投掷铅球的数学模型

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投掷铅球的数学模型

投掷铅球是一个典型的动力学运动问题，可以用数学模型来描述和分析其运动规律。

一般来说，投掷铅球的数学模型可以分为两类：一类是直线运动模型，一类是抛物线运动模型。

直线运动模型：在直线运动模型中，投掷铅球的运动轨迹是一条直线，运动方程可以用速度-时间关系或加速度-时间关系来描述。

抛物线运动模型：在抛物线运动模型中，投掷铅球的运动轨迹是一条抛物线，运动方程可以用位移-时间关系或位移-速度关系来描述。

模型的选择取决于投掷铅球的具体条件，如投掷的角度、速度、重力加速度等。

通常情况下，投掷铅球的运动轨迹是一条抛物线，因此抛物线运动模型更常用。

完整的数学建模(铅球投掷)

承诺书我们仔细阅读了四川理工学院大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料)，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从A/B/C/D中选择一项填写)： C我们的参赛报名号为(如果设置报名号的话)：所属学校(请填写完整的全名)：四川理工学院黄岭校区参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期： 2012 年 05 月21 日编号专用页评阅编号(由评委团评阅前进行编号)：评阅记录表铅球投掷问题摘要本文通过对投掷铅球的水平距离的讨论，研究了根据实际怎样控制水平距离的因素，才能使得铅球飞行更远．运用了力学知识，抛物线规律及数学软件的辅助，建立了各种最佳投掷模型。

即运动员应该根据自身的的具体身高与其习惯的出手姿势计算并得出最佳的出手角度，一般而言使出手速度在14m/s左右，对应的出手角度在37.2707°左右时能使得投掷距离最大，而且可以通过各种方式.增大手与铅球间的摩擦力，同时采用旋转投掷法，从腰间发力，在投掷点采用前后脚交替等方法可达到增大初速度从而增加投掷距离的作用．关键词：铅球投掷投掷距离出手角度出手速度最佳一、问题的提出铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

如图1：图1 铅球投掷场地根据优秀运动员的投掷数据看出他们的投掷角度一般为35°—41°,出手速度一般为13.1m/s—14.1m/s，出手高度一般为1.9m—2.1m……………[1]。

铅球掷远研究-数学建模-论文

铅球掷远研究目录一、问题的提出 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)四、符号定义 (4)五、模型建立与求解 (4)六、模型的评价 (10)七、参考文献 (10)八、附录 (10)摘要：本文研究了铅球掷远的问题，分析了掷远距离和出手速度、出手角度、出手高度的关系。

得出了对于不同的出手速度，确定的了最佳出手角度，比较了掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏度。

铅球投掷作为田径比赛的一个重要组成项目，投掷距离s(米)的远近是教练员和运动，员最关心的问题。

由投掷常识知道，影响投掷距离远近的因素主要有三个: 铅球出手时的初、速度v(米/秒)、出手角度A(度) 和出手高度h(米)。

迄今为止，利用物理中运动学知识研究铅球投掷运动现象比较多, 而且在研究时很少考虑出手高度的影响[2, 3]。

通过建立模型,寻求初速度v、出手角度A和出手高度h三个因素对投掷距离s的影响度的大小，从而在训练和比赛中对运动员和教练员有一定的理论指导意义.关键词：铅球掷远投掷距离出手角度灵敏度一、问题提出球掷远比赛要求运动员在直径2.135m 的圆内将重7.257kg （男子）的铅球投掷在45的扇形区域内，如图1所示。

观察运动员比赛的录像发现，他们的投掷角度变化较大，一般在38°- 45°，有的高达55°，建立模型讨论以下问题：1．以出手速度、出手角度、出手高度为参数，建立铅球掷远的数学模型。

