(推荐)高中数学会考专题集锦-函数的概念与性质专题训练

专题 函数基本性质考点精要会运用函数图像理解和研究函数的性质．热点分析主要考查函数的性质及运用知识梳理1．函数的单调性：设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ⊆．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ∆=->，则当21()()0y f x f x ∆=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ∆=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间）函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则[]()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函数符合的关系．此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧．2．函数的奇偶性：设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x D-∈，且-=-，则这个函数叫做奇函数．设函数y=g（x）的定义域为D，如果对()()f x f xD内的任意一个x，都有x D-∈，且g（－x）=g（x），则这个函数叫做偶函数．如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则它的图像是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．在奇函数与偶函数的定义中，都要求x D-∈，这就是说，一个函数不∈,x D论是奇函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．此外，由奇函数定义可知，若奇函数f（x）在原点处有定义，则一定有f（0）=0，此时函数f（x）的图像一定通过原点．研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要．如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数，则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图象，就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像．由函数奇偶性定义，可以推出如下法则：在公共定义域上：两个奇函数的和函数是奇函数，差函数也是奇函数；两个偶函数的和函数与差函数都是偶函数；两个奇函数的积或商是偶函数；两个偶函数的积或商是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积或者商都是奇函数．3．单调性与奇偶性之间的关系：奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； 例题精讲例 1.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x的是( ) A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+例2 ．对于函数①()2f x x =+，②2()(2)f x x =-，③()cos(2)f x x =-，判断如下两个命题的真假：命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在()-∞2，上是减函数，在(2)+∞，上是增函数； 能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是（ ） Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②Ｄ．③例3,.已知f （x ）是奇函数，当x ∈（0，1）时，f （x ）＝lg 11x+，那么当x ∈（－1，0）时， f （x ） 的表达式是_____。

第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。

高中数学第三章函数的概念与性质基本知识过关训练单选题1、设a为实数，定义在R上的偶函数f(x)满足：①f(x)在[0,+∞)上为增函数；②f(2a)<f(a+1)，则实数a的取值范围为（）A．(−∞,1)B．(−13,1)C．(−1,13)D．(−∞,−13)∪(1,+∞)答案：B分析：利用函数的奇偶性及单调性可得|2a|<|a+1|，进而即得.因为f(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+∞)上为增函数，由f(2a)<f(a+1)可得f(|2a|)<f(|a+1|)，∴|2a|<|a+1|，解得−13<a<1.故选：B.2、函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，则m的取值范围是（）A．[−3,+∞)B．[3,+∞)C．(−∞,5]D．(−∞,−3]答案：D分析：先求出抛物线的对称轴x=−2(1−m)−2=1−m，而抛物线的开口向下，且在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，从而可求出m的取值范围解：函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3的图像的对称轴为x=−2(1−m)−2=1−m，因为函数f(x)=−x2+2(1−m)x+3在区间(−∞,4]上单调递增，所以1−m≥4，解得m≤−3，所以m的取值范围为(−∞,−3]，故选：D3、已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x+4)，且f(x+1)是奇函数，则（）对称A．f(x)是偶函数B．f(x)的图象关于直线x=12,0)对称C．f(x)是奇函数D．f(x)的图象关于点(12答案：C分析：由周期函数的概念易知函数f(x)的周期为2，根据图象平移可得f(x)的图象关于点(1,0)对称，进而可得奇偶性.由f(x+2)=f(x+4)可得2是函数f(x)的周期，因为f(x+1)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(x)=−f(2−x)，f(x)=−f(−x)，所以f(x)是奇函数，故选：C.4、若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有（）A．最小值－8B．最大值－8C．最小值－6D．最小值－4答案：D分析：根据f(x)和g(x)都是奇函数，可得函数y=f(x)+g(x)为奇函数，再根据F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，可得函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，从而可得函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值，即可得出答案.解：因为若f(x)和g(x)都是奇函数，所以函数y=f(x)+g(x)为奇函数，又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，所以函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，所以函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值−6，所以在(－∞，0)上F(x)有最小值－4.故选：D.5、幂函数y=x a，y=x b，y=x c，y=x d在第一象限的图像如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．a>b>c>d B．d>b>c>a C．d>c>b>a D．b>c>d>a答案：D分析：根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，即可判断；根据幂函数的性质，在第一象限内，x=1的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：b>c>d>a，故选：D6、定义在区间[−2,2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（）A．[−2,−1]B．[−1,1]C．[−2,0]D．[−1,2]答案：B分析：根据函数图象直接确定单调递减区间即可.由题图知：在[−1,1]上f(x)的单调递减，在(−2,−1),(1,2)上f(x)的单调递增，所以f(x)的单调递减区间为[−1,1].故选：B定义域为（）7、函数f(x)=0√x−2A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞)答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3，所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型：（1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y 轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.8、已知函数f (x )=(m 2−2m −2)⋅x m−2是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m =（）A ．－1B ．－1或3C ．3D ．2答案：C分析：根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.由题意知：m 2−2m −2=1，即(m +1)(m −3)=0，解得m =−1或m =3，∴当m =−1时，m −2=−3，则f (x )=x −3在(0,+∞)上单调递减，不合题意;当m =3时，m −2=1，则f (x )=x 在(0,+∞)上单调递增，符合题意,∴m =3,故选：C多选题9、已知偶函数f (x )满足f (x )+f (2−x )=0，下列说法正确的是（ ）A．函数f(x)是以2为周期的周期函数B．函数f(x)是以4为周期的周期函数C．函数f(x+2)为偶函数D．函数f(x−3)为偶函数答案：BC分析：根据函数的奇偶性和周期性确定正确选项.依题意f(x)是偶函数，且f(x)+f(2−x)=0，f(x)=−f(2−x)=−f(x−2)，所以A错误.f(x)=−f(x−2)=−[−f(x−2−2)]=f(x−4)，所以B正确.f(x+2)=f(x−2+4)=f(x−2)=f(−(x−2))=f(−x+2)，所以函数f(x+2)为偶函数，C正确.若f(x−3)是偶函数，则f(x−3)=f(−x−3)=f(x+3)，则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x−3)不是偶函数.D错误.故选：BC10、我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在(0,+∞)上单调递增且图象关于y轴对称的是（）A．f(x)=x3B．f(x)=x2C．y=x−2D．f(x)=|x|答案：BD解析：根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.A选项，f(x)=x3定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，但f(−x)=−x3≠f(x)，即f(x)=x3不是偶函数，其图象不关于y轴对称，A排除；B选项，f(x)=x2定义域为R，在(0,+∞)上显然单调递增，且f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，所以f(x)=x2是偶函数，图象关于y轴对称，即B正确；C选项，y=x−2定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，在(0,+∞)上显然单调递减，C排除；D 选项，f (x )=|x |的定义域为R ，在(0,+∞)上显然单调递增，且f (−x )=|−x |=|x |=f (x )，所以f (x )=|x |是偶函数，图象关于y 轴对称，即D 正确.故选：BD.11、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点．故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．12、已知函数f(x)={x 2−2x,x<0−2x+3,x≥0，则（）A．f[f(−1)]=−3B．若f(a)=−1，则a=2C．f(x)在R上是减函数D．若关于x的方程f(x)=a有两解，则a∈(0,3]答案：ABD解析：根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出f(x)的图象，可判断C、D的正误，即可得答案. 对于A：由题意得：f(−1)=(−1)2−2×(−1)=3，所以f[f(−1)]=f(3)=−2×3+3=−3，故A正确；对于B：当a<0时，f(a)=a2−2a=−1，解得a=1，不符合题意，舍去当a≥0时，f(a)=−2a+3=−1，解得a=2，符合题意，故B正确；对于C：做出f(x)的图象，如下图所示：所以f(x)在R上不是减函数，故C错误；对于D：方程f(x)=a有两解，则y=f(x)图象与y=a图象有两个公共点，如下图所示所以a∈(0,3]，故D正确.故选：ABD13、定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)>0，则下列说法正确的是（）A．f(0)=0B．f(x)为奇函数C．f(x)在区间[m,n]上有最大值f(n)D．f(x−1)+f(x2−1)>0的解集为{x|−2<x<1}答案：ABD分析：令x=y=0可判断A选项；令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，得到f(−x)=−f(x)可判断B 选项；任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1−x2<0，f(x1−x2)>0，根据单调性的定义得到函数f(x)在R上的单调性，可判断C选项；由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，结合函数f(x)在R上的单调性可判断D选项.对于A选项，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0，可得f(0)=2f(0)，解得f(0)=0，A选项正确；对于B选项，由于函数f(x)的定义域为R，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=−x，可得f(x)+f(−x)=f(0)=0，所以f(−x)=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，B选项正确；对于C选项，任取x1，x2∈R，且x1<x2，则x1−x2<0，f(x1−x2)>0，所以f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1−x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在R上为减函数，所以f(x)在区间[m,n]上有最小值f(n)，C选项错误；对于D选项，由f(x−1)+f(x2−1)>0可得f(x2−1)>−f(x−1)=f(1−x)，又函数f(x)在R上为减函数，则x2−1<1−x，整理得x2+x−2<0，解得−2<x<1，D选项正确.故选：ABD．填空题14、函数f(x)=√x−4|x|−5的定义域是______.答案：[4,5)∪(5,+∞)解析：利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，列不等式组求得自变量的取值范围即可．要使函数f(x)=√x−4|x|−5有意义，则{x−4≥0|x|−5≠0，解得x≥4且，x≠±5，故函数的定义域为[4,5)∪(5,+∞)，所以答案是：[4,5)∪(5,+∞)．15、幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−6m+6在(0,+∞)上单调递减，则m的值为______．答案：2分析：利用幂函数定义求出m值，再借助幂函数单调性即可判断作答.解：因为函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−6m+6是幂函数，则有m2−3m+3=1，解得m=1或m=2，当m=1时，函数f(x)=x在(0,+∞)上单调递增，不符合题意，当m=2时，函数f(x)=x−2在(0,+∞)上单调递减，符合题意.所以m的值为m=2所以答案是：216、若函数f(x)=(2m−1)x m是幂函数，则实数m=______.答案：1分析：根据幂函数定义列方程求解可得.因为f(x)=(2m−1)x m是幂函数，所以2m−1=1，解得m=1.所以答案是：1解答题17、已知函数f(x)=x|x−a|(1)讨论函数f(x)的奇偶性（只需写出正确结论）；(2)当a=2时，写出函数f(x)的单调递增区间：(3)当a≥2时，求函数f(x)在区间[0,2]上的最大值. 答案：(1)答案见解析(2)单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞)(3)f max(x)={a24,2≤a≤4 2a−4,a>4分析：（1）利用奇偶性的定义求解即可；（2）按x的范围去绝对值，进而求单调递增区间即可；（3）由a≥2且x∈[0,2]可得f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，讨论对称轴的位置求最大值即可. （1）当a=0时，f(x)=x|x|，f(−x)=−x|−x|=−x|x|=−f(x)，故f(x)为奇函数；当a≠0时，f(x)=x|x−a|为非奇非偶函数.（2）当a=2时，f(x)=x|x−2|，所以f(x)={x(x−2)=x2−2x,x≥2x(2−x)=−x2+2x,x<2，所以当x≥2时，x2−2x的单调递增区间为[2,+∞)；当x<2时，−x2+2x的单调递增区间为(−∞,1]，所以f(x)的单调递增区间为(−∞,1],[2,+∞).（3）因为a≥2且x∈[0,2]，所以f(x)=−x(x−a)=−x2+ax，对称轴为x=a2，当0<a2≤2，即2≤a≤4时，f max(x)=f(a2)=a24；当a2>2，即a>4时，f(x)在[0,2]上单调递增，f max(x)=f(2)=2a−4，综上f max (x)={a 24,2≤a ≤42a −4,a >4. 18、已知函数f(x)的图象如图所示，其中y 轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．（1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）求f[f(−1)]的值．答案：（1）定义域为[−2，3]，值域为[−2，2]；（2）-1.分析：（1）由图像直接得到定义域和值域；（2）先求出解析式，再直接代入求f[f(−1)]的值.解：（1）由图象可知，函数f(x)的定义域为[−2，3]，值域为[−2，2]；（2）当x ∈[−2，0]时，设f(x)=kx +b(k ≠0)，将(−2,0)，(0,2)代入可得{−2k +b =0b =2， 解得k =1，b =2，即f(x)=x +2，当x ∈(0，3]时，设f(x)=a(x −2)2−2，将点(3,−1)代入可得−1=a(3−2)2−2，解得a =1， ∴f(x)=(x −2)2−2=x 2−4x +2，∴f(x)={x +2,−2⩽x ⩽0x 2−4x +2,0<x ⩽3， ∴f(−1)=−1+2=1，∴f[f(−1)]=f （1）=12−4+2=−1．。

