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二重积分不定积分的计算例题二重积分和不定积分都是微积分中的重要内容。
二重积分用于计算平面区域上的面积或质量，而不定积分则用于计算函数的原函数。
在本文中，我们将介绍一些关于二重积分和不定积分的计算例题，并帮助读者更好地理解这两个概念的应用。
首先，让我们来看一个二重积分的例题。
假设我们需要计算函数 f(x, y) = 2x + 3y 在矩形区域 R = [1, 3] × [2, 4] 上的积分。
首先，我们需要确定积分的顺序。
在这个例子中，我们可以选择先对 y 进行积分，再对 x 进行积分，也可以选择先对 x 进行积分，再对 y 进行积分。
假设我们选择先对 x 进行积分，则积分的计算公式为：R f(x, y) dA = ∫[2, 4] ∫[1, 3] (2x + 3y) dx dy接下来，我们可以依次计算内层积分和外层积分。
首先计算内层积分：∫[1, 3] (2x + 3y) dx = [x^2 + 3xy] [1, 3] = (9 + 9y) - (1 + 3y) = 8 + 6y然后，计算外层积分：∫[2, 4] (8 + 6y) dy = [8y + 3y^2/2] [2, 4] = (32 + 24) - (16+ 12) = 28因此，函数 f(x, y) = 2x + 3y 在矩形区域 R 上的积分为 28。
接下来，让我们来看一个不定积分的例题。
假设我们需要计算函数F(x) = ∫(3x^2 + 2x + 1) dx 的原函数。
为了计算原函数，我们可以使用不定积分的基本公式和性质。
对于多项式的不定积分，我们可以逐项求积分。
因此，原函数 F(x) 的计算过程如下：F(x) = ∫(3x^2 + 2x + 1) dx = ∫3x^2 dx + ∫2x dx + ∫1 dx = x^3 + x^2 + x + C其中，C 是积分常数。
因此，函数 F(x) = x^3 + x^2 + x + C 是函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1 的一个原函数。
第三讲 不定积分一、 考试内容与要求1 概念与性质（1）原函数 '=∈F x f x x I ()(), （2）不定积分f x dx F x C()()=+⎰（3）性质：1) ⎰+='Cx f dx x f )()(或⎰+=C x f x df )()(2)ddxf x dx f x (())()⎰=或⎰=dxx f dx x f d )()(一般地，d df x f x C()()⎰⎰=+3）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()( 4) ⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([(4) 基本积分公式表：2 基本积分公式表3 求不定积分的基本方法(1) 第一换元积分法f x x dx f x d x f u du F u C F x C[()]()[()]()()()[()]ϕϕϕϕϕ'===+=+⎰⎰⎰常用“凑”微分公式： (2) 第二换元积分法f ax b ()+ 根式代换f a x ()22-, f a x ()22+ , f x a ()22- 三角代换 t x=1 倒代换注：e t x t x t x ===,ln ,arcsin (3) 分部积分法uv dx udv uv vdu '==-⎰⎰⎰常用分部积分法：P x e dx P x axdx n kx n (),()sin ⎰⎰ P x xdx P x xdx n n ()ln ,()arcsin ⎰⎰ e bxdx ax sin ⎰ (4)* 有理函数的积分:四种类型(5)* 三角有理函数的积分:① ⎰⎰==du u R xdx x R ux )(cos )(sin sin② ⎰⎰-==du u R xdxx R ux )(sin )(cos cos③ ⎰⎰+++==2222tan 221),11,1()tan ,cos ,(sin udu u uuuR dx x x x R ux④ ⎰⎰++-+==22222tan12)11,12()cos ,(sin uduuu uu R dx x x R x u注： 含有三角函数的偶次幂，一般应先降幂。
第一节 不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：1．dx x ⎰22．dx x⎰13．设曲线通过点()2,1，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．dx x ⎰31 5．dx xx ⎰1 6．()dx xx 52-⎰ 7．dx x x ⎰28．()dx xx ⎰-231 9．()dx x e x⎰-cos 3 10．dx e xx ⎰2 11．dx x ⎰2tan12．dx x⎰2sin213．dx x x ⎰2cos 2sin 12214．dx x x x ⎰+++132224 15．dx x x x ⎰--12224 习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）C x x dx x +++=+⎰)1ln(1122（2）C xx dx x x+-=-⎰111222（3）C x x dx x x x +++=++⎰11arctan )1)(1(22 （4）C x x dx x ++=⎰sec tan ln sec （5）C x x x dx x x ++=⎰cos sin cos（6）C x x dx x e x+-=⎰)cos (sin 21sin 2．求下列不定积分（1）dx x⎰31（2）dx x x ⎰（3）⎰xdx （4）dx x x ⎰32（5）⎰xx dx2（6）dx x mn ⎰（7）dx x ⎰35 （8）dx x x ⎰+-)23(2（9）⎰ghdx 2（g 是常数） （10）()dx x⎰+221（11）()()d x x x ⎰-+113 （12）⎰xx dx 2（13）dx x e x⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32 （14）dx x x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+221213 （15）dx xe e xx⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1 （16）dx e xx ⎰3 （17）dx xxx ⎰⋅-⋅32532 （18）()dx x x x ⎰-tan sec sec （19）dx x ⎰2cos2（20）⎰+x dx 2cos 1 （21）dx x x x ⎰-sin cos 2cos （22）dx xx x⎰22sin cos 2cos （23）dx x ⎰2cot （24）()dx ⎰θ+θθsec tan cos（25）dx x x ⎰+122 （26）dx x x x ⎰++123234 3．一曲线通过点()3,2e ，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．4．证明函数)12arcsin(-x 、)21arccos(x -和x x-1arctan 2都是21xx -的原函数．第二节 换元积分法例题求下列不定积分1、dx x ⎰2cos 2 2、dx x ⎰+2313、dx x x ⎰+32)2( 4、dx xe x ⎰225、dx x x ⎰-21 6、dx x a ⎰+2217、dx x a ⎰-221 8、dx x a ⎰-2219、dx x x ⎰+)ln 21(1 10、dx xe x⎰311、dx x ⎰3sin 12、dx x x ⎰52cos sin13、dx x ⎰tan 14、dx x ⎰2cos15、dx x x ⎰42cos sin 16、dx x ⎰6sec17、dx x x ⎰35sec tan 18、dx x ⎰csc19、dx x ⎰sec 20、dx x x ⎰sin 3cos 21、dx x a ⎰-22 22、dx ax ⎰+22123、dx a x ⎰-221 24、dx x x a ⎰-422 25、⎰+942x dx 26、⎰-+21xx dx27、()dx x xx ⎰+-22322练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）=dx )(ax d ； （2）=dx )37(-x d ；（3）=xdx )(2x d ； （4）=xdx )5(2x d ； （5）=xdx )1(2x d -； （6）=dx x 3 )43(2-x d ；（7）=dx e x 2 )(2xe d （8）dx e x 2-= )1(2x e d -+（9）=dx 23sin )23(cos x d （10）=xdx )ln 5(x d （11）=xdx)ln 53(x d -（12）=+21x dx )3(arctan x d （13）=-21xdx)arcsin 1(x d -（14）=-21x xdx )1(2x d -2、求下列不定积分（1）dt e t⎰5 （2）dx x ⎰-3)23(（3）⎰-x dx 21 （4）⎰-332x dx（5）dx e ax bx⎰-)(sin （6）dt tt ⎰sin（7）dx xex ⎰-2（8）dx x x ⎰)cos(2（9）dx xx⎰-232 （10）dx x x ⎰-4313 （11）dxx x x ⎰+++5212 （12）dt t t ⎰ϕ+ωϕ+ω)sin()(cos 2 （13）dx x x ⎰3cos sin （14）dx x x xx ⎰-+3cos sin cos sin（15）dx x x ⎰⋅210sec tan （16）⎰x x x dxln ln ln（17）⎰-221)(arcsin xx dx（18）dx xx ⎰-2arccos 2110（19）⎰+⋅+2211tan x xdxx （20）dx x x x ⎰+)1(arctan （21）dx x x x⎰+2)ln (ln 1 （22）⎰x x dx cos sin （23）dx xx x ⎰sin cos tan ln （24）dx x ⎰3cos （25）dt t ⎰ϕ+ω)(cos 2（26）dx x x ⎰3cos 2sin（27）dx x x ⎰2cos cos （28）dx x x ⎰7sin 5sin（29）dx x x ⎰sec tan 3（30）⎰-+x x e e dx（31）dx xx⎰--2491 （32）dx x x ⎰+239 （33）⎰-122x dx （34）⎰-+)2)(1(x x dx（35）dx x x x ⎰--22 （36）⎰-222xa dx x（37）⎰-12x x dx （38）⎰+32)1(x dx（39）dx x x ⎰-92 （40）⎰+xdx 21 （41）⎰-+211xdx （42）⎰-+21xx dx（43）dx x x x ⎰++-3212 （44）dx x x ⎰++223)1(1第三节 分部积分法例题 