专题2.4 幂函数与二次函数-2021届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(解析版)

第4讲幂函数与二次函数基础知识整合1．幂函数（1)定义:形如□01y＝xα的函数称为幂函数,其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2,y＝x3,y＝x错误!，y＝x－1.（2）常见的5种幂函数的图象(3）性质①幂函数在（0，＋∞）上都有定义．②当α〉0时，幂函数的图象都过点(1,1）和(0，0），且在(0，＋∞)上单调递增．③当α〈0时，幂函数的图象都过点（1,1）,且在（0,＋∞）上单调递减．2．二次函数的图象和性质解析f(x）＝ax2＋bx＋c(a〉0)f(x）＝ax2＋bx＋c(a<0)式图象定义域（－∞，＋∞）(－∞，＋∞)值域错误!错误!错误!错误!单调性在x∈错误!上单调递减;在x∈错误!错误!上单调递增在x∈错误!错误!上单调递增；在x∈错误!上单调递减对称性函数的图象关于x＝－错误!对称1．幂函数图象特征(1）在(0，1)上，幂函数中指数越大,函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”）;(2)在（1，＋∞）上，幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴．2．二次函数解析式的三种形式（1）一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0)．（2）顶点式:f（x)＝a(x－m）2＋n（a≠0)．（3)两根式:f（x)＝a(x－x1)（x－x2)（a≠0)．3．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c〉0（a≠0)恒成立”的充要条件是“a〉0且Δ〈0"．(2)“ax2＋bx＋c〈0(a≠0)恒成立"的充要条件是“a〈0且Δ〈0”．4．二次函数的对称轴二次函数y＝f（x)对定义域内的所有x，都有f(a＋x）＝f（a－x)成立的充要条件是函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称（a为常数）．5．设f(x)＝ax2＋bx＋c（a>0)，则二次函数在闭区间［m,n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b2a∈［m，n],则f(x)max＝max{f(m)，f（n）｝，f（x）min＝f错误!。

§2.4幂函数与二次函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较2.二次函数的图象和性质概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．提示a>0且Δ≤0.3．函数y＝2x2是幂函数吗？提示不是．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 24a.( × ) (2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ )(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )(4)二次函数y ＝x 2＋mx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m ≥－2.( √ )题组二 教材改编2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 C解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，22＝k ·⎝⎛⎭⎫12α. ∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝32.3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3] C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]答案 D解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧， ∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.4．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________．最小值为________． 答案 6 2解析 f (x )＝(x －1)2＋2,0≤x ≤3，∴x ＝1时，f (x )min ＝2，x ＝3时，f (x )max ＝6.题组三 易错自纠 5．幂函数f (x )＝21023a a x－＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 C解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2， f (x )＝25)2(a x－－(a ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝12，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，∴f (m －1)>0.7.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b ________0，ac ________0，a －b ＋c ________0.答案><<解析∵a<0，－b2a>0，c>0，∴b>0，ac<0. 设y＝f (x)＝ax2＋bx＋c，则a－b＋c＝f (－1)<0.幂函数的图象和性质1．(2019·武汉模拟)若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(－∞，0)答案 D解析 设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D. 2.幂函数223m m y x－－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则实数m 的值为( )A ．3B ．0C ．1D ．2答案 C解析 ∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.∵m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.而当m ＝0或2时，f (x )＝x －3为奇函数，当m ＝1时，f (x )＝x－4为偶函数．∴m ＝1.3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.4．若11--33(+1)<(3-2)a a ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32解析 不等式11--33(+1)<(3-2)a a 等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．求二次函数的解析式例1 (1)已知二次函数f (x)＝x2－bx＋c满足f (0)＝3，对∀x∈R，都有f (1＋x)＝f (1－x)成立，则f (x)的解析式为________________．答案 f (x)＝x2－2x＋3解析由f (0)＝3，得c＝3，又f (1＋x)＝f (1－x)，∴函数f (x)的图象关于直线x＝1对称，∴b2＝1，∴b＝2，∴f (x)＝x2－2x＋3.(2)已知二次函数f (x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f (x)的最小值为f (－1)＝0，则f (x)＝________.答案x2＋2x＋1解析设函数f (x)的解析式为f (x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f (x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，b＝2a＝2，故f (x)＝x2＋2x＋1.