n }的通项公式及项的最大值．(1)解：根据根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝an ＋1a n，αβ＝1an.代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3， 得6a n ＋1a n －2a n＝3.所以a n ＋1＝12a n ＋13.(2)证明：因为a n ＋1＝12a n ＋13，所以a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23.若a n ＝23，则方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0可化为23x 2－23x ＋1＝0，即2x 2－2x ＋3＝0.此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0， 所以a n ≠23，即a n －23≠0.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以12为公比的等比数列．(3)解：当a 1＝76时，a 1－23＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以首项为12，公比为12的等比数列．所以a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n， 所以a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，…，即数列{a n }的通项公式为a n ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，n ＝1，2，3，….由函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(0，＋∞)上单调递减知，当n ＝1时，a n 的值最大，即最大值为a 1＝76.。

等比数列的概念及通项公式教学设计
将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚？
不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。

1 看一看纸的厚度的变化
提示：
折1次折2次折3次折4次 (30)
厚度2 (21)4 (22)8 (23)16 (24) (230)
反之，任给指数函数
f(x)=ka x (k,a为常数，k≠0,
a>0且 a≠1)
则f(1)=ka ,f(2)=ka2,⋯,f(n)=ka n,⋯
构成一个等比数列{ka n}，其首项为ka，公比为a.
等比数列的单调性
由等比数列的通项公式与指数型函数的关系可得等比数列的单调性如下：
（1）当a1>0,q>1或 a1<0,0<q<1时，等比数列{a n}为递增数列；
（2）当a1>0,0<q<1或 a1<0,q>1时，等比数列{a n}为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{a n}为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{a n}为摆动数列.
下面，我们利用通项公式解决等比数列的一些问题.
例1 若等比数列{a n}的第4项和第6项分别为。

第1课时等比数列的概念及通项公式课后篇巩固探究A组1.若a,b,c成等差数列,则一定()A.是等差数列B.是等比数列C.既是等差数列也是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列解析因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c,于是,所以一定是等比数列.答案B2.在等比数列{a n}中,a2 017=-8a2 014,则公比q等于()A.2B.-2C.±2D.解析由a2 017=-8a2 014,得a1q2 016=-8a1q2 013,所以q3=-8,故q=-2.答案B3.在等比数列{a n}中,a n>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,则a4+a5的值为()A.16B.27C.36D.81解析由a2=1-a1,a4=9-a3,得a1+a2=1,a4+a3=9.设公比为q,则q2==9.因为a n>0,所以q=3,于是a4+a5=(a1+a2)q3=27.答案B4.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10解析∵a4=a1+6,a3=a1+4,a1,a3,a4成等比数列,∴=a1·a4,即(a1+4)2=a1·(a1+6),解得a1=-8,∴a2=a1+2=-6.故选B.答案B5.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,则S n=()A.2n-1B.C.D.解析由S n=2a n+1,得S n=2(S n+1-S n),即2S n+1=3S n,.又S1=a1=1,所以S n=,故选B.答案B6.已知等比数列{a n},a3=3,a10=384,则该数列的通项a n=.解析设公比为q.∵=q7==27,∴q=2.∴a n=a3q n-3=3·2n-3.答案3·2n-37.在数列{a n}中,已知a1=3,且对任意正整数n都有2a n+1-a n=0,则a n=.解析由2a n+1-a n=0,得,所以数列{a n}是等比数列,公比为.因为a1=3,所以a n=3·.答案3·8.在等比数列{a n}中,若a1=,q=2,则a4与a8的等比中项是.解析依题意,得a6=a1q5=×25=4,而a4与a8的等比中项是±a6,故a4与a8的等比中项是±4.答案±49.导学号04994040已知数列{a n}是等差数列,且a2=3,a4+3a5=56.若log2b n=a n.(1)求证:数列{b n}是等比数列;(2)求数列{b n}的通项公式.(1)证明由log2b n=a n,得b n=.因为数列{a n}是等差数列,不妨设公差为d,则=2d,2d是与n无关的常数,所以数列{b n}是等比数列.(2)解由已知,得解得于是b1=2-1=,公比q=2d=24=16,所以数列{b n}的通项公式b n=·16n-1.10.已知数列{a n}满足a1=,且a n+1=a n+(n∈N*).(1)求证:是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明∵a n+1=a n+,∴a n+1-a n+.∴.∴是首项为,公比为的等比数列.(2)解∵a n-,∴a n=.B组1.若a,b,c成等差数列,而a+1,b,c和a,b,c+2都分别成等比数列,则b的值为()A.16B.15C.14D.12解析依题意,得解得答案D2.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m等于()A.9B.10C.11D.12解析∵a m=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10=1×q10,∴m=11.答案C3.已知等比数列{a n},各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=()A.3+2B.1-C.1+D.3-2解析由a1,a3,2a2成等差数列,得a3=a1+2a2.在等比数列{a n}中,有a1q2=a1+2a1q,即q2=1+2q,得q=1+或1-(舍去),所以=q2=(1+)2=3+2.答案A4.已知-7,a1,a2,-1四个实数成等差数列,-4,b1,b2,b3,-1五个实数成等比数列,则=. 解析由题意,得a2-a1==2,=(-4)×(-1)=4.又b2是等比数列中的第3项,所以b2与第1项同号,即b2=-2,所以=-1.答案-15.已知一个等比数列的各项均为正数,且它的任何一项都等于它的后面两项的和,则它的公比q=.解析依题意,得a n=a n+1+a n+2,所以a n=a n q+a n q2.因为a n>0,所以q2+q-1=0,解得q=(q=舍去).答案6.若数列a1,,…,,…是首项为1,公比为-的等比数列,则a5=.解析由题意,得=(-)n-1(n≥2),所以=-=(-)2,=(-)3,=(-)4,将上面的四个式子两边分别相乘,得=(-)1+2+3+4=32.又a1=1,所以a5=32.答案327.已知数列{a n}满足S n=4a n-1(n∈N*),求证:数列{a n}是等比数列,并求出其通项公式.解依题意,得当n≥2时,S n-1=4a n-1-1,所以a n=S n-S n-1=(4a n-1)-(4a n-1-1),即3a n=4a n-1,所以,故数列{a n}是公比为的等比数列.因为S1=4a1-1,即a1=4a1-1,所以a1=,故数列{a n}的通项公式是a n=.8.导学号04994041已知数列{a n}的前n项和S n=2a n+1,(1)求证:{a n}是等比数列,并求出其通项公式;(2)设b n=a n+1+2a n,求证:数列{b n}是等比数列.证明(1)∵S n=2a n+1,∴S n+1=2a n+1+1,S n+1-S n=a n+1=(2a n+1+1)-(2a n+1)=2a n+1-2a n,∴a n+1=2a n.由已知及上式可知a n≠0.∴由=2知{a n}是等比数列.由a1=S1=2a1+1,得a1=-1,∴a n=-2n-1.(2)由(1)知,a n=-2n-1,∴b n=a n+1+2a n=-2n-2×2n-1=-2×2n=-2n+1=-4×2n-1.∴数列{b n}是等比数列.。

