不定积分 计算题

二重积分不定积分的计算例题二重积分和不定积分都是微积分中的重要内容。

二重积分用于计算平面区域上的面积或质量，而不定积分则用于计算函数的原函数。

在本文中，我们将介绍一些关于二重积分和不定积分的计算例题，并帮助读者更好地理解这两个概念的应用。

首先，让我们来看一个二重积分的例题。

假设我们需要计算函数 f(x, y) = 2x + 3y 在矩形区域 R = [1, 3] × [2, 4] 上的积分。

首先，我们需要确定积分的顺序。

在这个例子中，我们可以选择先对 y 进行积分，再对 x 进行积分，也可以选择先对 x 进行积分，再对 y 进行积分。

假设我们选择先对 x 进行积分，则积分的计算公式为：R f(x, y) dA = ∫[2, 4] ∫[1, 3] (2x + 3y) dx dy接下来，我们可以依次计算内层积分和外层积分。

首先计算内层积分：∫[1, 3] (2x + 3y) dx = [x^2 + 3xy] [1, 3] = (9 + 9y) - (1 + 3y) = 8 + 6y然后，计算外层积分：∫[2, 4] (8 + 6y) dy = [8y + 3y^2/2] [2, 4] = (32 + 24) - (16+ 12) = 28因此，函数 f(x, y) = 2x + 3y 在矩形区域 R 上的积分为 28。

接下来，让我们来看一个不定积分的例题。

假设我们需要计算函数F(x) = ∫(3x^2 + 2x + 1) dx 的原函数。

为了计算原函数，我们可以使用不定积分的基本公式和性质。

对于多项式的不定积分，我们可以逐项求积分。

因此，原函数 F(x) 的计算过程如下：F(x) = ∫(3x^2 + 2x + 1) dx = ∫3x^2 dx + ∫2x dx + ∫1 dx = x^3 + x^2 + x + C其中，C 是积分常数。

因此，函数 F(x) = x^3 + x^2 + x + C 是函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 的一个原函数。

第三讲 不定积分一、 考试内容与要求1 概念与性质（1）原函数 '=∈F x f x x I ()(), （2）不定积分f x dx F x C()()=+⎰（3）性质：1) ⎰+='Cx f dx x f )()(或⎰+=C x f x df )()(2)ddxf x dx f x (())()⎰=或⎰=dxx f dx x f d )()(一般地，d df x f x C()()⎰⎰=+3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( 4) ⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([(4) 基本积分公式表：2 基本积分公式表3 求不定积分的基本方法(1) 第一换元积分法f x x dx f x d x f u du F u C F x C[()]()[()]()()()[()]ϕϕϕϕϕ'===+=+⎰⎰⎰常用“凑”微分公式： (2) 第二换元积分法f ax b ()+ 根式代换f a x ()22-, f a x ()22+ , f x a ()22- 三角代换 t x=1 倒代换注：e t x t x t x ===,ln ,arcsin (3) 分部积分法uv dx udv uv vdu '==-⎰⎰⎰常用分部积分法：P x e dx P x axdx n kx n (),()sin ⎰⎰ P x xdx P x xdx n n ()ln ,()arcsin ⎰⎰ e bxdx ax sin ⎰ (4)* 有理函数的积分:四种类型(5)* 三角有理函数的积分:① ⎰⎰==du u R xdx x R ux )(cos )(sin sin② ⎰⎰-==du u R xdxx R ux )(sin )(cos cos③ ⎰⎰+++==2222tan 221),11,1()tan ,cos ,(sin udu u uuuR dx x x x R ux④ ⎰⎰++-+==22222tan12)11,12()cos ,(sin uduuu uu R dx x x R x u注： 含有三角函数的偶次幂，一般应先降幂。

