(新课标)2019-2020学年高中数学 双基限时练12 新人教A版必修4.doc

双基限时练(十)1．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，函数y ＝tan|x |的图象( )A ．关于原点对称B ．关于y 轴对称C ．关于x 轴对称D ．没有对称轴答案 B2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π8，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋3π4，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析 由2x －π4≠k π＋π2，得x ≠k π2＋3π8，k ∈Z . 答案 A3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得的线段长为π4.则ω的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意可得f (x )的周期为π4，则πω＝π4，∴ω＝4. 答案 C4．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋tan(π＋x )＝sin x ＋tan x . ∵y ＝sin x ，y ＝tan x 均为奇函数，∴原函数为奇函数． 答案 A5．设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°，则有( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <c <b解析 ∵tan70°>tan45°＝1，∴a ＝log 12tan70°<0.又0<sin25°<sin30°＝12，∴b ＝log 12sin25°>log 1212＝1，而c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos25°∈(0,1)，∴b >c >a .答案 D6．下列图形分别是①y ＝|tan x |；②y ＝tan x ；③y ＝tan(－x )；④y＝tan|x |在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2内的大致图象，那么由a 到d 对应的函数关系式应是( )abcdA ．①②③④B ．①③④②C ．③②④①D ．①②④③解析 y ＝tan(－x )＝－tan x 在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是减函数，只有图象d符合，即d 对应③.答案 D7．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________. 解析 由已知πω＝2π，∴ω＝12，∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝tan π4＝1. 答案 18．函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________． 解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2，⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4上都是增函数，∴y ≥tan π4＝1或y ≤tan 3π4＝－1.答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)9．满足tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是________．解析 把x ＋π3看作一个整体，利用正切函数图象可得k π－π3≤x ＋π3<k π＋π2，所以k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z .故满足tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3≥－3的x 的集合是 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪k π－2π3≤x <k π＋π6，k ∈Z10．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于38π－18π＝28π＝14π，即周期为12π，所以，ω＝2.由题意可知，图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×38π＋φ，即34π＋φ＝k π(k ∈Z )，所以，φ＝k π－34π(k ∈Z )，又|φ|<12π，所以，φ＝14π.再由图象过定点(0,1)，所以，A ＝1.综上可知，f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋14π.故有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫124π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×124π＋14π＝tan 13π＝ 3. 答案311．已知函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫kx －π3的最小正周期T 满足1<T <32，求正整数k 的值，并指出f (x )的奇偶性、单调区间．解 ∵1<T <32，∴1<πk <32，即2π3<k <π. ∵k ∈N *，∴k ＝3，则f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π3， 由3x －π3≠π2＋k π得x ≠5π18＋k π3，k ∈Z ，定义域不关于原点对称， ∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3是非奇非偶函数．由－π2＋k π<3x －π3<π2＋k π得－π18＋k π3<x <5π18＋k π3，k ∈Z .∴f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＋k π3，5π18＋k π3，k ∈Z . 12．函数f (x )＝tan(3x ＋φ)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，其中0<φ<π2，试求函数f (x )的单调区间．解 由于函数y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0， 其中k ∈Z .故令3x ＋φ＝k π2，其中x ＝π4，即φ＝k π2－3π4. 