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第2课时等比数列的性质[课时作业]［A组基础巩固］1．如果数列{a n｝是等比数列，那么（）A．数列{a错误!｝是等比数列B．数列｛2a n｝是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列｛na n｝是等比数列解析：设b n＝a错误!，则错误!＝错误!＝错误!2＝q2，∴｛b n｝为等比数列；2a n＋12a n＝2a n＋1－a n≠常数；当a n〈0时，lg a n无意义；设c n＝na n,则错误!＝错误!＝错误!·q≠常数．答案:A2．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于( ）A．9 B．3C．－3 D．－9解析：a1＝a2－3,a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3,a4成等比数列，a错误!＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)（a2＋6）,解得a2＝－9。

答案：D3．在正项等比数列｛a n｝中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( ）A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16。

2.4 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．定义也可叙述为：在数列{}n a 中，若1(n na q q a +=为常数且0)q ≠，则{}n a 是等比数列． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么___________叫做a 与b 的等比中项．3．等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则这个等比数列的通项公式是1______(,0)n a a q =≠．4．等比数列与指数函数 （1）等比数列的图象等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1xa y q q=⋅的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），12n n a -=的图象如下图所示．（2）等比数列的单调性已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则 ①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是___________数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是___________数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． K 知识参考答案： 1．同一常数2．G3．11n a q- 4．递增 递减等比数列的判定与证明判断数列{}n a 是否为等比数列的方法： （1）定义法：判断1n na a +是否为常数； （2）等比中项法：判断11(,2)n nn n a a n n a a +-=∈≥*N 是否成立； （3）通项公式法：若数列{}n a 的通项公式形如(0)nn a tq tq =≠，则数列{}n a 是等比数列．（1）若{}n a 的通项公式为212n n a -=，试判断数列{}n a 是否为等比数列．（2）若,,,a b c d 成等比数列，,,a b b c c d +++均不为零，求证：,,a b b c c d +++成等比数列．【答案】（1）{}n a 是等比数列，证明见解析；（2）,,a b b c c d +++成等比数列，证明见等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列{}n a中，若474,32,a a==则na=____________；（2）在等比数列{}n a中，已知253636,72,a a a a+=+=若1024na=，则n=____________．与q ，即可写出数列{}n a 的通项公式；（2）当已知等比数列{}n a 中的某项，求出公比q 后，可绕过求1a 而直接写出其通项公式，即(,)n mn m a a qm n -=∈*N ．等比数列的性质的应用若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===L L ①②若m n t p q r++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列． （3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列； 数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列． （4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k q 或2)k q 的等比数列．已知等比数列{}n a 满足0,n a >（1）若1237894,9,a a a a a a ==则456a a a =_____________； （2）若25253(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，3133321log log log n a a a -+++=L _____________．【答案】（1）6；（2）2n ．【解析】（1）方法1：因为31231322789798()4,()a a a a a a a a a a a a a ====389,a ==由递推公式构造等比数列求数列的通项公式（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101qa p-≠-时，数列{}1n qa p--是等比数列； ②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．（1）在数列{}n a 中，111,36,n n a a a +==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________；（2）在数列{}n a 中，1111,63,n n n a a a ++==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________．忽略等比数列中所有项不为零导致错误已知等比数列{}n a 的前三项分别为,22,33a a a ++，则a =_____________．【错解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．【错因分析】若1a =-，则,22,33a a a ++这三项为1,0,0-，不符合等比数列的定义． 【正解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．由于1a =-时，220,330a a +=+=，所以1a =-应舍去，故4a =-．【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去．忽略等比数列中项的符号导致错误在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，则19a a =_____________．【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件． 【正解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．1．已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则b 的值为A ．3BC．D ．522．在等比数列{}n a 中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知等比数列{}n a 为递增数列，若10a >，且212()3n n n a a a ++-=，则数列{}n a 的公比q =A ．2或12B ．2C ．12D ．2-4．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b = A ．16 B ．8 C ．2D ．45．已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为A ．2B ．4C ．8D ．166．在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是 A．BC．D ．3±7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为 A ．13B ．－7C ．－7或13D ．无法求解8．已知0a b c <<<，且,,a b c 是成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则下列关于log a n ，log b n ，log c n 的说法正确的是A ．成等差数列B ．成等比数列C ．各项的倒数成等差数列D ．以上都不对9．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=____________．10．在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是_____________．11．在等比数列{}n a 中，572a a =，2103a a +=，则124a a =_____________． 12．已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q =_____________，通项公式为n a =_____________．13．已知等比数列{}n a 中，2766a a +=，36128a a =，求等比数列{}n a 的通项公式n a ．14．