1.1 集合间的关系与基本运算

第二讲 集合之间的基本关系及其运算一．知识盘点知识点一：集合间的基本关系注意：1.A B A B B AA B A B A B A B =⇔⊆⊆⎧⊆⎨⊂⇔⊆≠⎩且且2.涉及集合间关系时，不要忘记空集和集合本身的可能性。

3.集合间基本关系必须熟记的3个结论（1）空集是任意一个集合的子集；是任意一个非空集合的真子集，即,().A B B Φ⊆Φ⊂≠Φ(2)任何一个集合是它自身的子集，空集只有一个子集即本身 （3）含有n 个元素的集合的子集的个数是2n 个，非空子集的个数是21n - ；真子集个数是21n - ，非空真子集个数是22n -。

知识点二：集合的基本运算运算 符号语言 Venn 图 运算性质交集{}|A B x x A =∈∈且x B()(),AB A A B B ⊆⊆ (),AA A AB B A ==A B A A B =⇔⊆ A Φ=Φ并集{}|A B x x A x B =∈∈或()(),A A B B A B ⊆⊆ (),A A A A B B A ==,A B B A B A A =⇔⊆Φ=补集{}|U C A x x U x A =∈∉且,U U C U C U =ΦΦ=()(),U U U C C A A A C A U ==()U AC A =Φ()()()U U U C A B C A C B = ()()()U U U C A B C A C B =二．例题精讲Ep1.下列说法正确的是A. 高一（1）班个子比较高的同学可以组成一个集合B. 集合{}2|,x N x x ∈= 则用列举法表示是{}01，UAC. 如果{}264,2,m m ∈++2， 则实数m 组成的集合是{}-22，D. {}{}(){}222||,|x y xy y x x y y x =====解析：A.与集合的确定性不符；B.对；C.与集合的互异性不符；D 。

{}2|x y x R == ,{}{}2||0y y x y y ==≥ ，(){}2,|x y y x = 是二次函数2y x = 的点集Ep2.已知集合A={}2|1log ,kx N x ∈<< 集合A 中至少有三个元素，则A.K>8B.K ≥ 8C.K>16D.K ≥ 16解析：由题设,集A 至少含有2，3，4三个元素，所以2log 4k> ，所以k>16.Ep3.已知集合M={}{}2|,|,x y x R N x x m m M =∈==∈ ,则集合M 、N 的关系是A.M N ⊂B.N M ⊂C.R M C N ⊆D.R N C M ⊆ 解析：[]1,1M =- ，{}|01N x x =≤≤ ，故选B.Ep4.已知集合M={}0,1 ,则满足M N M = 的集合N 的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解析：M N M =，故N M ⊆ ,故选D.Ep5已知集合{}{}2|1,|1M x x N x ax ==== ,如果N M ⊆ ,则实数a 的取值集合是{}.1A {}.1,1B - {}.0,1C {}.1,0,1D -解析：{}1,1M =- , N M ⊆,故N 的可能：{}{}{},1,1,1,1Φ-- ，故a 的取值集合{}1,0,1-Ep6.已知集合{}{}2|20180,|lg(3)A x x x B x N y x =-+≥=∈=- ，则集合A B 的子集的个数是解析：{}|02018A x x =≤≤ ，{}{}|3-x>00,1,2B x N =∈= ，故{}0,1,2A B = 故子集个数328=A.4B.7C.8D.16Ep7.已知集合{}{}2|2,|M x x x N x x a =<+=> ，如果M N ⊆ ,则实数a 的取值范围是.(,1]A -∞- .(,2]B -∞ .[2,)C +∞ .[1,)D -+∞解析：{}|12M x x =-<< ，M N ⊆，故1a ≥-Ep8.已知集合{}2|30A x N x x *=∈-< 则满足B A ⊆ 的集合B 的个数是 A.2 B.3 C.4 D.8 解析：{}{}|03=12A x N x *=∈<<， ，故选CEp9.已知集合{}{}|12,|13,M x x N x x M N =-<<=≤≤=则.(1,3]A - B.(1,2]- .[1,2)C D.(2,3]解析：选CEp10.如果集合{}{}(1)2|10,|log 0,x A x x B x -=-≤≤=≤则A B={}.|11A x x -≤< {}.|11B x x -<≤ {}.0C {}.|11D x x -≤≤ 解析：{}10||0111x B x x x x ⎧->⎫⎧==≤<⎨⎨⎬-≤⎩⎩⎭，故选D.Ep11.设集合 {}{}2|11,|,,()R A x x B y y x x A A C B =-<<==∈=则{}.|01A x x ≤< {}.|10.B x x -<< {}|01C x x =<< {}.|11D x x -<<解析：{}|01B y y =≤<，则{}|01R C B y y =<≥或y，(){}{}{}|11|01|10R AC B x x y y y x x =-<<<≥=-<<或 选B.Ep12.已知集合{}{}2|11,|20,A x x B x x x =-<<=--<则 )R C A B =（.(1,0]A - .[1,2)B - .[1,2)C .(1,2]D解析：{}|12B x x =-<< ，{}|11R C A x x x =≤-≥或 (){}|12R C A B x x =≤< ，选C.三．总结提高1.题型归类（1）2个集合之间的关系判断（2）已知2个集合之间的关系，求参数问题 （3）求子集或真子集的个数问题 （4）2个有限集之间的运算（5）1个有限集和1个无限集之间的运算 （6）2个无限集之间的运算（7）已知集合的运算结果，求参数问题 2.方法总结（1）判断集合间关系的方法a.化简集合，从表达式中寻找两个集合之间的关系b.用列举法表示集合，从元素中寻找关系c.利用数轴，在数轴上表示出两个集合（集合为数集），比较端点之间的大小关系，从而确定两个集合之间的关系。