函数的概念与性质专题训练一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1、映射f ：X →Y 是定义域到值域的函数，则下面四个结论中正确的是 A 、Y 中的元素不一定有原象 B 、X 中不同的元素在Y 中有不同的象C 、Y 可以是空集D 、以上结论都不对2、下列各组函数中，表示同一函数的是 A 、||2x y x y ==与B 、2lg lg 2x y x y ==与C 、23)3)(2(+=--+=x y x x x y与D 、10==y x y 与3、函数1+=x y 的定义域是A 、(??,+?)B 、[?1,+? ）C 、[0,+?]D 、(?1,+?)4、若函数y f x =()的图象过点(0，1), 则y f x =+()4的反函数的图象必过点A 、（4，—1）B 、（—4，1）C 、（1，—4）D 、（1，4）5、函数)10(≠>+=+=a a b ax y b a y x且与函数的图像有可能是67A 、())(,a f a -B 、())(,a f a --C 、())(,a f a ---D 、())(,a f a --8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是A 、增函数且最小值是－5B 、增函数且最大值是－5C 、减函数且最大值是－5D 、减函数且最小值是－59、偶函数)(x f y =在区间[0，4]上单调递减，则有A 、)()3()1(ππ->>-f f fB 、)()1()3(ππ->->f f f C 、)3()1()(ππf f f >->-D 、)3()()1(ππf f f >->-10、若函数)(x f 满足)()()(b f a f ab f +=，且n f m f ==)3(,)2.(，则)72(f 的值为A 、n m +B 、n m 23+C 、n m 32+D 、23n m +11、已知函数)(x f y =为奇函数，且当0>x 时32)(2+-=x x x f ，则当0<x 时，)(x f 的解析式A 、32)(2-+-=x x x f B 、32)(2---=x x x fC 、32)(2+-=x x x fD 、32)(2+--=x x x f12、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。

(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第三章函数的概念与性质知识点题库单选题1、下列图形能表示函数图象的是（）A．B．C．D．答案：D分析：根据函数的定义，判断任意垂直于x轴的直线与函数的图象的交点个数，即可得答案.由函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数的图象至多有一个交点，所以A、B显然不符合，C在x=0与函数图象有两个交点，不符合，只有D符合要求.故选：D2、“幂函数f(x)=(m2+m−1)x m在(0,+∞)上为增函数”是“函数g(x)=2x−m2⋅2−x为奇函数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：A分析：要使函数f(x)=(m2+m−1)x m是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，求出m=1，可得函数g(x)为奇函数，即充分性成立；函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数，求出m =±1，故必要性不成立，可得答案.要使函数f (x )=(m 2+m −1)x m 是幂函数，且在(0,+∞)上为增函数，则{m 2+m −1=1m >0，解得：m =1，当m =1时，g (x )=2x −2−x ，x ∈R ， 则g (−x )=2−x −2x =−(2x −2−x )=−g (x )，所以函数g (x )为奇函数，即充分性成立；“函数g (x )=2x −m 2⋅2−x 为奇函数”，则g (x )=−g (−x )，即2x −m 2⋅2−x =−(2−x −m 2⋅2x )=m 2⋅2x −2−x ，解得：m =±1，故必要性不成立，故选：A ．3、已知定义在R 上的奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，且f(1)=0，若实数x 满足xf (x −12)≤0，则x 的取值范围是（ ）A ．[−12,0]∪[12,32]B ．[−12,12]∪[32,+∞)C ．[−12,0]∪[12,+∞)D ．[−32,−12]∪[0,12] 答案：A分析：首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0，从而得到x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0，再分类讨论解不等式xf (x −12)≤0即可.因为奇函数f (x )在(0,+∞)上单调递增，定义域为R ，f(1)=0，所以函数f (x )在R 上单调递增，且f (1)=f (−1)=0.所以x ∈(−∞,−1)，f (x )<0，x ∈(−1,0)，f (x )>0，x ∈(0,1)，f (x )<0，x ∈(1,+∞)，f (x )>0.因为xf (x −12)≤0，当x <0时，f (x −12)≥0，即−1≤x −12≤0或x −12≥1，解得−12≤x <0.当x =0时，符合题意.当x >0时，f (x −12)≤0，x −12≤−1或0≤x −12≤1， 解得12≤x ≤32.综上：−12≤x ≤0或12≤x ≤32. 故选：A4、下列四个函数在(−∞,0)是增函数的为（ ）A ．f (x )=x 2+4B ．f (x )=1−2xC ．f (x )=−x 2−x +1D ．f (x )=2−3x答案：D分析：根据各个函数的性质逐个判断即可对A ，f (x )=x 2+4二次函数开口向上，对称轴为y 轴，在(−∞,0)是减函数，故A 不对．对B ，f (x )=1−2x 为一次函数，k <0，在(−∞,0)是减函数，故B 不对．对C ，f (x )=−x 2−x +1，二次函数，开口向下，对称轴为x =−12，在(−∞,−12)是增函数，故C 不对． 对D ，f (x )=2−3x 为反比例类型，k <0，在(−∞,0)是增函数，故D 对．故选：D5、已知函数f(x)={−3x +3,x <0−x 2+3,x ≥0，则不等式f (a )>f (3a −4)的解集为（ ） A ．(−12,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,2)D ．(−∞,−12)答案：B分析：由分段函数表达式，判断其单调性，利用单调性，求解不等式．根据题目所给的函数解析式，可知函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，所以a <3a −4，解得a >2．故选：B6、设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≥−7B．a≥7C．a≥3D．a≤−7答案：B分析：根据二次函数的图象和性质即可求解.函数f(x)的对称轴为x=a−4，又∵函数在(−∞,3]上为减函数，∴a−4⩾3，即a⩾7．故选：B.小提示：本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.7、若函数y=f(x)在R上单调递增，且f(2m−3)>f(−m)，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,−1)B．(−1,+∞)C．(1,+∞)D．(−∞,1)答案：C分析：由单调性可直接得到2m−3>−m，解不等式即可求得结果.∵f(x)在R上单调递增，f(2m−3)>f(−m)，∴2m−3>−m，解得：m>1，∴实数m的取值范围为(1,+∞).故选：C.8、已知f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则实数a的取值范围是（）A．(0，4)B．(1，+∞)C．(12，52)D．(1，52)答案：D分析：根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a的取值范围. ∵f(x)是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f(2a−3)<f(a−2)，则{2a−3>a−2−2<a−2<2−2<2a−3<2，解得1<a<52故选：D..9、函数f (x )在(−∞,+∞)上是减函数，且a 为实数，则有（ ）A ．f (a )<f (2a )B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2+1)<f (a )D ．f (a 2−a )<f (a )答案：C分析：利用a =0可排除ABD ；根据函数单调性和a 2+1>a 恒成立可知C 正确.当a =0时，ABD 中不等式左右两侧均为f (0)，不等式不成立，ABD 错误；∵a 2+1−a >0对于a ∈R 恒成立，即a 2+1>a 恒成立，又f (x )为R 上的减函数，∴f (a 2+1)<f (a )，C 正确.故选：C.10、已知幂函数y =f(x)的图象过点P(2,4)，则f(3)=（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：D分析：先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求f(3)的值解：设f(x)=x α，则2α=4，得α=2，所以f(x)=x 2，所以f(3)=32=9，故选：D填空题11、已知f (x )={(3a −1)x +4a,x <1−x +1,x ⩾1是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是___. 答案：[17,13) 分析：利用函数在R 上是减函数，可列出不等式组{3a −1<0(3a −1)+4a ⩾−1+1 ，由此求得a 的取值范围.由于f (x )={(3a −1)x +4a,x <1−x +1,x ⩾1是定义在R 上的减函数，∴{3a −1<0(3a −1)+4a ⩾−1+1 ， 求得17⩽a <13，所以答案是：[17,13). 12、函数y =√7+6x −x 2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x −x 2≥0,即x 2−6x −7≤0解得−1≤x ≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．13、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________.答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案；令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增，根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).14、已知函数f (x )=mx 2+nx +2(m,n ∈R )是定义在[2m,m +3]上的偶函数，则函数g (x )=f (x )+2x 在[−2,2]上的最小值为______．答案：－6分析：先利用题意能得到f(−x)=f(x)和2m+m+3=0，解得n=0和m=−1，代入f(x)中，再代入g(x)，再结合二次函数的性质求最小值因为函数f(x)=mx2+nx+2(m,n∈R)是定义在[2m,m+3]上的偶函数，故{f(−x)=f(x)2m+m+3=0，即{mx2−nx+2=mx2+nx+2m=−1，则{2nx=0m=−1解得{n=0m=−1，所以g(x)=f(x)+2x=−x2+2x+2=3−(x−1)2，x∈[−2,2]，所以g(−2)=−(−2)2+2×(−2)+2=−6，g(2)=−22+2×2+2=2，则g(x)min=−6，所以答案是：-615、已知函数y=f(2x+1)的定义域为[−1,2]，则函数y=f(x−1)的定义域为_________.答案：[0,6]分析：根据抽象函数的定义域求解规则求解即可.函数y=f(2x+1)的定义域为[−1，2]，即−1≤x≤2，所以−1≤2x+1≤5，所以−1≤x−1≤5，即0≤x≤6，所以函数的定义域为[0,6].所以答案是：[0,6].解答题16、上海市某地铁项目正在紧张建设中，通车后将给更多市民出行带来便利，已知该线路通车后，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t≤20，t∈N∗，经测算，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁可达到满载状态，载客量为1200人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时载客量为560人，记地铁载客量为p(t).（1）求p(t)的解析式；（2）若该时段这条线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360t−360（元），问当发车时间间隔为多少时，该时段这条线路每分钟的净收益最大？答案：（1）p(t)={−10t 2+200t +200,2≤t <101200,10≤t ≤20(t ∈N ∗)；（2）6分钟. 分析：(1)2≤t <10时，求出正比例系数k ，写出函数式即可得解；(2)求出每一段上的最大值，再比较大小即可得解.（1）由题意知p(t)={1200−k(10−t)2,2≤t <101200,10≤t ≤20(t ∈N ∗ )，（k 为常数）， 因p(2)=1200−k(10−2)2=1200−64k =560，则k =10，所以p(t)={−10t 2+200t +200,2≤t <101200,10≤t ≤20(t ∈N ∗)； （2）由Q =6p(t)−3360t −360得Q ={6(−10t 2+200t+200)−3360t −360,2≤t <103840t −360,10≤t ≤20 ，即Q ={840−60(t +36t ),2≤t <103840t−360,10≤t ≤20 (t ∈N ∗)， ①当2≤t <10时，Q =840−60(t +36t )≤840−60×12=120，当且仅当t =6等号成立； ②当10≤t ≤20时，Q =3840t −360在[10，20]上递减，当t =10时Q 取最大值24，由①②可知，当发车时间间隔为t =6分钟时，该时段这条线路每分钟的净收益最大，最大为120元.17、已知集合A ={x |2<x <4}，集合B ={x |m −1<x <m 2}.(1)若A ∩B =∅；求实数m 的取值范围；(2)命题p:x ∈A ，命题q:x ∈B ，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值集合.答案：(1)−√2≤m ≤√2或m ≥5(2){m |m ≤−2 或2≤m ≤3}分析：（1）讨论B =∅或B ≠∅，根据A ∩B =∅列不等式组即可求解.（2）由题意得出A ⊆B ，再由集合的包含关系列不等式组即可求解.（1）∵A ∩B =∅，∴当B =∅时，m －1≥m 2，解得：m ∈∅.当B ≠∅时，m －1≥4或m 2≤2，∴−√2≤m ≤√2或m ≥5.（2）∵x∈A是x∈B的充分条件，∴A⊆B，∴{m−1≤2m2≥4，解得：m≤－2或2≤m≤3.所以实数m的取值集合为{m|m≤−2或2≤m≤3}18、已知幂函数f(x)=x m2−m−2(m∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上是减函数，求函数f(x)的解析式．答案：f(x)=x−2分析：根据幂函数的单调性，可知m2−m−2<0，又m∈Z，则m=0,1，再根据函数f(x)是偶函数，将m= 0,1分别代入验证可得答案.因为幂函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减，则m2−m−2<0，得m∈(−1,2)，又∵m∈Z，∴m=0或1．因为函数f(x)是偶函数，将m=0,1分别代入，当m=0时，m2−m−2=−2，函数为f(x)=x−2是偶函数，满足条件.当m=1时，m2−m−2=−2，函数为f(x)=x−2是偶函数，满足条件.∴f(x)的解析式为f(x)=x−2．19、判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)=√4−x2|x+3|−3；（2）f(x)=(x−1)√1+x1−x；（3）f(x)=√1−x2+√x2−1；（4）f(x)={x2−2x+3,x>00,x=0−x2−2x−3,x<0. 答案：（1）奇函数（2）既不是奇函数也不是偶函数（3）既是奇函数又是偶函数（4）奇函数分析：根据函数奇偶性的概念，逐问判断即可.（1）由{4−x 2≥0|x +3|−3≠0，得−2≤x ≤2，且x ≠0， 所以f (x )的定义域为[−2,0)∪(0,2]，关于原点对称，所以f (x )=√4−x 2|x+3|−3=√4−x 2x+3−3=√4−x 2x . 又f (−x )=√4−(−x )2−x =−√4−x 2x =−f (x )，所以f (x )是奇函数.（2）因为f (x )的定义域为[−1,1)，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数.（3）对于函数f (x )=√1−x 2+√x 2−1，{1−x 2≥0x 2−1≥0,∴x =±1，其定义域为{−1,1}，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个x ，都有f (x )=0，所以f (−x )=f (x )，f (−x )=−f (x )， 所以f (x )=√1−x 2+√x 2−1既是奇函数又是偶函数.（4）函数f (x )的定义域为R ，定义域关于原点对称.①当x =0时，−x =0，所以f (−x )=f (0)=0，f (x )=f (0)=0，所以f (−x )=−f (x )；②当x >0时，−x <0，所以f (−x )=−(−x )2−2(−x )−3=−(x 2−2x +3)=−f (x )； ③当x <0时，−x >0，所以f (−x )=(−x )2−2(−x )+3=−(−x 2−2x −3)=−f (x ). 综上，可知函数f (x )为奇函数.。

