第十九章 模糊数学方法模糊数学是研究和处理模糊现象的一种数学方法，它也同其它的学科一样，主要是来源 于实际的需要．在社会实践中，模糊概念（或现象）无处不在．例如：在日常生活中的好与坏、大与小、厚与薄、快与慢、长与短、轻与重、高与低、贵与贱、软与硬、深与浅、美 与丑、黑与白、早与晚、生与熟、动与静、穷与富、疏与密等等都包含着一定的模糊概念．随着科学技术的发展，各学科领域对与这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，因此，这就要求人们研究和处理这些模糊概念（或现象）的数学方法．模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科．统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象．我们知道，在各科学领域中，所涉及到的各种量总是可以分为确定性的和不确定性的两大类，模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法．实际中，我们处理现实对象的数学模型可以分为三大类：第一类是确定性的数学模型，即模型的背景具有确定性，对象之间具有必然的关系．第二类是随机性的数学模型，即模型的背景具有随机性和偶然性．第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系都具有模糊性．我们这里所说的模糊数学建模方法就是针对实际中具有模糊性的问题，建立数学模型所需要的模糊数学的理论和知识．19.1 模糊数学的基本概念19.1.1 模糊集与隶属函数１． 模糊集与隶属函数的概念一般说来，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象全体构成的集合为U ，称之为论域，在此,总是假设问题的论域是非空的．如果U 是论域，则U 的所有子集组成的集合称为U 的幂集，记作)(U F ．例如：},,{c b a U =，则{}},,}{,{},,{},,{},{},{},{,)(c b a c b c a b a c b a U F Φ=．为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集．对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈，或A x ∉，二者有且仅有一个成立．于是，对于子集A 定义映射{}1,0:→U A μ， 即⎩⎨⎧∉∈=A x Ax x A ,0,1)(μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定．所谓论域U 上的模糊集A 是指：对任意U x ∈总以某个程度])1,0[(∈A μ属于A ，而非A x ∈或A x ∉．也可以将普通集的特征函数的概念推广到模糊集，即模糊集的隶属函数．定义19.1 设U 是一个论域，如果给定了一个映射]1,0[)(]1,0[:∈→x x U A A μμ则就确定了一个模糊集A ，其映射A μ称为模糊集A 的隶属函数，)(x A μ称为x 对模糊集A 的隶属度．使5.0)(=x A μ的点0x 称为模糊集A 的过渡点，即是模糊性最大的点．对一个确定的论域U 可以有多个不同的模糊集，记U 上的模糊集的全体为)(U F ，即]}1,0[:|{)(→=U A U F A μ则)(U F 就是论域U 上的模糊幂集，显然)(U F 是一个普通集合，且)(U F U ⊆．２． 模糊集的表示法对于有限的论域},,,{21n x x x U =，A 是U 上的任一个模糊集，其隶属度为)(i A x μ),,2,1(n i =，则模糊集的表示形式有(1) Zadeh 表示法nn A A A ni ii A x x x x x x x x A )()()()(22111μμμμ+++==∑=这里“i i A x x )(μ”不是分数，“＋”也不表示求和，只是符号，它表示点i x 对模糊集A 的隶属度是)(i A x μ．(2) 序偶表示法 {}))(,(,)),(,()),(,(2211n A n A A x x x x x x A μμμ =(3) 向量表示法())(,),(),(21n A A A x x x A μμμ =对于论域U 为无限集的情况，则U 上的模糊集A 可以表示为 ⎰=UA xx A )(μ，这里“⎰”不是积分号，“xx A )(μ”也不是分数.３．模糊集的运算模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律．定义19.2 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(),(x x B A μμ.(1) 若对任意U x ∈，有)()(x x A B μμ≤，则称A 包含B ，记A B ⊆； (2) 若B A ⊆且A B ⊆，则称A 与B 相等，记为A B =．定义19.3 设模糊集)(,U F B A ∈，其隶属函数为)(),(x x B A μμ,则称B A 和BA 为A 与B 的并集和交集；称cA 为A 的补集或余集．