第一节 不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：1．dx x ⎰22．dx x⎰13．设曲线通过点()2,1，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．dx x ⎰31 5．dx xx ⎰1 6．()dx xx 52-⎰ 7．dx x x ⎰28．()dx xx ⎰-231 9．()dx x e x⎰-cos 3 10．dx e xx ⎰2 11．dx x ⎰2tan12．dx x⎰2sin213．dx x x ⎰2cos 2sin 12214．dx x x x ⎰+++132224 15．dx x x x ⎰--12224 习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）C x x dx x +++=+⎰)1ln(1122（2）C xx dx x x+-=-⎰111222（3）C x x dx x x x +++=++⎰11arctan )1)(1(22 （4）C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec （5）C x x x dx x x ++=⎰cos sin cos（6）C x x dx x e x+-=⎰)cos (sin 21sin 2．求下列不定积分（1）dx x⎰31（2）dx x x ⎰（3）⎰xdx （4）dx x x ⎰32（5）⎰xx dx2（6）dx x mn ⎰（7）dx x ⎰35 （8）dx x x ⎰+-)23(2（9）⎰ghdx 2（g 是常数） （10）()dx x⎰+221（11）()()d x x x ⎰-+113 （12）⎰xx dx 2（13）dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32 （14）dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+221213 （15）dx xe e xx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 （16）dx e xx ⎰3 （17）dx xxx ⎰⋅-⋅32532 （18）()dx x x x ⎰-tan sec sec （19）dx x ⎰2cos2（20）⎰+x dx 2cos 1 （21）dx x x x ⎰-sin cos 2cos （22）dx xx x⎰22sin cos 2cos （23）dx x ⎰2cot （24）()dx ⎰θ+θθsec tan cos（25）dx x x ⎰+122 （26）dx x x x ⎰++123234 3．一曲线通过点()3,2e ，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．4．证明函数)12arcsin(-x 、)21arccos(x -和x x-1arctan 2都是21xx -的原函数．第二节 换元积分法例题求下列不定积分1、dx x ⎰2cos 2 2、dx x ⎰+2313、dx x x ⎰+32)2( 4、dx xe x ⎰225、dx x x ⎰-21 6、dx x a ⎰+2217、dx x a ⎰-221 8、dx x a ⎰-2219、dx x x ⎰+)ln 21(1 10、dx xe x⎰311、dx x ⎰3sin 12、dx x x ⎰52cos sin13、dx x ⎰tan 14、dx x ⎰2cos15、dx x x ⎰42cos sin 16、dx x ⎰6sec17、dx x x ⎰35sec tan 18、dx x ⎰csc19、dx x ⎰sec 20、dx x x ⎰sin 3cos 21、dx x a ⎰-22 22、dx ax ⎰+22123、dx a x ⎰-221 24、dx x x a ⎰-422 25、⎰+942x dx 26、⎰-+21xx dx27、()dx x xx ⎰+-22322练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）=dx )(ax d ； （2）=dx )37(-x d ；（3）=xdx )(2x d ； （4）=xdx )5(2x d ； （5）=xdx )1(2x d -； （6）=dx x 3 )43(2-x d ；（7）=dx e x 2 )(2xe d （8）dx e x 2-= )1(2x e d -+（9）=dx 23sin )23(cos x d （10）=xdx )ln 5(x d （11）=xdx)ln 53(x d -（12）=+21x dx )3(arctan x d （13）=-21xdx)arcsin 1(x d -（14）=-21x xdx )1(2x d -2、求下列不定积分（1）dt e t⎰5 （2）dx x ⎰-3)23(（3）⎰-x dx 21 （4）⎰-332x dx（5）dx e ax bx⎰-)(sin （6）dt tt ⎰sin（7）dx xex ⎰-2（8）dx x x ⎰)cos(2（9）dx xx⎰-232 （10）dx x x ⎰-4313 （11）dxx x x ⎰+++5212 （12）dt t t ⎰ϕ+ωϕ+ω)sin()(cos 2 （13）dx x x ⎰3cos sin （14）dx x x xx ⎰-+3cos sin cos sin（15）dx x x ⎰⋅210sec tan （16）⎰x x x dxln ln ln（17）⎰-221)(arcsin xx dx（18）dx xx ⎰-2arccos 2110（19）⎰+⋅+2211tan x xdxx （20）dx x x x ⎰+)1(arctan （21）dx x x x⎰+2)ln (ln 1 （22）⎰x x dx cos sin （23）dx xx x ⎰sin cos tan ln （24）dx x ⎰3cos （25）dt t ⎰ϕ+ω)(cos 2（26）dx x x ⎰3cos 2sin（27）dx x x ⎰2cos cos （28）dx x x ⎰7sin 5sin（29）dx x x ⎰sec tan 3（30）⎰-+x x e e dx（31）dx xx⎰--2491 （32）dx x x ⎰+239 （33）⎰-122x dx （34）⎰-+)2)(1(x x dx（35）dx x x x ⎰--22 （36）⎰-222xa dx x（37）⎰-12x x dx （38）⎰+32)1(x dx（39）dx x x ⎰-92 （40）⎰+xdx 21 （41）⎰-+211xdx （42）⎰-+21xx dx（43）dx x x x ⎰++-3212 （44）dx x x ⎰++223)1(1第三节 分部积分法例题 求下列不定积分1、dx x x ⎰cos2、dx xe x⎰3、dx x x ⎰ln4、dx x ⎰arccos5、dx x x ⎰arctan6、dx x e x⎰sin7、dx x ⎰3sec 8、dx e x⎰练习 求下列不定积分（1）⎰xdx x sin （2）dx x ⎰ln（3）dx x ⎰arcsin （4）dx xe x⎰-（5）dx x x ⎰ln 2（6）dx x e x ⎰-cos（7）dx x ex⎰-2sin 2 （8）dx x x ⎰2cos（9）dx x x ⎰arctan 2 （10）dx x x ⎰2tan（11）dx x x ⎰cos 2（12）dt te t ⎰-2（13）dx x ⎰2ln （14）dx x x x ⎰cos sin（15）dx x x ⎰2cos 22 （16）dx x x ⎰-)1ln( （17）dx x x ⎰-2sin )1(2（18）dx xx⎰23ln（19）dx e x ⎰3（20）dx x ⎰ln cos（21）dx x ⎰2)(arcsin （22）dx x e x ⎰2sin（23）dx x x ⎰2ln （24）dx ex ⎰+93其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、dx x x x ⎰+-+6512 2、dx x x x x ⎰++++)1)(12(223、dx x x x ⎰---)1)(1(32 4、dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 5、dx x x ⎰-16、⎰++321x dx 7、dx x x x ⎰+11练习：（1）dx x x ⎰+33（2）dx x x x ⎰-+-103322 （3）dx x x x ⎰+-+5212 （4）⎰+)1(2x x dx（5）dx x ⎰+133 （6）dx x x x ⎰-++)1()1(122 （7）⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx（8）dx xx x x ⎰--+3458 （9）⎰++))(1(22x x x dx（10）dx x ⎰-114（11）⎰+++)1)(1(22x x x dx （12）dx x x ⎰++)1()1(22（13）dx x x x ⎰++--222)1(2（14）⎰+x dx 2sin 3 （15）⎰+x dx cos 3 （16）⎰+x dxsin 2 （17）⎰++x x dx cos sin 1 （18）⎰+-5cos sin 2x x dx（19）⎰++311x dx（20）dx x x ⎰+-11)(3（21）dx x x ⎰++-+1111 （22）⎰+4x x dx （23）x dx x x ⎰+-11 （24）⎰-+342)1()1(x x dx本章复习题计算下列不定积分：1、⎰-x dx cos 452、⎰+942x x dx 3、dx x x ⎰+2)43(4、dx x ⎰4sin5、⎰-942x dx 6、dx x x ⎰++52127、dx x ⎰+9228、dx x ⎰-2329、dx x e x⎰cos 210、dx x x ⎰2arcsin11、⎰+22)9(x dx 12、⎰x dx 3sin 13、dx x e x ⎰-3sin 214、dx x x ⎰5sin 3sin 15、dx x ⎰3ln 16、dx xx ⎰-117、dx x ⎰+22)1(118、dx x x ⎰-11219、dx x x ⎰+2)32(20、dx x ⎰6cos 21、dx x x⎰-22222、dx x ⎰+cos 52123、⎰-122x x dx24、dx x x ⎰+-1125、dx x x x ⎰--+125226、⎰-+21x x xdx27、dx x x ⎰+2442528、⎰--x x e e dx 29、dx x x⎰-3)1(30、dx x a x ⎰-66231、dx x x x ⎰++sin cos 1 32、dx x x ⎰ln ln33、dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 34、dx x ⎰4tan 35、⎰+)4(6x x dx 36、dx x a x a ⎰-+37、⎰+)1(x x dx 38、dx x x ⎰2cos 39、⎰+xedx 140、⎰-122x xdx41、⎰+)1(24x x dx 42、dx x x ⎰sin 43、dx x ⎰+)1ln(244、dx x x ⎰32cos sin 45、dx x ⎰arctan46、dx x x ⎰+sin cos 147、dx x x ⎰+283)1(48、dx x x x ⎰++234811 49、⎰-416x dx 50、dx x x ⎰+sin 1sin 51、dx x x x ⎰++cos 1sin 52、dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 53、dx x x x x⎰+)(3354、⎰+2)1(x e dx 55、dx e e e e x x x x ⎰+-+124356、dx e xe x x⎰+2)1( 57、dx x x ⎰++)1(ln 2258、⎰+32)1(ln x x 59、dx x x ⎰-arcsin 1260、dx xx x ⎰-231arccos61、dx x x ⎰+sin 1cot 62、⎰x x dx cos sin 363、⎰+x x dxsin )cos 2(64、dx x x x x ⎰+cos sin cos sin65、dx x x ⎰-)1(12。