第三章：函数的概念与性质重点题型复习题型一函数的概念辨析【例1】下列关于函数与区间的说法正确的是（）A．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C．数集都能用区间表示D．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【答案】D【解析】对于A，函数的定义域和值域均为非空数集，A错误；对于B，若函数的定义域和值域均为R，对应法则可以是y x=，也可以是2y x=，B错误；对于C，自然数集无法用区间表示，C错误；对于D，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D正确.【变式1-1】下列对应关系或关系式中是从A 到B 的函数的是（ ） A ．A ⊆R ，B ⊆R ，221x y +=B ．{}1,0,1A =-，{}1,2B =，:1f x y x →=+C ．A =R ，B =R ，1:2→=-f x y xD ．A =Z ，B =Z ，:→=f x y 【答案】B【解析】对于A ，221x y +=可化为y =显然对任意x A ∈（1x =±除外），y 值不唯一，故不符合函数的定义； 对于B ，符合函数的定义；对于C ，当2x =时，对应关系无意义，故不符合函数的定义； 对于D ，当x 为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义. 故选：B【变式1-2】已知集合{0,1,2}A =，{1,1,3}B =-，下列对应关系中，从A 到B 的函数为（ ） A ．f ：x y x →= B ．f ：2x y x →= C ．f ：2x y x →= D ．f ：21x y x →=- 【答案】D【解析】对A ：当0,1,2x =时，对应的y x =为0,1,2，所以选项A 不能构成函数；对B ：当0,1,2x =时，对应的2y x =为0,1,4，所以选项B 不能构成函数； 对C ：当0,1,2x =时，对应的2y x =为0,2,4，所以选项C 不能构成函数；对D ：当0,1,2x =时，对应的21y x =-为1-,1,3，所以选项D 能构成函数；故选：D.【变式1-3】如图所示，下列对应法则，其中是函数的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义，即A 中每一个元素在对应法则下，在B 中都有唯一的元素与之对应，对于④⑤，A 的每一个元素在B 中有2个元素与之对应，∴不是A 到B 的函数， 对于⑥，A 中的元素3a 、4a 在B 中没有元素与之对应，∴不是A 到B 的函数， 综上可知， 是函数的个数为3.故选：A.【变式1-4】下列关系中是函数关系的是（ ）A ．等边三角形的边长和周长关系B ．电脑的销售额和利润的关系C ．玉米的产量和施肥量的关系D ．日光灯的产量和单位生产成本关系 【答案】A【解析】根据函数关系的定义可得，选项A 中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的值与其对应， 所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：A【变式1-5】若函数()y f x =的定义域M ＝{x |22x -≤≤}，值域为N ＝{y |02y ≤≤}，则函数()y f x =的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，故错误；C 中图象不表示函数关系，因为存在一个x 对应两个y ，不满足函数定义；D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}.只有B 中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.题型二 判断是否为同一个函数【例2】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()()21,11x f x g x x x -==+- B ．()())22,f x x g x x ==C ．()()2,f x x g x x = D ．()()211,1f x x x g x x =+-=-【答案】C【解析】A. 函数()211x f x x -=-的定义域为{}|1x x ≠，()1g x x =+的定义域为R ，故不是同一函数；B. ()2f x x =R ，()2g x x =的定义域为[0,)+∞，故不是同一函数；C. ()()2,f x x g x x x==的定义域都是R ，且解析式相同，故是同一函数；D. ()11f x x x =+-{}|1x x ≥，()21g x x =-{|1x x ≥或1}x ≤-， 故不是同一函数，故选：C【变式2-1】下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．()0f x x =，()xg x x = B ．()211x f x x -=-，()1g x x =+C ．()11f x x x -+()21g x x =-D ．()f x x =，()2g x x =【答案】A【解析】A 中，()0f x x =，()xg x x= 定义域都为{|0}x x ≠ ，对应关系以及值域相同，故为同一函数；B 中，()211x f x x -=-，定义域为{|1}x x ≠，()1g x x =+定义域为R ，故不是同一函数；C 中，()11f x x x -+{|1}x x ≥，()21g x x =-{|1x x ≥或1}x ≤- ，故不是同一函数；D 中，()f x x =，定义域为R ，()(2g x x =定义域为{|0}x x ≥，故不是同一函数；故选：A【变式2-2】下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．2()f x x =与2()(1)g x x =+B ．3()f x x =-()g x x x =-C ．()xf x x =与01()g x x=D ．()33f x x x =+⋅-与2()9g x x =- 【答案】C【解析】对于A ，()2f x x =，()()21g x x =+，对应关系不同，即不是同一函数，故A 不正确； 对于B ，3()f x x x x =-=--定义域为(,0]-∞，()g x x x =-定义域为(,0]-∞， 定义域相同，对应关系不同，函数不是同一函数，故B 不正确；对于C ，()1xf x x==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，1()1g x x ==，定义域为()(),00,∞-+∞U ， 定义域、对应关系相同，故为同一函数，故C 正确；对于D ，()33f x x x =+⋅-定义域为[)3,+∞，2()9g x x =-定义域为(][),33,∞∞--⋃+， 定义域不同，函数不是同一函数，故D 不正确；故选：C【变式2-3】下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．321x x y x +=+与y x = B ．2x y x =与y x =C ．||x y x=与1y = D ．()21y x =-与1y x =-【答案】A【解析】对于A ，321x xy x x +==+的定义域为R ，y x =的定义域为R ，则两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数；对于B ，2x y x x==的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ，则两个函数的定义域不同，不是同一函数； 对于C ，||x y x=的定义域为{}0x x ≠，1y =的定义域为R ，则两个函数的定义域不同，不是同一函数；对于D ，()211y x x =-=-和1y x =-的对应关系不同，故不是同一函数.故选：A.题型三 求函数的定义域【例3】函数()1321f x x x =--的定义域为（ ）A ．2{|3x x >且1}x ≠ B ．2{|3x x <或1}x > C ．2{|1}3x x ≤≤ D ．2{|3x x ≥且1}x ≠ 【答案】D【解析】由题得3202,103x x x -≥⎧∴≥⎨-≠⎩且1x ≠.所以函数的定义域为2{|3x x ≥且1}x ≠故选：D【变式3-1】函数()2021y x -的定义域为（ ） A ．1,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．11,,322⎛⎫⎛⎤-∞⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦【答案】C【解析】要使函数()2021y x =+-有意义， 则有30210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得3x <且12x ≠，所以其定义域为11,,322⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：C.【变式3-2】已知函数(+1)f x 的定义域为[1,2]，则(23)f x -+的定义域为（ ） A ．[1,2] B ．1[0,]2 C ．[1,1]- D ．1[,1]2【答案】B【解析】因为函数(+1)f x 的定义域为[1,2]，所以12x ≤≤，则2+13x ≤≤，所以22+33x ≤-≤，解得102x ≤≤，所以(23)f x -+的定义域为1[0,]2，故选：B【变式3-3】已知函数()y f x =的定义域为[2,3]-，则函数(21)1f x y x +=+的定义域为( )A ．3[,1]2-B ．3[,1)(1,1]2--⋃- C ．[3,7]- D ．[3,1)(1,7]--⋃- 【答案】B【解析】由题意得：2213x -≤+≤，解得：312x -≤≤，由10x +≠，解得：1x ≠-，故函数的定义域是(]3,11,12⎡⎫---⎪⎢⎣⎭，故选：B ．【变式3-4】函数f （x ）221mx x =--+的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，﹣1] C ．[1，+∞） D ．（﹣∞，﹣1） 【答案】B【解析】f （x ）的定义域是R ，则2210mx x --+≥恒成立，即2+210mx x -≤恒成立，则0Δ0m ⎧⎨≤⎩＜，解得1m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],1-∞-.故选：B.【变式3-5】若函数223()1x f x ax ax -=++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,4)【解析】()f x 的定义域是R ，则210ax ax ++>恒成立，0a =时，2110ax ax ++=>恒成立， 0a ≠时，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<， 综上，04a ≤<． 故答案为：[0,4)．题型四 求函数的解析式【例4】已知函数()f x 是一次函数，且()45f f x x -=⎡⎤⎣⎦恒成立，则()2f =（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．9【答案】D【解析】因为函数()f x 是一次函数，且()45f f x x -=⎡⎤⎣⎦恒成立，令()4f x x t -=，则()4f x x t =+， 所以()45f t t t =+=，解得1t =，所以()41f x x =+，(2)2419f =⨯+=，故选：D【变式4-1】已知二次函数()f x 满足()221465f x x x +=-+，求()f x 的解析式； 【答案】()259f x x x =-+【解析】设二次函数()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()2212121f x a x b x c +=++++()()22442465ax a b x a b c x x =+++++=-+，故44,426,5a a b a b c =+=-++=，解得1,5,9a b c ==-=，故()259f x x x =-+.【变式4-2】若函数()63f g x x ⎡⎤=+⎣⎦，且()21g x x =+，则()f x 等于（ ） A ．129x + B ．61x + C ．3 D ．3x 【答案】D【解析】令()21g x x t =+=，则12t x -=()63132f t t t -∴=⨯+=，即()3f x x =故选：D.【变式4-3】设函数1121f x x⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（ ）A ．()111x x x +-≠ B ．()111x x x +-≠ C ．()111x x x +≠-- D ．()211xx x ≠-+ 【答案】B【解析】令()111t t x=+≠，则可得11x t =-()1t ¹ 所以()()211111t f t t t t +=+=-≠-，所以()()111x f x x x +-≠=，故选：B【变式4-4】若对任意实数x ，均有()2()92f x f x x --=+，求()f x . 【答案】32x -.【解析】利用方程组法求解即可；∵()2()92f x f x x --=+（1） ∴()()()292f x f x x --=-+（2） 由(1)2(2)+⨯得3()96f x x -=-+， ∴()32()f x x x R =-∈. 故答案为：32x - .【变式4-5】设函数()f x 是R →R 的函数，满足对一切x ∈R ，都有()()22f x x f x +-=，则()f x 的解析式为()f x =______．【答案】2,111,1x xx ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩ 【解析】由()()22f x x f x +-=，得()()()222f x x f x -+-=，将()f x 和()2f x -看成两个未知数，可解得()()211f x x x=≠-， 当1x =时，()()()212112f f -+-=，解得()11f =，综上，()2,1,11, 1.x f x xx ⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩ 故答案为：2,111,1x x x ⎧≠⎪-⎨⎪=⎩.题型五 定义法证明函数的单调性【例5】已知函数()218x f x x -=+，判断并证明()f x 在区间[]22-,上的单调性． 【答案】单调递增，证明见解析【解析】()f x 在区间[]22-,上单调递增，理由如下： 任取1x ，[]22,2x ∈-，且12x x <，()()()()()()()()()()()()22122112121212122222221212121818811888888x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x -+--+-++----=-==++++++． 因为1222x x -≤<≤，所以120x x -<，1244x x -<+<，1244x x -<<， 所以12128x x x x +->- 所以121280x x x x ++->，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在区间[]22-,上单调递增．【变式5-1】已知函数()f x =()f x 在区间[)1,+∞上的单调性，并证明你的结论． 【答案】增函数，证明见解析【解析】()f x 在区间[)1,+∞上是增函数．