已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中415a =．（1）求321,,a a a ；（2）求证：数列{1}n a +为等比数列．15．已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3()n an b n =∈*N ．（1）试判断{}n a 是何种数列； （2）若813a a m +=，求1220b b b L ．16．已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +=A ．B ．24C ．D ．4817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a aA ．24B ．25C ．26D ．2718．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则12ln ln a a ++⋅⋅⋅+20ln a =A ．50B ．40C ．30D ．2019．各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为，则27211log log a a +的值为A ．4B ．3C ．2D ．120．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则234a a a b b b ++=A ．24B ．25C ．26D ．8421．在等比数列{}n a 中，27a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则21n a +=____________．22．已知数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，则n a =_____________． 23．已知1,,,4a b --成等差数列，1,,,,4m n t --成等比数列，则b an-=______________． 24．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =． （1）求n a 与n b ； （2）求和：12111nS S S +++．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在数列{}n b 中，11b a =，1(2)n n n b a a n -=-≥，且n n a S n +=．（1）设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列； （2）求数列{}n b 的通项公式．26．（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 ABC．fD．27．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 （参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年28．（2017北京理）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =______________． 29．（2017新课标全国Ⅲ理）设等比数列{}n a 满足a 1+a 2=–1,a 1–a 3=–3，则a 4=______________．30．（2018新课标全国Ⅰ文）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．31．（2016新课标全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，21(21)n n n a a a +---120n a +=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．1．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ．由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ．2．【答案】C【解析】根据等比数列通项公式11n n a a q-=⋅有1111()3222n -=⋅，解得5n =，故选C ．5．【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B ． 6．【答案】B【解析】由48,a a 是方程2430x x -+=的两根有484840,3a a a a +=>=，故48,a a 都为正数，而26483a a a ==，所以6a =，由于2640a a q =>，所以6a =，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，可设这三个数分别为aq，a ，aq ，则22222222739999191aa aq a q q a a a q q q ⎧⋅⋅==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪++=⎩⎪⎩239a q =⎧⇒⎨=⎩或2319a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以3q =±或13q =±，故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1．故这三个数的和为13或－7．故选C ．9．【答案】−5【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=，∴15793log ()5a a a ++=-．10．【答案】149【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而461.49a q == 11．【答案】2或21【解析】由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，所以1012422a a a a ==或21． 12．【答案】12 61()2n - 【解析】由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=，所以2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或2（舍去），所以通项公式为3631()2n n n a a q --==．13．【答案】12n n a -=或82nn a -=．【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q ， 由题意得272727362766,66,2,64128128a a a a a a a a a a +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩所以55722a q a ==或512，即2q =或12， 所以2122n n n a a q--==或22812n n n a a q --==．故等比数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或82nn a -=．14．【答案】（1）11a =，23a =，37a =；（2）见解析．【解析】（1）由121n n a a -=+及415a =知432115,a a =+= 解得,73=a 同理可得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 可得2211+=+-n n a a ，)1(211+=+-n n a a ，{1}n a +是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列．（2）因为120813a a a a m +=+=，所以1220a a a +++=L ()120202a a +=10m ，所以2012201210122033333a a a a a am b b b +++===L L L ．16．【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =， 所以222812610610()21224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=，故选B ． 17．【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是1，公比是2，所以2342,4,8b b b ===，等差数列{}n a 的首项是1，公差是2，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ． 18．【答案】C【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10ln e 30a a ===，故选C ．19．【答案】B【解析】由4a 与14a的等比中项为4148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ． 20．【答案】D【解析】等差数列{}n a 首项是1，公差是2，所以2343,5,7a a a ===，等比数列{}n b 首项是1，公比是2，所以23424635722284a a a b b b b b b ++=++=++=，故选D ． 21．【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而2211117777nn n n a q +-=⨯=⨯=． 22．【答案】31n -【解析】1132(2),2n n a a n a -=+≥=，1113(1),13n n a a a -∴+=++=，即数列{1}n a +是以3为首项、3为公比的等比数列，则nn a 31=+，即13-=nn a ． 23．