不定积分习题

格式：ppt
大小：1.23 MB
文档页数：44

下载文档原格式

不定积分习题

第一节不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：1．dx x ⎰22．dx x⎰13．设曲线通过点()2,1，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．dx x ⎰31 5．dx xx ⎰1 6．()dx xx 52-⎰ 7．dx x x ⎰28．()dx xx ⎰-231 9．()dx x e x⎰-cos 3 10．dx e xx ⎰2 11．dx x ⎰2tan12．dx x⎰2sin213．dx x x ⎰2cos 2sin 12214．dx x x x ⎰+++132224 15．dx x x x ⎰--12224 习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）C x x dx x +++=+⎰)1ln(1122（2）C xx dx x x+-=-⎰111222（3）C x x dx x x x +++=++⎰11arctan )1)(1(22 （4）C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec （5）C x x x dx x x ++=⎰cos sin cos（6）C x x dx x e x+-=⎰)cos (sin 21sin 2．求下列不定积分（1）dx x⎰31（2）dx x x ⎰（3）⎰xdx （4）dx x x ⎰32（5）⎰xx dx2（6）dx x mn ⎰（7）dx x ⎰35 （8）dx x x ⎰+-)23(2（9）⎰ghdx 2（g 是常数）（10）()dx x⎰+221（11）()()d x x x ⎰-+113 （12）⎰xx dx 2（13）dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32 （14）dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+221213 （15）dx xe e xx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 （16）dx e xx ⎰3 （17）dx xxx ⎰⋅-⋅32532 （18）()dx x x x ⎰-tan sec sec （19）dx x ⎰2cos2（20）⎰+x dx 2cos 1 （21）dx x x x ⎰-sin cos 2cos （22）dx xx x⎰22sin cos 2cos （23）dx x ⎰2cot （24）()dx ⎰θ+θθsec tan cos（25）dx x x ⎰+122 （26）dx x x x ⎰++123234 3．一曲线通过点()3,2e ，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．4．证明函数)12arcsin(-x 、)21arccos(x -和x x-1arctan 2都是21xx -的原函数．第二节换元积分法例题求下列不定积分1、dx x ⎰2cos 2 2、dx x ⎰+2313、dx x x ⎰+32)2( 4、dx xe x ⎰225、dx x x ⎰-21 6、dx x a ⎰+2217、dx x a ⎰-221 8、dx x a ⎰-2219、dx x x ⎰+)ln 21(1 10、dx xe x⎰311、dx x ⎰3sin 12、dx x x ⎰52cos sin13、dx x ⎰tan 14、dx x ⎰2cos15、dx x x ⎰42cos sin 16、dx x ⎰6sec17、dx x x ⎰35sec tan 18、dx x ⎰csc19、dx x ⎰sec 20、dx x x ⎰sin 3cos 21、dx x a ⎰-22 22、dx ax ⎰+22123、dx a x ⎰-221 24、dx x x a ⎰-422 25、⎰+942x dx 26、⎰-+21xx dx27、()dx x xx ⎰+-22322练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）=dx )(ax d ；（2）=dx )37(-x d ；（3）=xdx )(2x d ；（4）=xdx )5(2x d ；（5）=xdx )1(2x d -；（6）=dx x 3 )43(2-x d ；（7）=dx e x 2 )(2xe d （8）dx e x 2-= )1(2x e d -+（9）=dx 23sin )23(cos x d （10）=xdx )ln 5(x d （11）=xdx)ln 53(x d -（12）=+21x dx )3(arctan x d （13）=-21xdx)arcsin 1(x d -（14）=-21x xdx )1(2x d -2、求下列不定积分（1）dt e t⎰5 （2）dx x ⎰-3)23(（3）⎰-x dx 21 （4）⎰-332x dx（5）dx e ax bx⎰-)(sin （6）dt tt ⎰sin（7）dx xex ⎰-2（8）dx x x ⎰)cos(2（9）dx xx⎰-232 （10）dx x x ⎰-4313 （11）dxx x x ⎰+++5212 （12）dt t t ⎰ϕ+ωϕ+ω)sin()(cos 2 （13）dx x x ⎰3cos sin （14）dx x x xx ⎰-+3cos sin cos sin（15）dx x x ⎰⋅210sec tan （16）⎰x x x dxln ln ln（17）⎰-221)(arcsin xx dx（18）dx xx ⎰-2arccos 2110（19）⎰+⋅+2211tan x xdxx （20）dx x x x ⎰+)1(arctan （21）dx x x x⎰+2)ln (ln 1 （22）⎰x x dx cos sin （23）dx xx x ⎰sin cos tan ln （24）dx x ⎰3cos （25）dt t ⎰ϕ+ω)(cos 2（26）dx x x ⎰3cos 2sin（27）dx x x ⎰2cos cos （28）dx x x ⎰7sin 5sin（29）dx x x ⎰sec tan 3（30）⎰-+x