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数学建模铅球掷远一、引言铅球掷远是田径项目中的一项，它要求选手将铅球尽可能远地抛掷出去。
而在数学建模中，我们可以通过一系列的分析和计算，来研究铅球掷远所需的最佳策略。
本文将从数学角度出发，探讨铅球掷远的建模方法和优化策略。
二、问题分析铅球掷远的关键在于角度和速度的选择。
我们首先假设铅球在空中的运动符合平抛运动模型，并不考虑空气阻力和风力的影响。
那么，我们可以将铅球的运动轨迹分解为水平和竖直方向的运动。
三、数学建模1. 铅球的水平方向运动模型在水平方向上，铅球的运动速度恒定且不受外界因素的影响。
设铅球的水平速度为v_x, 则铅球在x方向上的运动可以用以下公式表示：x = v_x * t其中，x为铅球的水平位移，t为时间。
2. 铅球的竖直方向运动模型在竖直方向上，铅球的运动受到重力的影响。
设铅球在竖直方向上的初速度为v_y，重力加速度为g，那么铅球在y方向上的运动可以用以下公式表示：y = v_y * t - (1/2) * g * t^2其中，y为铅球的竖直位移。
3. 最佳投掷角度的计算为了将铅球掷得更远，我们需要确定最佳的投掷角度。
根据上述的数学模型，我们可以列出铅球在水平和竖直方向上的运动方程。
然后，通过对这两个方程进行求解，可以得到最佳投掷角度的表达式。
首先，根据水平方向的运动方程x = v_x * t，可以得到时间t与水平速度v_x的关系：t = x / v_x将t代入竖直方向的运动方程y = v_y * t - (1/2) * g * t^2，可以得到铅球的竖直位移y与水平位移x、竖直初速度v_y和重力加速度g的关系：y = (x / v_x) * v_y - (1/2) * g * (x / v_x)^2接下来，我们需要求解这个关系式的极大值点，从而确定最佳的投掷角度。
通过对上述关系式进行求导和求解极值的过程，可以得到最佳投掷角度的表达式。
四、优化策略1. 初始速度的选择除了求解最佳投掷角度外，我们还需考虑初始速度的选择。
铅球掷远研究目录一、问题的提出 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)四、符号定义 (4)五、模型建立与求解 (4)六、模型的评价 (10)七、参考文献 (10)八、附录 (10)摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。
得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。
铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。
由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。
迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。
通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度一、问题提出球掷远比赛要求运动员在直径2.135m 的圆内将重7.257kg （男子）的铅球投掷在45的扇形区域内，如图1所示。
观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题 ：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。
2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。
比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。
二、问题分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
【1】三、模型假设1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(︒≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。
有关铅球出手角度的数学建模探究储思哲高一（8）班【关键词】铅球 出手角 射程一、研究目的掷铅球是一项广为人知的体育运动，而铅球以何种角度出手才能掷得最远呢？对这一方面本人想进行一些探究。
二、研究方法数学建模分析三、分析与讨论1.简单分析抛出角度与射程的数学关系忽略次要条件，只考虑铅球从地面直接斜抛，没有空气阻力，设抛出速度为V 0，铅球质量为m ，抛起时与水平面角度为θ，落点距起点位移为S 。
则有202cos sin V S=g θθ⋅⋅，不妨设V 0=13 m ／s ，g 取9.8m/s 2，求得函数图像为 ，当且仅当θ=4π时取到最大值S=17.24 m ，而这个数据与男子铅球的最高纪录23.12m 相差较多，所以需要添加条件进一步运算。
2.更靠近现实的模型分析现实中，运动员的身高因素必须要进行考虑。
由于投掷时运动员将铅球放于肩膀和脖颈之间的位置，我国男子平均身高约为170㎝，所以不妨设铅球掷出时离地有155㎝。
此时0S=cos Vθ⋅，设V0=13 m／s，g取9.8m/s2，取得函数图像为在B点取到最大值S=23.55 m，此时θ=0.83≈47.56度，这一数值与世界纪录相当，但是掷铅球的最佳角度为40度左右，θ明显大于此角度，能否添加条件使得模型更加精确呢？3.能否进行更精确的模型建立开始，我们将空气阻力这一相对次要的条件略去了，而在精确的分析中它可能是必不可少的。
同时，运动员出手之时，在铅球还没有离开运动员手中的时候，球随着手的斜向上运动进行了一段加速，实际离开手的位置较肩部要高，约为1.7米。
根据流体力学知识，流体对物体的作用力可用20f A αρυ=来表达。
α为一系数，A 为物体的截面积，0ρ为流体的密度，υ为物体相对于流体的速度。
在地球表面处α=0.45，男子铅球的半径约为120㎜，则A =0.045㎡，空气的密度0ρ=1.25 kg/m 3，得2f 0.0253υ=。
根据V 0=13 m/s ，算出抛出时f=4.276 N ，则a 0 = f m =0.59 m/s 2，根据测量，铅球在空中飞行的时间平均约为1.5秒，空气阻力对于速度的总改变量的大小不足1 m/s ，而相对于g 对于速度的改变量，更是远远不到，所以，在这一研究中，不妨设V 0=12.7 m/s ，以抵消空气阻力的影响。
铅球掷远研究目录一、问题的提出 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)四、符号定义 (4)五、模型建立与求解 (4)六、模型的评价 (10)七、参考文献 (10)八、附录 (10)摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。
得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。
铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。
由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。
迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。
通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度一、问题提出球掷远比赛要求运动员在直径2.135m的圆内将重7.257kg（男子）的铅球投45的扇形区域内，如图1所示。
观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷掷在角度变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。
2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。
比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。
二、问题分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
【1】三、模型假设1、 人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(︒≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。
2011年四川理工学院数学建模摘要：在铅球投掷训练和比赛中，教练和运动员关心的核心问题是铅球的投掷距离的远近，而距离的远近主要取决于铅球的出手速度、出手角度、出手高度等等，它们对铅球投掷距离的远近主次影响是怎样的呢？因为空气阻力等的影响相对比较微小，可以忽略不计，本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学模型探讨出手速度、出手高度、出手角度这三个影响铅球投掷成绩的主要因素，然后运用数值法进行分析，计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度，确定出各影响因素的主次关系，为制定科学的铅球训练计划提供依据。
关键词：铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离1问题的提出众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度)/(smv 出手高度)(mh出手角度)(oα实测成绩李梅素13.75 1.90 37.60 20.95李梅素13.52 2.00 38.69 20.30斯卢皮亚内克13.77 2.06 40.00 21.41表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m) 出手速度)/(smv 出手角度)(oα出手高度)(mh李梅素19.40 13.16 40.27 2.02李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00 黄志红 20.76 13.58 37.75 2.02 隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04 李梅素21.7614.0835.131.952 问题的分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。
承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2012 年 05 月21 日编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表铅球投掷问题摘要本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。
即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用．关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳一、问题的提出铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
如图1：图1 铅球投掷场地根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。
承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2012 年 05 月21 日编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表铅球投掷问题摘要本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。
即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用．关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳一、问题的提出铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
如图1：图1 铅球投掷场地根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。
需解答一下问题：1.建立数学模型，将预测的投掷距离表示为出手速度、出手角度，找出最佳出手角度。
2.由于出手速度与出手角度相互影响,并同时影响出手距离,应该怎样对出手速度与出手角度折中,才能得到最大的出手距离。
3.分析影响铅球投掷距离的因素，根据结果分析教练员对运动员训练的目标和方向。
二、基本假设1. 铅球是个质点。
2.忽略空气阻力。
