2019高考数学一轮复习课时规范练13函数模型及其应用理新人教A版

课时规范练13 指数与对数运算基础巩固练1.(2024·浙江温州模拟)下列算式计算正确的是()A.(=1B.42×4-2=0C.log2=1D.lg 3·lg 5=lg 152.(2024·福建福州联考)已知2a=5,则lg 20=()A. B.C. D.3.(2024·安徽临泉模拟)已知4·3m=3·2n=1,则()A.m>n>-1B.n>m>-1C.m<n<-1D.n<m<-14.(2024·江苏徐州模拟)要测定古物的年头,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原来的14C会按确定的比率衰减(称为衰减率).大约经过5730年(14C的半衰期),它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中14C含量为原来的,推算该古物约是m年前的遗物(参考数据:(lg 2)-1≈3.321 9),则m的值约为(结果保留整数)()A.12 302B.13 304C.23 004D.24 0345.已知3x=5,log3=y,则x+2y=()A.3B.4C.5D.66.(2024·山西大同模拟)(0.064+[(-2)3-16-0.75= .7.(2024·北京顺义模拟)计算log315-log35-+ln = .8.(2024·四川眉山模拟)18世纪数学家欧拉探讨调和级数得到了以下的结果:当n很大时,1++…+=ln n+γ(常数γ=0.557…).利用以上公式,可以估计+…+的值为.综合提升练9.(多选题)(2024·河南豫南名校检测)设a=log0.20.3,b=log0.30.4,则下列结论中正确的是()A.2a<1+abB.2a>1+abC.a>bD.b>a10.(2024·重庆巴蜀中学模拟)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破,以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行×1015次运算,用它处理一段自然语言的翻译,须要进行2128次运算,那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为(参考数据:lg2≈0.301,100.431≈2.698)()A.2.698×1022秒B.2.698×1023秒C.2.698×1024秒D.2.698×1025秒11.(2024·山东济南模拟)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国,扎实推动乡村振兴”的目标,银行拟在乡村开展小额贷款业务.依据调查的数据,建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位:万元)的Logistic模型:P(x)=.已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入约为()(参考数据:ln3≈1.1,ln 2≈0.7)A.4万元B.5万元C.6万元D.8万元12.(2024·重庆一中检测)设p>0,q>0,满意log2p=log4q=log8(2p+q),则= .创新应用练13.(2024·湖北恩施联考)数学家纳皮尔独创了对数,对数的思想方法是把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算.已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,设N=810×95,则N所在的区间为() A.(1011,1012) B.(1012,1013)C.(1013,1014)D.(1014,1015)14.(多选题)已知正数x,y,z满意3x=4y=12z,则()A. B.6z<3x<4yC.xy<4z2D.x+y>4z课时规范练13指数与对数运算1.C解析因为()0=1,所以(1,故A错误;42×4-2=42-2=40=1,故B错误;log2=log22=1,故C正确;因为lg3+lg5=lg15,所以lg3·lg5≠lg15,故D错误,故选C.2.C解析由2a=5,得a=log25,故lg20=lg=2-lg5=2-=2-=2-,故选C.3.D解析由已知得m=-log34<-1,n=-log23<-1,∵32>23,∴3>,log23>∵34>43,∴4<,log34<,∴log23>log34,-log23<-log34,∴n<m<-1,故选D.4.B解析设该古物中14C原始量为x,每年衰减率为a,∴xa5730=x,∴a=(,∴a m=(,=lo=log25=(lg10-lg2)=-1≈2.3219,∴m≈5730×2.3219≈13304,故选B.5.B解析∵3x=5⇔x=log35,y=log3,∴x+2y=log35+2log3=log3(5)=log381=4.6解析原式=(0.43-1+(-2)-4-(24)-0.75=0.4-1-1+7.-解析 log315-log35-+ln=log33-3+ln=1-3+=-8.ln 3解析由题意,可得+…+=(1++…+)-(1++…+)=ln30000+γ-(ln10000+γ)=ln30000-ln10000=ln=ln3.9.AD解析+b=log0.30.2+log0.30.4=log0.30.08>log0.30.09=2,因为a=log0.20.3>log0.21=0,所以2a<1+ab,故A正确,B错误;4a=log0.20.0081<log0.20.008=3,4b=log0.30.0256>log0.30.027=3,所以b>a,故C错误,D正确,故选AD.10.B解析设所需时间为t秒,则t1015=2128,lg t+lg5-2lg2+15=128lg2,∴lg t=131lg2-16,∴lg t≈131×0.301-16=23.431,∴t≈1023.431=100.431×1023≈2.698×1023秒,故选B.11.B解析由题意得当x=9时,P=50%,则=50%,得e-0.9+9k=1,所以9k-0.9=0,得k=0.1,因此P(x)=当P=40%时,由=40%,得3e-0.9+0.1x=2,所以e-0.9+0.1x=,所以-0.9+0.1x=ln=ln2-ln3≈0.7-1.1=-0.4,解得x=5,所以当银行希望实际还款比例为40%时,贷款人的年收入约为5万元,故选B.12解析由log2p=log4q,可知log2p=log2q=log2,即p=,由log2p=log8(2p+q),可知log2p==log2,即p=,消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),当p=2时,q=4,所以13.C解析∵N=810×95,∴lg N=lg810+lg95=lg230+lg310=30lg2+10lg3≈9.030+4.771=13.801,∴N=1013.801∈(1013,1014),故选C.14.ABD解析设3x=4y=12z=t,t>1,则x=log3t,y=log4t,z=log12t,所以=log t3+log t4=log t12=,A正确;因为=log129<1,则6z<3x,因为=log8164<1,则3x<4y,所以6z<3x<4y,B正确;因为x+y-4z=log3t+log4t-4log12t=>0,则x+y>4z,D正确;因为,则=x+y>4z,所以xy>4z2,C错误.故选ABD.。

第九节 函数的模型及其应用1．函数的实际应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．函数的综合应用了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识点一 几种常见函数模型函数模型 函数解析式 正比例函数模型 f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0) 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax α＋b (a ，b 为常数，a ≠0，α≠1)“对号”函数模型 y ＝x ＋ax(a >0)易误提醒1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[自测练习]1．(2015·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.答案：D2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 答案：B知识点二 三种增长函数的图象与性质在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，有log a x <x n <a x .[自测练习]3．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．v ＝1100·e xB ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x解析：只有v ＝1100·e x和v ＝100×2x 是指数函数，并且e>2，所以v ＝1100·e x的增大速度最快，故选A.答案：A考点一 一次、二次函数模型|1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A. 答案：A2．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13 t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．解：当1≤t ≤40，t ∈N 时， S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫14t ＋22 ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫－12t ＋52＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912. 所以，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.一次函数与二次函数模型问题求解的三个关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二 分段函数模型|有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x－1，(0≤x ≤4)，7－12x ， (4<x ≤14).若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．[解] (1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3，∴k ＝1.(2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧968－x－4，(0≤x ≤4)，28－2x ， (4<x ≤14).当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得－4≤x <8，所以0≤x ≤4.当4<x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以4<x ≤12. 综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝⎛⎭⎫7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－(12－10)－1＝5，又5>4，∴在第12分钟还能起到有效去污的作用．分段函数模型问题求解的三个关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．1．