广东省深圳市2014届高三2月第一次调研数学理试题

2014届高三六校第一次联考理科数学 试题命题学校：深圳实验学校第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. “1x ≥"是“2x >”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知2(,)a i b i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b +＝（ )A.－1 B ．1 C ．2 D ．33。

若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（ ）A ．x x x 2lg 21>> B ．21lg 2xx x>>C ．x xx lg 221>>D ．x x xlg 221>>4.下列四个命题中，正确的是( ）A ．已知ξ服从正态分布()2,0σN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()2.02=>ξPB ．已知命题1tan ,:=∈∃x R x p ；命题01,:2>+-∈∀x x R x q ．则命题“q p ⌝∧”是假命题C ．设回归直线方程为x y 5.22-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位D ．已知直线013:1=-+y ax l,01:2=++by x l ，则21l l ⊥的充要条件是ba =—35. 已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 夹角为（ ）A ．4π B ．6π C ．3πD ．23π6。

若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切,则此圆恒过定点( ）A 。

(0,2) B.(0,3)- C.(0,3) D 。

(0,6)7。

设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >,0b >）的最大值为12，则ab 的取值范围是（ ）A 。

广东省深圳中学2014届高三第二次模拟测试题理科数学第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．“1>x ”是“ln 0x >”的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(1)i z x x =-++是纯虚数，则实数x 的值为A ．1±B ．1-C ．1D ．23. 若集合{}0P y y =≥，PQ Q =，则集合Q 不可能是A ．∅B ．{}2,R y y x x =∈ C ．{}2,R xy y x =∈ D ．{}2log ,0y y x x =>4．sin 2013︒∈A ．32,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭B ．21,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．12,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭5．若函数2(),f x x x ax =+∈R ，常数a ∈R ，则A ．存在,a 使()f x 是奇函数B ．存在,a 使()f x 是偶函数C ．,a f x ∀∈R ()在(0,)+∞上是增函数D ．,a f x ∀∈R ()在(,0)-∞上是减函数 6. 动点P 在函数sin 2y x =的图象上移动，动点(,)Q x y 满足π(,0)8PQ =，则动点Q 的轨迹方程为A ．πsin 28y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 28y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ． πsin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．执行如图所示的程序框图，输出的k 值是A ．8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 设函数(2)ln(3)()4x x f x x --=-，则()f x 的图象A ．在第一象限内B ．在第四象限内C ．与x 轴正半轴有公共点D ．一部分在第四象限内，其余部分在第一象限内2n n =31n n =+开始 n =3，k =0 n 为偶数n =1输出k 结束k =k +1 是否 是否y=cos xy=sin xOyx-2-12-17π83π8y xOODC BA第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. 右图中阴影部分区域的面积S = .10. 若命题“x ∀∈R ，220x x m ++≥”的否定为真命题，则实数m 的取值范围是 .11. 如右图，在四边形ABCD 中，13DC AB =，E 为BC 的 中点，且AE x AB y AD =⋅+⋅，则32x y -= . 12．在ABC 中， 1cos ,33A AC AB ==，则cos B = . 13．已知函数()f x 满足：①对任意0x ∈+∞（，），恒有(2)2()f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.则(8)f = ；方程1()5f x =的最小正数解为 .选做题（请考生在以下两小题中任选一题做答，若两小题都做，则按第14题记分）.14．（几何证明选讲选做题）如图，已知点D 在圆O 直径AB 的延长线上，过D 作圆O 的切线,切点为.C 若3,1CD BD ==, 则圆O 的面积为 .15．(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系xOy 中，曲线l 的参数方程为,(3.x t t y t =⎧⎨=+⎩为参数)；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系O ρθ，则曲线l 的极坐标方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若1011(,),(,)a b ==-，()c a a b b =+⋅，求c ； （2）已知13,a b ==，1a b +=,求a 与b 夹角θ的值. 17．（本小题满分13分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图，其中π0,,2ωθ><,a b 分别是ABC 的角,A B 所对的边.（1）求()f x 的解析式； （2）若cos ()+12CC f =，求ABC 的面积S . EDC BA18． (本题满分13分)已知向量m (2cos 23sin ,1)x x =+，向量n (cos ,)x y =-，,x y ∈R ．(1) 若m n ,且1y =,求πtan()6x +的值；（2）若m ⊥n ，设()y f x =，求函数)(x f 的单调增区间.19.（本小题共14分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，01211(),201x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩，， 其中常数a ∈R , 且13.22f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 求a 的值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，， ①求证：()g x 是偶函数； ②求函数()g x 的值域.20．