思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练1 (1)(2020·青岛模拟)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝______. 答案 x 2＋2x解析 设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a 24a＝－1， 得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .(2)二次函数f (x )满足f (2)＝f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则f (x )＝________. 答案 －4x 2＋4x ＋7 解析 方法一 (利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 (利用顶点式) 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.又根据题意函数有最大值8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 二次函数的图象和性质命题点1 二次函数的图象例2 (1)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析 若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，故可排除A ；若a <0，一次函数y ＝ax ＋b 为减函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，故可排除D ；对于选项B ，看直线可知a >0，b >0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B ，选C.(2)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，已知图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b . 其中正确的是________．(填序号)答案 ①④解析 图象与x 轴交于两点，∴b 2>4ac ，①正确；对称轴为直线x ＝－1，∴－b2a＝－1，即2a －b ＝0，②错误；f (－1)>0，∴a －b ＋c >0，③错误；开口向下，a <0，b ＝2a ，∴5a <2a ＝b ，④正确，故正确的结论是①④. 命题点2 二次函数的单调性例3 (1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－3] C ．[－2,0] D ．[－3,0]答案 D解析 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________. 答案 －3解析 由题意知f (x )必为二次函数且a <0， 又3－a2a＝－1，∴a ＝－3. (2)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的最小值为f (1)，则f (2)，f ⎝⎛⎭⎫－32，f (3)的大小关系是( )A ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32<f (3) B ．f ⎝⎛⎭⎫－32<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫－32 D ．f (2)<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－32 答案 D解析 由已知可得二次函数f (x )图象开口向上，对称轴为x ＝1， ∵⎪⎪⎪⎪－32－1>|3－1|>|2－1|， ∴f (2)<f (3)<f ⎝⎛⎭⎫－32. 命题点3 二次函数的值域、最值例4 (2019·福州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则函数f (x )的图象可能是( )答案 D解析 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.(2)若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2)答案 A解析 二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2，当k <0时，2k <0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．(3)设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数， 所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数， 所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，当t ≤0时，f (x )min ＝t 2＋1，当0<t <1时，f (x )min ＝1，当t ≥1时，f (x )min ＝t 2－2t ＋2.例 (1)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 由题意知2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，符合题意，a ∈R ； 当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，不等号右边式子取最小值12，所以a <12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. (2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x －2(a >1)，若在区间[－1,1]上 f (x )≤8恒成立，则实数a 的最大值为________． 答案 2解析 令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a ≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 显然g (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8成立， 所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2， 又a >1，所以1<a ≤2， 所以a 的最大值为2.(3)(2019·河北武邑调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，－2)解析 由题意知f (x )在R 上是增函数，结合f (－4t )>f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，知－4t >2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立，∴mt 2＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16－8m 2<0⇒m ∈(－∞，－2)．素养提升 逻辑推理是指从一些事实命题出发，依据逻辑规则推出另一个命题的思维过程，逻辑推理也是我们解决数学问题最常用、最重要的手段．二次函数的恒成立问题的求解中处处渗透了逻辑推理，此类题目可帮助我们养成严谨、缜密的思维习惯．。