求下列不定积分1、dx x x ⎰cos2、dx xe x⎰3、dx x x ⎰ln4、dx x ⎰arccos5、dx x x ⎰arctan6、dx x e x⎰sin7、dx x ⎰3sec 8、dx e x⎰练习 求下列不定积分（1）⎰xdx x sin （2）dx x ⎰ln（3）dx x ⎰arcsin （4）dx xe x⎰-（5）dx x x ⎰ln 2（6）dx x e x ⎰-cos（7）dx x ex⎰-2sin 2 （8）dx x x ⎰2cos（9）dx x x ⎰arctan 2 （10）dx x x ⎰2tan（11）dx x x ⎰cos 2（12）dt te t ⎰-2（13）dx x ⎰2ln （14）dx x x x ⎰cos sin（15）dx x x ⎰2cos 22 （16）dx x x ⎰-)1ln( （17）dx x x ⎰-2sin )1(2（18）dx xx⎰23ln（19）dx e x ⎰3（20）dx x ⎰ln cos（21）dx x ⎰2)(arcsin （22）dx x e x ⎰2sin（23）dx x x ⎰2ln （24）dx ex ⎰+93其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、dx x x x ⎰+-+6512 2、dx x x x x ⎰++++)1)(12(223、dx x x x ⎰---)1)(1(32 4、dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1 5、dx x x ⎰-16、⎰++321x dx 7、dx x x x ⎰+11练习：（1）dx x x ⎰+33（2）dx x x x ⎰-+-103322 （3）dx x x x ⎰+-+5212 （4）⎰+)1(2x x dx（5）dx x ⎰+133 （6）dx x x x ⎰-++)1()1(122 （7）⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx（8）dx xx x x ⎰--+3458 （9）⎰++))(1(22x x x dx（10）dx x ⎰-114（11）⎰+++)1)(1(22x x x dx （12）dx x x ⎰++)1()1(22（13）dx x x x ⎰++--222)1(2（14）⎰+x dx 2sin 3 （15）⎰+x dx cos 3 （16）⎰+x dxsin 2 （17）⎰++x x dx cos sin 1 （18）⎰+-5cos sin 2x x dx（19）⎰++311x dx（20）dx x x ⎰+-11)(3（21）dx x x ⎰++-+1111 （22）⎰+4x x dx （23）x dx x x ⎰+-11 （24）⎰-+342)1()1(x x dx本章复习题计算下列不定积分：1、⎰-x dx cos 452、⎰+942x x dx 3、dx x x ⎰+2)43(4、dx x ⎰4sin5、⎰-942x dx 6、dx x x ⎰++52127、dx x ⎰+9228、dx x ⎰-2329、dx x e x⎰cos 210、dx x x ⎰2arcsin11、⎰+22)9(x dx 12、⎰x dx 3sin 13、dx x e x ⎰-3sin 214、dx x x ⎰5sin 3sin 15、dx x ⎰3ln 16、dx xx ⎰-117、dx x ⎰+22)1(118、dx x x ⎰-11219、dx x x ⎰+2)32(20、dx x ⎰6cos 21、dx x x⎰-22222、dx x ⎰+cos 52123、⎰-122x x dx24、dx x x ⎰+-1125、dx x x x ⎰--+125226、⎰-+21x x xdx27、dx x x ⎰+2442528、⎰--x x e e dx 29、dx x x⎰-3)1(30、dx x a x ⎰-66231、dx x x x ⎰++sin cos 1 32、dx x x ⎰ln ln33、dx x x x ⎰+4sin 1cos sin 34、dx x ⎰4tan 35、⎰+)4(6x x dx 36、dx x a x a ⎰-+37、⎰+)1(x x dx 38、dx x x ⎰2cos 39、⎰+xedx 140、⎰-122x xdx41、⎰+)1(24x x dx 42、dx x x ⎰sin 43、dx x ⎰+)1ln(244、dx x x ⎰32cos sin 45、dx x ⎰arctan46、dx x x ⎰+sin cos 147、dx x x ⎰+283)1(48、dx x x x ⎰++234811 49、⎰-416x dx 50、dx x x ⎰+sin 1sin 51、dx x x x ⎰++cos 1sin 52、dx xx x x e x ⎰-23sin cos sin cos 53、dx x x x x⎰+)(3354、⎰+2)1(x e dx 55、dx e e e e x x x x ⎰+-+124356、dx e xe x x⎰+2)1( 57、dx x x ⎰++)1(ln 2258、⎰+32)1(ln x x 59、dx x x ⎰-arcsin 1260、dx xx x ⎰-231arccos61、dx x x ⎰+sin 1cot 62、⎰x x dx cos sin 363、⎰+x x dxsin )cos 2(64、dx x x x x ⎰+cos sin cos sin65、dx x x ⎰-)1(12。
不定积分专题试题（含答案）一、填空题1、若⎰==__)(sin cos )()('dx x xf u f u F ，则 C x F +)(sin2、设)(x f 的一个原函数为x x tan ，则⎰=___)('dx x xf C x xx +-tan 2sec 2 3、若)1()(ln '2>=x x x f ，则___)(=x f C e x +2214、_____1)2(=--⎰xx dxC x +--1arctan 25、设x x f ln )(=，则____)('=⎰--dx ee f x x C x +6、___sin cos 2222=+⎰xb x a dx C x a bab +)tan arctan(1 7、已知边际收益为x 230-，则收益函数为___ 230x x -8、=-+=⎰⎰dx x xf C x dx x f )1()(22，则若______ C x +--22)121（9、____)2ln 1(12=+⎰dx x x C x +2ln arctan10、若____1)1()()(2=⋅+=⎰⎰dx xxf C u F du u f ，则 C xF +-)1(二、选择题1、函数x x e 3的一个原函数为（ B ）A 、)3ln 1()3(+xe B 、3ln 1)3(+xeC 、3ln 3xe D 、3ln 3xe2、求dx x ⎰-42时，为使被积函数有理化，可作变换（C ）Ａ、t x sin 2= B 、t x tan 2= C 、t x sec = D 、42-=t x3、若x ln 是函数)(x f 的原函数，那么)(x f 的另一个原函数是BA 、ax lnB 、ax a ln 1C 、x a +lnD 、2)ln 21x （4、函数__)(_)()()(2D x F x x x f =+=的一个原函数A 、334xB 、334x xC 、)(3222x x x + D 、)(322x x x +5、__)(_)(cos )1cos 1(2D x d x =-⎰A 、C x x +-tanB 、C x anx +-cos tC 、C x x+--cos 1 D 、C x x +--cos cos 1三、计算题 1、⎰+)1(x x dxC x +arctan 2 2、dx x x ⎰-234 C x x +-+--3)4(443223、dx xx⎰-31 C x x x x x x +-++----666656711ln 3625676 4、dx e x x 23-⎰ C e e x x x +----22212125、dx x x ⎰+241 C x x x ++-arctan 336、dx xx ⎰22cos sin 1C x x +-cot tan 7、dx ex ⎰-12 C x ex +---)112(128、dx x )arcsin (2⎰ C x x x x ar x +--+2arcsin 12)sin c (229、xdx ⎰3tan C x x++cos ln 2tan 210、⎰-dx x x 123 C x x +-+-13)1(232 11、dx x x 23)(ln ⎰ C x x x x x ++-32ln 8)(ln 4442412、⎰dx x )sin(ln C x x x +-)]cos(ln )[sin(ln 213、dx x f x f ⎰)()(' )(2x f +C 14、dx ex ⎰+211C e e x x +++-+1111ln 2122 15、dx x x ⎰sin C x x x x x +-+-sin )2(6cos )6(2 四、证明题：设)(x f 的原函数)(x F 非负，且1)0(=F ，当x x F x f x 2sin )()(02=≥时，有，试证14sin 412sin )(2+-=x x xx f不定积分练习题1基础题 一．填空题 1.不定积分：⎰=_____x x dx22.不定积分：dx x ⎰-2)2(=______3.不定积分： dx x x x)11(2⎰-=_______ 4.不定积分：dx x ⎰-2)2(=__________5.不定积分：dx xe x)32(⎰+=_______ 6.一曲线通过点)3,e (2，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，则该曲线的方程为____________________7.已知一个函数)x (F 的导函数为2x 11-，且当1x =时函数值为π23，则此函数为_______________ 8.=+⎰x d )x 1x ( ________ 9. 设1()f x x=，则()f x dx '=⎰ 10.如果xe -是函数()f x 的一个原函数，则()f x dx =⎰11. 设21()ln(31)6f x dx x c =-+⎰,则()f x = . 12. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 .13. 已知()21f x x '=+,且1x =时2y =,则()f x = .14. (103sin )xx x dx +-=⎰ .15.222()a x dx +=⎰. 16.3321(1)x x dx x-+-=⎰ . 二．选择题 1、，则设x d x1I 4⎰=I =（ ） c x 3 1)D ( c x 3 1)C ( cx 3 1)B ( c x 4)A (3335++-+-+--- 2、的一个原函数为则，设 )x (fx 1 1)x (f 2-=( )()arcsin ()arctan A x B x x 1 x 1 ln 2 1)C (+- x1x 1 ln 2 1)D (-+ 3、函数x 2 cos π的一个原函数为 （ ） (A) x 2 sin 2 ππ (B) x 2 sin 2 ππ- （C ）x 2 sin 2ππ (D) x2 sin 2ππ- 4、设f(x) 的一个原函数为F(x)， 则⎰=dx )x 2(f （ ）(A) F(2x)+ C (B) F( 2 x )+ C (C)C )x 2(F2 1+ (D) 2F( 2 x )+ C 5.设3()lnsin 44f x dx x C =+⎰，则()f x =（ ）。
