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第二十九章投影与视图本章小结小结1 本章概述本章在平面知识的基础上加入空间概念的研究，教材从平行投影和中心投影入手，介绍了几何体的三视图，把立体图形转化为平面图形，然后再综合这两方面的知识把平面图形组合成立体图形——制作立体模型．小结2 本章学习重难点【本章重点】通过实例了解平行投影和中心投影的含义及简单应用；会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图(主视图，左视图、俯视图)，会画简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物的原型．【本章难点】了解基本几何体与其三视图、展开图(球除外)之间的联系，通过典型实例知道这种关系在现实生活中的应用(如物体的包装)．【学习本章应注意的问题】新课标提出“抽象概念的数学，要关注概念的实际背景与形成过程”．学习概念时，要注意联系实际，加深对概念的理解与应用，淡化过于形式化的叙述．画三视图时，应注意看不见部分的轮廓线要画成虚线，看得见部分的轮廓线要画成实线，要注意找准物体的位置，且要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，即主视图、俯视图的长相等，左视图、主视图的高相等，左视图、俯视图的宽相等．小结3 中考透视本章内容与其他章内容有较为明显的区别，它与直观图形的关系密切，需要在图形形状方面进行想象和判断，要完成的题目多是识图、画图，制作模型等类型题，而很少涉及与度量或计算有关的问题，一般以选择题的形式出现，约占3~9分．灯光和影子是新课程标准的添加内容，在以往的教材中没有这部分知识，故在近几年中考中没有对该部分内容的考查，在今后的中考试题中，估计会有部分考查点以填空题、选择题的形式出现，或以作图题的形式出现．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 画立体图形的三视图【专题解读】画一个几何体的三视图时，要有—定的想象能力，想象出它从正面、侧面和上面看分别是什么图形，然后把各个图形画出来即可．例1 如图29－77所示，这个几何体的主视图是图29－78中的 ( )分析从正面看应选A【解匙策略】解此类题时要注意发挥空间想象能力．例2 如图29－79所示的是一根钢管的直观图，则它的三视图为(如图29－80所示) ( )分析由直观图可确定D正确．故选D．例 3 由四个大小相同的正方体组成的几何体如图29－81所示，那么它的左视图是如图29－82所示的( )分析从左边观察几何体所得的平面图形即为左视图，故选A．例 4 由两块大小不同的正方体搭成如图29－83(1)所示的几何体，它的主视图是如图29－83(2)所示的( )分析先细心观察原立体图形中两个正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．故选C．专题2 由三视图到立体图形【专题解读】根据三视图描述立体图形的形状，也是本章的重点知识，它需要将三个平面图形结合起来进行整体分析，这样有利于形成整体意识、空间观念及综合分析问题的能力．例5 如图29－84所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为l的正三角形，俯视图是一个圆及圆心，那么这个几何体的侧面积是．分析这个几何体为圆锥，底面圆的半径为12，侧面展开图为扇形，扇形的半径为圆锥的母线长1，扇形的弧长为2π×12＝π，由扇形的面积公式S＝12lR得这个几何体的侧面积为S＝12×1×π＝π2.故填号π2.【解题策略】本题主要考查由三视图到立体图形，以及立体图形的侧面展开图和扇形面积公式．例6 某几何体的三种视图如图29－85所示，则该几何体可能是 ( )A．圆锥体 B．球体 C．长方体 D．圆柱体分析根据三视图来描述立体图形的形状，需要将三个平面图形结合起来，整体分析，并进行空间想象，以利于形成整体意识．故选D．例7 在如图29－86所示的四个几何体中，左视图是四边形的几何体共有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个分析圆柱的左视图为长方形，圆锥的左视图为三角形，球的左视图为圆，正方体的左视图为正方形．故选B．例8 如图29－87所示的是某几何体的展开图．(1)这个几何体的名称是；(2)画出这个几何体的三视图；(3)求这个几何体的体积．(π取3.14)分析 (1)两底面为圆，侧面展开图为矩形，很显然是圆柱体；(2)主视图、左视图、俯视图分别为矩形、矩形、圆；(3)底面半径为5，高为20，由圆柱体的体积公式即可求解．解：(1)圆柱(2)如图29－88所示．(3)V＝πR2·h＝π·52×20＝500π≈1570．【解题策略】本题综合考查了由侧面展开图到立体图形，以及立体图形到三视图和立体图形的体积计算．例9 如图29－89所示的是一个几何体的三视图．(1)写出这个几何体的名称；(2)根据所示数据计算这个几何体的表面积；(3)如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点B出发，沿表面爬到AC的中点D，请你求出这个线路的最短路程．解：(1)圆锥．(2)表面积S＝S扇形＋S圆＝πrl＋πr2＝12π＋4π＝16π(平方厘米)．(3)如图29－90所示，将圆锥侧面展开，线段BD为所求的最短路程．由条件得∠BAB′＝120°，C为弧BB′的中点，所以BD＝3二、规律方法专题专题3 投影在实际生活中的应用【专题解读】投影在现实生活中有很多应用，解决这类问题时，应把它转化为数学问题来解决．