【答案】12【解析】因为1,,,4a b --成等差数列，设公差为d ，所以4(1)141b a d ----===--，因为1,,,,4m n t --成等比数列，所以2(1)(4)4n =-⨯-=， 即2n =±，由于n 与1,4--同号，所以0n <，所以2n =-，所以1122b a n --==-． 24．【答案】（1）21n a n =+，18n n b -=；（2）32342(1)(2)n n n +-++． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ， 则0d>，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，依题意有23322(93)960,(6)64,S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩解得2,8d q =⎧⎨=⎩或6,5403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)，故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=．（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+，所以121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 323.42(1)(2)n n n +=-++ 25．【答案】（1）见解析；（2）1()2nn b =．【解析】（1）因为n n a S n += ①，所以111n n a S n +++=+ ②，②−①得111n n n a a a ++-+=，所以121n n a a +=+， 所以12(1)1n n a a +-=-，所以11112n n a a +-=-，所以{1}n a -是等比数列．因为首项111c a =-，111a a +=，所以112a =，所以112c =-， 所以{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列． （2）由（1）可知1111()()()222n n n c -=-⋅=-，所以111()2n n n a c =+=-．故当2n ≥时，111111111()[1()]()()()22222n n n n nn n n b a a ---=-=---=-=．又1112b a ==代入上式也符合，所以1()2n nb =．26．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以*1(2,)n n a n n -=≥∈N ， 又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种： （1）定义法，若1*(0,)n n a q q n a +=≠∈N 或1*(0,2,)n n aq q n a n -≠≥∈=N ， 数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且*2123,()n n n a a a n n --≥∈=⋅N ，则数列{}n a 是等比数列．28．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 29．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．30．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3）1·2n n a n -=．【解析】（1）由条件可得12(1)n n n a a n++=， 将1n =代入得214a a =，而11a =，所以24a =． 将2n =代入得323a a =，所以312a =． 从而11b =，22b =，34b =．31．【答案】（1）41,2132==a a ；（2）121-=n n a ． 【解析】（1）由题意得41,2132==a a ． （2）由02)12(112=---++n n n n a a a a ，得)1()1(21+=++n n n n a a a a ． 因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ， 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ．。

第1课时 等比数列的概念及通项公式[学生用书P105(单独成册)][A 基础达标]1．在数列{a n }中，若a n ＋1＝3a n ，a 1＝2，则a 4为( ) A ．108 B.54 C ．36D ．18解析：选B.因为a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是公比为3的等比数列，则a 4＝33a 1＝54. 2．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项为( )A ．±4 B.4 C ．±14D ．14解析：选A.由题意得(±a 6)2＝a 4a 8，因为a 1＝18，q ＝2，所以a 4与a 8的等比中项为±a 6＝±4.3．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B.b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9解析：选B.因为b 是－1，－9的等比中项，所以b 2＝9，b ＝±3. 又等比数列奇数项符号相同，得b <0，故b ＝－3， 而b 又是a ，c 的等比中项， 故b 2＝ac ，即ac ＝9.4．(2019·丰台高二检测)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2B.4 C ．2D ．12解析：选C.因为a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中的连续三项，所以a 23＝a 1a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，所以a 1＝2d ，所以公比q ＝a 3a 1＝4d 2d＝2.5．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．22n －1B.2nC ．22n ＋1D ．22n －3解析：选A.由a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，得(a n ＋1－4a n )·(a n ＋1＋a n )＝0.又{a n }是正项数列，所以a n ＋1－4a n ＝0，a n ＋1a n＝4.由等比数列的定义知数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列．由等比数列的通项公式，得a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.6．下面四个数列：①1，1，2，4，8，16，32，64；②在数列{a n }中，已知a 2a 1＝2，a 3a 2＝2； ③常数列a ，a ，…，a ，…； ④在数列{a n }中，a n ＋1a n＝q (q ≠0)，其中n ∈N *. 其中一定是等比数列的有________．解析：①不符合“每一项与它的前一项的比等于同一常数”，故不是等比数列． ②不一定是等比数列．当{a n }只有3项时，{a n }是等比数列；当{a n }的项数超过3时，不一定符合．③不一定．若常数列是各项都为0的数列，它就不是等比数列；当常数列各项不为0时，是等比数列．④等比数列的定义用式子的形式表示：在数列{a n }中，对任意n ∈N *，有a n ＋1a n＝q (q ≠0)，那么{a n }是等比数列．答案：④7．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .因为a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3d ＝8，－1·q 3＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝－2. 所以a 2＝2，b 2＝2.所以a 2b 2＝22＝1.答案：18．等比数列{a n }中，若a 2a 5＝2a 3，a 4与a 6的等差中项为54，则a 1＝________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 2a 5＝2a 3，所以a 21q 5＝2a 1q 2，化简得a 1q 3＝2＝a 4. 因为a 4与a 6的等差中项为54，所以a 4＋a 6＝2×54，所以a 4(1＋q 2)＝52.所以q 2＝14，解得q ＝±12.则a 1×⎝ ⎛⎭⎪⎫±18＝2，解得a 1＝±16. 答案：±169．在等比数列{a n }中，a 3＝32，a 5＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若a n ＝12，求n .解：(1)因为a 5＝a 1q 4＝a 3q 2，所以q 2＝a 5a 3＝14.所以q ＝±12.当q ＝12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＝28－n ；当q ＝－12时，a n ＝a 1q n －1＝a 1q 2·q n －3＝a 3q n －3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.所以a n ＝28－n或a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3.(2)当a n ＝12时，即28－n＝12或32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －3＝12，解得n ＝9.10．