（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。

专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． 【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2， 由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ． 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题． 例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解． 【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }， 当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3； 所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用． 【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论． 【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键． 考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。

集合的基本关系和运算在初中数学中，集合是一个重要的概念，它涉及到很多基本关系和运算。

掌握了集合的基本关系和运算，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题。

本文将从不同角度来介绍集合的基本关系和运算，希望能够为中学生和他们的父母提供一些指导和帮助。

一、集合的基本关系1. 相等关系相等关系是集合中最基本的关系之一。

当两个集合的元素完全一样时，我们说这两个集合相等。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2, 3}，则A=B。

相等关系是一种非常直观和容易理解的关系。

2. 包含关系包含关系是指一个集合包含另一个集合的所有元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={1, 2}，则B是A的子集，记作B⊆A。

包含关系可以帮助我们理解集合的大小关系。

3. 相交关系相交关系是指两个集合有共同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A和B相交，记作A∩B≠∅。

相交关系可以帮助我们找到集合中的共同元素。

4. 互斥关系互斥关系是指两个集合没有共同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={4, 5, 6}，则A和B互斥，记作A∩B=∅。

互斥关系可以帮助我们判断集合之间的差异。

二、集合的基本运算1. 并集并集是指将两个集合中的所有元素合并到一起。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∪B={1, 2, 3, 4}。

并集运算可以帮助我们找到两个集合的所有元素。

2. 交集交集是指两个集合中共同的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A∩B={2, 3}。

