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湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（文）试题考试时间：2015年2月4日 上午9：00—11：00 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法中正确的是 （ ） A. 若事件A 与事件B 是互斥事件, 则()()1P A P B +=; B. 若事件A 与事件B 满足条件: ()()()1P A B P A P B ⋃=+=, 则事件A 与事件B 是 对立事件; C. 一个人打靶时连续射击两次, 则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件;D. 把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人, 每人分得1张, 则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.2. 用反证法证明命题: “a , b ∈N , 若ab 不能被5整除, 则 a 与b 都不能被5整除”时, 假设的内 容应为 （ ） A. a , b 都能被5整除 B. a , b 不都能被5整除 C. a , b 至少有一个能被5整除 D. a , b 至多有一个能被5整除3. (是虚数单位)则实数a =（ ）A. B. C. －1 D. －2 4. 下列框图属于流程图的是（ ）A.B.C.D.5. 若双曲线1522=-mx y 的渐近线方程为35±=y , 则双曲线焦点F 到渐近线的距离为（ ） A.2 B.3C.4D. 56. 已知x ，y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程ˆybx a =+必过点（ ）A. (20,16)B. (16,20)C. (4,5)D. (5,4)7. F , 若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则此直线的斜率的取值范围是（ ）8. 已知(4,2)是直线l 被椭圆362x ＋92y ＝1所截得的线段的中点, 则l 的方程是（ ）A. x ＋2y +8＝0B. x ＋2y －8＝0C. x -2y －8＝0D. x -2y +8＝0 9. 下列说法中不正确的个数是（ ）①命题“∀x ∈R ,123+-x x ≤0”的否定是“∃0x ∈R ,12030+-x x >0”;②若“p ∧q ”为假命题, 则p 、q 均为假命题;③“三个互不相等的数a , b , c 成等比数列”是“b =ac ”的既不充分也不必要条件A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是他们的一个公共点, 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A.B.C. 3D. 2二、填空题（本大题共 7个小题 ，每小题 5分，共35分）11. 已知高一年级有学生450人, 高二年级有学生750人, 高三年级有学生600人.用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为的样本, 且每个学生被抽到的概率为0.02, 则应从高二年级抽取的学生人数为 .12. 在空间直角坐标系O －xyz 中, y 轴上有一点M 到已知点(4,3,2)A 和 点(2,5,4)B 的距离相等, 则点M 的坐标是 . 13. 某学生5天的生活费(单位:元)分别为:,y , 8, 9, 6. 已知这组数据的平均数为8, 方差为2,14. 如图所示的算法中, 3a e =, 3b π=,c e π=, 其中π是圆周率,2.71828e = 是自然对数的底数, 则输出的结果是 .15. 双曲线2288kx ky -=的一个焦点为(0,3), 则k 的值为___________, 双曲线的渐近线方程 为___________.16. 集合{1,2,3,,}(3)n n ≥中, 每两个相异数作乘积, 将所有这些乘积35++⨯+17. 称为黄金双曲线. 如图是双曲线:;②若ac b=2, 则该双曲线是黄金双曲线;③若21,F F 为左右焦点, 21,A A 为左右顶点,1B (0, b),2B (0,﹣b )且021190=∠A B F , 则该双曲线是黄金双曲线;④若MN 经过右焦点2F 且21F F MN⊥, 090=∠MON ,则该双曲线是黄金双曲线.其中正确命题的序号为 .三、解答题（共5大题，共65分） 18. (12分)命题p :“0],2,1[2≥-∈∀a xx ”, 命题q :“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”, 若“p 且q ”为假命题,求实数a 的取值范围.19. (13分)已知三点P (5, 2)、F 1(－6, 0)、F 2(6, 0).(1) 求以F 1、F 2为焦点且过点P 的椭圆的标准方程;(2) 设点P 、F 1、F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为12',','P FF , 求以12','F F 为焦点且过'P 点的双曲线的标准方程.20. (13分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如下, 据此解答如下问题.(1) 求全班人数及分数在[)90,80之间的频数;(2) 估计该班的平均分数, 并计算频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高;(3) 若要从分数在[80, 100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况, 在抽取的试卷中, 求至少有一份分数在[90, 100]之间的概率.21. (13分)如图, 在三棱柱111C B A ABC -中, 侧棱⊥1AA 底面ABC,AB BC⊥, D 为AC的中点,1 2.A A AB ==(1) 求证://1AB 平面D BC 1;(2) 过点B 作AC BE ⊥于点E ,求证: 直线⊥BE 平面C C AA 11;(3) 若四棱锥D C AA B 11-的体积为3, 求BC 的长度.22. (14分)在平面直角坐标系xOy 中, 已知点A (－1, 1), P 是动点, 且△POA 的三边所在直线的斜率满足k OP＋k OA ＝k P A .(1) 求点P 的轨迹C 的方程;(2) 若Q 是轨迹C 上异于点P 的一个点, 且PQ ＝λOA , 直线OP 与QA 交于点M , 问: 是否存在点P , 使得△PQA 和△P AM 的面积满足S △PQA ＝2S △P AM ? 若存在, 求出点P 的坐标; 若不存在, 说明理由.武汉二中2014——2015学年上学期高二年级期末考试数学（文科）试卷参考答案11. 1512. (0,4,0)M 13. 3 14. 3π15. －1; 16. 32217. ①②③④18. ),1()1,2(+∞-∈ a∴⊿=4a 2-4（2-a ）≥0,即,a ≥1或a ≤-2, p 真q 也真时 ∴a ≤-2,或a =1 若“p 且q ”为假命题 , 即),1()1,2(+∞-∈ a . 考点: 全称命题与特称命题; 简易逻辑.19. （12【解析】试题分析: （1）根据椭圆的定义, 又6c =, 利用222ab c =+, 可求出, 从而得出椭圆的标准方程, 本题要充分利用椭圆的定义.（2）由于F 1、F 2关于直线y x =的对称点在y 轴上, 且关于原点对称, 故所求双曲线方程为标准方程, 又6c =, 要注意的是双曲线中有222ab c +=, 故也能很快求出结论.试题解析: , 其半焦距6c =,2a a ==3b =（2）点P （5, 2）、（－6, 0）、（6, 0）关于直线y ＝x 的对称点分别为:'(2,5)P , 1'(0,6)F -, 2'(0,6)F , 设所2a a ==4b =,考点: （1）椭圆的标准方程; （2）双曲线的标准方程.20. 解：（I ）由茎叶图知，分数在[)60,50之间的频数为2，频率为,08.010008.0=⨯全班人数为.2508.02=所以分数在[)90,80之间的频数为42107225=----（II ）分数在[)60,50之间的总分为56+58=114；分数在[)70,60之间的总分 为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456；分数在[)80,70之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747；分数在[)90,80 之间的总分约为85×4=340；分数在]100,90[之间的总分数为95+98=193；所以，该班的平均分数为.7425193340747456114=++++估计平均分时，以下解法也给分：分数在[)60,50之间的频率为2/25=0.08;分数在[)70,60之间的频率为7/25=0.28；分数在 [)80,70之间的频率为10/25=0.40;分数在[)90,80之间的频率为4/25=0.16分数在 ]100,90[之间的频率为2/25=0.08; 所以，该班的平均分约为8.7308.09516.08540.07528.06508.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯频率分布直方图中[)90,80间的矩形的高为.016.010254=÷（III ）将[)90,80之间的4个分数编号为1，2，3，4，[90，100]之间的2个分数编号为5，6， 在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）；（2，3），（2，4），（2，5）， （2，6）；（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）；（5，6）共15个，其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，故至少有一份分数在[90，1000]之间的频率是6.0159=21. (1)证明:连接,1C B 设O BC C B =⋂11,连接,OD ………1分11B BCC 是平行四边形, ∴点O 是C B 1的中点,D 是AC 的中点, ∴OD 是C AB 1∆的中位线,∴OD AB //1…………………………………………3分 又D BC D,BC 111平面平面⊂⊄OD AB∴ AB 1//平面BC 1D …………………………………………5分 (2) ABC,BE ABC,1平面平面⊂⊥A A∴BE,A 1⊥A ………………………………………7分, 又A A A AC AC,BE 1=⋂⊥……………………9分∴直线BE ⊥平面C C AA 11………………………………………10分 (2)的解法2:ABC C C AA C,C AA A A ABC,111111平面平面平面平面⊥∴⊂⊥A A ……7分 ABC,BE AC,BE AC,ABC C C AA 11平面平面又平面⊂⊥=⋂ ∴直线BE ⊥平面C C AA 11………………………………………10分 (3)【解析】(1)连接B 1C ,设O BC C B =⋂11,连接,OD 证明OD AB //1即可. (2) 因为BE AC ⊥,再证1A BE A ⊥即可.