（本题满分14分）设函数()e ,xf x =2()4x g x =-，其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈，求证：[]12121()()()22x x f x f x f ++≥； （2）是否存在与函数()f x ，()g x 的图象均相切的直线l ？若存在，则求出所有这样的直线l 的方程；若不存在，则说明理由.21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R . (1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过x k的最大整数m .参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9．21- 10．(),1-∞ 11. 1 12．0 13. 0， 31014. π 15.(sin cos )3ρθθ-=,或π32sin()42ρθ-=三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题共12分）（1）若1011(,),(,)a b ==-，()c a a b b =+⋅，求c ； （2）已知13,a b ==，1a b +=,求a 与b 夹角θ的值. 解：（1）1011(,),(,)a b ==-，1a b ∴⋅=-， ……………………………………………………………………2分则21()(,)=+⋅=-=-c a a b b a b ，……………………………………………4分22215()c =+-=，…………………………………………………………6分另解：（1）1011(,),(,)a b ==-，1∴⋅=-a b ，2222101,(1)12=+==-+=a b ………………………3分则c a a b b a b =+⋅=-()， ……………………………………………4分222()21225c a b a a b b =-=-⋅+=++=，……………………6分（2）22222()22cos a b a b a b a b a b a b +=+=++⋅=++⋅θ,……8分又13,a b ==,1a b +=,∴1323cos 1θ++=,3cos 2θ=-. .………………………………………10分[]0,πθ∈,5π.6θ∴=.………………………………………………………………………12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C D B B D B ACBAO-2-12-17π83π8y xO另解：（2）假设a 与b 方向相同，那么131a b a b +=+=+>，这与1a b +=矛盾；假设a 与b 方向相反，那么311a b b a +=+-=-<这与1a b +=矛盾. 故a 与b 不共线. .……………………………………………………………8分 如图,在OACB 中,OA =a ,OB =b , 则=OC +a b ,AOB θ∠=.从而在OAC 中,1,3OA OC AC OB ====,22211(3)1cos .2112AOC +-∠==-⨯⨯.……………………………………………10分由(0,π)AOC ∠∈,知2π,3AOC ∠=π,6BOC OCA OAC ∠=∠=∠= 故2ππ5π.366AOB AOC BOC θ=∠=∠+∠=+=……………………………12分 17．（本小题满分13分）已知函数()()sin f x a x b ωθ=+-的部分图象如下图，其中π0,,2ωθ><,a b 分别是ABC 的角,A B 所对的边.（1）求()f x 的解析式； （2）若cos ()+12CC f =，求ABC ∆的面积S . 解：（1）由图象可知：max min ()21,()21,f x a b f x a b =-=-=--=--得2a =， 1.b =…………………………………………………………2分函数()f x 的最小正周期2π7π3π2()π88T ω==-=，得 2.ω=…………………3分 由3π3π()2sin(2)121,88f θ=⨯+-=-得3πsin()1,4θ+=…………………4分ππ3π5π,2444θθ<<+<， 3πππ,.424θθ∴+==- ……………………………………………………………5分 故π()2sin 2 1.4f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ …………………………………………………6分（2）由cos ()+12C C f =得，π2sin sin c s os o 4c C C C C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=，……7分 即1cos 2sin .C C =……………………………………………………………8分 又22sin cos 1C C +=，得2425sin ,sin .55C C ==±…………………………10分 由0πC <<得，25sin 5C =，……………………………………………………11分 故110sin .25S ab C ==……………………………………………………………13分 18． (本题满分13分)已知向量m (2cos 23sin ,1)x x =+，向量n (cos ,)x y =-，,x y ∈R ． (1) 若mn ,且1y =,求πtan()6x +的值；（2）若m ⊥n ，设()y f x =，求函数)(x f 的单调增区间. 解：（1）m n ,且1y =，2cos 23sin cos ,x x x ∴+=- ………………………2分即3tan .2x =-……………………………………………………………3分 πtan tanπ36tan().π691tan tan 6x x x +∴+==--⨯ ……………………………………5分 （2）m ⊥n ，∴m ⋅n 0=，得22cos 23sin cos 0x x x y +-=, …………7分即π()1cos 23sin 22sin(2) 1.6y f x x x x ==++=++………………………9分0n ≠，πcos 0,π,2x x k k ∴≠≠+∈Z .（没考虑这点不扣分） 由π()4cos(2)06f x x '=+≥得πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，………11分 即ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z . …………………………………………………12分 故)(x f 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………13分另解：（2）m ⊥n ，∴m ⋅n 0=，得22cos 23sin cos 0x x x y +-=, ………7分即π()1cos 23sin 22sin(2) 1.6y f x x x x ==++=++………………………9分0n ≠，πcos 0,π,2x x k k ∴≠≠+∈Z .