大学微积分中的积分计算题微积分是数学的重要分支之一，是描述变化与积累的工具。
在大学微积分学习过程中，积分计算题是其中的重要部分。
通过解答这些积分计算题，可以加深对积分的理解，并培养解决实际问题的数学思维能力。
本文将以解析法为主，介绍常见的积分计算题的求解方法。
1. 不定积分计算题不定积分是求解函数原函数的过程，即反求导。
下面通过实际例题来展示不定积分的求解方法。
例题1：计算∫(6x^2 + 4x - 5)dx解析：根据不定积分的线性性质，我们可以将原函数分别对每一项进行积分。
∫(6x^2 + 4x - 5)dx = ∫6x^2dx + ∫4xdx - ∫5dx积分得到：2x^3 + 2x^2 - 5x + C其中，C为常数。
2. 定积分计算题定积分是求解函数在给定区间上的积分结果。
它可以表示曲线下的面积、物理中的质量、功等。
下面通过实际例题来展示定积分的求解方法。
例题2：计算∫[0, 2] (4x^2 - 2x)dx解析：根据定积分的性质，我们可以通过积分区间上限和下限的差值，对每一项进行积分。
∫[0, 2] (4x^2 - 2x)dx = [∫4x^2dx - ∫2xdx] |[0, 2]积分得到：[(4/3)x^3 - x^2] |[0, 2]代入上限和下限：[(4/3)(2)^3 - (2)^2] - [(4/3)(0)^3 - (0)^2]化简得：8/3 - 4/3 = 4/33. 部分积分法计算题部分积分法也称为莱布尼茨公式，用于解决乘积函数的积分问题。
下面通过实际例题来展示部分积分法的求解方法。
例题3：计算∫xsin(x)dx解析：根据部分积分公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，我们可以将积分项拆分。
选取 u(x) = x，v'(x) = sin(x)则 u'(x) = 1，v(x) = -cos(x)应用部分积分公式进行求解：∫xsin(x)dx = -xcos(x) - ∫(-cos(x))dx化简得：-xcos(x) + sin(x) + C其中，C为常数。
第四章 不 定 积 分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。
2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为ƒ(x)的一条_________. 3．因为dxx x d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。
4．若曲线y=ƒ(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________ 。
二．是非判断题1． 若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2． 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3．()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ]4． 若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有 。
（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有 。
（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中 是||sin )(x x f =的原函数。
(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。
计算题（共 200 小题） 1、⎰⎰+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、⎰'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、.d x x ⎰求4、.)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ⎩⎨⎧>≤= 5、已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、.d x x ⎰求 7、⎰-233d x x 求 8、 .,d 2是常数其中求 a x x a ⎰9、.0,,d >⎰a a x e a x x 是常数其中求 10、.d tan csc 22x x x ⋅⎰求11、⎰⋅x x x d cot sec 22求 12、⎰+22d x x 求 13、⎰+82d 2x x求 14、⎰-9d 2x x 求 15、⎰-.63d 2x x 求 16、 ⎰+232d x x 求 17、.d 2432x xx x ⎰-求 18、x x x d ⎰⋅求 19、.d )1(23x x x ⎰+求 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求 b a x x b x a ⎰+ 21、⎰x x d cot 2求22、.d 11)(3x x x ⎰++求 23、.d x x x x ⎰求 24、⎰+.d )arccos (arcsin x x x 求 25、[].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ⎰+++求 26、⎰⋅.d 2sin 22x x 求 27、⎰.d 2cos 22x x 求 28、.d sin 1sin 423x x x ⎰-求 29、⎰+.d )32(2x x x 求 30、.d 3273x x x ⎰--求 31、.d 22222x x x x ⎰-+-求 32、⎰---.d )31)(21)(1(x x x x 求 33、x x x x d )1(21222⎰++求 34、.d 323x xx e x x x ⎰+-求 35、.d )1()1(22x x x x ⎰++求 36、⎰+.d )sec (tan 22x x x 求 37、.d )csc (cot 22x x x +⎰求 38、.d sin sin 2222⎰+x xx x x 求 39、.d 122x xx ⎰+求40、⎰-.d 122x x x 求 41、.d 1322x x x ⎰-+求 42、.d 111422x x x x ⎰--++求 43、 .d 111422x x x x ⎰---+求44、 .d 2cos 1sin 12x xx ⎰-+求 45、.d 1cos sin 122x x x ⎰--求 46、.d cos sin d 22x xx x ⎰求 47、 ⎰++.d 2cos 1cos 12x xx 求 48、.d sin cos 2cos x xx x ⎰-求 49、 ).20(d 2sin 1π≤≤+⎰x x x 求 50、x xx x d sin cos 2cos 22⎰求 51、 ⎰+x x x 2sin 2cos d 求 52、求⎰++++x xx x x x d 13323。
习题3-11． 计算下列不定积分.(1)5x dx ⎰; (2) 2x dx ⎰; (3) 1x e dx +⎰; (4)()cos sin x x dx -⎰;(5)221dx x +⎰; (6); (7) (xedx ⎰;(8)2211sin cos dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (9) 21x +; (10) 23324x xxdx +⎰. 2.已知曲线()y f x =过点(0,0)且在点(x,y)处的切线斜率为231k x =+,求该曲线方程. 3.已知某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数,且通过点(e,2),试求此曲线方程.习题3-21. 计算下列不定积分.(1)()921x dx -⎰; (2) ; (3); (4)21xdx x +⎰; (5)2ln xdx x ⎰; (6)θ; (7)2x xe dx -⎰; (8)x x dx e e -+⎰.2.求下列不定积分.(1)2; (2) ;(3)(4)2e⎰;3. 求下列不定积分. (1) 6x xe dx -⎰; (2)()ln ln x dx x ⎰; (3) arctan xdx ⎰;(4)2ln xdx ⎰; (5) 3sec xdx ⎰; (6) 2sin x e xdx ⎰; 4.求下列不定积分.(1); (2) ()()21f x dx f x '+⎰;(3); (4) ⎰.5.一物体由静止开始作直线运动,在 t 秒时的速度为32/t m 秒,问:(1) 3秒后物体离开出发点的距离是多少?(2) 需要多长时间走完1000米？6．在平面上有一运动着的质点，如果它在 x 轴方向和y 轴方向的分速度分别为5sin x u t =和2cos y u t =,且0|5t x ==,0|0t y ==,求:(1) 时间为t 时,质点所在的位置; (2) 运动的轨迹方程.习题3-31．利用定积分的定义证明badx b a =-⎰.2.用定积分的几何意义求下列定积分的值. (1)()1021x dx +⎰;(2) 0⎰; (3)sin xdx ππ-⎰.3.不计算积分,比较下列各组内定积分的大小. (1)1xdx ⎰,12x dx ⎰; (2)1xe dx ⎰,21x edx ⎰.4.利用定积分的性质估计下列积分值的范围. (1) ()314x x dx -⎰; (2)22xxe dx -⎰.习题3-41. 求下列函数的导数. (1) ()0F x =⎰: (2) ()sin cot xxF x xdx -=⎰.2. 求下列函数的极限.(1) 11sin lim1cos xx tdtxππ→+⎰;(2) 02limx x →⎰.3. 计算下列定积分. (1)21x xe dx ⎰; (2)cos 44x dx ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰; (3)1ln 2ex dx x⎰; (4) 120100dxx +⎰; (5)420tan cos xdx xπ⎰;(6)41dx ⎰. 4.设()21x f x x +≤⎧⎪=⎨⎪⎩ 当x 1时,1 当x>1时,2求()20f x dx ⎰.5. 一汽车以每小时32公里的速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度1.8a =-2/米秒刹车.问从开始刹车到停车,汽车驶过多少距离?1. 计算下列定积分.(1)1-⎰;(2) 1⎰; (3)⎰;(4)1;(5)94⎰; (6) ()12121dxx -+⎰;(7)(222x --⎰.2.计算下列定积分. (1) 2130x x e dx ⎰; (2)31ln xdx ⎰; (3)20cos x e xdx π⎰.(4)()1sin ln ex dx ⎰.3. 设()f x 在[],a b 上连续,证明()()bbaaf a b x dx f x dx +-=⎰⎰.4.设函数()f x 以T 为周期,试证明()()0a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰ (a 为常数).5.试证明()()()baxf x dx bf b f b '''=--⎡⎤⎣⎦⎰()()af a f a '-⎡⎤⎣⎦.1．求下列平面图形的面积。
