2017_2018学年高中数学课时跟踪训练(含答案)十七独立性检验北师大版选修2_3

北师大版 2017-2018学年高中数学必修2全一册课时作业汇编目录2017-2018学年高中数学课时作业1 1.1简单几何体北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业2 1.2直观图北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业3 1.3三视图北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业4 1.4空间图形的基本关系与公理北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业5 1.4空间图形的基本关系与公理北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业6 1.5平行关系北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业7 1.5平行关系北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业8 1.6垂直关系北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业9 1.6垂直关系北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业10 1.6垂直关系北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业11 1.7简单几何体的面积和体积北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业12 1.7简单几何体的面积和体积北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业13 1.7简单几何体的面积和体积北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业14 2.1直线与直线的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业15 2.1直线与直线的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业16 2.1直线与直线的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业17 2.1直线与直线的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业18 2.1直线与直线的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业19 2.1直线与直线的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业20 2.2圆与圆的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业21 2.2圆与圆的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业22 2.2圆与圆的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业23 2.2圆与圆的方程北师大版必修2含答案2017-2018学年高中数学课时作业24 2.3空间直角坐标系北师大版必修2含答案课时作业1简单几何体|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下面的几何体中是棱柱的有( )A．3个B．4个C．5个 D．6个解析：棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.答案：C2．下面图形中，为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.答案：C3．下列图形中，是棱台的是( )解析：由棱台的定义知，A、D的侧棱延长线不交于一点，所以不是棱台；B中两个面不平行，不是棱台，只有C符合棱台的定义，故选C.答案：C4．给出下列说法：①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台；③圆锥、圆台的底面都是圆面；④分别以矩形长和宽(长和宽不相等)所在直线为旋转轴，旋转一周而得的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确说法的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体才是圆锥，若以斜边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体是由两个圆锥组成的组合体，故①错误；以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体是圆台，以其他的边所在直线为旋转轴，旋转一周而得的旋转体不是圆台，②错误；③④是正确的．答案：B5．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的( )解析：由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离．故正确答)．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________112－2①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△长度不一定，三个侧面不一定全等．10.如图所示为长方体ABCD－A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．解析：截面BCFE上方部分是棱柱BB′E－CC′F，其中平面BB′E和平面CC′F是其底面，BC，B′C′，EF是其侧棱．截面BCFE下方部分是棱柱ABEA′－DCFD′，其中平面ABEA′和平面DCFD′是其底面，AD，BC，EF，A′D′是其侧棱．|能力提升|(20分钟，40分)11．有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．②④解析：对于①③两点的连线不一定在圆柱、圆台的曲面上，当然有可能不是母线了，②④由母线的定义知正确．答案：D12．如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题：①点H与点C重合；②点D与点M与点R重合；③点B与点Q重合；④点A与点S重合．其中正确命题的序号是________．(注：把你认为正确的命题的序号都填上)解析：还原成正方体考虑．答案：②④13.如图所示是一个三棱台ABC－A′B′C′，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．解析：过A′，B，C三点作一个平面，再过A′，B，C′作一个平面，就把三棱台ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一)14.如图所示的直角梯形ABCD，AB⊥BC，绕着CD所在直线l旋转一周形成一个几何体，试说明该几何体的结构特征．解析：如图所示，过A，B分别作AO1⊥l，BO2⊥l，垂足分别为O1，O2，则Rt△CO2B绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥，直角梯形O1ABO2绕l旋转一周所形成的几何体是圆台，Rt△DO1A绕l旋转一周所形成的几何体是圆锥．综上，可知所求几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．课时作业2直观图解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为2，所以原图形为平行四边形，位于)如图所示的用斜二测法画的直观图，其平面图形的面积为该直观图的原图为直角三角形，两条直角边分别为4，×22＝64.________．解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为的正方体的直观图．作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，′＝90°，分别过点A，B，如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC，AC中( )⊥BC，从而AB<AD<AC.，BD＝4，AB＝17OAB的直观图．为坐标原点，以OB所在的直线及垂直于轴于点M，如图′＝45°.O′A′B′为水平放置的△OAB的直观图．．画正六棱柱的直观图．′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°；画底面：画正六边形的直观图ABCDEF(O′为正六边形的中心)；C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取′，FF′，使AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′；′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′F′，F′A′，并加以整理，就得到正六棱柱ABCDEF－A′B课时作业3三视图|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )解析：本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，A，B，C，都可能是该几何体的俯视图，D不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形．