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150－50t (t >3.5)D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5<t ≤3.5)，150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)解析：当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)． 答案：D考点三 指数函数模型|已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立， 由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.求解指数函数模型的三个注意点(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，主要有人口增长、银行利率、细胞分裂等问题．(2)应用指数函数模型时，注意先设定模型，再求有关数据． (3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．2．(2015·江苏连云港模拟)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气温度是θ0，t 分钟后物体的温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －t ln 32求得，现有60 ℃的物体放在15 ℃的空气中冷却，当物体温度为35 ℃时，冷却时间t ＝________分钟．解析：由已知条件可得35＝15＋(60－15)·e －t ln 32，解得t ＝2.答案：22.利用函数模型求解实际问题【典例】 (12分)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2(0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[思路点拨] (1)由R (x )中分段写出W 与x 的解析式． (2)分两段求利润的最大值，比较后得出结论． [规范解答] (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；(2分)当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝98－1 0003x－2.7x .(4分)∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10(0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(5分)(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x∈(9,10]时，W ′<0，(6分)∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.(7分)②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x≤98－21 0003x·2.7x ＝38，(8分) 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，(9分)故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．(10分)综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．(12分)[模板形成]A 组 考点能力演练1．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )解析：注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．已知某种动物的繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们将发展到( )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只解析：由题意，繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A4．(2015·青岛模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资在平均分数左右变化不大，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：由题意知，函数单调递增，且先慢后快，在x ＝50左右增长近乎为0且函数值在600左右，最小值为500，A 是先减后增，B 由指数函数知是增长越来越快，D 由对数函数增长速度越来越慢，C 是y ＝x 3的平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.答案：C5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时取等号． 答案：A6．(2015·西宁五中片区四校联考)某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费________元．解析：本题考查数学知识在实际问题中的应用．某人坐出租车走了12 km ，他应交费6＋0.5×7＋0.8×2＝11.1元．答案：11.17．(2015·北京朝阳统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (万元)与机器运转时间x (x ∈N *)(年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：本题考查应用均值不等式解答实际问题．据已知每台机器的年平均利润关于运转时间x 的函数关系式为g (x )＝f (x )x ＝－x 2＋18x －25x＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，据均值不等式可得g (x )＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤18－2 x ×25x ＝8，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取得等号．答案：5 88．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．则矩形温室的蔬菜的种植面积最大值是________m 2.解析：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝800 m 2.蔬菜的种植面积S ＝(a －4)·(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝808－2(a ＋2b )．∴S ≤808－42ab ＝648(m 2)．当且仅当a ＝2b ，即a ＝40 m ，b ＝20 m 时，S max ＝648 m 2.答案：6489．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品x 万元，则投资股票类产品(20－x )万元．则收益(单位：万元)为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 设t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，最大收益为3万元．10．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1，又q >1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)，所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．B组高考题型专练1．(2015·高考四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是() A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析：由已知得192＝e b，①48＝e22k＋b＝e22k·e b，②将①代入②得e22k＝14，则e11k＝12，当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·e b＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.答案：C2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解析：采用特值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.答案：B4．(2015·高考北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.答案：B5．(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解析：(1)当l＝6.05，则F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋18＋121v，由基本不等式v＋121v≥2121＝22，得F≤76 00022＋18＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900.(2)l＝5，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋18＋100v，由基本不等式v＋100v≥2100＝20，得F≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100. 答案：(1)1 900(2)100。

第九节 函数模型及其应用———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝k x＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使ax 0＜x n0＜log a x 0.( )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )＜f (x )＜g (x )．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )A ．100只B ．200只C ．300只D ．400只B [由题意知100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 3 9＝200.]3．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y 2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos xB [由表格知当x ＝3时，y ＝1.59，而A 中y ＝23＝8，不合要求，B 中y ＝log 23∈(1,2)，C 中y ＝12(32－1)＝4，不合要求，D 中y ＝2.61cos 3＜0，不合要求，故选B.]4．一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( ) 【导学号：31222069】B [由题意h ＝20－5t,0≤t ≤4.结合图象知应选B.]5．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．＋p＋q－1 [设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝＋p＋q－1.](1)某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是( )A B C D(2)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P 运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )【导学号：31222070】A B C D(1)A (2)D [(1)前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A、C图象符合要求，而后3年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上升，故选A.