由于0<φ<π2， 所以当k ＝2时，φ＝π4.故函数解析式为f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.由于正切函数y ＝tan x 在区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数．则令k π－π2<3x ＋π4<k π＋π2， 解得k π3－π4<x <k π3＋π12，k ∈Z ，故函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π3－π4，k π3 ＋π12，k ∈Z . 13．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3的最值及相应的x的值．解 y ＝－tan 2x ＋10tan x －1＝－(tan x －5)2＋24. ∵π4≤x ≤π3，∴1≤tan x ≤ 3.∴当tan x ＝3时，y 有最大值103－4，此时x ＝π3. 当tan x ＝1时，y 有最小值8，此时x ＝π4.。

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】双基限时练(二)1．终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是( ) A ．{α|α＝k π，k ∈Z }B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π2，k ∈Z C ．{α|α＝2k π，k ∈Z }D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π2，k ∈Z 解析 A 选项表示的角的终边在x 轴上；B 选项表示的角的终边在y 轴上；C 选项表示的角的终边在x 轴非负半轴上；D 选项表示的角的终边在y 轴非负半轴上，故选D.答案 D2．在半径为5 cm 的圆中，圆心角为周角的23的角所对的圆弧长为( )A.4π3cm B.20π3cm C.10π3cmD.50π3cm解析 记r ＝5，圆心角α＝23×2π＝4π3， ∴l ＝|α|r ＝203π. 答案 B3．将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z )的形式是( ) A ．－π4－8π B.74π－8π C.π4－10πD.7π4－10π解析 ∵－1485°＝－5×360°＋315°， 又2π＝360°，315°＝74π，∴－1485°＝－5×2π＋74π＝7π4－10π. 答案 D4．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ为( ) A ．－34π B.π4 C.34πD ．－π4解析 ∵－11π4＝－2π－3π4，∴θ＝－34π. 又－11π4＝－4π＋5π4，∴θ＝5π4. ∴使|θ|最小的θ＝－3π4. 答案 A5．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数的绝对值为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2解析 设所在圆的半径为r ，圆内接正三角形的边长为2r sin60°＝3r ，所以弧长3r 的圆心角的弧度数为3rr ＝ 3.答案 C6．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤π3 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ π4≤α≤5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪ 2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z解析 由图可知在[0,2π)内角的终边落在阴影部分时π4≤α≤5π3， ∴满足条件的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π4≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .答案 D7．圆的半径变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的________倍．解析 由公式θ＝l r 知，半径r 变为原来的12，而弧长不变，则该弧所对的圆心角变为原来的2倍．答案 28．将下列弧度转化为角度： (1)π12＝________； (2)－7π8＝________； (3)13π6＝________； (4)－512π＝________. 答案 (1)15° (2)－157°30′ (3)390° (4)－75°9．将下列角度化为弧度： (1)36°＝________rad ； (2)－105°＝________rad ； (3)37°30′＝________rad ； (4)－75°＝________rad.解析 利用1°＝π180rad 计算． 答案 (1)π5 (2)－7π12 (3)5π24 (4)－5π1210．在直径为20 cm 的圆中，圆心角为150°时所对的弧长为________．解析 150°＝150×π180＝5π6， ∴l ＝5π6×10＝25π3(cm)． 答案 25π3 cm11．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合： (1)终边落在射线OM 上；(2)终边落在直线OM 上； (3)终边落在阴影区域内(含边界)．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断2 012°是不是这个集合的元素．解 ∵150°＝5π6.∴终边在阴影区域内角的集合为S ＝{β|5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z }．∵2012°＝212°＋5×360°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53π45＋10πrad ， 又5π6＜53π45＜3π2. ∴2012°＝503π45∈S . 12.如图所示，动点P 、Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P 、Q 第一次相遇所用的时间及P 、Q 各自走过的弧长．解 设P 、Q 第一次相遇时所用的时间为t 秒，则：t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π，解得t ＝4， 即第一次相遇时所用的时间为4秒． P 点走过的弧长为：43π×4＝163π， Q 点走过的弧长为：8π－16π3＝8π3. 13．扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 (1)设扇形的圆心角为θ，扇形所在圆的半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋Rθ＝8，12θ·R 2＝3，解得θ＝23或6.即圆心角的大小为23弧度或6弧度．(2)设扇形所在圆的半径为 x cm ，则扇形的圆心角θ＝8－2xx ，于是扇形的面积是S ＝12x 2·8－2xx ＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4. 故当x ＝2 cm 时，S 取到最大值．此时圆心角θ＝8－42＝2弧度，弦长AB ＝2 ·2sin 1 ＝4sin1 (cm)．即扇形的面积取得最大值时圆心角等于2弧度，弦长AB 等于4sin1 cm.高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