答案：D2．如图所示，甲、乙、丙是三个几何体的三视图，则甲、乙、丙对应的几何体分别为( )①长方体；②圆锥；③三棱锥；④圆柱．A．④③②B．①③②C．①②③ D．④②③解析：由于甲中的俯视图是圆，则甲对应的几何体是旋转体，又主视图和左视图均是矩形，所以该几何体是圆柱；易知乙对应的几何体是三棱锥；由丙中的俯视图，可知丙对应的几何体是旋转体，又主视图和左视图均是三角形，所以该几何体是圆锥．答案：A3．(2016·河北名师俱乐部3月模拟)某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则( )A．3∈A B．5∈AC．26∈A D．43∈A解析：由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为43，BF的长为25，EF的长为25，EC的长为42，故选D.答案：D4．如图为某组合体的三视图，则俯视图中的长和宽分别为( )A．10,4 B．10,8C．8,4 D．10,5解析：根据三视图中的“主、俯视图长对正，主、左视图高平齐，俯、左视图宽相等”，可知俯视图的长和主视图的长相等，为2＋6＋2＝10，俯视图的宽与左视图的宽相等，为1＋2＋1＝4，所以选A.答案：A5．(2016·东北四市联考(二))如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是线段CD的中点，则三棱锥P－A1B1A的侧视图为( )解析：如图，画出原正方体的侧视图，显然对于三棱锥P－A1B1A，B(C)点均消失了，其余各点均在，从而其侧视图为D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．桌上放着一个半球，如图所示，则在它的三视图及右面看到的图形中，有三个图相同，这个不同的图应该是________．解析：俯视图为圆，主视图与左视图均为半圆． 答案：俯视图 7.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，高为3，则其左视图的面积为________． 解析：由三视图的画法可知，该几何体的左视图是一个矩形，其底面边长为2sin60°＝3，高为3，∴面积S ＝3 3.答案：3 38．(2016·山东安丘市高二上期末)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的正三角形，俯视图是正方形，那么该几何体的侧视图的面积是________．解析：根据三视图可知该几何体是一个四棱锥，其底面是正方形，侧棱相等，所以这是一个正四棱锥．其侧视图与正视图是完全一样的正三角形．故其面积为34×22＝ 3.答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分) 9.试画出如图所示的正四棱台的三视图．解析：如图．10．根据图中的三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．解析：由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由上面一个正四棱台和下面一个正方体组合而成的，它的实物草图如图所示．|能力提升|(20分钟，40分)11．(2016·广东省台山市华侨中学高二上期末)定义：底面是正三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱叫做正三棱柱．将正三棱柱截去一个角(如图1所示，M，N分别是AB，BC的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图为( )解析：N的投影是C，M的投影是AC的中点．对照各图．选D.答案：D12．一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．解析：三棱锥、四棱锥和圆锥的正视图都是三角形，当三棱柱的一个侧面平行于水平面，底面对着观测者时其正视图是三角形，四棱柱、圆柱无论怎样放置，其正视图都不可能是三角形．答案：①②③⑤13．如图所示，是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和它的主视图和左视图(单位：cm)．请在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图．解析：依据三视图的绘图原则，可作出该几何体的俯视图如图．14．某建筑由相同的若干房间组成，该楼房的三视图如图所示，问：(1)该楼房有几层？从前往后最多要经过几个房间？(2)最高一层的房间在什么位置？请画出此楼房的大致形状．解析：(1)由主视图和左视图可以知道，该楼房有3层；由俯视图知道，从前往后最多要经过3个房间；(2)从主视图和左视图可以知道，最高一层的房间在左侧的最后一排的房间．楼房大致形状如图所示．课时作业4公理1、公理2、公理3及应用|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )A．P⊂l⊂αB．P∈l∈αC．P⊂l∈α D．P∈l⊂α解析：直线和平面可看作点的集合，点是基本元素．故选D.答案：D2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a、b异面矛盾，其余情况均有可能．答案：C3．(2017·安庆市石化一中高二上期中)若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是( ) A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a成90°角解析：因为直线a平行于平面α，所以a与平面α内的直线平行或异面，故A错误；α内有无数条直线与a平行，故B正确；直线a上的点到平面α的距离相等，故C正确；α内存在无数条直线与a成90°角，故D正确．故选A.答案：A4．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．答案：D5．(2015·广东卷)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．设平面α与平面β相交于直线l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则点M与l的位置关系为________．Øα，bØβ，所以M∈α，M∈β.又平面α与平面β相交于直线l，解析：因为a∩b＝M，a所以点M在直线l上，即M∈l.答案：M∈l7．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．解析：空间中和一条直线都相交的两条直线不一定在同一平面内，故①错；若三条直线相交于一点时，不一定在同一平面内，如长方体一角的三条线，故②错；若两平面相交时，也可有三个不同的公共点，故③错；若三条直线两两平行且在同一平面内，则只有一个平面，故④错．答案：08.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④三、解答题(每小题10分，共20分)9．完成下列各题：(1)将下列文字语言转换为符号语言．①点A在平面α内，但不在平面β内；②直线a经过平面α外一点M；③直线l在平面α内，又在平面β内(即平面α和平面β相交于直线l)．(2)将下列符号语言转换为图形语言．①a⊂α，b∩α＝A，A∉a；②α∩β＝c，a⊂α，b⊂β，a∥c，b∩c＝P.解析：(1)①A∈α，A∉β.②M∈a，M∉α.③α∩β＝l.(2)①②10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．解析：(1)不是异面直线，理由：连结MN，A1C1、AC，如图，因为M、N分别是A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A綊D1D，D1D綊C1C，所以A1A綊C1C，四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故MN∥A1C1∥AC，所以A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线．(2)是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1，所以BC⊂平面CC1D1，这显然是不正确的，所以假设不成立，故D1B与CC1是异面直线．|能力提升|(20分钟，40分)11．下列说法中正确的个数是( )①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；②如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；④如果α∥β，a∥α，那么a∥β.A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①中，交线也可能是1条；②a也可能在过b的平面内；③中a不平行于平面α，则a 可能在平面α内，平面α内有与a平行的直线；④中，a可能在β内．故四个命题都是错误的，选A.答案：A12．