交集运算可以帮助我们找到两个集合的共同元素。

3. 差集差集是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。

例如，集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A-B={1}。

差集运算可以帮助我们找到一个集合相对于另一个集合的独有元素。

4. 补集补集是指一个集合相对于全集的差集。

专题一集合与常用逻辑用语【真题典例】1.1集合的概念及运算挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.集合的含义与表示1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题2018课标Ⅱ,2集合中元素个数的判断集合间的基本关系、集合的基本运算★☆☆2.集合间的基本关系1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集2011北京,1集合间的基本关系二次不等式的解法★☆☆2.在具体情境中,了解全集与空集的含义3.集合的基本运算1.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集3.能使用韦恩(Venn)图表示集合间的关系及运算2018北京,12017北京,12016北京,12016北京文,142015北京文,12014北京,12013北京,1集合的交、并、补运算不等式和方程的解法★★★分析解读 1.掌握集合的表示方法,能判断元素与集合的“属于”关系、集合与集合之间的包含关系.2.深刻理解、掌握子、交、并、补集的概念,熟练掌握集合的交、并、补的运算和性质,能用韦恩(Venn)图表示集合的关系及运算.3.本部分内容在高考试题中多以选择题或填空题的形式出现,以函数、不等式等知识为载体,以集合语言和符号语言为表现形式,考查数学思想方法.4.本节内容在高考中分值约为5分,属中低档题.破考点【考点集训】考点一集合的含义与表示1.(2018课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4答案 A2.(2012课标全国,1,5分)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10答案 D考点二集合间的基本关系3.已知集合A={0,a},B={x|-1<x<2},且A⊆B,则a可以是()A.-1B.0C.1D.2答案 C4.若集合A={x|0<x<1},B={x|x2-2x<0},则下列结论中正确的是()A.A∩B=⌀B.A∪B=RC.A⊆BD.B⊆A答案 C考点三集合的基本运算5.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={1,2,4},B={1,3,5},则(∁U A)∩B=()A.{1}B.{3,5}C.{1,6}D.{1,3,5,6}答案 B6.若集合A={x|-3<x<1},B={x|x<-1或x>2},则A∩B=()A.{x|-3<x<2}B.{x|-3<x<-1}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<2}答案 B7.设全集U={x|x<5},集合A={x|x-2≤0},则∁U A=()A.{x|x≤2}B.{x|x>2}C.{x|2<x<5}D.{x|2≤x<5}答案 C8.(2016北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-1,0,1,2,3},则A∩B=()A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,0,1}D.{-1,0,1,2}答案 C炼技法【方法集训】方法1利用数轴和韦恩(Venn)图解决集合问题的方法1.(2014大纲全国,2,5分)设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=()A.(0,4]B.[0,4)C.[-1,0)D.(-1,0]答案 B2.(2014重庆,11,5分)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=.答案{7,9}方法2集合间的基本关系的解题方法3.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是()A.M=NB.M∩N=NC.M∪N=ND.M∩N=⌀答案 B方法3解决与集合有关的新定义问题的方法4.S(A)表示集合A中所有元素的和,且A⊆{1,2,3,4,5},若S(A)能被3整除,则符合条件的非空集合A的个数是()A.10B.11C.12D.13答案 B过专题【五年高考】A组自主命题·北京卷题组1.(2018北京,1,5分)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=()A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}答案 A2.(2017北京,1,5分)若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=()A.{x|-2<x<-1}B.{x|-2<x<3}C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<3}答案 A3.(2017北京文,1,5分)已知全集U=R,集合A={x|x<-2或x>2},则∁U A=()A.(-2,2)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)答案 C4.(2014北京,1,5分)已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{0,1}C.{0,2}D.{0,1,2}答案 C5.(2013北京,1,5分)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=()A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案 B6.(2011北京,1,5分)已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是()A.(-∞,-1]B.[1,+∞)C.[-1,1]D.(-∞,-1]∪[1,+∞)答案 C7.(2016北京文,14,5分)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有种;②这三天售出的商品最少有种.