它们的隶属函数分别为))(),(max()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∨=))(),(min()()()(x x x x x B A B A B A μμμμμ=∧= )(1)(x x A A cμμ-=其中“∨”和“∧”分别表示取大算子和取小算子．并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算〔1,2,3,4〕．19.1.2 隶属函数的确定方法我们知道，模糊数学的基本思想是隶属程度的思想．应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数．然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题．这里仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法．1. 模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的．所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：(1) 论域U ；(2) U 中的一个固定元素0x ；(3) U 中的一个随机变动的集合*A （普通集）；(4) U 中的一个以*A 作为弹性边界的模糊集A ，对*A 的变动起着制约作用．其中*0A x ∈，或*0A x ∈，致使0x 对A 的隶属关系是不确定的．假设我们做n 次模糊统计试验，则可计算出：0x 对A 的隶属频率＝n A x 的次数*0∈事实上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0x 对A 的隶属度，即∞→=n A x lim)(0μn A x 的次数*0∈2. 指派方法指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法．如果模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数称为模糊分布．所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数．常用的模糊分布如表19-1所示.实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布．偏小型模糊分布一般适合于描述像“小”、“少”、“浅”、“淡”、“冷”、“疏”、“青年”等偏向小的程度的模糊现象．偏大型模糊分布一般适合于描述像“大”、“多”、“深”、“浓”、“热”、“密”、“老年”等偏向大的程度的模糊现象．而中间型模糊分布一般适合于描述像“中”、“适中”、“不太多”、“不太少”、“不太深”、“不太浓”、“暖和”、“中年”等处于中间状态的模糊现象．但这些方法所给出的隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数．表19-1: 常用的模糊分布(a) 偏小型 (b) 中间型 (c) 偏大型矩形分布⎩⎨⎧>≤=a x a x x A ,0,1)(μ⎩⎨⎧><≤≤=b x a x b x a x A 或,0,1)(μ⎩⎨⎧<≥=a x a x x A ,0,1)(μ梯形分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=bxbxaabxbaxxA,0,,1)(μ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<≤--<≤<≤--=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxxA,,0,,1,)(μ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<=bxbxaabaxaxxA,1,,)(μ正态分布⎪⎩⎪⎨⎧>≤=⎪⎭⎫⎝⎛--axeaxx a xA,,1)(2σμ2)(⎪⎭⎫⎝⎛--=σμaxAex⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=⎪⎭⎫⎝⎛--axeaxx a xA,1,)(2σμk次抛物型分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪⎭⎫⎝⎛--<=bxbxaabxbaxxkA,,,1)(μ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<<≤⎪⎭⎫⎝⎛--<≤<≤⎪⎭⎫⎝⎛--=dxaxdxccdxdcxbbxaabaxxkkA,,,,1,)(μ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤⎪⎭⎫⎝⎛--<=bxbxaabaxaxxkA,1,,)(μГ型分布⎩⎨⎧≥><=--axekaxxaxkA,)0(,1)()(μ⎪⎩⎪⎨⎧≥><≤<=---bxekbxaaxexbxkaxkA,)0(,1,)()()(μ⎩⎨⎧≥-><=--axekaxxaxkA,1)0(,)()(μ柯西型分布⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>-+≤=)0,0(,)(11,1)(βααμβaxaxaxxA且为偶数）,0()(11)(>>-+=βααμβaxxA⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>>-+≤=-)0,0(,)(11,)(βααμβaxaxaxxA3.