不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题 一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（ ） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为 （ ） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则⎰=dx )x 2(f （ ）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。

大学微积分中的积分计算题微积分是数学的重要分支之一，是描述变化与积累的工具。

在大学微积分学习过程中，积分计算题是其中的重要部分。

通过解答这些积分计算题，可以加深对积分的理解，并培养解决实际问题的数学思维能力。

本文将以解析法为主，介绍常见的积分计算题的求解方法。

1. 不定积分计算题不定积分是求解函数原函数的过程，即反求导。

下面通过实际例题来展示不定积分的求解方法。

例题1：计算∫(6x^2 + 4x - 5)dx解析：根据不定积分的线性性质，我们可以将原函数分别对每一项进行积分。

∫(6x^2 + 4x - 5)dx = ∫6x^2dx + ∫4xdx - ∫5dx积分得到：2x^3 + 2x^2 - 5x + C其中，C为常数。

2. 定积分计算题定积分是求解函数在给定区间上的积分结果。

它可以表示曲线下的面积、物理中的质量、功等。

下面通过实际例题来展示定积分的求解方法。

例题2：计算∫[0, 2] (4x^2 - 2x)dx解析：根据定积分的性质，我们可以通过积分区间上限和下限的差值，对每一项进行积分。

∫[0, 2] (4x^2 - 2x)dx = [∫4x^2dx - ∫2xdx] |[0, 2]积分得到：[(4/3)x^3 - x^2] |[0, 2]代入上限和下限：[(4/3)(2)^3 - (2)^2] - [(4/3)(0)^3 - (0)^2]化简得：8/3 - 4/3 = 4/33. 部分积分法计算题部分积分法也称为莱布尼茨公式，用于解决乘积函数的积分问题。

下面通过实际例题来展示部分积分法的求解方法。

例题3：计算∫xsin(x)dx解析：根据部分积分公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，我们可以将积分项拆分。

选取 u(x) = x，v'(x) = sin(x)则 u'(x) = 1，v(x) = -cos(x)应用部分积分公式进行求解：∫xsin(x)dx = -xcos(x) - ∫(-cos(x))dx化简得：-xcos(x) + sin(x) + C其中，C为常数。

第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为dxx x d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。

二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ]4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。

（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。

（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。

(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。

计算题（共 200 小题） 1、⎰⎰+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、⎰'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、.d x x ⎰求4、.)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ⎩⎨⎧>≤= 5、已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、.d x x ⎰求　7、⎰-233d x x 求　8、 .,d 2是常数其中求　a x x a ⎰9、.0,,d >⎰a a x e a x x 是常数其中求　10、.d tan csc 22x x x ⋅⎰求11、⎰⋅x x x d cot sec 22求 12、⎰+22d x x 求　13、⎰+82d 2x x求　14、⎰-9d 2x x 求　15、⎰-.63d 2x x 求　16、 ⎰+232d x x 求　17、.d 2432x xx x ⎰-求 18、x x x d ⎰⋅求　19、.d )1(23x x x ⎰+求　20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求　b a x x b x a ⎰+ 21、⎰x x d cot 2求22、.d 11)(3x x x ⎰++求　23、.d x x x x ⎰求　24、⎰+.d )arccos (arcsin x x x 求　25、[].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ⎰+++求 26、⎰⋅.d 2sin 22x x 求 27、⎰.d 2cos 22x x 求 28、.d sin 1sin 423x x x ⎰-求　29、⎰+.d )32(2x x x 求 30、.d 3273x x x ⎰--求　31、.d 22222x x x x ⎰-+-求 32、⎰---.d )31)(21)(1(x x x x 求 33、x x x x d )1(21222⎰++求　34、.d 323x xx e x x x ⎰+-求 35、.d )1()1(22x x x x ⎰++求　36、⎰+.d )sec (tan 22x x x 求　37、.d )csc (cot 22x x x +⎰求 38、.d sin sin 2222⎰+x xx x x 求 39、.d 122x xx ⎰+求40、⎰-.d 122x x x 求 41、.d 1322x x x ⎰-+求 42、.d 111422x x x x ⎰--++求　43、 .d 111422x x x x ⎰---+求44、 .d 2cos 1sin 12x xx ⎰-+求 45、.d 1cos sin 122x x x ⎰--求 46、.d cos sin d 22x xx x ⎰求 47、 ⎰++.d 2cos 1cos 12x xx 求 48、.d sin cos 2cos x xx x ⎰-求 49、 ).20(d 2sin 1π≤≤+⎰x x x 求 50、x xx x d sin cos 2cos 22⎰求 51、 ⎰+x x x 2sin 2cos d 求 52、求⎰++++x xx x x x d 13323。

习题3-11． 计算下列不定积分.(1)5x dx ⎰; (2) 2x dx ⎰; (3) 1x e dx +⎰; (4)()cos sin x x dx -⎰;(5)221dx x +⎰; (6); (7) (xedx ⎰;(8)2211sin cos dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (9) 21x +; (10) 23324x xxdx +⎰. 2.已知曲线()y f x =过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为231k x =+,求该曲线方程. 3.已知某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且通过点(e,2),试求此曲线方程.习题3-21. 计算下列不定积分.(1)()921x dx -⎰; (2) ; (3); (4)21xdx x +⎰; (5)2ln xdx x ⎰; (6)θ; (7)2x xe dx -⎰; (8)x x dx e e -+⎰.2.求下列不定积分.(1)2; (2) ;(3)(4)2e⎰;3. 求下列不定积分. (1) 6x xe dx -⎰; (2)()ln ln x dx x ⎰; (3) arctan xdx ⎰;(4)2ln xdx ⎰; (5) 3sec xdx ⎰; (6) 2sin x e xdx ⎰; 4.求下列不定积分.(1); (2) ()()21f x dx f x '+⎰;(3); (4) ⎰.5.一物体由静止开始作直线运动,在 t 秒时的速度为32/t m 秒,问:(1) 3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 需要多长时间走完1000米？6．在平面上有一运动着的质点，如果它在 x 轴方向和y 轴方向的分速度分别为5sin x u t =和2cos y u t =,且0|5t x ==,0|0t y ==,求:(1) 时间为t 时,质点所在的位置; (2) 运动的轨迹方程.习题3-31．利用定积分的定义证明badx b a =-⎰.2.用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1)()1021x dx +⎰;(2) 0⎰; (3)sin xdx ππ-⎰.3.不计算积分,比较下列各组内定积分的大小. (1)1xdx ⎰,12x dx ⎰; (2)1xe dx ⎰,21x edx ⎰.4.利用定积分的性质估计下列积分值的范围. (1) ()314x x dx -⎰; (2)22xxe dx -⎰.习题3-41. 求下列函数的导数. (1) ()0F x =⎰: (2) ()sin cot xxF x xdx -=⎰.2. 求下列函数的极限.(1) 11sin lim1cos xx tdtxππ→+⎰;(2) 02limx x →⎰.3. 计算下列定积分. (1)21x xe dx ⎰; (2)cos 44x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (3)1ln 2ex dx x⎰; (4) 120100dxx +⎰; (5)420tan cos xdx xπ⎰;(6)41dx ⎰. 4.设()21x f x x +≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 当x 1时,1 当x>1时,2求()20f x dx ⎰.5. 一汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度1.8a =-2/米秒刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过多少距离?1. 计算下列定积分.(1)1-⎰;(2) 1⎰; (3)⎰;(4)1;(5)94⎰; (6) ()12121dxx -+⎰;(7)(222x --⎰.2.计算下列定积分. (1) 2130x x e dx ⎰; (2)31ln xdx ⎰; (3)20cos x e xdx π⎰.(4)()1sin ln ex dx ⎰.3. 设()f x 在[],a b 上连续,证明()()bbaaf a b x dx f x dx +-=⎰⎰.4.设函数()f x 以T 为周期,试证明()()0a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰ (a 为常数).5.试证明()()()baxf x dx bf b f b '''=--⎡⎤⎣⎦⎰()()af a f a '-⎡⎤⎣⎦.1．求下列平面图形的面积。

