全国高中生创新知识与能力培育计划能力测试(高一数学)

高中创新能力测试题及答案【测试题一】题目：请设计一个实验来验证植物的光合作用是否需要光照。

【答案】实验材料：两盆生长状况相同的植物，遮光布，透明塑料袋，水，光度计。

实验步骤：1. 将两盆植物放置在相同的环境条件下，确保土壤湿度和温度一致。

2. 将其中一盆植物用遮光布覆盖，确保没有光照。

3. 另一盆植物不做任何处理，接受自然光照。

4. 每天记录两盆植物的光度计读数，持续一周。

5. 比较两盆植物的光度计读数变化，分析光照对植物光合作用的影响。

【测试题二】题目：请列举至少三种方法来提高太阳能电池板的能源转换效率。

【答案】1. 使用高质量的太阳能电池材料，如单晶硅或多晶硅，以提高光电转换效率。

2. 采用先进的电池板设计，如使用微透镜或反射膜来增加光的聚焦和反射，从而提高光能的利用率。

3. 定期清洁太阳能电池板，去除灰尘和污垢，以保持电池板表面的清洁，提高光的透过率。

【测试题三】题目：如果给你一个机会，让你设计一个环保型的城市，请描述你的设计理念和主要特点。

【答案】设计理念：可持续发展，绿色生态，资源循环利用。

主要特点：1. 城市建筑采用绿色建筑设计，利用自然通风和采光，减少能源消耗。

2. 城市交通系统以公共交通为主，鼓励使用自行车和步行，减少私家车使用，降低碳排放。

3. 城市垃圾处理采用分类回收和生物降解方法，实现垃圾的资源化利用。

4. 城市绿化覆盖率高，增加城市绿地面积，提高空气质量。

5. 城市能源供应以可再生能源为主，如太阳能、风能等，减少对化石燃料的依赖。

【测试题四】题目：请设计一个实验来探究不同温度对酶活性的影响。

【答案】实验材料：酶溶液，不同温度的水浴，反应底物，计时器，温度计。

实验步骤：1. 准备一系列不同温度的水浴，如10°C、20°C、30°C、40°C和50°C。

2. 将酶溶液分别置于不同温度的水浴中，保持5分钟以使酶溶液达到稳定的温度。

高中生创新能力大赛数理思维试题一、填空题(每小题6分，共90分)1、在1——100这100个数中所有5的倍数之和是（）2、计算口÷△，结果是：商为10，余数为5。

那么△的最小值是（）3、如果25×口÷3×15+5=2005，那么口= .4、1，3，5，7，……按这样的规律，第2006个奇数是________.5、今年儿子6岁，父亲36岁，母亲31岁，（）年后，父母亲年龄之和是儿子的7倍。

6、☆表示一种新的运算，并且规定a☆b=2a+3b,那么（3☆4）☆5=（）7．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：工作一天可得报酬48元，休息一天则要从所得报酬中扣掉12元。

该工人合同到期后并没有拿到报酬，则他最多工作了_______天。

8、狮子可以活40年，大象活的年数是狮子的2倍，海龟活的年数比大象的年数的2倍还多20年。

海龟能活（）年。

9、一本精装书的定价是13元，书本身比书皮贵11元，书皮要（）元。

10、王聪期末考试语文、数学、英语的平均成绩是93分，已知语文了96分，英语得了88分，数学得了（）分。

11、有7只猴子要分90个桃子，其中一个猴子分到3只桃子，其它猴子分到的桃子个数不相同，且一个比一个多1，分到最多的一个猴子分到（）个桃子。

12、甲乙两个冷藏库共存肉92吨，其中乙库存的肉比甲库存的3倍少4吨，甲库存肉（）吨，乙库存肉（）吨。

13、用2、4、8、10组成多种算24点的方法。

（尽量写的方法多一点）14 、小明,小华、小光三个人都是少先队的干部。

他们中有一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长。

在一次体育比赛中，他们的100米赛跑的结果是：（1）小光比大队长的成绩好；（2）小明和中队长的成绩不相同；（3）中队长比小华的成绩差。

根据以上情况，你能知道小明、小华、小光三个人中，谁是大队长吗？( )15、甲、乙两车同时从A、B两地沿相同的方向行驶。

甲车如果每小时行驶60 千米，则5小时可追上前方的乙车；如果每小时行驶70千米，则3小时可追上前方的乙车。

高一数学强基特训营答案1、下列关于《考试与评卷办法》主要内容和评分标准的说法，正确的是()。

A.一套完整的评分标准，分为客观(C)、主观(D)两个部分; B.评分标准的制定是由专家委员会经过充分讨论研究确定的; C.评分标准由两部分组成; E.评分标准有下列几种类型: A.客观评分方法; B.客观评分标准; C.主观评分标准。

2、 A.客观评分标准; B.主观评分标准; C.主观评分标准是根据()确定的.如果分数不统一且分数分布不均匀时使用的评价方法；如果分数相同时使用的评价方法就会有()和()两种。

3、 A.主观评分标准; B.客观评分标准为多个单项评分指标和两个多分项评分指标组成的一个综合评价系统; C.客观评分标准为多项评分指标与单项评分指标融合后形成的一个综合评价系统。

4、 C.总指数（总的）评定依据；总指数（权重）决定该分数被赋予（分母）或者不成为得分（项）、获得（分值）等一系列分值和权重项总和。

5、 B.客观分数统计口径; C.主观分数统计口径; D.对客观分数统计口径进行修订或扩展等多种方式组成一种量化评价体系。

6、 A:总得分, B:权重系数。

7、 B. B> C=0/8. A=0时 A>0/9. A=0时 B<0/10. C<0/11.D>1/11。

1、在综合素质评价中，以考试成绩为主要依据确定考生的考生等级的说法，正确的是()。

C.综合素质评价是由考试成绩和学业水平测试成绩组成，具体包括道德品质、公民素养、学习能力、创新能力和实践能力等五个方面。

D.综合素质评价是高校招生录取工作中十分重要的一环。

综合素质评价依据考生原始考试成绩和各方面表现确定其等级和分值，并由高校和省级教育行政部门对其进行录取。

《考试与评卷办法》规定：综合素质评价内容包括思想政治素质、学业水平测试成绩和学业水平测试等级这三项内容。

B.思想政治素质内容：主要包括学生对党和国家前途命运的认识、对社会发展所做贡献的认识和看法以及他们在学习和工作中遇到的困难和问题等内容；学业水平测试内容：主要包括学生掌握知识和基本技能、发展潜能和创新意识的测试成绩及实际运用中遇到的问题、解决这些问题时所应具备的能力等内容。

高中数学学习材料唐玲出品创新班2014级高一数学测试题班级_______姓名________命题人：孙娜 2015.3.13本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若α是第四象限角，则πα-是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 2．设1e ，2e 是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是 A ．12e e +和12e e - B ．1223e e -和1246e e - C ．122e e +和122e e + D ．2e 和12e e +3．已知向量a ＝（2，4），向量b ＝（x ，3），且a b ⊥，则x 的值是 A ．6 B ．6- C ．9 D ．124．把函数sin y x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移4π个单位长度，得到的函数图象对应的解析式是 A ．cos2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+5. 若22sin sin cos cos 1θθθθ+=-),2(Z k k ∈≠πθ，则θ是第几象限角A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 6. 已知向量b a CD b a BC b a AB b a 27,65,2,-=+-=+=且，一定共线的是 A ．A,B,D B ．A,B,C C ．B,C,D D ．A,C,D 7. 下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是 A ．cos()2y x π=+B ．sin()2y x π=+ C ．cos(2)2y x π=+D ．sin(2)2y x π=+ 8. 函数)42tan(π-=x y 的其中一个对称中心为A ．(,0)8π-B ．(,0)2πC ．(0,0)D ．(,0)4π9．如图是函数)2|)(|sin(2πϕϕω<+=x y 的图象，那么A ．6,1110πϕω==B ．6,1110πϕω-==C ．6,2πϕω== D ．6,2πϕω-==10．向量(2,1)a =-，(,1)b λ=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的范围 A ．1(,2)(2,)2⋃+∞ B ．(2,)+∞ C ．1(,)2-∞- D ．1(,)2+∞第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)注意事项:第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.） 11. 记cos(70)k -=，那么tan110等于 .12．已知向量,a b 满足0,1,2,a b a b ⋅===，则2a b -= . 13．已知角α的终边上一点的坐标为（55sin,cos 66ππ），则角α的最小正值为_______. 14．已知向量)214()26(，，，-==→→b a ，直线l 过点(3,1)A -，且直线l 与向量→→+b a 2垂直，则直线l的方程为________.15．定义平面向量之间的一种运算（⊗）如下：对任意的(,),(,),a m n b p q ==令a b mq np ⊗=-，下面说法正确的序号为 ．（把所有正确命题的序号都写上） ①若,a b 共线，则0a b ⊗= ②a b b a ⊗=⊗xoy12π1211③对任意的,()()R a b a b λλλ∈⊗=⊗有 ④2222()()||||a b a b a b ⊗+⋅=三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知4,3,(23)(2)61a b a b a b ==-⋅+=． （Ⅰ）求a 与b 的夹角；（Ⅱ）若(1,2)c =且a c ⊥，求a ．17．（本小题满分12分）函数sin()(0,)2y x πωϕωϕ=+><在同一个周期内，当4x π=时y 取最大值1，当712x π=时, y 取最小值1-.（Ⅰ）求函数的解析式()y f x =；（Ⅱ）求函数的对称轴、对称中心、单调减区间.18．（本小题满分12分）设两个非零向量1e 和2e 不共线.(Ⅰ) 如果AB =1e +2e ，BC =128e +2e ，CD =133e -2e ，求证：A 、B 、D 三点共线； (Ⅱ) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由.19. （本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、).23,2(),sin ,(cos ππααα∈C（Ⅰ）若||||AC BC =，求α的值；（Ⅱ）若1AC BC ⋅=-，求sin cos αα-的值.20．（本小题满分13分）如图，以Ox 为始边作角α与β（0βαπ<<<），它们终边分别与单位圆相交于点P Q 、，已知点P 的坐标为34(,)55-．（Ⅰ）求22sin cos 2cos 1tan αααα++的值；（Ⅱ）若0OP OQ ⋅=，求sin ,cos ,tan βββ的值．21．（本小题满分14分） 已知函数1()sin(2)62f x x π=++. （Ⅰ）试用“五点法”画出函数()f x 在区间11[,]12ππ-12的简图； （Ⅱ）指出该函数的图象可由sin ()y x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？（Ⅲ）若[,]63x ππ∈-时，函数()()g x f x m =+的最小值为2，试求出函数()g x 的最大值并指出x 取何值时，函数()g x 取得最大值．xy -121O12π-12π。