（没考虑这点不扣分） 函数2sin 1y t =+的单调增区间为ππ2π,2π,22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ,……………10分 且函数π26t x =+是增函数, 由πππ2π22π,262k t x k k -≤=+≤+∈Z ， 得ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z . …………………………………………………12分 故)(x f 的单调增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .………………………………13分 19.（本小题共14分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，01211(),201x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩，， 其中常数a ∈R , 且13.22f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1) 求a 的值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，， ①求证：()g x 是偶函数； ②求函数()g x 的值域.(1)解： 214212312a a f ++⎛⎫==⎪⎝⎭+， ……………………………………………………1分 由函数()f x 的周期为2，得3311()(2)()2()102222f f f =-=-=-+=……3分1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 40, 4.3a a +∴==- ……………………………………………………………4分(2) ①证明：对[21][12]x ∀∈--，，，有[21][12]x -∈--，， 且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，∴()g x 是偶函数. …………………………………………………6分②解：由①知函数()g x 的值域与函数()g x 在[12]，上的值域相等 (1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-(2)(2)(2)2(0)4g f f f =+-==…………………………………………………8分当12x <<时, 21x -<-<-,()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+4(2)26()2(2)127(2)13x g x x x x x --+=-++=---+-,………………………10分26()20(3)g x x '=+>-,()g x 在()1,2内是增函数, ………………………11分 得6627()2271323g x --<<⨯----,即2() 3.g x -<<…………………13分 综上知,函数()g x 的值域为[){}2,34.-…………14分20．（本题满分14分）设函数()e ,xf x =2()4x g x =-，其中e 为自然对数的底数.(1) 已知12,R x x ∈，求证：[]12121()()()22x x f x f x f ++≥； （2）是否存在与函数()f x ，()g x 的图象均相切的直线l ？若存在，则求出所有这样的直线l 的方程；若不存在，则说明理由.(1)证明:[]12121()()()22x x f x f x f ++-121221(e e )e 2x x x x +=+- 121221(e e 2e )2x x x x +=+-122221(e e )0.2x x =-≥………………………………5分[]12121()()().22x x f x f x f +∴+≥ ……………………………………………6分(2) 设直线l 与函数()f x 的图象相切,切点为(,e )t t ,则直线l 的方程为e e (),t t y x t -=-即e e (1).t t y x t =+-……………………9分 直线l 与函数()g x 的图象相切的充要条件是关于x 的方程2e e (1),4ttx x t +-=-即2+e e (1)04tt x x t +-=有两个相等的实数根, ………10分即2e e (1)0,t t t ∆=--=e 10.tt +-=……………………………………………11分 设()e 1t t t ϕ=+-,则(0)0ϕ=,且()e 10t t ϕ'=+>,()t ϕ在R 上递增, ()t ϕ只有一个零点0.t =……………………………………13分所以存在唯一一条直线l 与函函数()f x 与()g x 的图象均相切,其方程为1.y x =+……………………………………………………………………………14分21．(本小题满分14分)已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中常数k ∈R . (1) 求()f x 的单调增区间与单调减区间；（2）若()f x 存在极值且有唯一零点0x ，求k 的取值范围及不超过x k的最大整数m . 解:（1）211()(0).x kx f x x k x x x-+'=+-=>……………………………………1分 ① 当2k ≤时，11()220f x x k x k k x x'=+-≥⋅-=-≥， 函数()f x 为增函数. …………………………………………………………………3分 ②当2k >时，12()()()x x x x f x x--'=，其中2212440.22k k k k x x --+-<=<=…………………………………4分,(),()x f x f x '的取值变化情况如下表：………………………………………………………………………………………6分 综合①②知当2k ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞，无减区间；当2k >时，()f x 的增区间为240,2k k ⎛⎤-- ⎥ ⎥⎝⎦与24,2k k ⎡⎫+-+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭， 减区间为2244,.22k k k k ⎡⎤--+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………………7分x1(0,)x 1x12(,)x x2x2(,)x +∞ ()f x '+ 0-+()f x 单调递增 极大值 单调递减极小值 单调递增（2）由(1)知当2k ≤时，()f x 无极值；…………………………………………………8分当2k >时，212420124k k x k k --<==<+-知()f x 的极大值1111()ln ()02x f x x x k =+-<，()f x 的极小值21()()0f x f x <<， 故()f x 在(]20,x 上无零点. ………………………………………………………………10分224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>，又22412k k x k +-<=<，故函数()f x 有唯一零点0x ，且()02,2x x k ∈.………………………………………11分又222()ln ln 22k k f k k k k =+-=-，记2()ln (2)2k g k k k =->， 211()0,k g k k k k -'=-=<则22()(2)ln 2ln 2202g k g <=-=-<，从而()0f k <，002,1 2.x k x k k<<<<…………………………………………13分 故k 的取值范围是(2,),+∞不超过0x k的最大整数 1.m = ………………………14分。

