第13讲 函数模型及其应用(原卷版)

函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。

函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。

一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。

2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。

3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。

4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。

2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。

3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。

4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。

5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。

三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。

2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。

3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。

4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。

四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。

第13讲 函数模型及其应用【考点解读】1. 了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等函数模型的意义；2. 能建立简单的数学模型，利用这些知识解决应用问题.【知识扫描】1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.那么，面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？事实上，要顺利地建立函数模型，首先要深刻理解基本函数的图象和性质,熟练掌握基本函数和常用函数的特点,并对一些重要的函数模型必须要有清晰的认识.一般而言，有以下8种函数模型： ①一次函数模型:f(x)=kx b +(k 、b 为常数,k ≠0);②反比例函数模型：f(x)=xk +b(k 、b 为常数,k ≠0); ③二次函数模型：f(x)=2ax bx c ++(a 、b 、c 为常数，a ≠0)，二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的应用题考查中最为常见的;④指数型函数模型：f(x)=xka b +(k 、a 、b 为常数，k ≠0,a>0且a ≠1); ⑤对数型函数模型：f(x)=log a m x n +(m 、n 、a 为常数,m ≠0,a>0且a ≠1); ⑥幂函数型模型：f(x)=nax b +(a 、b 、n 为常数,a ≠0,n ≠0); ⑦“勾”函数模型：f(x)=x+kx(k 为常数,k>0)，这种函数模型应用十分广泛,因其图象是一个“勾号”,故我们把它称之为“勾”函数模型,⑧分段函数模型：这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.2、求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：【考计点拨】牛刀小试1．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________。

函数模型及应用一．知识梳理1．解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解.二、典例解析【例1】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【变式训练2】某集团公司在2000年斥巨资分三期兴建垃圾资源化处理工厂，如下表：如果每期的投次从第二年开始见效，且不考虑存贷款利息，设2000年以后的x年的总收益为f(x)（单位：千万元），试求f（x）的表达式，并预测到哪一年能收回全部投资款。

巩固练习 A 组1．在一定范围内，某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系．如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元．一客户购买400吨，单价应该是( )A ．820元B ．840元C ．860元D ．880元2．2()f x x =,()2x g x =,2()log h x x =,当(4,)x ∈+∞时,三个函数增长速度比较,下列选项中正确的是（ ）A. ()f x >()g x >()h xB. ()g x >()f x >()h xC. ()g x >()h x >()f xD. ()f x >()h x >()g x 2．某人2003年1月1日到银行存入一年期存款a 元，若按年利率为x ，并按复利计算，到2008年1月1日可取回款（ ）.A. a (1+x )5元B. a (1+x )6元C. a (1+x 5)元D. a (1+x 6)元 某工厂生产总值月平均增长率为p ，则年平均增长率为（）.A. pB. 12pC. (1+p )12D. (1+p )12－13．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12 4．电视台播出的一档节目中有这样一道抢答题:小蜥蜴体长15 cm,体重15 g,已知小蜥蜴的体积与体长的立方成正比,问:当小蜥蜴长到体长为20 cm 时,它的体重大约是( )A.20 gB.25 gC.35 gD.40 g5．进货单价为80元的商品400个，按90元一个可以全部卖出，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少20个，问售价多少元时获得的利润最大？( )A ．85B ．90C ．95D ．1005．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量为_ _____台．6．在国内投寄平信，每封信不超过20克重付邮资80分，超过节20克重而不超过40克重付邮资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重(040)x x <≤克的函数，其表达式为()f x = .7．(2010年浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是______．8．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠； ③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款__ ______ 元．9．如图K3－8－1(1)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的差)y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图K3－8－1(2)(3)所示．图K3－8－1给出以下说法：(1) 图(2)的建议是：提高成本，并提高票价；(2) 图(2)的建议是：降低成本，并保持票价不变； (3) 图(3)的建议是：提高票价，并保持成本不变； (4) 图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． 其中所有说法正确的序号是_______．10．某商店计划投入资金20万元经销甲或乙两种商品.已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P 和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是P=42,Q x ax (a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不小于5万元,求 a 的最小值B 组1．为了得到函数y ＝3×3x 的图象，可以把函数y ＝3x的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度 C ．向左平移1个单位长度 D ．向右平移1个单位长度 2．函数y ＝ln(1－x )的大致图象为( )3．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则函数y ＝f (x )的图象是( )A BC D4．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－xC ．坐标原点对称D ．直线y ＝x5.一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加6.函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）y=f(x)oyxy=g(x)o yxoyxo yxoyxo yxA B C D7．关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝0有三个不相等的实数根，则实数a 的值是_ _． 8．已知下列曲线：以下编号为①②③④的四个方程：①x －y ＝0；②|x |－|y |＝0；③x －|y |＝0；④|x |－y ＝0.请按曲线A 、B 、C 、D 的顺序，依次写出与之对应的方程的编号_ _______． 9 作函数()11f x x =-的简图 10.使2log ()1x x -<+成立的x 德取值范围是 。