2019-2020学年高中数学 期末备考综合测试03同步单元双基双测A 卷 新人教A版必修4一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2017北京，理1】若集合A={x|–2<x<1}，B={x|x<–1或x>3}，则A B=（A ）{x|–2<x<–1} （B ）{x|–2<x<3} （C ）{x|–1<x<1} （D ）{x|1<x<3} 【答案】A【解析】利用数轴可知{}21AB x x =-<<-，故选A.2.【2018届山东省菏泽市上期中】已知()3cos 4x π-=，则cos2x =（ ） A. 14-B. 14C. 18-D. 18【答案】D【解析】()3cos 4x π-=， 3cos ,4x ∴=- cos2x = 2912cos 121168x -=⨯-= 故选D3.已知向量1(,22BA =uu v ，1(,)22BC =uu u v ，则ABC ∠=（ ）(A)30︒ (B)45︒ (C)60︒ (D)120︒ 【答案】A 【解析】由题意，得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC ⨯⋅∠===⨯30ABC ∠=︒，故选A ． 4. 下列函数为奇函数的是( ) A ．y =．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】函数y =sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．5.【2017课标II ，文3】函数π()sin(2)3f x x =+的最小正周期为（ ）A.4πB.2πC. πD.π2【答案】C6.为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( ) （A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π6个单位长度【答案】D7.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故2(2)(log 12)9f f -+=，故选C ．8.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则（ ）A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z【答案】D【解析】试题分析：令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k = ∴22lg lg3lg913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 9.【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则A.a ⊥bB. =b aC. a ∥bD. >b a 【答案】A【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+，即0ab =，则a b ⊥，故选A. 10.ABC ∆外接圆圆心O ，半径为1，2AO AB AC =+且OA AB =，则向量BA 在向量BC 方向的投影为（ ） A ．21 B ．23 C ．21- D ．23- 【答案】A【解析】因为-+-=⇒+=22所以-=，所以C B O ,,三点共线即AC AB ⊥1==，所以2=BC ，所以()1BA BC BA AC AB ⋅=⋅-=故向量在向量BC 上的投影为21选A ． 11.设函数()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩则满足()()()2f a f f a =的a 取值范围是（ ）（A ）2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（B ）[]0,1 （C ）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（D ）[)1,+∞ 【答案】C12.已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】3-【解析】由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-14. 函数()f x =的定义域为 ．【答案】1,12⎛⎤⎥⎝⎦15.已知函数()() sin6f x x o πωω=->（）在403π（，）单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=____ 【答案】12【解析】431236222k k k Z πππωπω-+⇒+∈＝＝，，由已知T ＞2π，又ω16. 已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【答案】),1()0,(+∞-∞ . 【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若方程0<a 17．集合C （1B ；（2)(A C R ⊆，求118．（1||||AC BC =，求角（2）若1AC BC ⋅=-，求【答案】（1）54πα=（）∵(cos AC =，(cos BC =||(cos 106cos AC α=-||cos BC =由||||AC BC =得sin 又∵(,)22α∈，∴)2sin cos 3x -x xπ-.试题解析：（Ⅰ）31π()2sin 2sin 2sin 22sin(2)223f x x x x x x x =+-==+. 所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==. （Ⅱ）因为ππ44x -≤≤， 所以ππ5π2636x -≤+≤.所以ππ1sin(2)sin()362x +≥-=-.所以当ππ[,]44x ∈-时，1()2f x ≥-.20．