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，求数列{a n }的通项公式．解：设数列{a n }的公比为q . 因为a 25＝a 10，2(a n ＋a n －2)＝5a n －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9①2（q 2＋1）＝5q ②， 由①，得a 1＝q ， 由②，得q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，所以a 1＝q ＝2，所以a n ＝2n.[B 能力提升]11．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则a n ＝( ) A ．2n－1 B.2n －1－1C ．2n －1D ．2(n －1)解析：选A.等式两边同时加1，得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n－1.12．已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，ka 1a 2·…·a k ＝a 11，则k ＝( ) A ．12 B.15 C ．18D ．21解析：选D.ka 1a 2·…·a k ＝a 1q 1＋2＋3＋…＋（k －1）k＝a 1q k －12＝a 1q 10，因为a 1>0，q ≠1，所以k －12＝10，所以k ＝21，故选D.13．已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＋3a 5＝56，若log 2b n ＝a n . (1)求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：由log 2b n ＝a n ，得b n ＝2a n .因为数列{a n }是等差数列，不妨设公差为d ，则b n b n －1＝2a n 2a n －1＝2a n －a n －1＝2d ，2d 是与n 无关的常数， 所以数列{b n }是等比数列．(2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋3d ＋3（a 1＋4d ）＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝4，于是b 1＝2－1＝12，公比q ＝2d ＝24＝16，所以数列{b n }的通项公式b n ＝12·16n －1＝24n －5.14．(选做题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝3S n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，知a 1＝3S 1＋1，即a 1＝3a 1＋1， 所以a 1＝－12.又a 2＝3S 2＋1，即a 2＝3(a 1＋a 2)＋1，解得a 2＝14.(2)由a n ＝3S n ＋1，① 得a n －1＝3S n －1＋1(n ≥2)，② 由①－②，得a n －a n －1＝3(S n －S n －1)＝3a n ，得a n a n －1＝－12，所以数列{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n.。

第13课时等比数列的概念及通项公式知识点一等比数列的定义1．数列m，m，m，…一定( )A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，但不一定是等比数列D．既是等差数列，又是等比数列答案 C解析当m＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列；当m≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C．2．若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，则当x＞1 时，log a x，log b x，log c x( ) A．依次成等差数列B．依次成等比数列C．各项的倒数依次成等差数列D．各项的倒数依次成等比数列答案 C解析1log a x＋1log c x＝log x a＋log x c＝log x(ac)＝log x b2＝2log x b＝2log b x，∴1log a x，1log b x，1log c x成等差数列．知识点二等比数列的通项公式3．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为( )A．na(1－b%) B．a(1－nb%)C．a(1－b%)n D．a[1－(b%)n]答案 C解析依题意可知第一年后的价值为a(1－b%)，第二年后的价值为a(1－b%)2，依此类推形成首项为a(1－b%)，公比为1－b%的等比数列，则可知n年后这批设备的价值为a(1－b %)n ．故选C ．4．在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( ) A ．16 B ．27 C ．36 D ．81 答案 B解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9.∴q 2(a 1＋a 2)＝9，∴q 2＝9．∵a n ＞0，∴q ＝3． ∴a 4＋a 5＝q (a 3＋a 4)＝3×9＝27．知识点三 等比数列的证明5．已知数列{a n }的首项a 1＝t >0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1，n ∈N *，若t ＝35，求证1a n－1是等比数列并求出{a n }的通项公式．解 由题意知a n >0，1a n ＋1＝2a n ＋13a n ， 1a n ＋1＝13a n ＋23， 1a n ＋1－1＝131a n －1，1a 1－1＝23， 所以数列1a n －1是首项为23，公比为13的等比数列．1a n －1＝2313n －1＝23n ，a n ＝3n3n ＋2．知识点四 等比中项及应用6．已知一等比数列的前三项依次为x ，2x ＋2，3x ＋3，那么－1312是此数列的第________项( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 由x ，2x ＋2，3x ＋3成等比数列，可知(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)，解得x ＝－1或－4，又当x ＝－1时，2x ＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x ＝－4．∴该数列是首项为－4，公比为32的等比数列，其通项a n ＝－4×32n －1，由－4×32n －1＝－1312，得n ＝4．7．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，a 是b ，c 的等比中项，且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4 答案 D解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ＋c ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得a ＝－4，b ＝2，c ＝8．8．在等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝27，则a 3与a 7的等比中项是________． 答案 ±3解析 由等比中项的定义知a 25＝a 4a 6，∴a 35＝27． ∴a 5＝3，∴a 1q 4＝3，∴a 3a 7＝a 21q 8＝32，因此a 3与a 7的等比中项是±3．易错点一 忽略对等比中项符号的讨论9．若1，x ，y ，z ，16这五个数成等比数列，则y 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．±4 D．2易错分析 对于本题的求解，若仅注意到y 是1与16的等比中项，会很快得出y 2＝16，进一步得出y ＝±4，从而导致错解．答案 A解析 由于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1·y ，y 2＝1×16⇒y ＝4，故选A ．易错点二 忽略等比数列中公比可正可负10．已知一个等比数列的前4项之积为116，第2项与第3项的和为2，则这个等比数列的公比为________．易错分析 本题易错设四个数分别为a q 3，a q，aq ，aq 3公比为q 2相当于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负而错算出公比为3±22．答案 3±22或－5±2 6解析 设这4个数为a ，aq ，aq 2，aq 3(其中aq ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2·aq 3＝116，aq ＋aq 2＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2q 3＝±14，a 2q ＋q 22＝2.所以a 2q 3a 2q ＋q 22＝±18， 整理得q 2－6q ＋1＝0或q 2＋10q ＋1＝0， 解得q ＝3±22或q ＝－5±26．一、选择题1．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 B解析 由a n a n ＋1＝16n ，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16，∴q ＝±4．∵a 1a 2＝a 21q ＝16＞0，∴q ＞0，∴q ＝4．2．在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．