函数模型及其应用1．（2020春•南郑区校级期中）某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为x千米时，运费与仓储费之和最小，最小为y万元．则x和y分别是（）A．2和10B．2和20C．2√2和20D．√2和10【分析】设运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2=k2x，由已知求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．【解答】解：工厂和仓库之间的距离为x千米，设运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2=k2 x．∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为y＝5x+20x≥2√5x⋅20x=20，当且仅当5x=20x，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元．故选：B．2．（2020•衡阳模拟）2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光．某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如表：购票人数1～5051～100100以上门票叫个13元/人11元/人9元/人两个旅游团队计划游览该景点，若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成一个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（）A．20B．30C．35D．40【分析】设两个旅游团队的人数分部为a，b，由990不能被13整除，得两个旅游团队人数之和a+b≥51，然后结合门票价格和人数之间的关系，分类建立方程组进行求解即可．【解答】解：设两个旅游团队的人数分部为a，b，∵990不能被13整除，∴两个旅游人数之和：a+b≥51，若51≤a+b≤100，则11 （a+b）＝990得：a+b＝90，①由共需支付门票费为1290元可知，11a +13b ＝1290，② 联立①②解得：b ＝150，a ＝﹣60，不符合题意； 若a +b ＞100，则9 （a +b ）＝990，得a +b ＝110，③ 由共需支付门票费为1290元可知，1≤a ≤50，51≤b ≤100， 得11a +13b ＝1290，④联立③④解得：a ＝70人，b ＝40人．∴这两个旅游团队的人数之差为70﹣40＝30人． 故选：B ．3．（2020春•雨花区校级月考）某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R （x ）={400x −12x 2，0≤x ≤40080000，x ＞400，则总利润最大时，年产量是（ ） A ．100B ．150C ．200D ．300【分析】由题意得总成本函数为C （x ）＝20000+100x ，则总利润P （x ）＝R （x ）﹣C （x ）={300x −x 22−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400，分段求函数P （x ）的最大值，再比较即可求解．【解答】解：由题意得，总成本函数为C （x ）＝20000+100x ，总利润P （x ）＝R （x ）﹣C （x ）={300x −x 22−20000，0≤x ≤40060000−100x ，x ＞400，当0≤x ≤400时，P （x ）=−12x 2+300x −20000，当x =−3002×(−12)=300时，P （x ）的值最大，最大值为25000，当x ＞400时，P （x ）＝﹣100x +60000，∴P （x ）＜P （400）＝20000， 综上所述，当x ＝300时，总利润最大， 故选：D ．4．（2019秋•自贡期末）某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如表所示的关系．x … 30 40 45 50 … y…603015…销售单价为x 元时，才能获得最大日销售利润p ，则x 、p 分别为（ ） A ．35，225B ．40，300C ．45，350D ．45，400【分析】由表格可知，x 与y 满足一次函数关系，设y ＝ax +b ，（a ≠0），把点（30，60），和点（40，30）代入可求出{a =−3b =150，所以y ＝﹣3x +150 （x ≥30），所以销售利润p ＝y （x ﹣30）＝﹣3x 2+240x ﹣4500，（x ≥30），再利用二次函数的性质即可求出销售利润p 的最大值．【解答】解：由表格可知，x 与y 满足一次函数关系，设y ＝ax +b ，（a ≠0）， 把点（30，60），和点（40，30）代入得：{30a +b =6040a +b =30，解得：{a =−3b =150，∴y ＝﹣3x +150 （x ≥30），∴销售利润p ＝y （x ﹣30）＝﹣3x 2+240x ﹣4500，（x ≥30）， ∴当x ＝40时，销售利润p 的值最大，最大值为：300， 故选：B ．5．