深圳市高级中学2014届第一次月考数学（理）试题注：请将答案填在答题卷．．．．．．．．．．．相应的位置．．．．．上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合11,2xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭3{|log 0}B x x =>,则()U A C B ⋂=A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是新 课 标 第 一 网 A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()x f x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin A >”的充要条件。

④命题 “00,0xx R e ∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3；将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 函数x x e xy e x+=-的一段图象是8. 设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .10. 已知1sin()33πα-=，则5cos()6πα-=_____________.11. 曲线0,2y y y x ===-所围成的封闭图形的面积为 ．12. 已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是___.13. 设25abm ==，且112a b +=，则m = _________. 14. 若关于x 的方程2xkx =有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 （I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）确定函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性并求在此区间上)(x f 的最小值.16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．17. （本小题满分14分）已知等比数列{}n a 中，232a =，812a =，1n n a a +<． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设21222log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求n T 的最大值及相应的n 值． 18. （本小题满分14分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）(1)(1)f x f x -+=--；（2）函数在y 轴上的截距为1，且3(1)()2f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)若[,1],()x t t f x ∈+的最小值为()h t ,请写出()h t 的表达式;(3)若不等式()11()f x tx ππ->在[2,2]t ∈-时恒成立,求实数x 的取值范围.19.（本题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 注：e 是自然对数的底数深圳市高级中学2014届第一次月考数学（理）答卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）x k b 1.c o m9． 10． 11．12． 13． 14．三、解答题：（共6小题，共计80分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.16.17.18.19.x k b 1 .c o m 20.深圳市高级中学2014届第一次月考数学（理）试题 答案注：请将答案填在答题卷．．．．．．．．．．．相应的位置．．．．．上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，3{|log 0}B x x =>则()U A C B ⋂=CA. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ A ） A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是C A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()x f x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是C A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的充要条件。

广东省深圳第二高级中学2014届高三上学期第一次月考文科数学试卷（解析版）一、选择题1【答案】C【解析】考点：集合的运算（补集、交集）2,A【答案】D【解析】试题分析：分子、分母同乘以-i得（3+4i）(-i)=4-3i.考点：复数的运算3( )A B D【答案】A【解析】也可以直接验证得到。

