数学建模--微分方程第一讲(暑期培训)

建立微分方程模型时，需要注意： (1) 所建立的方程或方程组应满足守恒定律； (2) 如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程； (3) 注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论； (4) 如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分 方程进行定性讨论； (5) 微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨 论或精度要求不高的情形下。
6、微分模型的建模原理
在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程 的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的 规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一 点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲 线。具体步骤如下：
1、转化 实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速率” ”增长“（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变“ （在放射性问题中）以及”边际的“（在经济学中）等。 这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象 在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。
dx kx( K x) dt
研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办 法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以 采用上面的形式。
在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用， 采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。
dx( t ) x r (1 ) x dt N
排除
1 (t ) k12 x1 k13 x1 k21x2 f 0 (t ) x
2 (t ) k12 x1 k21x2 x
f 0 (t ) V2 1 ( t ) ( k12 k13 )c1 k 21c 2 c V1 V1 V1 c 2 ( t ) k12c1 k 21c 2 V2
8、案例－物体的运动、振动、受力形变
导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、 桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控 制，弹性杆受力形变 此类问题一般都可以参照经典的物理原理，建立微分方程模 型，在此基础上再考虑一些细节问题即可。比如往年美国竞 赛题中的摩托车特技飞跃问题。 运动方程不是模型的 难点，但却是一个关 键的基础问题。
u 2 u 表示固定y时，u关于x的变化速度和加速度 , 2 x x 2u 2u , , 表示u关于x的变化速度，在y变化时的变化幅度 yx xy
理解为：价格变动时销量的增幅，关于广告费 用的变化速度。
4、微分和差分方程模型的解
（ 1）解析解（精确解） ——适用于线性系统和少量非线性系统（伯努利方程） （2）数值解（近似解） ——对于多数的线性系统和非线性系统，但不能对系统 的行为提供一个定性解释。 （3）定性解（定性理论分析） ——用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局 的动态行为。 定性理论适用于二维、三维系统。 稳定性理论适用于高维系统。
考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原 则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？ 还是必须去推导呢？大部分微分方程模型 符合下面的模式：
净变化率=输入率—输出率
2、准确性和总体特征
微分方程是一个在任何时刻都必须正确的 瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分 方程模型，首先要把注意力放在方程文字 形式的总关系上：
dx( t ) x r (1 ) x dt N
y k 1
yk y k ry k (1 ), k 0,1, 2, N
di(t ) (1 i(t )) i(t ) i(t ), i(0) i0 dt
如果存在退出系统的情形，则被感染者的数量变化一般可以 用下面的模型表示：
S
I
ds dt s ( t ) i ( t ) di s ( t ) i ( t ) i ( t ) dt dr i ( t ) dt
8、案例－消费品在市场上的销售过程
新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述 新产品占领市场的过程？ 设需求量有一个上界，并记此上界为K， 记 t 时刻已销售出的产品数量为x(t)，则 尚未使用的人数大致为K－x(t)，则基于 阻滞增长模型，可以认为： 记比例系数为k：
dx x( K x) dt
微分方程模型 第一讲
数学建模暑期培训
1、微分方程的主要适用范围
导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截； 高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微 型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变
• 我们所关心的研究对象的特征，会随时间 (空间)的变化而变 自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的 化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的。 相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物 在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制 • 一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、 粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩 空间连续，那么应该重点考虑利用微分方程建立模型，至少 散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或 可以利用微分方程建立某些子问题的模型。 不同物质间的传导 比如，问题中涉及到： (1) 物体的运动、振动、受力形变 (2) 生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化 (3) 物质、能量的扩散、传递 (4) 消费品在市场上的销售过程 (5) 信息的扩散与传播
如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个 过程中发生了什么————微分方程的求解和求数值解 如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/ 无须获得精确的解————可以利用微分方程几何理论
3、方程的阶数
注意不同阶方程的实际意义 x(t ) f ( t , x( t )) 表达的是某个变量的增长速度，与其当前 状态和时间变量之间的关系。 从几何的角度来理解，表达的是函数的导数，与函数本身及自 变量之间的关系。
其中 x 表示特技演员的位置向量， g 表示重力加速度，k 表示空气阻 力系数，v 表示标量运动速度，m 表示演员+车的质量。
6、案例－生物的数量变化或密度变化
自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、 促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长； 传染病的传播与控制 一个封闭的环境中，没有天敌的某种生物，其数量变化一般 都可以假设服从Logistic规律：
dN (r aN ) N dt
或
dN N r (1 ) N dt K
一个封闭的环境中，两个种群竞争，其数量变化一般都可以 假设满足竞争模型：
x y x y x(t ) rx(1 ), y(t ) y(1 ). M N M N
传染病或病毒的扩散，被感染者的数量变化一般可以用下面 的模型表示：
5、概念框架
前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临 一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架 （建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。 具体如下： （1）把用语言描述的情况转化为文字方程。 （2）陈述出所涉及的原则或物理定律。 （3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。 （4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。 （5）给出微分方程的解。 （6）求出微分方程的常数。 （7）给出问题答案。 （8）检验答案是否满足问题的要求。 在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成 框架中每一步所要做的事情。
x(k 1) x(k ) f (k , x(k )) 表达的是某个变量的增量，与
其当前状态和所处时间段之间 的关系。
x ( t ) f ( t , x ( t ), y( t ), z ( t )) y( t ) g ( t , x ( t ), y( t ), z ( t )) z ( t ) h( t , x ( t ), y( t ), z ( t ))

如果讨论的事物，有多个变量会 随着时间变化，而且可以分析出 这些变量的增长速度与事物当前 状态和时间变量之间的关系，可 以考虑建立一阶微分方程组。
3、方程的阶数
二阶、二阶以上的常微分方程通常用于有运动的物理现象。 通常经济、管理、生态系统等领域，较少有实际量会涉及到二 阶导数，即所谓的加速度。
偏微分方程比较复杂，比如对于u(x,y)：u为产品销量；x为产 品价格；y为广告宣传费用。
净变化率=输入率—输出率
或者： 变化率（微商）=单位增加量--单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。
3、单位 一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中， 就要确保每一项都采用同样的物理单位。 这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。
4、约束条件
约束条件是关于所研究对象在某一特定时刻 的信息（比如初始时刻），它们独立于微分 方程而存在。在建立微分方程模型后，利用 它们来确定模型中有关的常数，这些常数包 括比例系数、原微分方程的其他参数和解中 的积分常数。为了完整，充分地给出问题的 数学陈述，建模过程中应该将这些约束 条件和微分方程一起写出。
y k 1
yk y k ry k (1 ), k 0,1, 2, N
y k 1
r ( r 1) y k (1 yk ) ( r 1) N
如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新 对销量的影响，可以采用时滞微分方程。
考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。
7、建立微分方程模型的依据
根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，随着时间 /空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些 指标的数值或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关 系，则可以据此建立微分方程模型。
x(t ) px(t ) qy(t ) x(t t ) x(t ) c t x(t ) y(t ) px(t ) qy(t )
2、微分方程模型的分析方法
比如，问题中涉及到：(1) 物体的运动、振动、受力形变；(2) 生物(动植 物、微生物)的数量变化或密度变化；(3) 物质、能量的扩散、传递；(4) 消费品在市场上的销售过程；(5) 信息的扩散与传播。 导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、 防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变 自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物 链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制 粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过 程的描述，热量在同种或不同物质间的传导