微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算⎠⎜⎜⎛24x-912x ²-9x+35dx 。

解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(12x ²-9x+35)'=24x-9，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式⎠⎜⎜⎛dx x =lnx+c 来变形计算。

⎠⎜⎜⎛24x-912x ²-9x+35dx =⎠⎜⎜⎛d(12x ²-9x)12x ²-9x+35=⎠⎜⎜⎛d(12x ²-9x +35)12x ²-9x+35=ln|12x ²-9x+35|+C 。

2.计算⎠⎛(8x ²-27)²dx .解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即： ⎠⎛(8x ²-27)²dx =⎠⎛(8²x ⁴-432x ²+27²)dx ,=⎠⎛8²x ⁴dx-⎠⎛432x ²dx+⎠⎛27²dx,=15*8²x ⁵-144x ³+27²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：⎠⎛(8x ²-27)²dx =(8x ²-27)²x-⎠⎛xd(8x ²-27)²，=(8x ²-27)²x-4*8⎠⎛x ²(8x ²-27)dx ，=(8x ²-27)²x-4*8⎠⎛(8x ⁴-27x ²)dx ，=(8x ²-27)²x-4*8²⎠⎛x ⁴dx+4*8*27⎠⎛x ²dx,=(8x ²-27)²x-45*8²x ⁵+2*144x ³+C 。

3.积分⎠⎜⎜⎛dx (x ²-34x+536)的计算。

不定积分的计算一、常见不定积分公式的计算22221()1(1)ln .(0)(2)arcsin 1(3)arctan 1111(4)ln (0)22sin (cos )(5)tan cos cos dx d ax b ax b C a ax b a ax b ax d x C a dx x C x a a a dx x adx C a x a a x a x a a x ax d x xdx dx x x +==++≠++⎛⎫ ⎪==+=++-⎛⎫=-=+≠ ⎪--++⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；tan ln cos cos (sin )(6)cot ln sin sin sin sec (sec tan )(sec tan )(7)sec ln sec tan sec tan sec tan (8)csc ln csc cot (9)sec ln sec tan x a ux C x d x xdx dx x C x x x x x d x x xdx dx x x C x x x x xdx x x C udu u u C ==-+===+++===++++=-++==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；；sec sin 2222tan 23ln (10)sec ln sec tan ln 1cos 2(11)cos cos 211sin 2arcsin 222(12)sec sec tan 2x a ux a tx a u x C udu u u C x C ta t a tdt a dt a a x t C C a a a udu u u ===+==++=++=⋅=⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰⎰；；；()()()2sec 222322ln sec tan arcsin 2(13)tan sec sec sec 1sec tan ln sec tan ln .222x a uu u Ca x C aa u udu a u u dua a u u u u C x C =+++=++=⋅=-=-++=-+⎰⎰；32233212sec sec tan sec tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec tan ln sec tan sec .11sec sec tan ln sec tan .22sec d .()(1)sec d ln sec tan sec n n xdx xd x x x x xdxx x x x dx x x x x xdx xdx x x x x C I x x n I x x x x C I x +==-=--=++-=+++=∈==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 【】：因此【】：计算，注例2222222222d tan .(2)3sec d(tan )sec tan (2)sec tan d sec tan (2)sec d (2)sec d sec tan (2)(2).12sec tan .11n n n n n n n n n n n n n x x C n I x x x x n x x x x x n x x n x x x x n I n I n I x x I n n ---------=+≥==--⋅=--+-=--+--=+--⎰⎰⎰⎰⎰当时，因此二、常见的“凑微分”公式：22222221d (1)d d()(2)e d d(e )(3)d(ln )111(4)d d()d()d()222(5)sin d d(cos )(6)cos d d(sin )(7)sec d d(tan )(8)sec tan d d(sec )d (9)d(arctan )(10)d(arcsin 1x x xx ax b x x a x x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x x x=+====±=--=-=====+；；；；；；；；；222).d x x x =====-，【】：实际上，所谓常见的“凑微分”公式就是简单的积分公式.注三、不定积分中常见的积分变换2222.2(1)(2)sin cos (3)tan sec (4)sec sec tan 2(5)ln(1)1(6)u b u u x dx du a a x a u dx a udu x a u dx udu x a u dx a u udu uduu x u dx u -===========-=-在计算不定积分时，有一个宗旨就是“有根号去根号”：，则：；，则：；，则：；，则：；，则：，常见的积分变换222222().()11(7).du b ad bc u u x dx du a cu a cu x dx du u u--===--==-，则：倒数变换：令，则：【】：其实，换元法就是将被积函数中不熟悉的、复杂的转化为熟悉的和简单的再进行计算；一个基本原则是“有根号去根号”，将反三角函数通过变量代换化为三角函数等.积累一些常见函数的不定积分及不定积分的计算方法，对于不定积分的学习会有很大的帮助.注 四、 典型例题选讲【例题1】：e cos d e sin d .ax ax I bx x J bx x ==⎰⎰计算和()2222222211e cos cos (e )e cos e sin 11e cos sin (e )e cos e sin e cos .1e cos e cos sin .1e sin e sin cos ax axax ax ax axax ax ax axax ax axb I bxdx bxd bx bxdx a a a b b b bx bxd bx bx bxdx a a a a abxdx a bx b bx C a bbxdx a bx b b a b===+=+=+-=+++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【】：因此同样方法一()()()()()()()()()()()22222222.e cos sin e e d 1e cos sin ()1e cos sin sin cos .11e cos sin e sin cos .ax a ib x a ib xaxaxaxax x C bx i bx x C C a ib a ibbx i bx a ib C a b a bx b bx i a bx b bx C a b I a bx b bx C J a bx b bx C a b a b ++++=+=+++=+-++=++-++=++=-+++⎰【】：因此，；方法二【例题2】222221arctan arctan 1arctan ()(1)1arctan 1arctan 1ln ln(1)ln .221x dx x x I xd dx x x x x x x x x x x x x C C x x x⎛⎫=-=-+=-+- ⎪++⎝⎭=-+-++=-+++⎰⎰⎰【例题3】22.arcsin(21).01sin 2sin cos .2sin cos 2.sin cos C I x C x x u dx u udu u udu I u C C u u ==+=====-+<<====+=+⎰【】：【【】：由于，可设，则：方法一方法二方法三2222222212.1(1)122arctan .(1)u x u udux dx u u u udu I u u C C u u =⋅===+++=⋅⋅=+=++⎰【】：由于，则，方法四【例题422223222222222222221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12211ln(1)ln (1)2(1)4111ln(1)ln ln (1).2214x I x dx x d x d x x x x xdx x x x x x x x x C x x ⎛⎫⎛⎫=++=-++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-+++++=-++++++⎰⎰⎰⎰。