(2)依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.][规律方法]判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．[变式训练1] 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )D [y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A ，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B ，故选D.]其关系如图2­9­1①；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2­9­1②.(注：利润和投资单位：万元)①② 图2­9­1(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0).3分 (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， 所以总利润y ＝8.25万元.5分②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.7分令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，9分此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元.12分[规律方法] 求解所给函数模型解决实际问题的关注点： (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．易错警示：解决实际问题时要注意自变量的取值范围．[变式训练2] (2017·西城区二模)某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋Bx －A ，x ＞A .已知某家庭2016年前三个月的煤气费如下表：A ．11.5元B ．11元C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12x －，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.]公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年(2)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价收费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另外每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.(1)B (2)9 [(1)设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．(2)设出租车行驶了x km ，付费y 元，由题意得 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋x －＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x ＞8.当x ＝8时，y ＝19.75＜22.6，因此由8＋2.15×5＋2.85×(x －8)＋1＝22.6，得x ＝9.][规律方法] 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： (1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解． (2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．(3)构建f (x )＝x ＋a x(a ＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解． 易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制．[变式训练3] (2016·宁波模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．2 500 [L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.当Q ＝300时，L (Q )的最大值为2 500万元．][思想与方法]1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实际问题中往往解决一些最值问题，可以利用二次函数的配方法、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原．[易错与防范]1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：【导学号：31222071】则对x，yA．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD [根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．] 2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A．118元B．105元C．106元D．108元D [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2­9­2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. 【导学号：31222072】图2­9­2给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )A ．85元B ．90元C ．95元D ．100元C [设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]，∴当x ＝95时，y 最大．]5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]二、填空题6．在如图2­9­3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.【导学号：31222073】图2­9­320 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y 40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400.]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48192＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e33k ＋ln192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． [解] (1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，2分 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).5分(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2x ＋8003x ＋5－10＝70(万元)，7分 当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立，10分所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元.12分 10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N *)，2分 飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－x －，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.5分(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x －10x －15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－x －2＋21 000，30＜x ≤75.8分因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．现在加密密钥为y ＝kx 3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“1256”，则解密后得到的明文是( ) A.12B.14C ．2 D.18A [由题目可知加密密钥y ＝kx 3是一个幂函数型，由已知可得，当x ＝4时，y ＝2，即2＝k ×43，解得k ＝243＝132.故y ＝132x 3，显然令y ＝1256，则1256＝132x 3，即x 3＝18，解得x ＝12.] 2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x 小时后，病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个. 【导学号：31222074】y ＝4x 1 024 [设原有1个病毒，经过1个30分钟有2＝21个病毒；经过2个30分钟有2×2＝4＝22个病毒；经过3个30分钟有4×2＝8＝23个病毒；……经过60x 30个30分钟有22x ＝4x 个病毒， ∴病毒个数y 与时间x (小时)的函数关系式为y ＝4x ，∴经过5小时，1个病毒能分裂成45＝1 024个．]3．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5 ℃；(2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围．[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，2分 令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52， 即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，∴2t＝2，即t ＝1，∴经过1 min ，物体的温度为5 ℃.5分(2)物体的温度总不低于2 ℃，即θ≥2恒成立，即m ·2t ＋22t ≥2恒成立， 亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立.7分 令12t ＝x ，则0<x ≤1， ∴m ≥2(x －x 2).10分∵x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14≤14，∴m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.12分。

