[集合与常用逻辑用语]常用逻辑用语知识梳理

集合与常用逻辑用语，推理与证明，算法，复数，坐标系与参数方程知识点梳理一．集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：____________、________、__________.(2)元素与集合的关系是_____或_______两种，用符号____或_____表示.(3)集合的表示法：列举法、描述法.(4)常见数集的记法2.A∪B＝{_________}A∩B＝{_____________}∁A＝{_________}(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为____个，非空子集个数为______个，真子集有_________个.(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.[方法与技巧]1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检¬验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.[失误与防范]1.解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算.2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.二．命题及其关系。

充分条件与必要条件1.四种命题及相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们______的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)如果p⇒q，则p是q的_____条件，同时q是p的________条件；(2)如果p⇒q，但q⇏p，则p是q________________条件；(3)如果p⇒q，且q⇒p，则p是q的____________条件；(4)如果q⇒p，且p⇏q，则p是q的______________条件；(5)如果p⇏q，且q⇏p，则p是q的既不充分又不必要条件.[方法与技巧]1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定.2.充要条件的几种判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假.(2)等价法：即利用A⇒B与¬B⇒¬A；B⇒A与¬A⇒¬B；A⇔B与B⇔A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}：若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A真包含于B，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件.[失误与防范]1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.2.判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式.3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.三简单的逻辑联结词.全称量词与存在量词1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等.(2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等.2.全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题.(2)含有存在量词的命题叫特称命题.3.命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.(2)p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.4.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词.(2)简单复合命题的真值表：[方法与技巧]1.把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解.2.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”.[失误与防范]1.p或q为真命题，只需p、q有一个为真即可；p且q为真命题，必须p、q同时为真.2.两种形式命题的否定p或q的否定：非p且非q；p且q的否定：非p或非q.3.命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.四．归纳与类比1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a、b、c∈M且a、b、c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．[方法与技巧]1．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想2．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理方法，是由一般到特殊的推理．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．[失误与防范]1．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．3．合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据．五．综合法与分析法。

集合与常用逻辑用语一、集合1、特定集合的表示①自然数集：N ②正整数集：+N③整数集：Z ④有理数集：Q⑤实数集：R ⑥正实数集：+R2、集合之间的关系①子集：A⊆B⇔ x∈A⇒x∈B。

真子集：A B⇔A⊆B且A≠B。

集合相等：A=B⇔A⊆B且B⊆A。

②空集是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集。

③n个元素的集合有n2个子集；n个元素的集合有12-n个真子集。

3、集合的运算关系①交集：A∩B⇔x∈A且x∈B。

并集：A∪B⇔x∈A或x∈B。

补集：ACU⇔x∈U且x∉A。

②基本性质：A∩∅=∅；A∪∅=A；A∩B=A⇔A⊆B；A∪B=A⇔B⊆A。

③容斥原理：Card(A)+Card(B)=Card(A∩B)+Card(A∪B)；Card(A)+Card(B)+Card(C)=Card(A∪B∪C)+Card(A∩B)+Card(B∩C) +Card(C∩A)-Card(A∩B∩C)。

④德摩根定律：(ACU )∩(BCU)=)(BACU⋃；(ACU)∪(BCU)=)(BACU⋂。

⑤其它性质：若{a1,a2…a m}⊆A⊆{a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合A的个数为m n-2。

若{a1,a2…a m}∪B={a1,a2…a m,a m+1…a n}，则集合B的个数为m2。

二、常用逻辑用语1、量词①全称量词：∀。

含有全称量词的命题为全称命题：∀x ∈M ，p(x)。

②存在量词：∃。

含有存在量词的命题为存在性命题：∃x ∈M ，p(x)。

2、基本逻辑连结词①∧(且)：若p 、q 全真，则p ∧q 为真；若p 、q 一真一假，则p ∧q 为假。

②∨(或)：若p 、q 至少一真，则p ∧q 为真；若p 、q 全假，则p ∧q 为假。

③⌝(非)：若p 真则p ⌝假；若p 假则p ⌝真。

㈠正面叙述的否定：都是→不都是；任意的→某个；任意n 个→某n 个；所有的→某些； 至多有n 个→至少有n+1个；至少有n 个→至多有n-1个；至少有一个→一个也没有。

集合与常用逻辑用语一、知识总结1、集合（1）元素与集合：①集合元素的特征性： 、 、 ；②元素与集合的关系：元素与集合之间的关系有 和 两种，表示符号分别为 和 ；③常见集合的符号表示：自然数集 、正整数集 、整数集 、有理数集 、实数集（R ）；④集合的表示方法 、 、 。