第6章不定积分§ 1不定积分概念和运算法则引入：不定积分问题是微分问题的反问题，积分运算是微分运算的反运算函数的导数求这个函数；从几何上讲已知一条曲线的切线斜率求这条曲线的方程讲已知变速直线运动的瞬时速度求运动方程.一.原函数与不定积分：1 原函数：,即已知一个；从物理例1填空：( 心a ;(1 +x )，=-2cosx ;—(dx)=x2dx=eX —sinX ; d( )=xdx ；( y = arctgx .12, 、[xarctgx—一1 n(1+x )]=arctgx. i、定义1设函数f (x)与F(x)在区间I上都有定义.若F \x)= f (x), I,则称F (x)是f (x)在区间I上的一个原函数.原函数问题的基本内容：存在性，个数,求法.⑴原函数的存在性：连续函数必有原函数. (下章给出证明).可见，初等函数在其定义域内有原函数；若f (x)在区间I上有原函数，则f (x)在区I上有介值性(Darboux定理).⑵原函数的个数：Th 若F(x)是f (x)在区间I上的一个原函数，则对V c —Const, F(x) +c都是f(x)在区间I上的原函数；若G(x)也是f(x)在区间I上的原函数，则必有G(x) = F(x) +c.可见，若f (x)有原函数F(x),则f (x)的全体原函数所成集合为{ F(X)+c I c亡R}. 例2已知F(x)为f(x) =2x的一个原函数，F(2) =5 .求F(x).2不定积分原函数族：定义，不定积分的记法，几何意义.[-x 2dx 1 +x2料dx .dx1例 3 f ------ =arctgx: ;Jx 2dx= — x 3+c .1 + X33不定积分的基本性质：以下设f(x)和g(x)有原函数.(Jf(x)dx ) = f(x), d Jf(x)dx = f (x)dx .(先积后导,形式不变).J f '(x)dx = f(X) + c, fdf(X)= f(X)+ c .(先导后积，多个常数)k H0时，Jkf (x)dx = k Jf(x)dx Kf(X)±g(x))dx= J f (x)dx± Jg(x)dx.由⑶、 ⑷可见，不定积分是线性运算，即对V k 1,k ^ R ,有J [ k i f (x) + k 2g(x)]dx = k i J f (x)dx + k 2 Jg(x)dx.(当k i = k 2 = 0时，上式右端应理解为任意常数 ).1 3J f (2x-1)dx =-x 3 +x + c .求 f(1).3.不定积分基本公式：(f (1)=2 ). [1]P179 公式 1 —14.三.利用初等化简计算不定积分： + a 1x n "1+-" +P(x) =a 0X a^x+a 求 JP(x)dx .『甞1dx 'X 2 +1j x 2 十三)dX.〕.1 +x§ 2换元积分法与分部积分法一. 第一类换元法 ——凑微法：544.4由 d sin 2x =5sin 2xd sin2x=5sin 2x(sin2x)dx=10sin 2xcos2xdx,=J 10sin 4 2xcos2xdx = 5 f sin 4 2x(sin 2x) dx = 5 J sin 4 2xdsin2xu zsin2x=====5ju 4du =u 5+c =sin 52x + c. 引出凑微公式.Thl 若 J f (x)dx = F(x) +c, ♦(x)连续可导，则 J f 忡⑴沖'(t)dt =FW(t)] + c.该定理即为：若函数g(t)能分解为 g(t)= f[*(t)]*'(t),就有Jg(t)dt = J f Z (t)]釈(t)dt = J f[%t)]d 叫t)X 边t)===Jf(x)dx =F(x)+c = F^(t)]+c . f(ax 中b)mdx, m 工 T, a 工0. JseC(5-3x)dx .1J cos3x cos2xdx = ? J (cosx + cos5x) dx10 ⑴ J (10x —10」)1 2dx ； ⑵ J22」e 3心dx.11「cos2x .f^_dxsin xsin x丿12d e co 80si凑法1 1 1=-J (1-cosx)dx =••■ =2(x--s in 2x)2 x^f (x k )dx = 1 f (x k )d(x k)=丄 f (u)du .特别地，有k kf(x 2)xdx =丄 f(x 2)d(x 2)=丄 f (u)du 和 f 电)dx = 2 f (以 d J 匚. 2 2例 9fxsinx 2dx ./= 2 f J 八"==2 arcs in J x + c. JxQ-x) O x TJsin 2xdx + C.dx dx 42X +1‘ x 2 +2x +3 '2+(x+1)2〒a y+ C.dx dx 1 2x +2x-3'(x+3)(x —1)\x —1dx =由例4— 7可见, ⑴ J xdx1+x 2■T nX —1+ c.常可用初等化简把被积函数化为 f(ax +b)型，然后用凑法1.id 10 I z 5 \ /c 、r - — 1 「xd(x )x 14dxx - 2arctg —+c. 2丿凑法例 10 f S ^1 L dx.• T X例11dxf (arctgx)dx = f (arctgx)darctgx = f (u)du .例12dx xdx .2「22 亠汽2)匚二丄心一丄〕dux(x 2 +1) x 2(x 2 +1) 2 x 2(x 2 +1) 2 \u u +1 丿=2lnuu 1 x 2+ c = — ln ——+c.凑法3f (sin x) cos xdx = f (sin x)d sin x = f (u)du;f (cosx)sin xdx = -f (cosx)d cosx = -f (u)du;2f (tgx)sec xdx = f (tgx)dtgx = f13 ⑴ Jsin 3xcosxdx.⑵fsin 3 xdx141 Csecxdx ="■ = —ln1 +sinx 15/sec 6 xdx = J(1 +tg 2X Y d t g 左… 16 2Jtg 5xsec 3 xdx = Jtg 4xsec 2 d secx = J (sec 2 xT ) sec 2 d secx凑法4 f (e x )e x d^ = f (e X )de X = f (u)du..例17 凑法5'2-edxf (ln X)——=f (ln x)d ln x =例18dx'x(1 +2ln x)凑法61+x 2例一肘"J 時皿二譽.== 2Jarctgtdarctgt =(arctgt)2 +c=(arctg 仮)2+c .其他凑法举例：t ------ X zsin t------------J(1 -x 2dx ===刖1 -sin 2td sin t = Jcos 2tdt =例20X _xe -e . -—dxe +e■ d （e J e」）=ln （eJe 」）+c . g X +e 」例21 J 也(xlnfdXn X) ' (xln X)2例222, , rSecx(secx+tgx) , ,sec x + secxtgx ,kecxdx = [ ---- ------ dx = f ------------- dx = secx +tgx = f d (sec x+tg x)=in|secx + tgx|+c . 、secx +tgx 例23,cosx +sin X , U inx -cosxdx .例24f C0S ^5sinXdx .‘ sin X + cosx例251 J 1X 2 dx =+丄2Xd X -- 二 1+2 X丿例26f X -5X +2x+2dx .第二类换元法拆微法:从积分Jcos2tdt 出发,从两个方向用凑微法计算，即=-f(1 +cos2t)dt+ -sin2t +c, 2」2 4引出拆微原理.Th2 设X =W (t)是单调的可微函数拼且W '(t) H 0；又 f[®(t)]®'(t)具有原函数.贝y有 换元公式J f(x)dx = [ J f [化t)W '(t)dt]t 少e常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler 代换等. 我们着重介绍三角代换和无理代换1. 三角代换:的，目的是去掉根号.方法是：令x=as int, (a:>0),则=3 J cos2udu 孕 +4sin 2u +c -予csin 讦一宁 J 2+2x — x2 P⑵正切代换:正切代换简称为“切换”.是针对型如 J a 2+x 2 (aA0)的根式施行的，目的是去掉根号.方法是：利用三角公式sec21 -tg 2t = 1,即1 +tg 2t = sec t,令⑴ 正弦代换：正弦代换简称为“弦换”.是针对型如Ja 2-x 2 (a 》0)的根式施行例27解法 例28例29/ 2 2v a-xf^dxdx =acost, dx=acoSd,t t =(a >0).解法二用弦换.X arc s-hn aJ ； ----- 一 ===舒sintcost dt =2t +c = 2arcsin J x + c .