答案①16②29B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一集合的含义与表示(2016四川,1,5分)设集合A={x|-2≤x≤2},Z为整数集,则集合A∩Z中元素的个数是()A.3B.4C.5D.6答案 C考点二集合间的基本关系(2015重庆,1,5分)已知集合A={1,2,3},B={2,3},则()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⫋BD.B⫋A答案 D考点三集合的基本运算1.(2017课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案 A2.(2017课标Ⅲ,1,5分)已知集合A={(x,y)|x 2+y 2=1},B={(x,y)|y=x},则A ∩B 中元素的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 答案 B3.(2017课标Ⅱ,2,5分)设集合A={1,2,4},B={x|x 2-4x+m=0}.若A ∩B={1},则B=( ) A.{1,-3} B.{1,0} C.{1,3} D.{1,5} 答案 C4.(2016课标Ⅰ,1,5分)设集合A={x|x 2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A ∩B=( ) A.(-3,-32) B.(-3,32) C.(1,32) D.(32,3) 答案 D5.(2016课标Ⅱ,2,5分)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x ∈Z },则A ∪B=( ) A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 答案 C6.(2015课标Ⅱ,1,5分)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A ∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 答案 A7.(2014课标Ⅱ,1,5分)设集合M={0,1,2},N={x|x 2-3x+2≤0},则M ∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 答案 D8.(2014课标Ⅰ,1,5分)已知集合A={x|x 2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A ∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1] D.[1,2) 答案 A9.(2018江苏,1,5分)已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A ∩B= . 答案 {1,8}C 组 教师专用题组1.(2018天津,1,5分)设全集为R ,集合A={x|0<x<2},B={x|x ≥1},则A ∩(∁R B)=( ) A.{x|0<x ≤1} B.{x|0<x<1} C.{x|1≤x<2} D.{x|0<x<2} 答案 B2.(2017山东,1,5分)设函数y=√4-x 2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A ∩B=( ) A.(1,2) B.(1,2] C.(-2,1) D.[-2,1) 答案 D3.(2017天津,1,5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R |-1≤x ≤5},则(A ∪B)∩C=( ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x ∈R |-1≤x ≤5} 答案 B4.(2017浙江,1,5分)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},则P ∪Q=( ) A.(-1,2) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,2) 答案 A5.(2016天津,1,5分)已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x-2,x ∈A},则A ∩B=( )A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}答案 D6.(2016山东,2,5分)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=()A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,+∞)D.(0,+∞)答案 C7.(2016浙江,1,5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)答案 B8.(2015福建,1,5分)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于()A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.⌀答案 C9.(2015浙江,1,5分)已知集合P={x|x2-2x≥0},Q={x|1<x≤2},则(∁R P)∩Q=()A.[0,1)B.(0,2]C.(1,2)D.[1,2]答案 C10.(2014浙江,1,5分)设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.⌀B.{2}C.{5}D.{2,5}答案 B11.(2014陕西,1,5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1]D.(0,1)答案 B12.(2014四川,1,5分)已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}C.{0,1}D.{-1,0}答案 A13.(2014山东,2,5分)设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=()A.[0,2]B.(1,3)C.[1,3)D.(1,4)答案 C14.(2014辽宁,1,5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1}答案 D15.