x e e dx（31）dx xx⎰--2491 （32）dx x x ⎰+239 （33）⎰-122x dx （34）⎰-+)2)(1(x x dx（35）dx x x x ⎰--22 （36）⎰-222xa dx x（37）⎰-12x x dx （38）⎰+32)1(x dx（39）dx x x ⎰-92 （40）⎰+xdx 21 （41）⎰-+211xdx （42）⎰-+21xx dx（43）dx x x x ⎰++-3212 （44）dx x x ⎰++223)1(1第三节分部积分法例题求下列不定积分1、dx x x ⎰cos2、dx xe x⎰3、dx x x ⎰ln4、dx x ⎰arccos5、dx x x ⎰arctan6、dx x e x⎰sin7、dx x ⎰3sec 8、dx e x⎰练习求下列不定积分（1）⎰xdx x sin （2）dx x ⎰ln（3）dx x ⎰arcsin （4）dx xe x⎰-（5）dx x x ⎰ln 2（6）dx x e x ⎰-cos（7）dx x ex⎰-2sin 2 （8）dx x x ⎰2cos（9）dx x x ⎰arctan 2 （10）dx x x ⎰2tan（11）dx x x ⎰cos 2（12）dt te t ⎰-2（13）dx x ⎰2ln （14）dx x x x ⎰cos sin（15）dx x x ⎰2cos 22 （16）dx x x ⎰-)1ln( （17）dx x x ⎰-2sin )1(2（18）dx xx⎰23ln（19）dx e x ⎰3（20）dx x ⎰ln cos（21）dx x ⎰2)(arcsin （22）dx x e x ⎰2sin（23）dx x x ⎰2ln （24）dx ex ⎰+93其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、dx x x x ⎰+-+6512 2、dx x x x x ⎰++++)1)(12(223、dx x x x ⎰---)1)(1(32 4、dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 5、dx x x ⎰-16、⎰++321x dx 7、dx x x x ⎰+11练习：（1）dx x x ⎰+33（2）dx x x x ⎰-+-103322 （3）dx x x x ⎰+-+5212 （4）⎰+)1(2x x dx（5）dx x ⎰+133 （6）dx x x x ⎰-++)1()1(122 （7）⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx（8）dx xx x x ⎰--+3458 （9）⎰++))(1(22x x x dx（10）dx x ⎰-114（11）⎰+++)1)(1(22x x x dx （12）dx x x ⎰++)1()1(22（13）dx x x x ⎰++--222)1(2（14）⎰+x dx 2sin 3 （15）⎰+x dx cos 3 （16）⎰+x dxsin 2 （17）⎰++x x dx cos sin 1 （18）⎰+-5cos sin 2x x dx（19）⎰++311x dx（20）dx x x ⎰+-11)(3（21）dx x x ⎰++-+1111 （22）⎰+4x x dx （23）x dx x x ⎰+-11 （24）⎰-+342)1()1(x x dx本章复习题计算下列不定积分：1、⎰-x dx cos 452、⎰+942x x dx 3、dx x x ⎰+2)43(4、dx x ⎰4sin5、⎰-942x dx 6、dx x x ⎰++52127、dx x ⎰+9228、dx x ⎰-2329、dx x e x⎰cos 210、dx x x ⎰2arcsin11、⎰+22)9(x dx 12、⎰x dx 3sin 13、dx x e x ⎰-3sin 214、dx x x ⎰5sin 3sin 15、dx x ⎰3ln 16、dx xx ⎰-117、dx x ⎰+22)1(118、dx x x ⎰-11219、dx x x ⎰+2)32(20、dx x ⎰6cos 21、dx x x⎰-22222、dx x ⎰+cos 52123、⎰-122x x dx24、dx x x ⎰+-1125、dx x x x ⎰--+125226、⎰-+21x x xdx27、dx x x ⎰+2442528、⎰--x x e e dx 29、dx x x⎰-3)1(30、dx x a x ⎰-66231、dx x x x ⎰++sin cos 1 32、dx x x ⎰ln ln33、dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 34、dx x ⎰4tan 35、⎰+)4(6x x dx 36、dx x a x a ⎰-+37、⎰+)1(x x dx 38、dx x x ⎰2cos 39、⎰+xedx 140、⎰-122x xdx41、⎰+)1(24x x dx 42、dx x x ⎰sin 43、dx x ⎰+)1ln(244、dx x x ⎰32cos sin 45、dx x ⎰arctan46、dx x x ⎰+sin cos 147、dx x x ⎰+283)1(48、dx x x x ⎰++234811 49、⎰-416x dx 50、dx x x ⎰+sin 1sin 51、dx x x x ⎰++cos 1sin 52、dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 53、dx x x x x⎰+)(3354、⎰+2)1(x e dx 55、dx e e e e x x x x ⎰+-+124356、dx e xe x x⎰+2)1( 57、dx x x ⎰++)1(ln 2258、⎰+32)1(ln x x 59、dx x x ⎰-arcsin 1260、dx xx x ⎰-231arccos61、dx x x ⎰+sin 1cot 62、⎰x x dx cos sin 363、⎰+x x dxsin )cos 2(64、dx x x x x ⎰+cos sin cos sin65、dx x x ⎰-)1(12。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。

