2016-2017学年高中数学人教B版必修4学业分层测评29 三角函数的积化和差与和差化积 Word版含解析

一、选择题1．sin 37.5°cos 7.5°＝()A.22 B.24C.2＋14 D.2＋24【解析】原式＝12[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×(22＋12)＝2＋14.【答案】C2．化简：sin 15°＋cos 65°cos 15°＋sin 65°＝()A．sin 10° B．tan 10°C．sin 20° D．tan 20°【解析】原式＝sin 15°＋sin 25°cos 15°＋cos 25°＝2sin 20°cos 5°2cos 20°cos 5°＝tan 20°.【答案】D3．函数f(x)＝sin(2x－π3)cos(2x＋π3)的周期是()A.π2B．πC．2π D．4π【解析】∵f(x)＝12[sin 4x＋sin(－2π3)]＝12sin 4x－34，∴T＝2π4＝π2.【答案】A4．(2019·临沂高一检测)求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝()A.12B.22C.32 D ．1【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80°＝2sin 30°cos(－10°)＋sin 60°－sin 80°＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.【答案】 C5．已知α－β＝2π3，且cos α＋cos β＝13，则cos(α＋β)等于( ) A.29B ．－29 C.79 D ．－79【解析】 ∵cos α＋cos β＝13，∴2cos α＋β2cos α－β2＝13，∵α－β＝23π，∴cos α－β2＝12.∴cos α＋β2＝13则cos(α＋β)＝2cos 2(α＋β2)－1＝－79.【答案】 D二、填空题6．函数y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )的最大值是________． 【解析】 y ＝cos(π3＋2x )cos(π3－2x )＝12 c cos[(π3＋2x )＋(π3－2x )]＋cos[(π3＋2x )－(π3－2x )]}＝12(cos 2π3＋cos 4x )＝12cos 4x －14.∴y max ＝14.【答案】 147．直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________．【解析】 ∵A ＋B ＝π2，sin A sin B ＝12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12cos(A －B )，又－π2＜A －B ＜π2，∴0＜cos(A －B )≤1，∴sin A sin B 有最大值12.【答案】 128.1sin 40°＋cos 80°sin 80°＝________.【解析】 原式＝2cos 40°＋cos 80°sin 80°＝cos 40°＋2cos 60°cos 20°sin 80°＝cos 40°＋cos 20°sin 80°＝2cos 30°cos 10°sin 80°＝2cos 30°＝ 3. 【答案】3 三、解答题9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论．【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B＋C 2.∴y＝tan A2＋2sinB＋C2cosB＋C2＋cosB－C2＝tan A2＋2(sinB2cosC2＋cosB2sinC2)2cosB2cosC2＝tan A2＋tanB2＋tanC2.因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．10．求函数f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]的最小正周期与最值．【解】f(x)＝sin x[sin x－sin(x＋π3)]＝sin x·2cos(x＋π6)sin(－π6)＝－sin x cos(x＋π6)＝－12[sin(2x＋π6)＋sin(－π6)]＝－12sin(2x＋π6)＋14.∴最小正周期为T＝2π2＝π.∵sin(2x＋π6)∈[－1,1]，∴f(x)max＝34，f(x)min＝－14.11．已知3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，求证：sin 2α＝1.【证明】∵3tan(α－π12)＝tan(α＋π12)，∴3sin(α－π12)cos(α－π12)＝sin(α＋π12)cos(α＋π12).∴3sin(α－π12)cos(α＋π12)＝sin(α＋π12)cos(α－π12)．∴32(sin 2α－sin π6)＝12(sin 2α＋sin π6)．∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12，∴sin 2α＝1.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.3 三角函数的积化和差与和差化积同步测试试卷（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1．计算cos 18°cos 42°-cos 72°cos 48°=（）A．12- B．12C．32- D．322．sin 15°cos 165°的值是（）A．14B．12C．14- D．12-3．在△ABC中，若B=30°，则cos Asin C的取值范围是（）A．