课时规范练13 函数模型及其应用基础巩固组1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如下表:则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x3.某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在t秒的路程为s=t2米,那么,此人()A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业年后需要更新设备.6.如图,动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30 m.(1)用宽x(单位:m)表示所建造的两间熊猫居室的面积y(单位:m2);(2)怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大?并求出每间熊猫居室的最大面积?7.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组8.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元9.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元10.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为.11.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).图①图②(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?创新应用组12.(2018江苏苏北四市模拟,17)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10 cm,设∠BAO=θ,0<θ<,圆锥的侧面积为S cm2.(1)求S关于θ的函数关系式;(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.参考答案课时规范练13 函数模型及其应用1.A水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来,图①应该是匀速的,故下面的图像不正确,②中的变化率是越来越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误的.故选A.2.D根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.3.C设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N+).令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.4.D已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25= (t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.5.10由题意可知x年的维护费用为2+4+…+2x=x(x+1),所以x年的平均费用y==x++1.5,由基本不等式得y=x++1.5≥2+1.5=21.5,当且仅当x=,即x=10时取等号,所以该企业10年后需要更新设备.6.解 (1)设熊猫居室的宽为x(单位:m),由于可供建造围墙的材料总长是30 m,两间熊猫居室的长为30-3x(单位:m),所以两间熊猫居室的面积y=x(30-3x),又得0<x<10,于是y=-3x2+30x(0<x<10)为所求.(2)由(1)知,y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,二次函数图像开口向下,对称轴x=5,且x∈(0,10),当x=5时,所建造的熊猫居室面积最大,其中每间熊猫居室的最大面积为 m2.7.解 (1)根据所给的曲线,可设y=当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.则y=(2)由y≥0.25,得或解得≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-=(h).8.B由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.9.C甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.10.y=x(x∈N+)设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=a.∴y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N+).11.解 (1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2,根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令=t,t∈[0,3 ],则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.故当t=4时,y max==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.12.解 (1)设AO交BC于点D,过O作OE⊥AB,垂足为E,如下图.在△AOE中,AE=10cos θ,AB=2AE=20cos θ,在△ABD中,BD=AB·sin θ=20cos θ·sin θ,所以S=π·20sin θcos θ·20cos θ=400πsin θcos2θ,0<θ<.(2)要使侧面积最大,由(1)得,S=400πsin θcos2θ=400π(sin θ-sin3θ),设f(x)=x-x3(0<x<1),则f'(x)=1-3x2,由f'(x)=1-3x2=0,得x=,当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在区间上递增,在区间上递减,所以f(x)在x=时取得极大值,也是最大值,所以当sin θ=时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cos θ=20=20=.即侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为 cm.。

课时规范练13 函数的图象基础巩固组1.函数f(x)={3x,x≤1,log13x,x>1,则y=f(x+1)的图象大致是()2.已知f(x)=2x,则函数y=f(|x-1|)的图象为()3.(2019河北衡水同卷联考,6)函数f(x)=e2x+1x e x的图象大致为()4.(2019湖南衡阳三模,8)函数f(x)=|x|+xx(其中a∈R)的图象不可能是()5.函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是()A.f(x)=x+sin xB.f(x)=cos xxC.f(x)=x(x-π2)(x-3π2)D.f(x)=x cos x6.已知函数f(x)=x2+e x-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点,则a的取值范围是()A.(-√e)B.(-∞,√e)C.(√e√e)D.(-√e,√e)7.(2019河北衡水同卷联考,7)下列函数中,其图象与函数y=log2x的图象关于直线y=1对称的是()A.y=log22x B.y=log24xC.y=log2(2x)D.y=log2(4x)8.(2019湖北省一月模拟,7)已知函数f (x )={x 2,x ≤0,-1x,x >0,g (x )=-f (-x ),则函数g (x )的图象是( )9.(2019吉林实验中学模拟)函数f (x )=x +1x的图象与直线y=kx+1交于不同的两点(x 1,y 1),(x 2,y 2),则y 1+y 2= .10.已知函数f (x )={-x 2+2x ,x ≤0,ln(x +1),x >0.若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是 .综合提升组11.(2019河南郑州三模,5)我国著名数学家华罗庚先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.如函数f (x )=x 4|4x -1|的图象大致是( )12.(2019山东青岛二中期末)已知f (x )={-2x ,-1≤x ≤0,√x ,0<x ≤1,则下列函数的图象错误的是( )13.(2019北师大实验中学模拟)如图,矩形ABCD 的周长为8,设AB=x (1≤x ≤3),线段MN 的两端点在矩形的边上滑动,且MN=1,当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时,线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ,记G 围成的区域的面积为y ,则函数y=f (x )的图象大致为( )14.已知f (x )={|lg x |,x >0,2|x |,x ≤0,则函数y=2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数是 .15.如图,过原点O 的直线AB 与函数y=log 9x 的图象交于A 、B 两点,过A 、B 分别作x 轴的垂线,与函数y=log 3x 的图象分别交于D 、C 两点,若BD 平行于x 轴,则点A 的坐标为 ,四边形ABCD 的面积为 .创新应用组16.(2019安徽江淮十校联考)若直角坐标系内A,B两点满足:(1)点A,B都在f(x)图象上;(2)点A,B 关于原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“和谐点对”,(A,B)与(B,A)可看作一个“和谐点对”.已知函数f(x)={x2+2x,x<0,2e x,x≥0,则f(x)的“和谐点对”有()A.1个B.2个C.3个D.4个17.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()参考答案课时规范练13函数的图象1.B将f(x)的图象向左平移一个单位即得到y=f(x+1)的图象.故选B.2.D f(|x-1|)=2|x-1|.当x=0时,y=2.可排除选项A,C.当x=-1时,y=4.可排除选项B.故选D.3.A由f(x)=e2x+1x e x =1x(e x+e-x)为奇函数,可排除C和D;当x>0时,f(x)>0可排除B,故选A.4.C当a=0时,f(x)=|x|,且x≠0,故A符合;当x>0时,且a>0时,f(x)=x+xx≥2√x,当x<0时,且a>0时,f(x)=-x+xx 在(-∞,0)上为减函数,故B符合;当x<0时,且a<0时,f(x)=-x+xx≥2√-x,当x>0时,且a<0时,f(x)=x+xx在(0,+∞)上为增函数,故D符合,故选C.5.D由函数的图象可知函数是奇函数,排除C;又f(x)=x+sin x=0,函数只有一个零点,所以A不正确;函数的图象可知,x=0是函数的零点,而f(x)=cos xx,x≠0,所以B不正确.故选D.6.B由已知得与函数f(x)的图象关于y轴对称的图象的解析式为h(x)=x2+e-x-12(x>0).令h (x )=g (x ),得ln(x+a )=e -x -12,作函数M (x )=e -x-12(x>0)的图象,显然当a ≤0时,函数y=ln(x+a )的图象与M (x )的图象一定有交点.当a>0时,若函数y=ln(x+a )的图象与M (x )的图象有交点,则ln a<12,则0<a<√e .综上a<√e .故选B .7.B 设P (x ,y )为所求函数图象上的任意一点,它关于直线y=1对称的点是Q (x ,2-y ),由题意知点Q (x ,2-y )在函数y=log 2x 的图象上,则2-y=log 2x ,即y=2-log 2x=log 24x ,故选B .8.D 集合A={x|x 2<4}={x|-2<x<2},集合B={x|-1<x ≤3},全集为R ,所以∁R B={x|x ≤-1,或x>3},所以A ∩(∁R B )={x|-2<x ≤-1},故选D .9.2 因为f (x )=x +1x=1x+1,所以f (x )的图象关于点(0,1)对称,而直线y=kx+1过(0,1)点,故两图象的交点(x 1,y 1),(x 2,y 2)关于点(0,1)对称,所以x 1+x 22=1,即y 1+y 2=2.10.[-2,0] 可画出|f (x )|的图象如图所示.