2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。

3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。

不定积分专题试题

不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为（） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。

3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。

不定积分练习题

4月16日不定积分练习题基础题一．填空题 1.不定积分：⎰=_____xxdx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______ 3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________ 5.不定积分：dx xe x )32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x=时函数值为π23，则此函数为_______________8.=+⎰x d )x 1 x ( ________9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin xx dx +=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3(1x x dx -+-=⎰ .二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（）c x3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为（）(A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ-4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F(2 x)+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F(2 x )+ C5.设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

不定积分练习题

4月10日不定积分练习题基础题一．填空题1.不定积分：⎰=_____xxdx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______ 3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx x e x)32(⎰+=_______ 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（）c x3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( ) ()arcsin ()arctan A x B x x1x 1ln 2 1)C (+-　x1 x 1 ln2 1)D (-+3、函数x2 cos π的一个原函数为（）(A)x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)，则⎰=dx )x 2(f （）(A) F(2x)+ C (B) F(2 x)+ C (C)C )x 2(F 2 1+ (D) 2F(2 x )+ C5.设3()ln sin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（）。

A. cot 4xB. cot 4x -C. 3cos4xD. 3cot 4x6. 若()f x 为可导、可积函数，则（）。

A. ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ B. ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰C.()()f x dx f x '=⎰D.()()df x f x =⎰7. 设C F(x) dx )x (f +=⎰ ，则=⎰ dx )cosx ( f sinx （）(A)C )sinx ( F + (B) C )sinx ( F +- (C) C )cosx ( F +- (D) sin x ( cosx ) C F + 8.设()Fx 是()f x 在(),-∞+∞上的一个原函数,且()F x 为奇函数,则()f x 是 ( )A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定 9.已知()f x 的一个原函数为cos x ,()g x 的一个原函数为2x ,则()f g x ⎡⎤⎣⎦的一个原函数为( )A ．2x B ． 2cosx C ． 2cos x D ．cos x10.设2xe-是()f x 的一个原函数,则()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆ ( )A ．22xe - B ．-28xe- C ．22xe -- D ．24xe-11. 21(),()1fx f x x=-设则的一个原函数为 ()arcsin ()arctan 1111()ln ()ln 2121A x B x x x C D x x -+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭ 4月15日不定积分练习题基础题一．填空题=⎰x d x tan2．2.x d 1x1x 3x 3224⎰+++＝． 3.⎰+)x 1 ( x dx2= ______________________________． 4.dx e 1 1x ⎰-+=5.=⎰dx x 2cos x 12 ．6.设 )x (f 的一个原函数xx sin 为，则 =⎰dx )x (f ． 7.设 )x (f 的一个原函数为 ln x ，则⎰+dx )x 21(f ______________． 8.设)x (f 的一个原函数为 lnx , 则=')x (f _______________． 9.，的一个原函数为若x ln x )x (f =)x (f 则______ _______．二．选择题 1. =+-=⎰I x d 1e1e I x x ，则设（）c )1e ( ln )B ( c )1e ( ln )A (x x +++- c x )1e ( ln 2)C (x +-+ c )1e ( ln x 3x )D (x ++-　2. 