例10 如图29－9l所示，不透明圆锥体DEC放在直线BP所在的水平面上，且BP过圆锥底面圆的圆心，圆锥的高为3，底面半径为2 m，某光源位于点A处，照射圆锥体在水平面上留下的影长BE＝4 m．(1)求∠ABC的度数；(2)若∠ACP＝2∠ABC，求光源A距平面的高度．解：(1)过点D作DF⊥BC于点F，由题意得DF＝3，EF＝2m，BE＝4m．在Rt△DFB中，BF＝BE＋EF＝4＋2＝6(m)，DB2222(23)6DF BF++＝3，∴DF＝12BD，∴∠ABC＝30°．(2)过点A作AH⊥BP于点H．∵∠ACP ＝2∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＝30°，∴AC ＝BC ＝8 m ，∠CAH ＝90°－∠ACP ＝90°－60°＝30°．在Rt △ACH 中，∠CAH ＝30°，∴CH ＝12AC ＝12×8＝4(m)， ∴AH ＝22AC CH -＝2284-＝43(m)，即光源A 距平面的高度为43 m ．三、思想方法专题专题4 分类讨论思想【专题解读】一个几何体只给出了部分视图，条件很宽松时，要注意分类讨论．例11 用小方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图29－92所示，这样的几何体有几种?分析根据第二层块数的不同进行分类讨论．解：9种，第一层有5个小方块，第二层可以有2，3，4个小方块，当第二层有2个或3个小方块时，分别有4种情况；当第二层有4个小方块时，有1种情况，所以共有9种这样的几何体.2011中考真题精选1. （2011某某荆州，4，3分）如图．位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一边长为8cm ，则投彩三角形的对应边长为（ ）A 、8cmB 、20cmC 、D 、10cm考点：位似变换；中心投影．专题：几何图形问题．分析：根据位似图形的性质得出相似比为2：5，对应变得比为2：5，即可得出投彩三角形的对应边长． 解答：解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，三角尺的一边长为8cm ， ∴投彩三角形的对应边长为：8÷ 25=20cm ．故选：B．点评：此题主要考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应变得比为2：5，再得出投彩三角形的对应边长是解决问题的关键．2.（2011某某崇左，17，3分）一位小朋友拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上的影子不可能是( )考点：平行投影．专题：应用题．分析：根据看等边三角形木框的方向即可得出答案．解答：解：竖直向下看可得到线段，沿与平面平行的方向看可得到C，延与平面不平行的方向看可得到D，不论如何看都得不到一点．故选B．点评：本题主要考查对平行投影的理解和掌握，能熟练地观察图形得出正确结论是解此题的关键．1.（2011某某某某，4，3分）如图所示的几何体的主视图是（）A、B、C、D、考点：简单组合体的三视图。
图形的变换和投影视图精选考点专项突破卷（一）考试范围：图形的变换和投影视图；考试时间：90分钟；总分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分)1．（2012·辽宁中考真题）下列交通标志是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2019·江苏中考真题）下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．3．（2019·山东中考真题）如左下图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把ADE ∆绕点A 顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．若四边形AECF 的面积为20，DE=2，则AE 的长为（ ）A ．4 B． C ．6 D．4．（2012·湖南中考真题）如右上图，把等腰△ABC 沿底边BC 翻折，得到△DBC ，那么四边形ABDC （ ）A ．是中心对称图形，不是轴对称图形B ．是轴对称图形，不是中心对称图形C ．既是中心对称图形，又是轴对称图形D ．以上都不正确5．（2018·山东中考）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（2013·福建中考真题）如左下图，将Rt△ABC （其中△B=35°，△C=90°）绕点A 按顺时针方向旋转到△AB 1C 1的位置，使得点C 、A 、B 1在同一条直线上，那么旋转角等于（ ）A ．55°B ．70°C ．125°D ．145° 7．（2016·内蒙古中考真题）将点A （3，2）沿x 轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（﹣3，2）B ．（﹣1，2）C ．（1，2）D ．（1，﹣2）8．（2019·浙江中考）如右上图，下列关于物体的主视图画法正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．9．（2019·浙江中考真题）某露天舞台如图所示，它的俯视图是（ ） A ．B ．C ．D ．10．（2013·四川中考真题）下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序正确的是（ ） A ．（3）（1）（4）（2） B ．（3）（2）（1）（4） C ．（3）（4）（1）（2）D ．