证明如下：设[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <， 则()()12f x f x -= 因为[)12,1,x x ∈+∞0，又12x x <，所以120x x -<0，0，故()()120f x f x -<， 故()f x 在区间[)1,+∞上是增函数．【变式5-2】证明：函数31()2f x x x=-在区间(0,)+∞上是增函数.【答案】证明见解析.【解析】设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，而3312121211()()22f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3312211122x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()()2212121122122x x x x x x x x x x -=-+++()()221211221212x x x x x x x x ⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦因为221211221210,0,0x x x x x x x x -<++>>，则()()2212112212120x x x x x x x x ⎡⎤-+++<⎢⎥⎣⎦， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数31()2f x x x=-在区间(0,)+∞上是增函数.【变式5-3】已知函数()f x 对任意的a ，∈b R ，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0>x 时，()1f x >，判断并证明()f x 的单调性；【答案】函数()f x 在R 上为增函数；（2）4(1,)3m ∈-．【解析】设12,x x 是R 上任意两个不等的实数，且12x x <，则210x x x ∆=->，()()()()()()()()212111211111y f x f x f x x x f x f x x f x f x f x ⎡⎤∆=-=-+-=-+--=∆-⎣⎦，由已知条件当0x >时，()1f x >， 所以()1f x ∆>，即0y ∆>， 所以函数()f x 在R 上为增函数；题型六 利用函数的单调性求参数【例6】若函数()1f x ax =+[]1,1-内单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】[)1,0-【解析】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知0a <，第二步考虑函数定义域，10ax +≥ 在[]1,1-恒成立，(1)0a f <⎧⎨≥⎩ 得到10a -≤< 故答案为：10a -≤<.【变式6-1】若1()1ax f x x +=-在区间(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1a <- 【解析】函数()111+1()=111a x a ax a f x a x x x -+++==+---，由复合函数的增减性可知，若1()1a g x x +=-在(1,)+∞为增函数，10a ∴+<，1a <-，【变式6-2】（多选）函数2()(21)3f x x a x =+-+在(2,2)-上为单调函数，则实数a 的取值范围可以是（ ）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ B ．35,42⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．35,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】AD【解析】二次函数2()(21)3f x x a x =+-+图象对称轴为：212a x -=-， 因函数()f x 在(2,2)-上为单调函数，于是有： 当函数()f x 在(2,2)-上递减时，2122a --≥，解得32a ≤-， 当函数()f x 在(2,2)-上递增时，2122a --≤-，解得52a ≥， 所以实数a 的取值范围是：32a ≤-或52a ≥.故选：AD【变式6-3】已知函数21,22(),12x mx x f x m x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩对于12,[1,)x x ∀∈+∞且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x -->，则m 的取值范围为 ______． 【答案】40,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】由题意可知，()f x 在[1,)+∞上为单调增函数，要使my x=-在[1,2)上单调递增，则0m -<，即0m >， 要使21()2f x x mx =-在[2,)+∞上单调递增，则2m ≤， 同时2112222m m ⨯-≥-，解得：43m ≤，综上可知：403m <≤.题型七 求函数的最值或值域【例7】求函数4y x x =+，142x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值.【答案】最大值172，最小值4 【解析】函数4y x x=+，根据对勾函数的性质可得： 4y x x =+在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，[]2,4上单调递增. 当2x =时取到最小值4. 又当12x =时，117822y =+=，当4x =时，415y =+= 所以当12x =时取到最大值172， 所以函数4y x x=+的最大值172，最小值4【变式7-1】312y x x =+- ）A ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为312y x x =+-所以1120,2x x -≥∴≤，又312y x x =+-12x ≤时单调递增， 所以当12x =时，函数取得最大值为72，所以值域是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选：A.【变式7-2】函数23()31x f x x -=+的值域（ ） A ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】依题意，2112112(31)2321113333()3131313331x x x f x x x x x +-+--====-⋅++++，其中111331y x =-⋅+的值域为()(),00,∞-+∞U ， 故函数()f x 的值域为22,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．【变式7-3】若函数()f x 的值域是132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则函数()()()1F x f x f x =+的值域是（ ） A ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．556⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【答案】B【解析】令()f x t =，1y t t=+，则132t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 当112t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，1y t t=+单调递减， 当[]13t ∈，时，1y t t=+单调递增， 又当12t =时，52y =，当1t =时，2y =，当3t =时，103y =， 所以函数()F x 的值域为1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选：B ．【变式7-4】已知{},min ,,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩设()f x {}2min 2,42x x x =--+-，则函数()f x 的最大值是（ ） A ．2- B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】当2242x x x -≤-+-，即[]0,3x ∈时，()2f x x =-在[]0,3x ∈上单调递增，所以()max ()3321f x f ==-=，当2242x x x ->-+-，即()(),03,x ∈-∞+∞时，()()224222f x x x x =-+-=--+在(),0x ∈-∞上单调递增，在()3,+∞上单调递减，因为()02f =-，()31f =，所以()()31f x f <=； 综上：函数()f x 的最大值为1，故选：B题型八 函数奇偶性的判断【例8】判断下列函数的奇偶性．（1）()31f x x x=-； （2）()(1f x x =-（3）()f x （4）()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩．【答案】（1）奇函数；（2）既不是奇函数也不是偶函数（3）既是奇函数又是偶函数；（4）偶函数【解析】（1）()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又()()()3311f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以()f x 是奇函数． （2）因为()f x 的定义域为[)1,1-，不关于原点对称，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数． （3）因为()f x的定义域为{，所以()0f x =，则()f x 既是奇函数又是偶函数．（4）方法一（定义法）因为函数()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 的定义域关于原点对称．①当x ＞1时，1x -<-，所以()()()()22f x x x f x -=-⨯-==； ②当11x -≤≤时，()2f x =；③当1x <-时，1x ->，所以()()()22f x x x f x -=⨯-=-=． 综上，可知函数()f x 为偶函数．方法二（图象法） 作出函数()f x 的图象，如图所示，易知函数()f x 为偶函数．【变式8-1】函数()f x =_________对称．【答案】原点【解析】要使函数有意义，则240330x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且，解得20x -≤<或02x <≤，则定义域关于原点对称．此时33x x +=+，则函数()f x ==，()()f x f x -==-，∴函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称故答案为：原点【变式8-2】判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性.【答案】当0a =时，()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，()f x 是奇函数 【解析】因为x ∈R ，所以定义域关于原点对称，当0a =时，则()||||0f x x x =-=，所以()f x 既是奇函数，又是偶函数； 当0a ≠时，因为()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-， 所以()f x 是奇函数.综上所述，当0a =时，()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，()f x 是奇函数.【变式8-3】设函数2()1f x x =+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()1f x + B ．(1)f x + C ．()1f x - D ．(1)f x - 【答案】D 【解析】因为()21f x x =+ . 选项A ：()2111f x x +=++，定义域为()()11-∞-⋃-+∞，，，定义域不对称，故A 错. 选项B ：()221112f x x x +==+++，定义域为()()22-∞--+∞U ，，，定义域不对称，故B 错. 选项C ：()2111f x x -=-+，定义域为()()11-∞-⋃-+∞，，，定义域不对称，故C 错. 选项D ：()22111f x x x-==-+，定义域为()()00-∞∞，，+，定义域对称，为奇函数.故D 正确.故选：D.【变式8-4】设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）A ．()()f x f x -是奇函数B ．()()f x f x -是奇函数 C ．()()f x f x --是奇函数 D ．()()f x f x +-是奇函数 【答案】C【解析】A 选项：设()()()F x f x f x =-，()()()()F x f x f x F x -=-=，则()()f x f x -为偶函数，A 错误；B 选项：设()()()G x f x f x =-，则()()()G x f x f x -=-，()G x 与()G x -关系不定， 即不确定()()f x f x -的奇偶性，B 错误；C 选项：设()()()M x f x f x =--，则()()()()M x f x f x M x -=--=-， 则()()f x f x --为奇函数，C 正确；D 选项：设()()()N x f x f x =+-，则()()()()N x f x f x N x -=-+=， 则()()f x f x +-为偶函数，D 错误．故选：C.题型九 利用函数的奇偶性求值或求参【例9】若函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数，则a b +=___________. 【答案】12-【解析】因为函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数，所以320a a ++=，得12a =-，又()()f x f x -=-，即323211()()()22x b x x x bx x -----=-++，即220bx =恒成立，所以0b =，所以12a b +=-. 故答案为：12-.【变式9-1】若函数()()()325x x a f xx +-=为奇函数，则=a （ ）A ．12 B ．23 C ．34D ．1 【答案】B【解析】根据题意得()()()()()323255x x a x x a f x xx-+---++==--，因为函数()()()325x x a f xx +-=为奇函数，所以()()f x f x -=-，即()()()()323255x x a x x a x x-+++-=-，整理得：()640a x -=，所以640a -=，解得23a =.故选：B【变式9-2】已知函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数，则a ＝______．【答案】1【解析】函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数，则()()11f f -=，即()121121a a -+-=-+--，解之得1a = 经检验符合题意. 故答案为：1【变式9-3】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =+，那么()1f -等于（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．2 【答案】A【解析】因为0x >时，()(1)f x x x =+，可得()1122f =⨯=，又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，可得()()112f f -=-=-.故选：A.【变式9-4】设()f x 是定义域为()2,2-的奇函数，当02x ≤<时，()122f x x m x =++-（m 为常数），则()1f -=（ ）A ．53- B ．53C ．32-D ．32【答案】C【解析】因为()f x 是定义域为()2,2-的奇函数，所以()00f =，因为当02x ≤<时，()122f x x m x =++-，所以()1002f m =-+=，解得12m =， 所以当02x ≤<时，()11222f x x x =++-，所以()()13111222f f ⎛⎫-=-=--++=- ⎪⎝⎭.故选：C.【变式9-5】设函数()()23211x x f x x ++=+在区间[]22-,上的最大值为M ，最小值为N ，则()20221M N +-的值为______. 【答案】1【解析】由题意知，()32211x xf x x +=++（[]2,2x ∈-）， 设()3221x xg x x ++=，则()()1f x g x =+，因为()()3221x xg x g x x ---==-+，所以()g x 为奇函数， ()g x 在区间[]22-,上的最大值与最小值的和为0， 故2M N +=，所以()()202220221211M N +-=-=.题型十 利用函数的奇偶性求解析式【例10】设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，2()f x x x =+，则当0x <时，()f x =（ ） A ．2x x + B ．2x x -+ C ．2x x - D ．2x x -- 【答案】B【解析】设0x <，则0x ->，所以()2f x x x -=-，又()f x 为奇函数，所以()()()22f x f x x x x x =--=--=-+， 所以当0x <时，()2f x x x =-+.