(2018北京,20,14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A 中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].M(α,β)=12(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解析(1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以M(α,α)=1[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,2[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.M(α,β)=12(2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设S k={(x1,x2,…,x n)|(x1,x2,…,x n)∈A,x k=1,x1=x2=…=x k-1=0}(k=1,2,…,n),S n+1={(x1,x2,…,x n)|x1=x2=…=x n=0},所以A=S1∪S2∪…∪S n+1.对于S k(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.所以S k(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=(x1,x2,…,x n)∈S k且x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n-1).令B={e1,e2,…,e n-1}∪S n∪S n+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.16.(2014北京,20,13分,0.23)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k-1(P),a1+a2+…+a k}表示T k-1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数.(1)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(2)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P':(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值.(只需写出结论)解析(1)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小,T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.思路分析(1)根据题目中所给定义和已知的数对序列,直接求值;(2)利用最小值m的不同取值,对求出的结果比较大小;(3)依据数对序列的顺序对结果的影响,写出结论.评析本题考查了集合的表示、不等式、合情推理等知识;考查综合分析,归纳抽象,推理论证能力;熟练运用归纳的方法,通过特例分析理解抽象概念是解题的关键.17.(2016北京,20,13分)设数列A:a1,a2,…,a N(N≥2).如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有a k<a n,则称n是数列A的一个“G时刻”.记G(A)是数列A的所有“G时刻”组成的集合.(1)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出G(A)的所有元素;(2)证明:若数列A中存在a n使得a n>a1,则G(A)≠⌀;(3)证明:若数列A满足a n-a n-1≤1(n=2,3,…,N),则G(A)的元素个数不小于a N-a1.解析(1)G(A)的元素为2和5.(2)证明:因为存在a n使得a n>a1,所以{i∈N*|2≤i≤N,a i>a1}≠⌀.记m=min{i∈N*|2≤i≤N,a i>a1},则m≥2,且对任意正整数k<m,a k≤a1<a m.因此m∈G(A).从而G(A)≠⌀.(3)证明:当a N≤a1时,结论成立.以下设a N>a1.由(2)知G(A)≠⌀.设G(A)={n1,n2,…,n p},n1<n2<…<n p.记n0=1,则a n0<a n1<a n2<…<a np.对i=0,1,…,p,记G i={k∈N*|n i<k≤N,a k>a ni}.如果G i≠⌀,取m i=min G i,则对任何1≤k<m i,a k≤a ni <a mi.从而m i∈G(A)且m i=n i+1.又因为n p是G(A)中的最大元素,所以G p=⌀.从而对任意n p≤k≤N,a k≤a np ,特别地,a N≤a np.对i=0,1,…,p-1,a ni+1-1≤a ni.因此a ni+1=a ni+1-1+(a ni+1-a ni+1-1)≤a ni+1.所以a N-a1≤a np -a1=∑i=1p(a ni-a ni-1)≤p.因此G(A)的元素个数p不小于a N-a1.思路分析(1)先理解G时刻的新定义,然后对(1)中具体的有穷数列直接套用定义解题,并感受解题规律;(2)根据a n>a1,研究两者之间数列的变化趋势;(3)抓住数列中相邻两项之差不超过1的特征,完成证明.18.(2015北京,20,13分)已知数列{a n }满足:a 1∈N *,a 1≤36,且a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18(n=1,2,…).记集合M={a n |n ∈N *}.(1)若a 1=6,写出集合M 的所有元素;(2)若集合M 存在一个元素是3的倍数,证明:M 的所有元素都是3的倍数; (3)求集合M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.(2)证明:因为集合M 存在一个元素是3的倍数,所以不妨设a k 是3的倍数. 由a n+1={2a n ,a n ≤18,2a n -36,a n >18可归纳证明对任意n ≥k,a n 是3的倍数.如果k=1,则M 的所有元素都是3的倍数. 如果k>1,因为a k =2a k-1或a k =2a k-1-36, 所以2a k-1是3的倍数,于是a k-1是3的倍数. 类似可得,a k-2,…,a 1都是3的倍数.从而对任意n ≥1,a n 是3的倍数,因此M 的所有元素都是3的倍数. 