设f(x)的一个原函数是F(x) ，则⎰+dx )b ax (f ＝（）(A) F(ax ＋b)＋c (B) aF(ax+b)+c (C)b ax )b ax (F +++c (D)a 1F(ax+b)+c3. =-+=⎰⎰dx )x 1 ( f x c x sin dx )x (f 2，则若（）(A)c )x 1 ( sin 22+- (B)c )x 1 ( sin 22+-- (C)c )x 1 ( sin2 12+- (D) c )x 1 ( sin 2 12+--4.不定积分：21( 1 ) cos d sinx x x +=⎰ （）(A) C x sin 1x +-(B) C x sin 1x ++(C) C x sin 1x sin +-(D) Cx sin 1x sin ++5. 不定积分：⎰=xx de e sin （）(A) C e cos x+ (B) C e cos x+- (C) C e arccos x+ (D) C e arccos x+-6. 不定积分：⎰+e 1 dxx ＝（）(A)c e 1 ln x++）（ (B) c e 1 ln x++-）（ (C) c e 1 e ln x x ++ (D) ce 1 1ln x++ 7. 设x 2 tan k )x (f = 的一个原函数是) x 2 cos ( ln32 ，则常数 =k （） (A)3 2- (B) 3 2 (C) 34 - (D) 3 4综合题 1.⎰++dx )1x 2sin( )1x 2(cos2求．2.求不定积分 4 (1) xdx x +⎰．3.求不定积分dx)x 1( x3⎰-．4月18日不定积分练习题基础题： 1. 2x xedx -=⎰( ).(a) xe c -+, (b)212x e c -+, (c)212x e c --+, (d) 2x e c --+.2. 2x e dx ⎰=( )(a) 2xe c +, (b) 212x e c +, (c) 2x e , (d) 212x e .3.221(2)dx x =+⎰( )(a) arctan 2x c +, (b) arctan 2x , (c) arcsin 2x , (d) arcsin 2x c +. 4. 22sec 2xdx =⎰( )(a)tan 2x c +, (b) tan 2x , (c) tan x , (d) tan x c +. 5.(1)n x dx +=⎰.6. cos(34)x dx +=⎰.7.= .8. x e dx -=⎰.9.1sin2xdx ⎰= . 10.(2)x x dx -=⎰. 11.2= .12.12dx x =-⎰ .4月19日不定积分练习题基础题：1. 设()xf x e -=,则()ln f x dx x'⎰=( )A ． 1x -c + B ． ln x c -+ C ． 1c x+ D ． ln x c + 2. 若()f x 的一个原函数为2ln x ,则()x f x dx '=⎰( )A ．2ln ln x x c -+B ．22ln ln x x c ++C ．22ln ln x x c -+D ．2ln ln x x c ++ 3. 设()()ln 1ln f x x x '=+,则()f x =( )A ．22xx xe c ++ B ．()212xx x e c -++ C ．22xx xe c -+ D ．()212xx x e c --+ 4.2cos xdx x =⎰ ( )A ． tan ln cos x x x c -+B ． tan ln cos x x x c ++C ． tan ln sin x x x c -+D ． tan ln sin x x x c ++ 5.()2211dx x x =+⎰ ( )A ． 1arctan x c x ++B ． 1arctan x c x -+ C ． 1arctan x c x --+ D ．1arctan x c x-++6.,I I ==设则( )()arcsin;()arcsin n ()arcsin ;()arcsin x xA a cB a c a ax xC a cD ca a -- 7. ,I I ==设则( )22()(arctan ;();(().A cB cC cD c -++-8. ,x x dxI I e e -==+⎰设则( )()()arctan ;()arctan ;()x x x xxxA e e cB e cC e cD e e c----+++++ 9.10(23),I x dx I =-=⎰设则( )991111()10(23);()20(23);11()(23);()(23).2211A x c B x c C x c D x c -+-+-+-+ 10.I I ==设则( )()2ln(1.(2ln(1.(2ln(1.()2ln(1.A c B c C c D c -+++-+ 11.1d ,1x xe I x I e -==+⎰设则( ) ()ln(1)()ln(1);()2ln(1);()2ln(1).x x xxA e cB e cC e x cD x e c -++++-+-++12. sin cos d ,I x x x I ==⎰设则( )2211()sin ;()cos ;2211()cos 2;()cos 244A x cB x cC x cD x c-+++-+ 13.求下列不定积分：dx x ⎰-3)23(⎰-dx x32dx3⎰)ln(ln ln x x x dx⎰xx dx sin cos⎰-+x x e e dxdx x x )cos(2⎰dx x x ⎰-4313dx x x⎰3cos sindx xx ⎰--2491⎰-122x dxdx x ⎰3cos⎰xdx x 3cos 2sin⎰xdx x sec tan 3dxx x ⎰+239dx x x ⎰+22sin 4cos 31dx xx ⎰-2arccos 2110dx x x x ⎰+)1(arctandx x x⎰+211dx x ⎰sin⎰+32)1(x dx⎰+x21dxinxdx xs ⎰⎰xdx x ln 2dx x e x⎰-2sin 2 ⎰xdx arctan x2⎰xdx x cos 2⎰xdx2lndx xx 2cos 22⎰ ⎰-++dx x x x 103322⎰+)1(2x x dx⎰+dx xx211arctandx x ⎰-2sin 1dx xa xx⎰-2 ⎰+dx x xe x 232arctan )1(⎰+x x dxsin 2)2sin(⎰-dx e xe xx 1dx e e xx⎰2arctan dx x x xx ⎰+cos sin cos sin 14. 设)(x f 的一个原函数为xxsin ，求⎰'dx x f x )(。