当a=0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以a=0满足题意;当a>0时,在x<0时,|f (x )|≥ax=0恒成立,所以只需x>0时,ln(x+1)≥ax 成立.对比对数函数与正比例函数的增长速度发现,一定存在ln(x+1)<ax 的时刻,所以a>0不满足条件;当a<0时,在x>0时满足题意;当x ≤0时,只需x 2-2x ≥ax 成立,即直线在抛物线下方,即a ≥x-2恒成立,则a ≥-2.综上,a 的取值范围为[-2,0].11.D 根据题意,函数f (x )=x 4|4x -1|,则f (-x )=(-x )4|4-x -1|=x 4·4x |4x -1|,易得f (x )为非奇非偶函数,排除A,B;当x →+∞时,f (x )=x 44x -1→0,排除C .故选D .12.D 在坐标平面内画出函数y=f (x )的图象,将函数y=f (x )的图象向右平移1个单位长度,得到函数y=f (x-1)的图象,因此A 正确;作函数y=f (x )的图象关于y 轴的对称图形,得到y=f (-x )的图象,因此B 正确;y=f (x )在[-1,1]上的值域是[0,2],因此y=|f (x )|的图象与y=f (x )的图象重合,C 正确;y=f (|x|)的定义域是[-1,1],且是偶函数,当0≤x ≤1时,y=f (|x|)=√x ,这部分的图象不是一条线段,因此选项D 不正确.故选D .13.D 由题意可知,点P 的轨迹为图中虚线所示,其中四个角均是半径为12的扇形.因为矩形ABCD 的周长为8,AB=x ,则AD=8-2x 2=4-x ,所以y=x (4-x )-π4=-(x-2)2+4-π4(1≤x ≤3),显然该函数的图象是二次函数图象的一部分,且当x=2时,y max =4-π4∈(3,4),故选D .14.5 方程2f 2(x )-3f (x )+1=0的解为f (x )=12或1.作出y=f (x )的图象,由图象知零点的个数为5.15.(2,log92)32log32由题意知点D和点B的纵坐标相等,设点D的横坐标为a,点B的横坐标为b,则有log3a=log9b.∵log3a=log9a2,∴b=a2.又A(a,log9a),B(a2,log9a2)在一条过原点的直线上,∴x2x =log9x2log9x=2,∴a2=2a,∴a=2.故四个点坐标为A(2,log92),B(4,log32),C(4,log34),D(2,log32),∴S ABCD=12×(4-2)(log34-log32+log32-log92)=32log32.16.B作出函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象,看它与函数y=2e x(x≥0)的图象的交点个数即可,观察图象可得交点个数为2,即f(x)的“和谐点对”有2个.17.B由题意可得f(π2)=2√2,f(π4)=√5+1,即f(π2)<f(π4),由此可排除C,D项;当3π4≤x≤π时,f(x)=-tan x+√tan2x+4,可知x∈[3π4,π]时,f(x)的图象不是线段,可排除A项,故选B项.。

[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.函数模型考查的重点是函数模型的建立以及函数模型中的最值问题，命题的热点是二次函数的最值或利用基本不等式求解最值，如2012年江苏T17等．2.考查题型以解答题为主. [归纳·知识整合] 1．几种常见的函数模型 函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性单调递增函数单调递增函数单调递增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[探究]　1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？ 提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢． 2．你认为解答数学应用题的关键是什么？ 提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A的数量是B的数量的两倍，需要的时间为( ) A．5 h B．10 h C．15 h D．30 h 解析：选B　假设一开始两种细菌数量均为m，则依题意经过x小时后，细菌A的数量是f(x)＝m·2，细菌B的数量是g(x)＝m·4，令m·2＝2·m·4，解得x＝10. 2．(教材习题改编)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( ) x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2x B．y＝log2x C．y＝(x2－1) D．y＝2.61cos x 解析：选B　通过检验可知，y＝log2x较为接近． 3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是( ) A．y＝0.1x＋800(0≤x≤4 000) B．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋800(0≤x≤4 000) D．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 解析：选D　y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200. 4．(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________． 解析：因为储蓄按复利计算，所以本利和y随存期x变化的函数关系式是y＝a(1＋r)x，xN*. 答案：y＝a(1＋r)x，xN* 5．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元． 解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元． 答案：12.5 利用函数刻画实际问题 [例1]　如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 [自主解答]　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图应该是匀速的，故下面的图象不正确，中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化规律是先快后慢再快，正确；中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的． [答案]　A ——————————————————— 用函数图象刻画实际问题的解题思路 将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可． 1．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示． 给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( ) A． B． C． D． 解析：选A　由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是. 利用已知函数模型解决实际问题 [例2]　(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． [自主解答]　(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 a≤6. 所以当a不超过6千米时，可击中目标． ——————————————————— 利用已知函数模型解决实际问题的步骤 若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题． 2．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)与时间t(天)的函数关系式是p＝且该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系式是Q＝－t＋40(0900，知ymax＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.构建函数模型解决实际问题 [例3]　某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元)． (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域)； (2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值． [自主解答]　(1)依题意 y＝ y＝ 此函数的定义域为(0,40)． (2)y＝ 若0＜x≤20，则当x＝16时， ymax＝32 400(元)． 若20<x4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x>4时， y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6. 所以y＝ (2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增， 当x时，y≤f<26.4； 当x时，y≤f3)千元．设该容器的建造费用为y千元． (1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r. [快速规范审题] 第(1)问 1．审条件，挖解题信息 观察条件：中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r，圆柱的母线为l，以及容器的体积＋πr2l＝ S球＝4πr2， S圆柱＝2πrl. 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域 球形部分的造价为4πr2c，圆柱型部分的造价为2πrl×3. 3．建联系，找解题突破口 总造价y＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即 y＝4πr2c＋2πrl×3由＋πr2l＝解得l＝－，故可得建造费用y＝－8πr2＋4πcr20<r≤2，问题得以解决． 第(2)问 1．审条件，挖解题信息 观察条件：建造费用y＝－8πr2＋4πcr2，定义域为(0,2]． 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求该容器的建造费用最小时的r问题转化为：当r为何值时，y取得最小值． 3．建联系，找解题突破口 分析函数特点：含分式函数 y′＝－－16πr＋8πcr＝，0<r≤2当r＝ 时，y′＝0 分 ≥2和0< 0，导致定义域错误.V＝＋πr2l，又V＝，(1分) 所以＋πr2l＝， 解得l＝－，(2分) 由于l≥2r 易忽视导数为零的点与定义域的关系，即忽视对c的取值的讨论而造成解题错误.因此0<r≤2.(3分) 所以圆柱的侧面积为 2πrl＝2πr＝－， 两端两个半球的表面积之和为4πr2， 所以建造费用y＝－8πr2＋4πcr2，定义域为(0,2]．(4分) (2)由(1)，得y′＝－－16πr＋8πcr＝ ·，03，所以c－2>0. 当r3－＝0时，r＝ . 令 ＝m，则m>0. 所以y′＝(r－m)(r2＋rm＋m2)．(7分) 当0<m时， 当r＝m时，y′＝0； 当r(0，m)时，y′0， 易忽视将问题“返本还原”，即没将函数的最小值还原为建造费用最小而草率收兵.所以r＝m是函数y的极小值点，也是最小值点．(9分) 当m≥2，即3<c≤时， 当r(0,2)时，y′<0，函数单调递减， 所以r＝2是函数y的最小值点．(11分) 综上，当3时，建造费最小时 r＝ .