（本小题12分）设函数f (x)＝cos(2x ＋3π)＋2a （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当[0,]4x π∈时，()f x 的最小值为0，求()f x 的最大值．【答案】（1）(),,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）12.（2）由04x π≤≤，得22663x πππ≤+≤，故1sin(2)126x π≤+≤．由()f x 的最小值为0，得1202a += 解得14a =-． ()f x 的最大值为12. ……12分21．（本小题12分）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(0)0f =，当0x >时，12()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式2(1)2f x ->-；【答案】（1）()1212log ,0()0,0log ,0x x f x x x x >⎧⎪⎪==⎨⎪-<⎪⎩；（2）(.（Ⅱ）∵12(4)log 42f ==-， 7分∵()f x 是偶函数，∴不等式2(1)2f x ->-可化为2(|1|)(4)f x f ->， 9分 又∵函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，∴2|1|4x -<，解得：x <<即不等式的解集为( 12分 22.（本小题12分）已知函数)sin()(ϕ+=wx A x f ，)20,0,0(πϕ<<>>w A 图象与x 轴交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象最低点)2,32(-πM （1）求)(x f 解析式（2）将)(x f y =所有点纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变），在将图象向右平移3π个单位长度，最后在将所有点横坐标伸长到原来4倍（纵坐标不变）得到)(x g y =，求)(log 7.0x g y =的单调递减区间【答案】（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f （2）[]Z k k k X ∈++∈，，ππππ244【解析】（1）由已知得相邻两个交点之间的距离为2π则周期T=π解得22==A ，ω，图象最低点M ⎪⎭⎫⎝⎛2-32，π得()22sin 2-=+ϕx ，620πϕπϕ=<<，()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x f （4分）（2）由图象变换知()2cos x x g -= (6 分)先求定义域令g(x)>0 即()2cos xx g -=>0,02cos<x 解得x 的范围是[]Z k k k x ∈++∈，，ππππ344 (8分)求函数的单调递减区间，由复合函数的单调性同增异减知 需要求)(x g 的单调递增区间，即求2cosx的单调递减区间解得x 的范围是[]Z k k k x ∈+∈，，πππ244 （10分）则)(log 7.0x g y =的单调递减区间为[]Z k k k X ∈++∈，，ππππ244（12分）。

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】双基限时练(二十)1．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于( ) A ．6＋ 3 B ．6－ 3 C ．6D ．7解析 a ·b ＝|a ||b |cos60°＝6×2×cos60°＝6. 答案 C2．已知|a |＝2，|b |＝4，a ·b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°D ．120°解析 cos θ＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故选D. 答案 D3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ·b ＝( ) A ．3 B.92 C ．2D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3×32＝92. 答案 B4．已知向量a ，b 满足a·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0B ．2 2C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. 答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析 (a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋2a ·b －a ·b －2b 2 ＝a 2＋a ·b －2b 2＝－32，又a ·b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2|a |，∴|a |2－2|a |－2×42＝－32. ∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)． 答案 A6．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·(AC →－BC →)＋CA →·CB →＝AB →·AB →＋CA →·CB →，所以CA →·CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D.答案 D7．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析设b ＝(x ，y )，则⎩⎨⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9.∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反． ∴b ＝(3，－6)． 答案 (3，－6)8．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3a 2－6k a ·b ＋3k 2b 2， 即(k 2－3)a 2＋8k a ·b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝1×1cos60°＝12， ∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案 19．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ·(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________．