（2）集合与集合间的关系：①如果集合A 中 元素都是集合B 的元素，则A 叫做B 的子集；空集φ，它是任何非空集合的 ；②若B A ⊆，且A B ⊆，则 。

（3）集合的运算：设A 、B 是两个集合，全集为U ，则{}B x A x x B A ∈∈=且I ，{}B x A x x B A ∈∈=或Y ，{}A x U x x A C U ∉∈=且。

若B A ⊆，则A B A =I ，B B A =Y 。

2、命题及其关系、充分条件与必要条件 （1）命题的概念：在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中的语句叫真命题， 的语句叫假命题。

（2)四中命题及其关系：用q p 和分别表示原命题的条件和结论，用p ⌝和q ⌝分别表示两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，是等价关系。

两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。

（3）充分条件与必要条件：①如果q p ⇒，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；若q p ⇔，则p 是q 的 。

②若p 不能推出q ，且q 不能推出p ，则p 是q 的 . 3、逻辑连接词与量词（1）逻辑连接词：①用联结词“且”联结命题p 和命题q ，记作 ，读作“p 且q ”。

②用联结词“或”联结命题p 和命题q ，记作 读作“p 或q ”。

③对一个命题p 全盘否定记作 读作“非p ”或“p 的否定”。

（2）全称量词与存在量词：①全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“ ”表示。

存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“ ”表示。

②含有全称量词的命题，叫做 ；“对M 中任意一个x ，有()x p 成立”可用符号简记为： 。

集合与常用逻辑用语知识点汇总知识点一集合的概念与运算（一）、集合的基本概念1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和∉.3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z；自然数集记作N；正整数集记作*N或N .+A B（四）、集合关系与运算的重要结论1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有-1个.n2n22.传递性：A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .3.A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ； A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .4.∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ) .知识点二 命题及其关系、充分条件与必要条件（一）、命题的定义可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（二）、四种命题及其相互关系 1.四种命题间的关系2.四种命题的真假关系（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. （2）两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性无关. （三）、充分条件、必要条件与充要条件的定义1.若p q ；则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

2.若p q 且q p,则p 是q 的充要条件。

3.若有p q ，无q p ,则称p 是q 的充分不必要条件。

4.若有q p , 无p q ,则称p 是q 的必要不充分条件。

5.若无p q 且无q p,则p 是q 的非充分非必要条件。

（四）、充分、必要、充要条件的判断方法1.定义法根据p q ，q p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题。

2.转化法根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断、定义的命题转化为其逆否命题再进行判断，适用于条件和结论带有否定词语的命⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒题。

3.集合法根据p、q成立对象的集合间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母范围的推断问题。

第一章集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用表示元素三大性质：，，．2集合：一些元素组成的叫做集合，简称集，用表示．3集合相等：两个集合BA,的一样，记作BA=．4元素与集合的关系：属于:a A; 不属于：a A．5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集．6集合的表示方法：①列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；①描述法：把集合中所有具有共同特征)P的元素x所组成的集合表示为(x的方法；①图示法(Venn图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．7集合间的基本关系：子集：真子集：8空集：不含任何元素的集合，用表示;空集的性质，空集是任何集合的，是任何的真子集．9集合的基本运算：并集；交集；补集(U为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素)．运算性质：A∪B=B⇔; A∩B=A⇔; A∪∅=;A∩∅=; C U(C U A)=; C U∅=; C U U=;(C U A)∩(C U B)=; (C U A)∪(C U B)=;10充分条件与必要条件：p⇒，称p是q的充分条一般地，“若p，则q”为真命题，p可以推出q，记作q件，q是p的必要条件；p是q的条件的四种类型：若则p是q的充分不必要条件；若则p是q的必要充分不条件；若则p是q的充要条件；若则p是q的既不充分也不必要条件．11全称量词及全称量词命题：短语，在逻辑中叫做全称量词，并用符号表示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语，在逻辑中叫做存在量词，并用符号表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否定：全称量词命题的否定是；存在量词命题的否定是．库尔勒市第四中学。

用逻辑用语2023-11-07CATALOGUE目录•集合与常用逻辑用语概述•集合的表示方法与集合之间的关系•常用逻辑用语的基本概念和基本逻辑关系•常用逻辑用语的基本推理形式和方法•集合的常用逻辑用语在实际应用中的案例分析•总结与展望01集合与常用逻辑用语概述什么是集合集合的特性确定性：集合中的元素是确定的，不存在模糊的边界。