(12分) [答题模板速成] 解决函数实际应用问题的一般步骤： 第一步　审清题意弄清题意，理顺条件和结论，找到关键量，明确数量关系第二步　找数量关系把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙 第三步　建数学模型将数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型第四步　解数学问题利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论 第五步　返本还原将数学结论还原为实际问题本身所具有的意义(如本题应还原建造费用最小时r的值)第六步　反思回顾查看关键点、易错点，如本题函数关系式，定义域，分类讨论等 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( ) 解析：选C　由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C. 2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( ) A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 解析：选B　设该公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，利润为L(x)＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.152＋0.15×＋30，由于x为整数，所以当x＝10时，L(x)取最大值L(10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元． 3．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( ) A．90万m2 B．87万m2 C．85万m2 D．80万m2 解析：选B　由题意≈86.6(万m2)≈87(万m2)． 4．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：买一副球拍赠送一个羽毛球；按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( ) A．不能确定 B．同样省钱 C．省钱 D．省钱 解析：选D　方法用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元) 方法用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元) 因为210<211.6，故方法省钱． 5．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，将三角形APM的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是( ) 解析：选A　当0≤x≤1时，y＝·x·1＝x； 当1<x≤2时，y＝1－(x－1)－(2－x)－＝－x＋； 当2<x≤2.5时，y＝×1＝－x. 则y＝根据函数可以画出其大致图象，故选A. 6．(2013·武汉模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为9平方米，且高度不低于米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x的范围为( ) A．[2,4] B．[3,4] C．[2,5] D．[3,5] 解析：选B　根据题意知，9＝(AD＋BC)h，其中 AD＝BC＋2·＝BC＋x，h＝x， 9＝(2BC＋x)x，得BC＝－，由得2≤x<6. 由y＝BC＋2x＝＋≤10.5得3≤x≤4. [3,4]?[2,6)，腰长x的范围是[3,4]． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________． 解析：当h＝0时，v＝0可排除、；由于鱼缸中间粗两头细，当h在附近时，体积变化较快；h小于时，增加越来越快；h大于时，增加越来越慢． 答案： 8．有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)． 解析：设矩形的宽为x m， 则矩形的长为200－4x m(0<x<50)， 面积S＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500. 故当x＝25时，S取得最大值2 500 (m2)． 答案：2 500 m2 9．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： 如一次购物不超过200元，不予以折扣； 如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠； 如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠； 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元． 解析：由题意知付款432元，实际标价为432×＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元． 答案：582.6 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨． (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)每吨平均成本为(万元)． 则＝＋－48≥2 －48＝32， 当且仅当＝，即x＝200时取等号． 年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R(x)万元， 则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． R(x)在[0,210]上是增函数， x＝210时，R(x)有最大值为 R(210)＝－(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)． 年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 11．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)． (1)当t＝4时，求s的值； (2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来； (3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由． 解：(1)由图象可知：当t＝4时，v＝3×4＝12， s＝×4×12＝24. (2)当0≤t≤10时，s＝·t·3t＝t2； 当10<t≤20时，s＝×10×30＋30(t－10) ＝30t－150； 当20<t≤35时，s＝×10×30＋10×30＋(t－20)×30－×(t－20)×2(t－20)＝－t2＋70t－550. 综上可知，s＝ (3)t∈[0,10]时，smax＝×102＝150<650， t(10,20]时，smax＝30×20－150＝450<650， 当t(20,35]时，令－t2＋70t－550＝650， 解得t1＝30，t2＝40. 20<t≤35， t＝30，即沙尘暴发生30 h后将侵袭到N城． 12．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f(x)，求f(x)； (2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？ 解：(1)当0500时，f(x)＝0.05×500－×5002－＝12－x， 故f(x)＝ (2)当0500时，f(x)＝12－x<12－＝<， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大． 1．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度． (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？ 解：(1)x的取值范围为[10,90]． (2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)． (3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝2＋，得x＝时，ymin＝， 即核电站建在距A城 km处，能使供电总费用y最少． 2．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． 解：(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时， y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时， y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3； … 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(xN*)． (2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人． (3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.012≈15.3 故大约16年后该县的人口总数将达到120万． 3．某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示： 第t天4101622Q(万股)36302418(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式； (3)在(2)的结论下，用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？ 解：(1)P＝(tN*)． (2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得解得a＝－1，b＝40. 所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为 Q＝－t＋40,0<t≤30，tN*. (3)由(1)(2)可得 y＝ 即y＝(tN*)． 当0<t≤20时，y有最大值ymax＝125万元，此时t＝15；当20<t≤30时，y随t的增大而减小，ymax<(20－60)2－40＝120万元． 所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元.。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．1．几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)(2)三种函数模型的性质2.解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：【疑点清源】1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 2．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质． (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题． (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题． (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论．高频考点一、用函数图象刻画变化过程例1、[2017·全国卷Ⅲ]某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳答案 A【变式探究】(1)设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )(2)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )答案(1)D (2)B解析(1)y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C；又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.