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析：图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以图(2)，(4)中GH与MN异面．答案：(2)(4)13．求证：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1)如图所示，设直线a 、b 、c 相交于点O ，直线d 和a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C 三点，直线d 和点O 确定平面α，由O ∈平面α，A ∈平面α，O ∈直线a ，A ∈直线a ，知直线a ⊂平面α.同理，b ⊂平面α，c ⊂平面α，故直线a 、b 、c 、d 共面于α.(2)如图所示，设直线a 、b 、c 、d 两两相交，且任何三线不共点，交点分别是M 、N 、P 、Q 、R 、G .由直线a ∩b ＝M ，知直线a 和b 确定平面α.由a ∩c ＝N ，b ∩c ＝Q ，知点N 、Q 都在平面α内．故c Øα，同理可证d Øα.所以直线a 、b 、c 、d 共面于α.由(1)(2)可知，两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内．14．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点．求证：CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．证明：连接EF ，D 1C ，A 1B ，因为E 为AB 的中点，F 为AA 1的中点，所以EF 綊12A 1B .又因为A 1B 綊D 1C ，所以EF 綊12D 1C ，所以E ，F ，D 1，C 四点共面， 可设D 1F ∩CE ＝P .又D 1F ⊂平面A 1D 1DA ，CE ⊂平面ABCD ，所以点P 为平面A 1D 1DA 与平面ABCD 的公共点． 又因为平面A 1D 1DA ∩平面ABCD ＝DA ，所以据公理3可得P ∈DA ，即CE ，D 1F ，DA 三线交于一点．课时作业5 公理4及定理|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交C ．平行D ．异面或相交解析：a 与c 不可能平行，否则由a ∥b ，得b ∥c 与b ∩c ＝A 矛盾．故选D. 答案：D2．若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1方向相同，则下列结论正确的是( ) A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1，方向可能不同 C ．OB 与O 1B 1不平行 D ．OB 与O 1B 1不一定平行解析：在空间中两角相等，角的两边不一定平行，即定理的逆命题不一定成立．故选D. 答案：D3．(2017·安徽宿州十三校联考)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有面对角线中，与AB 1成异面直线且与AB 1成60°的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 解析：如图，△AB 1C 是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B 1C 平行或与AC 平行的直线都与AB 1成60°角．所以异面的有2条．又△AB 1D 1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，选D. 答案：D4．如图，在四面体S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：连接SG 1，SG 2并延长，分别与AB ，AC 交于点M ，N ，连接MN ，则M ，N 分别为AB ，AC 的中点，由重心的性质，知SG 1SM ＝SG 2SN，∴G 1G 2∥MN .又M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，再由平行公理可得G 1G 2∥BC ，故选B.答案：B5．如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45° B．60° C ．90° D．120° 解析：连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝22a ，故所求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．不共面的四点可以确定________个平面．解析：任何三点都可以确定一个平面，从而可以确定4个平面． 答案：47．用一个平面去截一个正方体，截面可能是________． ①三角形；②四边形；③五边形；④六边形． 解析：(注：这儿画了其中的特例来说明有这几种图形) 答案：①②③④8．如图，在正方体AC 1中，AA 1与B 1D 所成角的余弦值是________．解析：因为B 1B ∥A 1A ，所以∠BB 1D 就是异面直线AA 1与B 1D 所成的角，连接BD . 在Rt△B 1BD 中，设棱长为1，则B 1D ＝ 3.cos∠BB 1D ＝BB 1B 1D ＝13＝33.所以AA 1与B 1D 所成的角的余弦值为33.答案：3 3三、解答题(每小题10分，共20分)9．在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.证明：因为P，N分别为AB，AC的中点，所以PN∥BC.①又因为M，N分别为A1C1，AC的中点，所以A1M綊NC.所以四边形A1NCM为平行四边形，于是A1N∥MC.②由①②及∠PNA1与∠BCM对应边方向相同，得∠PNA1＝∠BCM.10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.|能力提升|(20分钟，40分)11．(2017·江西师大附中月考)已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有( )A．1条 B．2条C ．3条D ．4条解析：把a 平移至a ′与b 相交，其夹角为60°. 60°角的补角的平分线c 与a 、b 成60°角． 过空间这一点作直线c 的平行线即满足条件．又在60°角的“平分面”上还有两条满足条件，选C. 答案：C12．(2017·江西新余一中月考)如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，H 分别为AB ，AD 的中点，F ，G 分别是BC ，CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，若BD ＝6 cm ，梯形EFGH 的面积为28 cm 2，则平行线EH ，FG 间的距离为________．解析：EH ＝3，FG ＝6×23＝4，设EH ，FG 间的距离为h ，则S 梯形EFGH ＝EH ＋FG h2＝28，得h ＝8 (cm)．答案：8 cm13．在如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别是棱AB ，AD ，B 1C 1，C 1D 1的中点，求证：(1)EF 綊E 1F 1； (2)∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.证明：(1)连接BD ，B 1D 1， 在△ABD 中，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF 綊12BD .同理，E 1F 1綊12B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，因为A 1A 綊B 1B ，A 1A 綊D 1D ，所以B 1B 綊D 1D .所以四边形BDD 1B 1是平行四边形，所以BD 綊B 1D 1. 所以EF 綊E 1F 1.(2)取A 1B 1的中点M ，连接BM ，F 1M .因为MF 1綊B 1C 1，B 1C 1綊BC ，所以MF 1綊BC .所以四边形BCF 1M 是平行四边形．所以MB ∥CF 1. 因为A 1M 綊EB ，所以四边形EBMA 1是平行四边形． 所以A 1E ∥MB ，所以A 1E ∥CF 1.同理可证：A 1F ∥E 1C .又∠EA 1F 与∠F 1CE 1两边的方向均相反， 所以∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.14．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，D ，E 分别是△PAB 和△PBC 的重心．求证：DE ∥AC ，DE ＝13AC .证明：如图，连接PD ，PE 并延长分别交AB ，BC 于M ，N .因为D ，E 分别是△PAB ，△PBC 的重心，所以M ，N 分别是AB ，BC 的中点，连接MN ，则MN ∥AC ，且MN ＝12AC .①在△PMN 中，因为PD PM ＝PE PN ＝23，所以DE ∥MN ，且DE ＝23MN .②由①，②，根据公理4，得：DE ∥AC ，且DE ＝23×12AC ＝13AC .课时作业6平行关系的判定|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题正确的是( )A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行B．