(3) 再根据311AA C DV=建立关于x 的方程, 解出x 值.由(2)知BE 的长度是四棱锥B —AA 1C 1D 的体高1 2.A A AB ==分……………12分………………13分3BC 3,x =∴=∴ …………………………………………………14分 22. （1）y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1)（2）(1, 1)【解析】(1)设点P (x , y )为所求轨迹上的任意一点, 则由k OP ＋k OA ＝k P A整理得轨迹C 的方程为y ＝x 2(x ≠0且x ≠－1).(2)设P (x 1,21x ), Q (x 2,22x , M (x 0, y 0),由PQ ＝λOA 可知直线PQ ∥OA , 则k PQ ＝k OA ,即x 2＋x 1＝－1, 由O 、M 、P 三点共线可知,OM＝(x 0, y 0)与OP ＝(x 1,21x )共线,∴x 021x －x 1y 0＝0, 由(1)知x 1≠0, 故y 0＝x 0x 1,同理, 由AM ＝(x 0＋1, y 0－1)与AQ ＝(x 2＋1,22x －1)共线可知(x 0＋1)(22x －1)－(x 2＋1)(y 0－1)＝0, 即(x 2＋1)[(x 0＋1)·(x 2－1)－(y 0－1)]＝0,由(1)知x 2≠－1, 故(x 0＋1)(x 2－1)－(y 0－1)＝0,将y 0＝x 0x 1, x 2＝－1－x 1代入上式得(x 0＋1)(－2－x 1)－(x 0x 1－1)＝0,整理得－2x 0(x 1＋1)＝x 1＋1, 由x 1≠－1得x0由S △PQA ＝2S △P AM , 得到QA ＝2AM ,∵PQ ∥OA , ∴OP ＝2OM , ∴PO ＝2OM , ∴x 1＝1, ∴P 的坐标为(1, 1)。
武汉二中广雅中学2015~2016学年度下学期期末考试七年级 数学试卷（考试时间：120分钟 满分：120分）一.选择题（每小题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ）A .4B .±4C .2D .±2 2.已知是方程的解，则m 的值为（ ） A .B .C .D .3.不等式组的解集在数轴上表示为（ ）4.以下调查不适合抽样调查的为（ ） A .检测武汉市的空气质量B .了解江岸区中小学学生的视力和用眼卫生情况C .选出某班短跑最快的学生，参加全校比赛D .了解某小区居民的防火意识5.如图，AB ∥CD ，P 为AB 外一点，连接PA 、PC ，∠PAB =56°，∠PCD =74°，则∠P =（ ） A .8° B .28° C .16° D .18°D210210C012BA210第5题图PCDB A6.如果一个多边形的内角和外角和的4倍，那么这个多边形是（ ） A .八边形 B .九边形 C .十边形 D .十二边形7.用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一个套罐头盒，现有36张白铁皮，设用x 张制盒身，y 张制作盒底正好配套，则所列方程组正确的有（ ） 8.关于x 、y 的方程组的解在第四象限，则常数t 的取值范围是（ ）A . t <B .<t <1 C .t >1 D .t >1或t <9.如图，四边形ABCD 中，BP 、CP 分别平分∠ABC ，∠DCB 的外角，若∠P =60°，则∠A +∠D 的度数是（ ）A .200°B .120°C .210°D .240°10.关于x 的不等式（2a -b ）x > a -2b 的解集为，则关于x 的不等式ax +b <0的解集为（ ） A . x >7 B . x < -7 C . x < 7 D . x > -7 二.填空题（每小题3分，共18分）11.计算：= . = .12.一个多边形的各内角都等于120°，则这个多边形的对角线共有 条.13.把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，则这些书一共有 本.14.等腰三角形一腰上的中线将原等腰三角形的周长为6和10两部分，则此等腰三角形的底边长为 . 15.在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ，BE ⊥AC 于E ，且∠ABE =20°，则∠ACB 的度数为 . 16.如图，在平面直角坐标系中△ABC ，已知A （4,3），B （1,0），C （3,0），AD 为△ABC 的中线，P 为y 轴上一动点，则当PA +PD 的值最小时 P 点坐标为 .PCBDA三.解答题（共72分）17.（本题8分）解方程组：18.（本题8分）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集.19.（本题8分）武汉市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的人数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）.请你根据图中提供的信息，回答下列问题（1）扇形统计图中a = .该校初一学生总人数为 人； （2）根据图中信息，补全条形统计图；（3）扇形统计图中“活动时间为4天”的扇形所对圆心角的度数为 ；（4）如果该市共有初一学生6000人，请你估计“活动时间少于4人”的大约有 人20.（本题8分）（1）在等式y =kx +b 中；当x =1时，y =1;当x =-1与x =4时y 的值互为相反数，求k ，b 的值；（2）在等式y =2mx +m -3中，对任意实数m ，是否一定存在一组x 与y 的值，使得等式成立，若存在，求出这组x 与y 的值，若不存在，说明理由.时间人数306030206050403020105天25%4天30%6天15%7天 5%2天 10%3天15%21.（本题8分）在△ABC 中，AD 平分∠BAC .（1）如图1，若AE ⊥BC ，∠B =68°，∠C =30°，求∠DAE ；（2）如果2，P 为CB 延长线上一点，过点P 作PF ⊥AD 于F ，求证：∠P =（ ）；22.（本题10分）学校计划购买一批文具套装和体育用品作为“五四”表彰奖品使用，已知：2件文具套装和3件体育品需167元，1件文具套装和2件体育用品需106元. （1）求文具套装和体育用品单价各为多少元？（2）政教处刘老师根据各班报上来的获奖名单统计后发现文具套装所需数量是体育用品所需数量的2倍还多9件，现有甲、乙两商店的活动如下；请问：刘老师到哪家商店购买花费少？（3）在（2）的条件下，另有丙商店推出活动：累计购物金额超过1000元后，超过1000元的部分按7折收费，学校拟购入体育用品45件，问：学校选择哪家商店购买花费最少？C图2图1CDEBA 甲商店：全场八折销售乙商店：买一件体育用品送一件文具套装23.（本题10分）如图，在△ABC 中，角平分线AD 、BE 交于点O ，FB ⊥BE 交AD 延长线于F ，延长CA 与FB 交于点G .（1）①若∠AOB =110°，则∠C = . ∠F = .②探究∠C 与∠F 之间的数量关系，并证明.（2）请写出∠G 、∠F 、∠ABC 之间的数量关系并证明你的结论；24.（本题12分）如图，已经在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （a ，0），B （0，b ），C （2，-a ），若a ，b 满足 ； （1）①求A 、B 、C 三点坐标；②点D 落在坐标轴上，且满足：S △ABD =△ ，求D 点坐标.（2）我们说平面直角坐标系中的一点（m ，n ）是二元一次方程A ·x +B ·y =C 的解是指：将 代入可得：A ·m +B ·n =C 成立，如：（2，3）是二元一次方程2x +y =7的解是指：将 代入可得：2×2+3=7成立；若点E ，F 为坐标系中的两点，其中E 点坐标是二元一次方程5x -y =4的解，F 点坐标是二元一次方程的解，且线段EF 出线端AB 平移得到（A 与E 对应，B 与F 对应）P 为线段EF 上一点，且P 点到y 轴的距离为4，求P 点坐标FDOE A CBP。
数 学 试 卷（考试时间：120分钟 满分：120分）一、选择题（共10小题，共30分）1.规定“△”为有序实数对的运算，如下所示：（a ，b ）△(c ，d )=(ac +bd ，ad+bc ).若对任意实数a ，b 都有（a ，b ）△（x ，y ）=（a ，b ），则（x ，y ）为（ ） A.(0，1) B. (1，0) C. (-1，0) D. (0，-1)2.用“△”、“O ”、“ □”分别表示三种物体的重量.若==+∆O -O ∆O ∆□□，则△、O 、□这三种物体的重量比为（ ）A.2：3：4B. 2：4：3C. 3：4：5D. 2：5：43.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，DM 平分∠BDE ，EN 平分∠DEC .若∠DMN =110°，则∠DEA =（ ）A.40°B. 50°C. 60°D.70°4.对左下方的几何体变换位置或视角，则可以得到几何体是（ ）5.某台球桌为如图所示矩形ABCD ，小球从A 沿45°角出击， 恰好经过5次碰撞到B 处，则AB :BC =( )A.1：2B. 2：3C. 2：5D. 3：56.在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A.22y x x =--+ B.22y x x =-+- C. 22y x x =-++ D. 22y x x =++7.某养鸡场分3次用鸡蛋孵化出小鸡，每次孵化所用的鸡蛋数、每次的孵化率（孵化率=100%⨯孵化出的小鸡数孵化所用的鸡蛋数分别如图1，图2所示： 如果要孵化出2000只小鸡，根据上面的计算结果，估计该养鸡场要用（ ）个鸡蛋. A.3000 B.2700 C.2500 D.24008.如图在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,∠BAC =30°，AB=2，D 是AB 边上的一个动点（不与点A 、B 重合），过点D 作CD 的垂线交射线CA 于点E ，设AD =x ，CE =y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系图象大致是（ ）9.已知点A （11x y ，）、B （22x y ，）均在抛物线224(03)y ax ax a =++<<上，若12x x <，121x x a =-+，则（ ）A. 12y y >B. 12y y <C. 12y y =D. 12y y 与的大小不能确定10.设I 是△ABC 的内心，r 是其内切圆半径，R 是其外接圆半径.若AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点P ，则IA IP ⋅=( )A. 2RrB. 22R r C. 22Rr D. 222R r11.