考点：导数求法及几何意义4,,角形,则该椭圆的离心率为( )A B C【答案】B【解析】从而离心率为考点：椭圆及其几何性质5,俯视图为圆,则该几何体的体积是( )A【答案】D【解析】试题分析：该几何体是一个底面半径为1，母线长为2考点：三视图、体积计算6．定义的偶函足：对任＋∞),有则( ) ACD【答案】B【解析】考点：函数的奇偶性、单调性7,( )【答案】D【解析】试题分析：由对数函数与指数函数互为反函数得，，从而，0,2）与（1,1）即可验证.也可以利用图像变换画出.考点：1.指数函数与对数函数 2.图像变换8．有下列四个命题：2；9；.其中真命题的个数为( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】对②，这是指数函数的性质；对③，条件应为，.因此②④两个命题正确. 考点：函数的对称性、周期性；指数函数的性质；基本不等式的应用；向量垂直的判定9( ) A ．6 B ．3C ．D ．1 【答案】A【解析】试题分析：这是线性规划的应用.原点的连线的斜率.(1,6).考点：线性规划的应用.10,取值范围是( )A．B．． D．(－2,3)【答案】A 【解析】试题分析：又奇函数满足-1,1）上的减函数，所以考点：函数的奇偶性、单调性的应用，解不等式（组）.二、填空题11的定义域为 .【解析】考点：定义域的求法、解不等式12的单调递增区间是 .-1可以取等号，1不可以）【解析】试题分析：上是减函数，利用复合函数单调性的判定得，函数的单调递增区间是（-1,1）.考点：复合函数单调性的判定13则____________.【答案】9【解析】2画出两个函数在区间(0,10]的图像即可.考点：函数的周期性、函数与方程的应用14．在极坐标系中,的距离为． 【答案】1【解析】,,若【解析】考点：圆的切线，圆周角与圆心角的关系三、解答题16（1（2.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1（2）利用角围，再代入两角和的正弦公式计算求值.试题解析：（112-⎣分分（2分分 考点：1.三角函数的图像与性质 2.三角恒等变换 3.三角函数的基本运算17,（1（2.【答案】（1）详见解析，（2【解析】试题分析：（1）转化三角形问题中的边角关系式，首先要选择定理.由正弦定理（2）解三角形问题应灵活应用边角的计算公式.在（1.试题解析：（1）根据正弦定理，分又在△ABC中分5分（2）由（1分分分分考点：解三角形，三角恒等变换18,,其成绩的频率分布如下表所示：（1；（2）考生A填报志愿后,得知另外有4名同分数考生也填报了该志愿.若该志愿计划录取2人,并在同分数考生中随机录取,求考生A被该志愿录取的概率.（参考数据：610×0.061+570×0.154+530×0.193+490×0.183+450×0.161+410×0.133=443.93）【答案】（1）约488.4分（2）0.4【解析】试题分析：（1）解决实际应用问题，一要审清题意、二要构建模型、三规范解答、四要回归实际.用分数段的中点及频率估计平均分，注意利用试题给出的参考数据，还要考虑实际问题对结果数值的要求（2）这是一个古典模型，分别计算出基本事件总数及所求事件包含的基本事件数，代入公式进行计算.试题解析：（16分（列式3分，计算2分，近似值1分.1分；列式无计算而写2分）（2）设另外4名考生分别为、、、，则基本事件有：共10种11分4种 13分分考点：1.用样本估计总体 2.古典概型19．（1,.（2,..,.【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）解决命题问题，首先要转化为相应的数学问题进行解答，然后再利用命题的逻辑关系列式求解.先解二次不等式，求出两个命题对应的范围，然后利用集合关系判断充要条件的方法列不等式组求解；判断充要条件要注意“方向性”.（2）内的实数根判定，要结合二次函数图像的特征考虑三个条件：判别式的符号、对称轴与区间的位置关系、区间端点的函数值的符号.的条件，求出两个命题对应的范围，然后利用“或”命题为真命题列不等式组求解.试题解析：（1）分分分分（2分分分分分考点：1.命题真假的判定 2.充要条件的判定 3.二次方程实数根的判定20．.（1（2≠≠（3n 项和,【答案】（1（2（3）10【解析】试题分析：（1）利用导函数及待定系数法求解；（2）利与的关系（3）数列求和的方法由数列的通项公式决定.常用的方法有：公式求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组.试题解析：（1分分分（2分分分分（3）由（2分11分分13分m为10. 14分考点：1.导数运算 2.通项公式、前n项和的求法 3.函数（数列）最值的求法21（1,（2（3.【答案】（1）单调递增（2（3【解析】试题分析：（1）判断函数的单调性常用作差比较法、导函数法.其共同点都是与0比大小确定单调性.也可以利用基本初等函数的单调性判断：（2）利用导函数法求闭区间上的最值，首先要求出极值，然后再与两个端点函数值比较得出最值；既要灵活利用单调性，（3）解决“恒成立”问题，常用分离参数法，转化为求新构造函数的最值（或值域）.试题解析：(1)由题意得，且1分3分(2)1； 5分0，不合题意； 6分；；； 9分10分(3),(分离参数求解)令. 则；11分即恒成立,说明在单调递减,； 13分所以.14分考点：1.函数的单调性 2.导数及其应用。