平行于同一个平面的两条直线平行C．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面D．平面外两条平行直线中的一条与这个平面平行，则另一条也与这个平面平行解析：对于A，平面内还存在直线与这条直线异面，错误；对于B，这两条直线还可以相交、异面，错误；对于C，这条直线还可能在其中一个平面内，错误．故选D.答案：D2．使平面α∥平面β的一个条件是( )A．存在一条直线a，a∥α，a∥βØα，a∥βB．存在一条直线a，aØα，bØβ，a∥β，b∥αC．存在两条平行直线a，b，aD．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线解析：A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D正确，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.答案：D3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1E与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．答案：A4．已知A，B是直线l外的两点，则过A，B且和l平行的平面有( )A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能解析：若直线AB与l相交，则过A，B不存在与l平行的平面；若AB与l异面，则过A，B存在1个与l平行的平面；若AB与l平行，则过A，B存在无数个与l平行的平面，所以选D.答案：D5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( )Ø平面ABC，EF 平面ABC，∴EF∥平面ABC.又∵BC同理DE∥平面ABC.又∵EF∩DE＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面周长为________．解析：如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH 为过点G且与平面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)9．(2017·赣州博雅高中月考)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B 与平面ADC1的关系．解析：A1B∥平面ADC1，证明如下：如图，连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．连接FD.。

课时跟踪训练(十七)正态分布一、填空题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．2．设随机变量X～N(1,4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．3．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.4.右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________.5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N(100,102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．二、解答题6.如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图像写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的期望与方差．7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？8．若随机变量X～N(0,1)，查表求：(1)P(0<X≤2.31)；(2)P(1.38≤x<0)；(3)P(|X|<0.5)．答案1．解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，当曲线关于y轴对称时，说明μ＝0.答案：02．解析：∵P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，∴(a＋b)＋(a－b)2＝1.∴a＝1.答案：13．解析：∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(X＞2)＝0.023.∴P(X＜－2)＝0.023.∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9544．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：①②③5．解析：用X 表示此中学数学高考成绩，则X ～N (100,102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝⎛⎭⎫120－10010≈0.023，∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23.答案：236．解：由图易知，该正态曲线关于x ＝72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2π＝1102π得σ＝10，于是概率密度函数的解析式是f (x )＝1102π·e －(x －72)2200，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝72，方差是σ2＝100.7．解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.设分数线为x .则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0<x <x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.又知P (60－2×10<x <60＋2×10)＝0.954 4.∴x ＝60＋2×10＝80(分)．即受奖学生的分数线是80分．8．解：(1)P (0<X ≤2.31)＝P (X ≤2.31)－P (X ≤0)＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P (－1.38≤X <0)＝P (0<X ≤1.38)＝P (X ≤1.38)－P (X ≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P (|X |<0.5)＝P (－0.5<X <0.5)＝P (－0.5<X ≤0)＋P (0<X <0.5)＝2P (0<X <0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)] ＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。

课时作业(十七)一、选择题1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )解析：根据题意得解析式h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.答案：B2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t .当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案：A3．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 y0.240.5112.023.988.02则x 、y ( )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x解析：从表中发现0在函数的定义域内而否定D ；函数不具奇偶性，从而否定C ；自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案：B4．(2012年长沙模拟)国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元解析：设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0≤x ≤800，x －800×14%， 800<x ≤4 000，11%·x ， x >4 000.如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800.答案：C5．在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h解析：假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·2x 2，细菌B 的数量是g (x )＝m ·4x 5，令m ·2x 2＝2·m ·4x5，解得x ＝10.答案：B6．如图为某质点在4秒钟内做直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程s ＝( )A ．10 cmB ．11 cmC ．12 cmD ．13 cm解析：∵该质点运动的总路程为右图阴影部分的面积，∴s＝12×(1＋3)×2＋2×3＋12×1×2＝11(cm)．