一、单选题1．下列结论不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．0N ∈1Q 3∈2Z -∈()R πQ ∉ð【答案】D【分析】根据元素与集合的关系及常见数集即得. 【详解】由题可知，，正确，错误. 0N ∈1Q 3∈2Z -∈()R πQ ∉ð故选：D.2．集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）{}2,0,1,2A =-{}2,1,3B =-A ．B ． {}2-{}0,1,3C ．D ．{}0,2,3{}1,2,3【答案】C【分析】根据韦恩图，直接求得. 【详解】因为，，{}2,0,1,2A =-{}2,1,3B =-所以阴影部分表示的集合为.{}0,2,3故选：C3．已知命题p ：x <1，，则为∃21x ≤p ⌝A ．x ≥1, ＞B ．x <1, ∀2x 1∃21x >C ．x <1,D ．x ≥1,∀21x >∃21x >【答案】C【详解】 根据全称命题与存在性命题之间的关系，可知命题的否定为，故选C ．2:1,1p x x ∃<≤21,1x x ∀<>4．下列四组函数中，与不相等的是（ ）()f x ()g xA ．与()f x x =()g xB ．与 ()21f x x =+()21g t t =+C ．与 ()21f x x =-()22111=11<<1x x x g x x x ⎧-≥≤-⎨--⎩或D ．()f x =()g x =【答案】D 【分析】对于四个选项，分别求出定义域和化简解析式，即可判断.【详解】对于A ：和的定义域均为R..所以与是同一个函数.()f x ()g x ()g x x ==()f x ()g x 故A 正确；对于B ：和的定义域均为R ，且对应关系一致，为同一个函数.故B 正确；()f x ()g x 对于C ：和的定义域均为R ，，解析式一致，为同一()f x ()g x ()222111=1=11<<1x x x f x x x x -⎧-≥≤-⎨--⎩或个函数.故C 正确；对于D ：的定义域为；()f x =(][),11,-∞-⋃+∞()g x =[)1,+∞.故与不是同一个函数.故D 错误；()f x ()g x 故选：D5．已知，则的解析式为（ ） 111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭()f x A ． B ． C ． D ．11x +1x x+1x x +1x +【答案】C【分析】利用配凑法求函数的表达式.【详解】， 111(111x f x x x ==++； ∴()()01x f x x x=≠+故选：．C 6．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） ()2y f x =[]0,1011()()11f x g x x +=-A ．B ． []1,2021-[)(]1,11,2021-⋃C ．D ．[]0,2022[)(]1,11,2022-⋃【答案】B【分析】L 利用抽象函数求得定义域，再求解函数的定义域即可.()y f x =()g x【详解】解：函数的定义域是，即，则()2y f x =[]0,1011[]0,1011∈x []20,2022∈x 所以函数的定义域是()y f x =[]0,2022则函数的定义域满足：，解得：且 ()()11f x g x x +=-01202210x x ≤+≤⎧⎨-≠⎩12021-≤≤x 1x ≠故的定义域是,,，()g x [1-1)(1⋃2021]故选：B ．7．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）a b c 221a a c b =+--210a b ++=A ．B ．C ．D ． b a c >≥c a b >>b c a >≥c b a >>【答案】D【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由221a a c b =+--2(1)a c b -=-,c b 得，做差，配方法比较大小.210a b ++=21a b =--b a -【详解】由可得，则，210a b ++=21a b =--1a ≤-由可得，利用完全平方可得221a a c b =+--2(1)0a c b -=->所以，c b >， 22131(024b a b b b ∴-=++=++>，b a ∴>综上，c b a >>故选：D【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 8．世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子"美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知[][],y x x =x ][1.11, 1.12⎡⎤=-=-⎣⎦，则函数的值域为（ ） ()()()21,,32,1x f x x x ∞∞-⎡⎤=∈--⋃+⎢⎥+⎣⎦()f x A ．B ．C ．D ．{}0,1,2{}1,2,3{}2,3,4{}2,3【答案】B 【分析】根据题意，设，将解析式变形，分析的取值范围，结合取整函数21()1x g x x -=+()g x ()g x 的定义，分析可得答案．[]y x =【详解】解：根据题意，设，则， 21()1x g x x -=+212(1)33()2111x x g x x x x -+-===-+++在区间上，，且为增函数，则有， (,3)-∞-301x <+()g x 72()2g x <<在区间上，，且为增函数，则有， (2,)+∞301x >+()g x 1()2g x <<综合可得：的取值范围为或，()g x 1()2g x <<72()2g x <<又由，则的值域为，2，. 21()[][()]1x f x g x x -==+()f x {13}故选：B ．二、多选题9．已知实数，则下列结论一定正确的有（ ）,0a b c abc >>≠A ．B ． a a b c >22ab b c >C ．D ． 2211ac a c>2ab bc ac b +>+【答案】BCD【分析】利用举实例判断A 选项，利用不等式的基本性质判断B 选项，利用作差法比较大小判断C ，D 选项．【详解】解：因为，所以,0a b c abc >>≠,,0a b c ≠选项A ，当，，时，则，故A 错误； 2a =1b =-2c =-a a b c<选项B ，由于，所以，则，故B 正确；,0>≠a c b 20b >22ab b c >选项C ，因为，所以，则，则，故C 正确； a c >0a c ->2222110--=>a c ac a c a c 2211ac a c>选项D ，，，，，故D 正确. a b c >> 0abc ≠2()()()0ab bc ac b a b b c ∴+-+=-->2ab bc ac b ∴+>+故选：BCD ．10．设，则“”成立的一个充分不必要条件是（ ）R x ∈23520x x +->A ． B ．或 13x >2x <-13x >C ．D ．3x <-2x <-【答案】ACD 【分析】不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围应该是其解集的真子23520x x +->x 集，即可得到答案．【详解】解不等式，得或， 23520x x +-><2x -13x >则不等式的解集为或， {|2A x x =<-1}3x >因此，不等式成立的一个充分不必要条件，对应的范围应该是集合的真子集，故2210x x +->x A A ，C ，D 符合，故选：ACD ．11．若命题“，”是假命题，则的值可能为（ ）x ∃∈R ()()2214130k x k x -+-+≤k A ．B ．1C ．4D ．71-【答案】BC 【解析】首先写出特称命题的否定，根据命题“，”是真命题，根x ∀∈R ()()2214130k x k x -+-+>据恒成立，讨论的取值，求参数的取值.k k 【详解】由题可知，命题“，”是真命题，x ∀∈R ()()2214130k x k x -+-+>当时，或.210k -=1k =1k =-若，则原不等式为，恒成立，符合题意；1k =30>若，则原不等式为，不恒成立，不符合题意.1k =-830x +>当时，依题意得.210k -≠()()22210,1614130k k k ⎧->⎪⎨---⨯<⎪⎩即解得. ()()()()110,170,k k k k ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩17k <<综上所述，实数的取值范围为. k {}17k k ≤<故选:BC .【点睛】本题考查存在量词命题否定的应用，重点考查分类讨论的思想，运算求解能力，属于基础题型.12．设函数，若关于的不等式恒成立，则实数的可能取值为()22f x x x a =++x ()()0f f x ≥a （ ）A ．0B ．C ．1D ． 1232【答案】CD【分析】根据函数可求得其最小值，然后根据不等式恒成立，列出不等式，求解()f x ()()0f f x ≥即可.【详解】因为函数的开口向上，对称轴为， ()22f x x x a =++=1x -所以，即的值域为()()min 11f x f a =-=-()f x [)1,a -+∝且关于的不等式恒成立，则， x ()()0f f x ≥()1011f a a ⎧-≥⎨-≥-⎩即，解得 2100a a a ⎧+-≥⎨≥⎩a ≥或，此时无解. 11Δ0a -<-⎧⎨≤⎩所以实数的取值范围为 a ⎫+∝⎪⎪⎭故选:CD.三、双空题13．若，则的取值范围为___________；的取值范围为13,24,2a b a b t a b -<+<<-<=+a t ___________.【答案】 17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据不等式的性质即可得到结果.【详解】∵13,24,a b a b -<+<<-<∴即 127,a <<17,22a <<又， ()()312+22t a b a b a b =+=+-∴， ()()32319++222222a b a b -<+-<+即. 113,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭故答案为：，. 17,22⎛⎫ ⎪⎝⎭113,22⎛⎫- ⎪⎝⎭14．设函数，则___________；，则实数___________. ()2,<0=+1,0x x f x x x ⎧⎨≥⎩()()1f f -=()()4f f a ==a【答案】 2 2或【分析】直接代值计算可得空一；分和代入分段函数解方程可得空二.a<00a ≥【详解】因为，所以；2(1)(1)1f -=-=()()1(1)112f f f -==+=当时，，所以，解得，a<02()0f a a =>()()22()14f f a f a a ==+=a =a =当时，，所以，解得.0a ≥()10f a a =+>()()(1)24f f a f a a =+=+=2a =故答案为：2；2或四、填空题15．已知，其中，若是的充分条件，则实数的取值范()()5:2,:201p q x m x m x ≥-+≤+0m ≠p q m 围是___________.【答案】. [)3,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 【分析】先求出不等式表示的解集，然后由是的充分条件，可得两解集间的关系，从而可求出p q 实数的取值范围.m 【详解】由，得，解得， 521x ≥+3201x x -≥+312x -<≤当时，由，得，0m >()()20x m x m -+≤2m x m -≤≤当时，由，得，0m <()()20x m x m -+≤2m x m ≤≤-因为是的充分条件，p q 所以当时，，解得， 0m >1322m m -≤-⎧⎪⎨≥⎪⎩m 1≥当时，，解得， 0m <2132m m ≤-⎧⎪⎨-≥⎪⎩32m ≤-综上，或， m 1≥32m ≤-即实数的取值范围为， m [)3,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ 故答案为：. [)3,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦五、双空题16．为防控新冠疫情，需要对公共场所进行消杀.某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位消毒剂，空气中释放的浓度（单位：）随着时间（单位：天）变化的函数关系y 3mg/m 式近似为，若进行多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次喷酒的161,048=15,4<102x x y x x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-≤⎪⎩消毒剂在相应时刻的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于时，它才能起到杀34mg/m灭病毒的作用.若一次喷酒4个单位的消毒剂，则消毒起作用时间最多可持续___________天.若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6天后再喷酒个单位的药剂，要使接下来的4天都能够持续()14a a ≤≤有效杀毒，则的最小值为___________.（精确到1.4）a 0.1【答案】 8 1.6【分析】利用已知可得一次喷洒个单位的净化剂，浓度，分类讨论4()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜解出即可；设从第一次喷洒起，经天，可得浓度()4f x ≥()610x x ≤≤，整理化简，利用基本不等式即可得出． ()()116251286g x x a x ⎥=-+---⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦【详解】∵一次喷洒个单位的净化剂，4∴浓度， ()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜则当时，由，解得， 04x ≤≤64448x-≥-0x ≥∴此时．04x ≤≤当时，由，解得，410x <≤2024x -≥8x ≤∴此时．48x <≤综上得，若一次投放个单位的制剂，则有效净化时间可达天；08x ≤≤48设从第一次喷洒起，经天， ()610x x ≤≤∵， []1448x -∈，∴浓度， ()()()11616251144428614a g x x a x a a x x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ -⎪⎝⎭⎣=-+-=-⎦+--≥---∵，14a ≤≤∴，8[]4,故当且仅当有最小值为．14x -=()g x 4a -令，解得，44a -≥244a-≤≤∴的最小值为．a 24 1.6-≈故答案为：①8；②1.6六、解答题17．设集合， {}12,{23}A xx B x m x =-≤≤=<<∣∣(1)若，求；=1m ()R ,A B A B ⋃⋂ð(2)若是的真子集，求实数的取值范围；∅A B ⋂m (3)若中只有一个整数，求实数的取值范围.()R B A ⋂ðm 【答案】(1) ()R {13},{23}A B xx A B x x ⋃=-≤<⋂=<<∣∣ð(2)(,1)-∞(3) 312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭∣【分析】（1）直接利用交并补集运算的定义求解即可，（2）由题意可得，列不等式组可求得答案，A B ⋂≠∅（3）先求出集合，再由题意可得，从而可求得结果.R A ð322m -≤<-【详解】（1）当时，， 1m ={23}B xx =<<∣因为， {}12A xx =-≤≤∣所以或， R {1A xx =<-∣ð2}x >所以. ()R {13},{23}A B xx A B x x ⋃=-≤<⋂=<<∣∣ð（2）因为是的真子集，∅A B ⋂所以，A B ⋂≠∅因为 {}12,{23}A xx B x m x =-≤≤=<<∣∣所以，解得， 2322m m <⎧⎨<⎩1m <即实数的取值范围为，m (,1)-∞（3）因为中只有一个整数，或，， ()R B A ⋂ðR {1A xx =<-∣ð2}x >{23}B x m x =<<∣所以，且，解得， B ≠∅322m -≤<-312m -≤<-所以实数的取值范围是. m 312m m ⎧⎫-≤<-⎨⎬⎩⎭∣18．已知1,2>>a b (1)若，求的最小值及此时的值； ()()124a b --=1112a b +--,a b(2)若，求的最小值及此时的值； 26a b +=1112a b +--,a b (3)若，求的最小值及此时的值. 111a b +=1112a b +--,a b 【答案】(1)最小值为1，此时3,4a b ==(2)3a b ==(3)最小值为3，此时 3,32a b ==【分析】（1）根据可得，然后根据基本不等式结合系数“1”的应用()()124a b --=()()11412a b --=即可得到结果.（2）根据可得，然后根据基本不等式结合系数“1”的应用即可得到结果. 26a b +=()()2112b a --+=（3）根据可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 111a b+=111a b -=-【详解】（1），1,2,10,20a b a b >>∴->->Q ()()111111212412a b a b a b ⎛⎫∴+=+-- ⎪----⎝⎭()()1121144b a =-+-≥⨯=⎡⎤⎣⎦当且仅当时，等号成立，解得； ()()21124b a a b -=-⎧⎨--=⎩3,4a b ==的最小值为1，此时 1112a b ∴+--3,4a b ==（2），即 26a b += ()()()()2112122,11,212b a b a a b --+-=∴-+=∴+-- ()()211111112122b a a b a b ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=+⨯=+⨯-+⎢⎥ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3122221a b b a --=++≥--当且仅当时，等号成立，解得 )()()212122b a a b ⎧-=-⎪⎨-+-=⎪⎩3a b ==1112a b ∴+--3a b ==（3），由，可得 2b > 111a b +=111,1,1112b a a b b a b =∴-=∴+----12132b b =-++≥-当且仅当时，取号 3,32a b ===的最小值为3，此时 1112a b ∴+--3,32a b ==19．已知不等式的解集为，记函数.20ax bx c ++>()1,t ()()2f x ax a b x c =+--(1)求证：方程必有两个不同的根；()=0f x (2)若方程的两个根分别为、，求的取值范围；()=0f x 1x 2x 21x x -(3)是否存在这样实数的、、及，使得函数在上的值域为.若存在，求出a b c t ()=y f x []2,1-[]6,12-的值及函数的解析式；若不存在，说明理由.t ()=yf x 【答案】(1)证明见解析(2) )+∞(3)存在，，2t =2()284f x x x =--+【分析】（1）依题意可得，再计算根的判定式即可说明；0ac >0∆>（2）依题意和为方程的两根，且，利用韦达定理得到，再利用韦1t 20ax bx c ++=a<00a b a c c at <⎧⎪=--⎨⎪=⎩达定理将转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质计算可得；21x x -t （3）依题意可得，根据函数的最小值求出，再对对称轴分两种情况讨()()22f x a x t x t ⎡⎤=++-⎣⎦a 论，求出的值，即可求出、，从而得解.t b c 【详解】（1）解：由题意知：，所以10c t a=⋅>0ac >对于方程，恒成立， ()2()0f x ax a b x c =+--=()240a b ac ∆=-+>所以方程有两个不相同的根；()2()0f x ax a b x c =+--=（2）解：因为的解集为，20ax bx c ++>()1,t 所以和为方程的两根，且，1t 20ax bx c ++=a<0所以，即，0++0a a b c c t a⎧⎪<⎪=⎨⎪⎪=⎩0a b a c c at <⎧⎪=--⎨⎪=⎩所以 ()22222212121424484a b c a c c c c x x x x x x a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=+=+⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2284(4)12t t t =++=+-因为，所以，所以 1t >2(4)1213t +->)21x x ∞-∈+（3）解：假设存在满足题意的实数、、及，a b c t 所以 ()222()11b c a c c f x ax a b x c a x x a x x a a a a ⎡⎤⎡+⎤⎛⎫⎛⎫=+--=+--=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，， ()2222c c a x x a x t x t a a ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=++-=++- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦1t >所以函数图像的对称轴为，且， =()y f x 3122t x =--<-a<0所以，解得，min ()(1)36f x f a ===-2a =-要使函数在上的值域为，只要即可， =()y f x []2,1-[]6,12-max ()12f x =①当，即时，，解得，符合题意， 122t --≤-2t ≥max ()(2)612f x f t =-===2t ②当，即时，，解得（舍去）或（舍122t -->-12t <<2max 84()(11222t t t f x f ++=--===2t 10t =-去），综上所述，时符合题意，此时，解得， =2t 2++0=2a a b c c a⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪⎩64b c =⎧⎨=-⎩所以函数的表达式为.2()284f x x x =--+。