其它方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定．譬如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助于已有的“客观尺度”作为模糊集的隶属度．如果论域U 表示机器设备，在U 上定义模糊集=A “设备完好”，则可以用“设备完好率”作为A 的隶属度．如果U 表示产品，在U 上定义模糊集=A “质量稳定”，则可用产品的“正品率”作为A 的隶属度．如果U 表示家庭，在U 上定义模糊集A ＝“家庭贫困”，则可以用Engel 系数总消费食品消费＝作为A 的隶属度．另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出顺序，然后用数学方法加工处理得到所需要的隶属函数．19.2 模糊关系与模糊矩阵19.2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念定义19.4 设论域V U ,，则称乘积空间V U ⨯上的一个模糊子集)(~V U F R ⨯∈为从U 到V 的模糊关系．如果~R的隶属函数为]1,0[:~→⨯V U R μ),(),(~y x y x R μ则称隶属度),(~y x R μ为),(y x 关于模糊关系~R的相关程度．由于模糊关系就是乘积空间V U ⨯上的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质．设},,,{},,,,{2121n m y y y V x x x U ==，~R是由U 到V 的模糊关系，其隶属函数 为),(~y x R μ，对任意的V U y x j i ⨯∈),(有),,2,1;,,2,1](1,0[),(~n j m i r y x ij j i R ==∈=μ，记n m ij r R ⨯=)(，则R 就是所谓的模糊矩阵，于是有下面的一般性定义．定义19.5 设矩阵nm ij r R ⨯=)(，且),,2,1;,,2,1](1,0[n j m i r ij ==∈，则称R 为模糊矩阵．特别地，如果),,2,1;,,2,1}(1,0{n j m i r ij ==∈，则称R 为布尔(Bool)矩阵．当1=m ，或1=n 时，则相应的模糊矩阵为),,,(21n r r r R =，或Tm r r r R ),,,(21 =，则分别称为模糊行向量和模糊列向量．19.2.2 模糊等价与模糊相似定义19.6 若模糊关系)(~V U F R ⨯∈，且满足：(1) 自反性：=),(~x x R μ1；(2) 对称性：),(),(~~x y y x R R μμ=；(3)传递性：~~~R R R ⊆ （()),(),(),(),(~~~~~y x y z z x y x RR R V z R R μμμμ≤∧∨=⇔∈ ）．则称~R 是U 上的一个模糊等价关系，其隶属度函数),(~y x R μ表示),(y x 的相关程度．当论域为},,,{21n x x x U =时，U 上的模糊等价关系可表示为n n ⨯阶模糊等价矩阵nn ij r R ⨯=)(．定义19.7 设论域为},,,{21n x x x U =，I 为单位矩阵，如果模糊矩阵n n ij r R ⨯=)(满足：(1) 自反性：),,2,1,1(n i r R I ii ==⇔≤；(2) 对称性：),,2,1,;(n j i r r R R ji ij T ==⇔=；(3)传递性：R R R ≤ （()),,2,1,;1n j i r r r ij kj ik nk =≤∧⇔∨=）．则称R 为模糊等价矩阵．实际中，要建立一个模糊等价关系或模糊等价矩阵往往是困难的，这主要是由于传递性难已满足．但是，对于满足自反性和对称性的模糊关系~R与模糊矩阵R ，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵．19.2.3 λ-截矩阵与传递矩阵定义19.8 设nm ij r R ⨯=)(为模糊矩阵，对任意的]1,0[∈λ．(1) 如果令⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧<≥=n j m i r r r ij ij ij ,,2,1,,2,1,0,1)( λλλ则称()n m ij r R ⨯=)(λλ为R 的λ－截矩阵． (2) 如果令⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎩⎪⎨⎧≤>=n j m i r r r ij ij ij ,,2,1,,2,1,0,1)( λλλ则称()nm ij r R ⨯=)(λλ为R 的λ－强截矩阵．显然，对任意的]1,0[∈λ，λ－截矩阵是布尔矩阵． 