[-1，1] B．[-12，12]C．[-14，34] D．[-34，14]4. 利用积化和差公式化简sin αsin(π2-β)的结果为（）A．-12[cos(α+β)-cos(α-β)]B．12[cos(α+β)+cos(α-β)]C．12[sin(α+β)-sin(α-β)]D．12[sin(α+β)+sin(α-β)]二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知α，β为锐角，且α-β=π6，那么sinαsinβ的取值范围是____________．6．已知sin（α+β）•sin（β-α）=m，则cos2α-cos 2β的值为____________．三、解答题(共70分)7．（15分）已知函数f(x)=4cos x sin(x+π6)-1．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[-π6，π4]时，求函数f（x）的值域．8.（20分）已知函数f （θ）=-12+5sin 22sin 2θθ（0＜θ＜π），将f （θ）表示成关于cos θ的多项式．9．(20分)已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值．10.（15分）已知sin α+sin β=2，cos α+cos β=32，求tan （α+β）的值．3.3 三角函数的积化和差与和差化积（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.3 三角函数的积化和差与和差化积（数学人教B版必修4）答案一、选择题1. B 解析：原式=cos 18°cos 42°-sin 18°sin 42°=cos(18°+42°)=cos 60°=12．故选B.2. C解析：sin 15°cos165°=sin 15°cos（180°-15°）=-sin 15°cos15°=-12sin30°=-14，故选C.3.C 解析：cos Asin C=12[sin（A+C）-sin（A-C）]=12[sin（π-B）-sin（A-C）]=14-12sin（A-C）.因为-1≤sin（A-C）≤1，所以-14≤14-12sin（A-C）≤34，即cos Asin C的取值范围为[-14，34],故选C.4.D 解析：sinαsin(π2-β)=sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α-β)].故选D.二、填空题5. (0，32) 解析：：∵α-β=π6,∴sinαsinβ=-12[cos（α+β）-cos（α-β）]=-12[cos（α+β）-32]=-12[cos（2β+π6）-32].∵β为锐角，即0＜β＜π3,∴π6＜2β+π6＜5π6.∴-32＜cos（2β+π6）＜32.∴0＜-12[cos（2β+π6）-32]＜32.6. m 解析：由已知得sin（α+β）•sin（β-α）=cos2cos22αβ-=22(2cos1)(2cos1)2αβ---=cos2α-cos2β=m.三、解答题7.解：（1）f（x）=4cos xsin（x+π6）-1=4cos x（32sin x+12cos x）-1=23sin x cos x+2cos2x-1=3sin 2x+cos 2x=2sin（2x+π6），令2k π+π2≤2x+π6≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得：k π+π6≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ， 则f （x ）的单调递减区间为[k π+π6，k π+2π3],k ∈Z ；（2）∵x ∈[-π6，π4]，∴2x+π6∈[-π6，2π3]，∴sin （2x+π6）∈[-12，1]，则f （x ）的值域为[-1，3]．8．解：f （θ）=-12+5sin 22sin 2θθ=-12+ 5sin cos 222sin cos 22θθθθ=-12+sin 3sin 22sin θθθ+ =-12+sin cos 2cos sin 22sin cos 2sin θθθθθθθ++ =-12+22sin (2cos 1)2sin cos 2sin cos 2sin θθθθθθθ-++=-12+22cos 4cos 12θθ+-=2cos 2θ+cos θ-1.9. 解：由题设条件知B =60°，A+C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A+cos C=－22cos Acos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A+C ）+cos （A －C ）］， 将cos 2C A +=cos60°=21，cos （A+C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2C A -=22－2cos （A －C ），将cos （A －C ）=2cos 22C A -－1代入上式并整理得42cos 22C A -+2cos 2C A -－32=0，即［2cos 2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0．∵22cos2C A -+3≠0，∴2cos 2C A -－2=0．∴cos 2C A -=22．10. 解：322cos cos sin sin =++βαβα，由和差化积公式得2-2+2-2+βαβαβαβαcos cos 2cossin2=3， ∴tan2+βα=3，从而tan （α+β）=433132tantan222-=-⨯=2+-12+βαβα．。