解析 ∵|a |＝2，a ·(a ＋b )＝1， ∴a 2＋a ·b ＝2＋a ·b ＝1.∴a ·b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12×1＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4. 答案 3π410．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →， 所以AC →·BE →＝(AB →＋AD →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AD →·AB →－12AB →2＝1＋12×1×|AB →|cos60°－12|AB →|2＝1，所以14|AB →|－12|AB →|2＝0，解得|AB →|＝12.答案 1211．在△ABC 中，|BC →|＝4，|CA →|＝9，∠ACB ＝30°， 求BC →·CA →. 解 如图所示，BC →与CA →所成的角为∠ACB 的补角即150°， 又因为|BC →|＝4，|CA →|＝9，所以BC →·CA →＝|BC →|·|CA →|cos150°＝4×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－18 3.12．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1， ∴|b |＝|a |2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a ·b|a ||b |＝121·22＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12，∴|a －b |＝22.∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝52，∴|a ＋b |＝102.设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则 cos α＝(a －b )·(a ＋b )|a －b ||a ＋b |＝1222×102＝55.13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时．(1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．(1)解 |a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ·b ＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋a ·b b 22＋a 2－(a ·b )2b 2.当t ＝－a ·bb2时，|a ＋t b |取最小值． (2)证明 (a ＋t b )·b ＝a ·b ＋t b 2＝a ·b －a ·bb2×b 2＝0，所以a ＋t b 与b垂直．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作双基限时练(一)1．下列命题中正确的是()A．终边在x轴负半轴上的角是零角B．第二象限角一定是钝角C．第四象限角一定是负角D．若β＝α＋k·360°(k∈Z)，则α与β终边相同解析易知A、B、C均错，D正确．答案 D2．若α为第一象限角，则k·180°＋α(k∈Z)的终边所在的象限是()A．第一象限B．第一、二象限C．第一、三象限D．第一、四象限解析取特殊值验证．当k＝0时，知终边在第一象限；当k＝1，α＝30°时，知终边在第三象限．答案 C3．下列各角中，与角330°的终边相同的是()A．150°B．－390°C．510°D．－150°解析330°＝360°－30°，而－390°＝－360°－30°，∴330°与－390°终边相同．答案 B4．若α是第四象限角，则180°－α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析方法一由270°＋k·360°<α<360°＋k·360°，k∈Z得：－90°－k·360°>180°－α>－180°－k·360°，终边在(－180°，－90°)之间，即180°－α角的终边在第三象限，故选C.方法二数形结合，先画出α角的终边，由对称得－α角的终边，再把－α角的终边关于原点对称得180°－α角的终边，如图知180°－α角的终边在第三象限，故选C.答案 C5．把－1125°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是() A．－3×360°＋45°B．－3×360°－315°C．－9×180°－45°D．－4×360°＋315°解析－1125°＝－4×360°＋315°.答案 D6．设集合A＝{x|x＝k·180°＋(－1)k·90°，k∈Z}，B＝{x|x＝k·360°＋90°，k∈Z}，则集合A，B的关系是()A．A B B．A BC．A＝B D．A∩B＝∅解析集合A表示终边在y轴非负半轴上的角，集合B也表示终边在y轴非负半轴上的角．∴A＝B.答案 C7.如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC的度数为________．解析解法一根据角的定义，只看终边相对于始边的位置，顺时针方向，大小为75°，故∠AOC＝－75°.解法二由角的定义知，∠AOB＝45°，∠BOC＝－120°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°－120°＝－75°.答案－75°8．在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是________．解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋100°，k ∈Z }令k ＝－2，－1,0,1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.答案 {－620°，－260°，100°，460°}9．若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是________．解析 ∵2小时40分＝223小时，∴－360°×223＝－960°.答案 －960°10．若2α与20°角的终边相同，则所有这样的角α的集合是__________．解析 2α＝k ·360°＋20°，所以α＝k ·180°＋10°，k ∈Z . 答案 {α|k ·180°＋10°，k ∈Z }11．角α满足180°<α<360°，角5α与α的始边相同，且又有相同的终边，求角α.解 由题意得5α＝k ·360°＋α(k ∈Z )，∴α＝k ·90°(k ∈Z )．