16 答案 B解析 ∵点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ．∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0．∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8．3．已知等比数列a 1，a 2，…a 8各项为正，且公比q ≠1，则( ) A ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5D ．a 1＋a 8与a 4＋a 5大小关系不能确定 答案 C解析 由题意可知，a 1＞0，q ＞0，a 1＋a 8－a 4－a 5＝a 1(1＋q 7－q 3－q 4)＝a 1[1－q 3－q 4(1－q 3)]＝a 1[(1－q 3)(1－q 4)]＞0．∴a 1＋a 8＞a 4＋a 5．故选C ．4．一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A ．53 B ．43 C ．32 D ．12 答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25．∴这三个数分别为45，75，125，公比q 为7545＝53．5．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．98答案 D解析 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a ＝12，b ＝38，c ＝14，则a ＋b ＋c ＝98．故选D ．二、填空题6．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案5－12解析 设该直角三角形的三边分别为a ，aq ，aq 2(q ＞1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12．较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12． 7．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金13，第3关收税金14，第4关收税金15，第5关收税金16，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关需收税金为________．答案172x 解析 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝12×3x ；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝13×4x ；…，可得第8关收税金：18×9x ，即172x ． 8．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1．当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________．答案 2n －1解析 设等比数列的公比为q (q ＞0)， 由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，所以a 1＝1q －1． a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q ＞0)， 而－1q 2＋1q ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －122＋14， ①当q ＝2时①式有最大值14，所以当q ＝2时a 3有最小值4． 此时a 1＝1q －1＝12－1＝1． 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1．故答案为2n －1．三、解答题9．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．解 (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1qn －1＝2n．(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32，设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －2＝6n 2－22n ．10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2，3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n ．解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15．下面证明{a n －n }是等比数列： 证明：由a n ＝3a n －1－2n ＋3可得a n －n ＝3[a n －1－(n －1)]，因为a 1－1＝－2≠0，所以a n －n ≠0， 所以a n ＋1－n ＋a n －n＝3a n －n ＋＋3－n ＋a n －n＝3a n －3na n －n＝3(n ＝1，2，3，…)． 又a 1－1＝－2，所以{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，所以a n ＝n －2·3n －1．。

高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时教案新人教A版必修5一、教学目标：知识与技能1. 了解等比数列更多的性质；2. 能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中；3. 能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题过程与方法1. 继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2. 对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程；3. 当好学生学习的合作者的角色.情感态度与价值观1. 通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2. 通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质；2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、学情及导入分析：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程:复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1.温故知新师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下•师对各组的汇报给予评价•师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：猜想：在数列｛a n｝中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a i为首项、q m%一公比的等比数列.◊本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法•第4题解答：(1) 设｛a n｝的公比是q , 则2, 4 2 2 8a s =( a i q ) =a i qh 2 6 2 8而a s • a7=a i q • a i q =a i q ,所以a s =a s • a7. 同理,a s =a i • a o.(2) 用上面的方法不难证明a2=a n-i • a n+i( n> i).由此得出,a n是a n-i和a n+i的等比中项，同理可证a n2=a n-k • a n+k( n>k > 0). a是a n-k和a n+k的等比中项(n> k学生回答；生由学习小组汇报探究结果.第3题解答：⑴将数列，｛a n｝的前k项去掉，剩余的数列为a k+i ,a k+2,….令b i =a<+i ,i=i,2,…，则数列a k+i, a k+2,…，可视为b i, b?，….因为b i i a k i i q (i >i),b i a k i所以，｛b n｝是等比数列，即a k+i, a k+2,…是等比数列.(2)｛a n｝中每隔I0项取出一项组成的数列是a i, a ii ,a 2i，…, 则a ii a2i a i0k ii... ...qa i a ii a i0k 9(k >i). 所以数列a i,aii, a2i,…是以a i为首项，q i0为公比的等比数列.由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。