2014届高三六校第一次联考理科数学试题命题学校：深圳实验学校第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. “1x≥”是“2x>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2. 已知2(,)a ib i a b Ri+=-∈，其中i为虚数单位，则a b+＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33. 若)1,0(∈x，则下列结论正确的是（）A．xxx2lg21>>B．21lg2xxx>>C．xx x lg221>>D．xxx lg221>>4.下列四个命题中，正确的是（）A．已知ξ服从正态分布()2,0σN，且()4.022=≤≤-ξP，则()2.02=>ξPB．已知命题1tan,:=∈∃xRxp;命题01,:2>+-∈∀xxRxq．则命题“qp⌝∧”是假命题C．设回归直线方程为xy5.22-=，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位D．已知直线13:1=-+yaxl,01:2=++byxl，则21ll⊥的充要条件是ba=-35.）ABCD6. 若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点（ ）A.(0,2)B.(0,3)-C.(0,3)D.(0,6)7. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为12，则ab 的取值范围是（ ）A. 3(0,]2B. 3(0,)2C. 3[,)2+∞D. (0,)+∞8. 记集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}T =, M=}4,3,2,1,|10101010{4433221=∈+++i T a aa a a i ,将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A. 234798710101010+++ B. 234567810101010+++ C. 234697310101010+++ D. 432101109109107+++第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9～13题）9． 在()7a x +展开式中4x 的系数为35,则实数a 的值为 .10．计算定积分)120x dx =⎰.11.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆2212516x y +=的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5=a ，325=b ，4π=A ，则=B cos .13．将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5,9,14,20, 为“梯形数”.根据图形的构成,数列第6项6a = ;第n 项n a = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线6πθ=（R ρ∈）截圆2cos()6πρθ=-所得弦长是 .15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）AB 是圆O 的直径，过A 、B 的两条弦AD 和BE 相交于点C ，若圆O 的半径是3，那么AC AD BC BE ⋅+⋅的值等于________________.图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。