答案：B二、填空题7．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．解析：设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]∴当x＝95时y最大．答案：958．现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是________．解析：根据已知条件：设y＝200×7%＋x4%200＋x，令5%<y<6%，即(200＋x)5%<200×7%＋x·4%<(200＋x)6%，解得100<x<400.答案：(100,400)9．(2012年青岛一模)A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台．已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．设B市运往C村机器x台，若要求运费W不超过9 000元，共有________种调运方案．解析：因为B市运往C村机器x台，则B市运往D村机器(6－x)台；A市运往C村机器(10－x)台，则A市运往D村机器(x＋2)台．所以依题意得W＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800(x＋2)＝200x＋8 600(0≤x≤6)．由W＝200x＋8 600≤9 000，得x≤2，又因为x 是自然数，所以x可以取0,1,2三个数．故共有3种调运方案．答案：3三、解答题10．电信局为了迎合客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付电话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A 、B 各付话费多少元？ (2)方案B 从500分钟以后，每分钟收费多少元？ (3)通话时间在什么范围时，方案B 才会比方案A 优惠？解：由图知：M (60,98)，N (500,230)，C (500,168)，MN ∥CD ，设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A (x )，f B (x )，即f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧98，0≤x ≤60，310x ＋80，x >60，f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168，0≤x ≤500，310x ＋18，x >500.(1)通话2小时，两方案话费分别为116元和168元．(2)∵当n >500时，f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－⎝ ⎛⎭⎪⎫310n ＋18＝310＝0.3(元)，∴方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图可知，当0≤x <60时，f A (x )<f B (x )，当x >500时，f A (x )>f B (x )．∴当60≤x ≤500时，由f A (x )>f B (x )⇒x >8803，即通话时间大于8803分钟时，方案B 比方案A 优惠．11．(2013年潍坊期末)某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成：①原材料费每件50元；②职工工资支出(7 500＋20x )元；③电力与机器保养等费用为(x 2－30x ＋600)元．其中x 是该厂生产这种产品的总件数．(1)把每件产品的成本费P (x )(元)表示成产品件数x 的函数，并求每件产品的最低成本费；(2)如果该厂生产的这种产品的数量x 不超过170件且能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价为Q (x )(元)，且Q (x )＝1 240－130x 2.试问生产多少件产品，总利润最高？并求出最高总利润(总利润＝总销售额－总的成本)．解：(1)P (x )＝50＋7 500＋20x x ＋x 2－30x ＋600x＝8 100x＋x ＋40，由基本不等式得P (x )≥28 100x·x ＋40＝220，当且仅当8 100x ＝x ，即x ＝90时，等号成立．∴P (x )＝8 100x＋x ＋40，每件产品的成本最小值为220元． (2)设总利润为y ＝f (x )元，则y ＝f (x )＝xQ (x )－xP (x )＝－130x 3－x 2＋1 200x －8 100， f ′(x )＝－110x 2－2x ＋1 200＝－110(x 2＋20x －12 000)＝－110(x －100)(x ＋120)，则当0<x <100时，f ′(x )>0，当x >100时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0,100)单调递增，在(100,170)单调递减，∴当x ＝100时，y max ＝f (100)＝－130(100)3－10 000＋120 000－8 100＝205 7003.故生产100件产品时，总利润最高，最高总利润为205 7003元．12．某地区的农产品A 第x 天(1≤x ≤20，x ∈N *)的销售价格p ＝50－|x －6|(元/百斤)，一农户在第x 天(1≤x ≤20，x ∈N *)农产品A 的销售量q ＝a ＋|x －8|(百斤)(a 为常数)，且该农户在第7天销售农产品A 的销售收入为2 009元．(1)该农户在第10天销售农产品A 的销售收入是多少？ (2)这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？解：(1)由已知第7天的销售价格p ＝49，销售量q ＝a ＋1，∴第7天的销售收入W 7＝49×(a ＋1)＝2 009，解得a ＝40，故第10天的销售收入W 10＝46×42＝1 932(元)．(2)设第x 天的销售收入为W x ，则W x ＝⎩⎪⎨⎪⎧44＋x 48－x ，1≤x ≤6，2009，x ＝7，56－x 32＋x ，8≤x ≤20，当1≤x ≤6时，W x ＝(44＋x )(48－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤44＋x ＋48－x 22＝2 116(当且仅当x ＝2时取等号)，∴当x ＝2时取最大值W 2＝2 116.当8≤x ≤20时，W x ＝(56－x )(32＋x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤56－x ＋32＋x 22＝1936，(当且仅当x ＝12时取等号)，∴当x ＝12时取最大值W 12＝1 936.由于W 2>W 7>W 12，∴第2天该农户的销售收入最大．答：(1)第10天的销售收入为1 932元；(2)第2天该农户的销售收入最大，为2 116元．[热点预测]13．定义域为D 的函数f (x )同时满足条件：①常数a ，b 满足a <b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f (x )在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ](k ∈N *)，那么我们把f (x )叫做[a ，b ]上的“k 级矩形”函数．函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则满足条件的常数对(a ，b )共有几对( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：∵f (x )＝x 3在[a ，b ]上单调递增， ∴f (x )的值域为[a 3，b 3]．又函数f (x )＝x 3是[a ，b ]上的“1级矩形”函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a ，b 3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因此，满足条件的常数对(a ，b )共有3对． 答案：C14．如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先慢后快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的；选A.答案：A15．因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R )个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为y ＝a ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．(1)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？(2)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值．(精确到0.1，参考数据：2取1.4)解：(1)因为a ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10，则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4； 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上，得0≤x ≤8，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天． (2)当6≤x ≤10时，y ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x ＋a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤168－x －6－1＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a14－x －a －4，因为14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，故当且仅当14－x ＝4a 时，y 有最小值为8a －a －4.令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.。