学业分层测评(三）(建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1。

下列三角函数判断错误的是（)A。

sin 165°〉0 B.cos 280°〉0C。

tan 170°>0 D。

tan 310°〈0【解析】∵90°〈165°〈180°,∴sin 165°>0；又270°<280°<360°,∴cos 280°>0；又90°<170°〈180°，∴tan 170°〈0；又270°〈310°<360°，∴tan 310°〈0，故选C。

【答案】C2。

已知角α终边上异于原点的一点P且|PO｜＝r，则点P坐标为( )A。

P（sin α，cos α) B。

P(cos α，sin α）C。

P（r sin α，r cos α) D。

P（r cos α,r sin α）【解析】设P(x，y），则sin α＝错误!，∴y＝r sin α,又cos α＝错误!,x ＝r cos α，∴P(r cos α，r sin α），故选D.【答案】D3。

角α的终边上有一点（－a，2a)（a<0），则sin α的值为（) A。

－错误! B.错误!错误!C.错误!D。

－错误!错误!【解析】因为a〈0，所以sin α＝错误!＝错误!＝－错误!。

【答案】D4。

若θ是第二象限角，则（)A。

sin 错误!〉0 B。

cos 错误!〈0C。

tan 错误!〉0 D。

以上均不对【解析】∵θ是第二象限角,∴2kπ＋错误!〈θ<2kπ＋π，∴kπ＋错误! <错误!〈kπ＋错误!，∴错误!是第一或第三象限角,∴tan 错误!〉0.【答案】C5.使得lg(cos αtan α）有意义的角α是（)A.第一或第二象限角B。

3.3三角函数的积化和差与和差化积知识梳理1.积化和差公式 sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］; cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］; cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］; sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. 特点：同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角.2.和差化积公式 sinx+siny=2sin2y x +cos 2y x -; sinx-siny=2cos 2y x +sin 2y x -; cosx+cosy=2cos 2y x +cos 2y x -; cosx-cosy=-2sin 2y x +sin 2y x -. 3.常用到的三角恒等变换 f(x)=asinx+bcosx=22b a +sin(x+θ)(ab≠0)，其中tanθ=ab ,由a 和b 的符号确定θ所在的象限.知识导学复习两角和与差的正弦、余弦公式.本节重点是公式的推导与应用，难点是公式的灵活应用.和差化积公式和积化和差公式不要求记忆.疑难突破1.如何推导出三角函数的和差化积公式与积化和差公式？剖析:难点是面对两角和与差的正弦或余弦公式，不知道从何处入手.其突破口是：利用方程的思想推导积化和差公式，利用“换元”思想推导和差化积公式.(1)积化和差公式的推导∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，①sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，②∴①+②，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，即sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］. ①-②得sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ， 即cosαsinβ=21［sin(α+β)-sin(α-β)］. ∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，③cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，④∴③+④得cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ.即cosαcosβ=21［cos(α+β)+cos(α-β)］. ③-④得cos (α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ， 即sinαsinβ=-21［cos(α+β)-cos(α-β)］. (2)和差化积公式的推导令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-， 代入sinαcosβ=21［sin(α+β)+sin(α-β)］, 得sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=21［sin(2ϕθ++2ϕθ-)+sin(2ϕθ+-2ϕθ-)］， ∴sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-=21(sinθ+sinφ). 整理得sinθ+sinφ=2sin 2ϕθ+cos 2ϕθ-. 同理可得sinθ-sinφ=2cos 2ϕθ+sin 2ϕθ-； cosθ+cosφ=2cos 2ϕθ+cos 2ϕθ-； cosθ-cosφ=-2sin 2ϕθ+sin 2ϕθ-. 2.和差化积与积化和差公式有什么作用？剖析:难点是推导出了公式，但不会应用.其突破方法是分析和理解公式的特点，还要依赖于平时经验的积累.可从以下几方面来理解这两组公式：(1)这些公式都是指三角函数值间的关系而言，并不是指角的关系；(2)只有系数绝对值相同的同名三角函数的和差，才能直接应用公式化为积的形式.如sinα+cosβ就不能直接化积，应先化成同名函数后，再用公式化成积的形式；(3)三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，则因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式就起什么作用.积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑灵活应用二倍角公式的变形进行降幂，然后应用和差化积、积化和差公式进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此,“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.在解题过程中，当遇到三角函数的和时，就试着化为积的形式；当遇到三角函数的积时，就试着化为和差的形式,往往这样就能发现解决三角函数问题的思路.。