故选：B.【变式10-1】函数()f x 为偶函数，当()0,x ∈+∞时，()227f x x x =-，则当(),0x ∈-∞时，()f x =（）A ．()227f x x x =-+B ．()227f x x x =--C ．()227f x x x =-D ．()227f x x x =+ 【答案】D【解析】设(),0x ∈-∞，则()0,x -∈+∞，则()()()222727f x x x x x -=---=+，因为函数()f x 为偶函数，则当(),0x ∈-∞时，()()227f x f x x x =-=+.故选：D.【变式10-2】已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()21x a x a f x =+++，则当0x <时，()f x =（ ）A ．2x x -B ．2x x +C ．2x x -+D ．2x x -- 【答案】D【解析】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，即()010f a =+=，解得1a =-，当0x ≥时，()2f x x x =-，当0x <时，0x ->，则()()22f x x x x x -=-+=+，因为()f x 是奇函数，所以()()2f x f x x x =--=--．故选：D ．【变式10-3】若定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()e xf xg x +=（e 为无理数，2.71828e =⋅⋅⋅），则()g x =（ ）A ．e e x x --B ．()1e e 2x x -+C ．()1e e 2x x --D ．()1e e 2x x -- 【答案】D【解析】由()()e xf xg x +=可得()()e x f x g x --+-=，根据()f x 与()g x 的奇偶性可得()()()()e xf xg x f x g x --+-=-=，故()()()()e e x xf xg x f x g x ---+=-⎡⎤⎣⎦.整理得()2e e x xg x --=-，即()()1e e 2x xg x -=-.故选：D.题型十一 利用单调性奇偶性解不等式【例11】定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m <- B ．12m > C ．112m -≤< D ．122m <≤ 【答案】C【解析】∵()f x 是偶函数，()()()f x f x f x ∴=-=，故(1)()f m f m -<可变形为(1)()f m f m -<， ∵()f x 在区间[]0,2上单调递减，故212131222212112m m m m m m m m ⎧⎧⎪⎪-≤-≤-≤≤⎪⎪-≤≤⇒-≤≤⇒-≤<⎨⎨⎪⎪->⎪⎪<⎩⎩.故选：C.【变式11-1】若偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，且()10f =，则不等式()2330f x x -+≥的解集是__________. 【答案】[]1,2【解析】因为偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在(),0∞-上单调递增，又()10f =，所以()()110f f -==，所以当11x -≤≤时()0f x ≥，则不等式()2330f x x -+≥等价于21331x x -≤-+≤，解得12x ≤≤，所以原不等式的解集为[]1,2. 故答案为：[]1,2【变式11-2】函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减，若2(2)(4)0,f a f a -+-<则a 的取值范围是（ ） A ．)5,3 B ．(3)(2,)-∞⋃+∞ C ．)3,2 D ．()3,2-【答案】C【解析】函数()f x 是定义在()1,1-上的奇函数且单调递减，2(2)(4)0f a f a -+-<可化为2(2)(4)f a f a -<-则2212114124a a a a -<-<⎧⎪-<-<⎨⎪->-⎩2a <故选：C【变式11-3】奇函数()2f x +是定义在()3,1--上的减函数，若()()1320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为______． 【答案】()1,2【解析】由题意知，函数()2f x +的定义域为()3,1--，所以函数()f x 的定义域为()1,1-， 所以1111321m m -<-<⎧⎨-<-<⎩，解得12m <<．又奇函数()2f x +是()3,1--上的减函数，所以()f x 是()1,1-上的奇函数，且在()1,1-上单调递减． 由()()1320f m f m -+-<，得()()132f m f m -<--， 所以()()123f m f m -<-，所以123m m ->-，解得2m <．综上，12m <<． 故答案为：()1,2．【变式11-4】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1122120x f x x f x x x -<-成立，则不等式()()()21210mf m m f m --->的解集为（ ）A ．(),1-∞-B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()1,-+∞ 【答案】C【解析】令()()g x xf x =，因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()()()g x xf x xf x g x -=--=-=-，即()g x 是定义在R 上奇函数． 又1x ∀，[)20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()()11221212120x f x x f x g x g x x x x x --=<--成立，所以()g x 在[)0,∞+上单调递减，又()g x 是定义在R 上奇函数，所以()g x 在R 上单调递减，所以()()()()()2121210mf m m f m g m g m ---=-->，即()()21g m g m >-， 所以21m m <-，解得1m >．故A ，B ，D 错误.故选：C ．题型十二 利用单调性奇偶性比较大小【例12】定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，则下列判断正确的是（ ）A ．311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113422f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．311242f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．131224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】A【解析】因为()f x 为偶函数，所以11()()22f f -=，33()()22f f -=， 又113422<<，且()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以311224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A【变式12-1】已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①()(),x f x f x ∀∈-=R ；②()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()2112120x f x x f x x x ->-．记()1a f =，()33f b -=，()55f c =，则（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a << 【答案】B【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x ->-，即()()1212120f x f x x x x x ->-，所以函数()f x x 在(0,)+∞上单调递增． 又x ∀∈R ，()()f x f x -=，所以函数()f x 是R 上的偶函数，所以()()3333f f -=,则有()()()135135f f f <<，所以a b c <<，故选：B ．【变式12-2】已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，(3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c << 【答案】B【解析】∵当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，∴当121x x <<时，()()210f x f x ->，即()()21f x f x >， ∴函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数， ∵函数(1)f x +是偶函数，即()()11f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于直线1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()f x 在(1,)+∞上为单调增函数，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即1(2)(3)2f f f ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，∴b a c <<，故选：B ．【变式12-3】已知()f x 对于任意R x ∈都有(2)()f x f x +=，且()f x 在区间[)0,2上是单调递增的，则( 6.5),(1),(0)f f f --的大小关系是（ ）A ．(1)(0)( 6.5)f f f -<<-B ．( 6.5)(0)(1)f f f -<<-C ．(1)( 6.5)(0)f f f -<-<D ．(0)(1)( 6.5)f f f <-<- 【答案】D 【解析】()f x 对于任意R x ∈都有(2)()f x f x +=，∴()f x 周期为2，偶函数()f x 在区间[)0,2上是单调递增，( 6.5)(1.5)f f ∴-=，(1)(1)f f -=，(0)(1)(1.5)f f f ∴<<，即(0)(1)( 6.5)f f f <-<-故选：D题型十三 利用函数的周期性求值【例13】已知()f x 是R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，当()0,2x ∈时，()22f x x x =+，则()15f =（ ）A ．3B ．3-C ．255D ．255- 【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得，()()42=()f x f x f x +=-+，故()f x 是以4为周期的周期函数，故(15)(1)(1)3f f f =-=-=-，故选：B【变式13-1】已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足(2)()f x f x -=，若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2022)f f f f ++++=（ ）A ．2B ．2022-C ．0D ．2022 【答案】A 【解析】(2)()(2)()x f x f f f x x -=∴+=-,又()()f x f x -=-，(2)()()f x f x f x ∴+=-=-，∴函数的周期4T =.又函数()f x 是定义域为R 的奇函数，(0)0f ∴=，(2)(0)0f f ∴==，(3)(1)(1)2f f f =-=-=-，(4)(0)0f f == (1)(2)(3)(4)20200f f f f +++=+-+=∴，又202250542=⨯+(1)(2)(3)(2022)5050(1)(2)2f f f f f f ∴++++=⨯++=.故选：A.【变式13-2】已知函数()1y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对R x ∀∈都有()()2f x f x +-=当(]0,2x ∈时，()2f x x =+.则()2022f =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．2- 【答案】D【解析】函数()1y f x =+的图象关于直线3x =-对称，∴函数()y f x =的图象关于直线2x =-对称，()()22f x f x ∴-+=--，取2x x =+可得()()2222f x f x -++=--+⎡⎤⎣⎦，∴()()4f x f x =--又对x ∀∈R 有()()2f x f x +-=， 取4x x =--可得()()442f x f x --++=，所以()()()42f x f x f x =--=--.，()()424f x f x --=-+，()()4f x f x ∴+=-，()()()444f x f x f x ⎡⎤∴++=--=⎣⎦，即()()8f x f x +=，()f x ∴的周期8T =()()()()()()()2022252866242222222f f f f f f ∴=⨯+==+=-=-=-+=-.故选：D.【变式13-3】设函数()f x 的定义域为R ，()12f x +-为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+.若()()011f f -+=，则20232⎛⎫=⎪⎝⎭f ________. 【答案】34【解析】由()12f x +-为奇函数，可得()()1212f x f x +-=--++，函数()f x 关于点()1,2对称，又定义域为R ，则有()12f =；又()2f x +为偶函数，可得()()22f x f x +=-+，函数()f x 关于直线2x =对称，()()()4242f x f x f x =--=-+，又()()24f x f x +=--，则()()f x f x =-，则()()()222f x f x f x +=-+=-，函数()f x 周期为4，则202311131012422222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 由上可得()()()()1,041424f f a b f f a b ==+=-=---，则2441a b a b a b +=⎧⎨++--=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩， 则39131244f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则2023334224f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：34.题型十四 抽象函数综合问题【例4】函数f （x ）对于任意的实数x ，y 都有f (x+y )=f （x ）+f （y ）成立，且当x ＞0时f （x ）＜0恒成立．（1）证明函数f （x ）的奇偶性；（2）若f （1）= －2，求函数f （x ）在[－2，2]上的最大值；（3）解关于x 的不等式211(2)()(4)(2) 22f x f x f x f -->-- 【答案】（1）证明见解析；（2）4；（3）{|2x x <-或1}x >- 【解析】（1）令x =y =0得f (0)=0,再令y =—x 即得f (－x )=－f (x ）, ∴()f x 是奇函数.（2）设任意12,R x x ∈，且12x x <，则210x x ->，由已知得21()0f x x -<①，又212121()()()()()f x x f x f x f x f x -=+-=-②， 由①②可知12()()f x f x >，由函数的单调性定义知f (x )在(-∞，+∞)上是减函数，∴x ∈[－2，2]时，[]max ()(2)(2)(11)2(1)4f x f f f f =-=-=-+=-=， ∴f (x )当x ∈[－2，2]时的最大值为4．（3）由已知得：[]2(2)(4)2()(2)f x f x f x f -->--，由（1）知f (x ）是奇函数，∴上式又可化为：[]2(24)2(2)(2)(2)(24)f x x f x f x f x f x -->+=+++=+，由（2）知f (x ）是R 上的减函数， ∴上式即：22424x x x --<+， 化简得(2)(1)0x x ++>，∴ 原不等式的解集为{|2x x <-或1}x >-.【变式14-1】已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，对定义域内的任意12x x , 都有()()()1212f x x f x f x =+，且当01x <<时，()0f x >.（1）证明：当1x >时，()0f x <；（2）判断()f x 的单调性并加以证明；（3）如果对任意的()12,0,x x ∈+∞ ，()()()221212f x x f a f x x +≤+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）函数()f x 单调递减，证明见解析；（3）(]0,2a ∈ 【解析】（1）(1)(1)(1)(1)0f f f f =+⇒=；1(1)()()0f f x f x=+=；当()0,1x ∈时，()11,x ∈+∞；()10()0f x f x>⇒<；∴当1x >时，()0f x <.（2）单调递减.