综上,若集合M 存在一个元素是3的倍数,则M 的所有元素都是3的倍数. (3)由a 1≤36,a n ={2a n -1,a n -1≤18,2a n -1-36,a n -1>18可归纳证明a n ≤36(n=2,3,…).因为a 1是正整数,a 2={2a 1,a 1≤18,2a 1-36,a 1>18,所以a 2是2的倍数,从而当n ≥3时,a n 是4的倍数.如果a 1是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{12,24,36}, 这时M 的元素个数不超过5.如果a 1不是3的倍数,由(2)知对所有正整数n,a n 不是3的倍数, 因此当n ≥3时,a n ∈{4,8,16,20,28,32}, 这时M 的元素个数不超过8.当a 1=1时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有8个元素. 综上可知,集合M 的元素个数的最大值为8.思路分析 (1)利用已知的递推关系写出数列的前几项,根据周期性写出集合M 的所有元素;(2)利用已知条件以及递推公式的特征进行证明;(3)根据a n 的范围,分a 1是3的倍数和a 1不是3的倍数两种情况讨论,继而得集合M 的元素个数的最大值.19.(2014天津,20,14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i ∈M,i=1,2,…,n}. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t. 解析 (1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t ∈A,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得 s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n -b n )q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0. 所以,s<t.评析本题主要考查集合的含义与表示,等比数列的前n 项和公式,不等式的证明等基础知识.考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.20.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T,若T=⌀,定义S T =0;若T={t 1,t 2,…,t k },定义S T =a t 1+a t 2+…+a t k .例如:T={1,3,66}时,S T =a 1+a 3+a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T =30. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k ≤100),若T ⊆{1,2,…,k},求证:S T <a k+1; (3)设C ⊆U,D ⊆U,S C ≥S D ,求证:S C +S C ∩D ≥2S D . 解析 (1)由已知得a n =a 1·3n-1,n ∈N *.于是当T={2,4}时,S T =a 2+a 4=3a 1+27a 1=30a 1. 又S T =30,故30a 1=30,即a 1=1.所以数列{a n }的通项公式为a n =3n-1,n ∈N *.(2)因为T ⊆{1,2,…,k},a n =3n-1>0,n ∈N *, 所以S T ≤a 1+a 2+…+a k =1+3+…+3k-1=12(3k-1)<3k.因此,S T <a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S D ≥S D +S D =2S D . ②若C 是D 的子集,则S C +S C ∩D =S C +S C =2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集,且C 不是D 的子集. 令E=C ∩∁U D,F=D ∩∁U C,则E ≠⌀,F ≠⌀,E ∩F=⌀. 于是S C =S E +S C ∩D ,S D =S F +S C ∩D ,进而由S C ≥S D 得S E ≥S F .设k 为E 中的最大数,l 为F 中的最大数,则k ≥1,l ≥1,k ≠l.由(2)知,S E <a k+1.于是3l-1=a l ≤S F ≤S E <a k+1=3k,所以l-1<k,即l ≤k.又k ≠l,故l ≤k-1.从而S F ≤a 1+a 2+…+a l =1+3+…+3l-1=3l -12≤3k -1-12=a k -12≤S E -12, 故S E ≥2S F +1,所以S C -S C ∩D ≥2(S D -S C ∩D )+1, 即S C +S C ∩D ≥2S D +1.综合①②③得,S C +S C ∩D ≥2S D .【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共75分)1.(2019届北京顺义一中10月月考文,1)设全集U=R ,A={x ∈N *|1≤x ≤10},B={x ∈R |x 2+x-6=0},则下图中阴影部分表示的集合是( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}答案 A2.(2018北京门头沟一模,1)设全集U={0,1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)=()A.{0,4}B.{1,5}C.{0,2,4}D.{2,0,5}答案 C3.(2019届北京潞河中学10月月考文,1)已知集合A={1,2,m2},B={1,m}.若B⊆A,则m=()A.0B.2C.0或2D.1或2答案 C4.(2019届北京潞河中学10月月考,1)已知集合A={-1,0,1},B={x|x2<1},则A∩B=()A.{-1,1}B.{0}C.{-1,0,1}D.{x|-1≤x≤1}答案 B5.(2018北京顺义二模,1)设集合A={x|x2+3x+2=0},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=()A.{-2,-1}B.{-2,1}C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2}答案 A6.(2018北京房山一模,1)若集合M={-1,0,1,2},N={y|y=2x+1,x∈M},则集合M∩N等于()A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,1,3,5}D.{-1,0,1,2}答案 A7.