罗马数字有7个基本符号，它们分别是Ⅰ，Ⅴ，Ⅹ，L ，C ，D ，M 分别代表1，5，10，50，100，500，1000.罗马数依靠着7个符号变换组合来表示的如Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅺ，Ⅻ，分别表示1，2，3，4，5，6，7；用Ⅸ，Ⅹ，Ⅺ，Ⅻ，分别表示9，10，11，12；根据以上规律，你认为L II 表示的数应该是 . 12.如图，直线y=x 与直线14y x =分别与双曲线(0)ky x x=>交于A 、B 两点，3OAB S ∆=，则k = .13.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的自然数，从中任意抽出两张卡片，则两张卡片中的数字之和为偶数的概率是 .14.在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为i j a ，（其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数i j a ，，规定如下：当i ≥j 时，i j a ，=1；当i <j 时，i j a ，=0，例如：当i =2，j =1时，2,1=1i j a a =，，按此规定，13a ，= ；表中的25个数中，共有 个1.计算1121,22133144155+i i i i i a a a a a a a a a a ⋅+⋅⋅+⋅+⋅，，，，，，，，，= .15、现有一组数据共有100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间.如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的半分比是 .16、 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB +AC=12，AD ⊥BC 于点D ，AD=3，则⊙O 面积的最大值为 .11a ， 12a ， 13a ， 14a ， 15a ， 21a ， 22a ， 23a ， 24a ， 25a ， 31a ， 32a ， 33a ， 34a ， 35a ， 41a ， 42a ， 43a ， 44a ， 45a ， 51a ，52a ，53a ，54a ，55a ，17、（本题6分）解方程：2x 3-4x +3=2x 2-2x18、（本题6分）在平面直角坐标系中，将直线y=kx +3绕原点逆时针旋转90°刚好经过点（-2，1），求不等式kx +3≦x +2的解集. 19、（本题6分）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”.利用下面作图，可以得到四边形的“好线”：如图1，在四边形ABCD 中，取对角线BD 的中点O ，连接OA 、OC .显然，折线AOC 能平分四边形ABCD 的面积，再过O 作OE ∥AC 交CD 与点E ，则直线AE 即为一条“好线”.（1）试说明图1中的直线AE 是“好线”的理由； （2）如图2，AE 为一条“好线”，F 为AD 边上的一点，请作出经过F 点的“好线”，并对画图作适当的说明（不需要说明理由）.图1 图2BCBC20、（本题7分）如图，A 是直线l ：y=3x 上一点，AB ⊥l 于点A ，交y 轴正半轴于B (0，2). （1）求A 点的坐标；（2）将△OAB 沿着AB 翻着至△O 1AB ，则直线O 1B 的解析式为: ； 将△OAB 沿着OA 翻着至△OAB 2，则直线OB 2的解析式为: ； 将△OAB 绕O 点顺时针旋转90°至△OA 3B 3，则直线A 3B 3的解析式:_______________. (第(2)问直接写出答案，不写过程.)21、（本题7分）如图，放在直角坐标系中的正方形ABCD 的边长为4.现作如下实验：转盘被划分成4个相同的小扇形，并分别标上数字1、2、3、4，分别转动两次转盘，转盘停止后，指针所指向的数字作为直角坐标系中M 点的坐标（第一次作横坐标，第二次作纵坐标），指针如果指向分界线上，则重新转动转盘. （1）请你用树状图或列表的方法，求M 点落在正方形ABCD 面上（含内部和边界）的概率； （2）将正方形ABCD 平移整数个单位，则是否存在某种平移，使点M 落在正方形ABCD 面上的概率为34？若存在，指出一种具体的平移过程？若不存在，请说明理由.22、（本题8分）如图，⊙O 的弦AB=4，C 是优弧︵AB 的中点，点D 是劣弧︵AB 上任意一点，过D 作⊙O 的切线，与⊙O 在点A 、B 处的切线AM 、BF 分别交点E 、F ，CE 、CF 与弦AB 分别交于点G 、H .（1）求证：AC 平分∠MAB ； （2）求GH 的长度.MH GF COABD23.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，顶点在第一象限内，、分别是、上的点，将△沿翻折，使点恰好落在线段上的点处.经过抛物线：（）顶点的每一条直线总平分矩形的周长，若点在线段上，的长为整数，且抛物线与线段有两个不同的交点，求实数的取值范围.24.（本题10分）如图，在四边形中，，∥，，，点在边的延长线上，，点在边上，与边交于点，.设，.（1）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求的长度；（3）若半径为的⊙与半径为的⊙相切，则此时⊙的半径为 .25.（本题12分）如图1，抛物线的顶点在轴的正半轴，与轴交于点，连接，若.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，将图1中的抛物线沿对称轴向下平移个单位长度，新抛物线的顶点为，它与直线相交于、两点，连接、.探究：当取何值时，；（3）如图3，为直线上一点，若总存在一条过点的直线交抛物线于、两点（点在线段上），使得，求点的横坐标的取值范围.。
2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3．下列命题正确的是（）A．若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：∃x∈R，x2+2x≤0则￢p为：∀x∈R，x2+2x＞0C．命题p为真命题，命题q为假命题．则命题p∧（￢q），（￢p）∨q都是真命题D．命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若p，则￢q”．4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为5．在下列命题中：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（）A．B．C．D．7．如果ξ～B，则使P（ξ=k）取最大值时的k值为（）A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错8．已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．9．若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，则x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6010．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（）A．甲同学：均值为2，中位数为2 B．乙同学：均值为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2 D．丁同学：众数为2，方差大于111．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A．B．C． D．12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是______．15．在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ的实数λ的值有______个．16．已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为______．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．18．设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．20．某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点．2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，即前者能够推出后者，后者不一定能够推出前者．【解答】解：根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以两个时间对立是两个事件互斥的充分不必要条件，故选A．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．3．下列命题正确的是（）A．若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：∃x∈R，x2+2x≤0则￢p为：∀x∈R，x2+2x＞0C．命题p为真命题，命题q为假命题．则命题p∧（￢q），（￢p）∨q都是真命题D．命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若p，则￢q”．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据命题的概念判断即可；B对存在命题的否定：存在改为任意，再否定结论；C根据命题间的等价关系判断即可；D考查了命题的即否命题．【解答】解：A中若p，q为两个命题，“p且q为真”一定能推出“p或q为真”，反之不一定，故应是充分不必要条件，故错误；B中若p为：∃x∈R，x2+2x≤0则￢p为：∀x∈R，x2+2x＞0是对存在命题的否定：存在改为任意，再否定结论，故正确；C命题p为真命题，命题q为假命题，则￢p为假命题，￢q为真命题，则命题p∧（￢q）为证明题，（￢p）∨q为假命题，故错误；D命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若￢q，则p”，故错误．故选B．4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为【考点】简单随机抽样．【分析】根据在随机抽样与系统抽样方法中，每件被选中的概率相等可得答案．【解答】解：∵从2003件产品中选取50件，每件被选中的概率相等，∴每件产品被选中的概率为．故选：C．5．在下列命题中：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量；向量的共线定理．