课时跟踪检测（二十八） 三角函数的积化和差与和差化积层级一 学业水平达标1．cos 15° sin 105°＝( ) A.34＋12 B. 34－12 C. 32＋1 D. 32－1 解析：选A cos 15°sin 105°＝12[sin(15°＋105°)－sin(15°－105°)]＝12[sin 120°－sin(－90°)]＝12×32＋12×1＝34＋12. 2．化简cos α－cos 3αsin 3α－sin α的结果为( ) A ．tan αB ．tan 2α C. 1tan α D. 1tan 2α解析：选B 原式＝－2sin 2α·sin (－α)2cos 2α·sin α＝tan 2α.3．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2的最大值等于( ) A ．2sin 2α2B ．－2sin 2α2C ．2cos 2α2D ．－2cos 2α2 解析：选A f (x )＝2sin x 2sin ⎝⎛⎭⎫α－x 2 ＝－[cos α－cos(x －α)]＝cos(x －α)－cos α.当cos(x －α)＝1时，f (x )取得最大值1－cos α＝2sin 2α2. 4．将cos 2x －sin 2y 化为积的形式，结果是( )A ．－sin(x ＋y )sin(x －y )B ．cos(x ＋y )cos(x －y )C ．sin(x ＋y )cos(x －y )D ．－cos(x ＋y )sin(x －y ) 解析：选B cos 2x －sin 2y ＝1＋cos 2x 2－1－cos 2y 2＝12(cos 2x ＋cos 2y )＝cos(x ＋y )cos(x －y )．5．已知cos 2α－cos 2β＝m ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )A ．－mB ．mC ．－m 2D. m 2 解析：选A ∵cos 2α－cos 2β＝m ，∴sin(α＋β)·sin(α－β)＝－12(cos 2α－cos 2β) ＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1) ＝cos 2β－cos 2α＝－m .6．cos 2α－cos 3α化为积的形式为________．解析：cos 2α－cos 3α＝－2sin2α＋3α2sin 2α－3α2＝－2sin 5α2sin ⎝⎛⎭⎫－α2＝2sin 5α2sin α2. 答案：2sin 5α2sin α27．sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋β化为和差的结果是________． 解析：原式＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＋β＋sin ()α－β ＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)． 答案：12cos(α＋β)＋12sin(α－β) 8.sin 35°＋sin 25°cos 35°＋cos 25°＝________. 解析：原式＝2sin 35°＋25°2cos 35°－25°22cos 35°＋25°2cos 35°－25°2＝cos 5°3cos 5°＝33. 答案：339．求下列各式的值：(1)sin 54°－sin 18°；(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°.解：(1)sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°＝2·2sin 18°cos 18°cos 36°2cos 18°＝2sin 36°cos 36°2cos 18°＝sin 72°2cos 18°＝cos 18°2cos 18°＝12.(2)cos 146°＋cos 94°＋2cos 47°cos 73°＝2cos 120°cos 26°＋2×12(cos 120°＋cos 26°) ＝2×⎝⎛⎭⎫－12×cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26° ＝－cos 26°＋⎝⎛⎭⎫－12＋cos 26°＝－12. 10．求证：1＋cos α＋cos 2α＋cos 3α2cos 2α＋cos α－1＝2cos α. 证明：因为左边＝(1＋cos 2α)＋(cos α＋cos 3α)(2cos 2α－1)＋cos α＝2cos 2α＋2cos 2αcos αcos 2α＋cos α＝2cos α(cos α＋cos 2α)cos α＋cos 2α＝2cos α＝右边， 所以原等式成立．层级二 应试能力达标1．sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°的值是( )A. 14B. 32C. 12D. 34解析：选A 原式＝12[sin 90°＋sin(－50°)]－12[cos 60°－cos(－40°)]＝12－12sin 50°－14＋12cos 40°＝14. 2．函数y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12－1是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析：选C ∵y ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62－1 ＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝－sin 2x sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝12sin 2x ， ∴此函数是最小正周期为π的奇函数．3．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β的值为( ) A ．－23B ．－13 C. 23 D. 13解析：选D cos(α＋β)cos(α－β)＝12(cos 2α＋cos 2β)＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2β)]＝cos 2α－sin 2β＝13. 4．若A ＋B ＝2π3，则cos 2A ＋cos 2B 的取值范围是( ) A. ⎣⎡⎦⎤0，12 B. ⎣⎡⎦⎤12，1 C. ⎣⎡⎦⎤12，32D ．[0,1] 解析：选C ∵A ＋B ＝2π3，∴B ＝2π3－A ， ∴cos 2A ＋cos 2B ＝1＋cos 2A 2＋1＋cos 2B 2＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos 2π3cos(A －B ) ＝－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1， ∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3≤1， ∴12≤－12cos ⎝⎛⎭⎫2A －2π3＋1≤32. 5．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的最小正周期T ＝________. 解析：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3cos x ＝12⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin π3 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋34， ∴T ＝2π2＝π. 答案：π6．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝________.解析：cos 60°＋cos 80°＋cos 40°＋cos 160°＝12＋cos 80°＋2cos 100°cos 60°＝12＋cos 80°－cos 80°＝12. 答案：127．已知f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2cos θcos x cos(x ＋θ)＋cos 2θ，求f (x )的最大值、最小值和最小正周期．解：∵f (x )＝cos 2(x ＋θ)－2×12[cos(x ＋θ)＋cos(x －θ)]cos(x ＋θ)＋cos 2θ ＝cos 2(x ＋θ)－cos 2(x ＋θ)－cos(x －θ)·cos(x ＋θ)＋cos 2θ＝cos 2θ－12(cos 2θ＋cos 2x ) ＝1＋cos 2θ2－12cos 2θ－12cos 2x ＝－12cos 2x ＋12， ∴f (x )的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.8．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足：(1)A ＋C ＝2B ；(2)1cos A ＋1cos C ＝－2cos B.求cos A －C 2的值． 解：∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°.∵－2cos 60°＝－22， ∴1cos A ＋1cos C＝－22， ∴cos A ＋cos C ＝－22cos A cos C .由和差化积与积化和差公式，得2cos A ＋C 2cos A －C 2＝－2[cos(A ＋C )＋cos(A －C )]， ∴cos A －C 2＝－2⎝⎛⎭⎫－12＋2cos 2A －C 2－1. 化简，得42cos 2A －C 2＋2cos A －C 2－32＝0， ∴⎝⎛⎭⎫2cos A －C 2－2⎝⎛⎭⎫22cos A －C 2＋3＝0.∵22cos A －C 2＋3≠0， ∴2cos A －C 2－2＝0， ∴cos A －C 2＝22.。