定义19.9 设R 是n n ⨯阶的模糊矩阵，如果满足R R R R ≤=2（()),,2,1,;1n j i r r r ij kj ik nk =≤∧⇔∨=则称R 为模糊传递矩阵．将包含R 的最小的模糊传递矩阵称为R 的传递包，记为)(R t ．事实上，对于任意的模糊矩阵n n ij r R ⨯=)(，则n n k ij n k nk kr R R t ⨯==⎪⎭⎫⎝⎛∨==)(11)( ．特别地， 当R 为模糊相似矩阵时，则存在一个最小的自然数)(n k k ≤，使得kR R t =)(，对任意自然数k l >都有kl R R =，此时)(R t 一定为模糊等价矩阵．19.3 模糊聚类分析方法在许多工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按一定的标准（相似的程度、亲疏关系等）进行分类处理．例如，根据生物的某些性态对其进行分类、根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类、工程上对工程规模的分类、图像识别中对图形的分类、地质学中对地质土壤的分类、水资源中的水质分类等等．这种对客观事物按一定标准进行分类的数学方法主要就是聚类分析法，而模糊聚类分析法就是根据事物的某些模糊性质进行分类的一种数学方法．下面给出模糊聚类分析方法的一般步骤.19.3.1 数据标准化(1) 获取数据：设论域},,,{21n x x x U =为所需分类研究的对象，每个对象又由m 个指标表示其性态，即),,2,1}(,,,{21n i x x x x im i i i ==，于是，可以得问题的原始数据矩阵为()mn ij x A ⨯=．(2) 数据的标准化处理：在实际问题中的数据可能有不同的性质和不同的量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵A 做标准化的处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵．常用的方法有以下两种： (ⅰ) 平移－标准差变换如果原始数据之间有不同的量纲，则可以采用这种变换后使每个变量的均值为0，标准差为1，即可以消除量纲的差异的影响．即令),,2,1;,,2,1(m j n i s x x x jjij ij==-='其中),,2,1()(1,121121m j x x n s x n x n i j ij j n i ij j =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑∑==．(ⅱ) 平移－极差变换如果经过平移-标准差变换后还有某些]1,0[∈'ijx ，则还需对其进行平移-极差变换，即令{}{}{}),,2,1(min max min 111m j xx x x x ijni ijni ij ni ijij='-''-'=''≤≤≤≤≤≤显然所有的]1,0[∈''ijx ，且也不存在量纲因素的影响，从而可以得到模糊矩阵()m n ijx R ⨯''=．19.3.2 建立模糊相似矩阵设论域},,,{21n x x x U =，),,2,1}(,,,{21n i x x x x im i i i ==，即数据矩阵为()mn ij x A ⨯=，如果i x 与j x 的相似程度为),,2,1,)(,(~n j i x x R r j i ij ==，则称之为相似系数，确定相似系数ij r有多种不同的方法．(1) 数量积法对于U x x x x im i i i ∈=},,,{21 ，令⎪⎭⎫⎝⎛⋅=∑=≠m k jk ik j i x x M 1max ，则取⎪⎩⎪⎨⎧≠⋅==∑=j i x x M j i r m k jk ik ij ,1,11，显然]1,0[∈ij r ．若出现有某些0<ij r ，可令21+='ij ij r r ，则有]1,0[∈'ijr ．也可以用平移-极差变换将其压缩到]1,0[上，即可以得到模糊相似矩阵()mn ij r R ⨯=．(2) 夹角余弦法: 令),,2,1,(12121n j i xx x xr mk jkmk ikmk jkikij =⋅=∑∑∑===则()nn ij r R ⨯=．(3) 相关系数法: 令()()()()),,2,1,(12121n j i x xx xx x x xr mk jjkmk iikmk j jk i ikij =-⋅---=∑∑∑===其中∑==m k ik i x m x 11，∑==mk jk j x m x 11，则()n n ij r R ⨯=． 注意：},,,{21im i i ix x x x =中的样本ik x 属于同一个样本空间i X ),,2,1(m k =．(4) 指数相似系数法: 令∑=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=m k k jk ik ij s x x m r 122)(43exp 1其中()∑=-=ni k ik k x x n s 121,∑==ni ikk x n x 11),,2,1(m k =.则()n n ij r R ⨯=． 注意：},,,{21im i i i x x x x =中的样本ik x 属于不同的样本空间k X ，即),,2,1(m k X x k ik =∈．