【分析】①若向量、共线，则向量、所在的直线平行，可由向量的平行定义进行判断；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面，此命题可由共面向量的定义判断；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面，此命题可由共面向量的定义判断；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x 、y 、z ，使得，可由空间向量基本定理进行判断；【解答】解：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行，此命题不正确，同一直线上的两个向量也是共线的，此时两直线重合；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面，此命题不正确，任意两两向量是共面的；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面，此命题不正确，两两共面的三个向量不一定共面，三个不共面的向量也满足任意两个之间是共面的；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x 、y 、z ，使得，此命题是正确的，它是空间向量共面定理；综上讨论知，只有④是正确的故选B6．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）．若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出所有的a ，b ，c 取法，以及满足条件的a ，b ，c 取法，从而求得“有缘数”的概率．【解答】解：所有的a ，b ，c 取法共有=24个，而“有缘数”的三个位上的数字为1，2，3，或1，3，4，共有2=12个，则它是“有缘数”的概率为=， 故选：A ．7．如果ξ～B，则使P （ξ=k ）取最大值时的k 值为（ ） A ．5或6 B ．6或7 C ．7或8 D ．以上均错【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型．【分析】随机变量ξ～B （20，），当P （ξ=k ）的表达式，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由E ξ=20×=，知k=6，或k=7都可能是极值，由此能求出p （ξ=k ）取最大值时k 的值．【解答】解：随机变量ξ～B（20，），∴当P（ξ=k）=（）20﹣k（1﹣）k=（）20•2k•，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值，这和期望的意义接近．∵Eξ=20×=，∴k=6，或k=7都可能是极值，∵P（ξ=6）=P（ξ=7），∴p（ξ=k）取最大值时k的值是6或7．故选：B．8．已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．【解答】解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7≥55，得x≥6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为P==．故选B．9．若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，则x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【考点】二项式定理的应用．【分析】根据各项系数和求出a的值，再利用乘方的意义求出x5y2的系数．【解答】解：令x=y=1，可得（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为（a+2）5=243，∴a=1，（x2+x+y）5=（x2+x+y）5．而（ax2+x+y）5表示5个因式（ax2+x+y）的积，故有2个因式取y，2个因式取x2，剩下的一个因式取x，可得函x5y2的项，故x5y2的系数为•=30，故选：C．10．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（）A．甲同学：均值为2，中位数为2 B．乙同学：均值为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2 D．丁同学：众数为2，方差大于1【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】根据均值、中位数、众数、方差的定义及意义逐项判断，得出正确选项．【解答】解：甲同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生．乙同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生．丙同学：中位数为2，众数为2，说明三次考试名次均为2，断定为尖子生丁同学：众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x=1，2，3时方差均小于1，故x＞3．推断一定不是尖子生故选D．11．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A．B．C． D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．【解答】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率P1=P（••A）=（1﹣）×（1﹣）×=，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率P2=P（•••B）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×=，故停止射击时甲射击了两次的概率P=P1+P2=+=；故选C．12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的焦点，运用双曲线的定义求得|PF2|=|PF1|﹣2a=2c﹣2a，结合条件可得|QF1|=|QF2|+2a=3c﹣a，在△PF1F2和△QF1F2中，分别运用余弦定理以及∠F1F2Q+∠F1F2P=π，得cos∠F1F2Q+cos∠F1F2P=0，化简整理，由离心率公式计算即可得．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），则|PF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a=2c﹣2a，由3|PF2|=2|QF2|，可得|QF2|=3c﹣3a，由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3c﹣a，在△PF1F2和△QF1F2中，cos∠F1F2P===，cos∠F1F2Q===，由∠F1F2Q+∠F1F2P=π，可得cos∠F1F2Q+cos∠F1F2P=0，即有+=0，即有5c=7a，即有e==．故选：D．二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．【解答】解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33=90种不同的分配方案，故答案为：90．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是．【考点】条件概率与独立事件．【分析】由茎叶图，确定P（A）=，P（B）=，P（AB）=，再利用条件概率公式，即可求得结论．【解答】从这20名学生中随机抽取一人，基本事件总数为20个．将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A，则事件A包含的基本事件有10，故P（A）=；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则事件B包含的基本事件有9，P（B）=，故事件AB包含的基本事件有5，故P（AB）=，故P（A|B）==．故答案为：．15．在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ的实数λ的值有2个．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据题意可知，要满足线段D1Q与OP互相平分，必须当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，从而求得点P和点Q位置，求出λ的值，即可得出结论．【解答】解：∵线段D1Q与OP互相平分，且=λ，∴Q∈MN，∴只有当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，此时有P为A1D1的中点，Q与M重合，或P为C1D1的中点，Q与N重合，此时λ=0或1故答案为：2．16．已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为±．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．【分析】本题利用待定系数设出直线的方程，根据直线和曲线的方程联列方程组，用弦长公式表示出AB、CD的长度，可将条件“三条线段成等差”转化为线段AD、BC的关系，得到斜率k的关系式，解方程求出k的值，得本题结论．【解答】解：∵圆P：x2+y2=4y，∴x2+（y﹣2）2=4．圆心P（0，2），半径r=2，BC=4．∵线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，∴AB+CD=BC，∴AB+BC+CD=3BC，∴AD=12．设直线l的方程为：y=kx+2，由，得到：x2﹣8kx﹣16=0，由弦长公式知：AD==8（k2+1）．∴8（k2+1）=12．∴k=±．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜、0＜m＜15．由p、q有且只有一个为真得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．【解答】解：将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率e∈（1，2），所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15；…若p真q假，则m∈∅；若p假q真，则综上：m的取值范围为…18．设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）【考点】简单线性规划；古典概型及其概率计算公式；几何概型；随机思想的发展．【分析】（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即，随机数b，c∈{1，2，3，4}，共等可能地产生16个数对，事件A：包含了其中6个数对，从而可求事件A发生的概率；（2）由题意，b，c均是区间[0，4]中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中，事件A：所对应的区域为的梯形，从而可求事件A的发生概率．