中学生标准学术能力诊断性测试2022-2023学高三上学期（新课改版）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合{}04A x x =≤≤，5|01x B x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．(]1,4 B ．[]1,4 C ．[)0,1D ．[]0,12．“()()()242i a a a -+-∈R 为纯虚数”是“2a =±”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知1sin 33πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．79-B ．79 C．9-D．94．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且234n n S n T n+=，则55a b =（ ）A ．12B ．712 C ．58D ．8135．设1F ，2F 分别是椭圆22195x y+=的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点Q 的坐标为()1,1-，则1PQ PF +的取值范围为（ ）A．⎤⎦B．103⎤⎥⎦C．6⎡-+⎣D．6⎡⎣6．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别为正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知连接正八面体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体．已知该柏拉图体的体积为1，则生成它的正八面体的棱长为（ ）AB．2CD ．2 7．已知实数0x >，30y z ≥>，则2432x y z y zy z x+++++的最小值为（ ）A．1B．1+C．2D．2+8．已知函数()1f x x =-，()ln g x x =，若存在1x ，2x ，…，121,e e n x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()()()()()()*121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x n ++++++=++++∈N 成立，则n 的最大值为（ ）（注：e 2.71828=…为自然对数的底数）A ．4B ．5C ．6D ．7二、多选题9．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．cos 2y x =10．已知某高中共有学生2040人，其中高一段学生800人，高二段学生600人，为了了解学生的体质健康水平，现从三个段中采取分层抽样的方法，抽取一个容量为51的样本，检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%，60%，50%，下列说法正确的是（ ） A ．体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段 B ．体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段 C ．高二段抽取了15人D ．估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%（百分比保留一位小数）11．若存在t ∈R ，对任意的1x >，恒有()cos2f x t x -≥，则函数()f x 可能为（ ）A ．()e x f x =B ．()sin f x x =C ．()()lg 1f x x =-D ．()f x =12．已知圆()()22:234C x y -+-=，恒过()1,3的直线l 与圆C 交于P ，Q 两点.下列说法正确的是（ ）A ．PQ的最小值为B ．[]6,8PC PQ ⋅∈ C ．CP CQ ⋅的最大值为2-D．8OP OQ ⎡⋅∈⎣（O 为坐标原点）三、填空题13．已知函数()31,03log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，若()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦，则x 的范围是_______．14．已知多项式()()()()465212671111x x a x a x a x a -=+++++++，则4a =______．15．已知双曲线22:132x y C -=，过双曲线C 上任意一点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N .则PM PN +的最小值为______.16．已知平面向量a ，b ，c ，d ，满足a b ⊥，1a b ==，1b c +=，若()()124b d a d +-≥，则c d+的取值范围是________． 四、解答题17．现有4所学校，每校派出3名教师，这12名教师中，经过选拔挑出4名教师参加技能比赛. (1)恰有2名教师来自同一所学校的概率；(2)设这4名教师来自的学校个数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin sin B C B C A =+-． (1)求角A ；(2)求cos cos B C +的最大值．19．如图所示，多面体ABCDEF 中，AD BC EF ∥∥，平面ADEF ⊥平面BCEF ，AD ⊥EC ，且4AD CD ，2CB EF ==，π3BCD ∠=．(1)证明：FB ⊥DE ；(2)若FB =DC 与平面ABF 所成角的正弦值． 20．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足23n n S a +=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()2n n b n a =+，记{}n b 的前n 项和为n T ，若存在*n ∈N 使得214n n T a λ+⋅≥成立，求λ的取值范围．21．如图所示，已知抛物线1C ：()220x py p =>，椭圆2C ：221164y x+=，过y 轴正半轴上点A 作斜率为1-的直线l 交抛物线1C 于B ，C 两点，交椭圆2C 于E ，F 两点．(1)当点A 为抛物线1C 的焦点时，16BC =．求抛物线1C 的方程；(2)若B ，C 两点关于y 轴的对称点为B '，C '，求四边形B EC F ''面积的最大值．22．已知函数()()e 2ln =-xf x x ．(1)求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；(2)当1x ≥时，求证：()21222x x f x x++-≥．参考答案：1．C【分析】解不等式得集合B ，直接根据交集运算即可. 【详解】解：解不等式501x x -≥-得1x <或5x ≥，则{|1B x x =<或5}x ，又{}04A x x =≤≤所以{}|01A B x x ⋂=≤<=[)0,1. 故选：C. 2．A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】因为()()()242i a a a -+-∈R 为纯虚数，所以有240220a a a ⎧-=⇒=-⎨-≠⎩， 因此“()()()242i a a a -+-∈R 为纯虚数”是“2a =±”的充分不必要条件，故选：A 3．A【分析】利用角的变换，结合二倍角公式，化简求值.【详解】cos 2cos 2cos 2333πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦272sin 139πα⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭.故选：A 4．B【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式求得正确答案.【详解】5595151922a a a b b a b b ==++()()1999199292a a S Tb b +⋅==+⋅， 由题意可得99293217493612S T ⨯+===⨯. 故选：B 5．D【分析】根据椭圆的定义可得，126PQ PF PQ PF +=-+，当2,,P Q F 三点共线时，取值最大或最小.【详解】根据椭圆的定义可得，1226PF PF a +==，则126PQ PF PQ PF +=-+，因为222QF PQ PF QF -≤-≤，则当2,,P Q F 三点共线时，取值最大或最小.由已知得，3a =，2224c a b =-=，2c =，()22,0F ，2QF图1如图1，当P 点位于图中1P 时，根据三角形三边关系取值最大.122666PQ PF PQ PF QF +=-+≤+=.图2如图2，当P 点位于图中2P 时，根据三角形三边关系取值最大.122666PQ PF PQ PF QF +=-+≥-+=.故答案为：6⎡⎣.6．B【分析】明确正八面体的结构特征，作出其示意图，确定连接其各面中心构成的几何体为正方体，根据正方体的棱长，求得正方形ABCD 的对角线长，即可求得答案. 【详解】如图，正八面体由两个正四棱锥,P ABCD Q ABCD --组成， 正八面体所有棱长都相等，四边形ABCD 为正方形，设,E F 分别为,AB BC 的中点，,,,,.,,G H I J K L M N 分别为正八面体的各个面的中心（如图），则由题意知GHIJ KLMN -为正方体，连接,,,PE PF EF AC ,则,G H 分别在,PE PF 上， 则23PG PH PE PF ==,故2,3GH EF GH EF =∥, 由题意知正方体GHIJ KLMN -的体积为1，则其棱长1GH =,故32EF =, 又,E F 分别为,AB BC 的中点，则23AC EF ==,故AB AC ==,故选：B. 7．D【分析】原式变形为322x y z y z x++++，利用均值不等式可得3222x y z y z x +++≥++进一步根据分式性质讨论最值即可.【详解】由题意得，2433222222x y z y z x y z y z x y z x +++++=++≥+++++，当且仅当22233722x y zx y yz z y z x+=⇒=+++等号成立，又222+≥+=+3y z =，222237250x y yz z z x =++=⇒=. 故选：D 8．B【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，求得()h x 的值域，由此化简已知条件，通过列不等式来求得n 的取值范围，进而求得n 的最大值.【详解】令()()()211ln ,e e h x f x g x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，()22111x h x x x x -'=-=，所以()h x 在区间()()21,1,0,e h x h x ⎛⎫'> ⎪⎝⎭递增；在区间()()()1,e ,0,h x h x '<递减.()2222111e ln 2e ,e 1e e e h h ⎛⎫=--=-=-- ⎪⎝⎭，()11h =-，所以()h x 的值域为22e ,1⎡⎤--⎣⎦.原问等价于存在1x ，2x ，…，121,e e n x +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n x x h h h h x x +++=+，由于()212e ,1n h x +⎡⎤∈--⎣⎦，()()()()2122e ,n h x h x h x n n ⎡⎤+++∈--⎣⎦，所以222e ,e 2n n -≤-≤-，所以n 的最大值为5. 故选：B【点睛】本题的突破口在于利用构造函数法，化简已知等式，再结合导数求得所构造函数的值域，从而问问题进行求解，导数起到的是工具性的作用.解题过程中，存在性问题的求解转化为最值问题来进行求解. 9．AD【分析】利用特殊值排除B ，利用图象以及三角函数最小正周期的知识求得正确答案. 【详解】A 选项，sin y x =的图象如下图所示，由此可知sin y x =的最小正周期为π.B 选项，令()sin f x x =， 3π3π3πππsin 1,πsin 122222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==--+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3π3ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-≠-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 选项错误. C 选项，令()cos2g x x =，()()πcos 2πcos 2cos 22g x x x x g x ⎛⎫+=+=-== ⎪⎝⎭，所以π不是cos 2y x =的最小正周期.D 选项，对于函数cos 2y x =，当20≥x 时，cos 2y x =， 当20x <时，()cos cos 22y x x ==-， 所以cos 2cos2y x x ==，其最小正周期为2ππ2T ==，D 选项正确. 故选：AD 10．ABC【分析】根据分层抽样的知识求得各年级抽取的人数，由此判断C 选项的正确性；根据优秀率判断ABD 选项的正确性.【详解】高三2040800600640--=人， 高一抽取80051202040⨯=人； 高二抽取60051152040⨯=人，C 选项正确. 高三抽取64051162040⨯=人. 高一体质健康水平不优秀的人数为()800145%440⨯-=人； 高二体质健康水平不优秀的人数为()600160%240⨯-=人； 高三体质健康水平不优秀的人数为()640150%320⨯-=人.所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段，A 选项正确. 高一健康水平优秀的人数为800440360-=人； 高二健康水平优秀的人数为600240360-=人； 高三健康水平优秀的人数为640320320-=人.所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段，B 选项正确. 估计该校学生体质健康水平的优秀率为360360320104051.0%20402040++==，D 选项错误故选：ABC 11．ABCD【分析】对选项逐一分析，通过对t 进行取值，使得对任意的1x >，恒有()cos2f x t x -≥，由此来确定正确答案.【详解】A 选项，()e xf x =，取0=t ，则当1x >时，()e e 1cos 2x f x t x -=>>≥，所以A 选项正确.B 选项，()sin f x x =，取3t =-，则当1x >时， ()sin 321cos 2f x t x x -=+≥>≥，所以B 选项正确.C 选项，()()lg 1f x x =-，取3π4t =-，则当1x >时： ()()3πlg 14f x t x -=-+， 当π43x >时，3π1114x ->->，()3π3πlg 11cos 244x x -+>>≥， 当3π14x <≤时，3π22,cos 202x x <≤≤，所以()3πlg 1cos 24x x -+≥， 所以对任意的1x >，恒有()cos2f x t x -≥，C 选项正确.D 选项，()f x 3t =-，则当1x >时， ()331cos 2f x t x -=≥>≥，所以D 选项正确.故选：ABCD 12．BCD【分析】根据圆的几何性质、向量数量积运算、动点轨迹方程等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】圆()()22:234C x y -+-=的圆心为()2,3C ，半径为2，当()1,3A 满足()()22123314-+-=<，所以()1,3A 在圆C 内，所以，当AC PQ ⊥时，PQ 取得最小值，如下图所示，此时1,AC PQ ===A 选项错误.设B 是PQ 的中点，()22cos PC PQ PC PB PC PB P ⋅=⋅=⋅⋅∠2222PQ PB ==，由于4PQ ≤，21216PQ ≤≤，所以[]26,82PQ PC PQ ⋅=∈，B 选项正确.222cos 2CP CQ PQCP CQ CP CQ PCQ CP CQ CP CQ+-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅282PQ-=,由于21216PQ ≤≤，2884PQ -≤-≤-，所以[]284,22PQCP CQ -⋅=∈--，所以CP CQ ⋅的最大值为2-，C 选项正确.