微积分：六个数学不定积分计算步骤1.计算⎠⎜⎜⎛24x-912x ²-9x+35dx 。
解：观察积分函数特征，对于积分函数的分母有(12x ²-9x+35)'=24x-9，刚好是分母表达式，故本题可以用积分公式⎠⎜⎜⎛dx x =lnx+c 来变形计算。
⎠⎜⎜⎛24x-912x ²-9x+35dx =⎠⎜⎜⎛d(12x ²-9x)12x ²-9x+35=⎠⎜⎜⎛d(12x ²-9x +35)12x ²-9x+35=ln|12x ²-9x+35|+C 。
2.计算⎠⎛(8x ²-27)²dx .解：对此类型总体思路是降次积分，有两种思路，思路一是将积分函数2次幂展开，再分别计算不定积分，即： ⎠⎛(8x ²-27)²dx =⎠⎛(8²x ⁴-432x ²+27²)dx ,=⎠⎛8²x ⁴dx-⎠⎛432x ²dx+⎠⎛27²dx,=15*8²x ⁵-144x ³+27²x+C.思路二：通过分部积分进行计算，有：⎠⎛(8x ²-27)²dx =(8x ²-27)²x-⎠⎛xd(8x ²-27)²，=(8x ²-27)²x-4*8⎠⎛x ²(8x ²-27)dx ，=(8x ²-27)²x-4*8⎠⎛(8x ⁴-27x ²)dx ，=(8x ²-27)²x-4*8²⎠⎛x ⁴dx+4*8*27⎠⎛x ²dx,=(8x ²-27)²x-45*8²x ⁵+2*144x ³+C 。
3.积分⎠⎜⎜⎛dx (x ²-34x+536)的计算。
不定积分的计算一、常见不定积分公式的计算22221()1(1)ln .(0)(2)arcsin 1(3)arctan 1111(4)ln (0)22sin (cos )(5)tan cos cos dx d ax b ax b C a ax b a ax b ax d x C a dx x C x a a a dx x adx C a x a a x a x a a x ax d x xdx dx x x +==++≠++⎛⎫ ⎪==+=++-⎛⎫=-=+≠ ⎪--++⎝⎭==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；tan ln cos cos (sin )(6)cot ln sin sin sin sec (sec tan )(sec tan )(7)sec ln sec tan sec tan sec tan (8)csc ln csc cot (9)sec ln sec tan x a ux C x d x xdx dx x C x x x x x d x x xdx dx x x C x x x x xdx x x C udu u u C ==-+===+++===++++=-++==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；；；；sec sin 2222tan 23ln (10)sec ln sec tan ln 1cos 2(11)cos cos 211sin 2arcsin 222(12)sec sec tan 2x a ux a tx a u x C udu u u C x C ta t a tdt a dt a a x t C C a a a udu u u ===+==++=++=⋅=⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰⎰；；；()()()2sec 222322ln sec tan arcsin 2(13)tan sec sec sec 1sec tan ln sec tan ln .222x a uu u Ca x C aa u udu a u u dua a u u u u C x C =+++=++=⋅=-=-++=-+⎰⎰；32233212sec sec tan sec tan sec tan sec tan sec (sec 1)sec tan ln sec tan sec .11sec sec tan ln sec tan .22sec d .()(1)sec d ln sec tan sec n n xdx xd x x x x xdxx x x x dx x x x x xdx xdx x x x x C I x x n I x x x x C I x +==-=--=++-=+++=∈==++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 【】：因此【】：计算，注例2222222222d tan .(2)3sec d(tan )sec tan (2)sec tan d sec tan (2)sec d (2)sec d sec tan (2)(2).12sec tan .11n n n n n n n n n n n n n x x C n I x x x x n x x x x x n x x n x x x x n I n I n I x x I n n ---------=+≥==--⋅=--+-=--+--=+--⎰⎰⎰⎰⎰当时，因此二、常见的“凑微分”公式：22222221d (1)d d()(2)e d d(e )(3)d(ln )111(4)d d()d()d()222(5)sin d d(cos )(6)cos d d(sin )(7)sec d d(tan )(8)sec tan d d(sec )d (9)d(arctan )(10)d(arcsin 1x x xx ax b x x a x x x x x a a x x x x x x x x x x x x x x x x x=+====±=--=-=====+；；；；；；；；；222).d x x x =====-，【】：实际上，所谓常见的“凑微分”公式就是简单的积分公式.注三、不定积分中常见的积分变换2222.2(1)(2)sin cos (3)tan sec (4)sec sec tan 2(5)ln(1)1(6)u b u u x dx du a a x a u dx a udu x a u dx udu x a u dx a u udu uduu x u dx u -===========-=-在计算不定积分时，有一个宗旨就是“有根号去根号”：，则：；，则：；，则：；，则：；，则：，常见的积分变换222222().()11(7).du b ad bc u u x dx du a cu a cu x dx du u u--===--==-，则：倒数变换：令，则：【】：其实，换元法就是将被积函数中不熟悉的、复杂的转化为熟悉的和简单的再进行计算；一个基本原则是“有根号去根号”，将反三角函数通过变量代换化为三角函数等.积累一些常见函数的不定积分及不定积分的计算方法，对于不定积分的学习会有很大的帮助.注 四、 典型例题选讲【例题1】：e cos d e sin d .ax ax I bx x J bx x ==⎰⎰计算和()2222222211e cos cos (e )e cos e sin 11e cos sin (e )e cos e sin e cos .1e cos e cos sin .1e sin e sin cos ax axax ax ax axax ax ax axax ax axb I bxdx bxd bx bxdx a a a b b b bx bxd bx bx bxdx a a a a abxdx a bx b bx C a bbxdx a bx b b a b===+=+=+-=+++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰【】：因此同样方法一()()()()()()()()()()()22222222.e cos sin e e d 1e cos sin ()1e cos sin sin cos .11e cos sin e sin cos .ax a ib x a ib xaxaxaxax x C bx i bx x C C a ib a ibbx i bx a ib C a b a bx b bx i a bx b bx C a b I a bx b bx C J a bx b bx C a b a b ++++=+=+++=+-++=++-++=++=-+++⎰【】：因此，；方法二【例题2】222221arctan arctan 1arctan ()(1)1arctan 1arctan 1ln ln(1)ln .221x dx x x I xd dx x x x x x x x x x x x x C C x x x⎛⎫=-=-+=-+- ⎪++⎝⎭=-+-++=-+++⎰⎰⎰【例题3】22.arcsin(21).01sin 2sin cos .2sin cos 2.sin cos C I x C x x u dx u udu u udu I u C C u u ==+=====-+<<====+=+⎰【】：【【】：由于，可设，则：方法一方法二方法三2222222212.1(1)122arctan .(1)u x u udux dx u u u udu I u u C C u u =⋅===+++=⋅⋅=+=++⎰【】：由于，则，方法四【例题422223222222222222221111ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)12211ln(1)ln (1)2(1)4111ln(1)ln ln (1).2214x I x dx x d x d x x x x xdx x x x x x x x x C x x ⎛⎫⎛⎫=++=-++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=-+++++=-++++++⎰⎰⎰⎰。