【解答】解：（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即因为随机数b，c∈{1，2，3，4}，所以共等可能地产生16个数对（b，c），列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），事件A：包含了其中6个数对（b，c），即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），所以=，即事件A发生的概率为（2）由题意，b，c均是区间[0，4]中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积S（Ω）=16．事件A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：S（A）=．所以==，即事件A的发生概率为．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）因为顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，得到A1B⊥AC，又AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可得AC⊥面AB1B，从而可证平面A1AC⊥平面AB1B．（2）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱AA1与BC所成的角的大小；（3）求出平面PAB的法向量为，而平面ABA1的法向量=（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵A1B⊥面ABC，∴A1B⊥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣又AB⊥AC，AB∩A1B=B∴AC⊥面AB1B，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AC⊂面A1AC，∴平面A1AC⊥平面AB1B；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），所以，．所以，故AA1与棱BC所成的角是．…（3）因为P为棱B1C1的中点，所以P的坐标为（1，3，2）．…设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则令z=1故…而平面ABA1的法向量=（1，0，0），则=故二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值是．…20．某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由频率分布直方图求出该校特色足球队人员平均视力，由此能评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况．（2）由频率分布直方图求出后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为及人数．（3）由题意随机变量ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4.8 0.1+4.9 0.2+5.0 0.3+5.1 0.2+5.2 0.1+5.3 0.1=5.03高于全省喜爱足球的高中生的平均值5.01…4分（2）由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为0.2，人数为0.2 50=10，即这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数为10人…6分（3）∵P（5.01﹣3×0.08＜ξ≤5.01﹣3×0.08，即P（4.77＜ξ≤5.25）=0.9974，∴P（ξ≥5.25）==0.013，0.0013×100000=130，…8分∴全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5.25以上．这50人中视力在5.25以上的有0.1 50=5人，这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人分为两部分：5人在5.25以上，5人在5.15∽5.25…9分随机变量ξ可取0，1，2，P（ξ=0）===，P（ξ=1）===，P（ξ=2）===．∴Eξ=0×+1×+2×=1…12（分）．21．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x ﹣y +6=0相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线y=k （x ﹣2）（k ≠0）与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2+•为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得圆O 的方程，由直线和圆相切的条件：d=r ，可得a 的值，再由离心率公式，可得c 的值，结合a ，b ，c 的关系，可得b ，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k （x ﹣2）和椭圆方程，得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使•为定值，定点为（，0）．【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a ，① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2+y 2=a 2，且与直线相切，所以，代入①得c=2，所以b 2=a 2﹣c 2=2．所以椭圆C 的标准方程为+=1．（2）由，可得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6=0，△=144k 4﹣4（1+3k 2）（12k 2﹣6）＞0，即为6+6k 2＞0恒成立．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1+x 2=，x 1x 2=，根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得为定值，则有=（x 1﹣m ，y 1）•（x 2﹣m ，y 2）=（x 1﹣m ）•（x 2﹣m ）+y 1y 2 =（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+k 2（x 1﹣2）（x 2﹣2）=（k 2+1）x 1x 2﹣（2k 2+m ）（x 1+x 2）+（4k 2+m 2）=（k 2+1）•﹣（2k 2+m ）•+（4k 2+m 2）。
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线043:yx l 与圆4:22yxC 的位置关系是（）A.相交且过圆心B.相交不过圆心C.相切 D.相离【答案】C 【解析】试题分析：∵圆C 的圆心为（0，0），半径2r ，而圆心到直线l 的距离22|0304|21(3)dr所以直线l 与圆C 相切考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式2．已知y x ,之间的几组数据如下表x123456y21334假设根据上表数据所得线性回归方程为11a x b y, 某同学根据上表中前两组数据求得的直线方程为22a x b y , 则以下结论正确的是（）A.2121,a a b bB.2121,a a b bC.2121,a a b b D.2121,a a b b 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知6n ，713,26xy12713043121524666267351491625366()2b ，122930a ，而由直线方程的求解可得22b ，把(1,0)代入可得22a ，∴1212,b b a a 考点：线性回归方程的求解3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为（）A.20B.14C.10D.7【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a;第二次循环2,14i a；第三次循环3,7i a；第四次循环4,20i a；第五次循环5,10i a；第六次循环6,5i a；,,，输出的a值的周期为5∵跳出循环的i值为2015，∴第2014次循环的20a.考点：循环结构的程序框图4．统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队全年丢失了79个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析①甲队防守技术较乙队好;②甲队技术发挥不稳定;③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定.其中正确判断的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】试题分析：因为甲队平均每场比赛丢失 1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失79 12，所以甲队技术比乙队好，故①正确；因为甲队比赛丢失球的个数的标准差为 1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6.所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确，考点：平均数，方差，标准差5．题文天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率用1, 2, 3, 4表示下雨, 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 1683 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89A.236 B.216 C.41 D.非ABC 的结果【答案】C 【解析】试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为90.2536考点：随机数的含义与应用6．如果圆8)()(22a y a x 上总存在到原点的距离为2的点,则实数a 的取值范围是（）A.)3,1()1,3( B.)3,3(C.[－1, 1] D.]3,1[]1,3[【答案】D 【解析】试题分析：圆22()()8x a y a 的圆心(,)a a 到原点的距离为2a ，半径22r ，由于圆22()()8x a y a 上总存在点到原点的距离为2∴2222222a∴1||32d r a 解得13a或31a∴实数a 的取值范围是[3,1][1,3]考点：点到直线的距离公式，圆的标准方程7．