课时跟踪训练(十七) 数系的扩充与复数的引入1．复数1＋i 2的实部和虚部分别是( ) A ．1和i B ．i 和1 C ．1和－1D ．0和02．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．±1D ．－1或－24．已知虚数z ＝x ＋y i 的模为1(其中x ，y 均为实数)，则yx ＋2的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0 5．(湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.6．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为________．7．已知复数z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i ，当实数m 为何值时，①z 是实数；②z ＝4＋6i ；③z 对应的点在第三象限？8．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量1OZ ，2OZ ，3OZ ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．答 案1．选D ∵1＋i 2＝1－1＝0，故选D.2．选D ∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．选B ∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.由x 2－1＝0，得x ＝±1，又由x 2＋3x ＋2≠0，得x ≠－2且x ≠－1，∴x ＝1. 4．选B ∵|z |＝1，∴x 2＋y 2＝1.设k ＝yx ＋2，则k 为过圆x 2＋y 2＝1上的点和点(－2,0)的直线斜率，作图如图所示，∴k ≤13＝33. 又∵z 为虚数，∴y ≠0，∴k ≠0. 又由对称性可得k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，33. 5．解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部，虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i6．解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m 2－1)＋(m 2－2m )i 应为实数，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1>0，m 2－2m ＝0，解得m ＝2. 答案：27．解：z ＝(m 2－3m )＋(m 2－m －6)i. ①令m 2－m －6＝0⇒m ＝3或m ＝－2， 即m ＝3或m ＝－2时，z 为实数．②⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2－m －6＝6⇒m ＝4.即m ＝4时z ＝4＋6i.③若z 所对应的点在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m <0，m 2－m －6<0⇒0<m <3.即0<m <3时z 对应的点在第三象限．8.解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量1OZ ，2OZ ，3OZ 如图所示．|z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，|z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∴在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。

课时跟踪检测（七）平行关系的性质层级一学业水平达标1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定解析：选A由面面平行的性质定理可知选项A正确．2．若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a，b，c，…，那么这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点解析：选A因为直线l∥平面α，所以根据直线与平面平行的性质知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故选A.3．已知直线a∥平面α，直线b平面α，则()A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点解析：选D由题意可知a与b平行或异面，所以两者无公共点．4．已知平面α∥平面β，aα，bβ，则直线a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选D∵平面α∥平面β，∴平面α与平面β没有公共点．∵aα，bβ，∴直线a，b没有公共点，∴直线a，b的位置关系是平行或异面．5. 如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5 B．3∶8C．4∶9 D．4∶25解析：选D∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25.6. 如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：∵在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E为AD 的中点，EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C＝AC ，∴EF ∥AC ，∴F 为DC 的中点，∴EF ＝12AC ＝ 2. 答案： 27．过三棱柱ABC -A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．解析：记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共有6条．答案：68．已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥β，则α∥β；③若a ∥α，a ∥β，则α∥β；④若a α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b .其中正确命题的序号是________．解析：①错误，α与β也可能相交；②错误，α与β也可能相交；③错误，α与β也可能相交；④正确，由线面平行的性质定理可知．答案：④9．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于E ，交DP 于F .求证：四边形BCFE 是梯形．证明：因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，因为AD 平面PAD ，BC 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，所以BC ∥EF .因为AD ＝BC ，AD ≠EF ，所以BC ≠EF ，所以四边形BCFE 是梯形．10．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．证明：∵平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，∴C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，∴四边形ANC 1M 为平行四边形，∴AN ＝C 1M ＝12A 1C 1＝12AC ， ∴N 为AC 的中点．层级二 应试能力达标1．若平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线解析：选D 因为a 与B 确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件的直线，只有唯一一条．2．如图所示的三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，过A 1B 1的平面与平面ABC 交于直线DE ，则DE 与AB 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上均有可能解析：选B 因为A 1B 1∥AB ，AB 平面ABC ，A 1B 1平面ABC ，所以A 1B 1∥平面ABC .