【感悟提升】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．【变式探究】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是( )答案 D解析依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4<x≤8时，f(x)＝8；当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知，选D.高频考点二已知函数模型的实际问题例2、候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q10(其中a、b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a、b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【感悟提升】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．【变式探究】某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.高频考点三构造函数模型的实际问题例3、某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元答案 C【变式探究】(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()A．1.5%B．1.6%C．1.7%D．1.8%(2)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 答案 (1)C (2)B解析 (1)设每年人口平均增长率为x ，则(1＋x )40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x )＝lg2，所以lg(1＋x )＝lg240≈0.0075，所以100.0075＝1＋x ，得1＋x ≈1.017，所以x ≈1.7%.(2)设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n＝a ×1.1n元，经历n 次跌停后的价格为a ×1. 1n×(1－10%)n＝a ×1.1n×0.9n＝a ×(1.1×0.9)n＝0.99n·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．【举一反三】某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km 按起步价付费)；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案 9【变式探究】 (1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过小时才能开车．(精确到1小时)(2)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21 答案 (1)5 (2)A解析 (1)设经过x 小时才能开车． 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)设该企业需要更新设备的年数为x ， 设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)， 所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x x ＋x＝x ＋100x＋1.5，由基本不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21. 5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A. 高频考点四、函数应用问题例4、已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7400x－40000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6104， 所以W max ＝W (32)＝6104；②当x >40时，W ＝－40000x－16x ＋7360，由于40000x＋16x ≥240000x×16x ＝1600，当且仅当40000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5760.综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6104万元。

课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油，乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时，消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车t2米，那么，此人() 开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s=12A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车，但期间最近距离为14米D.不能追上汽车，但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使，至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)杂质含量减少137.一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，治疗有效，求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和am(0<a<12).不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f(a)(单位:m2)的图象大致是()10.某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图，直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC，以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动，则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为，y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p，q均为常数，且q>1).(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4，f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0，5]，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出，其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2，求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝，已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2，问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h 时的燃油效率大于5km/L ，故乙车消耗1L 汽油的行驶路程可大于5km ，所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少，所以选项B 错误;甲车以80km/h 的速度行驶时的燃油效率为10km/L ，故行驶1小时的路程为80km ，消耗8L 汽油，所以选项C 错误;当最高限速为80km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元，则f (x )=25x-(3000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3000(0<x<240，x ∈N *).令f (x )≥0，得x ≥150，故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意，设利润为y 元，租金定为(3000+50x )元(0≤x ≤70，x ∈N )，则y=(3000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204800，当且仅当58+x=70-x ，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000+300=3300(元)时，公司获得最大利润，故选B . 4.D 已知s=12t 2，车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时，d 取得最小值7.所以不能追上汽车，但期间最近距离为7米，故选D .5.B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ，则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16，故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%1-13n≤0.1%，即23n ≤120，所以n lg 23≤-1-lg2，解得n ≥7.39，所以n=8.7.16 当t=0时，y=a ，当t=8时，y=a e -8b =12a ，所以e -8b =12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y=a e -bt =18a ，e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ，则t=24，所以再经过24-8=16(min)，容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解(1)根据所给的曲线，可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时，由y=4，得k=4，由121-a=4，得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25，得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m ，则CD 的长为(16-x )m ，则矩形ABCD 的面积为x (16-x )m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内，所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时，当且仅当x=8时，u=64;当8<a<12时，u=a (16-a ).画出函数图象可得其形状与B 选项接近，故选B .10.C 若2019年是第1年，则第n 年全年投入的科研经费为1300×1.12n 万元，由1300×1.12n >2000，可得lg1.3+n lg1.12>lg2，所以n ×0.05>0.19，得n>3.8，所以第4年，即2022年全年投入的科研经费开始超过2000万元，故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图，当0≤t<1时，重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时，重叠部分为直角三角形ABC ，重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时，重叠部分为梯形，重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6.综上，y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ，由f (0)=4，f (2)=6，可得p=4，(2-q )2=1，又q>1，所以q=3，所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5)，所以f'(x )=3x 2-12x+9， 令f'(x )<0，得1<x<3.所以函数f (x )在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月，10月两个月内价格下跌. 13.解(1)当声强为10-6W/m 2时，由公式Y=10lgI 10-12，得Y=10lg10-610-12=10lg106=60(分贝).(2)当Y=0时，由公式Y=10lgI 10-12，得10lg I 10-12=0.所以I10-12=1，即I=10-12W/m 2，则最低声强为10-12W/m 2.(3)当声强为5×10-7W/m2时，声强级为Y=10lg5×10-7=10lg(5×105)=50+10lg5(分贝)，10-12因为50+10lg5>50，故这两位同学会影响其他同学休息.。