h：出手高度v：出手速度：出手速度与水平面的夹角s ：投掷距离g ：重力加速度 为9.81h :铅球跃过的最高点与投掷点的水平距离t1:铅球到达最高点的时间 t2：铅球从最高点到落地的时间三、建立模型3.1问题一模型的建立 3.1.1建立模型 由下图所示可得：图2 投掷铅球抛物线图中的h1就代表h.221sin =2v h g∂11=cos x v t ∂2121+=2h h gt 1sin =v t g∂22=cos x vt ∂ 12=+s x x从而可以得出: 222v Sin s g ∂=+ 当投掷距离取得最大值时可以得下列关系式:2cos 2sin 2cos 22sin 20v gh ∂∂-∂=…………［１］由上是化简可以得 3.1.2问题一的分析0290∂≤︒＜,cos2∂在定义域内单增,则易知:当出手高度一定时:最佳出手角度随出手速度增大而增大. 当出手速度一定时:最佳出手角度随出手高度增大而减小.结论:手角度,并且最佳出手角度可由方程得到.3.2问题二模型的建立 3.2.1建立模型由于速度与角度相互有关联，并且要找到一种折中办法使抛球的距离最大，则想到找到速度与角度的函数，函数是由数学软件根据给出的数据进行拟合而来所以得到两个方程，Ｆ(v,u)(速度v 与角度u 两个变量所组成的方程),X(v,u)(抛球距离x 关于变量v 与变量u 的函数),从而由两个函数关系并且根据角度与速度的实际变化范围求得抛球距离x 的最大值． 由题中提供的数据即:表1 运动员投掷铅球数据以出手速度作为变量拟合关于角度的函数,首先作出速度关于角度的散点图,然后拟[]Out 1=图3角度关于速度的散点图.[]2=396184. 52558.4 v 966.683 v 357133. Log v ∂+--(这就是拟合到得角度关于速度的方程)Out[4]=Out[3]=图3 角度关于速度拟合方程的图 图4拟合曲线与散点图在同一坐标中的显示状况.8060402080604020由第一问的解答有:222v Sin s g ∂=+……………………………….① 拟合方程: []2=396184. 52558.4 v 966.683 v 357133. Log v ∂+--………………………②可得: s=v 2Sin190396184.52558.4v 966.683v 2357133.Log v2g2h v 2Cos1180396184.52558.4v966.683v 2357133.Log v2gv 4Sin190396184.52558.4v 966.683v 2357133.Log v24g 23.2.2问题二的分析上式是出手距离与出手速度及出手高度的函数关系式，假设高度一定时则只有速度v 一个变量。
因此可以取不同的速度v 值而得到不同的出手距离，然后由出手速度与出手角度的关联式，即②式，从而得出对应的出手角度，然后列出一个表格，由表格中得出的数据找出出手角度与出手速度的最佳折中办法。
由题所给的所有数据得到出手高度的平均值为：h=1.99875 ，把此值作为定值。
可以得出下面的数据表： 出手速度 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 出手距离 19.4069 19.6086 19.7974 20.0352 20.3208 20.6295 20.936 21.222 出手角度 37.2707 39.4571 38.2309 37.8613 38.0478 .38.497 38.9218 39.0412 出手速度 13.9 14 14.1 14.2 14.3 14.4 14.5 14.6 出手距离 21.466 21.6184 21.5597 21.0534 19.7194 17.1063 13.03 8.32289 出手角度 38.5804 37.2707 34.8489 31.0573 25.644 18.362 8.96963 2.76989表2 投掷远度影响因素则由上表可看出来出手距离先随速度变大而变大，当速度增大到14再往上逐渐增大时，出手距离逐渐减小，出手角度随出手速度的增大同样是先增大后减小，速度从13.1~14.3时出手角度的变化是37.2707~25.644，运动员以这个出手角度范围的角度出手都不太难，所以角度的考虑是次要因素，而主要因数是成绩评定标准的出手距离，当v 在14m/s 时速度达到最大，所以此时运动员得到的成绩最理想。
结论：速度与角度的最佳折中办法是：使出手速度在14m/s 左右，从而对应的出手角度在37.2707°左右。
3.3问题三模型的建立及求解 3.3.1建立模型经过上述分析，投掷铅球的远近是一个关于出手高度、出手速度、出手角度相关的复杂变量。
其中出手速度的影响最为重要。
由此，教练员应该着力提高运动员施力于铅球上的力而提高成绩。
假设：1．滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平初速度； 2．用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间；3．作用时间内的推力大小不变离得方向与铅球出手方向相同。
……………[3] 符号约定： X:水平位置 Y:竖直位置0v ：初速度0t ：作用时间F ：推力大小 m ：铅球质量水平位置有：x cos =ma F ∂ 竖直方向有：x sin =ma F mg ∂-()x =0a x''t ()=0a y''y t 0'(0)=v x '(0)=0y 所以在区间0[0,]t 的积分可得：000'(t )=cos +v F x t m ∂ 000y'(t )=sin t Ft g m∂-因为有v所以得到v 3.3.2问题三的分析由v 增大作用与铅球上的力和时间以及增大初速度均可提高铅球的出手速度。
从而提高投掷距离。
因此教练员可从以下方面来训练运动员。
1.增大手与铅球间的摩擦力以增大作用时间。
2.采用旋转投掷法，从腰间发力，旋转将力施加到铅球上以增大作用力。
3.在投掷点采用前后脚交替以增大初速度。
四、模型求解用mathematica7.0软件进行的求解过程如下: 4.1第一问求解Solve[h1+h==g*(t2)^2/2,t2]得t22h h1g,t22h h1g显然负值舍去笔算可得：2222222()2v Sin v Sin hvCos s g g g ∂∂∂=++然后根据参考文献可得：4.2第二问求解建立二维数据表,画散点图,拟合方程及散点图与拟合方程在同一图中的显示操作如下:x={13.75,13.52,13.77,13.16,13.51,13.58,13.95,14.08}; y={37.60,38.69,40.00,40.27,38.69,37.75,39.00,35.13}; data=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,8}];∂ =ListPlot[data,PlotStyle PointSize[0.02]]; f=Fit[data,{1,v,v^2,Log[v]},v]; w=Plot[f,{v,13.00,15.00}]; Show[w,shu]拟合图与问题一的方程求解如下:s v ^2Sin 2a2gv ^2Sin 2a2g^22h v ^2Cos a ^2g .a396184.52558.4v 966.683v ^2357133.Log v2Pi360得出s 关于v 的函数关系式,当h 值一定,以v 缓慢增大的过程对v 及定值g,h 的复值如下：s/.{h 1.99875,v a,g 9.8}(其中a 为v 缓慢增大的任意取值，从而可以得出s 关于v 的多组数据)．根据v 的值求对应出手角度∂的计算如下：2(396184. 52558.4 v 966.683 v 357133Log[v])/.v a +--→(a 同上为v 缓慢增大的任意取值)．五、模型评价h v g g/2cos 2+=α本模型建立了投掷铅球所需的最佳角度范围，研究了速度，夹角以及投掷高度对投掷距离的影响，通过定量和定性分析，得出了投掷的最佳角度，最佳速度，以及应保持怎样的方式投掷．给教练员在训练运动员时提供了有效的参考。