2．在此基础上，给定出手高度，对于不同的出手速度，确定最佳出手角度。

比较掷远结果对出手速度和出手角度的灵敏性。

二、问题分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。

【1】三、模型假设1、人的高度h 和铅球投掷初速度v 是一定的，当投掷出时间1t 后，铅球到达最高点，当时间在2t 时刻时铅球落地，重力加速度28.9s m g =，速度方向与投掷的水平方向所成角为θ时)900(︒≤≤θ，此情况下铅球落地点与人的距离是S 。

有关铅球出手角度的数学建模探究

有关铅球出手角度的数学建模探究储思哲高一（8）班【关键词】铅球出手角射程一、研究目的掷铅球是一项广为人知的体育运动，而铅球以何种角度出手才能掷得最远呢？对这一方面本人想进行一些探究。

二、研究方法数学建模分析三、分析与讨论1.简单分析抛出角度与射程的数学关系忽略次要条件，只考虑铅球从地面直接斜抛，没有空气阻力，设抛出速度为V 0，铅球质量为m ，抛起时与水平面角度为θ，落点距起点位移为S 。

则有202cos sin V S=g θθ⋅⋅，不妨设V 0=13 m ／s ，g 取9.8m/s 2，求得函数图像为，当且仅当θ=4π时取到最大值S=17.24 m ，而这个数据与男子铅球的最高纪录23.12m 相差较多，所以需要添加条件进一步运算。

2.更靠近现实的模型分析现实中，运动员的身高因素必须要进行考虑。

由于投掷时运动员将铅球放于肩膀和脖颈之间的位置，我国男子平均身高约为170㎝，所以不妨设铅球掷出时离地有155㎝。

此时0S=cos Vθ⋅，设V0=13 m／s，g取9.8m/s2，取得函数图像为在B点取到最大值S=23.55 m，此时θ=0.83≈47.56度，这一数值与世界纪录相当，但是掷铅球的最佳角度为40度左右，θ明显大于此角度，能否添加条件使得模型更加精确呢？3.能否进行更精确的模型建立开始，我们将空气阻力这一相对次要的条件略去了，而在精确的分析中它可能是必不可少的。

同时，运动员出手之时，在铅球还没有离开运动员手中的时候，球随着手的斜向上运动进行了一段加速，实际离开手的位置较肩部要高，约为1.7米。

根据流体力学知识，流体对物体的作用力可用20f A αρυ=来表达。

α为一系数，A 为物体的截面积，0ρ为流体的密度，υ为物体相对于流体的速度。

在地球表面处α=0.45，男子铅球的半径约为120㎜，则A =0.045㎡，空气的密度0ρ=1.25 kg/m 3，得2f 0.0253υ=。

根据V 0=13 m/s ，算出抛出时f=4.276 N ，则a 0 = f m =0.59 m/s 2，根据测量，铅球在空中飞行的时间平均约为1.5秒，空气阻力对于速度的总改变量的大小不足1 m/s ，而相对于g 对于速度的改变量，更是远远不到，所以，在这一研究中，不妨设V 0=12.7 m/s ，以抵消空气阻力的影响。

数学建模铅球投掷问题(四川理工学院)

2011年四川理工学院数学建模摘要：在铅球投掷训练和比赛中，教练和运动员关心的核心问题是铅球的投掷距离的远近，而距离的远近主要取决于铅球的出手速度、出手角度、出手高度等等，它们对铅球投掷距离的远近主次影响是怎样的呢？因为空气阻力等的影响相对比较微小，可以忽略不计，本文主要运用牛顿力学等物理、数学知识建立了铅球投掷过程的数学模型探讨出手速度、出手高度、出手角度这三个影响铅球投掷成绩的主要因素，然后运用数值法进行分析，计算出各影响因素对铅球投掷距离的影响程度，确定出各影响因素的主次关系，为制定科学的铅球训练计划提供依据。

关键词：铅球投掷、数值法、最优出手角度、最远投掷距离1问题的提出众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。