(2019届中央民大附中10月月考,1)已知全集U=R,M={x|x≤1},P={x|x≥2},则∁U(M∪P)=()A.{x|1<x<2}B.{x|x≥1}C.{x|x≤2}D.{x|x≤1或x≥2}答案 A8.(2019届北京牛栏山一中期中,1)已知全集U=R,集合A={x|0<x<2},B={x|x2-1>0},那么A∩∁U B=()A.{x|0<x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|1<x<2}D.{x|1≤x<2}答案 B9.(2019届北京十四中10月月考,1)设集合M={x|0≤x<3},N={x|x2-3x-4<0},则集合M∩N等于()A.{x|0≤x<3}B.{x|0≤x≤3}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0≤x<1}答案 A10.(2019届北京一零一中学10月月考,1)已知集合A={x|-1<x<1},B={x|x2-x-2<0},则(∁R A)∩B=()A.(-1,0]B.[-1,2)C.[1,2)D.(1,2]答案 C11.(2018北京东城二模,1)若集合A={x|-1<x<2},B={x|x<-2或x>1},则A∪B=()A.{x|x<-2或x>1}B.{x|x<-2或x>-1}C.{x|-2<x<2}D.{x|1<x<2}答案 B12.(2018北京石景山一模,1)设集合A={x|(x+1)(x-2)<0},集合B={x|1<x<3},则A∪B=()A.{x|-1<x<3}B.{x|-1<x<1}C.{x|1<x<2}D.{x|2<x<3}答案 A13.(2018北京朝阳二模,1)已知集合A={x|log 2x>1},B={x|x ≥1},则A ∪B=( )A.(1,2]B.(1,+∞)C.(1,2)D.[1,+∞)答案 D14.(2018北京一六一中学期中,1)已知全集U=R ,集合A={x|y=√x -1},B={x|x 2-2x<0},则A ∪B=( )A.{x|x>0}B.{x|x ≥0}C.{x|0<x<1}D.{x|1≤x<2}答案 A15.(2019届北京海淀期中,1)已知集合A={x|x-a ≤0},B={1,2,3},若A ∩B ≠⌀,则a 的取值范围为( )A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,3]D.[3,+∞)答案 B 二、填空题(每小题5分,共5分)16.(2019届北京潞河中学10月月考,16)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个说法:①a=2,②b≠2,③c=3,④d≠4中有且只有一个是正确的,则满足上述条件的一个有序数组(a,b,c,d)可以是 ,符合条件的全部有序数组(a,b,c,d)的个数是 .答案 (1,2,3,4)(答案不唯一,例如(1,2,4,3),(1,3,2,4),(3,1,2,4),(3,2,4,1),(4,2,1,3));6三、解答题(共20分)17.(2019届北京四中期中,15)已知集合A={x ∈R|6x+1≥1},B={x ∈R |x 2-2x-m<0}. (1)当m=3时,求A ∩(∁R B);(2)若A ∩B={x|-1<x<4},求实数m 的值.解析 由6x+1≥1,得x -5x+1≤0,∴-1<x ≤5,∴集合A={x|-1<x ≤5}.(1)当m=3时,B={x|-1<x<3},则∁R B={x|x ≤-1或x ≥3},∴A∩(∁R B)={x|3≤x ≤5}.(2)∵A={x|-1<x ≤5},A ∩B={x|-1<x<4},∴4为方程x 2-2x-m=0的一个根,即42-2×4-m=0,解得m=8.此时B={x|-2<x<4},符合题意,故实数m 的值为8.18.(2019届北京牛栏山一中期中,20)已知集合S n ={X|X=(x 1,x 2,…,x n ),x i ∈{0,1},i=1,2,…,n(n ≥2)}.若A=(a 1,a 2,…,a n )∈S n ,B=(b 1,b 2,…,b n )∈S n ,定义A 与B 的差为A-B=(|a 1-b 1|,|a 2-b 2|,…,|a n -b n |),A 与B 之间的距离为d(A,B)=∑i=1n |a i -b i |. (1)当n=5时,试写出满足d(A,B)=3的一组A 和B;(2)∀A,B,C ∈S n ,证明:A-B ∈S n ,d(A-C,B-C)=d(A,B);(3)∀A,B,C ∈S n ,证明:d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.解析 (1)A=(1,1,1,0,0),B=(0,0,0,0,0).(2)证明:设A=(a 1,a 2,...,a n ),B=(b 1,b 2,...,b n ),C=(c 1,c 2,...,c n )∈S n ,因为a i ,b i ∈{0,1},所以|a i -b i |∈{0,1}(i=1,2,...,n),故A-B=(|a 1-b 1|,|a 2-b 2|,...,|a n -b n |)∈S n .又d(A-C,B-C)=∑i=1n||a i -c i |-|b i -c i ||, 由题意知a i ,b i ,c i ∈{0,1}(i=1,2,...,n).当c i =0时,||a i -c i |-|b i -c i ||=|a i -b i |;当c i =1时,||a i -c i |-|b i -c i ||=|(1-a i )-(1-b i )|=|a i -b i |,所以d(A-C,B-C)=∑i=1n|a i -b i |=d(A,B). (3)证明:设A=(a 1,a 2,...,a n ),B=(b 1,b 2,...,b n ),C=(c 1,c 2,...,c n )∈S n ,d(A,B)=k,d(A,C)=l,d(B,C)=h. 记O=(0,0,...,0)∈S n ,由(2)可知,d(A,B)=d(A-A,B-A)=d(O,B-A)=k,d(A,C)=d(A-A,C-A)=d(O,C-A)=l,d(B,C)=d(B-A,C-A)=h,所以|b i -a i |(i=1,2,...,n)中1的个数为k,|c i -a i |(i=1,2,...,n)中1的个数为l.设t 是当|b i -a i |=|c i -a i |=1成立时i 的个数,则h=l+k-2t,由此可知,k,l,h 三个数不可能都是奇数,即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.评析对于集合中的新定义问题,应该首先把新的概念分析透彻,然后静下心来,慢慢地从第(1)问开始,由浅入深的分析.。