计算题（共 200 小题）1、⎰⎰+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设2、⎰'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设3、.d x x ⎰求4、.)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ⎩⎨⎧>≤= 5、已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-16、.d x x ⎰求 7、⎰-233d x x 求 8、 .,d 2是常数其中求 a x x a ⎰9、.0,,d >⎰a a x e a x x 是常数其中求 10、.d tan csc 22x x x ⋅⎰求11、⎰⋅x x x d cot sec 22求 12、⎰+22d x x 求 13、⎰+82d 2x x 求 14、⎰-9d 2x x 求 15、⎰-.63d 2x x 求 16、 ⎰+232d x x 求 17、.d 2432x xx x ⎰-求 18、x x x d ⎰⋅求 19、.d )1(23x x x ⎰+求 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求 b a x x b x a ⎰+21、⎰x x d cot 2求22、.d 11)(3x x x ⎰++求 23、.d x x x x ⎰求 24、⎰+.d )arccos (arcsin x x x 求 25、[].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ⎰+++求 26、⎰⋅.d 2sin 22x x 求 27、⎰.d 2cos 22x x 求 28、.d sin 1sin 423x x x ⎰-求 29、⎰+.d )32(2x x x 求 30、.d 3273x x x ⎰--求 31、.d 22222x x x x ⎰-+-求 32、⎰---.d )31)(21)(1(x x x x 求 33、x x x x d )1(21222⎰++求 34、.d 323x xx e x x x ⎰+-求 35、.d )1()1(22x x x x ⎰++求 36、⎰+.d )sec (tan 22x x x 求 37、.d )csc (cot 22x x x +⎰求 38、.d sin sin 2222⎰+x xx x x 求 39、.d 122x xx ⎰+求40、⎰-.d 122x x x 求 41、.d 1322x x x ⎰-+求 42、.d 111422x x x x ⎰--++求 43、 .d 111422x x x x ⎰---+求44、 .d 2cos 1sin 12x xx ⎰-+求 45、.d 1cos sin 122x x x ⎰--求 46、.d cos sin d 22x xx x ⎰求 47、 ⎰++.d 2cos 1cos 12x xx 求 48、.d sin cos 2cos x xx x ⎰-求 49、 ).20(d 2sin 1π≤≤+⎰x x x 求 50、x xx x d sin cos 2cos 22⎰求 51、 ⎰+xx x 2sin 2cos d 求 52、求⎰++++x xx x x x d 13323.53、求x x d 13⎰-. 54、求⎰⋅+222)3(d x x x . 55、.d )1(32x x x ⎰-求56、 x x x d )1)(1(3-+⎰求57、.d )1(2x xx ⎰-求 58、 .d )32(23x xx x ⎰-求 59、.d )11(2x x x x⎰-60、 ⎰⋅-22)1(d xx x 求 61、 .)1(d 22⎰+x x x 求 62、 .d )1)(1(122x x x ⎰-+求 63、 .d 124x xx ⎰+求 64、.d 2344x xx x ⎰++-求 65、⎰+-.)3)(2(22x x 求 66、 .d )2sin 2(cos cos 22x x x x ⎰-求 67、.d sin 2sin 2cos 244x xx x ⎰+求 68、 ⎰+.d 2sin 2cos 21cos 2x x x x 求 69、 ⎰'⋅⋅+.d )()( , sin 1sin )(x x f x f xx x x f 求的一个原函数为已知 70、 设求'=f x x f x (sin )cos ,().2271、设 且求f x f x x f x f f x ()(),(),(),().⋅'=>=01272、⎰+3)(d a x x 求 73、 ⎰-.51d x x 求 74、.d )32(10x x ⎰-求75、⎰+.d )56(4x x 求76、.d 313x x ⎰-求77、⎰⋅.d cos sin x e x x 求78、⎰-.d 1x xx 求 79、⎰.d 2tan x x 求80、⎰+.d )cot (tan x x x 求81、⎰-.)1(d x x x 求 82、 ⎰.d 2sin cos 2x x x 求83、⎰.d cos 3x x 求84、⎰+.d cos 1sin x x x 求 85、⎰.d cos sin 2x x x 求 86、⎰-.d )2(cos 2x x 求87、⎰-.d 32x ex x 求88、 ⎰-232d xx 求 89、 ⎰-232d x x求90、 .,d )5sin 5(sin 为常数其中求a x a x ⎰-91、⎰π+．求)4(sin d 2x x.cos 1d ⎰+x x 求 93、 .d cos 1sin x xx ⎰-求 94、 ⎰.d ln 23x x x 求95、 .ln d ⎰xx x 求 96、 .d )(ln ln 12x x x x ⎰+求 97、⎰-+-.d 105211x x x x 求 98、.d 12x ex ⎰+求99、 ⎰+.d 1x ee x x 求 100、.d )(2⎰--+x e e x x 求101、⎰.d sin 3x x 求102、⎰+.d )sin (cos 2x x x 求103、⎰-++.11d x x x 求 104、 ⎰.d sec tan 3x x x 求 .d csc cot 3x x x ⎰求106、⎰⋅.d sec tan 46x x x 求107、⎰⋅.d csc cot 46x x x 求108、.d sec tan 4x x x ⋅⎰求109、.d sec tan 35x x x ⎰⋅求110、.d csc cot 35x x x ⎰⋅求111、.d csc cot 43x x x ⋅⎰求112、⎰.d x x e x求113、.d 1arctan 2x x x ⎰+求 114、⎰+.d 12x ee x x 求 115、.d )1(3x e e x x ⎰+求116、⎰+.d 122x ee x x 求 117、⎰-+.215d 2x x x 求118、.2d 2⎰-+x x x 求119、 ⎰++.32d 2x x x 求 120、 .d )1(5x x x ⎰+求 121、.d sin ln cot x xx ⎰求 122、 ⎰+.d cos 2sin x xx 求 123、 .d )2(2321x x x ⎰+求124、 .d )1(22x x x ⎰+求 125、⎰-.d cos sin 4cos sin 22x x x x x 求126、 .d cos x xx ⎰求 127、.d 412x xx ⎰-求 128、.d 913arccos 2⎰-x x x求129、.d 1)(arcsin 22x x x x ⎰--求130、⎰+.d )ln (ln 123x x x x 求131、⎰.d csc 6x x 求132、.d sec 6x x ⎰求133、⎰-.d 183x xx 求134、.d 462x x x ⎰+求135、⎰⋅.d 3cos 2sin x x x 求136、⎰⋅.d 7sin 5sin x x x 求137、⎰⋅.d 3cos 2cosx xx 求 138、⎰.d )(ln sec 12x x x 求 139、.d 2122x exex x ⎰-求140、⎰-.d 414x xx求141、⎰-xx x 41d 2求142、⎰-++.d 1322x x x x 求 143、.d )2(8232x x x ⎰+求144、.d 4252x x x ⎰+-求 145、.d 13962x x x x ⎰+++求 146、⎰.d 4ln 2ln x xx x求147、.0,,d 2≠-⎰a b a bxax x且是常数和其中求 148、⎰+.d ln 1ln x xx x求149、x xxd 1321⎰+求 150、.d )1(arctan x x x x⎰+求151、⎰++.d )sin (cos 134x x x x 求152、⎰.d cos sin 3x xx求153、⎰.d cosh 1x x 求154、.d sinh 1x x⎰求.d )ln 3(x xx e e xxx-+⎰求156、⎰-.d 1102arccos 2x xx 求157、⎰-+-.d 34212x xx x 求158、.d tan 3⎰x x 求159、.d cot 14x x⎰求 160、.d cos 2sin 3tan 22x x x x⎰+求161、⎰--.123d 2x x x求 162、.d 52x xx x ⎰-+求163、.d 112x x x x ⎰+++求164、.d 44x x x⎰+求165、.d 43x xx⎰-+求166、⎰.cos sin d 3x x x求167、⎰.cos sin d 3xx x求⎰---.d 152232x x x x 求 169、.d 12x ee xx⎰+求 170、⎰.d 3sin 2sin 2x x x 求171、.d 3cos 2cos 2x x x ⋅⎰求172、⎰+.d ln 32x e xx求173、.,d 32是非零常数其中求a x xa x ⎰-174、⎰++.d cos 1cos 2x x x求175、.d cos 12sin x x x⎰+求176、.sin 1d ⎰+xx求177、⎰+.d cos 4sin 2x xx 求178、.d cos sin 12cos x x x x⎰+求179、.cos 2sin d 22⎰+xx x求 180、⎰+.)21(d x x x求181、.d 4932x xx xx ⎰-⋅求182、⎰+.)4(d 6x x x求 183、.d 9)25(53x xx xx ⎰-求184、.,d )()(,)(是非零常数其中试求连续可导设函数a x b ax f b ax f x f ⎰+'+185、⎰⎰⎰⋅+=.d )()(d )()( , sin d )(x x f x f x x f x f c x x x f 及求设 186、⎰+.1d 2x x x 求187、.d sin cos 5x x x ⎰⋅求188、.d cos 2sin 3x xx ⎰+求189、.1232d ⎰-++x x x求190、.d 11)1ln(22x xx x ⎰+++求 191、.d 22x ee e xx x⎰-++求 192、⎰-+.d 12x xx x 求193、.d 1)1(22x e e xx ⎰++求194、⎰+-.)3)(2(d 22x x x求 195、.4d 4⎰-xx求 196、.)1(1d 322⎰+++x xx x 求197、⎰-+.d 11x xx求198、.d 2cos 2cos x xx⎰+求199、.d cos sin cos sin 4422x xx x x ⎰+-求 200、.)