（2）（4）（1）（3）二、填空题（每小题4分，共28分)11．（2015·青海中考真题）若点（a ，1）与（﹣2，b ）关于原点对称，则b a =_______．12．（2010·江苏中考模拟）如下图，在直角坐标系中，已知点A(－3，0)，B(0，4)，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为______________．13．（2019·山东中考模拟）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是(-1,2) .作点A 关于x 轴的对称点，得到点A 1 ，再将点A 1 向下平移 4个单位，得到点A 2 ，则点A 2 的坐标是_________．14．（2018·江苏中考模拟）如左下图，圆柱形容器高为18cm ，底面周长为24cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点B 处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外币A 处到达内壁B 处的最短距离为 ．15．（2019·湖北中考模拟）将一张长方形纸片按如右上图所示的方式折叠，BD 、BE 为折痕，若△ABE ＝20°，则△DBC 为_____度．16．（2019·吉林中考模拟）如左下图，身高米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为____米．17．（2013·吉林中考模拟）如右上图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据（单位：㎝）可求得这个几何体的体积为 . 三、解答题一（每小题6分，共18分)18．（2018·吉林中考真题）图①、图②均是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM 、ON 的端点均在格点上．在图①、图②给定的网格中以OM 、ON 为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：（1）所画的两个四边形均是轴对称图形． （2）所画的两个四边形不全等．19．（2012·广东中考真题）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （3，2）、B （1，3）．△AOB绕点O 逆时针旋转90°后得到△A 1OB 1．（直接填写答案） （1）点A 关于点O 中心对称的点的坐标为 ； （2）点A 1的坐标为 ；（3）在旋转过程中，点B 经过的路径为弧BB 1，那么弧BB 1的长为 ． 20．（2019·河北中考模拟）如图，△BAD 是由△BEC 在平面内绕点B 旋转60°而得，且AB △BC ，BE ＝CE ，连接DE ． （1）求证：△BDE △△BCE ；（2）试判断四边形ABED 的形状，并说明理由． 四、解答题二（每小题8分，共24分)21．（2019·广东初三月考）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB 所示，他在地面上的影子如图中线段AC 所示，小亮的身高如图中线段FG 所示，路灯灯泡在线段DE 上．（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子． （2）如果小明的身高AB ＝m ，他的影子长AC ＝m ，且他到路灯的距离AD ＝m ，求灯泡的高．22．（2019·江苏初一期末）如图是由一些棱长都为1cm 的小正方体组合成的简单几何体．（1）画该几何体的主视图、左视图和俯视图；（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加 块小正方体．23．（2018·宁夏银川二中中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣4，3）、B（﹣3，1）、C（﹣1，3）．（1）请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度、再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2．（2）在（1）中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标．五、解答题三（每小题10分，共20分)24．（2016·辽宁中考模拟）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求△EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，△BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且△MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN2，ND2，DH2之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，若EG=4，GF=6，求正方形ABCD的边长．25．（2018·广东中考模拟）（12分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE△AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当△OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由。