又A 1B 1平面A 1B 1ED ，平面A 1B 1ED ∩平面ABC ＝DE ，所以DE ∥A 1B 1.又AB ∥A 1B 1，所以DE ∥AB .3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E ，F ，则四边形D 1EBF 的形状是( )A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．正方形解析：选C 因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED 1，BF ，所以ED 1∥BF ，同理D 1F ∥EB ，所以四边形D 1EBF 是平行四边形．4．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下列结论中正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC解析：选D 由于BD ∥平面EFGH ，由线面平行的性质定理，有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC .5.如图，四边形ABDC 是梯形，AB ∥CD ，且AB ∥平面α，M 是AC 的中点，BD 与平面α交于点N ，AB ＝4，CD ＝6，则MN ＝________.解析：∵AB ∥平面α，AB 平面ABDC ，平面ABDC ∩平面α＝MN ，∴AB ∥MN .又M 是AC 的中点，∴MN 是梯形ABDC 的中位线，故MN ＝12(AB ＋CD )＝5. 答案：56．如图，四边形ABCD 是空间四边形，E ，F ，G ，H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，则当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.解析：因为AC ∥平面EFGH ，所以EF ∥AC ，HG ∥AC .因为BD ∥平面EFGH ，所以EH ∥BD ，FG ∥BD .所以EF ＝HG ＝BE BA ·m ，EH ＝FG ＝AE AB ·n .因为四边形EFGH 是菱形，所以BE AB ·m ＝AE AB ·n ，所以AE ∶EB ＝m ∶n .答案：m ∶n7．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．证明：直线l ∥平面PAC ，证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .而EF 平面BEF ，且平面BEF ∩平面ABC ＝l ，所以EF∥l.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l∥平面PAC.8．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E 的位置；若不存在，请说明理由．解：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1.因为AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，DF∩EF＝F，所以平面DEF∥平面AB1C1.又DE平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.。

课时跟踪训练(十七)独立性检验1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110n ad－bc 2由χ2＝算得，a＋b c＋d a＋c b＋d110 × 40 × 30－20 × 20 2χ2＝≈7.8.60 × 50 × 60 × 50附表：P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是()A．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”2．下面是2×2列联表：yy1 y2 总计xx1 a 21 73x2 2 25 27总计 b 46 100则表中a，b处的值分别为()A．94、96B．52、50C．52、54 D．54、523．高二第二学期期中考试，对甲、乙两个班级学生的数学考试成绩按照优秀和不优秀统计人数后，得到2×2列联表，则随机变量χ2的值为()班级与成绩统计表优秀不优秀总计甲班11 34 45乙班8 37 45总计19 71 90A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.0044．(江西高考)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1成绩不及格及格总计性别男 6 14 20女10 22 32总计16 36 52表2视力好差总计性别男 4 16 20女12 20 32总计16 36 52表3智商偏高正常总计性别男8 12 20女8 24 32总计16 36 52表4阅读丰富不丰富总计性别男14 6 20女 2 30 32总计16 36 52A．成绩B．视力C．智商D．阅读量5．在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2>3.841时，有95% 的把握说明两个事件有关，当χ2>6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当χ2≤3.841 时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病关系的调查中，共调查了2 000人，经计算得χ2＝20.87，根据这一数据分析，下列关于打鼾与患心脏病之间关系的说法，正确的是________．①有95%的把握认为两者有关；②约有95%的打鼾者患心脏病；③有99%的把握认为两者有关；④约有99%的打鼾者患心脏病．6．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示：死亡存活总计第一种剂量14 11 25第二种剂量 6 19 25总计20 30 50在研究小白鼠的死亡与剂量是否有关时，根据以上数据求得χ2＝________.7．为研究学生的数学成绩与对学习数学的兴趣是否有关，对某年级学生作调查，得到如下数据：成绩优秀成绩较差总计兴趣浓厚的64 30 94兴趣不浓厚的22 73 95总计86 103 189判断学生的数学成绩好坏与对学习数学的兴趣是否有关？8．现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入(单位：百元)的频数分布及对“楼市限购政策”的赞成人数如下表：月收入[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75]频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1(1)根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答是否有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异；月收入不低于5 500元月收入低于5 500元总计赞成不赞成总计(2)若从月收入在[55,65)的被调查对象中随机选取两人进行调查，求至少有一人不赞成“楼市限购政策”的概率．答案1．选C因为χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．2．选C a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故选C.90 × 11 × 37－34 × 8 23．选A随机变量χ2＝≈0.600，故选A.19 × 71 × 45 × 4552 × 6 × 22－14 × 10 2 52 × 824．选D因为χ21＝＝，16 × 36 × 32 × 20 16 × 36 × 32 × 2052 × 4 × 20－16 × 12 2 52 × 1122χ＝＝，216 × 36 × 32 × 20 16 × 36 × 32 × 2052 × 8 × 24－12 × 8 2 52 × 962χ23＝＝，16 × 36 × 32 × 20 16 × 36 × 32 × 2052 × 14 × 30－6 × 2 2 52 × 4082χ24＝＝，16 × 36 × 32 × 20 16 × 36 × 32 × 20则有χ24>χ2>χ23>χ21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．5．解析：χ2＝20.87>6.635，有99%的把握说明两个事件有关，但只是估计，不能肯定什么．答案：③50 14 × 19－6 × 11 26．解析：χ2＝≈5.333.20 × 30 × 25 × 25答案：5.333189 × 64 × 73－22 × 30 27．解：由公式求得χ2＝≈38.459.86 × 103 × 94 × 95∵38.459>6.635，∴有99%的把握认为数学成绩的好坏与对学习数学的兴趣有关．8．解：(1)由题意得2×2列联表：月收入不低于5500 月收入低于5总计元500元赞成 3 29 32不赞成7 11 18总计10 40 50假设月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：50 × 3 × 11－7 × 29 2χ2＝≈6.272<6.635，10 × 40 × 32 × 18所以没有99%的把握认为当月收入以5 500元为分界点时，该市的工薪阶层对“楼市限购政策”的态度有差异．(2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人赞成，3人不赞成，设至少有一个不赞成楼市限C 9 92购政策为事件A，则P(A)＝1－＝.故所求概率为.C2510 10。