不定积分练习题

1、求下列不定积分1) dx ~^2 x3) (x 2)2dx5) 2 3x5 2x3xdx7) (2e x 3)dxx2、求下列不定积分（第一换元法）31) (3 2x) dx不定积分(A)2)4)6)8)dxx2. x2Jdxxcos2x .dx2 . 2cos xsin x(1 x xdxxdx32 3xx In xln(In x)4)5)dx6)dx cosxs in x27) xcos(x )dx 8) 3x31 x4dx9)sin x ,3 dxcos x10) —L X—dx<9 4x211)dx2x2 1312) cos xdx13) sin 2xcos3xdx 14)tan3 xsecxdx15)17)x32dx9 x16)10 2arccosx、1 x2dxc 23 cos x 4sin 218) arctan x dx7x(1 x)-dxx3、求下列不定积分（第二换元法）4、求下列不定积分（分部积分法）1) xSnxdx 2) arcs in xdx2 3) x In xdx2x・x 4) e sin dx21) 一dxx、1 x22) sin 一xdx3) ■^Ldx4) --dx,(ax0)5) 6)dx 1 .2x7)dxx d x28)dxdx5) x1 2 arctanxdx6) x2cosxdx7)In2 xdx 8)x2 cos2 - dx2 5、求下列不定积分(有理函数积分)1)3x . dxx 32)2x 3 」飞dxx2 3x 103)dxx(x21)(B)1、一曲线通过点(e2,3),且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。