最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

参考数据资料如下：表1 李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩姓名出手速度)/(smv 出手高度)(mh出手角度)(oα实测成绩李梅素13.75 1.90 37.60 20.95李梅素13.52 2.00 38.69 20.30斯卢皮亚内克13.77 2.06 40.00 21.41表2 我国优秀运动员的铅球投掷数据姓名成绩s(m) 出手速度)/(smv 出手角度)(oα出手高度)(mh李梅素19.40 13.16 40.27 2.02李梅素 20.30 13.51 38.69 2.00 黄志红 20.76 13.58 37.75 2.02 隋新梅 21.66 13.95 39.00 2.04 李梅素21.7614.0835.131.952 问题的分析针对如何使铅球掷得最远，只需求得铅球在空中停留时间以及铅球在水平方向的速度即可，铅球投掷后在空中停留的时间可以凭借铅球投掷后在垂直方向上先以向上的速度运动到静止，再做自由落体运动落到地面求出。

数学建模.doc

1．众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。

以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。

在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。

而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。

（1）建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度与出手高度的函数。

（2）哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。

参考数据资料如下：。

铅球掷远模型

45 ο 的扇形区域内，如下图：
2.135m
45 ο
综合分析铅球的运动过程，可以分为两种情况：
1、在不考虑铅球展臂的情况下，以出手速度、出手高度、出手角度为参数，建立第一种数学模型。
2、在考虑铅球展臂的情况下，以出手速度、出手高度、出手角度、展臂为参数，建立第二种数学模型。
3. 在铅球整个运动过程中，空气阻力虽然一直存在，但是其影响极其微小，因而忽略不计。
2.3 问题三的分析针对问题三我们运用以上所建立的模型一，求出水平投掷的距离，再借助
Matlab7.0 软件对水平距离求导，确定最优解，即铅球在不同出手速度下的最佳出手角度。
2.4 问题四的分析对于问题四我们同样运用模型二来解决掷远结果对速度和角度的灵敏度。
分别求 S (v,θ ) 对 v 和θ 的一阶导数，对二者比较大小，可以得出出手速度对掷远
我们运用 Matlab7.0 软件分别求出 ∂S （已求出）Leabharlann ∂S ，可以得出结果。∂θ
∂v
∂S 的求导过程如下： ∂v
PDF 檔案使用 "pdfFactory Pro" 試用版本建立 /FinePrint
通过 Matlab7.0 我们可以比较 ∂S 和 ∂S 的大小，比较的结果为 ∂S > ∂S ,因而可
对于问题二：当考虑运动员臂展对投掷结果的影响的条件下，我们对模型
一进行了适当的改进，在引进臂展这一参数之后重新建立了以出手速度、出手角
度、出手高度以及臂展为参数的掷远模型二，应用模型一中相同的知识，我们建
立
的
模
型
二
为
：
S(F,θ ) = (2FL − 2mgL sinθ )sinθ cosθ + mg

第五章微分方程建模第四节铅球掷远模型

a = sin
和最佳成绩为
∗
−1
v ; 2 2(v + gh)
v 2 R = v + 2gh . g
∗
第四节
铅球掷远模型
如果测得该运动员的出手高度 h = 1.5 m，铅球初速，度为 v = 10m/s，则有，得最佳出手角度为最佳成绩为
a ∗ ≈ 41.4 ,
R∗ = 11.4m .
第四节
铅球掷远模型
在右图坐标系下，在右图坐标系下，铅球运动方程为
x ɺɺ = 0 ; ɺ x(0) = 0 , x(0) = v cos a .
y ɺɺ = − g ; ɺ y(0) = h , y(0) = v sin a .
第四节
铅球掷远模型
分= x(t ) = sinacos a + 2 sin a + v cos a , g g g
这个关系式还可以表示为
1 2
R2 g = 2v2 cos2 a(h + Rtana) .
第四节
铅球掷远模型
dR = 0 ，得最佳出手角度为由此计算 da a∗
x ( t ) = ( v cos a )t ;
1 2 y ( t ) = (v sin a )t − gt + h . 2
又令 y ( t ) = 0 ，可得
1 t = v sin a + v 2 sin 2 a + 2 gh , g
∗
(
)
第四节
铅球掷远模型
代入 x ( t ) 可以求得铅球的投掷距离为
第四节
铅球掷远模型
某铅球运动员正在训练，如果不考虑阻力，某铅球运动员正在训练，如果不考虑阻力，设铅球初与地面夹角)，速度为 v，出手高度为 h，出手角度为 a (与地面夹角，，，与地面夹角试建立投掷距离 R 与 v，h，a 的关系式的数学模型。并，，的关系式的数学模型。在 v，h 一定的条件下求该运动员的最佳出手角度和最佳，成绩。成绩。

