北师大版必修五章末归纳整合课件(三)

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专题三
含参数的不等式的解法
对含有参数的不等式的求解，需要根据问题的实际情 况对字母的取值进行分类讨论．含参数的一元二次不等式 可以从下面三个方面考虑分类讨论： (1)二次项系数为正、负、零； (2)判别式Δ的符号； (3)两根的大小．
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专题一
不等式的基本性质与应用
不等式的性质是本章内容的理论基础，是不等式的 证明和解不等式的主要依据，比较两个实数或代数式的大 小常常用作差法，对差式进行变形并判断差的符号．
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【例1】 比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小．
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规律方法
a＋b 利用基本不等式 ab≤ (a＞0，b＞0)即 a＋b≥ 2
2 ab(a＞0，b＞0)，求 a＋b 的最小值时，必须注意三个条件： 一是 a，b 均为正数；二是 ab 为常数；三是等号必须取到， 三者缺一不可．
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a 设函数 f ( x ) ＝ x ＋ ，x∈[0，＋∞)． 【例5】 x＋1 (1)当 a＝2 时，求函数 f(x) 的最小值； (2)当 0＜a＜1 时，求函数 f(x)的最小值．
∴函数f(x)的图像与x轴交点中左侧的一个在直线x＝－1的 左侧．又f(－1)＝a－1＋1＝a＞0， ∴交点中右侧的那个也在直线x＝－1的左侧． 而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2＋x＋1＝0的 两根x1，x2，∴x1＜－1，且x2＜－1.
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规律方法 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点 的横坐标就是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的 实数根．这样，就可以使二次函数的图像、性质与一元二 次方程的根、判别式相互转化．
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2 5 【例4】 已知 x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，求x＋y的最小值．
[思路探索] 由lg x＋lg y＝1知，xy为定值，直接利用基 本不等式求解．
解 ∵lg x＋lg y＝1， 10 ＝2， xy
2 5 ∴xy＝10，∴ ＋ ≥2 x y
2 5 当且仅当 ＝ ，即 x＝2，y＝5 时，等号成立， x y 2 5 故 ＋ 的最小值为 2. x y
1 (1)当 a＞ ，即 a∈ (－ 1,0)∪ (1，＋∞ )时，原不等式的解集为 a
1 xx＜ 或 x＞ a a ；
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1 (2)当 a＝ ，即 a＝± 1 时， a ①若 a＝1，则原不等式的解集为{x|x≠1}； ②若 a＝－1，则原不等式的解集为{x|x≠－1}； 1 (3)当 a＜ ，即 a∈ (－∞，－ 1)∪(0,1)时，原不等式的解集为 a
1 xx＜ a或 x＞ a .
规律方法 当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常 数，且与之对应的一元二次方程一定有两解，但不知道两 个解的大小时，需要对解的大小进行讨论．
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解读高考高考真题专四运用基本不等式求最值，把握三个条件
(1)在所求最值的代数式中，各变量均应是正数(如不是， 则需进行变号转换)； (2)各变量的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定 值，如不是，则要进行拆项或分解，务必使不等式一边的 和或积为常数； (3)各变量有相等的可能，即相等时，变量有实数解，且 在定义域内，如无，则需拆项、分解以使其满足上述条件 或改用其他方法．
[思路探索] (1)将原函数变形，利用基本不等式求解． (2)利用函数的单调性求解． a 解 (1)把 a＝ 2 代入 f(x)＝ x＋ ， x＋ 1
规律方法 上述这种先平方后比较大小，然后再利用开方 回到原数的方法不能不说是聪明之举，可谓是辗转比较两 数大小的一种妙法．然而，此题如果要是能想到分子有理 化的技巧，其实求解会更加简单．
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专题二
一元二次不等式的解法与三个“二次”之 间的关系
一元二次方程、二次函数、一元二次不等式这三部 分内容是高中数学中应用最广泛的知识点，也是初高中数 学的衔接点．这三个二次式之间无论是在知识上还是在方 法上都是相互关联、相互依存的．在解决有关问题时，相 互转化，则可化难为易、化繁为简，现举例说明如下．
[ 思路探索] 由于 7＞ 3，但 10＜ 14 ，所以此题不便直接 比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小．因此，同学们一般都是 根据不等式性质利用比较法来求解的．
解 法一 ∵( 7＋ 10)2＝17＋2 70，
( 3＋ 14)2＝17＋2 42，而 70＞ 42， ∴17＋2 70＞17＋2 42，即( 7＋ 10)2＞( 3＋ 14)2 ∴ 7＋ 10＞ 3＋ 14.
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【例2】 设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a＞0)有两个 实根x1，x2，求证：x1＜－1且x2＜－1.
证明 令 f(x)＝ax2＋x＋1(a＞0)，
1 1 由 Δ＝1－4a≥0，得 0＜2a≤ ，∴－ ≤－2＜－1， 2 2a 1 ∴抛物线 f(x)的对称轴 x＝－ 在直线 x＝－1 的左侧， 2a
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法二
比较 7＋ 10与 3＋ 14两数的大小，
就相当于比较 7－ 3与 14－ 10两数的大小，即 7－ 3 4 4 4 4 ＝ ， 14－ 10＝ ，而 ＞ ， 7＋ 3 14＋ 10 7＋ 3 14＋ 10 所以 7－ 3＞ 14－ 10，即 7＋ 10＞ 3＋ 14.
【例3】 解关于 x 的不等式 x
解
2
1 －a＋ x＋1＞0(a∈R，且 a
a≠0)．
1 x－ ＞ 0 ，易求得方程 (x － 原 不等式可变形 为 (x － a)· a
1 a)· x－ ＝ 0 a
1 的两个解分别为 x1＝ a 和 x2＝ ，所以 a