证明：()1212,0,x x x x ∀∈+∞<,且()()2211x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭12x x <，211x x ∴>，210x f x ⎛⎫∴< ⎪⎝⎭，即()()12f x f x > ∴()f x 单调递减（3）函数()f x 的定义域是()0,∞+0a ∴>；()()()()()222212121212f x x f a f x x f x x f ax x +≤+⇒+≤恒成立；由（2），()f x 单调递减，221212x x ax x +≥恒成立，221212x x a x x +≤恒成立，因为22121212212x x x x x x x x +=+≥，当且仅当12x x =时等号成立，所以2a ≤； 又()f a 有意义，所以0a > 综上：(]0,2a ∈.【变式14-2】已知函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时，()1f x >． （1）求证：()f x 在R 上是增函数；（2）若关于a 的方程2(75)2f a a +-=的一个实根是1，求(6)f 的值； （3）在（2）的条件下，已知R m ∈，解关于x 的不等式()(2)3f mx f x ->+． 【答案】（1）证明见解析；（2）3；（3）详见解析【解析】（1）依题意()()()1f x y f x f y +=+-，且0x >时，()1f x >，令0x y ==，则()()()()0001,01f f f f =+-=，()()()()()1,2f x x f x f x f x f x -+=-+--+=，任取12x x <，()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+()()()()12112111f x f x x f x f x x =--+-=--+⎡⎤⎣⎦，由于210x x ->，所以()211f x x ->，所以()()()()12120,f x f x f x f x -<<，所以()f x 在R 上递增. （2）由（1）知，()f x 在R 上递增，()()217532f f +-==，()()()()6333313f f f f =+=+-=.（3）依题意()()()1f x y f x f y +=+-，()f x 在R 上递增，()(2)3f mx f x ->+.()(2)12f mx f x -->+，()()()22,23f mx x f mx x f +->+->，()23,15mx x m x +->+>，当1m =-时，不等式的解集为空集. 当1m <-时，不等式的解集为5|1x x m ⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭. 当1m >-时，不等式的解集为5|1x x m ⎧⎫>⎨⎬+⎩⎭.【变式14-3】设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且1()12f =-当0x >时，()0.f x <（1）求(0)f 的值；（2）判断函数()f x 的单调性，并给出证明； （3）如果()(2)2f x f x >-，求x 的取值范围；【答案】（1）0；（2）函数()f x 是定义在R 上的减函数，详见解析；（3）1x >-. 【解析】（1）令0x y ==，则()()()0000f f f -=-，∴()00f =；（2）函数()f x 是定义在R 上的减函数，设12,R x x ∀∈，且12x x >，则120x x ->， ∴()()()1212f x x f x f x -=-，∵当0x >时，()0.f x <∴()120f x x -<，即()()120f x f x -< ∴()()12f x f x <，∴函数()f x 是定义在R 上的减函数； （3）∵()()()f x y f x f y -=-∴()()()00f x f f x -=-,又()00f =， ∴()()f x f x =--， ∴函数()f x 是奇函数，∵()()()f x y f x f y -=-，1()12f =- ∴111112222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()()(2)2(2)1(21)f x f x f x f f x >-=--=+， 又函数()f x 是定义在R 上的减函数， ∴21x x <+，即1x >-， ∴x 的取值范围为1x >-.题型十五 幂函数的图象性质【例15】现有下列函数：①3y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③24y x =；④51y x =+；⑤()21y x =-；⑥y x =；⑦(1)x y a a =>，其中幂函数的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B【解析】幂函数满足a y x =形式，故3y x =，y x =满足条件，共2个故选：B【变式15-1】（多选）已知幂函数232()(21)m m f x a x -+=-，其中,a m R ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．1a =B ．()f x 恒过定点(1,1)C ．若3m =时，()y f x =关于y 轴对称D ．若112m <<时，(2)(1)f f <【答案】ABC【解析】因为232()(21)m m f x a x -+=-为幂函数，所以211a -=，解得1a =，故A 正确； 则232()m m f x x -+=，故恒过定点(1,1)，故B 正确；当3m =时，2()f x x =，22()()()f x x x f x -=-==，所以()y f x =为偶函数，则()y f x =关于y 轴对称，故C 正确； 当112m <<时，2320m m -+>，则()f x 在(0,)+∞上为增函数， 所以(2)(1)f f >，故D 错误.故选：ABC【变式15-2】图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（ ）A ．12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3D ．1-，12，3 【答案】D【解析】由题图知：10α<，201α<<，31α>，所以1α，2α，3α依次可以是1-，12，3．故选：D【变式15-3】当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231m m y m m x --=--为减函数，则m =_________．【答案】2【解析】函数为幂函数，则211m m --=，解得1m =-或2m =，又因为函数在(0,)+∞上单调递减， 可得2230m m --<，可得2m =， 故答案为：2【变式15-4】已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递增，则m ＝______．【答案】4【解析】由题意可得23310m m m ⎧--=⎨>⎩，解得4m =故答案为：4.【变式15-5】已知幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+为奇函数.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()132f a f a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）()3f x x =；（2）2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意，幂函数()()23122233m m f x m m x++=-+，可得2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =， 当1m =时，函数()311322f x x x ++==为奇函数，当2m =时，()21152322f x xx ++==为非奇非偶函数，因为()f x 为奇函数，所以()3f x x =.（2）由（1）知()3f x x =，可得()f x 在R 上为增函数，因为()()132f a f a +<-，所以132a a +<-，解得23<a ， 所以a 的取值范围为2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.题型十六 简单函数模型的应用【例16】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，把每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）表示为养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x <≤时，v 的值为2；当420x <≤时，v 是关于x 的一次函数.当x ＝20时，因缺氧等原因，v 的值为0. （1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；。

高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题单选题1、若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则必有（ ）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增 答案：A分析：根据条件可得当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，从而可判断. 由f(a)−f(b)a−b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.2、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞) 答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意； 若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)， ∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4；综上所述：a 的取值范围为[0,4]. 故选：C.3、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B4、已知幂函数y =x m 2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则满足(a +1)−m3<(3−2a )−m 3的a 的取值范围为（ ）A ．(0,+∞)B ．(−23,+∞) C ．(0,32)D ．(−∞,−1)∪(23,32)答案：D分析：由条件知m 2−2m −3<0，m ∈N ∗，可得m ＝1．再利用函数y =x −13的单调性，分类讨论可解不等式. 幂函数y =x m2−2m−3(m ∈N ∗)在(0,+∞)上单调递减，故m 2−2m −3<0，解得−1<m <3．又m ∈N ∗，故m ＝1或2．当m ＝1时，y =x −4的图象关于y 轴对称，满足题意； 当m ＝2时，y =x −3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1． 不等式化为(a +1)−13<(3−2a )−13，函数y =x −13在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，故a +1>3−2a >0或0>a +1>3−2a 或a +1<0<3−2a ，解得a <−1或23<a <32．故应选：D ．5、已知函数f (x +1)的定义域为(−1,1)，则f (|x |)的定义域为（ ） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(0,2) C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−12,0) 答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 依题意函数f (x +1)的定义域为(−1,1)， −1<x <1⇒0<x +1<2， 所以0<|x |<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x−5)f(x−1)<0的解集为（）A．(−2,52)∪(4,+∞)B．(4,+∞)C．(−∞,−2)∪[52,4]D．(−∞,−2)答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x−5>0f(x−1)<0、{2x−5<0f(x−1)>0求解集即可. 由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，对于(2x−5)f(x−1)<0，当{2x−5>0f(x−1)<0，即{x>52x−1<−3或{x>52x−1>3，可得x>4；当{2x−5<0f(x−1)>0，即{x<52−3<x−1<3，可得−2<x<52；综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞).故选：A7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1， 故选：C 8、函数f (x )=√−x 2+5x+6x+1的定义域（ ）A ．(−∞,−1]∪[6,+∞)B ．(−∞,−1)∪[6,+∞)C ．(−1,6]D ．[2,3] 答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x +6≥0x +1≠0得出定义域.{−x 2+5x +6≥0x +1≠0，解得−1<x ⩽6即函数f (x )的定义域(−1,6] 故选：C 多选题9、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C[0,1]项错误，D项正确．故选：ABD10、下列各组函数是同一函数的是（）A．y=|x|x与y=1B．y=√(x−1)2与y=x−1C．y=(√x)2x 与y=(√x)2D．y=x3+xx2+1与y=x答案：CD分析：根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.对于A：函数y=|x|x的定义域为x≠0，函数y=1定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数y=√(x−1)2定义域为R，化简可得y=|x−1|，与y=x−1解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数y=(√x)2x 定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，函数y=(√x)2定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，故为同一函数；对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为R，化简可得y=x，与y=x为同一函数.故选：CD11、如图所示是函数y=f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A．函数f(x)的定义域为[−4,4)B．函数f(x)的值域为[0,+∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应答案：BD分析：利用函数的图象判断.由图象知：A.函数f(x)的定义域为[−4,0]∪[1,4)，故错误；B.函数f(x)的值域为[0,+∞)，故正确；C. 函数f(x)在[−4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故正确；故选：BD12、已知函数y=(m−1)x m2−m为幂函数，则该函数为（）A．奇函数B．偶函数C．区间(0,+∞)上的增函数D．区间(0,+∞)上的减函数答案：BC分析：由幂函数的概念可得m的值，根据幂函数的性质可得结果.由y=(m−1)x m2−m为幂函数，得m−1=1，即m=2，则该函数为y=x2，故该函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，故选：BC.13、已知函数f(x)是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，当x∈(0,4]时，f(x)的图象如图所示，那么满足不等式f(x)−3x+1−3≥0的x的可能取值是（）3A ．－4B ．－1C ．12D ．2 答案：AC分析：把“求f(x)−3x+1−33≥0的解集”转化为“求f (x )≥3x −1的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集．因为函数f (x )是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，由题意，画出函数f (x )在[−4,0)∪(0,4]上的图象（如图），在同一坐标系内画出y =3x −1的图象，因为f (2)=89，所以f (−2)=−f (2)=−89=3−2−1，又f (1)=2=31−1，所以f (x )的图象与y =3x −1的图象交于(−2,−89)和(1,2)两点，f (x )−3x+1−33≥0即为f (x )≥3x −1，由图象可得，只需−4≤x ≤−2或0<x ≤1，故A ，C 可能取到故选：AC ． 填空题14、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________. 