(d 2⎰--x x e e x求答案1、,cos )(sin )(sin )(x x c x x f ='='+=4分 )2cos()(cos )()()(πn x x x f n n +==∴ 7分 .)2sin(d )2cos(d )()(c n x x n x x x f n ++=+=∴⎰⎰ππ 10分2、 '=+∴'=+f x xf x x(),().1121122 5分.ln 21d )211(d )(2c x x x x x x f ++=+='∴⎰⎰ 10分3、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=⎰.02,02d 2212x c x x c x x x 5分cc c c c c x c x o x o x ===∴+-=+-+→→21212212)2(lim )2(lim , 令 得由原函数的连续性 .20,2,0,2d 22c x x x c x x c x x x +⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-≥+=∴⎰ 10分4、⎰=x x f x F d )()(设)(lim )(lim ,.0cos ,03)(0213x F x F x c x x c x x F x x -+→→=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=由原函数的连续性 则5分得即令-+==+=1121211c c c c c c⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+=.0,cos 1,03)(3x c x x c x x F 则 10分5、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥+-==⎰.1)1(211)1(21d )()(2212x c x x c x x x f x F 5分由原函数的连续性， 令lim ()lim (),.x x F x F x c c c c c →→+-=∴===111212⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--≥+-=.1)1(21,1,)1(21)(22x c x x c x x F ， 则10分6、.32d 23c x x x +=⎰10分7、⎰-233d xx⎰-=21d 31xx 5分=+13arcsin .x c 10分8、⎰⎰=22d d x x a x x a =-+axc .10分9、⎰x e a x x d⎰=x ae x d )(3分=+1ln()()ae ae c x10分=++11ln .aa e c x x10、x x x d tan csc 22⎰⋅x x d sec 2⎰=5分 =+tan .x c10分11、x x x d cot sec 22⎰⎰=x x d csc 25分 =-+cot .x c10分12、⎰+22d xx⎰+=22)2(d xx5分.2arctan21c x +=10分13、⎰+82d 2x x⎰+=4d 212x x 5分=+++1242ln .x x c 10分14、⎰-9d 2x x ⎰-=223d x x5分.33ln 61c x x ++-=10分15、⎰-63d 2x x⎰-=2d 312x x 5分=+-+1322ln .x x c 10分16、⎰+232d x x ⎰+=232d 31x x5分=+1632arctan x c10分17、⎰-x xx x d 2432⎰⎰-=x x x x d 2d 125415分 c x x +-=121745172454 10分18、x x x d ⎰⋅ ⎰=x xd 435分 .7447c x += 10分19、x x x d )1(23⎰+x x x x d d 2⎰⎰+=5分.332323c x x ++= 10分 20、.sinh cosh d )cosh sinh (c x b x a x x b x a ++=+⎰ 10分21、⎰x d cot 2⎰-=x x d )1(csc 2 3分 ⎰⎰-=x x x d d csc 25分 =--+cot .x x c10分22、x x x d )1(⎰+-=原式5分 c x x x ++-=233221210分 23、x x d 41211⎰++=原式5分⎰=x xd 47c x c x +=++=+411471141114710分24、x x x d )arccos (arcsin ⎰+⎰π=x d 2 7分 =+π2x c . 10分25、[]x x x x x d )1(cos cos )1(sin sin ⎰+++⎰++=x x x d )cos sin 1(5分 =-++x x x c cos sin .10分26、x xd 2sin 22⎰⋅⎰-=x x d )cos 1(5分 =-+x x c sin .10分27、⎰x x d 2cos 22⎰+=x x d )cos 1(5分 =++x x c sin .10分28、⎰-x xx d sin 1sin 423 ⎰⎰-=x x x x d csc d sin 425分 =-++4cos cot .x x c10分29、⎰+x x x d )32(2x x x x x d )33222(22⎰+⋅⋅+=3分 ⎰+⋅+=x x x x d )9624(5分c x x x +++=3ln 2966ln 22ln 24 10分30、x x x d 3273⎰--⎰++=x x x d )93(25分=+++x x x c 323329. 10分31、.d 22222x x x x ⎰-+- ⎰-=x x d )2(5分=-+x x c 222. 10分32、⎰---.d )31)(21)(1(x x x x⎰-+-=x x x x d )61161(32 5分 .233113432c x x x x +-+-= 10分33、x x x x d )1(21222⎰++x x x d )1(22⎰+= ⎰⎰++=221d d 1xxx x 5分 .arctan 1c x x++-=10分34、x xx e x x x d 323⎰+- ⎰+-=-x xe xx d )1(255分 .ln 3223c x e x x ++--=-10分35、.d )1()1(22x x x x ⎰++ x x x x x d )1(1222⎰+++=3分⎰⎰++=21d 2d 1x xx x 5分 .arctan 2ln c x x ++=10分36、⎰+.d )sec (tan 22x x x⎰-=x x d )1sec 2(25分 =-+2tan .x x c10分37、.d )csc (cot 22x x x +⎰⎰-=x x d )1csc 2(25分 =--+2cot .x x c10分38、⎰+x xx xx d sin sin 2222 x x x x d 1d sin 122⎰⎰+= 5分 =--+cot .x xc 110分39、x x x d 122⎰+⎰+=x x d 125分⎰⎰+-=21d d xxx =-+x x c arctan .10分40、⎰-.d 122x x x x xx d 11122⎰----= 5分⎰⎰-+-=21d d x xx.11ln 21c xx x +-++-= 10分41、x x x d 1322⎰-+ x x x d 14122⎰-+-=5分⎰⎰-+=1d 4d 2x xx .11ln2c x x x ++-+= 10分42、.d 111422x x x x ⎰--++⎰⎰++-=221d 1d xx xx5分.1ln arcsin 2c x x x ++++=10分43、x x x x d 111422⎰---+⎰⎰+--=1d 1d 22x x x x5分c x x x x +++--+=1ln 1ln 22=+-+++ln.x x x x c 221110分44、x xxd sin 2sin 122⎰+=原式 5分⎰⎰+=x x d 21d csc 2128分 .21cot 21c x x ++-=10分45、x x xd 1cos sin 122⎰-- x xx d sin sin 122⎰--= 5分⎰⎰+-=x x x d d csc 2=++cot .x x c10分46、x xx xd cos sin d 22⎰⎰⋅+=x xx xx d cos sin cos sin 22225分⎰⎰+=x x x x d csc d sec 227分 .cot tan c x x +-=10分 ⎰=xx2sin d 4:2原式另解5分 =-+22cot .x c 10分47、⎰++x x xd 2cos 1cos 12 x xx d cos 2cos 122⎰+= 5分⎰⎰+=x x x d 21d sec 2127分 =++1212tan .x x c 10分48、x x x xd sin cos 2cos ⎰-x xx x x d sin cos sin cos 22⎰--=5分⎰+=x x x d )sin (cos7分 =-+sin cos .x x c10分49、)20(d 2sin 1π≤≤+⎰x x x =+⎰(cos sin )x x dx 25分=+⎰(sin cos )x x dx.sin cos c x x ++-= 10分50、x xx xd sin cos 2cos 22⎰ ⎰-=x xx x x d sin cos sin cos 2222 5分 ⎰⎰-=x x x x d sec d csc 227分 =--+cot tan .x x c10分51、⎰+x x x2sin 2cos d ⎰=x x2cos d 5分 =+tan .x c10分52、⎰++++x x x x x x d 13323 x xx xx x x d 21)1(322⎰+++++= 5分x xx d )1211(2⎰+++= 7分 =+++x x x c ln arctan .210分53、x x xd 113⎰--x x x d 11)(333⎰---=5分⎰++-=x x x d )1(31327分 .43533435c x x x +---=10分54、x xx d )311(312122⎰+-⋅=原式 5分.3arctan 361)1(61c x x +--=10分55、x x x x d )21(231+-=⎰-原式 ⎰+-=-x x xx d )2(3532315分 .835623383523c x x x ++-=10分 56、⎰--+=x x xx d )1(21232原式5分 .32523123253c x x x x +--+=10分 57、⎰-+=x x xd )211(2原式5分 .ln 21c x xx +--=10分58、x x xd )93222(316133--+-=⎰原式5分 .923325122326533c x x x ++⋅-=10分 59、x x x d )(4543--=⎰原式5分 .4744147c x x ++=-10分 60、x x x d )111(22+-=⎰原式5分.111ln 21c xx x +--+=10分61、x x x d )111(22⎰+-=原式 5分 .arctan 1c x x +--= 10分 62、x xx d )1111(2122⎰-++=原式 5分.11ln 41arctan 21c xx x +-++=10分63、x x x d 124⎰+x x x x x d 1)1(2222⎰+-+=5分⎰⎰⎰++-=221d d d xxx x x 7分.arctan 33c x x x ++-= 10分64、x xx x d 2344⎰++- x xx x d 3122⎰+=5分 x xx d )11(5+=⎰ 7分 .41ln 4c xx +-=10分65、⎰+-)3)(2(d 22x x xx x x d )3121(5122⎰+--=5分.3arctan 3122ln 22151c x x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-= 10分66、x x x xd )2sin 2(cos cos 22⎰- x xxd sin 1sin 12⎰--=5分⎰+=x x d )sin 1(=-+x x c cos .10分67、x x x x d sin 2sin 2cos 244⎰+ ⎰-++=x xx x x x x x d sin 2cos 2sin 22cos 2sin 22sin 2cos 2222244 5分x x x x x d sin )(sin )2sin 2(cos 2221222⎰-+= 7分⎰⎰-=x x x d 21d csc 2.21cot c x x +--=10分68、⎰+x xx xd 2sin 2cos 21cos 2 x xx ⎰+-=d sin 1sin 1223分 ⎰-=x x d )sin 1(25分 =++2(cos ).x x c10分 69、22)sin 1(sin cos )sin 1sin ()(x x xx x x x x f +-='+= 4分c x f x f x f x f x f +==∴⎰⎰)(21)(d )()()(28分c x x x x ++-=422)sin 1()sin (cos 21 10分70、.1sin 1cos ,sin 222u x x x u -=-==则令cu u u u u f uu f +-=-=-='⎰221d )1()(1)(所以 因此 6分.2)(2c x x x f +-=即 10分71、 f x f x x f x x c ()().()'⋅=∴=+ 121222 5分21.2)1(.2)(2==+=∴c f c x x f 得代入∴=+f x x ().2110分 72、⎰++=3)()d(a x a x 原式5分=-++1212().x a c 10分73、⎰-x x 51d⎰---=xx 51)51d(51 5分 .51ln 51c x +--=10分74、x x d )32(10⎰-⎰--=)32d()32(2110x x 5分 =-+1222311().x c 10分75、⎰+x x d )56(4⎰++=)56d()56(514x x 5分 .)56(2515c x ++= 10分76、x x d 313⎰-)31d(31313x x ---=⎰ 5分 .)31(4134c x +--=10分77、⎰⋅x e x x d cos sin⎰=)d(sin sin x e x5分 .sin c e x +=10分78、⎰-x x xd 1 x xx d 111⎰----=5分 ⎰⎰-+-=xxx 1d d 7分 .1ln c x x +---=10分79、⎰x x d 2tan⎰=x xxd 2cos 2sin5分 ⎰-=x x 2cos )2d(cos 21 7分 =-+122ln cos .x c10分80、⎰+x x x d )cot (tan⎰⎰+-=xx x x sin )d(sin cos )d(cos 5分 c x x ++-=sin ln cos ln7分 =+ln tan .x c10分81、(解法一):⎰-.)1(d x x x⎰-=2)(1)d(2x x 5分=+2arcsin x c10分⎰⎰---=-=22)21(41)21d(d :)(x x xx x 原式解法二5分.)12arcsin(2121arcsinc x c x +-=+-=10分82、⎰x x x d 2sin cos )(2解法一)2d(cos 22cos 121x x⎰+-=5分 =--+1421822cos cos x x c10分⎰x x x d 2sin cos )(2解法二x x x d cos sin 23⎰⋅= 5分 .cos 214c x +-= 10分83、⎰x x d cos 3⎰-=)d(sin )sin 1(2x x 5分 .sin 31sin 3c x x +-=10分84、⎰+x x xd cos 1sin⎰+-=xx cos 1)d(cos 5分 .)cos 1ln(c x ++-=10分85、(解法一)⎰x x xd cos sin 2⎰-=x x 2cos )d(cos 5分 =+1cos xc 10分(解法二):⎰=x x x d tan sec 原式5分=+sec .x c10分86、⎰-x x d )2(cos 2⎰-+=x x d 2)24cos(15分 ⎰---=)24d()24cos(4121x x x 7分 .)24sin(4121c x x +--= 10分87、⎰-x ex x d 32⎰--=-)d(3133x e x5分 .313c e x +-=-10分88、⎰-=22)3()2()3d(31x x 原式 5分.3232ln22131c xx +-+⋅=10分89、⎰-232d xx⎰-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅=223123d 2321x x 5分.23arcsin31c x +=10分90、x a x d )5sin 5(sin ⎰-.5sin 5cos 51c a x x +--=10分91、⎰+)4(sin d 2πx x⎰++=)4d()4(csc 2ππx x5分 .)4cot(c x ++-=π10分92、⎰+x xcos 1d⎰=2cos 2d 2xx5分⎰=)2d(2sec 2xx7分 .2tan c x+=10分93、.d cos 1sin x x x⎰-⎰⎰--=-=xx x x cos 1)cos 1d(1cos )d(cos 5分 c x +-=)cos 1ln(10分94、⎰x x x d ln 23⎰=)d(ln ln 23x x5分 .ln 5225c x += 10分95、⎰x x x ln d ⎰=xx ln )d(ln 5分 .ln ln c x +=10分96、x x x xd )(ln ln 12⎰+⎰⎰+=x x xx x x ln d )(ln d 25分⎰⎰+=x x x x ln )d(ln )(ln )d(ln 2 7分.ln ln ln 1c x x++-= 10分97、⎰-+-x xx x d 105211 x xx x x d 525211⎰⋅-=-+5分x x x x d 251d 52⎰⎰---⋅=7分 .22ln 5155ln 2c x x ++-=--10分98、⎰+x exd 12)1d(2212+=⎰+x x e5分 c ex+=+12210分99、⎰+x e e x xd 1 ⎰++=x xe e 1)1d(5分.)1ln(c e x ++=10分100、⎰--+x e ex xd )(2.212c e e x x +--=--10分101、⎰x x d sin 3)d(cos )cos 1(2x x ⎰--= 5分⎰⎰-=)d(cos )d(cos cos 2x x x =-+133cos cos .x x c 10分102、⎰+x x x d )sin (cos 2⎰++=x x x d )sin 22cos 1(5分 .cos 2sin 4121c x x x +-+= 10分103、⎰-++11d x x xx x x d 211⎰--+=5分[]⎰⎰---++=)1d(1)1d(121x x x x 7分 .)1(31)1(312323c x x +--+= 10分104、⎰x x x d sec tan 3 ⎰-=)d(sec )1(sec 2x x 5分 .sec sec 313c x x +-= 10分105、x x x d csc cot 3⎰⎰--=)d(csc )1(csc 2x x 5分 =-++133csc csc .x x c10分106、⎰⋅x x x d sec tan 46⎰+=)d(tan )tan 1(tan 26x x x 5分 .tan 91tan 7197c x x ++=10分107、⎰⋅x x x d csc cot 46⎰+-=)d(cot )cot 1(cot 26x x x 5分 =--+171979cot cot .x x c10分108、x x x d sec tan 4⋅⎰)d(tan )tan 1()(tan 221x x x +⋅=⎰5分 .tan 72tan 3273c x x ++=10分109、x x x d sec tan 35⎰⋅)d(sec )(sec )1(sec 2122x x x ⎰-= 5分⎰+-=)d(sec ))(sec 1sec 2(sec 2124x x x x)d(sec ))(sec )(sec 2)((sec 212529x x x x +-=⎰7分 .sec 32sec 74sec 1123711c x x x ++-=10分110、x x x d csc cot 35⎰⋅)d(csc )(csc )1(csc 2122x x x ⎰--=5分)d(csc ))(csc 1csc 2(csc 2124x x x x +--=⎰ )d(csc ))(csc )(csc 2)((csc 212529x x x x +--=⎰7分 .csc 32csc 74csc 1123711c x x x +-+-= 10分111、x x x d csc cot 43⋅⎰⎰+-=)d(cot )cot 1()(cot 231x x x 5分)(cot d ))(cot )((cot 3731x x x ⎰+-=.cot 103cot 4331034c x x +--= 10分112、⎰x xexd)d(2x e x⎰=5分 c ex+=210分113、x x x ⎰+d 1arctan 2⎰=)d(arctan arctan x x 5分 =+122(arctan ).x c 10分114、⎰+x e e xxd 12 ⎰+=xx ee 21)d( 5分.arctan c e x +=10分115、x e e x x ⎰+d )1(3)1d()1(3++=⎰x x e e 5分 .)1(414c e x ++= 10分116、⎰+x ee xxd 122 ⎰++=xx e e 221)1d(21 5分=++1212ln().e c x 10分117、⎰-+2215d xx x⎰---=2)1(16)1d(x x 5分=-+arcsin.x c 1410分118、⎰-+22d xx x⎰---=2)21(49)21d(x x 5分c x +-=2321arcsin.)21(32arcsin c x +-=10分119、⎰++32d 2x x x⎰++=2)1(d 2x x5分.21arctan21c x ++=10分120、x x xd )1(5⎰+x x x d )1(115⎰+-+= ⎰+-+=x x x d ))1(1)1(1(545分.)1(141)1(13143c x x ++++-= 10分121、x x xd sin ln cot ⎰ ⎰=xx sin ln )sin d(ln 5分 =+ln ln sin .x c10分122、⎰+-=xx cos 2)d(cos 原式⎰++-=xx cos 2)cos 2d(5分=-++22cos x c 10分123、x x x d )2(2321⎰+)2d()2(313321++=⎰x x 5分 .)2(92233c x ++= 10分124、⎰+x x xd )1(22 ⎰++=222)1()1d(21x x 5分=-++12112xc . 