1 32、已知一个函数F(x)的导函数为----------- ，且当x 1时函数值为-------------------------------- ，试求此函数。

2 21 x 23、证明：若 f(x)dx F(x) c ,贝 U1f (ax b)dx F(ax b) c,(a 0)。

大学数学不定积分必看习题

x)
dx
=
x2
+
c
,则
f
(x)
=
；
∫ 3、若 f (x) = 1 x2 ，则 f ′( x2 )dx =
2
；
∫ 4、若 f (x +1) = x 2 + 3x + 5 ，则 f (x)dx =
∫ ∫ 5、如果
f ( x)dx = 1 + C,则
f (e− x ) dx =
x2
ex
6、 ∫
1 dx = 3x −1
dx
35、 ∫
arcsin x x(1 − x)
dx
∫ 37、
3 + 2 tan x cos2 x dx
∫ 39、 9 − x 2 dx
∫ 41、
1 dx
x2 1+ x2
12、
∫
(2
2 + x)
x
dx
∫ 14、
sin 2x dx
1 − cos2 x
16、
∫
arctan (1+ x)
x dx
x
18、 ∫
)。
（A） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 24
（C）
x2(1
−
1 ln
x) + c
42
二、填空题
（B） x 2 ( 1 + 1 ln x) + c 42
（D）
x2(1
−
1 ln
x) + c
24
∫ 1、设 f (x) 的一个原函数是 xe−x ,则 xf ′(x)dx =
2、 ∫
f
′(ln x