、讥(1 -x) 、sintcost(参阅例11)tN4-------- t='3s inuJ (2 +2x -x 2dx = jj 3-(X - 1)2dx ===== J (3 -t 2dt ----2j 2 2 xX =atgt, dx =asec tdt .此时有 (a +x =asect, t =arctg-. 变量还原时，常用 a所谓辅助三角形法. dx X = J2tgt,有dx = J2sec 2tdt .禾悯例22的结果，并用辅助三角形，有=ln (J x 2+2 + x H c, c =c'-ln J 2.目的是去掉根号.方法是利用三角公式 sec 21 -1 = tg2t,令X = asect,有例30J 2 + x 2I = Jsecd = I nsect+tgt +c'=lnJ x 2 +2 + x+ c'例31dx 」(x 2+a 2)2'a>0.⑶正割代换：正割代换简称为“割换”.是针对型如J x ? - a? (a >0)的根式施行的，例32dx, (a A 0).J x 2 -a 2 dx解口22l x -axHsetc「asecttgtdt=戶 =at gt/sect d 匸 In seC + t g t 中 c'==Inx + J x 2 -a 2 aH a 2中 c, c = c 一 ln I a |.例 33 fdxx\/x^1J x 2 -a 2 =atgt, dx=xsect 寸gtdt.变量还愿时，常用辅助三角形法. 解法一(用割换)I===== f se? tgt dt = fcostdt =sint +c =1 J x 2—1 + c.、sec t tgtx解法二（凑微）参阅[1] P196 E10.无理代换：若被积函数是 阪，坂,…，坂的有理式时，设n 为口（1 < i < k ）的最2.r応.从中解出例36例37 匸严dx. XI x例38 fSinG ,Px.（给出两种解法）例39 J x3J x2-1dx t="x2 -4小公倍数作代换t =坂，有x=t n, dx = nt^dt.可化被积函数为t的有理函数.例34e存H dx.例35 dx X 2 K+ Ktg®(1+t)dt+6Lr=-6 + In 1 -V x J i + c.若被积函数中只有一种根式^/ax + b或n ax+b Vex +e,可试作代换t =W ax + b或dx例425 t?可（t4+t2）dt=L+n+c V（x2—i）J1（x2—i）J c.本题还可用割换计算，但较繁.3.双曲代换：利用双曲函数恒等式ch2x-sh2x = 1,令x = asht,可去掉型如J a2+x2的根式.dx = achtdt.化简时常用到双曲函数的一些恒等式，如:ch2t =1（ch2t+1）, sh2t =1（ch2t —1）, sh2t = 2shtcht. sh」x = ln（x + J x2+1）..---------- x Ysht例40 JV a2 +x2dx = = = = .facht “achtdt = a2Jch2t d t=2 2a a ■—sh2t +——t +c=2=x J a2 +x2 + — In（ X + J a2+ x2）+c.2 2本题可用切换计算，但归结为积分Jsec tdt，该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.例41dxT^x2（例30曾用切换计算过该题.现用曲换计算）. dx，J2 +x2厂L dt = fdt =t + c' =In ” 72cht ，莘+Jd+1 +c'w \ 2丿./ 2 2 V X -a=ln（X + J x2+2）+c.c = c' TnJ2 .例32曾用割换计算过该题.现用曲换计算）.解I 叮asht dt = gt =t +c'=ln、asht倒代换例43■. i2 2 ‘=ln|x +v x -a | +c.=c' -In Ia |.4.倒代换：当分母次数高于分子次数1dx = -pdt.t2dx,且分子分母均为“因式”时，可试用X J x4+ x2d(x2) du2x2J x4+x22u J u2v dt dt5万能代换，応一Ei—1+万能代换常用于三角函数有理式的积分sin X =2si n-cos—22tg|2tx21 _______________________F+c—旦+c.|x|x(参[1]P194).令tg 2 ,就有2 xsec -21+t21 -t2 cosx = ---1+t tg2tdx2dt1+t2'dx例44 f 一dx、1+cosxt =tg-2 解法（用万能代换）1 +t22 dtE—t"dt+c吨弋1+t2规定：斜向乘积带“ + ”是已经积出的函数，横向乘积带“一”是新的被积函数解法二 (用初等化简)I 二1 f —d^ = [sec-d (约=tg x+c .2 '2X ' 2 2 2cos - 2解法三 例45(用初等化简，并凑微), F 1 —cosx 」 r 2 」,dsinx I = f --------- 厂 dx = fcsc X d I ——2—=1-cos 2x " si n 2x1 x=-ctgx + --- + c =cscx -ctgx + c =tg— +c . si nx 2. d O 1+sin +coSx t ztg- 2 1 2 dt ====丰 -------------- 厂 --- 2dt = f -- = In 11 +11 +c='一 2t 1-t 2 1+t 2 't +11+t 21+t 2x =1 n |tg 5 +1| +c .代换法是一种很灵活的方法 .分部积分法: Th 3 (分部积分公式)若u(x)与v(x)可导，不定积分Ju'(x)v(x)dx 存在,则Ju(x)v'(x)dx 也存在 拼有 Ju(x)v(x)dx = u(x)v(x) + fu \x)v(x)dx ,简写为 Juvdx =uv+ Ju'vdx . ▼将分部积分公式进行排列得分部积分算式 求导数 求积分函数介绍使用分部积分公式的一般原则 .1.幕X X 型函数的积分：分部积分追求的目标之一是 取求导，以使该因子有较大简化，特别是能降幕或变成代数函数 函数代替（一般会变繁）,但总体上应使积分简化或能直接积出 使用分部积分法可使“幕”注：分部积分算式可以连续多次使用 ，所有的斜向乘积都是已经积出的函数 ，所带的符号是 先“ + ”后依次交替出现；只有最后的横向乘积才是被积函数 ，其所带符号与前一个 斜向乘积所带的符号相反.2之一求导:对被积函数两因子之一争 .代价是另一因子用其原 .对“幕X ”型的积分，降次 ，或对“ X ”求导以使其成为代数函数.例46Jxin xdx.（幕对搭配） 例47Jxcosxdx.（幕三搭配） 例48 Jxe xdx.（幕指搭配）例49fxe x dx = (X 2 -2x +2)e X +c.求导数求积分（幕指搭配）例50 fe'x dx.例51 Jxar ctgxdX 幂反搭配) 例52Jar cc odx到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来V a +x=x J a 1 +x 2 -1 + a 21 n x + ^^a ^x 2)+5___________ 2 _____________________________解得 I = x V a ^x 2 + ln( X + J a2+x 2) + c-2 2= secxtgx + ln |secx+tgx| - Jsec xdx ,12例 56 Jcos xdx = Jcosxdsin x= cosxsinx + J sin xdx==cosxsin X + X - J cos 2xdx , f cos xdx = — +丄sin2x+c .2 4例53Je xsi rxdx54求I •, = fe axcosbxdx和 I 2 = jeaXsi nbxdx, (aH0).例55I 1 I 2 1 a^ b 1 =-e cos)x + —12, a a 1 ax b =—e si riox 丨仆 a解得I 1 I 2fJ a 2 3+x 2 dx,(a >0).I ^x J a 2 +x 212+2v a + xdx == x J a 2 +x 22,2a +xbs i rbx + ac o bx ax 丄 一 ------------- e + c, 2丄门a +b as i ibx — bc 0bx ax . ----- 2 ------- e + c. a 2 +b 2 解得= secxtgx- ftgxsecxtgxdx2 =secxtgx - J (sec x -1) 3= secxtgx- Jsec xdx+3 1 1解得J sec xdx = - secxtgx + -1n | secx + tgx | +c.§ 3有理函数的不定积分及其应用一有理函数的积分：1.代数知识复习：.例1见教材2.部分分式的积分：例2见教材.二.三角函数有理式的积分：万能代换.见教材.某些无理函数的积分：留为阅读.一些不能用初等函数有限表达的积分：见教材例以及s i rx , dxJe*dx,dx. /——x In X1 1f (ax +b)dx =— f(ax+b)d(ax + b) =— f (u)du.a a3 2例57 Jsec xdx = Jsecx sec xdx= Jsecxdtgx。