()()()()OP OQ OB BP OB BQ OB BP OB BP ⋅=+⋅+=+⋅-22OB BP =-()2222224OB BCOB BC =--=+-①，设(),B x y ，由222AB BC AC +=得：()()()()222213231x y x y -+-+-+-=整理得()22231322x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 点的轨迹是以3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为12的圆，设311cos ,3sin ,02π222B θθθ⎛⎫++≤< ⎪⎝⎭，所以2222223113114cos 3sin cos 23sin 34222222OB BC θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+++++-++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3sin cos 88θθθϕ=++=+，其中1tan 3ϕ=，所以2248CP CQ OB BC ⎡⋅=+-∈⎣，D 选项正确. 故选：BCD【点睛】本题的突破口在于化归与转化的数学思想方法，将所求的数量积转化为已知条件来进行求解.涉及动点的轨迹，可先利用动点满足的几何性质列方程，求得动点的轨迹方程，再由此转化所求，进而求得正确答案. 13．(](][),10,127,-∞-+∞【分析】分类讨论x ，化简()f f x ⎡⎤⎣⎦，结合范围解不等式即可得答案.【详解】①当0x ≤时，()f f x ⎡⎤⎣⎦=13x f ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.因0x ≤时，1103x⎛⎫≥> ⎪⎝⎭，则()1f f x ≥⎡⎤⎣⎦3311111133log log xx x x ⎛⎫⎛⎫⇔≥⇔≥⇔-≥⇔≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ②当0x >时，()f f x ⎡⎤⎣⎦=()3log f x . ⑴当1x >时，3log 0x >.则()1f f x ≥⇔⎡⎤⎣⎦()()33333313327log log log log log log x x x x ≥⇔≥⇔≥⇔≥.⑵当01x <≤时，3log 0x ≤.则()1f f x ≥⇔⎡⎤⎣⎦33031111001333log log log xxx x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⇔≥⇔≤⇔<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 综上所述，x ∈(](][)10127，，，-∞-+∞. 故答案为：(](][)10127，，，-∞-+∞ 14．88-【分析】利用换元法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】令11x t x t +=⇒=-， 所以由()()()()465212671111x x a x a x a x a -=+++++++，可得()()2465126712t t a t a t a t a --=++++，即()()42651267212t t t a t a t a t a -+-=++++，二项式()42t -的通项公式为414C (2)rrr r T t-+=⋅⋅-，所以3322144441C (2)+(2)C (2)+1C (2)88a =⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯-=-，故答案为：88-【点睛】关键点睛：利用换元法，结合二项式的通项公式是解题的关键.15【分析】结合点到直线的距离公式以及双曲线的范围求得正确答案.【详解】双曲线22:132x y C -=，a b =，双曲线C 0=，设(),P m n 是双曲线上任意一点，23m m ≥，则22132m n -=，2222236,4126m n m n -=-=.由点到直线的距离公式得PM PN +=两边平方得()2PM PN+=()2222244121246128245555m m m n m +-+++===≥所以PM PN +≥=PM PN +16．22⎤+⎥⎣⎦【分析】根据已知得到c 与c -终点的轨迹，设出d 利用圆的相关知识即可求得c d +的范围. 【详解】由已知1a b ==，1b c +=，a b ⊥，设(),c c c x y = 不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),d x y =()1c b --=可得()2211c c x y ++=又因为()()124b d a d +-≥，故()()221,21,24x y x y x x y y +--=-+--≥所以22124x x y y -++≤-，即()221112x y ⎛⎫-++≤ ⎪⎝⎭ 所以()c d d c +=--，易知，c -终点在以()10,1O 为圆心，11r =为半径的圆上. d 终点在以21,12O ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，21r =为半径的圆上.()c d d c +=--的取值范围为d 与c -终点距离的取值范围故17222c d ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 故答案为：22⎤-⎥⎣⎦17．(1)3655(2)分布列见解析，数学期望为16455【分析】（1）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算求得正确答案.（2）根据古典概型概率计算公式以及组合数的计算得到分布列，然后计算数学期望即可. 【详解】（1）恰有2名教师来自同一所学校的概率为：1221143333412C C C C C 32436C 49555==. （2）ξ的可能取值是234，，， ()22223114334332412C C C C C C C 102C 55211P ξ+====， ()3121143333412C C C C 36C 53C 5P ξ===，()11113333412C C C C 9C 554P ξ===， 所以分布列为：所以()236916423411555555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 18．(1)3A π=(2)1【分析】（1）首先根据正弦定理，角化为边，再结合余弦定理，求角； （2）根据（1）可知23C B π=-，代入后，利用三角恒等变形，化简后根据自变量的范围，求函数的最大值.【详解】（1）由正弦定理得222bc b c a =+-解得2221cos 22b c a A bc +-== 又0A π<<，∴3A π=（2）23C B π=- ∴2cos cos cos cos 3B C B B π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭11cos cos cos sin 226B B B B B B π⎛⎫=-==+ ⎪⎝⎭∵20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭故当62B ππ+=时，即3B π=时，sin 6B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取最大值1即cos cos B C +的最大值为1 19．(1)证明见解析【分析】（1）要证FB ⊥DE ，只要证：BF ⊥平面ADEF ，只要证BF ⊥EF ，可先证四边形EFBC 为平行四边形即可.(2)先利用线面垂直证得FD ，FE ，FB 两两垂直，以F 为原点建系，用空间向量求线面角正弦值. 【详解】（1）证明：∵//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFBC 为平行四边形， ∴BF //EC ，又AD //EF ，AD ⊥EC ， ∴BF ⊥EF又平面ADEF ⊥平面BCEF ，且平面ADEF 平面BCEF EF =∴BF ⊥平面ADEF ， 又DE ⊂平面ADEF ， ∴FB ⊥DE（2）连接BD ，FD ，24CD CB ==，π3BCD ∠=， 在三角形BCD 中，由余弦定理得222222cos 24224cos60BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯∴BD =又222CD CB BD =+， ∴BC ⊥BD∵BC ⊥BF ，且BD BF B =，BD ⊂平面BFD ，BF ⊂平面BFD ∴BC ⊥平面BFD ∵EF //BC ， ∴EF ⊥平面BFD∵DF ⊂平面BFD ，BF ⊂平面BFD ∴EF ⊥DF ，EF ⊥BF∵BF ⊥平面ADEF ，且DF ⊂平面ADEF ∴FD ⊥FB ，故FD ，FE ，FB 两两垂直如图建系，2FD ==()0,2,4A -，()B ，()C ，()0,2,0D ()22,2,2DC =-，()0,2,4FA =-，()2FB =设平面ABF 的法向量为平面(),,n x y z = 由00n FA n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得 则2400y z -=⎧⎪⎨=⎪⎩，取()0,2,1n =，设直线DC 与平面ABF 所成角θ ∴5sin cos ,10n DC n DC n DCθ⋅=<>==故直线DC 与平面ABF 20．(1)113n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)94≤λ-【分析】（1）结合1n n n a S S -=-，可证明{}n a 是等比数列，求解即可； （2）乘公比错位相减法求和可得n T ，代入214n n T a λ+⋅≥，化简可得724n λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤恒成立，结合单调性求解即可.【详解】（1）∵23n n S a +=，当1n =可得111231a a a +=⇒=，()()11123302232n n n n n n S a a a n S a n ---+=⎧⇒-=≥⎨+=≥⎩， ∴()1123n n a n a -=≥， 即{}n a 是以1为首项，13q =的等比数列，∴1111133n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）∵()()11223n n n b n a n -⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∴()0121111134523333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,()()12111111341233333n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两式相减：()121211113233333n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111331771321322313n n n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-, ∴2132114243nn T n ⎛⎫⎛⎫=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴214n n T a λ+⋅≥, ∴1213211211424343nn n λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥,即存在*n ∈N 使724n λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤成立,∵随着n 增大，724n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在减小,∴当1n =时，179244λ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭≤.21．(1)28x y =【分析】（1）设()11,B x y ，()22,C x y ，根据题意表示出抛物线方程和直线方程，联立得到根与系数的关系，根据弦长公式计算得到答案.（2）联立方程得到根与系数的关系，计算EF =B '，C '到直线EF 的距离得到12d d +=案.【详解】（1）设()11,B x y ，()22,C x y ，当点A 为抛物线1C 焦点时，0,2p A ⎛⎫⎪⎝⎭，l ：2p y x =-+，与抛物线1C 联立222x py p y x ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，整理得22304p y py -+=，1221234y y p p y y +=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩， 1212422p pBC y y y y p =+++=++=，16BC =，4p =，即抛物线1C 的方程为28x y =.（2）设l ：y x t =-+，与椭圆2C 联立221164y x y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，整理得2252160x tx t -+-=，直线与椭圆有两个交点E ，F ，21620160t ∆=-+⨯>，220t <，又0t >，故(0,t ∈，设()33,E x y ，()44,F x y ，有342342 5165t x x t x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪⋅=⎪⎩，34EF x x =-=B ，C 两点关于y 轴对称点为B '，C '，即()11,B x y '-，()22,C x y '- 设1d ，2d 分别为点B '，C '到直线EF 的距离，则121122d d x y x y +==++-)())()()21212121x x y y x x x t x t =---=---+--+⎡⎤⎣⎦()2121x x x =-=-将l 与抛物线1C 联立28y x tx y=-+⎧⎨=⎩，整理得2880x x t +-=，两根为1x ，2x ，121288x x x x t +=-⎧⎨⋅=-⎩，12d d +=四边形B EC F ''的面积()1212S EF d d =⋅+12= 令()3222040f t t t t =--++，令()()21034203203f t t t x x ⎛⎫'=--+=--+> ⎪⎝⎭，得到02t <<，即()f t 在()0,2t ∈上单调递增，在(2,上单调递减，()()max 288404064f t f ==--++=，max 8S ==即四边形B EC F ''【点睛】本题考查了圆锥曲线和导数的综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用根与系数的关系解题是常考的知识点，需要熟练掌握，利用导数求最值是解题的关键. 22．(1)()()21y e x =-- (2)证明见解析【分析】（1）先求导，结合导数的几何意义和点斜式可求()y f x =在1x =处的切线方程；（2）用两步放缩法，结合导数先证1ln 1x x ≥-，再证212xx e x ≥++，组合后即可证明当1x ≥时，()21222x x f x x++-≥．【详解】（1）∵()()1ln 2x x f x e x e x'=⋅+-⋅，∴()12f e '=-，当1x =时，()10f =，∴切点为()1,0， ∴()y f x =在1x =处的切线方程为()()21y e x =--； （2）先证：1ln 1x x≥-，令()11ln 1ln 1g x x x x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，()22111x g x x x x -'=-=，∵1x ≥，∴()0g x '≥，即()g x 在[)1,+∞上单调递增， ∴()()10g x g ≥=，所以当1x ≥时，1ln 1x x≥-成立， 因为当1x ≥时，220x e e -->≥，∴()()()12ln 21x xf x e x e x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭≥，再证：212xx e x ≥++，令()1xh x e x =--，∵()e 1xh x '=-，当1x ≥时，()0h x '>恒成立，∴()h x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()1110h x h e =->≥，令()212xx s x e x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，则()()()10xs x e x h x '=-+=>，∴()s x 在[)1,+∞上单调递增，∴()()5102s x s e =->≥，即212xx e x ≥++，∴2212xx e x -+-≥，∵1x ≥，∴110x-≥，∴()()2211121112222xxx x f x e x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+--=++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭≥≥，得证.。