∵180°<α<360°，∴180°<k ·90°<360°.∴2<k <4，又k ∈Z ，∴k ＝3.∴α＝3×90°＝270°.12.如图所示，角α的终边在图中阴影部分，试指出角α的范围．解∵与30°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝30°＋k·180°，k∈Z}．与180°－65°＝115°角的终边所在直线相同的角的集合为：{β|β＝115°＋k·180°，k∈Z}．因此，图中阴影部分的角α的范围为：{α|30°＋k·180°≤α<115°＋k·180°，k∈Z}．13．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不同的角？(2)写出区间(－180°，180°)内的角？(3)写出第二象限的角的一般表示法．解(1)在α＝k·90°＋45°中，令k＝0,1,2,3知，α＝45°，135°，225°，315°.∴在给定的角的集合中，终边不同的角共有4种．(2)由－180°<k·90°＋45°<180°，得－52<k<32.又k∈Z，故k＝－2，－1,0,1.∴在区间(－180°，180°)内的角有－135°，－45°，45°，135°.(3)其中第二象限的角可表示为k·360°＋135°，k∈Z.。

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】双基限时练(二十六)1．已知下列四个等式：①sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； ②cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；③cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α； ④tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.其中恒成立的等式有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个解析 ①，②，③对任意角α，β恒成立，④中的α，β还要使正切函数有意义．答案 B2.1－tan15°1＋tan15°的值为( ) A. 3 B.33 C ．1 D ．－ 3解析 原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.答案 B3．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.1328 B.1322 C.322 D.163．已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，则tan β的值为( )A.13B.139C.1315D.59 答案 B4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan αtan β等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D ．4解析 因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝21－tan αtan β＝4，所以tan αtan β＝12.答案 C5．若0<α<π2，0<β<π2，且tan α＝17，tan β＝34，则α＋β等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4解析 由已知可求得tan(α＋β)＝1. 又0<α＋β<π，∴α＋β＝π4. 答案 B6．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝b ＋aD ．c ＝ab解析 由韦达定理可知tan α＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 且tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－a ＝c a ，∴tan π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a1－c a ＝1.∴－b a ＝1－c a .∴－b ＝a －c .∴c ＝a ＋b .故选C.答案 C7．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)＝________. 解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 138.tan51°－tan6°1＋tan51°tan6°＝________. 解析 原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1. 答案 19．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝______.解析 ∵π2<α<π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，∴tan α＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17. 答案 1710．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.解析 因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°tan22°) ＝tan45°(1＋tan67°tan22°) ＝1＋tan67°tan22°所以tan67°－tan22°－tan67°tan22° ＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1. 答案 111．求下列各式的值． (1)tan π12；(2)tan75°－tan15°1＋tan75°tan15°.解 (1)tan π12＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－π6＝tan π4－tan π61＋tan π4·tan π6 ＝1－331＋33＝2－ 3.(2)原式＝tan(75°－15°)＝tan60°＝ 3. 12．(1)已知α＋β＝π4，求(1＋tan α)(1＋tan β)．(2)利用(1)的结论求(1＋tan1°)·(1＋tan2°)·(1＋tan3°)·…·(1＋tan45°)的值．解 (1)∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝1，即tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝(tan α＋tan β)＋1＋tan αtan β＝2. (2)由(1)知当α＋β＝45°时， (1＋tan α)(1＋tan β)＝2.