1. cos 15 sin 105 =()1解析：选 A cos 15Sin 105 = ?[sin(15 +105 ° - sin(15 -105=2[sin 120 -sin ( - 90」1V+1 x T +2.2.化简cos a -cos 3°的结果为(sin 3a- sin a B . tan 2 a1 C. tan a—2sin 2 a sin — a解析：选 B 原式二2cos 2a sin a = tan 2 a=—[COS a — COs( X — a)] =cos(x — a) — cos a .当 cos (x — a =1 时，f(x)取得最大值 1 — cos a= 2sin 2" 4.将cosx — sin 2y 化为积的形式，结果是( )A. — sin(x + y)sin(x — y)B . cos(x + y)cos(x — y)C . sin(x + y)cos(x — y)D . — cos(x + y)sin(x — y)课时跟踪检测(二十八)层级 三角函数的积化和差与和差化积学业水平达标C.B.D. _3T)]A . tan a3. 函数 f(x) = 2sin^sina-x 的最大值等于2a 2sin 2B .2a —2sin~22 a2cos?2a—2cos?解析：选 A f(x)= 2sinxsin a- X解析：选B2 . 2cosx — sin y = 1 + cos 2x25.已知 cos a- cos 3= m ，那么 sin( a+ B) sin(a — B)等于()B . mmC . — m解析：选 A T coS a — coS 3= m ,1 2 2=—2(2cos a — 1 — 2cos 3+ 1)2 2=cos 3— cos a=— m.6. cos 2 a — cos 3a 化为积的形式为 ________答案：2sin5a sin a7. sin ：+ aj cosf + 3化为和差的结果是 ____________1 12cos(a + 3+ 2Sin( a — 3) sin 35 +sin 25 =8. cos 35 + cos 25 °35 °+ 25 ° 35。