无序性：集合中的元素没有固定的顺序。

互异性：集合中的元素是互不相同的，没有重复的元素。

定义：集合是由一组具有共同特征的元素组成的，这些元素可以是具体的也可以是抽象的。

集合的常用逻辑用语定义子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合就是另一个集合的子集。

符号表示为A ⊆B。

并集如果一个集合包含了两个或多个其他集合的所有元素，那么这个集合是这些集合的并集。

符号表示为A∪B。

补集如果一个集合的所有元素都不在另一个集合中，那么这个集合是另一个集合的补集。

符号表示为Ac。

集合符号通常用大写字母A、B、C等表示集合，并用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。

真子集如果一个集合是另一个集合的子集，并且它们不相等，那么这个集合是真子集。

符号表示为A ⊄B。

交集如果一个集合只包含两个或多个其他集合的公共元素，那么这个集合是这些集合的交集。

符号表示为A∩B。

010203040506通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以更清晰地描述现实世界中的各种概念和现象。

描述组织推导使用集合的常用逻辑用语可以帮助我们组织和分类信息，以便更好地理解和处理数据。

通过使用集合的常用逻辑用语，我们可以进行逻辑推理和推导，从而得出新的结论和发现。

03集合的常用逻辑用语的作用020102集合的表示方法与集合之间的关系将集合中的元素一一列举出来，例如{1, 2, 3, 4, 5}。

列举法用概括性的语言描述集合中的元素，例如{x|x是矩形}。

描述法用特定的符号表示集合，例如A={1, 2, 3}, B={4, 5, 6}。

第一章集合与常用逻辑用语1.集合与元素(1)概念：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。

构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）（2）集合中元素的特征：1确定性：作为一个集合，必须是确定的2互异性：集合中的元素必须是互异的3无序性：集合与其中元素的排列顺序无关（3）元素与集合的两种关系：（属于）（不属于）（4）集合的分类：有限集，无限集，空集（5）常用的数集及其表示符号名称非负整数集（自然数集）正整数集整数集有理数集实数集符号N N+N＊Z Q R （6）集合的表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn图）2.集合间的基本关系关系自然语言符号表示图示子集集合 A 中的任意一个元素都在集（或A）A BB BA 合B 中（即 x A，则 x B）真子集集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B A BBA 中至少有一个元素不在集合 A 中等集集合 A ，B 中的元素完全相同或集A=BA（B）合 A，B 互为子集交集由属于集合 A 且属于集合 B 的所有 A ∩B={x ｜x∈A B元素组成的集合A，且 x ∈B}并集由所有属于集合 A 或属于集合 B A ∪B={x ｜x∈A B的元素组成的集合A，或 x∈B}补集由全集 U 中不属于集合 A 的所有U A={x ｜x∈U，UA且 x≠A} ．元素组成的集合3.集合间基本关系的几个结论（1）空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集（2）任何一个集合都是它本身的子集， A A。

空集只有一个子集，即它本身。

（3）集合的子集和真子集具有传递性：若A B，B C，则A C；若A B，B C，则A C（4）含有 n 个元素的集合有2n个子集，有2n -1 真子集，有2n -1 非空子集，有2n-2个非空真子集。