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是（）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立 D.以上答案都不对【答案】D 【解析】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件；但若在不同实验下，虽有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的考点：互斥事件与对立事件8．已知直线1bkx by 与圆10022yx有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有（）A.60条B.66条C.70条 D.71条【答案】A 【解析】试题分析：22100xy，整点为(0,10)，(6,8)，(8,6)，(10,0)，如图，共12个点，直线1x y ab（a,b 为非零实数），∴直线与x,y 轴不平行，不经过原点，任意两点连线有212C 条，与x,y 轴平行的有14条，经过原点的有6条，其中有两条既过原点又与x,y 轴平行，所以共有212C +12-14-6+2=60考点：圆与圆锥曲线综合9．我班制定了数学学习方案星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种 D.141种【答案】D【解析】试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141CC CC CC C种考点：排列组合问题10．如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（）①对于任意的平面, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点;②存在一个平面0, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上; ③对于任意的平面, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分A.0B.1C.2D.3【答案】B 【解析】试题分析：①取AD 的中点H ，BC 的中点G ，则EGFH 在一个平面内，此时直线GF ∥EH ∥BD ，因此不正确；②不存在一个平面0，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，可以证明几何体AC-EGFH 的体积是四面体ABCD 体积的一般，故③正确.考点：棱柱、棱台、棱锥的体积二、填空题11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为 .【答案】9(8888)【解析】试题分析：12345673(22222222)23232323232323236560∵0123656089898989，∴把三进制数3(22222222)化为九进制数的结果是9(8888)考点：进位制12．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 .【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433考点：相互独立事件的概率乘法公式13．已知)1,0(,yx , 则1212222222x y xy yx yx 22222y x yx的最小值为 .【答案】22【解析】试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点(,)x y 到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中)1,0(,y x ），显然当22x，22y时距离之和最小为22考点：两点间距离公式的应用14．集合}1)1()1(|),{(},1|1||||),{(22y x y x B y a x y x A ,若集合BA,则实数a 的取值范围是.【答案】[1,3]【解析】试题分析：先分别画出集合{(,)||||1|1}A x y x a y ，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y 表示的平面图形，集合A 表示一个正方形，集合B 表示一个圆.如图所示，其中(1,1)A a ，(1,1)B a ，欲使A B，只须A 或B 点在圆内即可，∴22(11)(11)1a 或22(11)(11)1a ，解得：11a 或13a，即13a考点：简单的线性规划问题15．如图, P 为60的二面角l内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .【答案】219【解析】试题分析：如图，作出P关于两个平面,的对称点M、N，连接MN，线段MN与两个平面的交点坐标分别为C，D，连接MP，NP，CP，DP，则△PAB的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN,当A与C重合，B与D重合时，由两点只见线段最短可以得出MN即为△PAB周长的最小值，根据题意可知：P到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角l，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120°根据余弦定理有：2222MN MP NP MP NP COS MPN22146246()762∴219MN∴△PAB周长的最小值等于219考点：三角形周长的最小值求法，二面角的定义和求法.三、解答题16．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数;（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本, 员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元, 求甲乙同时被抽到的概率.【答案】（1）平均收入为2400，中位数为2400；（2）甲、乙同时被抽到的概率为1001【解析】试题分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率.试题解析：（1）可求出第一个小矩形的高度为0.0002平均收入为375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元中位数为2400元（面积分为相等的两部分; （3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人, 月收入在3500元至4000元之间的有50人, 由分层抽样可知, 甲、乙同时被抽到的概率为1001考点：频率分布直方图17．（本小题满分12分）标号为0到9的10瓶矿泉水.（1）从中取4瓶, 恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？（2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式, 作为射击的靶子, 规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下）, 把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A 、B 、C 三名垃圾回收人员, 每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66.【解析】试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有3537C种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有3537C 种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有252003538210C C C .（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以66212C .考点：考查排列、组合的实际应用18．（本小题满分12分）如图, 已知圆M2244xy , 直线l 的方程为20x y ,点P 是直线l 上一动点, 过点P 作圆的切线PA 、PB , 切点为A 、B ．（1）当P 的横坐标为165时, 求∠APB 的大小;（2）求证经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点, 并求出所有定点的坐标．【答案】（1）∠APB ＝60°；（2）84(0,4),,55. 【解析】试题分析：（1）由题设可知，圆M 的半径2r，168(,)55P ，∠MAP=90°，根据MP=2r ，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB 的大小；（2）设P 的坐标，求出经过A 、P 、M 三点的圆的方程即可得到圆过定点.试题解析：解（1）由题可知, 圆M 的半径r ＝2, 168(,)55P , 因为PA 是圆M 的一条切线, 所以∠MAP ＝90°又因MP ＝2216804455＝2r, 又∠MPA＝30°, ∠APB ＝60°; （6分）（2）设P （2b, b ）, 因为∠MAP ＝90°, 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径, 方程为222244424bb b x by即22(24)40x y b xyy 由2224040x y xyy, 解得04x y或8545xy, 所以圆过定点84(0,4),,55考点：直线与圆的综合问题，圆过定点，19．（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD 中,BCF AB E ,（1）如果E 、F 分别为AB 、BC 中点, 分别将△AED 、△DCF 、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P.证明在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.（2）如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△AED 、△DCF 折起,使A 、C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.【答案】（1）证明见解析，A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2）239【解析】试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.试题解析：（1）解：∵E 、F 分别为正方形边AB 、BC 中点, 在平面图中连接AF, BD 交于O 点, AF 交DE 于M, 可知O为三角形DEF 的垂心.