计算下列不定积分

习题3-11．计算下列不定积分.(1)5x dx ⎰; (2) 2x dx ⎰; (3) 1x e dx +⎰; (4)()cos sin x x dx -⎰;(5)221dx x +⎰; (6); (7) (xedx ⎰;(8)2211sin cos dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (9) 21x +; (10) 23324x xxdx +⎰. 2.已知曲线()y f x =过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为231k x =+,求该曲线方程. 3.已知某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且通过点(e,2),试求此曲线方程.习题3-21. 计算下列不定积分.(1)()921x dx -⎰; (2) ; (3); (4)21xdx x +⎰; (5)2ln xdx x ⎰; (6)θ; (7)2x xe dx -⎰; (8)x x dx e e -+⎰.2.求下列不定积分.(1)2; (2) ;(3)(4)2e⎰;3. 求下列不定积分. (1) 6x xe dx -⎰; (2)()ln ln x dx x ⎰; (3) arctan xdx ⎰;(4)2ln xdx ⎰; (5) 3sec xdx ⎰; (6) 2sin x e xdx ⎰; 4.求下列不定积分.(1); (2) ()()21f x dx f x '+⎰;(3); (4) ⎰.5.一物体由静止开始作直线运动,在 t 秒时的速度为32/t m 秒,问:(1) 3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 需要多长时间走完1000米？6．在平面上有一运动着的质点，如果它在 x 轴方向和y 轴方向的分速度分别为5sin x u t =和2cos y u t =,且0|5t x ==,0|0t y ==,求:(1) 时间为t 时,质点所在的位置; (2) 运动的轨迹方程.习题3-31．利用定积分的定义证明badx b a =-⎰.2.用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1)()1021x dx +⎰;(2) 0⎰; (3)sin xdx ππ-⎰.3.不计算积分,比较下列各组内定积分的大小. (1)1xdx ⎰,12x dx ⎰; (2)1xe dx ⎰,21x edx ⎰.4.利用定积分的性质估计下列积分值的范围. (1) ()314x x dx -⎰; (2)22xxe dx -⎰.习题3-41. 求下列函数的导数. (1) ()0F x =⎰: (2) ()sin cot xxF x xdx -=⎰.2. 求下列函数的极限.(1) 11sin lim1cos xx tdtxππ→+⎰;(2) 02limx x →⎰.3. 计算下列定积分. (1)21x xe dx ⎰; (2)cos 44x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (3)1ln 2ex dx x⎰; (4) 120100dxx +⎰; (5)420tan cos xdx xπ⎰;(6)41dx ⎰. 4.设()21x f x x +≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 当x 1时,1 当x>1时,2求()20f x dx ⎰.5. 一汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度1.8a =-2/米秒刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过多少距离?1. 计算下列定积分.(1)1-⎰;(2) 1⎰; (3)⎰;(4)1;(5)94⎰; (6) ()12121dxx -+⎰;(7)(222x --⎰.2.计算下列定积分. (1) 2130x x e dx ⎰; (2)31ln xdx ⎰; (3)20cos x e xdx π⎰.(4)()1sin ln ex dx ⎰.3. 设()f x 在[],a b 上连续,证明()()bbaaf a b x dx f x dx +-=⎰⎰.4.设函数()f x 以T 为周期,试证明()()0a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰ (a 为常数).5.试证明()()()baxf x dx bf b f b '''=--⎡⎤⎣⎦⎰()()af a f a '-⎡⎤⎣⎦.1．求下列平面图形的面积。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1 即 − 1 + C 2 = − + C1 , 2 1 2 lim ( x + C 3 ) = lim ( x + C 2 ) x →1 2 x →1 1 即 + C3 = 1 + C2 , 2
+ −
联立并令 C1 = C ,
1 可得 C 2 = ＋C , C 3 = 1 + C . 2
1 2 − 2 x + C , x < −1 1 故 ∫ max{1, x }dx = x + + C , − 1 ≤ x ≤ 1. 2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1
注意某些初等函数的原函数不是初等函数
1 sin x 如 e dx ∫ ∫ x dx ∫ ln x dx 俗称“积不出来” 俗称“积不出来”
± x2∫Leabharlann 1 dx 4 1+ x
二、典型例题
2x 3x 例1 求 x ∫ 9 − 4x dx.
解
3 3x 3x 令( )x = t d( ) ( ) 1 dt 2 1 2 2 dx = 原式= ∫ 3 ∫ t2 −1 3 2x 3 ∫ 3 2x ln ( ) −1 ln ( )2 x − 1 2 2 2 2
反、对、幂、指、三
排序在后者优先进入积分号
9、几种特殊类型函数的积分（1）有理函数的积分）
待定系数法化有理真分式为部分分式待定系数法化有理真分式为部分分式
四种类型最简分式的不定积分
1 ∫ x − a dx Ax + B ∫ x 2 + px + qdx 1 ∫ ( x − a )m dx Ax + B ∫ ( x 2 + px + q )m dx
3.双曲函数代换如f ( x ) = a + x , 令x = a sinh t .
2 2