(5) 最大最小值法: 令()()),,2,1,;0(11n j i x x xx x r ij mk jkikmk jk ikij =>∨∧=∑∑==则()nn ij r R ⨯=．(6) 算术平均值法: 令()()),,2,1,;0(2111n j i x x x x xr ij mk jk ik mk jk ikij =>+∧=∑∑==则()nn ij r R ⨯=．(7) 几何平均值法：令()),,2,1,;0(11n j i x x x x xr ij mk jkik mk jk ikij =>⋅∧=∑∑==则()nn ij r R ⨯=．(8) 绝对值倒数法：令⎪⎩⎪⎨⎧≠⎪⎭⎫⎝⎛-==-=∑ji x x M j i r m k jk ik ij ,,111其中M 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数，则()n n ij r R ⨯=．(9) 绝对值指数法：令),,2,1,(exp 1n j i x x r m k jk ik ij =⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=则()nn ij r R ⨯=．(10) 海明距离法：令),,2,1,(),(),(11n j i x x x x d x x d H r m k jkik j i j i ij =⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=∑=其中H 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数．则()nn ij r R ⨯=．(11) 欧氏距离法：令()),,2,1,(),(),(112n j i x x x x d x x d E r m k jk ik j i j i ij =⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=∑=其中E 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数．则()nn ij r R ⨯=．(12) 契比雪夫距离法：令),,2,1,(),(),(11n j i x x x x d x x d Q r jkik m k j i j i ij =⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅-=∨=其中Q 为使得所有),,2,1,](1,0[n j i r ij =∈的确定常数．则()nn ij r R ⨯=．(13) 主观评分法：设有N 个专家组成专家组},,,{21N p p p ，让每一位专家对所研究的对象i x 与j x 相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估．如果第k 位专家k p 关于对象i x 与j x 的相似度评价为)(k r ij ，对自己的自信度评估为),,2,1,)((n j i k a ij =，则相关系数定义为()),,2,1,()()()(11n j i k ak r k ar Nk ijNk ij ijij =⋅=∑∑==则()nn ij r R ⨯=． 综上所述，以上给出了实际中能够使用的一些方法，具体地选择要根据具体问题的性质和使用的方便来确定．19.3.3 聚类所谓的聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对象进行分类的方法，对于不同的置信水平]1,0[∈λ，可得不同的分类结果，从而可以形成动态聚类图．常用的方法可以分为两类，一类是基于模糊等价矩阵的聚类方法，另一类是直接聚类方法．(1) 传递闭包法用上节的方法所建立的模糊矩阵R 一般只是一个模糊相似矩阵，即R 不一定是模糊等价矩阵．为此，首先需要由R 来构造一个模糊等价矩阵*R ，根据传递闭包的性质，可以用平方法求出R 的传递包*=R R t )(，即为一模糊等价矩阵．然后，由大到小取一组]1,0[∈λ值，确定相应的λ-截矩阵，则可以将其分类，同时也可构成动态聚类图〔1〕．(2) 布尔矩阵法设论域为},,,{21n x x x U =，R 是U 上的模糊相似矩阵，对于确定的λ水平要求U 中元素的分类．首先，由于模糊相似矩阵R 作出其λ-截矩阵))((λλij r R =，即λR 为布尔矩阵．然后，依据λR 中的1元素可以将其分类． 如果λR 为等价矩阵，则R 也为等价矩阵，即可以直接将其分类． 如果λR 不是等价矩阵，则首先按一定的规则将λR 改造成一个等价的布尔矩阵，然后再进行分类．例如：0元素和1元素互换方法等．(3) 直接聚类法所谓直接聚类法是一种直接由模糊相似矩阵，求出聚类图的方法，具体步骤如下：1) 取11=λ（最大值），对每个i x 作相似类：{}1|][==ij j R i r x x ，即将满足1=ij r 的i x 与j x 视为一类，构成相似类．相似类与等价类有所不同，不同的相似类可能有公共元素，即可能有Φ≠R j R i x x ][][ ，实际中，对于这种情况可以将R i x ][与R j x ][合并为一类，即可得到11=λ水平上的等价分类．