铅球投掷中的数学模型

表２
距离角度３７° ３８° ３９° ４０° ４１° ４２° ４３° 极差
速度１０ｍ／ｓ１１．７８１１．８１１１．８２１１．８３１１．８３１１．８２１１．７９０．０５１１ｍ／ｓ１３．８６１３．９０１３．９３１３．９５１３．９６１３．９５１３．９３０．１０１２ｍ／ｓ１６．１２１６．１８１６．２３１６．２６１６．２８１６．２８１６．２６０．１６１３ｍ／ｓ１８．５７１８．６５１８．７１１８．７６１８．７９１８．７９１８．７８０．２２１４ｍ／ｓ２１．２０２１．３０２１．３９２１．４５２１．４９２１．５１２１．５００．３１１５ｍ／ｓ２１．８９２２．０８２２．２５２２．３９２２．５１２２．６０２２．６６０．７７
４．来稿请在左上方注明文稿适合初中生还是高中生阅读，标题下方请写明作者的通讯地址、邮编、作者姓名、电子信箱及电话．
５．来稿切忌一稿多投，如发现抄袭现象我们将作出公开批评．来稿一律不退，请作者自留底稿．
（４５
）ｘ，
ｘ＜２时，
ｇ（ｘ）＝
（３５
）ｘ＋
（４５
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（３５
）２＋
（４５
）２＝１；
ｘ＞２时，
欢迎投稿
来稿须知１．稿件的内容要新颖、形式要活泼，以适合
中学生阅读，应避免写成教学交流文章．２．提倡短小精悍的文章，讲清一、两个问题，
（责审余炯沛）