1.1 集合的概念及运算五年高考考点1 集合的含义与表示1．（2013山东．2，5分）已知集合},2,1,0{=A 则集合-=x B {},|A y A x y ∈∈中元素的个数是 ( )1.A 3.B 5.C 9.D2．（2012课标全国，1，5分）已知集合==B A },5,4,3,2,1{},,,|),{(A y x A y A x y x ∈-∈∈则B 中所含元素的个数为 ( )3.A 6.B 8.C 10.D3．（2011广东．2，5分）已知集合y x y x A ,|),{(=为实数，且2x },12=+y |),{(y x B =x ，y 为实数，且},x y =则B A的元素个数为 ( ) 0.A 1.B 2.C 3.D4．（2011福建，1,5分）i 是虚数单位，若集合},1,0,1{-=S 则 ( )S i A ∈. s i B ∈2. S i C ∈3. s iD ∈2. 5．（2010福建．9，5分）对于复数a ，b ，c ，d ，若集合},,,{d c b a S =具有性质“对任意,,S y x ∈必有”，s xy ∈则当⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅==b c c b b a 22*,,1,1d +等于 ( )1.A 1.-B 0.C i D .考点2 集合问的基本关系1．（2012江西，1，5分）若集合},2,0{},1,1{=-=B A 则集合,|{y x z z +=},B y A x ∈∈中的元素的个数为 ( )5.A 4.B 3.C 2.D2．（2011北京，1,5分）已知集合}.{},1|{2a M x x P =≤=若,P M P = 则a 的取值范围是 ( )]1,.(--∞A ),1.[+∞B ]1,1[-⋅c ),1[]1,.(+∞--∞ D 3．（2011辽宁．2,5分）已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若=∅=N wJM M C NI , ( )M A . N B . I C . ∅.D4．（2010天津．9,5分）设集合|{},,1|||{x B R x a x x A =∈<-=}.,2||R x b x ∈>-若,B A ⊆则实数a 、b 必满足 ( )3||.≤+b a A 3||.≥+b a B 3||.≤-b a C 3||.≥-b a D5．（2013江苏，4，5分）集合}1,0,1{-共有____个子集， 考点3集合的基本运算1．（2013广东．1,5分）设集合=∈=+=N R x x x x M },,02|{2,02{2=-x xix },R x ∈则=N M( ) }0.{A }2,0.{B }0,2.{-C }2,0,2.{-D2．（2013四川．1,5分）设集合},02|{=+=x x A 集合2|{x x B ===-B A则},04 ( ) }2{-⋅A }2.{B }2,2.{-C ∅.D3．（2013浙江．2,5分）设集合-+=->=x x x T x x s 3|{},2|{2},04≤则（=T s C R) ( ) ]1,2.(-A ]4,.(--∞B ]1,.(-∞C ),1.[+∞D4．（2013辽宁．2,5分）已知集合x x B x o x A |{},1.10|{=<<=},2≤则=B A( ) )1,0.(A ]2,0.(B )2,1.(C ]2,1.(D5．（2013天津．1,5分）已知集合∈=≤∈=x B x R x A {},2|{|{},1|≤x R 则=B A( ) ]2,.(-∞A ]2,1.[B ]2,2[-⋅C ]1,2.[-D6．（2013北京．1,5分）已知集合x x B A ≤-=-=1|{},1,0,1{},1<则=B A( ) }0.{A }0,1{-⋅B }1,0.{C }1,0,1.{-D7．（2013课标全国‖．1，5分）已知集合x x x M ,4)1(|{2<-==∈N R },},3,2,1,0,1{-则=N M( )}2,1,0.{A }2,1,0,1.{-B }3,2,0,1.{-C }3,2,1,0.{D8．（2013湖北．2,5分）已知全集为R ，集合},1)21(|{≤=xx A },086|{2≤+-=x x x B 则=B C A R ( )}0|.{≤x x A }42|.{≤≤x x B 20|.{<≤x x C 或}4>x 20|.{≤<x x D 或}4≥x9．（2013重庆．1,5分）已知全集},4,3,2,1{=U 集合,1{=A },3,2{},2=B 则=)(B A C U( ) }4,3,1.{A }4,3.{B }3.{C }4.{D10.（2012山东，2,5分）已知全集},4,3,2,1,0{=U 集合=A },4,2{},3,2,1{=B 则B A C U )为 ( )}4,2,1.{A }4,3,2.{B }4,2,0.{C }4,3,2,0.{D智力背景以“规”“矩 ”度天下之方圆。