课时规范练15 函数模型及其应用基础巩固组1.(2019陕西铜川一中期中)某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销售y(单位:台)与投放市场的月数x之间关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+1002.(2019江苏启东中学模拟)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况3.(2019山西朔州一中期末)设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t 万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.184.(2019长春外国语学校模拟)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是()A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时5.(2019湖北黄石一中月考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a√A(a为常数),广告效应为D=a√A-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为(用常数a表示).6.企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业年后需要更新设备.7.(2019上海杨浦区高三一模)上海某工厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得)元,其中1≤x≤10.的利润是(5A+1-3A(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:该厂应选取何种生产速度?并求最大利润.8.(2019河南八市联考二,20)如图,将宽和长都分别为x,y(x<y)的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为√5.(注:正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上,且两矩形长所在的直线互相垂直的图形)(1)求y关于x的函数解析式;(2)当x,y取何值时,该正十字形的外接圆面积最小,并求出其最小值.综合提升组9.(2019全国2,理4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L 2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,L 2点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:A 1(A +A )2+A 2A 2=(R+r )A 1A 3. 设α=AA,由于α的值很小,因此在近似计算中3A 3+3A 4+A 5(1+A )2≈3α3,则r 的近似值为( )A.√A 2A 1R B.√A22A 1RC.√3A2A 13RD.√A23A13R 10.(2019湖南娄底一中期中)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店,经过预算,该门面需要装修费为20 000元,每天需要房租、水电等费用100元,受经营信誉度、销售季节等因素的影响,专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )={400A -12A 2,0≤A ≤400,80000,A >400,则总利润最大时,该门面经营的天数是 .11.(2019云南曲靖一中月考)已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q (x )(单位:百件)关于每件衣服的利润x (单位:元)的函数解析式为q (x )={1260A +1,0<A ≤20,90-3√5√A ,20<A ≤180,求该服装厂所获得的最大效益是多少元?创新应用组12.(2019全国1,文4,理4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是() A.165 cm B.175 cmC.185 cmD.190 cm13.(2019湖南湘潭三模,7)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元,如果销售额函数是f (x )=-18x 3+916ax 2+12x (x 是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a 是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年种植莲藕( )A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤参考答案课时规范练15 函数模型及其应用1.C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型,代入数据验证即可,故选C .2.B 设该股民购进这只股票的价格为a 元,则经历n 次涨停后的价格为a (1+10%)n =a ×1.1n元,经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1-10%)n =a ×1.1n ×0.9n =a ×(1.1×0.9)n =0.99n ·a<a ,故该股民这只股票略有亏损.3.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t (万元),分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )(1+1.2x %)t ,则{0<A <100,A ∈N *,(100-A )(1+1.2A %)A ≥100A ,解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16.4.C 由题意得192=e b,①48=e22k+b=e 22k ·e b , ②将①代入②得e 22k=14,则e 11k=12,当x=33时,y=e33k+b=e 33k·e b=(12)3×192=24,所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.故选C .5.14a 2 令t=√A (t ≥0),则A=t 2,所以D=at-t 2=-(A -12A )2+14a 2.所以当t=12a ,即A=14a 2时,D 取得最大值.6.10 由题意可知x 年的维护费用为2+4+…+2x=x (x+1),所以x 年的平均费用y=100+0.5A +A (A +1)A=x+100A +1.5,由基本不等式得y=x+100A +1.5≥2√A ·100A+1.5=21.5,当且仅当x=100A ,即x=10时取等号,所以该企业10年后需要更新设备.7.解(1)根据题意,2(5A +1-3A )≥30,得5x-14-3A ≥0,解得x ≥3或x ≤-15.又1≤x ≤10,可得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元,则y=900A5x+1-3A=900-3(1A -16)2+6112,故x=6时,y max =4575.8.解(1)由题意可得2xy-x 2=√5,则y=A 2+√52A .∵y>x ,∴A 2+√52A>x ,解得0<x<√54.∴y 关于x 的解析式为y=A 2+√52x(0<x<√54).(2)设正十字形的外接圆的直径为d ,由图可知d 2=x 2+y 2=x2+(A 2+√52A )2=5A 24+54A2+√52≥52+√52, 当且仅当x=1,y=√5+12时,正十字形的外接圆直径d 最小,最小为√5+√52=√10+2√52,则半径最小值为√10+2√54,∴正十字形的外接圆面积最小值为π×(√10+2√54)2=5+√58π.9.D 由α=AA ,得r=αR.∵A 1(A +A )2+A 2A 2=(R+r )A1A 3,∴A 1A 2(1+A )2+A 2A 2A 2=(1+α)A 1A 2,即A 2A 1=α2(1+A )3-1(1+A )2=A 5+3A 4+3A 3(1+A )2≈3α3,解得A ≈√A23A 13.∴r=αR ≈√A 23A 13R.10.300 由题意,总利润y={400A -12A 2-100A -20000,0≤A ≤400,60000-100A ,A >400,当0≤x ≤400时,y=-12(x-300)2+25000,所以当x=300时,y max =25000;当x>400时,y=60000-100x<20000.综上,当x=300天时,总利润最大.11.解设该服装厂所获效益为f (x )元,则f (x )=100xq (x )={126000AA +1,0<A ≤20,100A (90-3√5√A ),20<A ≤180.当0<x ≤20时,f (x )=126000AA +1=126000-126000A +1,f (x )在区间(0,20]上单调递增,所以当x=20时,f (x )有最大值120000.当20<x ≤180时,f (x )=9000x-300√5·x √A ,则f'(x )=9000-450√5·√A ,令f'(x )=0,得x=80.当20<x<80时,f'(x )>0,f (x )单调递增,当80<x ≤180时,f'(x )<0,f (x )单调递减,所以当x=80时,f (x )有极大值,也是最大值240000.由于120000<240000.故该服装厂所获得的最大效益是240000元.12.B 设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm,则26A≈√5-12,得x ≈42.07,又其腿长为105cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175cm .故选B .13.B 设销售利润为g (x ),得g (x )=-18x 3+916ax 2+12x-1-12x=-18x 3+916ax 2-1,当x=2时,g (2)=-18×23+916a ×22-1=2.5,解得a=2.∴g (x )=-18x 3+98x 2-1,g'(x )=-38x 2+94x=-38x (x-6),∴函数g (x )在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减.∴x=6时,函数g (x )取得极大值即最大值,故选B .。