2021届高考数学（理）考点复习幂函数与二次函数1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象性质定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性 奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R 上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 RR值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增；在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于直线x ＝－b2a对称概念方法微思考1．二次函数的解析式有哪些常用形式？ 提示 (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，写出f (x )≥0恒成立的条件． 提示 a >0且Δ≤0.3．函数y ＝2x 2是幂函数吗？ 提示 不是．1．（2016•新课标Ⅲ）已知432a =，254b =，1325c =，则( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】423324a ==， 2244255534(2)22b a ===<<，1233242554233c a ==>==，综上可得：b a c <<， 故选A ．2．（2015•北京）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量（升) 加油时的累计里程（千米） 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A ．6升B ．8升C ．10升D ．12升【答案】B【解析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量4868÷=； 故选B ．3．（2017•浙江）若函数2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则(M m -)A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】函数2()f x x ax b =++的图象是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线，①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[0，1]上单调， 此时|M m f -=（1）(0)||1|f a -=+， 故M m -的值与a 有关，与b 无关 ②当1122a-，即21a --时， 函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a-，1]上递增，且(0)f f >（1），此时2(0)()24a a M m f f -=--=，故M m -的值与a 有关，与b 无关 ③当1022a -<，即10a -<时， 函数()f x 在区间[0，]2a -上递减，在[2a-，1]上递增，且(0)f f <（1），此时M m f -=（1）2()124a a f a --=++，故M m -的值与a 有关，与b 无关 综上可得：M m -的值与a 有关，与b 无关 故选B ．4．（2017•上海）函数2()(1)f x x =-的单调递增区间是( ) A ．[0，)+∞ B ．[1，)+∞ C ．(-∞，0] D ．(-∞，1]【答案】B【解析】函数()f x 的对称轴是1x =，开口向上， 故()f x 在[1，)+∞递增， 故选B ．5．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-，若函数2|23|y x x =--与()y f x =图象的交点为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，⋯，(m x ，)m y ，则1(mi i x ==∑ )A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】B【解析】函数()()f x x R ∈满足()(2)f x f x =-， 故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，函数2|23|y x x =--的图象也关于直线1x =对称，故函数2|23|y x x =--与()y f x = 图象的交点也关于直线1x =对称， 故122mi i mx m ==⨯=∑， 故选B ．6．（2018•上海）已知{2α∈-，1-，11,22-，1，2，3}，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则α=__________． 【答案】1-【解析】{2α∈-，1-，11,22-，1，2，3}，幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上递减， a ∴是奇数，且0a <，1a ∴=-．故答案为：1-．7．（2019•上海）如图，已知正方形OABC ，其中(1)OA a a =>，函数23y x =交BC 于点P ，函数12y x-=交AB 于点Q ，当||||AQ CP +最小时，则a 的值为__________．3【解析】由题意得：P 点坐标为(3a ，)a ，Q 点坐标为1()a a ，11||||233a AQ CP a+=，当且仅当3a = 38．（2016•上海）函数221y x x =-+在区间[0，]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】12m 【解析】22()21(1)f x x x x =-+=-，∴对称轴1x =，f ∴（1）0=，f （2）1=，(0)1f =，2()21f x x x =-+在区间[0，]m 上的最大值为1，最小值为0， ∴21()(1)1m f m m ⎧⎨=-⎩，12m ∴， 故答案为：12m ．1．（2020•重庆模拟）已知点1(2,)8在幂函数()n f x x =的图象上，设3(a f =，()b f ln π=，2(2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．a c b <<【答案】C【解析】点1(2,)8在幂函数()n f x x =的图象上，∴128n =，3n ∴=-， ∴幂函数331()f x x x -==，在(0,)+∞上单调递减， 又321ln π<<<， ∴32((()f f f ln π>>，即a c b >>， 故选C ．2．（2020•三明模拟）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x t =-，对于任意1[1x ∈，5)时，总存在2[1x ∈，5)使得12()()f x g x =，则t 的取值范围是( ) A ．∅ B ．7t 或1t C ．7t >或t l < D ．17t【答案】D【解析】幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，∴22(1)1420m m m ⎧-=⎨-+>⎩，解得0m =，2()f x x ∴=，当1[1x ∈，5)时，1()[1f x ∈，25)，设集合[1A =，25)，又当2[1x ∈，5)时，2()[2g x t ∈-，32)t -，设集合[2B t =-，32)t -， 由题意得：A B ⊆，∴213225t t -⎧⎨-⎩，解得：17t ，故选D ．3．（2020•武昌区模拟）已知点(,8)m 在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设()ma f n=，()b f ln π=，()c f n =，则( )A ．b a c <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】B【解析】由幂函数的定义可知，11m -=，2m ∴=，∴点(2,8)在幂函数()n f x x =上，28n ∴=，3n ∴=，∴幂函数解析式为3()f x x =，在R 上单调递增，23m n =，13ln π<<，3n =， ∴mln n nπ<<， a b c ∴<<，故选B ．4．