2) 取)(12λλ<为次大值，从R 中直接找出相似程度为2λ的元素对),(j i x x （即2λ=ij r ），并相应地将对应于11=λ的等价分类中i x 与j x 所在的类合并为一类，即可得到2λ水平上的等价分类．3) 依次取 >>>321λλλ，按第2)步的方法依次类推，直到合并到U 成为一类为止，最后可以得到动态聚类图．19.4 模糊模式识别方法将事物的整体划分为若干类型而得到一组标准模式，对于一个确定的对象识别它属于哪一类的问题称为模式识别．如果整体被划分的类型与被识别的对象之中至少有一个是用模糊集表示的模式识别问题，则称为模糊模式识别．实际中有很多问题都属于这一类问题，例如：像自动分拣机对信件上邮政编码的识别；医生针对病人的主要症状诊断过程；根据学生的德、智、体等因素对学生进行分类；对某种产品等级的分类，以及指纹识别和汽车车牌号码的识别等问题．这里主要介绍两种最基本的模糊模式识别方法――最大隶属原则和择近原则．19.4.1 模式识别中的最大隶属原则定义19.8 设论域},,,{21n x x x U =上的m 个模糊子集m A A A ,,,21 ，其隶属度函数为),,2,1)((m i x iA =μ，而模糊向量集合族),,,(21m A A A A =对于普通向量),,,()0()0(2)0(1)0(m x x x x =，则称{})()()0(1)0(i A mi x x iμμ=∧=为)0(x 对模糊向量集合族A 的隶属度．实际中向量)0(x 对模糊向量集合族A 的隶属度也可以定义为∑==m i i A x n x i 1)0()0()(1)(μμ．1． 最大隶属原则Ⅰ 设在论域},,,{21n x x x U =上有m 个模糊子集m A A A ,,,21 （即m 个模式）一起构成一个标准模式库，若对任一个U x ∈)0(，存在)1(00m k k ≤≤使得{})()()0(1)0(0x x kA mk k μμ=∨=，则可视为)0(x 相对隶属于0k A．2． 最大隶属原则Ⅱ设在论域},,,{21n x x x U =上确定一个标准模式0A ，对于n 个待识别的对象U x x x n ∈,,,21 ，如果有某个k x 满足)1()(1)(00n k i x A mi k x A ≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∨=μμ，则k x 优先隶属于0A ．19.4.2 模式识别中的择近原则设论域},,,{21n x x x U =，由U 上的m 个模糊子集m A A A ,,,21 （即m 个模式）构成一个标准模式库，对U 上的另一个模糊子集0A ，问题是0A 与),,2,1(m i A i=中的哪一个最贴近？这是另一类模式识别问题，主要是研究两个模糊集的贴近程度．1． 贴近度的概念设论域U 上的模糊子集)(,21U F A A ∈，则定义))()((2121x x A A A A Ux μμ∧=∨∈为1A 与2A 的内积；类似的定义 ))()((2121x x A A A A Ux μμ∨=⊗∧∈为1A 与2A 的外积．定义19.9 设有论域U 上的模糊子集)(,21U F A A ∈，则称[])1(21),(212121A A A A A A N ⊗-+=为1A 与2A 的贴近度． 显然的，如果1A 与2A 的贴近度),(21A A N 越大，则说明1A 与2A 越贴近．而且贴近度有下列性质：（1） 1),(021≤≤A A N ；（2） 0),(=ΦU N ，))((1),(U F A A A N ∈∀=．实际中，可以用贴近度来描述模糊集之间的贴近程度，但是，根据所研究问题的性质，还可以给出其它形式的贴近度定义．2． 单个特性的择近原则设论域U 上的m 个模糊子集m A A A ,,,21 (m 个模式)构成一个标准模式库{}m A A A ,,,21 ，模糊子集0A 为待识别的模式，若存在)1(00m k k ≤≤使得),(),(0100A A N A A N k mk k ∨==则0A 与0k A 最贴近，或者说把0A 可归并到0k A类．3． 多个特性的择近原则根据实际问题的需要，依据对象的多个特性的模式识别问题，即要研究两个模糊向量集合族的贴近度问题，可以有多种不同的定义，常用的有以下几种形式：对于论域U 上的两个模糊向量集合族),,,(),,,,(2121m m B B B B A A A A ==，则A 与B 的贴近度可定义为（1） ),(),(1k k mk B A N B A N ∧==； （2）),(),(1k k mk B A N B A N ∨==；（3）),(),(1k k mk k B A N a B A N ∑==,其中]1,0[∈k a ，且11=∑=mk k a ；（4）()),(),(1k k k mk B A N a B A N ⋅=∨=，其中]1,0[∈k a ，且11=∑=mk k a ；（5）()),(),(1k k k mk B A N a B A N ∧=∨=，其中]1,0[∈k a ，且11=∑=mk k a ．实际中，选择哪一种形式，完全根据实际问题的需要确定，也可以用其它更合适的形式． 