4.倒置代换
1 令x = . t
5.根式代换根式代换
ax + b ax + b 被积式如含 n 则令 t = n cx + d cx + d ax b n ax + b 被积式如含 m + , cx + d cx + d ax + b 则令 t = k k = LCM {m , n} cx + d
解二分子分母同乘以 xn−1
x n −1 1 ∫ x( x n + a )dx = ∫ x n ( x n + a ) dx 1 1 dx n = ∫ n n n x ( x + a) 1 1 dt = ∫ n t (a + t )
令t = x
n
1 1 1 1 t = ∫ [ t − t + a ]dt = na ln t + a + C na
6.指数代换指数代换
被积式如含 a x 通常可令 t = a x
8、分部积分法
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx ∫ udv = uv − ∫ vdu
分部积分公式
的有效方法:ILAET选择法选择 u、v 的有效方法:ILAET选择法
I----反三角函数； L----对数函数 I----反三角函数； L----对数函数；对数函数；反三角函数 A----代数函数；代数函数； E----指数函数；指数函数；代数函数指数函数 T----三角函数；三角函数；三角函数哪个在前哪个选作u. 哪个在前哪个选作
2 2
[ [
]
2
] ]
2
= x [ln( x +
1 + x )] − 2 ∫ ln( x +
2
1 + x )d ( 1 + x )
2 2
= x ln( x + 1 + x ) − 2 1 + x 2 ln( x + 1 + x 2 )
2
[
]
2
+ 2∫ 1 + x
2
= x ln( x + 1 + x ) − 2 1 + x 2 ln( x + 1 + x 2 ) + 2 x + C
有递推公式
（2）三角函数有理式的积分）
2u 1− u2 2 ∫ R(sin x,cos x)dx =∫ R 1+ u2 ,1+ u2 1+ u2 du
（3）简单无理函数的积分）
讨论类型
R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , n ) cx + e
作代换去掉根号．解决方法作代换去掉根号．
2
[
]
1 dx 2 1+ x
2
解二
作双曲代换
令 t = ln( x + 1 + x2 ) = ar sinh x
∫[
= ∫ t 2d sinh t ln( x + 1 + x ) dx
= x2 − 1 1 + arccos + C x x
x
t 1
x −1
2
例5
求 ∫ xarctan xln(1 + x2 )dx.
2
解 Q ∫ x ln(1 + x 2 )dx = 1 ∫ ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 )
1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2
= x2 − 1 1 − arcsin + C . x x
解二
令 x = sec t
sec t + 1 x +1 ∫ x2 x2 −1dx = ∫ sec2 t tan t sec t tan tdt sec t + 1 dt = ∫ (1 + cos t)dt =∫ sec t
= t + sin t + C
解四
凑微分
∫ x( x n + a )dx
1
1 = ∫ n+1 dx −n x (1 + ax )
1 xn 1 ln n +C = − ln(1 + ax − n ) + C = na x + a na 例7 ax{ 求 ∫ m 1, x }dx.
解
设 f ( x ) = max{1, x },
− x , x < −1 则 f ( x ) = 1 , − 1 ≤ x ≤ 1, x , x >1 Q f ( x )在( −∞ ,+∞ )上连续 , 则必存在原函数 F ( x ).
1 xn ln n = +C na x + a
解三倒代换
1 令 x= t 1 t n+1 − 1 ∫ x( x n + a )dx = ∫ 1 + at n ⋅ t 2 dt
1 t n −1 = − ln(1 + at n ) + C = −∫ n dt na 1 + at xn 1 ln n = +C na x + a
3、积分法：三法一表、积分法：
基本积分表分项积分法换元积分法分部积分法
4、基本积分表（24个公式）基本积分表（24个公式）个公式 5、直接积分法（分项积分法）直接积分法（分项积分法） 6、第一类换元法（凑微分法）第一类换元法（凑微分法）凑微分法的主要思想：凑微分法的主要思想：
将不同的部分——中间变量与积分变量中间变量与积分变量—— 将不同的部分中间变量与积分变量变成相同，使之能套用基本积分公式。变成相同，使之能套用基本积分公式。此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，此时要求熟悉并牢记一些基本的微分公式，并善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。善于从被积表达式中拼凑出合适的微分因子。
常见类型: 常见类型:
1. f ( x
n+1 +
) x dx;
n
f (ln x ) 3. dx; x
5. f (sin x ) cos xdx;
f ( x) 2. dx; x 1 f( ) x 4. 2 dx; x
6. f ( a )a dx; f (arctan x ) 8. dx; 2 1+ x
1 = [(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ] arctan x 2 1 x2 − ∫ [ln(1 + x 2 ) − ]dx 2 2 1+ x
1 = arctan x[(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 − 3] 2 x x 2 − ln(1 + x ) + + C . 2 2
1 2 − 2 x + C 1 , x < −1 F ( x ) = x + C 2 , − 1 ≤ x ≤ 1. 1 x 2 + C3 , x > 1 须处处连续，又 Q F ( x )须处处连续，有 2 1 2 lim+ ( x + C 2 ) = lim− ( − x + C1 ) x → −1 x → −1 2
习
题
课
一、主要内容
原函
选择 u 有效方法
数
不定积分
直接积分法

不定积分习题

合集下载