4.逻辑联结词（1）命题：可以判断真假的语句叫命题。

正确的叫真命题，错误的叫假命题。

1.在解题时经常用到集合元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确.2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.4.充分、必要条件与集合的关系，p ，q 成立的对象构成的集合分别为A 和B .(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.(2)若A ⊂≠B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.(3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件.高一数学单元知识梳理：集合与常用逻辑用语5.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.6.要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是特称命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题的区别；否定的规律是“改量词，否结论”.一、数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养．主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系．在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.【典例1】(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )A ．1B ．3C ．5D ．9(2)若－3∈{x －2，2x 2＋5x ，12}，则x ＝________．【答案】(1)C (2)－23 【解析】(1)①当x ＝0时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为0，－1，－2；②当x ＝1时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为1，0，－1；③当x ＝2时，y ＝0，1，2，此时x －y 的值分别为2，1，0.综上可知，x －y 的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.(2)由题意知，x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3.①当x －2＝－3时，x ＝－1.把x ＝－1代入，得集合的三个元素为－3，－3，12，不满足集合中元素的互异性；②当2x 2＋5x ＝－3时，x ＝－23或x ＝－1(舍去)， 当x ＝－23时，集合的三个元素为－27，－3，12，满足集合中元素的互异性，由①②知x ＝－23.二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果．在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算中.【典例2】(1)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0}C．{1，3} D．{1，5}(2)若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}【答案】(1)C(2)A【解析】(1)由A∩B＝{1}得1∈B，所以m＝3，B＝{1，3}．(2)A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．(3)已知集合A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．①求A∪B，(∁R A)∩B；②若A∩C≠∅，求a的取值范围．【解析】①因为A＝{x|2≤x＜7}，B＝{x|3＜x＜10}，所以A∪B＝{x|2≤x＜10}．因为A＝{x|2≤x＜7}，所以∁R A＝{x|x＜2或x≥7}，则(∁R A)∩B＝{x|7≤x＜10}．②因为A＝{x|2≤x＜7}，C＝{x|x＜a}，且A∩C≠∅，所以a＞2，所以a的取值范围是{a|a＞2}．三、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流．本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词命题中.【典例3】(1)集合A＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋3，b∈R}，则下列关系正确的是()A．A＝B B．B AC．A⊆B D．B A(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是()A．{a|0＜a＜4} B．{a|－8＜a＜4}C．{a|a≥4} D．{a|a＞4}【答案】(1)B(2)C【解析】(1)A＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}，即A中的元素x≥1；而B＝{y|y＝(2b＋1)2＋2，b∈R}，即B中的元素y≥2，∴B A.(2)在数轴上标出A，B两集合如图所示，结合数轴知，若A⊆B，则a≥4.【典例4】设x∈R，则“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由－1≤x－1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“－1≤x－1≤1”的必要不充分条件，故选B.【典例5】若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出满足下列条件的式子，用序号填空：(1)使a ，b 都为0的必要条件是________；(2)使a ，b 都不为0的充分条件是________；(3)使a ，b 至少有一个为0的充要条件是________．【答案】(1)①②③ (2)④ (3)①8【解析】①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正数一负数；③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0，b 为任意实数；④ab ＞0⇔⎩⎨⎧>>00b a 或⎩⎨⎧<<00b a 即a ，b 同为正数或同为负数． 综上可知：(1)使a ，b 都为0的必要条件是①②③；(2)使a ，b 都不为0的充分条件是④；(3)使a ，b 至少有一个为0的充要条件是①.【典例6】已知集合A ＝{x ∈R |2x ＋m ＜0}，B ＝{x ∈R |x ＜－1或x ＞3}．(1)是否存在实数m ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件？(2)是否存在实数m ，使得x ∈A 是x ∈B 成立的必要条件？【解析】(1)欲使x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件， 则只要}2{m x x -<⊆{x |x ＜－1或x ＞3}，则只要－2m ≤－1即m ≥2， 故存在实数m ≥2时使x ∈A 是x ∈B 成立的充分条件．(2)欲使x ∈A 是x ∈B 成立的必要条件， 则只要}2{m x x -<⊇{x |x ＜－1或x ＞3}，则这是不可能的，故不存在实数m ，使x ∈A 是x ∈B 成立的必要条件.【典例7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定：(1)空集是任何一个非空集合的真子集．(2)∀x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.(3)∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|＜2.(4)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．【解析】(1)该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集．(2)该命题是全称量词命题，是假命题．因为4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2.该命题的否定：∃x∈R，4x2≤2x－1＋3x2.(3)该命题是存在量词命题，是真命题．因为当x＝1时，|x－2|＝1＜2.该命题的否定：∀x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|≥2.(4)该命题是全称量词命题，是假命题．当a≠0时，方程ax＋b＝0才恰有一解．该命题的否定：∃a，b∈R，方程ax＋b＝0无解或至少有两解．四、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合的实际应用问题中.【典例8】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．【答案】8【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人．。

知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】一、集合及其运算1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A⊊B(或B⊋A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}【知识拓展】1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.二、命题及其关系、充分条件与必要条件1．四种命题及相互关系2．四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ⇒q ，但qp ，则p 是q 的充分不必要条件；(3)如果p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ⇒p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【知识拓展】1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ⊇B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ⊋B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ⊉B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．【易错提醒】1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝∅的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ⌝”，其否命题为“若p ⌝，则q ⌝”．6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．【必会习题】1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3 C．1或 3 D．1或3答案 B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A．{a|a≥2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}答案 A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A．{x|－3<x<5} B．{x|－5<x<5} C．{x|x<－5或x>－3} D．{x|x<－3或x>5} 答案 C解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}，故选C.4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 D解析满足题意的集合A可以为{a}，{a，b}，{a，c}，{a，b，c}，共4个．5．已知集合U＝R(R是实数集)，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x<0}，则A∪(∁U B)等于() A．[－1,0] B．[1,2] C．[0,1] D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 D解析B＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，A∪(∁U B)＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D.6．“x<0”是“ln(x＋1)<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析ln(x＋1)<0，解得0<x＋1<1，∴－1<x<0，所以“x<0”是“－1<x<0”的必要不充分条件．7．给出以下四个命题： ①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； ②若a >b ，则am 2>bm 2；③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根． 其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C8．设U 为全集，对集合A ，B 定义运算“*”，A *B ＝∁U (A ∩B )，若X ，Y ，Z 为三个集合，则(X *Y )*Z 等于( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z 答案 B解析 ∵X *Y ＝∁U (X ∩Y )，∴对于任意集合X ，Y ，Z ， ( X *Y )*Z ＝∁U (X ∩Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝(X ∩Y )∪∁U Z .9．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞) 解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5， ∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.10．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ， ∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．11．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3；∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.。