不定积分与定积分练习(专升本)一．选择题【 】1. 下列定积分等于0的是：A.121cos x xdx -⎰B.11sin x xdx -⎰ C.11(sin )x x dx -+⎰ D.11()x x e dx -+⎰【 】2. 设0(1)(3)xy t t dt =--⎰，则y '=A .3- B.1- C. 1 D. 3【 】4. 设0<a<b 为连续函数，则=⎰badx xxln A.)ln (ln 2122b a - B. )ln (ln 2122a b - C. b a 22ln ln - D. a b 22ln ln - 【 】5.=⎰-1dx exA. 1-e B. 11--eC. 1--eD. 11--e【 】6. 函数0()xt f x e dt =⎰在（,-∞+∞）内是A 单调减少，曲线为上凹的B 单调减少，曲线为上凸的C 单调增加，曲线为上凹的D 单调增加，曲线为上凸的【 】7. 下列等式中正确的是A.()()df x dx f x dx=⎰ B.()()f x dx f x '=⎰ C.()()df x f x =⎰ D.()()d f x dx f x =⎰【 】8. 已知()f x 的一个原函数为cos xx ，则f dx ＝A.c+ c + C.c + D.c + 【 】9. 设在区间[a,b]上()0,()0,()0f x f x f x '''><>，令1231(),()(),[()()]()2bas f x dx s f b b a s f a f b b a ==-=+-⎰，则A.123s s s <<B.213s s s <<C.312s s s <<D.231s s s <<【 】10. 设()f x 在[2,2]-上连续，则11[(2)(2)]f x f x dx -+-=⎰A 2[()()]f x f x dx +-⎰B22[()()]f x f x dx -+-⎰C201[()()]2f x f x dx +-⎰ D 2[()()]f x f x dx --⎰【 】11. 设0sin ()xtx dt t α=⎰,sin 0ln(1)()x t x dt tβ+=⎰,则当0x →时,()x α是()x β的（ ）A 、高阶无穷小B 、等价无穷小C 、同阶但非等价无穷小D 、低阶无穷小【 】12.=⎰-dx x 115 （ ）A.2-B.1-C.0D.1【 】13. 下列等式中正确的是 【 】14. 设21()x f x dx e c -+=+⎰，则(21)f x dx +=⎰（ ）A ．21x eC -++ B ．21x e C -+-+ C ．4112x e C --+D ．4312x e C -++【 】16. 已知()f x 的一个原函数为2xx e ，则(2)f x dx =⎰（ ）A ．224xx eC + B ．22x x e C + C ．222x x e C +D ．1422xx e C + 【 】17. 设()f x 在[],t t -上连续，则()ttf x dx --=⎰（ ）A ．0B ．()ttf x -⎰C ．02()tf x ⎰ D ．()ttf x --⎰【 】18. 设()x f 为连续函数，且()dt t f x F xx⎰=ln 2)(，则=')(x F()A )(2)(l n 1x f x f x - ()B )2(2)(ln 1x f x f x- ().C )2()(ln x f x f - ().D )2()(ln x f x f +【 】19. 设f(x)为连续函数，则=⎰badx x f dx d )( A. f(b )－f(a) B. f(b) C.－f(a) D.0【 】20. 2a x d dx=⎰A.2xB. 2x -C. 22xD. 22x -【 】21.11x x dx -=⎰A.0B.23 C. 43 D. 23- 【 】22.若函数()f x 满足111()1()2f x x f x dx -=+-⎰，则()f x =A. 13x -B. 12x -C. 12x +D. 13x +【 】23.设区域D 由x=a ，x=b(b ＞a)，y=f(x)，y=g(x) 所围成，则区域D 的面积为：A.[()()]baf xg x dx -⎰B.[()()]baf xg x dx -⎰C.[()()]b ag x f x dx -⎰ D. ()()baf xg x dx -⎰【 】24.曲线(1)(2)(3),y x x x =---(13)x ≤≤与x 轴所围成图形的面积可表示为（ ）A 、31(1)(2)(3)x x x dx ----⎰B 、2312(1)(2)(3)(1)(2)(3)x x x dx x x x dx -------⎰⎰C 、2312(1)(2)(3)(1)(2)(3)x x x dx x x x dx ----+---⎰⎰D 、31(1)(2)(3)x x x dx ---⎰【 】25.【 】25. 下列广义积分发散的是___________.A.211dx x +∞+⎰ B.0ln x dx x +∞⎰C.10⎰D. 0x e dx +∞-⎰【 】26. 下列广义积分收敛的是___________.A.1x e dx +∞⎰B.11dx x +∞⎰C.2114dx x+∞+⎰ D. 1cos xdx +∞⎰【 】27.下列广义积分收敛的是（ ）A.⎰+∞+01x dxB.⎰102x dx C.⎰+∞+02)12(x dxD.⎰-101x dx【 】28.下列广义积分收敛的是___________.A ．221dx x +∞⎰B.21dx x +∞⎰C.2+∞⎰D.21ln dx x +∞⎰ 【 】29.下列积分中不收敛的是（ ）A.211dx x +∞⎰B.11dx x +∞⎰C.10⎰D.211dx x +∞-∞+⎰ 【 】30.设2()x xf x dx ec -=+⎰，则()f x =（ ）A.2x xe - B.2x xe -- C.22x e -- D.22xe -二．填空题1.=⎰--xdx e x sin 222ππ _______________2.=⎰______________3.11(x dx -+=⎰_______________ 4.3(1)xdx x =-⎰______________5.=+⎰dx x x 21arctan . 6.22232[sin()]x x x e dx -+=⎰ . 7.20cos x d x tdt dx=⎰ . 8.sin x xe e dx =⎰ . 9. sin 2(),()1xdtx x tϕϕ'==+⎰10.1e=⎰.11.2sin cos _____________1cos x xdx x=+⎰12. 30x e dx +∞-=⎰.13.=⎰-dx xe x 132. 14.()=+⎰dt t tdxd x3.15.=⎰dx x x e1ln .16.3x =⎰ . 17.12111x dx x -+=+⎰ .18. 0=⎰_____________________.19.已知3()f x dx x c =+⎰，则1(ln )f x dx x=⎰____________________________.20.21x x dxe e+∞-=+⎰_______________. 21.0x xe dx +∞-=⎰ _________________22.121(sin(ln()x x x e dx -++=⎰______________.23.121(x dx -=⎰_________________24. 203sin limx x t dt x →=⎰_________________25.= ________________26.已知()f x 的一个原函数为(1sin )ln x x +，则()xf x dx '=⎰__________________________27.设(0)1,(2)2,(2)3f f f '===，则1(2)x f x dx ''=⎰__________________________28．（11年）dt t t x f x⎰+=arctan )1()(的极小值为29. （11年）dt du u x F xt)1()(02sin 1⎰⎰+=，则22dxFd =_________________________________。

