44幺正变换.

§4.4么正变换一． 基矢量的表象变换设算符A ˆ的正交归一本征函数系为()(),,,21 x x ψψ算符B ˆ的正交归一本征函数系为()(),,,21 x x ϕϕ算符Fˆ在A ˆ表象中的矩阵元为 ()()()1.4.4,,2,1,,ˆ ==⎰∙n m dx x F x F nm mn ψψ 算符Fˆ在B ˆ表象中的矩阵元为 ()()()2.4.4,,2,1,,ˆ =='⎰∙βαϕϕβααβdx x F x F 将()x ϕ按()(),,,21 x x ψψ展开()()()())3.4.4( ⎪⎭⎪⎬⎫==∑∑∙∙∙m m m n n n S x x x S x ααββψϕψϕ写成军阵形式()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ t t t S S S S S S S S S x x x n n n n ψψψϕϕϕββββ2121222121211121 ()()()[]()()()[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ ααααψψψϕϕϕm m m m S S S S S S S S S x x x t t t 2122221112112121,,,,,,,简记为∙++ψ=Φψ=ΦSS ,~ 式中S ~为S 的转置矩阵。

展开系数βn S 和∙αm S 由下式给出()()()())4.4.4( ⎪⎭⎪⎬⎫==⎰⎰*∙∙dx x x S dx x x S m m n n ααββϕψϕψ 矩阵S 称为变换矩阵，也叫么正矩阵。

二． 么正矩阵S 和么正变换()()()()()()()()αββαβαβαβαβααβδψψψψϕϕδS S S S S S dx x x S S dxS x S x dx x x mnm m mn mn n m mnn m n m mnn n m m ++∙∙∙∙∙∙======∑∑∑⎰⎰∑⎰所以()5.4.4 I S S =++S 是S 的共轭矩阵。

第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r ϕ、)(rψ，定义内积r d r r)()(),(ψϕψϕ*⎰=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()rψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。

依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U (5.2)而且有逆算符1ˆ-U存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。

”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)A A ϕψϕψ+= (5.3)由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U 。

” (5.4b)证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。

类似，也能从第二种定义导出第一种定义。

从而，幺正算符的这两种定义是等价的。

2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正1这里强调了 U-1既是对 U右乘的逆又是对 U 左乘的逆。

和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U-1。

幺正变换摘要：从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换，本文介绍了幺正变换的定义，推导了不同表象之间的变换关系，讨论了幺正变换下算符、波函数的变化以及幺正变换的性质，并举例应用幺正变换不改变本征值的性质，求算符的本征值。

对学习幺正变换以及加深对幺正变换的理解有重要作用。

关键词：表象；算符；波函数；幺正变换一、引言：和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。

在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。

在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。

在表象变换中，算符的本征值不变，与在高等数学中选用适当的坐标系可以大大简化计算过程相似，在量子力学中，选用适当表象，或通过表象变换到适当的表象，也可以使计算过程大大简化，甚至直接得出所求结果。

二、A 表象与B 表象的变换关系（基矢变换）设力学量算符Aˆ、B ˆ的本征方程分别为其中()}{x n ψ和()}{x ϕβ均为正交归一完备系。

将()}{x ϕβ按()}{x n ψ展开展开系数为()S n S β=就是变换矩阵。

通过它可以把B 表象的基矢用A 表象的基矢表示出来。

展开式的矩阵表示为ˆ()()n n nA x x ψλψ=ˆ()()B x x βββϕμϕ=(,1,2,)n β= ()()n n nx S x ββϕψ=∑,2,1=β***()()m m mx x S ααϕψ=∑,2,1=α*()()n n S x x dxββψϕ=⎰**()()m m S x x dxααψϕ=⎰，利用基矢组()}{x ϕβ的正交归一性，得，即I S S =+，同理，可以证明I SS =+， 因此-+=S S 。

满足上式得矩阵称为幺正矩阵。

由幺正矩阵所表示的变换称为幺正变换。

所以，从一个表象到另一个表象的变换为幺正变换.三、幺正变换下算符和波函数的变化。

1、算符的变换在 B 表象中，算符F ˆ的矩阵元是αβF '，在A 表象中，算符F ˆ的矩阵元是mnF ，它们两者之间的关系是= =******m m n n mnm m n n mnm mn n m mn n mnmnF F dx S FS dxS F dxS S F S S F S αβαβαβαβαβαβϕϕψψψψ+'===∑⎰⎰∑⎰∑∑上式写成矩阵形式是1F S FS S FS +-'==或1F SF S -'=波函数的变换⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )()()()(212212211121x x S S S S x x ψψϕϕ()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=*22*21*12*11*2*1*2*1)()()()(S S S S x x x x ψψϕϕ*dx αβαβδϕϕ=⎰**,m m n n n mS S dxαβψψ=∑⎰**,m m n n n mS dx S αβψψ⎡⎤=⎣⎦∑⎰*n n nS S αβ=∑n n nS S αβ+=∑()S S αβ+=*,m mn n n mS S αβδ=∑考察波函数()t x ,ψ从A 表象到B 表象的变化。

幺正变换例题在开始幺正变换前，还是先把狄拉克符号的内容扩充一下。

“单位算符”用右矢的写法，态叠加原理可以写作：（波函数按某一完备基展开）|\psi\rangle=\sum_na_n|Q_n\rangle那么 \langle Q_m|\psi\rangle=\sum_na_n\langleQ_m|Q_n\rangle=\sum_na_n\delta_{mn}=a_m将上式代入 |\psi\rangle=\sum_n|Q_n\rangle a_n 即可得到|\psi\rangle=\sum_n|Q_n\rangle\langle Q_n|\psi\rangle观察这个式子的形式，不难发现 \sum_n|Q_n\rangle\langleQ_n|=1 。