高一新生综合素质测试数 学 试 题本卷共20小题 时量：120分钟 分值：150分一、选择题（本大题满分40分，每小题5分，在各题的四个选项中，只有一个是正确的）1．设0xy <，||x y >，则x y +的值是A. 负数B. 0C. 正数D. 非负数2．若2(3)()15x x n x mx ++=+-，则m 等于A. -2B. 2C. -5D. 53．若||0a a +=，则化简22)1(a a +-的结果为A ．1B ．-1C ．12-aD ．a 21-4．已知m 为任意实数，则直线y x m =+与4y x =--的交点不可能在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是A ．92 B ．94C ．95D ．32 6. 图1是李老师早晨出门散步时，离家的距离(y )与时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示李老师家的位置，则李老师散步行走的路线可能是7．如图2，AB 是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC 的长度为4米，则电线杆AB 的高度为A ．4米B ．6米C ．8米D ．10米 8．如图3，菱形ABCD 中，点O 是对角线AC 上一点，OA = AD ，且OB = OC = OD = 1，则该菱形的边长为 A ．251+ B．1 D ．2ABCDO图3B .图1A.C .D .图2二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，满分42分）9． 若n （0≠n ）是关于x 的方程022=++n mx x 的根，则n m +的值为 .10．若03=+b a (0)b ≠，则22222(1)24b a ab b a b a b++-÷=+- ． 11．图4是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25~45次的频率是________．12．如图5，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为________．13．已知二次函数的图象经过原点及点1124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 且图象与x 轴的负半轴的交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为14．图6中的两个滑块A 、B 由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，滑块A 距O 点20 cm ，滑块B 距O 点15 cm ．则当滑块A 向下滑到O 点时，滑块B 滑动了_________cm ．15．如图7，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转36°后得到的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD的度数是90°，则∠B 的度数是_________．12 9 5 3 图41 ABC 图5 图6ACBDO图7三、解答题(本大题满分68分) 16. （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(1,)A n -．（1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）若P 是坐标轴上一点，且满足PA OA =，直接写出点P 的坐标．17. （本题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC =2，CE =4，求四边形ACEB 的周长．18. （本题满分13分）如图，在平面直角坐标系x O y 中，我把由两条射线AE ，BF 和以AB 为直径的半圆所组成的图形叫作图形C （注：不含AB 线段）．已知A （﹣1，0），B （1，0），AE ∥BF ，且半圆与y 轴的交点D 在射线AE 的反向延长线上．（1）求两条射线AE ，BF 所在直线的距离；（2）当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有一个公共点时，写出b 的取值范围； 当一次函数y x b =+的图象与图形C 恰好只有两个公共点时，写出b 的取值范围.19．（本题满分15分）如图，正方形ABCD 的边长为1，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是AB 边上的 一个动点（点P 不与点A 、B 重合），CP 与BD 相交于点Q ． （1）若CP 平分∠ACB ，求证：AP =2QO ． （2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.① 把线段PC 绕点P 旋转90°，使点C 落在点E 处，并连接AE ．设线段BP 的长 度为x ，△APE 的面积为S . 试求S 与x 的函数关系式；② 求出S 的最大值，判断此时点P 所在的位置．20．（本题满分15分）A 地某校准备组织学生及学生家长到B 地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少．．．．．，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，从A 到B（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x 张（x 小于参加社会实践的人数），其 余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多 少钱？最多要花多少钱？ABCDPOQ 备用图ABCDP OQ株洲市二中2013年高中新生综合素质测试数 学 答 题 卡（满分：150分，时量：120分钟）一、选择题（本大题满分40分，每小题5分，在各题的四个选项中，只有一个是正确的） 二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，满分42分）9． 10． 11．12． 13.14． 15. 三、解答题(本大题满分68分)16. （本题满分12分） 解：17. （本题满分13分） 解：18. （本题满分13分） 解：19．（本题满分15分） 解：ABCDPOQ20．（本题满分15分）解：A BC DPOQ备用图株洲市二中2013年高一新生综合素质测试数学试题（答案）（满分：150分，时量：120分钟）一、选择题（本大题满分40分，每小题5分）1．设0xy <，||x y >，则x y +的值是（ C ）A. 负数B. 0C. 正数D. 非负数2．若2(3)()15x x n x mx ++=+-，则m 等于（ A ）A. -2B. 2C. -5D. 5解： ∵3n=-15，∴n=-5，m=3+(-5)=-2. 故选A. 3．若||0a a +=，则化简22)1(a a +-的结果为（ D ）A ．1B ．-1C ．12-aD ．a 21- 解： ∵a +|a |=0, ∴|a |=-a , ∴a ≤0，进而a -1≤0∴22)1(a a +-=|a -1|+|a |=-(a -1)-a =1-2a . 故选D.4．已知m 为任意实数，则直线y x m =+与4y x =--的交点不可能在（ A ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解：∵直线y =-x -4不经过第一象限，∴无论m 为何实数，直线y =x +m 与y =-x -4的交点不可能在第一象限，故选A.5．从1～9这九个自然数中随机取出一个数，取出的数是2的倍数的概率是（ B ）A ．92B ．94C ．95D ．32 6. 图1是李老师早晨出门散步时，离家的距离(y )与时间(x )之间的函数图象．若用黑点表示李老师家的位置，则李老师散步行走的路线可能是（ D ）7．如图2，AB 是铅直地竖立在坡角为30°的山坡上的电线杆，当阳光与水平线成60°角时，电线杆的影子BC 的长度为4米， 则电线杆AB 的高度为（ C A ．4米； B ．6米 ； C ．8米； D ．10米 解：如图2，由题意可知，∠ACB =90°，∠ABC =60°，B .图1A.C .D .图2 图2则AB =2BC =8米,所以选择C.8．如图3，菱形ABCD 中，点O 是对角线AC 上一点，OA = AD ，且OB = OC = OD = 1，则该菱形的边长为 （ A ）A ．251+ B．1 D ．2 解：如图3，由已知可知△ABC 与△BOC 相似， 可得OCBC BCAC =，即BC 2=AC ·OC .设OA=BC=x ，可得方程x 2=x +1，解这个方程得：2511+=x ，2512-=x （不合题意，舍去）.故选A.二、填空题（本大题共7小题，每小题6分，满分42分）9． 若n （0≠n ）是关于x 的方程022=++n mx x 的根，则n m +的值为2-解：因为n 是关于x 的方程022=++n mx x 的根，所以022=++n mn n ，所以0)2(=++m n n ，又0≠n ，则02=++n m ，所以则n m +的值为－2.10．若03=+b a (0)b ≠，则22222(1)24b a ab b a b a b++-÷=+-52 解：222222(2)(2)2(1)242()b a ab b a b a b a b a ba b a b a b a b a b++++---÷=⋅=+-+++， 又03=+b a ，所以b a 3-= ， 所以原式=25323=+---b b b b .11．图4是30名初三女学生1分钟内仰卧起坐次数的频数分布直方图（每组次数只含最小值而不含最大值），则仰卧起坐次数在25~45次的频率是0.7解：由频率分布直方图可知，“25~45”的学生人数有21人，所以仰卧起坐次 数在25~45次的频率是0.7.12．如图5，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为45解：如图5，连接AC 可知△ABC 是等腰直角三角形，所以∠ABC =45°.12 9 5 3 图4 1 ABC 图5ABCD O图3ABC 图513．已知二次函数的图象经过原点及点1124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，， 且图象与x 轴的负半轴的交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为x x y +=2解：与原点的距离为1的交点（－1，0），由此可求得该二次函数的解析式为：x x y +=2.14．图6中的两个滑块A 、B 由一个连杆连接，分别可以在两条互相垂直的滑道上滑动．开始时，滑块A 距O 点20 cm ，滑块B 距O 点15 cm ．则当滑块A 向下滑到O 点时，滑块B 滑动了10 cm 解：如图6，由222222251520=+=+=OB AO AB ，可知连杆AB 的长度等于25cm ，当滑块A 向下滑到O 点时，滑块B 距O 点的距离是25 cm ，故滑块B滑动了25－15 =10 cm.15．如图7，△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转36°后得到的图形，点C 恰好在AB 上，∠AOD的度数是90°，则∠B 的度数是 54°解：△COD 是△AOB 绕点O 顺时针旋转36°后得到的图形，点C 恰好在AB 上，所以可知OA=OC ， ∠AOC =∠BOD =36°, ∴∠ACO=72°，又∠AOD= 90°，∴∠BOC= 18°, ∴∠B= 54°.三、解答题(本大题共68分) 16. （本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(1,)A n -．（1）求反比例函数ky x=的解析式； （2）若P 是坐标轴上一点，且满足PA OA =，直接写出点P 的坐标．图6ACBDO图7解：（1）∵点A （-1，n ）在一次函数y=-2x 的图象上．∴n=﹣2×（﹣1）=2∴点A 的坐标为（﹣1，2） ∵点A 在反比例函数的图象上． ∴k=﹣2∴反比例函数的解析式是y=﹣． （2）点P 的坐标为（﹣2，0）或（0，4）．17. （本题满分13分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE ∥AD ，若AC =2，CE =4，求四边形ACEB 的周长．解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，∴AC∥DE． 又∵CE∥AD，∴四边形ACED 是平行四边形．∴DE=AC=2．在Rt△ADE中，由勾股定理得CD==．∵D是BC的中点，∴BC=2CD=在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB=∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB=EC=4．∴四边形ACEB的周长18. （本题满分13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）．已知A（﹣1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圆与y 轴的交点D在射线AE的反向延长线上．（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围.解：（1）分别连接AD、DB，则点D在直线AE上，∵点D在以AB为直径的半圆上，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AD，在Rt△DOB中，由勾股定理得，∵AE∥BF，∴两条射线AE、BF（2）当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是1＜b＜1；当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是1＜b19．（本题满分15分）如图，正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点P是AB边上的一个动点（点P不与点A、B重合），CP与BD相交于点Q．（1）若CP平分∠ACB，求证：AP = 2QO．（2）先按下列要求画出相应图形，然后求解问题.①把线段PC绕点P旋转90°，使点C落在点E处，并连接AE．设线段BP的长度为x，△APE的面积为S. 试求S与x的函数关系式；②求出S的最大值，判断此时点P所在的位置．（1）证明：过点O 作OM//AB 交PC 于点M ，则∠COM=∠CAB.∵ 四边形ABCD 是正方形，∴ OA=OC ，∠CAB=∠CBD=∠COM=45°, ∴ AP=2OM. 又∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1+∠COM=∠2+∠CBD, 即 ∠OMQ=∠OQM. ∴ OM=OQ ∴ AP =2OQ ． （本小题也可以过点A 作直线平行于OQ 证明） （2）根据题意作出图形，如图所示①ⅰ、当PC 绕点P 逆时针旋转90°时，作EF ⊥AB 交BA 延长线于点F,则∠EFP=∠PBC=90°，∠3+∠CPB=90°. 又∠2+∠CPB=90°,∴∠3=∠2. 又PE 由PC 绕点P 旋转形成 ∴PE=PC ∴△EPF ≌△CPB.∴EF=BP=x , ∴AP=1－x ∴x x EF AP S APE )1(2121-=⋅=∆. ∴△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-= （01x <<）.ⅱ、当PC 绕点P 顺时针旋转90°时，作EG ⊥AB 交AB 延长线于点G,则同理可得△EPG ≌△CPB ，EG=BP=x .∴△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-= 由ⅰ、ⅱ可得△APE 的面积S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-=，（01x <<）② 由①知S 与x 的函数关系式为x x S 21212+-=，（01x <<）即81)21(212+--=x S ，（01x <<）. ∴当21=x 时S 的值最大，最大值为81．此时点P 所在的位置是边AB 的中点处． 20．（本题满分15分）A 地某校准备组织学生及学生家长到B 地进行社会实践，为便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都买一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少．．．．．，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2∶1，从A 到BABC DPOQABCDP EEOQM 1 2G F3（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x 张（x 小于参加社会实践的人数），其 余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式．（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多 少钱？最多要花多少钱？ 解：（1）设参加社会实践的老师有m 人，学生有n 人，则学生家长有m 2人，若都买二等座单程火车票且花钱最少．．．．．，则全体学生都需买二等座学生票，依题意得： ⎩⎨⎧=+⨯=+112205136817010)3(81n m n m 解得⎩⎨⎧==18010n m 则202=m 答：参加社会实践的老师、家长与学生各有10、20与180人．（2）由（1）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，①当210180x ＜≤时，最经济的购票方案为：学生都买学生票共180张，（180-x ）名成年人买二等座火车票，)210(x -名成年人买一等座火车票．∴火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式为：)210(81)180(6818051x x y -+-+⨯=即1395013+-=x y （210180x ＜≤）②当0180x <<时，最经济的购票方案为：一部分学生买学生票共x 张，其余的学生与家长老师一起购买一等座火车票共)210(x -张．∴火车票的总费用（单程）y 与x 之间的函数关系式为：)210(8151x x y -+= 即1701030+-=x y （0180x <<）（3）由（2）小题知，当210180x ＜≤时，1395013+-=x y ，由此可见，当209=x 时，y 的值最小，最小值为11233元，当180=x 时，y 的值最大，最大值为11610元．当0180x <<时，1701030+-=x y ，由此可见，当179=x 时，y 的值最小，最小值为11640元，当1=x 时，y 的值最大，最大值为16980元．所以可以判断按（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花11233元，最多要花16980元．。