答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增， 根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).15、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果表示区间端点连线斜率的负数，−f(b)−f(a)b−a在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.16、已知幂函数f(x)的图象过点(3,13)，则此函数的解析式为______．答案：f(x)=x−1##f(x)=1x分析：设出幂函数f(x)，代入点(3,13)即可求解.由题意，设f(x)=xα，代入点(3,13)得13=3α，解得α=−1，则f(x)=x−1.所以答案是：f(x)=x−1.解答题17、已知函数f(x)=x2x2+1(1)证明：f(x)为偶函数；(2)判断g(x)=f(x)+x的单调性并用定义证明；(3)解不等式f(x)−f(x−2)+2x>2答案：(1)证明见解析(2)g(x)为R上的增函数，证明见解析(3)(1,+∞)分析：（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）首先得到g(x)的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）证明：f(x)的定义域为R，又f(−x)=(−x)2(−x)2+1=x2x2+1=f(x)，故f(x)为偶函数；（2）解：g(x)=f(x)+x=x2x2+1+x，所以g(x)为R上的增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1>x2，g(x1)−g(x2)=x12x12+1+x1−(x22x22+1+x2)=x1−x2+x12x12+1−x22x22+1=x1−x2+x12(x22+1)−x22(x12+1) (x12+1)(x22+1)=x1−x2+x12−x22(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)[1+x1+x2(x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+x12+x22+1+x1+x2 (x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)].∵x1>x2，∴x2−x2>0，又x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)>0，∴(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)]>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)为R上的增函数；（3）解：不等式f(x)−f(x−2)+2x>2，等价于f(x)+x>f(x−2)+2−x=f(2−x)+2−x即g(x)>g(2−x)，∵g(x)为R上的增函数，∴x>2−x，解得x>1，故不等式的解集为(1,+∞).18、函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)<0，且f(1)=13．（1）证明f(x)是奇函数；（2）证明f(x)在R上是单调递增函数；（3）若f(x)+f(x−3)≥−1，求实数x的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[0,+∞)．分析：（1）先用赋值法求出f(0)=0，令y=−x，即可根据定义证明f(x)是奇函数；（2）利用定义法证明f(x)是R上的增函数；（3）先把f(x)+f(x−3)≥−1转化为f(2x−3)≥f(−3)，利用单调性解不等式即可．（1）令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，解得f (0)=0，令y =−x ，则f (0)=f (x )+f (−x )，即f (x )+f (−x )=0，即f (−x )=−f (x )， 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数；（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，因为当x <0时，f (x )<0，所以f (x 1−x 2)<0，则f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)+f (−x 2)=f (x 1−x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数；（3）由f (1)=13，得f (2)=23，f (3)=1，又由f (x )是奇函数得f (−3)=−1. 由f (x )+f (x −3)≥−1，得f (2x −3)≥f (−3)，因为函数f (x )是R 上的增函数， 所以2x −3≥−3，解得x ≥0，故实数x 的取值范围为[0,+∞)．。

高中数学第三章函数的概念与性质知识集锦单选题1、已知f (x )是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f (2a −3)<f (a −2) ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0，4)B ．(1，+∞)C ．(12，52)D ．(1，52)答案：D分析：根据函数自变量的定义域以及函数单调递减列式，求出a 的取值范围.∵f (x )是定义在(−2，2)上的单调递减函数，且f (2a −3)<f (a −2)，则{2a −3>a −2−2<a −2<2−2<2a −3<2，解得1<a <52故选：D..2、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ）A ．13B ．3C ．9D ．8 答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B3、定义在区间[−2,2]上的函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为（ ）A ．[−2,−1]B ．[−1,1]C ．[−2,0]D ．[−1,2]答案：B分析：根据函数图象直接确定单调递减区间即可.由题图知：在[−1,1]上f(x)的单调递减，在(−2,−1),(1,2)上f(x)的单调递增，所以f(x)的单调递减区间为[−1,1].故选：B4、已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（）A．f(x)=(x−1)2,x≥0B．f(x)=(x−1)2,x≥1C．f(x)=(x+1)2,x≥0D．f(x)=(x+1)2,x≥1答案：B分析：利用凑配法求得f(x)解析式.f(x2+1)=x4=(x2+1)2−2(x2+1)+1，且x2+1≥1，所以f(x)=x2−2x+1=(x−1)2,x≥1.故选：B5、已知函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，则f(|x|)的定义域为（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(0,2),0)C．(−1,0)∪(0,1)D．(−12答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案.依题意函数f(x+1)的定义域为(−1,1)，−1<x<1⇒0<x+1<2，所以0<|x|<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B在(2,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是（）6、已知函数f(x)=ax−1x−aA．(−∞，−1)∪(1，+∞)B．(−1,1)C ．(−∞，−1)∪(1，2]D ．(−∞，−1)∪(1，2)答案：C分析：先用分离常数法得到f(x)=a 2−1x−a +a ，由单调性列不等式组，求出实数a 的取值范围. 解：根据题意，函数f(x)=ax−1x−a =a(x−a)+a 2−1x−a =a 2−1x−a +a ，若f(x)在区间(2,+∞)上单调递减，必有{a 2−1>0a ⩽2， 解可得：a <−1或1<a ⩽2，即a 的取值范围为(−∞，−1)∪(1，2]，故选：C ．7、已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，则f(−2021)+f(2022)=（ ）A ．−4B ．4C ．−1D ．1答案：C分析：由已知条件可得x >1时f(x +2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可. 因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且x >1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x >1时f(x +2)=f(x)，因为当x ∈(0,1]时，f(x)=x 2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C8、若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有（ ）A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4答案：D分析：根据f (x )和g (x )都是奇函数，可得函数y =f (x )+g (x )为奇函数，再根据F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，可得函数y =f (x )+g (x )在(0，＋∞)上有最大值6，从而可得函数y =f (x )+g (x )在(－∞，0)上有最小值，即可得出答案.解：因为若f(x)和g(x)都是奇函数，所以函数y=f(x)+g(x)为奇函数，又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，所以函数y=f(x)+g(x)在(0，＋∞)上有最大值6，所以函数y=f(x)+g(x)在(－∞，0)上有最小值−6，所以在(－∞，0)上F(x)有最小值－4.故选：D.多选题9、下列函数既是偶函数，在(0,+∞)上又是增函数的是（）A．y=x2+1B．y=2x C．y=|x|D．y=|1x−x|答案：AC分析：根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.对A，开口向上，且对称轴为x=0，所以y=x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是增函数，故A正确；对B，y=2x为奇函数，故B错误；对C，y=|x|为偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=x为增函数，故C正确；对D，令f(x)=|1x −x|，f(−x)=|1−x+x|=|1x−x|=f(x)为偶函数，当x∈(0,1)，y=1x−x为减函数，故D错误，故选：AC10、关于直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象的交点有如下四个结论，其中正确的是（）A．不论m为何值时都有交点B．当m>2时，有两个交点C．当m=2时，有一个交点D．当m<2时，没有交点答案：BCD分析：化简函数y=|x|+|2x+4|表达式即为y=|x|+|2x+4|={−3x−4,x<−2x+4,−2≤x≤03x+4,x>0，作出直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象，通过数形结合直接判断即可.由题意得，y=|x|+|2x+4|={−3x−4,x<−2x+4,−2≤x≤03x+4,x>0，作此函数图像如下图折线所示；y=m即平行于x轴的直线，作图像如下图直线所示.对于A，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象无交点，故A错误；对于B，由图可知，当m>2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象有两个交点，故B正确；对于C，由图可知，当m=2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象，有一个交点，故C正确；对于D，由图可知，当m<2时，直线y=m与函数y=|x|+|2x+4|的图象无交点，故D正确.故选:BCD11、已知函数y=(m−1)x m2−m为幂函数，则该函数为（）A．奇函数B．偶函数C．区间(0,+∞)上的增函数D．区间(0,+∞)上的减函数答案：BC分析：由幂函数的概念可得m的值，根据幂函数的性质可得结果.由y=(m−1)x m2−m为幂函数，得m−1=1，即m=2，则该函数为y=x2，故该函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，故选：BC.12、下列说法不正确的是（ ）A ．函数f (x )=1x 在定义域内是减函数B ．若g (x )是奇函数，则一定有C ．已知函数f (x )={−x 2−ax −5(x ≤1)a x(x >1)在(−∞,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是[−3,−1] D ．若f (x )的定义域为[−2,2]，则f (2x −1)的定义域为[−12,32]答案：ABC分析：A 选项，单调区间不能用∪号连接，即在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)不是单调递减函数，A 错误； B 选项，可举出反例；C 选项，分段函数单调递增，则在每段上函数均单调递增，且在端点处，左边函数值小于等于右边函数的值；D 选项，利用抽象函数求定义域的方法进行求解.函数f (x )=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)上都是减函数，但在定义域(−∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数，故A 不正确； 当g (x )是奇函数时，g (0)可能无意义，比如g (x )=1x ，故B 不正确；因为f (x )是增函数，所以{−a 2≥1a <0−1−a −5≤a，解得−3≤a ≤−2，故C 不正确； 因为f (x )的定义域为[−2,2]，所以−2≤2x −1≤2，解得−12≤x ≤32，即f (2x −1)的定义域为[−12,32]，故D 正确. 故选：ABC.13、已知函数f(x)=x a 的图象经过点(13,3)则（ ） A ．f(x)的图象经过点(3,9)B ．f(x)的图象关于y 轴对称C ．f(x)在(0,+∞)上单调递减D ．f(x)在(0,+∞)内的值域为(0,+∞)答案：CD分析：根据函数解析式和图象经过的点求出a =−1，结合选项可得答案.将点(13,3)的坐标代入f(x)=x a ，可得a =−1，则f(x)=1x ,f(x)的图象不经过点(3,9)，A 错误；f(x)在()00g =(0,+∞)上单调递减，C 正确；根据反比例函数的图象与性质可得B 错误，D 正确．故选：CD.填空题14、已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=x 23 ，则f (-8)的值是____.答案：−4分析：先求f(8)，再根据奇函数求f(−8)f(8)=823=4，因为f(x)为奇函数，所以f(−8)=−f(8)=−4所以答案是：−4小提示：本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.15、已知幂函数f (x )的图象过点(3,13)，则此函数的解析式为______．答案：f(x)=x −1##f(x)=1x分析：设出幂函数f (x )，代入点(3,13)即可求解. 由题意，设f (x )=x α，代入点(3,13)得13=3α，解得α=−1，则f(x)=x −1.所以答案是：f(x)=x −1.16、函数f(x)=x 3+x 53(x ∈R)，若f(m +1)+f(2+m −m 2)>0，则实数m 的范围是____________． 答案：(−1,3)分析：根据解析式可判断f (x )是定义在R 上的奇函数且在R 上单调递增，转化不等式即可求解.∵f(x)=x 3+x 53=x 3+√x 53，∴f (−x )=(−x )3+√(−x)53=−(x 3+√x 53)=−f (x )，∴f (x )是定义在R 上的奇函数，且显然在R 上单调递增，由f(m +1)+f(2+m −m 2)>0可得f(m +1)>−f(2+m −m 2)=f (m 2−m −2)，∴m +1>m 2−m −2，解得−1<m <3.所以答案是：(−1,3).解答题17、已知函数f (x )的定义域为(0,+∞)，且对一切m >0，n >0，都有f (m n )=f (m )−f (n )+2，当x >1时，总有f(x)<2.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)是定义域上的减函数；(3)若f(4)=1，解不等式f(x−2)−f(8−2x)<−1.答案：(1)f(1)=2；(2)证明见解析；(3)(349,4).分析：（1）令m=n=1即可求得结果；（2）设0<x1<x2，由f(x2)−f(x1)=f(x2x1)−2<0即可证得结论；（3）将所求不等式化为f(x−28−2x)<f(4)，结合f(x)单调性和定义域的要求即可构造不等式组求得结果. （1）令m=n=1，则f(1)=f(1)−f(1)+2，解得：f(1)=2；（2）设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1)−2，∵x2x1>1，∴f(x2x1)<2，f(x2)−f(x1)<0，∴f(x)是定义域上的减函数；（3）由f(x−2)−f(8−2x)<−1得：f(x−28−2x )−2<−1，即f(x−28−2x)<1，又f(4)=1，∴f(x−28−2x)<f(4)，∵f(x)是定义域上的减函数，∴x−28−2x >4，解得：349<x<4；又{x−2>08−2x>0，∴2<x<4，∴f(x−2)−f(8−2x)<−1的解集为(349,4).小提示：思路点睛：本题考查抽象函数的函数值的求解、单调性证明以及利用单调性求解函数不等式的问题；求解函数不等式的基本思路是将所求不等式化为同一函数的两个函数值之间的比较问题，进而通过函数的单调性得到自变量的大小关系.18、某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n年(n∈N∗)花在该台运输车上的维护费用总计为(n2+5n)万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.答案：(1)3年(2)方案①较为合算分析：（1）由25n−49−(n2+5n)≥0，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，25n−49−(n2+5n)n =20−(n+49n)≤6.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，y=25n−49−(n2+5n)=−n2+20n−49=−(n−10)2+51，n=10时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.（1）由题意可得25n−49−(n2+5n)≥0，即n2−20n+49≤0，解得10−√51≤n≤10+√51，∴n≥3，∴该车运输3年开始盈利.；（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，25n−49−(n2+5n)n =20−(n+49n)≤6，当且仅当n=7时，取等号，∴方案①最后的利润为：25×7−49−(49+35)+17=59（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，y=25n−49−(n2+5n)=−n2+20n−49=−(n−10)2+51，∴n=10时，利润最大，∴方案②的利润为51+8=59（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，∴方案①较为合算.。