多个特性的择近原则：设由论域U 上的n 个模糊子集n A A A ,,,21 构成一个标准模式库{}n A A A ,,,21 ，每个模式k A 都可用m 个特性描述，即),,2,1)(,,,(21n k A A A A km k k k ==待识别的模式为),,,(002010m A A A A =．如果两个模糊向量集合族的贴近度最小值为),,2,1)(,(01n k A A N n i ki mi k ==∧=并有自然数)1(00n k k ≤≤使得knk k n n ∧==10，则模式0A 隶属于k A．最后值得我们注意的是模式识别与模糊聚类分析的关系和区别．首先，二者都是研究模糊分类问题的方法，但二者既有关联，又有差别．模糊聚类分析所研究的对象是一组样本，没事先确定的模式标准，只是根据对象的特性进行适当的分类．而模糊模式识别所讨论的问题事先已知若干标准模式，或标准模式库，据此，对要待识别的对象进行识别，看它应属于哪一类．因此，模糊聚类分析是一种无标准模式的分类方法，而模糊模式识别是一种有标准模式的分类方法．另一方面，模糊聚类分析与模糊模式识别也是有关系的．实际中，我们用模糊聚类分析法进行判别、预测的过程，事实上就是模糊聚类与模糊识别综合运用的过程．模糊识别中的标准模式就是在模糊聚类分析过程中得到的，即模糊聚类为模糊识别提供了标准模式库．19.5 模糊综合评判方法模糊综合评判是模糊决策中最常用的一种有效方法．在实际中，常常需要对一个事物做出评价（或评估），一般都涉及到多个因素或多个指标，此时就要求我们根据这些因素对事物做出综合评价，这就是所谓的综合评判，即综合评判就是要对受多个因素影响的事物（或对象）做出全面的评价，故模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策．传统的评判方法有总评分法和加权评分法．总评分法：根据评判对象的评价项目),,2,1(n i u i =，首先，对每个项目确定出评价的等级和相应的评分数),,2,1(n i s i=，并将所有项目的分数求和∑==ni is S 1，然后，按总分的大小排序，从而确定出方案的优劣．加权评分法：根据评判对象的诸多因素（或指标）),,2,1(n i u i =所处的地位或所起的作用一般不尽相同．因此，引入权重的概念，求其诸多因素（指标）评分),,2,1(n i s i=的加权和∑==ni ii s w S 1．其中i w 为第),,2,1(n i i =个因素（指标）的权值．19.5.1 模糊综合评判的一般方法1. 模糊综合评判的一般提法 设},,,{21n u u u U =为研究对象的n 种因素（或指标），称之为因素集（或指标集）．},,,{21m v v v V =为诸因素（或指标）的m 种评判所构成的评判集（或称语集、评价集、决策集等），它们的元素个数和名称均可根据实际问题的需要和决策人主观确定．实际中，很多问题的因素评判集都是模糊的，因此，综合评判应该是V 上的一个模糊子集)(),,,(21V F b b b B m ∈=其中k b 为评判k v 对模糊子集B 的隶属度：),,,2,1()(m k b v k k B ==μ，即反映了第k 种评判k v 在综合评价中所起的作用．综合评判B 依赖于各因素的权重，即它应该是U 上的模糊子集)(),,,(21U F a a a A n ∈= ，且11=∑=ni ia，其中i a表示第i 种因素的权重．于是，当权重A 给定以后，则相应地就可以给定一个综合评判B ．2. 模糊综合评判的一般步骤(1) 确定因素集},,,{21n u u u U =； (2) 确定评判集},,,{21m v v v V =；(3) 确定模糊评判矩阵mn ij r R ⨯=)(：首先，对每一个因素i u 做一个评判),,2,1)((n i u f i =，则可以得U 到V 的一个模糊映射f ，即)(),,,()()(:21V F r r r u f u U F U f im i i i i ∈=→然后，由模糊映射f 可以诱导出模糊关系)(V U F R f ⨯∈，即),,2,1;,,2,1())((),(m j n i r v u f v u R ij j i j i f ====因此，可以确定出模糊评判矩阵mn ij r R ⨯=)(．而且称),,(R V U 为模糊综合评判模型，R V U ,,称为该模型的三要素．(4) 综合评判：对于权重)(),,,(21U F a a a A n ∈= ，用模型),(∨∧M 取最大－最小合成运算，可以得到综合评判),,2,1),((1m j r a b R A B ij i ni j =∧=⇔=∨=注意到：关于评判集V 的权重),,,(21n a a a A =的确定在综合评判中起重要的作用，通常情况下可以由决策人凭经验给出，但往往带有一定的主观性．要从实际出发，或更客观地反映实际情况可采用专家评估法、加权统计法和频数统计法，或更一般的模糊协调决策法、模糊关系方法等来确定．19.5.2 综合评判模型的构成如果模糊综合评判模型为),,(R V U ,对于权重)(),,,(21U F a a a A n ∈= ，模糊评判矩阵为mn ij r R ⨯=)(，则用模型)(∨∧,M 运算得综合评判为)(),,,(21V F b b b R A B m ∈== ，其中),,2,1()(1m j r a b ij i n i j =∧=∨=．