第二课时 等比数列的性质等比数列性质的应用[例1] (1)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝8，a 8a 9＝－8，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________.(2)已知数列{a n }是等比数列，a 3＋a 7＝20，a 1a 9＝64，求a 11的值．[解] (1)因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－98＝－53. (2)∵{a n }为等比数列， ∴a 1·a 9＝a 3·a 7＝64. 又∵a 3＋a 7＝20，∴a 3，a 7是方程t 2－20t ＋64＝0的两个根． ∵t 1＝4，t 2＝16，∴a 3＝4，a 7＝16或a 3＝16，a 7＝4. ①当a 3＝4，a 7＝16时，a 7a 3＝q 4＝4，此时a 11＝a 3q 8＝4×42＝64. ②当a 3＝16，a 7＝4时，a 7a 3＝q 4＝14，此时a 11＝a 3q 8＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝1. [答案] (1) －53[类题通法] 等比数列常用性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)， 则a m ·a n ＝a p ·a q .特例：若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ·a n ＝a 2p . (2)a n a m＝qn －m(m ，n ∈N *)．(3)在等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列．(4)数列{a n }为等比数列，则数列{λa n }(λ为不等于0的常数)和⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 仍然成等比数列．[活学活用]1．在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝12，则a 10＝________. 解析：法一：设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1q 5＝12，解得q 4＝6，∴a 10＝a 1q 9＝a 1q ·(q 4)2＝2×36＝72. 法二：∵{a n }是等比数列， ∴a 26＝a 2·a 10，于是a 10＝a 26a 2＝1222＝1442＝72.答案：722．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝()a 276·a 7＝a 137，而a 7＝－2，∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－213灵活设元求解等比数列[例2] 已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数． [解] 法一：设三个数依次为a ，aq ，aq 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，a 2＋a 2q 2＋a 2q 4＝91，∴⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝27，a 21＋q 2＋q 4＝91，即⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，a 21＋q 2＋q 4＝91，解得q 21＋q 2＋q 4＝991， 得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝9或q 2＝19，∴q ＝±3或q ＝±13.若q ＝3，则a 1＝1； 若q ＝－3，则a 1＝－1； 若q ＝13，则a 1＝9；若q ＝－13，则a 1＝－9.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. 法二：设这三个数分别为a q，a ，aq .⎩⎪⎨⎪⎧aq·a ·aq ＝27，a 2q 2＋a 2＋a 2q 2＝91⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q2＋1＋q 2＝91，得9q 4－82q 2＋9＝0，即得q 2＝19或q 2＝9，∴q ＝±13或q ＝±3.故这三个数为1,3,9，或－1,3，－9，或9,3,1，或－9,3，－1. [类题通法]三个数或四个数成等比数列的设元技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a ，aq ，aq 2或a q，a ，aq .(2)若四个数成等比数列，可设为a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设为a q3，a q，aq ，aq 3. [活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为( )A ．－4或1712B ．4或1712C ．4D ．1712解析：选B 设插入的第一个数为a ，则插入的另一个数为a 22.由a ，a 22，20成等差数列得2×a 22＝a ＋20.∴a 2－a －20＝0，解得a ＝－4或a ＝5. 当a ＝－4时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝4.当a ＝5时，插入的两个数的和为a ＋a 22＝1712.等比数列的实际应用[例3] 年2月起，每月生产总值比上一个月增长m %，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解] 设从2015年1月开始，第n 个月该厂的生产总值是a n 万元，则a n ＋1＝a n ＋a n m %， ∴a n ＋1a n＝1＋m %. ∴数列{a n }是首项a 1＝a ，公比q ＝1＋m %的等比数列． ∴a n ＝a (1＋m %)n －1.∴2016年8月底该厂的生产总值为a 20＝a (1＋m %)20－1＝a (1＋m %)19(万元)．[类题通法]数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用](安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22， 所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案：143.等差数列和等比数列的性质对比等差数列和等比数列从文字看，只是一字之差，但定义和性质相差甚远，下面对两类数列的性质作一比对，若等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .【性质1】 等差数列{a n }，当d ＝0时，数列为常数列，当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．等比数列{b n }，当q ＞1，b 1＞0或0＜q ＜1，b 1＜0时，数列{b n }是递增数列；当q ＞1，b 1＜0或0＜q ＜1，b 1＞0时，数列{b n }是递减数列；当q ＝1时，数列{b n }是常数列．[例1] 设{a n }是首项大于零的等比数列，且a 1＜a 2＜a 3，则数列{a n }是________数列．(填“递增”“递减”或“摆动”)[解析] 设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，因为a 1＜a 2＜a 3，所以a 1＜a 1q ＜a 1q 2，解得q ＞1，且a 1＞0，所以数列{a n }是递增数列．[答案] 递增【性质2】 等差数列{a n }满足a n ＝a m ＋(n －m )·d (m ，n ∈N *)，等比数列{b n }满足b n ＝b m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(当m ＝1时，上述式子为通项公式)[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，则{a n }的通项公式为________． [解析] ∵a 6＝a 3＋3d ，则0＝－6＋3d ，得d ＝2， ∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝－6＋(n －3)×2＝2n －12. [答案] a n ＝2n －12【性质3】 若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，等差数列{a n }满足a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，若数列{a n }是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a i ＋1＋a n －i ＝…(n ∈N *)．等比数列{b n }满足b m b n ＝b p b q ，特别地，数列{b n }是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积，即b 1·b n ＝b 2·b n －1＝b 3·b n －2＝…＝b m ·b n －m ＋1.[例3] (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．105(2)在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比q 值的个数可能为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] (1)S 19＝19a 1＋a 192＝19a 3＋a 172＝19×102＝95.(2)∵a 2·a 8＝a 3·a 7，∴由⎩⎪⎨⎪⎧a 3·a 7＝36，a 3＋a 7＝15，解得a 3＝3，a 7＝12，或a 3＝12，a 7＝3. 若a 3＝3，a 7＝12，则有12＝3×q 4， ∴q 4＝4，∴q 2＝2，q ＝± 2.若a 3＝12，a 7＝3，则有3＝12×q 4， ∴q 4＝14，q 2＝12，q ＝±22.∴q 的值可能有4个． 答案：(1)B (2)D【性质4】 在等差(比)数列中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差(比)数列，公差为(k ＋1)d (公比为q k ＋1)，若两个数列分别成等差(比)数列，则两数列对应项和(积)构成等差(比)数列．[例4] 在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，求a ＋b ＋c 的值．[解] ∵1，a ，b ，c,16成等比数列， ∴1，b,16为等比数列．∴b ＝4.