三角形AED 在沿DE 折叠过程中, AM 始终垂直于DE, ∴A 在过M 且与DE 垂直的平面上, 又AM ＝52, ∴A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2）∵PD ⊥PF, PD ⊥PE, ∴PD 垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF 面积最大时, 三棱锥P－DEF 体积最大.设PE ＝t,EPF,cos 211)2(22t tt ,tt 22cos48321)22(12122t ttt t S PEF, 当34t时932maxV .考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算20．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC ∩BD=O,AA1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（1）求证 A 1C ∥平面BMD; （2）求证 A 1O ⊥平面ABCD;（3）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值.【答案】（1）（2）证明详见试题分析（3）9728【解析】试题分析：（1）连结MO ，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明（2）由已知条件推导出BD ⊥面A1AC ，132AOAC ，由此能证明（3）通过作辅助线确定直线MB 与平面1BDC 所成的角，然后求出其正弦值试题解析：（1）证明：连结MO ，∵1,AM MA AO OC ，∴MO ∥1AC ，∵MO 平面BMD ，1AC 平面BMD∴A 1C ∥平面BMD.（2）证明：∵1BDAA ，BDAC ，∴BD ⊥平面1A AC于是1BDAO ，AC BDO ，∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=12AC=3，又∵123AA 160oA AC ，∴1AO AC ，又∵1AO BD ，∴1AO ⊥平面ABCD.（3）解：如图，以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，由题意知1(0,0,3)A ，(3,0,0)A ，(3,0,0)C (0,1,0)B ，(0,1,0)D ，∵11(23,0,0)AC AC，∴1(23,0,3)C∵33(,0,)22M ，∴33(,1,)22MB ，(0,2,0)DB，1(23,1,3)BC ，设平面1BC D 的法向量为(,,)nx y z ，则1202330n DB yn BC x y z，取3x ，得(3,0,2)n∴3392cos ,2747MB n∴直线BM 与平面1BC D 所成角的正弦值为29971()2847.考点：立体几何的证明与求解21．（本小题满分13=5+5+3分）已知点),(00y x P 是圆:C 8)2()2(22y x 内一点（C为圆心）, 过P 点的动弦AB.（1）如果)1,1(P , 72||AB , 求弦AB 所在直线方程.（2）如果)1,1(P , 当PAC 最大时, 求直线AP 的方程.（3）过A 、B 作圆的两切线相交于点M , 求动点M 的轨迹方程.【答案】（1）1y （2）1x y （3）8)2)(2()2)(2(00y y x x 【解析】试题分析：（1）当x AB 轴时, 72a , 此时1:x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1y ；（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当xyzNC 最大时, 角CAP 最大；（3）求出圆C 在A 、B 处的切线方程，可得AB 的方程，点P 00(,)x y 在AB 上，即可得出结论.试题解析：（1）当x AB 轴时, 72a , 此时1:x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1y （2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当NC 最大时, 角CAP 最大, 又NC PC, 所以当N 、P 重合时, PAC 最大, 此时PC PA ,故PA 的方程为1x y （3）因为过A 、B 的圆心的两条切线相交, 所以P 点异于圆心 C.设),(,),(2211y x B y x A ,),(//y x M , 圆C 在A 、B 处的切线方程分别为8)2)(2()2)(2(11yy x x , 8)2)(2()2)(2(22y y x x , 它们交于点M , 所以8)2)(2()2)(2(/1/1yy x x ,8)2)(2()2)(2(/2/2yy xx 这两式表明 A 、B 两点在直线8)2)(2()2)(2(//yy xx 上, 即AB 的直线方程为8)2)(2()2)(2(//y y x x, P 在AB 上,所以8)2)(2()2)(2(/0/y y xx 所以M 的轨迹方程为8)2)(2()2)(2(0yy xx 考点：直线和圆的方程的应用。
2015年湖北省武汉市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．2．（3分）（2015•武汉）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）26．（3分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0），以原点O 位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（），相似比是，=7．（3分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（）B8．（3分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（）9．（3分）（2015•武汉）在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），＜10．（3分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）﹣+1 ﹣1=，BO==OM=AC=1OM=二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（3分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）=﹣4．12．（3分）（2015•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为 3.7×105．13．（3分）（2015•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是6．，则=14．（3分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．）代入得：，15．（3分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=10．16．（3分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．==故答案为三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．17．（8分）（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．18．（8分）（2015•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．，19．（8分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．；的概率为：=；的小球的概率为：．20．（8分）（2015•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD 的对角线交于坐标原点O．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．21．（8分）（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．OT=（=，即=，从而求得x﹣==，即=﹣x=TAC==22．（10分）（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC 的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．，可得，所以，据此求出，再根据=的值是．=EF=EF=x+24．AB=AC=．的边长是或．23．（10分）（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P 作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．（1）求证：EF+PQ=BC；（2）若S1+S3=S2，求的值；（3）若S3+S1=S2，直接写出的值．）由平行线得出比例式，得出，得出，得出AN=﹣ah（﹣（ah+（（（ah=（（），=1=，﹣ah﹣（ah+（h=﹣=3=2（ah=﹣±）1+=1+=24．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y 轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．，∴抛物线解析式为，），m=2（﹣，，PQ=．PQ+BQ+PB=．2015年湖北省武汉市中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．2．（3分）（2015•武汉）若代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）26．（3分）（2015•武汉）如图，在直角坐标系中，有两点A （6，3），B （6，0），以原点O 位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB 缩小后得到线段CD ，则点C 的坐标为（ ）7．（3分）（2015•武汉）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体．其主视图是（ ）B8．（3分）（2015•武汉）下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况．根据图中信息，下列说法错误的是（）9．（3分）（2015•武汉）在反比例函数y=图象上有两点A（x1，y1），B （x2，y2），10．（3分）（2015•武汉）如图，△ABC，△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）﹣+1 ﹣1二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．