（2019秋•黄山期末）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）＝收入﹣个税起征点﹣专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：级数一级 二级 三级 每月应纳税所得额x元（含税） x ≤30003000＜x ≤1200012000＜x ≤25000税率31020现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ） A ．1800B ．1000C ．790D ．560【分析】由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）＝18000﹣5000﹣2000﹣1000＝10000（元），所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：3000×3%+（10000﹣3000）×10%＝790（元）， 【解答】解：由题意可得：李某该月应纳税所得额（含税）＝18000﹣5000﹣2000﹣1000＝10000（元）， 所以依据新的个税政策的税率，他该月应交纳的个税金额为：3000×3%+（10000﹣3000）×10%＝790（元），故选：C．6．（2019秋•菏泽期末）甲打算从A地出发至B地，现有两种方案：第一种：在前一半路程用速度v1，在后一半路程用速度v2（v1≠v2），平均速度为v；第二种：在前一半时间用速度v1，在后一半时间用速度v2（v1≠v2），平均速度为v′；则v，v′的大小关系为（）A．v＞v′B．v＜v′C．v=v′D．无法确定【分析】第一种，设出总路程为2s，由平均速度的公式可得v，第二种，设总时间为2t，求得平均速度v′，再由作差法，结合完全平方公式可判断大小关系．【解答】解：第一种：设总路程为2s，则v=2ssv1+s v2=2v1v2v1+v2，第二种：设时间为2t，则v′=v1t+v2t2t=v1+v22，v′−v=v1+v22−2v1v2v1+v2=(v1+v2)2−4v1v22(v1+v2)=(v1−v2)22(v1+v2)＞0，∴v′＞v，故选：B．7．（2019秋•阳泉期末）随着社会发展对环保的要求，越来越多的燃油汽车被电动汽车取代，为了了解某品牌的电动汽车的节能情况，对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表：记录时间累计里程（单位：公里）平均耗电量（单位：kW•h/公里）剩余续航里程（单位：公里）2020年1月1日50000.1253802020年1月2日51000.126246（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=累计耗电量累计里程剩余续航里程=剩余电量平均耗电量）下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是（）A．等于12.5B．12.5到12.6之间C．等于12.6D．大于12.6【分析】根据累计耗电量的计算公式，即可求解．【解答】解：由题意可得：5100×0.126﹣5000×0.125＝642.6﹣625＝17.6，所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计为17.6， 故选：D ．8．（2019秋•聊城期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：每户每月用电量 电价 不超过230度的部分 0.5元/度 超过230度但不超过400度的部分0.6元/度 超过400度的部分0.8元/度若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（ ） A ．475度B ．575度C ．595.25度D ．603.75度【分析】先判断出此居民本月用电量超过400度，设此户居民本月用电量为x 度，则：230×0.5+（400﹣230）×0.6+（x ﹣400）×0.8＝380，即可求出x 的值． 【解答】解：∵230×0.5+（400﹣230）×0.6＜380， ∴此居民本月用电量超过400度，设此户居民本月用电量为x 度，则：230×0.5+（400﹣230）×0.6+（x ﹣400）×0.8＝380， 解得：x ＝603.75， 故选：D ．9．（2020春•房山区期末）某小区有居民1000户，去年12月份总用水量为8000吨．今年开展节约用水活动，有800户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水x 吨，使得今年1月份该小区居民用水总量低于6000吨．则x 满足的关系式为 ．【分析】由已知求出1户居民去年12月份的用水量，然后求出今年1月份该小区居民用水总量，再由题意可得（8﹣x ）×800+8×200＜6000，化简得答案． 【解答】解：1000户居民去年12月份总用水量为8000吨， 则1户居民去年12月份的用水量为80001000=8吨．1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为（8﹣x ）吨， 则今年1月份该小区居民用水总量为（8﹣x ）×800+8×200． ∴（8﹣x ）×800+8×200＜6000，解得x ＞52． ∴x 满足的关系式为x ＞52．故答案为：x ＞52．10．