能力培养与测试高一数学必修一2022《能力培养与测试高一数学必修一2022》能力培养与测试是高中生学习数学时必须掌握的内容，2022年，高一数学必修一面临重新设计内容，以更好地培养学生的数学能力。

本文基于2022年高一数学必修一的课程设计，从能力培养、测试内容安排及指导思想等方面着重介绍其要点。

一、能力培养1.建立良好的基础，强化概念思想训练：应注重复习熟悉的基础知识，以让学生们在数学能力的培养上更为扎实。

同时，教师应该及时总结学习经验，把重点放在帮助学生加深对概念思想的理解上。

2.积极参与、组织活动：针对2022年高一数学必修一的教学活动，学校除了明确学生放学后课堂补习班、实验室的任务，也积极进行建设性的数学参加活动，并尽可能地因材施教，让学生根据自身能力选择较有优势的题型参加比赛，以进一步提升其数学能力。

3.结合实际，培养实践能力：借助2022年高一数学必修一的课程，在教学中尽可能加强实践性，结合实际情况引导学生深入理解，努力提高学生的实际解决问题的能力。

二、测试内容安排1.让学生拥有解题自信心：在考试设计上，应把解题中的难点以必考的形式呈现，让学生拥有对抗困难的信心和解题自信心，并设置一定的计算类型试题，帮助大家不断提升数学水平。

2.凸显数学素养：考查数学素养的部分，主要是基础知识类的复习和理解，其重点是关注数学的一般性以及在涉及的范围内的应用，因此，在这部分考试中，应注意平衡深度和广度。

3.引导思考与创新能力：在设计高一数学必修一2022年考试时，应把创新性思维能力作为重要素质培养的一个重要领域，注意在设计试卷时，让学生选择恰当的解题策略，有效地发挥创新能力。

三、指导思想1.积极培养：数学能力的培养是一个持之以恒的过程，在培养过程中，要让学生有足够的自信，进而培养学生的自我学习能力，发挥自我的潜能，最终培养出学生扎实、完备的数学能力。

2.引导策略：数学学习中多采用引导性策略，分析学生的特点，以不同的引导方式，作出有利于学生学习数学的决策，因材施教，引火种种数学思想，培训学生学会学习、分析、评价等。