试卷类型：A广州市2014届高三年级调研测试数 学（理 科） 2014．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位， 则复数i2i-的模等于A B C ．3 D ．52．设集合{}0322=--=x x x A ，{}12==x x B ，则B A 等于A ．{}1-B ．{}1,3C ．{}1,1,3-D ．R 3．已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为 A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 4．定义在R 上的函数()f x 满足2log (16), 0,()(1),0,x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩则()3f 的值为 A ．4- B ．2 C ．2log 13 D ．45．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7207．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *2221, ,, .a ab a b b b ab a b ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩设()()21f x x =-*()1x -，且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是 A ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．10．若x ，y 满足约束条件0,0,1,3412,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩则x y +的最大值为_______．11．如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为 ． 12．已知点P 在曲线4e 1xy =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则αtan 的取值范围是 ．13．有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 2A C +=． （1）求cos B 的值；（2）若3a =，b =c 的值． 17．（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示． （1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．3 2 045 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 图518．（本小题满分14分）在如图6的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知数列{a n }满足135a =，1321n n n a a a +=+，*n ∈N ．（1）求证：数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设函数()313f x x ax =-()0a >，()221g x bx b =+-. （1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求实数a ，b 的值； （2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）当1a =，0b =时，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值．21．（本小题满分14分）如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下 依次为A ，B ．（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值．图7广州市2014届高三年级调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．………………………………………………………………1分所以coscos22A C Bπ+-= …………………………………………………………………………2分sin23B ==．………………………………………………………………………3分 所以2cos 12sin2BB =- ……………………………………………………………………………5分 13=．………………………………………………………………………………………7分 （2）因为3a =，b =1cos 3B =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，………………………………………………………………9分 得2210c c -+=．……………………………………………………………………………………11分 解得1c =．……………………………………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分） 解：（1）由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．…………………………………………………………………………………………………1分 所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天．…………2分 （2）X 的取值为0，1，2，………………………………………………………………………………3分因为()02510215C C 30C 7P X ===，………………………………………………………………………5分 ()11510215C C 101C 21P X ===，…………………………………………………………7分()20510215C C 22C 21P X ===．…………………………………………………………………………9分 所以X 的分布列为：所以数学期望321221170=⨯+⨯+⨯=EX ．…………………………………………………12分18．（本小题满分14分）（1）证明1：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得BC AC 3=．……………………………………………………2分 所以222AC BC AB +=．所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分因为AC FB ⊥，BF BC B = ，BF 、BC ⊂平面FBC ，所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分证明2：因为60ABC ︒∠=，设BAC α∠=()0120α<<，则120ACB α∠=-．在△ABC 中，由正弦定理，得()sin sin 120BC ABαα=-．…………………………………………1分 因为BC AB 2=，所以()sin 1202sin αα-=．整理得tan 3α=，所以30α=．…………………………………………………………………2分 所以BC AC ⊥．………………………………………………………………………………………3分 因为AC FB ⊥，BF BC B = ，BF 、BC ⊂平面FBC ， ……………………10分所以⊥AC 平面FBC ．………………………………………………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C = ，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分取AB 的中点M ，连结MD ，ME ，因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60DAM ∠= ，所以MD MA AD ==．所以△MAD 是等边三角形，且ME BF ．…………………………7分取AD 的中点N ，连结MN ，NE ，则MN AD ⊥．………8分 因为MN ⊂平面ABCD ，ED FC ，所以ED MN ⊥． 因为AD ED D = ，所以MN ⊥平面ADE ． ……………9分 所以MEN ∠为直线BF 与平面ADE 所成角． ……………10分 因为NE ⊂平面ADE ，所以MN ⊥NE ．…………………11分因为2MN AD =，ME ==，…………………………………………12分 在Rt △MNE中，sin 4MN MEN ME ∠==．……………………………………………………13分 所以直线BF 与平面ADE14分 解法2：由（1）知，⊥AC 平面FBC ，FC ⊂平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为平面CDEF 为正方形，所以FC CD ⊥．因为AC CD C = ，所以⊥FC 平面ABCD ．……………………………………………………6分所以CA ，CB ，CF 两两互相垂直，建立如图的空间直角坐标系xyz C -．………………………7分 因为ABCD 是等腰梯形，且BC AB 2=，60ABC ︒∠= 所以CB CD CF ==．不妨设1BC =，则()0,1,0B ，()0,0,1F，)A，1,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,,122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()0,1,1BF =-，1,02DA ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,0,1DE = ．………………………………………9分设平面ADE 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.DA DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n即0,20.y x z +=⎪=⎩ 取1x =，得=n ()1,是平面ADE 的一个法向量．………………………………………11分 设直线BF 与平面ADE 所成的角为θ，则sin cos ,4BF BF BF ⋅θ=〈〉===nn n．……………………………13分 所以直线BF 与平面ADE ………………………………………………14分19．（本小题满分14分） 解：（1）因为1321n n n a a a +=+，所以111233n n a a +=+．…………………………………………………1分所以1111113n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．…………………………………………………3分 因为135a =，则11213a -=．…………………………………………………………………………4分所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为31的等比数列．…………………………………………5分（2）由（1）知，112121333n n n a -⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭，所以332nn n a =+．……………………………………7分 假设存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件，则有()()()22,111.s m t m t s a a a +=⎧⎪⎨-=--⎪⎩……………………………………………………………………9分 由332n n n a =+与()()()2111s m t a a a -=--，得2333111323232s m t sm t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………10分 即232323343m tm t s s ++⨯+⨯=+⨯．……………………………………………………………11分因为2m t s +=，所以3323mts+=⨯．……………………………………………………………12分因为3323m t s +≥=⨯，当且仅当m t =时等号成立，这与m ，s ，t 互不相等矛盾．……………………………………………………………………13分 所以不存在互不相等的正整数m ，s ，t 满足条件．……………………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（1）因为()313f x x ax =-，()221g x bx b =+-， 所以()2f x x a '=-，()2g x bx '=.…………………………………………………………………1分 因为曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同切线, 所以()()11g f =,且()()11g f '='。