10分125、⎰-x xx x x d cos sin 4cos sin 22⎰-=1sin 5)d(sin 2122x x 5分⎰--=1sin 5)1sin 5d(10122x x 7分.1sin 5512c +-=10分126、x x x d cos ⎰)d(cos 2x x ⎰=5分 =+2sin .x c10分127、x xxd 412⎰- ⎰-⋅=xx 41)2d(2ln 1 5分.1212ln 2ln 21c x x +-+= 10分128、⎰-x xx d 913arccos 2)3d(arccos 3arccos 31x x ⎰-= 5分=-+1632(arccos ).x c10分129、x xxx d 1)(arcsin 22⎰--⎰⎰--+=2221)1d(21)d(arcsin )(arcsin x x x x 5分=+-+13132(arcsin ).x x c 10分130、⎰+x x x xd )ln (ln 123⎰=23)ln ()ln d(x x x x5分.)ln (221c x x +-=-10分131、⎰x x d csc 6)d(cot )cot 1(22x x ⎰+-= 5分⎰++-=)d(cot )cot cot 21(42x x x .cot 51cot 32cot 53c x x x +---=10分132、x x d sec 6⎰)d(tan )tan 1(22x x ⎰+= 5分⎰++=)d(tan )tan tan 21(42x x x =+++tan tan tan .x x x c 231535 10分133、⎰-x xx d 183⎰-=244)(1)d(41x x5分=+144arcsin .x c 10分134、x x x d 462⎰+⎰+=4)()d(31233x x 5分=+1623arctan .x c 10分135、⎰⋅x x x d 3cos 2sin⎰+-=x x x d )5sin )(sin(215分 .5cos 101cos 21c x x +-= 10分136、⎰⋅.d 7sin 5sin x x x 求[]⎰--=x x x d )12cos()2cos(215分 .12sin 2412sin 41c x x +-= 10分137、⎰⋅x xx d 3cos 2cos⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰x x x x d 65cos d 61cos 21 5分.65sin 5361sin 3c x x ++=10分 138、⎰=)d(ln )(ln sec 2x x 原式5分 .)tan(ln c x +=10分139、⎰-=2221)2d(41x x ee 原式 5分.21ln 412c e x +--= 10分 140、⎰-=222)2(1)2d(41x x 原式5分.2arcsin 412c x +=10分 141、⎰-=2)2(1)2d(2ln 1x x 原式 5分.2arcsin 2ln 1c x += 10分142、⎰-++x x x x d 1322⎰⎰-++-+-+=1d 21)1d(222x x xx x x x3分⎰-+++-+=222)25()21()21d(21ln x x x x 5分25212521ln 5521ln 2++-++-+=x x x x 8分.512512ln 5521ln 2c x x x x +++-++-+= 10分143、x x x d )2(8232⎰+ ⎰++=233)2()2d(38x x 5分.21383c x ++⋅-= 10分144、x x x d 4252⎰+-x x x x d 424)4d(25222⎰⎰+-++= 5分.2arctan )4ln(252c xx +-+=10分145、x x x x d 13962⎰+++x x x x d 133232⎰+++=3分.13ln 313)13d(3222c x x x x x x +++=++++=⎰10分146、⎰x x x xd 4ln 2ln ⎰++=)d(ln ln 4ln ln 2ln x xx3分⎰+-=)d(ln )ln 4ln 2ln 1(x x7分 =-⋅+ln ln ln ln .x x c 2410分147、⎰-2d bx ax x x bx a b x a d )1(1⎰-+= 5分 .)ln (ln 1c bx a x a+--= 10分148、⎰+x xx xd ln 1ln⎰+=)d(ln ln 1ln x xx3分⎰⎰++-++=xx x x ln 1)ln 1d()ln 1d(ln 17分.ln 12)ln 1(3223c x x ++-+= 10分149、x xxd 1321⎰+ ⎰+=2)(1)d(322323x x 5 分.)arctan(3223c x += 10分150、x x x x d )1(arctan ⎰+)d(arctan arctan 2x x ⎰=5分 .)(arctan 2c x +=10分151、⎰++x x x x d )sin (cos 134⎰++=34)sin ()sin d(x x x x 5分=-++-313(sin ).x x c10分152、⎰x xxd cos sin 3)d(cos cos cos 12x xx ⎰--=5分⎰⎰-=xx x x cos )d(cos )d(cos )(cos 23 7分=-+2525cos cos .x x c 10分153、⎰x x d cosh 1x e e x x d 2⎰-+=3分x e e xxd 122⎰+=5分⎰+=+=.)arctan(21d 22c e ee xxx 10分154、x x d sinh 1⎰ x ee xx d 2⎰--= 3分⎰-=1)d(22x x e e7分.11ln c e e x x ++-=10分155、x xx e e xxxd )ln 3(-+⎰ ⎰⎰+=xx xx e x ln d d )3( 5分 .ln ln 313ln 1c x e x x ++⋅+=10分156、⎰-x xx d 1102arccos 2⎰-=)arccos 2d(1021arccos 2x x 5分.1010ln 21arccos 2c x +-= 10分157、⎰-+-x xx x d 34212⎰⎰----+-=222)23()25(d 2d 3423x x x xx x 7分.532arcsin23422c x x x +---+= 10分158、⎰x x d tan 3⎰-=x x x d tan )1(sec 2 3分 ⎰⎰-=x x x x d tan )d(tan tan 7分 =++122tan ln cos .x x c 10分159、x x d cot 14⎰⎰=x x d tan 4⎰⎰+-=-=x x x x x d )1sec 2(sec d )1(sec 2422 5分 ⎰⎰+-+=x x x x )d(tan 2)d(tan )tan 1(2 7分=+-++tan tan tan x x x x c 1323=-++133tan tan .x x x c 10分160、tan sin cos xx x dx 3222+⎰ )(tan 2tan 3tan 2x d x x ⎰+=5分=+=++⎰163321632222d x x x c (tan )tan ln(tan ). 10分161、⎰--123d 2x x x=--+⎰1411331()x x dx 5分c x x ++--=)13ln 1(ln 41=-++14131ln .x x c 10分162、x x xdx 52+-⎰=-+-+-++-⎰⎰1255125222d x x x x dxx x() 5分⎰---+-+-=22)21(421)21(215x x d x x7分.21)21(2arcsin 2152c x x x +-+-+-= 10分163、dx x x x ⎰+++112⎰⎰+++++++=1211)1(21222x x dxx x x x d 5分⎰+++++=43)21(21122x dxx x 7分=++++++++x x x x x c 22112121ln . 10分164、dx x x⎰+44=+⎰124222d x x ()() 5分.2arctan 412c x += 10分165、34+-⎰xxdx ⎰⎰-+---=xdx dx xx 47445分=-----⎰⎰44744xd x d x x()()7分.414)4(3223c x x +---= 10分166、dx x xsin cos 3⎰⎰=x dxx cot sin 14 3分⎰+-=xx d x cot )(cot )cot 1(27分.cot 21cot ln 2c x x +--=10分167、dxx xsin cos 3⎰ dx xx ⎰=tan sec 43分⎰+=xx d x tan )(tan )tan 1(27分=++ln tan tan .x x c 122 10分168、322152x x x dx ---⎰=---+--⎰⎰322221521522x x x dx dxx x 3分 ⎰--+--=16)1(152ln 2322x dx x x 7分=--+---++322151814142ln ln x x x x c .35ln 81152ln 232c x x x x ++-+--=10分169、dx e e xx⎰+12 =+⎰e d e e x x x()13分()⎰⎰+-=xxxee d e d 1)( 7分=-++e e c x x ln().110分170、⎰xdx x 3sin 2sin 2=-⋅⎰1423cos sin xxdx 3分 []⎰⎰+--=dx x x x xd )7sin()(sin(41)3(3sin 61 7分c x x x ++---=7cos 281)cos(413cos 61.7cos 281cos 413cos 61c x x x ++--=10分171、cos cos 223x xdx ⎰⋅xdx x3cos 24cos 1⋅+=⎰3分 =++⎰163147sin (cos cos )x x x dx 7分 .7sin 281sin 413sin 61c x x x +++= 10分172、⎰+dx exx ln 32⎰⋅=xdx e x 23 3分 ⎰=)3(61232x d e x 7分 .6123c e x += 10分173、dx xa x ⎰-32⎰-=22)()(322323x a x d 5分.arcsin 3223c ax += 10分174、⎰++dx x x cos 1cos 2⎰⎰++=x dxdx cos 13分 ⎰+=2cos 22x dxx5分⎰+=)2(2sec 2xd x x7分。