∴1，a ，b 也成等比数列，b ，c,16也成等比数列． ∴a ＝2，c ＝8.∴a ＋b ＋c ＝2＋4＋8＝14.[随堂即时演练]1．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，….此数列( )A ．是公比为q 的等比数列B ．是公比为q 2的等比数列 C ．是公比为q 3的等比数列 D ．不一定是等比数列解析：选B 由于a n a n ＋1a n －1a n ＝a n a n －1·a n ＋1a n＝q ·q ＝q 2，n ≥2且n ∈N *， ∴{a n a n ＋1}是以q 2为公比的等比数列，故选B.2．若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为( ) A ．－12B.12 C ．±12D.14解析：选A ∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0， ∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 3．在等比数列{a n }中，a 888＝3，a 891＝81，则公比q ＝________. 解析：∵a 891＝a 888q 891－888＝a 888q 3，∴q 3＝a 891a 888＝813＝27. ∴q ＝3. 答案：34．在等比数列{a n }中，各项都是正数，a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝4，则a 4＋a 8＝________. 解析：∵a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， ∴a 24＋a 28＝41， 又a 4a 8＝4，∴(a 4＋a 8)2＝a 24＋a 28＋2a 4a 8＝41＋8＝49. ∵数列各项都是正数， ∴a 4＋a 8＝7. 答案：75．已知数列{a n }为等比数列．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝21，a 1a 2a 3＝216，求a n ； (2)若a 3a 5＝18，a 4a 8＝72，求公比q . 解：(1)∵a 1a 2a 3＝a 32＝216，∴a 2＝6， ∴a 1a 3＝36.又∵a 1＋a 3＝21－a 2＝15，∴a 1，a 3是方程x 2－15x ＋36＝0的两根3和12. 当a 1＝3时，q ＝a 2a 1＝2，a n ＝3·2n －1；当a 1＝12时，q ＝12，a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)∵a 4a 8＝a 3q ·a 5q 3＝a 3a 5q 4＝18q 4＝72，∴q 4＝4，∴q ＝± 2.[课时达标检测]一、选择题1．(重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0， 因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.2．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值为( ) A ．35 B ．63 C ．21 3D ．±21 3解析：选B ∵{a n }是等比数列， ∴a 4，a 6，a 8成等比数列， ∴a 26＝a 4·a 8，即a 8＝2127＝63.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 10＝3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( ) A ．81 B ．27327 C ．3D ．243解析：选A 因为数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝(a 2a 9)·(a 3a 8)·(a 4a 7)·(a 5a 6)＝(a 1a 10)4＝34＝81.故选A. 4．设数列{a n }为等比数列，则下面四个数列： ①{a 3n }；②{pa n }(p 为非零常数)；③{a n ·a n ＋1}； ④{a n ＋a n ＋1}．其中是等比数列的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选D ①∵a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3，∴{a 3n}是等比数列；②∵pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n＝q ，∴{pa n }是等比数列；③∵a n ·a n ＋1a n －1·a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2，∴{a n ·a n ＋1}是等比数列；④∵a n ＋a n ＋1a n －1＋a n ＝q a n －1＋a na n －1＋a n＝q ，∴{a n ＋a n ＋1}是等比数列．5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.二、填空题6．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0， ∵b 7＝a 7≠0， ∴b 7＝a 7＝4. ∴b 6b 8＝b 27＝16. 答案：167．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048(平方厘米)． 答案：2 0488．在等比数列{a n }中，a 7·a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10＝________. 解析：∵{a n }是等比数列， ∴a 7·a 11＝a 4·a 14＝6， 又a 4＋a 14＝5， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2.∵a 14a 4＝q 10，∴q 10＝23或q 10＝32. 而a 20a 10＝q 10，∴a 20a 10＝23或a 20a 10＝32. 答案：23或32三、解答题9．在83和272之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积． 解：法一：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83，a 5＝272＝a 1q 4＝83q 4， ∴q 4＝8116，q 2＝94. ∴a 2·a 3·a 4＝a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 31·q 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫833×⎝ ⎛⎭⎪⎫943＝63＝216. 法二：设这个等比数列为{a n }，公比为q ，则a 1＝83， a 5＝272，由题意知a 1，a 3，a 5也成等比数列且a 3>0，∴a 23＝83×272＝36，∴a 3＝6， ∴a 2·a 3·a 4＝a 23·a 3＝a 33＝216.10．始于2007年初的美国次贷危机，至2008年中期，已经演变为全球金融危机．受此影响，国际原油价格从2008年7月每桶最高的147美元开始大幅下跌，9月跌至每桶97美元．你能求出国际原油价格7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？若按此计算，到什么时间跌至谷底(即每桶34美元)?解：设每月平均下降的百分比为x ，则每月的价格构成了等比数列{a n }，记a 1＝147(7月份价格)，则8月份价格a 2＝a 1(1－x )＝147(1－x )，9月份价格a 3＝a 2(1－x )＝147(1－x )2.∴147(1－x )2＝97，解得x ≈18.8%.设a n ＝34，则34＝147·(1－18.8%)n －1，解得n ＝8.即从2008年7月算起第8个月，也就是2009年2月国际原油价格将跌至34美元每桶．11．从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？当a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a .设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作(n ＋1)次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a . ∴{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，q ＝1－1a为公比的等比数列， ∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n . 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110(n ∈N *)，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%.12．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解：法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设这四个数依次为2a q －a ，a q，a ，aq (a ≠0)， 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法三：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋12－y ，12－y 2＝y 16－x . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.。