高2023级高一下期第一次学月考试数学试题（答案在最后）时间：120分钟满分：150分注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知i 是复数单位，求2023i =（）A.1B.i- C.1- D.i【答案】B 【解析】【分析】由复数乘方运算化简即可.【详解】由20235054450533(i i i )i i ⨯+==⋅=-.故选：B2.已知向量()1,2a =-r，()3,1b =- ，(),4c x = ，若()()//a c b c ++ ，则x =（）A.3B.-1C.2D.4【答案】A 【解析】【分析】运用共线向量的坐标表达式即得.【详解】由()1,2a c x +=+ ，()3,3b c x +=+，又由()()a cbc ++∥ ，可得：()()23=31x x ++，解得3x =.故选：A.3.在ABC 中，1,6a b B π===，则A =（）A.3πB.6π或56π C.23πD.3π或23π【答案】D 【解析】【分析】根据大边对大角可得A >B ，结合正弦定理和三角形内角的范围即可得出结果.【详解】在ABC 中，根据大边对大角可得A >B ，由正弦定理，得31sin sin 6A π=，所以sin 2A =，故3A π=或23π.故选：D4.若向量()()1,1,,3a b m =-=，且()a b a +⊥r r r ，则m =（）A.2B.1C.0D.1-【答案】B 【解析】【分析】由向量垂直转化为向量的数量积坐标运算.【详解】()1,2a b m +=+ ，()1,1a =-，由()a b a +⊥r r r，得()1210a b a m m +⋅=+-=-=r r r ，解得1m =.故选：B ．5.函数π()sin()0,0,||2f x A x k A ωϕωϕ⎛⎫=++>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A.π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B.π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭C.()2sin 13πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭D.π()2sin 13f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象可得31A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，即可求出A 、k ，再根据函数的周期求出ω，最后根据函数过点π,36⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ，即可得解.【详解】依题意可得31A k A k +=⎧⎨-+=-⎩，解得21A k =⎧⎨=⎩，又311ππ3π41264T =-=，所以2ππT ω==，解得2ω=，所以()()2sin 21f x x ϕ=++，又函数过点π,36⎛⎫⎪⎝⎭，所以2sin 213ππ66f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π32k ϕ+=+，Z k ∈，所以π2π6k ϕ=+，Z k ∈，又π||2ϕ<，所以π6ϕ=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.故选：A6.式子sin 20cos50︒的值为（）A.12B.22C.D.2【答案】B 【解析】【分析】由正余弦的倍角公式、诱导公式即可化简求值.【详解】由2cos 402cos 201︒=︒-，()cos50cos 9040sin 40,sin 402sin 20cos 20︒︒=︒-︒=︒=︒︒，∴sin 2020cos 2040cos50sin 402sin 402︒︒︒===︒︒︒，故选：B【点睛】本题考查了利用三角恒等变换化简求值，属于简单题.7.在ABC 中，3AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，BD 为AC 边上的高，若BD AB AC λμ=+，则λμ+=（）A.53-B.13C.13-D.53【答案】C 【解析】【分析】利用三角形面积结合余弦定理可求得AD ，可得23AD AC = ，再利用向量的线性运算表示出BD和BD AB AC λμ=+比较，即可求得答案.【详解】由题意可知11333sin 232222ABC S BC AC ACB =⋅∠=⨯⨯=,BD为AC 边上的高，故1,22AC BD BD ⨯=∴=,由余弦定理得AB =故2AD ==，所以23AD AC =,则23BD AD A AC B AB --== ，结合BD AB AC λμ=+ ，可得211,,33λμλμ=-=∴+=-，故选：C8.在锐角ABC 中，若cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（）A.( B.(0, C.( D.(6,【答案】D 【解析】cos 2sin()26C C C π+=+=，可得3C π=；再结合正弦定理余弦定理，将cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A +=中的角化边，化简整理后可求得c =；根据锐角ABC ∆和3C π=，可推出(6A π∈，2π，再根据可得4sin a A =，4sin b B =，于是24(sin sin )4[sin sin()]3a b A B A A π+=+=+-，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．cos 2sin()26C C C π+=+=，得262C k πππ+=+，Z k ∈，(0,2C π∈ ，3C π∴=．由正弦定理知，sin sin B bA a=，由余弦定理知，222cos 2b c a A bc+-=，cos cos sin sin 3sin A C B Ca c A+=，∴22211223b c a bbc a c a +-⨯+=)0b c =，0b ≠，c ∴=由正弦定理，有4sin sin sin 32a b c A B C ====，4sin a A ∴=，4sin b B =， 锐角ABC ∆，且3C π=，(0,)2A π∴∈，2(0,32B A ππ=-∈，解得(6A π∈，2π，214(sin sin )4[sin sin()]4(sin cos sin )4)3226a b A B A A A A A A ππ∴+=+=+-=++=+，(6A π∈ ，2π，(63A ππ∴+∈，2)3π，sin()(62A π+∈，1]，a b ∴+的取值范围为(6，．故选：D ．【点睛】本题考查解三角形中正弦定理与余弦定理的综合应用，还涉及三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的基础公式，并运用到了角化边的思想，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数42i3iz -=+，则下列说法正确的是（）A.z 的虚部为i -B.复数z 在复平面内对应的点位于第二象限C.z 的共轭复数1iz =+D.z =【答案】CD 【解析】【分析】由复数的乘、除法运算化简复数可判断A ；由复数的几何意义可判断B ；由共轭复数的定义可判断C ；由复数的模长公式可判断D .【详解】()()()()242i 3i 42i 1210i 2i 1i 3i 3i 3i 10z ----+====-++-，对于A ，z 的虚部为1-，故A 错误；对于B ，复数z 在复平面内对应的点为()1,1-，位于第四象限，故B 错误；对于C ，z 的共轭复数1i z =+，故C 正确；对于D ，z ==D 正确.故选：CD .10.下列说法中正确的有（）A.()a b c a b c⋅≤B.已知a 在b上的投影向量为12b r 且||5b = ，则252a b ⋅= C.若非零向量,a b满足||||||a b a b ==- ，则a 与a b + 的夹角是30︒D.已知(1,2)a = ，(1,1)b = ，且a 与a b λ+夹角为锐角，则λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】ABC 【解析】【分析】利用向量数量积的定义可判断A ；利用向量投影向量的定义可判断B ；运用向量数量积的运算法则，结合夹角公式可判断C ；判断a 与a b λ+平行时λ的取值可判断D.【详解】对于A ，因为cos a b a b a b θ⋅=≤，所以()()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故A 正确；对于B ，因为a 在b上的投影向量为12b r ，所以12a b b b b b ⋅⋅=r r rr r r ，又||5b = ，所以1552a b b b ⋅⋅=r r rr ，则252a b ⋅=，故B 正确；对于C ，因为非零向量,a b满足||||||a b a b ==- ，则22222||||||||||2a b a b a b a b ==-=+-⋅ ，即有21||2a b a →→→⋅=，所以223()||2a ab a a b a →→→→→→→⋅+=+⋅=，又|||a b a →→→+==，所以a 与a b +的夹角的余弦值为()2||||a ab a a b →→→→→→⋅+=⋅+，又0,180a a b ︒≤+≤︒ ，可得a →与a b →→+的夹角为30︒，故C 正确；对于D ，因为(1,2)a = ，(1,1)b = ，所以()()()1,2,1,2a b λλλλλ=+=+++，当a与a b λ+平行时，()2210λλ+-+=，解得0λ≠，此时a 与a b λ+的夹角不为锐角，故D 错误.故选：ABC.11.已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，下面四个结论正确的是（）A.若cos cos a A b B =，则ABC 为等腰三角形B.在锐角ABC 中，不等式sin cos A B >恒成立C.若π3B =，a =，且ABC 有两解，则b的取值范围是(3,D.若120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，1BD =，则4a c +的最小值为9【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B 项，由ABC 为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C 项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D 项，根据三角形面积可得到111a c+=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】选项A ，因为cos cos a A b B =，即()()222222=22a b c a b ac b bcac+-+-，所以有()()22222222abc a b a c b +-=+-整理可得()()222220a bab c -+-=，所以a b =或222+=a b c ，故ABC 为等腰三角形或直角三角形，故A 错误；选项B ，若ABC 为锐角三角形，所以π2A B +>，所以ππ022A B >>->，由正弦函数sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，则πsin sin cos 2A B B ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，故B 正确.选项C ，如图，若ABC 有两解，则sin a B b a <<，所以3b <<，则b 的取值范围是(3,，故C 正确．选项D ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，1BD =，由ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线性质和三角形面积公式得，得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+，得111a c+=，得114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥5459+=+=，当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号，故D 正确.故选：BCD.第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2sin 222.5°－1＝________.【答案】－2【解析】【详解】2sin 222.5°－1＝-cos45°22=-，答案为：－2.13.已知0ω>，函数()sin cos 1f x x x ωω=+-在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是__________【答案】5[1,2【解析】【分析】根据三角函数的单调性，利用整体法即可求解.【详解】π()sin cos 114f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，由于ππ,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则πππππ,44424x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，故πππππ3π,2π,2π,Z 442422k k k ωω⎛⎫⎡⎤++⊆++∈⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,解得5184,Z 2k k k ω+≤≤+∈，由518425402k k k ⎧+≤+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩得5388k -<≤，故0k =，512ω≤≤，故答案为：5[1,214.已知边长为2的菱形ABCD 中，点F 为BD 上一动点，点E 满足3BE EC =，12AE BD ⋅=-，则AF BE ⋅的最大值为_________【答案】3【解析】【分析】首先由3BE EC = 得到34BE BC = ，进而将AF BE ⋅化为34A F D A ⋅ ，再根据两向量的内积不超过两向量的模长乘积，得到3AF BE ≤⋅ ，最后给出一个满足3AF BE =⋅的例子即可.【详解】由四边形ABCD 是菱形，知0AC BD ⋅= ，AD BC =，记两对角线交于G ，则由勾股定理有AF AD =.