（2019秋•密云区期末）密云某商场举办春节优惠酬宾赠券活动，购买百元以上单件商品可以使用优惠券一张，并且每天购物只能用一张优惠券．一名顾客得到三张优惠券，三张优惠券的具体优惠方式如下： 优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%； 优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%．如果顾客需要先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，那么你建议他购买的商品的标价可以是 元．【分析】设他购买的商品的标价可以是x 元，得到当x ＞100时顾客使用三种不同优惠券的优惠额，由题意列不等式组求解．【解答】解：设他购买的商品的标价可以是x 元， 则当x ＞100时，优惠券1的优惠金额为y =x10， 优惠券2的优惠金额为y ＝20，优惠券3的优惠金额为y =950(x −100)． 要使顾客先用掉优惠券1，并且使用优惠券1比使用优惠券2、优惠券3减免的都多，则{x10＞20x 10＞950(x −100)，解得200＜x ＜225． 顾客购买的商品的标价在（200，225）内时，满足题意． 故建议他购买的商品的标价可以是201元． 故答案为：201．11．（2020•威海一模）为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产店面的建造面积为20m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为 种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x 的最大值为 万元．【分析】①设建造蔬菜水果类店面a 间，则建造肉食水产店面（80﹣a ）间，构造不等式求出a 的范围即可；②根据月租费构造不等式，根据a 的范围求出x 的最大值．【解答】解：①设建造蔬菜水果类店面a 间，则建造肉食水产店面（80﹣a ）间， 由题意可知：2400×80%≤28a +20（80﹣a ）≤2400×85%， 解得：40≤a ≤55．又a ∈N +，故建造方案有16种． ②由题意可知：ax+0.8(80−a)80≥0.9x 恒成立，整理可得：x ≤0.8a−64a−72=0.8− 6.4a−72恒成立， 又40≤a ≤55， 故x ≤0.8−6.4−32=1． 即x 的最大值为1． 故答案为：16，1．12．（2020•咸阳二模）为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量y （mg /m 3）与时间t （h ）的函数关系为y ={kt ，0＜t ＜121kt，t ≥12，（如图所示）实验表明，当药物释放量y ＜0.75（mg /m 3）对人体无害． （1）k ＝ ；（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 分钟人方可进入房间．【分析】（1）把点（12，1）代入函数解析式，即可求出k 的值；（2）当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23，所以在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间．【解答】解：（1）由图象可知，当t =12时，y ＝1，∴2k=1，∴k ＝2；（2）由（1）可知：y ={2t ，0＜t ＜1212t ，t ≥12， 当t ≥12时，y =12t ，令y ＜0.75得，t ＞23， ∴t ＞23，∴在消毒后至少经过 23小时，即40分钟人方可进入房间，故答案为：2，40．13．（2019秋•泰安期末）某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本c （x ）（单位：万元），当年产量不足30百件时，c （x ）＝10x 2+100x ；当年产量不小于30百件时，c （x ）＝501x +10000x−4500；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式； （2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？ 【分析】（1）根据题意，分段求函数解析式即可；（2）利用二次函数的性质结合基本不等式，分段求函数的最大值，再比较即可． 【解答】解：（1）当0＜x ＜30时，y ＝500x ﹣10x 2﹣100x ﹣2500＝﹣10x 2+400x ﹣2500； 当x ≥30时，y =500x −501x −10000x +4500−2500=2000−(x +10000x)； ∴y ={−10x 2+400x −2500，0＜x ＜302000−(x +1x )，x ≥30； （2）当0＜x ＜30时，y ＝﹣10（x ﹣20）2+1500，∴当x ＝20时，y max ＝1500； 当x ≥30时，y =2000−(x +10000x )≤2000−2√x ⋅10000x=2000−200=1800， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时，y max ＝1800＞1500， ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元．。