投影算符我们来观察一下算符 |Q_n\rangle\langle Q_n| 的形式。

当它作用于一个波函数 \psi 的时候，我们发现得到的是|Q_n\rangle\langle Q_n|\psi\rangle ，而 \langle Q_n|\psi\rangle 表示一个常数，它的值是波函数 \psi 在 |Q_n\rangle 上的投影大小；因此， |Q_n\rangle\langle Q_n|\psi\rangle ，或者说 \langle Q_n|\psi\rangle\cdot|Q_n\rangle 表示的正是波函数 |\psi\rangle 在 |Q_n\rangle 上投影的波函数。

作为对比，，向量 \overrightarrow {OA}=(x_a,y_a) 在x轴上的投影向量为 \overrightarrow {OB}=(x_a,0) ，此时基底向量是一组（在2维平面内）正交归一的，即 (1,0)、(0,1) 。

再次作为对比，以图中[1]的函数为例，灰色线条的函数可以由正弦和余弦的线性组合 a_{\cos}*\cos(x)+a_{\sin}*sin(x) （这里叠加系数分别为3和4）来构成[2]，因此，将该函数投影到余弦函数就得到了3，也就是说余弦部分为 3\cos(x) 。

第四章 表象与变换内容简介：本章讨论各种不同的表象以及它们之间的变换关系。

这就如同，在数学中给定坐标系后，应该讨论坐标系之间的坐标变换一样。

另外，我们还曾指出，一个量子态，相当于一个态“矢量”。

在数学中，一个矢量，在选定坐标系后，可以用它在该坐标系中的一组分量来表示。

但是，一个矢量，也可以用一个矢量符号表示。

这种表示并不依赖于坐标系的选取，但同样可以进行各种矢量运算。

同样，在量子力学中，一个态矢量也可用类似的方法表示，这就是狄拉克符号。

在本章将介绍这种表示法以及运算规则。

除表象外，本章还要介绍一些有关绘景的知识。

§ 4.1 矢量空间§ 4.2 态和算符的表象表示§ 4.3 量子力学公式的矩阵表示§ 4.4 幺正变换§ 4.5 狄拉克符号§ 4.6 线性谐振子粒子数表象§ 4.7 绘景的分类1.线性矢量空间定义：无穷多个抽象的数学元素的集合，规定了下列两种运算，则称这个集合为一个线性矢量空间。

运算一：集合内任意两个矢量 和 ，总有一个确定的 与 之对应，记作 这种对应法称为加法。

加法运算满足下列条件：① 交换律 ② 结合律存在唯一零矢量 ，对任意矢量 都有 ④ 对集合中的任意矢量 ，都有唯一的逆矢量 存 在，满足运算二：规定一种确定的对应方法，使得 中的任意矢量 和数域中任意数 ，在集合中总有一个矢量 与之对应，这种对应法则叫数乘，记作 数乘满足下列条件： ② ③2.线性相关与线性无关线性无关：对于线性矢量空间 个矢量集合 ，若线性组合 ，只有当所有系数 时才成立，则称 个矢量线性无关，否则 个矢量称线性相关。

一个线性矢量空间中可以找到的线性无关矢量个数的最大值 ，称为该线性矢量空间的维数。

3.内积运算 规定一种确定的对应方法，对于线性矢量空间中的任意两个矢量 和 ，总有一个复数 与之对应，且满足下列条件，则称为矢量的内积： 4.标准正交基作为标准正交基，必须满足下列条件：① 是线性无关的; ②③ 具有完备性：内积空间的任意矢量 可以表示为4.2 态和算符的表象表示 在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。

量子计算中的幺正性与相位不变性量子计算是在量子力学理论的基础上发展起来的一种高新技术，将现代计算科学与量子物理学融合在一起，其理论模型和计算模式都符合量子力学的准则，是未来计算技术的重要方向之一。

在量子计算中，幺正性（Unitarity）和相位不变性（Phase Invariance）是两个非常重要的概念，对理解量子计算原理和设计量子算法都有着重要的作用。

幺正性在量子计算中，幺正性是非常重要的一个概念，涉及到量子比特的演化和变化。

幺正变换是指一个线性变换保持向量内积、模长不变，在量子力学中，物理量的变化都需要通过幺正变换来描述。

在量子力学中，系统在时间演化过程中都需要遵循幺正性，这就意味着，系统状态的演化对应着一个幺正算符的作用。

量子计算中的幺正变换通常是通过在量子比特之间施加量子门来实现的。

例如，Hadamard门可以将一个量子比特从$|0\rangle$转换为$\dfrac{1}{\sqrt2}(|0\rangle+|1\rangle)$的叠加态，而CNOT门可以将两个量子比特的状态进行相互作用和交换。

幺正性的保持与强制，保证了量子计算中信息的完整性和可逆性。

这种可逆性在经典计算中是一种很难实现的性质，但在量子计算中，却是一种天然的特性。

相位不变性相位不变性是量子计算中的又一个重要概念。

量子计算中的相位不变性是指，系统状态的演化是与初始相位无关的，因此，相位可以随意选择。

这种相位不变性实质上是产生了量子计算中的相对相位，相对相位不影响量子状态的观测结果，但却可以影响量子算法和量子比特操作的设计。

例如，在量子搜索算法中，量子比特通过哈达玛变换将$|0\rangle$ or $|1\rangle$的状态变换为一个初始的叠加态$|+\rangle$，而通过旋转门的相对相位控制，可以控制这个叠加态的幅度，进而影响整个搜索过程的效率。

对于相对相位的控制，量子计算中有一系列常用的方法，例如相位旋转、相对相位旋转、全局相位旋转等，这些方法都会影响到量子比特的状态演化和系统的量子态。