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,
分析表中数据变化规律可以发现 ¹ 初速度 V 是影响投掷距离的最主
要因素初速度提高 1 米 / 秒
,
:
½ 表
测量
,
1
可为运动员寻找个人差距
。
、
改
进投掷技术提供参照均值
h
;
。
铅球出手高度易于
,
,
则投掷距离
.
或 4 o 0 则投掷距离均不高于 3 4’
, ,
若实际投距与表
。
6 2 米
2
厘米的差距离对于高水平的
,
中的距离有较大差距
,
,
则很可能是由于出
,
运动员来说是极其宝贵的
往往决定能否
球角度不佳所致运动员应调整出球角度
0
.
’
41 47
0
.
’
42 0 6
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(1 3 9 4 ) (1 5 0 9 ) ( 1 6 3 1 ) (1 7
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,
1 75
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5 6 ) (1 8 8 6 ) ( 2 0 2 3 ) ( 2 1 6 3 ) ( 2 3 0 9 ) ( 2 4 6 0 ) 0 0 , 0 , 0 ’ 0 , 0 , 0 ’ 4 1 59” 42 0 8 4 2 21 42 32 42 42 42 50 42 58
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42 17
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’
42 28
0
.
’
为运动员科学训练提
投掷距离
S二V
l
供理论依据
关键词
、
。
= T V
、
、
eo s a:Βιβλιοθήκη 铅球投掷,
数学模型
(7 )
.
铅球的投掷距离
时的速度
主要取决于球出手
。
角度以及出手高度等因素
, ,
其
V
Zs
将 (i ) (5 ) (6 ) 式代人 (7 ) 整理得 e o sa 生v 入/ V S l n a 寸乙只 n
。
投掷距离的重要途径
一问题的数学模型
。
我们建立这
) 大的 V ) 的选手从 (8 式可见出球角 a 度对投掷距离 S 有直接关系但 S 未必
随
a
的增减而增减
,
若将 V
。
、
h
,
看作常数
a
,
模型建立与求解
速度为 V 的夹角为
出球角度应有所减小
以其求出若干组有效投掷的出手速度 V 员的出手速度运动员根据均值作为运动
,
0 4
3 2
,
,
3 相应的距离为 2
0 ’ ,
8 2 米若出球角度
,
自己的出手高度及初速度
测自己的最大投掷距离
。
,
查表
1
即可预
1 0 为4 4
.
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,
(1 4 0 8 ) (1 5 2 3 ) (1 6 4 4 ) (1 7 7 0 ) (1 9 0 1 ) (2 0 3 6 ) (2 1 7 7 ) (2 3 2 3 ) (2 4 2 4 )
~
, .
.
‘
“
一
g
t -
下一
1
乙g
中
,
初速度对投掷距离的影响最大
,
专业
in Z a
(8 )
、
运动员经过长期的刻苦训练
球的出手速
s /
,
度可稳定在一个较高水平
出手速度一般在 n 相对确定的量
,
.
优秀选手铅球
.
出手这是投掷距离 S 与出手速度 V a 高度 h 以及出球角度相互关系的解析表
,
设铅球出手时的初
, ,
则
S
是
a
的一元函数
S
,
因此
若想获得最
一o
Za
出手高度为 h 初速度 V 与地面
a
,
远投掷距离
即 v
当
a
的取值满足 d / s d
s i a n
( 球的飞行轨迹如图 1 图略 )
eo s
Za
一
甲V
+ Zg h
+
则球由出手点 A 到最高点 B 的飞行时间 = 丛一生 v s in 。 (z ) T
B A
未黑豁
(9 )
a
一”
9 ‘,
球上升高度
n l
式确定了一个隐函数
,
F
v (
a
,
h
,
~ 万9 白
1
_
,
1
汕-
丈~
1
、 ,
-
。 ‘
.
, .
) ~ 0
若将
v
,
,
h
看作自变量
1
,
则
是它
,
V
S ln
a
乙g
(2 )
们的二元函数投掷距离
s
。
表
a
即为由此确定的 (v
投娜船球的么学模型
沈阳电力高等专科学校
崔国生
霍满臣
刘晓钟
张
东
n
003 6
摘要本文将投掷铅球简化为质点作抛物运
动
,
:
建立了相应的数学模型
,
。
,
明确了投掷距离与
将 (2 )
、
(3 )
代人 (4 )
(5 )
、
解得
T 二=
铅球的初速度
,
,
应适当增大
,
¼ 对于确定的出球高度初速度的增大有所增大
,
出球角度随
。
调整出球角度当顺风时
,
相当于 V
;
。
对专业运动员来
。
所以出球角度
风时
,
a
也应稍作增加
遇较大逆
5
说
,
出球角度应在 4 一 4 之间 1 3
。
, ,
厘米
,
e w = S T
s n a “ s n 生 ( v i + 甲v i
“ a
+ Zg h
g
e o sa
因此运动员选材时
既要注重力量也要注
,
= TV
( 10 )
T
、
重身高
在力量相近的情况下
。
应优先选
于V
,
1 (
、
o)
a
式中若
1 T 一
S
、
h 已知
,
则它是关
于是球的最高点 B 距地面的距离为
H ~ h 十h
T B C
z
) h 不同水平下的
高度
h
最优取值及相应的最大
v
(3 )
C
运动员可以根据自己的出手
若将铅球从 B 运行到
时间为
贝有 H 一。
(着地点 ) 的
(4 )
及铅球出手速度
。
来选择相应的投
告
g T
、
掷角度
表

投掷铅球的数学模型

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