事实上，由于11=∑=ni ia，对于某些情况可能会出现iji r a ≤，即iij i a r a =∧．这样可能导致模糊评判矩阵R 中的许多信息的丢失，即人们对某些因素i u 所作的评判信息在决策中未得到充分的利用．从而导致综合评判结果失真．为此，实际中可以对模型)(∨∧,M 进行改进．(1) 模型)(∨∙,M 法：对于)(),,,(21U F a a a A n ∈= 和m n ij r R ⨯=)(，则用模型)(∨∙,M 运算得R A B *=，即),,2,1()(1m j r a b ij i ni j =∙=∨=．(2) 模型)(+∧,M 法：对于)(),,,(21U F a a a A n ∈= 和m n ij r R ⨯=)(，则用模型)(+∧,M 运算得R A B *=，即),,2,1()(1m j r a b ni ij i j =∧=∑=．(3) 模型)(+∙,M 法：对于)(),,,(21U F a a a A n ∈= 和m n ij r R ⨯=)(，则用模型)(+∙,M 运算得R A B *=，即),,2,1()(1m j r a b ni ij i j =∙=∑=．在实际应用时，主因素（即权重最大的因素）在综合中起主导作用时，则可首选“主因素决定型”模型)(∨∧,M ；当模型)(∨∧,M 失效时，再来选用“主因素突出型”模型)(∨∙,M 和)(+∧,M ；当需要对所有因素的权重均衡时，可选用加权平均模型)(+∙,M ．在模型的选择时，还要特别注意实际问题的需求．19.5.3 多层次模糊综合评判对于实际中的许多问题往往都是涉及因素多，各因素的权重分配较为均衡的情况，此时，可采用将诸因素分为若干个层次进行研究．即首先分别对单层次的各因素进行评判，然后再对所有的各层次因素作综合评判．这里仅就两个层次的情况进行说明，具体方法如下：(1) 将因素集},,,{21n u u u U =分成若干个组)1(,,,21n k U U U k ≤≤ 使得ki iU U 1==，且)(j i U U j i ≠=Φ ，称},,,{21k U U U U =为一级因素集．不妨设);,,2,1}(,,,{1)()(2)(1n n k i u u u U k i i i n i i i i===∑= ，称之为二级因素集．(2) 设评判集},,,{21m v v v V =，对二级因素集},,,{)()(2)(1i n i i i i u u u U =的i n 个因素进行单因素评判，即建立模糊映射),,2,1)(,,,()()(:)()(2)(1)()(i i jm i j i j i j i i j i i n j r r r u f u V F U f ==→于是得到评判矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(11i m n i n i n i mi i i mi i i i i i r r r r r r r r r R 不妨设},,,{)()(2)(1i n i i i iu u u U =的权重为},,,()()(2)(1i n i i i ia a a A =，则可以求得综合评判为),,2,1)(,,,()()(2)(1k i b b b R A B i m i i i i i ===其中)(i j b 由模型)(∨∧,M ，或)(∨∙,M 、)(+∧,M 、)(+∙,M 确定． (3) 对于一级因素集},,,{21k U U U U =作综合评判，不妨设其权重),,,(21k a a a A =，总评判矩阵为T k B B B R ],,,[21 =．按模型)(∨∧,M ，或)(∨∙,M 、)(+∧,M ，、)(+∙,M 运算得到综合评判)(),,,(21V F b b b R A B m ∈== ．19.6 中介服务机构的信誉评估问题[10]19.6.1问题的提出近年来，社会上出现了很多不同规模、不同性质的中介服务机构，但目前还缺少规范统一管理的政策和法规，有些地方由此产生了许多社会问题．为了加强对这些机构的管理，政府有关部门需要对这些机构的“信誉”做出客观地评价，以便制定相应的政策和法规．表19-1：各级因素及其权值 主要因素二级因素 权 重 模糊矩阵 三 级 因 素权 重 (A) 法 纪 情 况 0.3(A 1)遵纪 守法情况 a 1=0.3 R A1 （A 11）经营活动 a 11=0.5 （A 12）财务制度a 12=0.5 (A 2) 纳 税 情 况 a 2=0.5R A2（A 21）所纳税与应纳税的比率 a 21=0.6 （A 22）逃税次数a 22=0.2 （A 23）逃税罚金与所纳税的比率a 23=0.2 (A 3)奖惩 情 况 a 3=0.1R A3 （A 31）奖励的次数 a 31=0.5 （A 32）惩罚的次数a 32=0.5 (A 4)治安 情 况a 4=0.1R A4 （A 41）发生治安案件的次数 a 41=0.4 （A 42）发生行事案件的次数 a 42=0.6 (B)(B 1)履行 合同情况 b 1=0.2 R B1 （B 11）履行合同与全部合同比率 b 11=0.6 （B 12）主动违约占合同的比率 b 12=0.4 (B 2)（B 21）中介服务的成功率b 21=0.6。