课时跟踪训练(七) 二项式定理1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 32．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4103．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．1684．已知⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．(安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 7.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．8．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．答案1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k(－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x6的系数为9C 410.3．选D 在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.4．选B ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.5．解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.答案：126．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－107．解：由题意知，C 8n ＝C 9n . ∴n ＝17. ∴T r ＋1＝C r17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， 即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29.8．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.。

课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n 项可能是( )A ．2×10nB ．2×10n －1C ．2×10n ＋1D ．2×10n －2 12.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A ．2B ．4C ．6D ．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B由题意知275L 2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝f sin F. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。

课时跟踪检测（四）全集与补集层级一学业水平达标1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)等于( )A．{2} B．{5}C．{1,2,3,4} D．{1,3,4,5}解析：选B∵A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{5}．2．已知集合A＝{x∈R|－2＜x＜6}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∪(∁R B)＝( )A．{x|x＜6} B．{x|－2＜x＜2}C．{x|x＞－2} D．{x|2≤x＜6}解析：选C由B＝{x∈R|x＜2}，得∁R B＝{x|x≥2}．又A＝{x∈R|－2＜x＜6}，所以A∪(∁R B)＝{x|x＞－2}．3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：选C∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，∴∁R P⊆Q.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选D∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}∴A∪B＝{1,3,4,5,6}又U＝{1,2,3,4,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,7}．5．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A因为A＝{x|x＞－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．设全集为U，用集合A，B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分．(1)________；(2)________．答案：(1)∁U(A∪B) (2)(∁U A)∩B7．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.解析：借助图形可知∁U A＝{x|x＝－3或x＞4}．答案：{x|x＝－3或x＞4}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或29．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若(∁R A)∩B＝B.求实数m的取值范围．解：∁R A＝{x|x≤－2，或x≥3}，由(∁R A)∩B＝B，得B⊆∁R A，∴m＋9≤－2，或m≥3.故m 的取值范围是{m|m≤－11，或m≥3}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，∁A∪B，A∩∁U B，∁U(A∪B)．U解：如图所示．∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁B)＝{x|2＜x＜3}，∁U(A∪B)＝{x|x＜－3，或3≤x≤4}．U层级二应试能力达标1．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N＝( )A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}解析：选B由M∩(∁U N)＝{2,4}，可得集合N中不含元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N ＝{1,3,5}．2.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：选A图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B ＝{－1,2}．3．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，正确．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅，正确．4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝∅，则M∪N等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：选A 根据题意画出Venn 图，由图可知M ∪N ＝M .5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．解析：∵M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∪N ＝{x |x ＜－2，或x ≥1}． ∴阴影部分所表示的集合为 ∁U (M ∪N )＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：{x |－2≤x ＜1}6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________人．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．答案：127．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127即为所求．8．设全集是实数集R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜12，或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A .当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }．要使B ⊆∁R A ，需要－a ≤12，解得－14≤a ＜0.综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－14，＋∞.。