（3分）（2015•武汉）计算：﹣10+（+6）=．12．（3分）（2015•武汉）中国的领水面积约为370 000km2，将数370 000用科学记数法表示为．13．（3分）（2015•武汉）一组数据2，3，6，8，11的平均数是．14．（3分）（2015•武汉）如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．15．（3分）（2015•武汉）定义运算“*”，规定x*y=ax2+by，其中a、b为常数，且1*2=5，2*1=6，则2*3=．16．（3分）（2015•武汉）如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．三、解答题（共8小题，共72分）下列各题解答应写出文字说明，证明过程或演算过程．17．（8分）（2015•武汉）已知一次函数y=kx+3的图象经过点（1，4）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求关于x的不等式kx+3≤6的解集．18．（8分）（2015•武汉）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC=EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC=DF．求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．19．（8分）（2015•武汉）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率；（2）随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果：①两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率；②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率．20．（8分）（2015•武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．（1）请直接写出点C、D的坐标；（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．21．（8分）（2015•武汉）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB．（1）求证：AT是⊙O的切线；（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC．22．（10分）（2015•武汉）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8．（1）如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K．①求的值；②设EH=x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值；（2）若AB=AC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．23．（10分）（2015•武汉）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE=BP，过点E、P 作BC的平行线，分别交AC于点F、Q，记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3．（1）求证：EF+PQ=BC；（2）若S1+S3=S2，求的值；（3）若S3+S1=S2，直接写出的值．24．（12分）（2015•武汉）已知抛物线y=x2+c与x轴交于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点E（m，n）是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y 轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF=∠CFG．求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）．（3）如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ=∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长．2015年武汉市中考数学试题答案与解析(来自家长帮，仅作参考)。
湖北省武汉市第二中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学（理）试题考试时间：2015年2月4日 上午 试卷满分：150分一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.1.过椭圆221169x y +=的左焦点1F 的直线交椭圆于,A B 两点, 2F 是右焦点, 则2ABF ∆的周长是（ ）.6A.8B .12C .16D2.抛物线24y x =的焦点坐标是（ ） .(1,0)A.(2,0)B 1.(0,)16C 1.(0,)8D3.设随机变量ξ的分布列为1()(),1,2,33i P i a i ξ===, 则实数a 的值为（ ） .1A9.13B 11.13C 27.13D 4.某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共4000件, 为了保证产品质量, 进行抽样检验, 根据分层抽样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、丙中产品的有关数据已被污染得看不清楚, 统计员记得甲产品的样本容量比丙产品的样本容量多10, 根据以上信息, 可得丙的产品数量是（ ）5.正四面体ABCD 中, M,N 分别是棱BC 、AD 的中点, 则异面直线,AM CN 所成角的余弦值为（ ）2.3A - 1.4B 2.3C 1.4D -6.若251()(1)x a x+-的展开式中的常数项为1-, 则实数a 的值为（ ）.1A .99B .1-9C -或 .19D 或7.已知随机变量X 服从正态分布(3,1)N , 且(24)0.6826P x ≤≤=, 则(4)P x >=（ ） .0.1588A.0.1587B .0.1586C .0.1585D8. 设抛物线22y x =的焦点为F , 过点的直线与抛物线相交于,B A 两点, 与抛物线的准线相交于C , ||2BF =, 则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（ ） 4.5A2B.34.7C1.2D 9.若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点, 则实数k 的取值范围是（ ）.(A B C.( D.(1)-10.已知直线12,l l 是经过椭圆34422y x +＝1的中心且相互垂直的两条直线, 分别交椭圆于,C,B,D A , 则四边形BCD A 的面积的最小值是（ ）.2A B.4 二、填空题：本大题共5小题, 每小题5分, 共25分.11.假设要考查某企业生产的袋装牛奶质量是否达标, 现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验, 利用随机数表抽样时, 先将500袋牛奶按000,001, , 499进行编号. 如果从随机数表第8行第4列的数开始三位数连续向右读取, 请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号 （下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 12.双曲线2288kx ky -=的一个焦点为（0,3）, 则实数k 的值为 . 13.已知该大学某女大学生身高为165.25cm, 则预报其体重合理值为 kg.14.向等腰直角三角形BC A （其中C =BC A ）内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为 .15.平行六面体1111ABCD A B C D -中, 1160A AD A AB ∠=∠=, 90DAB ∠=, 13A A =, 2AB =,1AD =, 则其体对角线1AC 的长为 .三、解答题：本大题共6小题, 共75分.16. (12分)已知椭圆的两个焦点分别是(2,0),(2,0)-, 并且经过点53(,)22-, 求它的标准方程.17. (12分) 过双曲线22136x y -=的右焦点2F , 倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点, 1F 为左焦点, 求(1)|AB|; (2)1AF B ∆的周长.18. (12分) 如图所示, 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形, //AB CD , 90,DAB PA ∠=⊥底面ABCD , 且1PA AD DC ===, 2AB =, M 是PB 的中点.（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD . （2）求AC 与PB 所成角的余弦值. （3）求二面角A MC B --的余弦值.19. （12分）根据气象预报, 某地区近期有小洪水的概率为0.25, 有大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备, 遇到大洪水时要损失60000元, 遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备, 有以下3种方案：方案1：运走设备, 搬运费为3800元.方案2：建保护围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能防小洪水. 方案3：不采取措施. 试比较哪一种方案好.20. （13分）已知(13)n x -展开式中, 末三项的二项式系数的和等于121, 求展开式中系数最大的项的项数及二项式系数最大的项的项数.21. （14分）如图所示, 已知椭圆22C :14x y +=左、右端点分别为12,A A , 过定点(1,0)的动直线与椭圆C交于,P Q 两点. 直线1P A 与2A Q 交于点S . （1）当直线斜率为1时, 求直线1A P 与2A Q 的方程.（2）试问：点S 是否恒在一条定直线上. 若是求出这条直线方程, 若不是请说明理由.武汉二中2014—2015学年上学期高二年级期末考试数学参考答案11.163,199,175,128,395 12.-1 13.54.5 14.4π3.解答题16.由椭圆定义知2a ==a ∴=2222,1046c b a c =∴=-=-=。