∴原式＝(1＋tan1°)(1＋tan44°)(1＋tan2°)(1＋tan43°)…(1＋tan22°)(1＋tan23°)·(1＋tan45°)＝222·2＝223.13．已知tan α＝－13，cos β＝55，α，β∈(0，π)． (1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f (x )＝2sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值． 解 (1)tan α＝－13，cos β＝55，β∈(0，π)， ∴sin β＝255，∴tan β＝2.∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1. (2)∵tan α＝－13， α∈(0，π)， ∴sin α＝110，cos α＝－310.∴f (x )＝2(sin x cos α－cos x sin α)＋cos x cos β－sin x sin β ＝－35sin x －15cos x ＋55cos x －255sin x＝－5sin x . ∴f (x )的最大值为 5.。

双基限时练(二十三)1．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,2)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)解析 由已知得F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)． ∴OF →＝OA →＋AF →＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．答案 B2．初速度为v 0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为12v 0，则发射角θ应为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°解析 炮弹的水平速度为v ＝v 0·cos θ＝12v 0⇒cos θ＝12⇒θ＝60°.答案 D3．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(4，－3)同时作用于某一物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F 4，则F 4等于( )A ．(－1，－2)B ．(1，－2)C ．(－1,2)D ．(1,2)解析 由题意知，F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0. 又F 1＋F 2＋F 3＝(－1，－2)，∴F 4＝(1,2)． 答案 D4．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N 解析 如下图所示，|F 1|＝|F |cos60°＝10×12＝5 N ，应选B.答案 B5．一船从某河的一岸驶向另一岸，船速为v1，水速为v2，已知船可垂直到达对岸，则( )A．|v1|<|v2| B．|v1|>|v2|C．|v1|≤|v2| D．|v1|≥|v2|解析船速v1应大于水速v2，即|v1|>|v2|.答案 B6．当两人提重为|G|的书包时，夹角为θ，用力为|F|，则当|F|最小时，θ应为( )A．0 B.π2C.2π3D. π答案 A7．河水从东向西流，流速为2 m/s，一轮船以2 m/s垂直水流方向向北横渡，则轮船实际航行的方向是________，航速是________．解析如图所示，记水速|v1|＝2 m/s，船速|v2|＝2 m/s.v表示船实际航行的速度，则由图知：|v|＝22＋22＝22(m/s)．方向与水流方向成45°.答案西北方向2 2 m/s8．三个力F1，F2，F3同时作用于O点且处于平衡状态，已知F1与F2的夹角为120°，又|F1|＝|F2|＝20 N，则|F3|＝________.解析 由题意有F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－F 1－F 2，∴|F 3|2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22＝202＋2|F 1|·|F 2|cos120°＋202＝202，∴|F 3|＝20 N. 答案 20 N9．已知速度v 1＝(1，－2)，速度v 2＝(3,4)，则合速度v ＝________. 答案 (4,2)10．质量m ＝2.0 kg 的物体，在4 N 的水平力作用下，由静止开始在光滑水平面上运动了3 s ，则水平力在3 s 内对物体所做的功为__________．解析 水平力在 3 s 内对物体所做的功：F·s ＝F ·12a t 2＝12F·F m t 2＝12m F 2t 2＝12×12×42×32＝36(J)．答案 36 J 11.今有一小船位于d ＝60 m 宽的河边P 处，从这里起，在下游l ＝80 m 处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s ，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？解如图，由题设可知，船的实际速度v ＝v 划＋v 水，其方向为临界方向PO →. 则最小划速|v |＝|v 水|·sin θ， sin θ＝d d 2＋l2＝60602＋802＝35， ∴θ＝37°，∴最小划速应为|v 划|＝5×sin θ＝5×35＝3(m/s)．12．平面上有两个向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P ，从P 0(－1,2)开始沿着与向量e 1＋e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|e 1＋e 2|，另一动点Q ，从点Q 0(－2，－1)出发，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向作匀速直线运动，速度大小为|3e 1＋2e 2|.设P ，Q 在t ＝0秒时分别在P 0，Q 0处，则当PQ →⊥P 0Q 0→时，t 等于多少秒．解 ∵P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)．又∵e 1＋e 2＝(1,1)，∴|e 1＋e 2|＝ 2. ∵3e 1＋2e 2＝(3,2)，∴|3e 1＋2e 2|＝13.∴当t 时刻时，点P 的位置为(－1＋t,2＋t )，点Q 位置为(－2＋3t ，－1＋2t )． ∴PQ →＝(－1＋2t ，－3＋t )． ∵P 0Q 0→⊥PQ →，∴(－1)×(－1＋2t )＋(－3)×(－3＋t )＝0. ∴t ＝2.即当PQ →⊥P 0Q 0→时所需时间为2秒．13．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解 如图，由已知条件可知AG 与竖直方向成45°角，BG 与竖直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC＝60°，∠EGD＝45°，则有|F a|cos45°＋|F b|cos60°＝|G|＝100，①且|F a|sin45°＝|F b|sin60°.②由①②解得|F a|＝1502－506，∴A处所受力的大小为(1502－506) N.。