学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A，B，C关系是()A.B＝A∩CB.B∪C＝CC.A CD.A＝B＝C【解析】钝角大于90°，小于180°，故C B，选项B正确.【答案】 B2.下列是第三象限角的是()A.－110°B.－210°C.80°D.－13°【解析】－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角.故选A.【答案】 A3.终边与坐标轴重合的角α的集合是()A.{α|α＝k·360°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°，k∈Z}【解析】终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.【答案】 D4.若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是()A.90°－αB.90°＋αC.360°－αD.180°＋α【解析】因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角.【答案】 C5.在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有()A.α＝－βB.α＝k·180°＋β(k∈Z)C.α＝180°＋βD.α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z)【解析】因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β(k∈Z).【答案】 D二、填空题6.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________.【解析】根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.【答案】120°，300°7.设集合A＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}，B＝{x|k·360°－210°<x<k·360°，k∈Z}，则A∩B＝________.【导学号：72010002】【解析】A∩B＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|k·360°－360°＋150°<x<k·360°－360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋60°<x<k·360°＋300°，k∈Z}∩{x|(k－1)·360°＋150°<x<(k－1)·360°＋360°，k∈Z}＝{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}【答案】{x|k·360°＋150°<x<k·360°＋300°，k∈Z}三、解答题8.在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)－720°到－360°的角.【解】与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.(1)由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.(2)由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.(3)由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.9.若角β的终边落在直线y＝－33x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.【解】∵角β的终边落在直线y＝－33x上，∴在0°到360°范围内的角为150°和330°，∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}.当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.[能力提升]1.如图1-1-4，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是()图1-1-4A.{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}B.{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}C.{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}D.{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}【解析】终边落在直线y＝±x在[0°，360°)内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻两角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}.【答案】 D2.已知，如图1-1-5所示.图1-1-5(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【解】(1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}.(2)由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.。

学业分层测评（十二）（建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1。

下列叙述错误的是( ）A.arctan y表示一个错误!内的角B。

若x＝arcsin y,｜y｜≤1，则sin x＝yC。

若tan 错误!＝y,则x＝2arctan yD。

arcsin y,arccos y中的y∈［－1，1］【解析】∵tan 错误!＝y,∴错误!＝kπ＋arctan y，∴x＝2kπ＋2arctan y,故C错.【答案】C2。

已知sin α＝－错误!,－错误!＜α＜0,则α等于( ）A。

π－arcsin错误!B。

π＋arcsin错误!C。

arcsin错误!D。

－arcsin错误!【解析】－错误!＜α＜0，sin α＝－错误!，所以α＝arcsin错误!.【答案】C3。

若错误!＜x＜π且cos x＝－错误!，则x等于（）A。

arccos错误!B。

－arccos 错误!C.π－arccos 错误!D。

π＋arccos 错误!【解析】∵x∈错误!,∴x＝arccos错误!＝π－arccos 错误!。

【答案】C4。

（2016·大连高一检测）若tan错误!＝错误!，则在区间［0，2π］上解的个数为（)A。

5 B。

4C。

3 D。

2【解析】∵tan错误!＝错误!,∴2x＋错误!＝kπ＋错误!（k∈Z).即x＝错误!－错误!（k∈Z）。

∵x∈[0，2π］，∴k＝1,2，3，4时，x分别为错误!，错误!π，错误!，错误!π。

故选B。

【答案】B5.直线x＋2y＋1＝0的倾斜角为（)【导学号：72010035】A.arctan错误!B。

－arctan 错误!C.arcsin错误!D.arccos错误!【解析】直线x＋2y＋1＝0可化为y＝－错误!x－错误!，∴直线斜率k＝－错误!，设直线倾斜角为α，则tan α＝－错误!，故α为钝角，∴cos α＝－错误!，∴α＝arccos错误!.【答案】D二、填空题6。

(2016·威海高一检测）函数y＝arccos（sin x）错误!的值域为________.【解析】∵－错误!≤x≤错误!，∴－错误!≤sin x≤1,∴0≤arccos（sin x）≤5π6 .【答案】错误!7。