又由于()()113333444BE BE BE BE EC BC =+=+= ，故3144EC BC BE BC BC BC =-=-= ，从而333334444AF BE AF BC AF AD AF AD AD AD AD ⋅=⋅=⋅≤≤≤=.而当菱形ABCD 满足边长为2，π3BAD ∠=，且点F 与点D 重合时：此时ABD △是正三角形，故2BD =.从而此时有AE BD ⋅()AC EC BD=-⋅ BD EC =-⋅ 14BC BD⋅=-()18BC BC BD =-+⋅ ()18BC AD BD=-+⋅()18BC CA AD BD =-++⋅18BD BD⋅=- 218BD =- 12=-，故条件满足.此时22333332344444AF BE AF BC AF AD AD AD AD ⋅=⋅=⋅=⋅==⋅= .综上，AF BE ⋅的最大值是3.故答案为：3.【点睛】关键点点睛：值得一提的是，我们证明3AF BE ≤⋅ 时没有使用条件12AE BD ⋅=- ，但是这并不意味着我们可以完全无视该条件，因为在验证3AF BE =⋅ 能够成立时，依然需要注意12AE BD ⋅=- 是否能够满足.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知向量()1,1,a b ==．（1）若a b，求b 的坐标；（2）若()()52a b a b -⊥+ ，求a 与b的夹角．【答案】（1）()2,2b = 或()2,2b =--；（2）π3．【解析】【分析】（1）根据向量模的坐标表示求解即可；（2）利用坐标表示向量的数量积及向量夹角公式得解.【小问1详解】由题意，设(),b a λλλ== ，因为b ==2λ=±，所以()2,2b = 或()2,2b =-- ．【小问2详解】因为()()52a b a b -⊥+ ，所以()()520a b a b -⋅+= ，所以225320aa b b +⋅-= ，即103280a b +⋅-⨯=，设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2a b a bθ⋅=== ，又[]0,πθ∈，所以π3θ=，所以a 与b 的夹角π3．16.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，满足(2sin )cos B C a A =⋅.（1）求角A 的值：（2）当4,8a b c =+=时，求ABC 的面积.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到2sin sin )B A A C =+，进而得到2sin sin B A B =，求得3sin 2A =，即可求解；（2）由余弦定理得到22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+-+--==，代入已知条件，求得16bc =，结合面积公式，即可求解.【小问1详解】解：因为(2sin )B C a A =，由正弦定理可得(2sin )sin cos B C A C A =，即2sin sin sin cos B A C A C A -=，即2sin sin cos sin )B A C A C A A C =+=+,又因为[]sin sin ()sin()B A C A C π=-+=+，所以2sin sin B A B =，因为(0,)2B π∈，可得sin 0B >，所以sin 2A =，又由(0,)2A π∈，所以3A π∠=.【小问2详解】解：根据（1）知3A π∠=，可得1cos 2A =，由余弦定理可知22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+-+--==，因为4,8a b c =+=，可得22182422bc bc--=，解得16bc =，所以三角形面积为113sin 16222ABC S bc A ==⨯⨯= 17.已知向量sin ,sin 22x x a ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，cos ,sin 22x x b ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭（0ω>），函数()2f x a b =⋅ .（1）当2ω=时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若12,x x 是函数()f x 的任意两个相异零点，且12x x -的最小值为π2，求函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域.【答案】（1）()3πππ,π88k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.（2）(1⎤⎦【解析】【分析】（1）先化简得到()π214f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，进而用整体法求解函数单调递增区间；（2）根据零点及12x x -的最小值为π2得到1ω=，进而结合函数图象求出函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域.【小问1详解】由已知()()22sin cos sin sin 1cos 222x x x f x x x ωωωωω⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭sin cos 114πx x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭.当2ω=时，()π214f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()πππ2π22π242k x k k -≤+≤+∈Z ，解得：()3ππππ88k x k k Z -≤≤+∈，∴函数()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】由（1）知()π14f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，得πsin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以1π2sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2π2sin 42x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭.当12x x -最小时，不妨取1ππ44x ω+=，2π3π44x ω+=，即10x =，2π2x ω=，则12π2x x ω-=.因为12min π2x x -=，则ππ22ω=，故1ω=.因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()(π114f x x ⎛⎫⎤=+-∈- ⎪⎦⎝⎭，所以函数()f x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值域为(1⎤-⎦18.在直角梯形ABCD 中，已知2AB DC = ，AD AB ⊥，1AD CD == ，动点E 、F 分别在线段DC 和BC 上，且BF BC λ= ，()1DE DC λ=- ．（1）当23λ=时，求AC EF ⋅ 的值；（2）求向量AE EF ，的夹角；（3）求12AE AF + 的取值范围．【答案】（1）23AC EF ⋅= （2）90 （3）10,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先根据向量的线性运算表示出AC 和EF；再根据向量的数量积运算律即可求解.（2）先根据向量的线性运算表示出AE EF ，；再根据向量的数量积运算得出0AE EF ⋅= 即可解答.（3）先根据AE EF ，表示出12AE AF + ；再根据向量的数量积运算得出22155(1)222AF AE λ+=-+ ；最后根据[]0,1λ∈即可求解.【小问1详解】当23λ=时，依题意知，23BF BC =uu u r uu u r ，13DE DC = ，12DC AB = .则12AC AD DC AD AB =+=+ ，12CB AB AC AB AD =-=- .因为EF AF AE =-uu u r uu u r uu u r，2212()()3323AF AB BF AB BC AB AD AB AD AB =+=+=+-=+ ，1136AE AD DE AD DC AD AB =+=+=+ .所以1132EF AF AE AD AB =-=-+ .因此221111()(23211)343AD AB AD AB AD AB A A E D F B AC ++=-++⋅⋅=⋅- .因为2AB DC = ，1AD CD == ，AD AB ⊥，所以2AB = ，0AD AB ⋅= ，所以23AC EF ⋅= .【小问2详解】由（1）知12CB AB AC AB AD =-=- .因为BF BC λ= ，()1DE DC λ=- ，所以(1)(1)2AE AD DE AD DC AD AB λλ-=+=+-=+ ；1()(1)22AF AB BF AB BC AB AD AB AD AB λλλλ=+=+=+-=+- .则1(1)2EF AF AE AD AB λ=-=-+ .因为2AB = ，1AD = ，0AD AB ⋅= ，所以22212(1)11042AE EF AD AB AD AB λλλλλλ--+⋅=-++=-+-= ，故向量AE EF ，的夹角为90 .【小问3详解】由（2）可知：(1)(1)2AE AD DE AD DC AD AB λλ-=+=+-=+ ，1()(1)22AF AB BF AB BC AB AD AB AD AB λλλλ=+=+=+-=+- .则1311224AE AF AD AB λλ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为2AB = ，1AD = ，0AD AB ⋅= ，所以212AF AE + 2222331412112424AD AB AD AB λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222231|1|24AD AB λλ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25552λλ=-+255(1)22λ=-+,由题意知，[]0,1λ∈，所以212AF AE + 的取值范围是5,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴12AE AF +的取值范围是2⎣．19.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120︒时，使得120AOB BOC COA ∠=∠=∠=︒的点O 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120︒时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且cos2cos2cos21B C A +-=（1）求A ；（2）若2bc =，设点P 为ABC 的费马点，求PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅ ；（3）设点P 为ABC 的费马点，PB PC t PA +=，求实数t 的最小值．【答案】（1）π2A =（2）3-（3）2+【解析】【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简cos2cos2cos21B C A +-=可得222a b c =+，即可求得答案；（2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案.（3）由（1）结论可得2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，利用余弦定理以及勾股定理即可推出2m n mn ++=，再结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】由已知ABC 中cos2cos2cos21B C A +-=，即22212sin 12sin 12sin 1B C A -+--+=，故222sin sin sin A B C =+，由正弦定理可得222a b c =+，故ABC 直角三角形，即π2A =.【小问2详解】由（1）π2A =，所以三角形ABC 的三个角都小于120︒，则由费马点定义可知：120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒，设,,PA x PB y PC z === ，由APB BPC APC ABC S S S S ++= 得：131313122222222xy yz xz ⋅+⋅+=⨯，整理得433xy yz xz ++=，则PA PB PB PC PA PC⋅+⋅+⋅ 1111222233xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+⋅-=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【小问3详解】点P 为ABC 的费马点，则2π3APB BPC CPA ∠=∠=∠=，设||||||||,||,00,,0,PB m PA PC n PA PA x m n x ===>>>，则由PB PC t PA +=得m n t +=；由余弦定理得()22222222π||2cos 13AB x m x mx m m x =+-=++，()22222222π||2cos 13AC x n x nx n n x =+-=++，()2222222222π||2cos 3BC m x n x mnx m n mn x =+-=++，故由222||||||AC AB BC +=得()()()222222211n n x m m x m n mn x +++++=++，即2m n mn ++=，而0,0m n >>，故22()2m n m n mn +++=≤，当且仅当m n =，结合2m n mn ++=，解得1m n ==+时，等号成立，又m n t +=，即有2480t t --≥，解得2t ≥+2t ≤-，故实数t 的最小值为2+【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第二问的关键在于设||||||,||,||PB m PA PC n PA PA x ===，推出m n t +=，结合费马点含义，利用余弦定理推出2m n mn ++=，然后利用基本不等式即可求解.。