高考综合复习专题七函数的概念与性质专题练习一.选择题1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A.f(x)=sinxB.f(x)=－C.f(x)=D.f(x)=2.函数，若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.－C.1, －D.1,3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(－∞,2)B.(2,＋∞)C.(－∞,2)∪(2,＋∞)D.(－2,2)4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=－1对称,且当x>0时f(x)= ,则当x<－2时,f(x)=()A.－B.C.－D.－5.已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式<1的解集为()A.(－1,2)B.(0,3)C.(－∞,－2)D.(－∞,3)6.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠,≠－1, =,.若,则()A.<0B.=0C.0<<1D.≥17.若函数f(x)=(a>0,a≠1)在区间(－,0)内单调递增,则a的取值范围是()A.[－,1)B.[,1)C.(,+∞)D.(1, )8.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)=现有4个命题:①f(x)是周期函数,且周期为2;②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－;③f(x)为偶函数;④f(－2005.5)= .其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二.填空题.1.若函数f(x)= (a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=.2.已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点.3.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于对称.4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=1－f(x),又当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则f(17.5)=.三.解答题.1.设函数f(x)=,求使f(x)≥2的x的取值范围.2.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)－x+12=0有两个实根为=3,=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)< .3.设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－)<f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围.4.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数,满足关系f(+)=f()+f()+2.(1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数.(3)若数列满足=－,且对任意n∈N﹡有=f(n),试求数列的前n项和.答案与解析:一.选择题.1.选D.分析:这里f(x)为奇函数,由此否定B.C;又f(x)在[-1,1]上单调递减,由此否定A.故应选D.2.选C.分析:注意到这里a的可能取值至多有3个,故运用代值验证的方法.当a=1时,由f(1)+f(a)=2得f(1)=1;由f(x)的表达式得f(1)==1,故a=1是所求的一个解,由此否定B.当a=－时,由f(x)的表达式得f(－)=sin=1,又f(1)=1,故f(1)+f(－)=2,a=－是所求的一个解,由此否定A.D.本题应选C.3.选D.分析:由f(x)在(－∞,0)上是减函数,且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(－∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增.又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0∴f(x)在(－∞,-2]上总有f(x)≥f(-2)=0,①f(x)在[2,+∞)上总有f(x)≥f(2)=0②∴由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2),应选D.4.选C.分析:由f(x)的图象关于直线x=-1对称得f(x)=f(－2－x)①∴当x<－2时, －2－x>0∴再由已知得f(－2－x)= ②于是由①②得当x<－2时f(x)= ,即f(x)= －.应选C.5.选A.分析:由已知条件得f(0)=1,f(3)=－1,∴(※)又f(x)在R上为减函数.∴由(※)得0<x+1<3－1<x<2故应选A.6.选A.分析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.当=0时, =,=,则,由此否定B,当=1时,= ,f()=f(),则,由此否定D;当0<<1时, 是数轴上以分划定点,所成线段的定比分点(内分点),是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.7.选B.分析:令u=g(x)= ,y=f(x)则y=由题意知当x∈(－,0)时,u>0注意到g(0),故u=g(x)在(－,0)上为减函数.①又y=f(x)在(－,0)上为增函数,∴y=在u的相应区间上为减函数.∴0<a<1再由①得u＇＝ｇ＇(x)= 在(－,0)上满足u＇≤0②而u＇=在(－,0)上为减函数,且是R上的连续函数.③∴由②③得u＇(－)≤0∴－a≤0,即a≥④于是由①,④得≤a<1应选B.点评:从复合函数的“分解”切入.利用复合函数的单调性与所“分解”出的内层函数与外层函数的单调性之间的联系(同增异减)初步确定a的取值范围0<a<1.但是,由于u=为x的三次函数, u＇为x的二次函数.故还要从u＇在(－,0)上的符号入手进一步确认a的正确的范围.”粗” 、“细”结合,双方确定所求参数的范围,乃是解决这类问题的基本方略.8.选B.分析:从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)(※)∴f(x－2)=1－f(x－1)(※※)∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.(1)由上述推理可知①正确.(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1)=2x－x,由此可知②正确(3)由已知条件以及结果①、②得,又f()=,∴f()≠f(－)∴f(x)不是偶函数即③不正确;(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f()=故④不正确.于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.二.填空题.1.答案: .分析:由题设知f(0)=f(4)(a≠0),∴(a≠0)0<=1(a≠0)4a－1=1或4a－1=－1(a≠0)a=即所求a=.2.答案: (0,3)分析:f(3)=－1y=f(x)的图象经过点(3,－1)y=g(x)的图象经过点(－1,3)g(－1)=3g(0－1)=3y=g(x)的图象经过点(0,3).3.答案:直线y=x分析:根据函数的定义,设x为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x)为其相应的函数值,即为y,即y= f(x),则有x=( y)①又由已知得f[f(x)]=f(y)= x②∴由①②知f(x)与其反函数(x)为同一函数,∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.4.答案:1分析: 从认知f(x)的性质切入已知f(x+3)=1－f(x)①以－x代替①中的x得f(－x+3)=1－f(－x)②又f(x)为偶函数∴f(－x)=f(x)③∴由②③得f(－x+3)=1－f(x)④∴由①④得f(3+x)=f(3－x)f(x)图象关于直线x=3对称f(－x)=f(6+x)∴由③得f(x)=f(6+x)即f(x)是周期函数,且6是f(x)的一个周期.⑤于是由③⑤及另一已知条件得f(17.5)=f(17.5－3×6)=f(－0.5)=f(0.5)=2×0.5=1三.解答题.1.分析:注意到f(x)为复合的指数函数,故考虑令u=,而后利用指数函数的性质将所给不等式转化为关于u的不等式解.解:令u=, y=f(x),则y=2为u的指数函数.∴f(x)≥2≥2≥u≥①∴f(x) ≥≥②(1)当x≥1时,不等式②(x+1)－(x－1) ≥2≥成立.(2)当－1≤x<1时,由②得,(x+1)－(1－x) ≥x≥即≤x<1;(3)当x<－1时,由②得－(x+1)－(1－x) ≥即－2≥不成立.于是综合(1)(2)(3)得所求的x的取值范围为[,1]∪[1,+∞),也就是[,+∞)点评:对于复合函数y=f[p(x)],令u=p(x),将其分解为y=f(u),u=p(x).于是所给问题转化为内层函数u=p(x)的问题或转化为外层函数y=f(u)的问题.这种分解----转化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略.2.分析:注意到f(x)为分式函数,故相关方程为分式方程,相关不等式为分式不等式,因此,求解此类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序:移项,通分,分解因式;化“分”为“整”以及验根等等.解:(1)将=3, =4分别代入方程得由此解得∴f(x)= (x≠2).(2)原不等式<－<0<0<0(x－2)(x－1)(x－k)>0注意到这里k>1,(ⅰ)当1<k<2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);(ⅱ)当k=2时,原不等式(x－2)2(x－1)>0x>1且x≠2.∴原不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞);(ⅲ)当k>2时,原不等式的解集为(1,2) ∪(k,+∞);于是综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)得当1<k≤2时,原不等式解集为(1,k)∪(2,+∞);当k>2时,原不等式解集为(1,2) ∪(k,+∞);点评:在这里,运用根轴法求解不等式(x－2)(x－1)(x－k)>0快捷准确.此外,在分式不等式转化为高次不等式后,分类讨论时不可忽略对特殊情形:k=2的讨论;综合结论时需要注意相关情况的合并,以最少情形的结论给出最佳答案.3.分析:所给不等式含有抽象的函数符号f,故首先需要“反用”函数的单调性定义脱去“f”,转化为普通的含参不等式的问题.进而,再根据个人的熟重和爱好选择不同解法.解:∵f(x)是R上的增函数.∴不等式f(1－ax－)<f(2－a) 对任意x∈[0,1]都成立.不等式1－ax－<2－a对任意x∈[0,1]都成立+ax－a+1>0对任意x∈[0,1]都成立①解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.)令g(x)= +ax－a+1,则①式g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立.g(x)在区间[0,1]上的最小值大于0.②注意到g(x)图象的对称轴为x=－(1)当－≤0即a≥0时,由②得g(0)>0－a+1>0a<1,即0≤a<1;(2)当0<－≤1时,即－2≤a<0时,由②得g(－)>01－a－>0+4a－4<0<8当－2≤a<0时,这一不等式也能成立.(3)当－>1即a<－2时.由②得g(1)>02>0即当a<－2时,不等式成立.于是综合(1)(2)(3)得所求实数a的取值范围为[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2), 即(－∞,1).解法二: (以△的取值为主线展开讨论)对于二次三项式g(x)= +ax－a+1,其判别式△=+4(a－1)=+4a－4△<0<8－－2<a<－2(1)当△<0时,g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立,此时－－2<a<－2;(2)当△≥0时,由g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立得－2≤a<1或a≤－－2.于是由(1)(2)得所求a的取值范围为（－－2,－2）∪[－2,1）∪(－∞, －－2]即(－∞,1).点评:解法一归统为最值问题,以g(x)图象的对称轴的位置为主线展开讨论;解法二直面g(x)>0在x∈[0,1]上成立,以g(x)的判别式△的取值为主线展开讨论,两种解法各有千秋,都解决这类问题的主要策略.以××为主线展开讨论,这是讨论有理有序,不杂不漏的保障.4.分析:为了认知和利用已知条件,从”特取”切入:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2.为利用f(0)=－2,寻觅f(x)的关系式,又在已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2故得f(x)+f(－x)=－4证明(1),由此式展开.对于(2)面对抽象的函数f(x),则只能运用定义;对于(3),这里a n=f(n),a n+1=f(n+1),因此,从已知恒等式入手寻觅{a n}的递推式或通项公式,便称为问题突破的关键.解:(1)证明:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2①又已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2∴f(x)+f(－x)=－4②设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点则由②得③∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),∴点M与点N关于定点(0,－2)对称.④注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)证明:设,为任意实数,且<,则－>0∴由已知得f(－)>－2⑤注意到=(－)+由本题大前提中的恒等式得f()=f[(－)+] =f(－)+ f()+2∴f()－f()=f (－)+2⑥又由⑤知f (－)+2>0,∴由⑥得f()－f()>0,即f()>f().于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数.(3)解:∵a n=f(n),∴a1=f(1)=－,a n+1=f(n+1)又由已知恒等式中令=n, =1得f(n+1)=f(n)+f(1)+2∴a n+1= a n+∴a n+1－a n=(n∈N﹡)由此可知,数列{ a n }是首项为=－,公差为的等差数列.∴=－n+×即=(n2－11n).点评:充分认识与利用已知条件中的恒等式,是本题解题的关键环节. 对于(1)由此导出f(x)+f(－x)=－4;对于(2)由此导出f()=f()+f(－)+2;对于(3)由此导出f(n+1)=f(n)+f(1)+2即a n+1－a n=.。