不定积分100道例题及解答摘要：一、引言1.1 积分的概念1.2 不定积分的概念二、不定积分的性质2.1 不定积分的存在性2.2 不定积分的线性性2.3 不定积分的连续性三、不定积分的计算方法3.1 基本积分公式3.2 反常积分3.3 复合函数积分3.4 隐函数积分3.5 参数方程积分四、100 道不定积分例题及解答4.1 例题1-104.2 例题11-204.3 例题21-30...4.10 例题91-100五、结论5.1 不定积分在实际问题中的应用5.2 不定积分的技巧和策略正文：一、引言1.1 积分的概念积分学是微积分学的一个重要分支，它主要研究如何求解一个函数在某一区间上的累积效应。

积分可以形象地理解为“求曲边梯形的面积”，即将函数的图像与坐标轴所围成的曲边梯形面积分解为无数个无穷小的矩形，然后求和得到总面积。

1.2 不定积分的概念不定积分，又称为一元函数的不定积分，是指求解一个函数f(x) 在区间[a, b] 上的原函数F(x)。

原函数F(x) 的导数等于原函数f(x)，即F"(x) =f(x)。

不定积分的目的是找到一个函数F(x)，使得F"(x) = f(x)，并在给定的区间[a, b] 上求解该函数。

二、不定积分的性质2.1 不定积分的存在性根据牛顿- 莱布尼茨公式，几乎所有的连续函数都存在原函数，即具有不定积分。

然而，存在一些特殊的函数，例如非连续函数、含有分段的函数等，它们可能没有不定积分。

2.2 不定积分的线性性不定积分具有线性性，即对于任意的两个函数f(x) 和g(x)，它们的和的不定积分等于各自不定积分的和，即∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x)dx。

2.3 不定积分的连续性如果一个函数在某一区间上连续，那么它的不定积分在该区间上也是连续的。

三、不定积分的计算方法3.1 基本积分公式基本积分公式包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等的积分公式，通过记忆这些公式，可以简化不定积分的计算过程。

不定积分
【考试内容】
一、原函数与不定积分的概念
1．原函数的定义
如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．
例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．
2．原函数存在定理
如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．
简单地说就是，连续函数一定有原函数．
3．不定积分的定义
在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．
如果()F x 是
()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个
原函数． 函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．。