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】双基限时练(四)1．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系，有( ) A ．sin1>sin1.2>sin1.5 B ．sin1>sin1.5>sin1.2 C ．sin1.5>sin1.2>sin 1 D ．sin1.2>sin 1>sin 1.5解析 π4<1<1.2<1.5<π2，画图易知． 答案 C2．若α为第二象限角，则下列各式恒小于零的是( ) A ．sin α＋cos α B ．tan α＋sin α C ．cos α－tan αD ．sin α－tan α解析 由α为第二象限角知，sin α>0，tan α<0，由三角函数线知|tan α|>sin α. ∴－tan α>sin α，即sin α＋tan α<0. 答案 B3．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A.π4B.3π4C.7π4D.3π4或7π4 答案 D4．依据三角函数线，作出如下判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4；③tan π8>tan 3π5；④sin 3π5>sin 4π5.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案 C5．已知角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )A ．x 轴的非负半轴上B ．x 轴的非正半轴上C ．x 轴上D ．y 轴上 解析 由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．答案 C6．已知sin α>sin β，那么下列命题正确的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan β C ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos β D ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β解析 方法一：(特殊值法)取α＝60°，β＝30°，满足sin α>sin β，此时cos α<cos β，所以A 不正确；取α＝60°，β＝150°，满足sin α>sin β，这时tan α<tan β，所以B 不正确；取α＝210°，β＝240°，满足sin α>sin β，这时cos α<cos β，所以C 不正确．方法二：如图，P 1，P 2为单位圆上的两点，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且y 1>y 2.若α，β是第一象限角，又sin α>sin β，则sin α＝y 1，sin β＝y 2，cos α＝x 1，cos β＝x 2.∵y 1>y 2，∴α>β.∴cos α<cos β.∴A 不正确．若α，β是第二象限角，由图知P ′1(x ′1，y ′1)，P ′2(x ′2，y ′2)，其中sin α＝y ′1，sin β＝y ′2，则tan α－tan β＝y ′1x ′1－y ′2x ′2＝x ′2y ′1－x ′1y ′2x ′1x ′2.而y ′1>y ′2>0，x ′2<x ′1<0， ∴－x ′2>－x ′1>0，∴x ′1x ′2>0，x ′2y ′1－x ′1y ′2<0， 即tan α<tan β.∴B 不正确．同理，C 不正确．故选D. 答案 D7．若角α的正弦线的长度为34，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案 －348．比较大小：sin1155°________sin(－1654°)(填“<”或“>”)． 答案 >9．已知α∈(0,4π)，且sin α＝12，则α的值为________． 解析 作出满足sin α＝12的角的终边，如图：直线y ＝12交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则终边在OA ，OB 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .又α∈(0,4π)，所以α＝π6或5π6或13π6或17π6 答案 π6或5π6或13π6或17π610．在(0,2π)内，使sin α>cos α成立的α的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π11．试作出角α＝7π6的正弦线、余弦线、正切线． 解 如图：α＝7π6的余弦线、正弦线、正切线分别为OM ，MP ，AT . 12．利用三角函数线比较下列各组数的大小． (1)sin 2π3与sin 4π5； (2)tan 2π3与tan 4π5. 解如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；角4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′，AT <AT ′，所以(1)sin 2π3>sin 4π5. (2)tan 2π3<tan 4π5.13．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合： (1)tan α＝－1；(2)sin α＜－12.解 (1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4，∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z }．①②(2)如图②所示，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线，交单位圆于点P和P ′，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是 {α|7π6＋2k π＜α＜11π6＋2k π，k ∈Z }．高中数学知识点三角函数 1、 以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。