高中数学人教b版高一必修4学业分层测评3_三角函数的定义_word版含解析学业分层测评(三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列三角函数判断错误的是()A.sin 165°>0B.cos 280°>0C.tan 170°>0D.tan 310°<0【解析】∵90°<165°<180°，∴sin 165°>0；又270°<280°<360°，∴cos 280°>0；又90°<170°<180°，∴tan 170°<0；又270°<310°<360°，∴tan 310°<0，故选C.【答案】 C2.已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P坐标为()A.P(sin α，cos α)B.P(cos α，sin α)C.P(r sin α，r cos α)D.P(r cos α，r sin α)【解析】设P(x，y)，则sin α＝yr，∴y＝r sin α，又cos α＝xr，x＝r cos α，∴P(r cosα，r sin α)，故选D.【答案】 D3.角α的终边上有一点(－a,2a)(a<0)，则sin α的值为()A.－55 B.25 5C.55 D.－25 5【解析】因为a<0，所以sin α＝2a(－a)2＋(2a)2＝2a－5a＝－255.【答案】 D4.若θ是第二象限角，则()A.sin θ2>0 B.cosθ2<0C.tan θ2>0D.以上均不对【解析】 ∵θ是第二象限角，∴2k π＋π2<θ<2k π＋π，∴k π＋π4<θ2<k π＋π2，∴θ2是第一或第三象限角，∴tan θ2>0. 【答案】 C5.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是( )A.第一或第二象限角B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角【解析】 要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角.【答案】 A二、填空题6.设α为第二象限角，则点P (cos α，sin α)在第________象限.【解析】 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0.【答案】 二7.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________.【解析】 由⎩⎨⎧ cos α≤0，sin α＞0，得⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2＞0， 解得－2＜a ≤3.【答案】 －2＜a ≤38.若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则cos α＝________. 【导学号：72010008】【解析】 ∵过点P (－3，y )，∴sin α＝y 3＋y2＝34y . 又y ≠0，∴13＋y 2＝34，∴|OP |＝3＋y 2＝43＝433＝r ， ∴cos α＝x r ＝－3433＝－34. 【答案】 －34 三、解答题9.已知角α的终边经过点P (1，3)，(1)求sin α＋cos α的值；(2)写出角α的集合S .【解】 (1)由点P 的坐标知，r ＝|OP |＝2，x ＝1，y ＝3，∴sin α＝32，cos α＝12， ∴sin α＋cos α＝3＋12. (2)由(1)知，在0～2π内满足条件的角α＝π3， ∴角α的集合S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z . 10.在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值.【解】 ①当α的终边在第二象限时，取终边上的点P (－4，3)，OP ＝5，sin α＝35，cos α＝－45＝－45，tan α＝3－4＝－34， 所以sin α－3cos α＋tan α＝35＋125－34＝94. ②当α的终边在第四象限时，取终边上的点P (4，－3)，OP ＝5，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34＝－34， 所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154. [能力提升]1.德一中高一测试)若θ是第三象限角，且cos θ2<0，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【解析】 由θ为第三象限角，知2k π＋π<θ<2k π＋32π，∴k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )，∴θ2为二、四象限的角.又cos θ2<0，∴θ2为第二象限角.【答案】 B2.如果α的终点过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin π6，－2cos π6，则sin α的值等于()A.12B.－12C.－32D.－33【解析】 ∵2sin π6＝1，－2cos π6＝－3，∴r ＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32.【答案】 C3.函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x 的值域是________.【解析】 由题意知x 不是终边在坐标轴上角，则有：x 为第一象限角时：y ＝sin xsin x ＋cos xcos x ＋tan xtan x ＝3；x 为第二象限角时：y ＝sin xsin x ＋cos x－cos x ＋－tan xtan x ＝－1；x 为第三象限角时：y ＝－sin x sin x ＋cos x －cos x ＋tanxtan x ＝－1；x 为第四象限角时：y ＝－sin xsin x ＋cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1；综上知此函数值域为{－1,3}.【答案】 {－1,3}4.判断下列各式的符号：(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－234π； (3)sin (cos θ)cos (sin θ)(θ为第二象限角). 【解】 (1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角， ∴sin 340°<0，cos 265°<0，∴sin 340°cos 265°>0.(2)∵π<4<3π2，∴4是第三象限角， ∵－23π4＝－6π＋π4， ∴－23π4是第一象限角. ∴sin 4<0，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4>0， ∴sin 4tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4<0. (3)∵θ为第二象限角，∴0<sin θ<1<π2，－π2<－1<cos θ<0， ∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，∴sin (cos θ)cos (sin θ)<0.。