【解析版】广东省深圳市2014届高三2月第一次调研考试数学理试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C AB =．则集合C 可表示为( ) A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈4．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图1所示的程序框图，则输出的a 的值为( ) （注：“2a =”，即为“2a ←”或为“:2a =”．）A ．2B ．13C ．12- D ．3-考点：程序框图 周期 6．41()2x x-的展开式中常数项为( )A ．12 B ．12-C ．32D ． 32-7．如图2，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是( ) A ．118 B ．112 C ．16 D ．138.在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y=-+-．给出下列命题：（1）若(1,2)P ，(sin ,2cos )()Q R ααα∈，则(,)d P Q 的最大值为3（2）若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q 的最大值为(3) 若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是( )A ．（1）（2）（3）B ．（1）（2）C ．（1）(3)D ． (2)(3)第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．函数f x =()的定义域为 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．考点：渐近线 双曲线标准方程12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线1C 的参数方程为,x t y =⎧⎪⎨⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个．15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知AB 是⊙O 的直径，TA 是⊙O 的切线，过A 作弦//AC BT ，若4AC =，AT =，则AB = ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()2122A f +=．求sin B ．17.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．补全频率分布直方图如图所示． ……4分01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．……12分考点：分层抽样、概率、随机变量分布列 数学期望 18．（本小题满分14分）如图6所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ； （2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值；（3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．直与面ABF,可以得到FP垂直与面ADE，故角FEH即为所求线面角的平面角.而角FEH余弦值为EH与FE之比,勾股定理即可求的.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n nn b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．试题解析：20.（本小题满分14分）如图7，直线:(0)l y x b b =+>，抛物线2:2(0)C y px p =>，已知点(2,2)P 在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l ． （1）求直线l 及抛物线C 的方程；（2）过点(2,1)Q 的任一直线（不经过点P ）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ， 3k ．问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =．（2）存在且2λ=21．（本小题满分14分） 已知函数2901xf x a ax =>+()() ． （1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．第21 页共21 页。

深圳中学2014届第一次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合11,2xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭3{|log 0}B x x =>,则()U A C B ⋂=A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥- 3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是 A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A > ”是“sin 2A >的充要条件。

④命题 “00,0x x R e∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3；将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 函数x x e x y e x+=-的一段图象是8. 设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .10. 已知1sin()33πα-=，则5cos()6πα-=_____________.11. 曲线0,2y y y x ===-所围成的封闭图形的面积为 ．12. 已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是___.13. 设25abm ==，且112a b +=，则m = _________. 14. 若关于x 的方程2xkx =有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 （I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）确定函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性并求在此区间上)(x f 的最小值.16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．17. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )取得极值？(2)已知a ＞0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围18. （本小题满分14分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）(1)(1)f x f x -+=--；（2）函数在y 轴上的截距为1，且3(1)()2f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)若[,1],()x t t f x ∈+的最小值为()h t ,请写出()h t 的表达式; (3)若不等式()11()f x tx ππ->在[2,2]t ∈-时恒成立,求实数x 的取值范围.19.（本题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 注：e 是自然对数的底数深圳中学2014届第一次月考数学（理）试题注：请将答案填在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，3{|log 0}B x x =>则()U A C B ⋂=CA. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ A ） A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥- 3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是C A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是C A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A > ”是“sin 2A >的充要条件。