（2020•金安区校级模拟）已知幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2-，]n 上的奇函数，设2(sin)7a f π=，2(cos )7b f π=，2(tan )7c f π=，则( )A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A【解析】根据幂函数1()n f x mx +=是定义在区间[2-，]n 上的奇函数， 得1m =，且20n -+=，解得2n =；3()f x x ∴=，且在定义域R 上是单调增函数； 又20472πππ<<<， 222cossin 1tan777πππ∴<<<， 222(cos)(sin )(tan )777f f f πππ∴<<， 即b a c <<． 故选A ．5．（2020•B 卷模拟）已知幂函数()y f x =的图象经过点(4,2)，则f （2）(= ) A ．14B ．4C 2D 2【答案】D【解析】设()a f x x =，因为幂函数图象过(4,2)， 则有24a=，12a ∴=，即12()f x x =，f ∴（2）1222==故选D ．6．（2020•江门模拟）若函数()f x 是幂函数，且满足(4)3(2)f f =，则1()2f 的值为( ) A ．3- B ．13-C ．3D ．13【答案】D【解析】设()(f x x αα=为常数），满足(4)3(2)f f =，∴432αα=，2log 3α∴=．∴23()log f x x =．则2311()223log f -==．故选D ．7．（2020•福田区校级模拟）已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于( ) A ．12±B ．22±C ．2D ．2±【答案】B【解析】函数1()(21)a g x a x +=-是幂函数， 211a ∴-=，解得1a =，2()g x x ∴=；令0x b -=，解得x b =，∴函数1()2x b f x m -=-的图象经过定点1(,)2b ，212b ∴=，解得2b =．故选B ．8．（2013秋•鹰潭期末）对于幂函数45()f x x =，若120x x <<，则12()2x x f +，12()()2f x f x +大小关系是( ) A ．1212()()()22x x f x f x f ++>B ．1212()()()22x x f x f x f ++<C ．1212()()()22x x f x f x f ++=D ．无法确定 【答案】A【解析】幂函数45()f x x =在(0,)+∞上是增函数，图象是上凸的，∴当120x x <<时，应有1212()()()22x x f x f x f ++>． 故选A ．9．（2018•保定一模）已知函数()f x 既是二次函数又是幂函数，函数()g x 是R 上的奇函数，函数()()1()1g x h x f x =++，则(2018)(2017)(2016)h h h h +++⋯+（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)(h h h h h ++-+⋯-+-+-= )A ．0B ．2018C ．4036D ．4037【答案】D【解析】函数()f x 既是二次函数又是幂函数，2()f x x ∴=，()1f x ∴+为偶函数； 函数()g x 是R 上的奇函数， ()()()1g x m x f x =+为定义域R 上的奇函数；函数()()1()1g x h x f x =++，()()()()()()[1][1][]22()1()1()1()1g x g x g x g x h x h x f x f x f x f x --∴+-=+++=++=+-+++，(2018)(2017)(2016)h h h h ∴+++⋯+（1）(0)(1)(2016)(2017)(2018)h h h h h ++-+⋯+-+-+- [(2018)(2018)][(2017)(2017)][h h h h h =+-++-+⋯+（1）(1)](0)h h +-+ 2221=++⋯++ 220181=⨯+4037=．故选D ．10．（2019•大武口区校级三模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，设32(),(),(a f b f ln c f π===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【解析】由点(2,8)在幂函数()n f x x =的图象上，得82n =，即3n =．3()f x x ∴=，单调递增， 又1ln π>321<， a c b ∴<<．故选A ．11．（2019•陕西二模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上，设0.51(())2a f =，0.2(2)b f =，21(log )2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上， f ∴（2）28n ==，解得3n =，3()f x x ∴=， 0.5 1.5 1.511(())()222a f -===，0.20.6(2)2b f ==，321(log )(1)(1)12c f f ==-=-=-，a ∴，b ，c 的大小关系为b a c >>．故选A ．12．（2019•陕西二模）已知点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上，设0.30.212455(()),(()),(log )544a fb fc f ===，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b a c >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A【解析】点(2,8)在幂函数()n f x x =图象上， f ∴（2）28n ==，解得3n =，3()f x x ∴=， 设0.30.212455(()),(()),(log )544a fb fc f ===，∴0.330.904444[()]()()15555a <==<=，0.230.605555[()]()()14444b >==>=， 3311225()(log 1)04c log =<=，a ∴，b ，c 的大小关系是b a c >>．故选A ．13．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数2()(33)m f x m m x =--在(0,)+∞上为增函数，则实数(m =) A ．4 B ．1- C ．2 D ．1-或4【答案】A【解析】幂函数2()(33)m f x m m x =--在(0,)+∞上为增函数， 所以2331m m --=，并且0m >， 解得4m =． 故选A ．14．（2019•西城区模拟）函数2y x -=在区间上1[2，2]的最大值是( )A ．14B ．1-C ．4D ．4-【答案】C【解析】函数2y x -=在第一象限是减函数，∴函数2y x -=在区间1[2，2]上的最大值是211()()422f -==．故选C ．15．（2019•西湖区校级模拟）幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)，那么函数()f x 的单调递增区间是()A ．(2,)-+∞B ．[1-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C【解析】幂函数()f x x α=的图象过点(2,4)， 所以42α=，即2α=，所以幂函数为2()f x x = 它的单调递增区间是：[0，)+∞ 故选C ．16．（2017•长沙一模）已知函数12()f x x =，则( ) A ．0x R ∃∈，使得()0f x < B ．[0x ∀∈，)+∞，()0f x C ．1x ∃，2[0x ∈，)+∞，使得1212()()0f x f x x x -<-D ．1[0x ∀∈，)+∞，2[0x ∃∈，)+∞使得12()()f x f x > 【答案】B【解析】由函数12()f x x =，知： 在A 中，()0f x 恒成立，故A 错误； 在B 中，[(0,)x ∀+∞，()0f x ，故B 正确； 在C 中，1x ∃，2[0x ∈，)+∞，使得1212()()0f x f x x x ->-，故C 错误；在D 中，当10x =时，不存在2[0x ∈，)+∞使得12()()f x f x >，故D 不成立． 故选B ．17．（2019•西湖区校级模拟）若11222(21)(1)m m m +>+-，则实数m 的取值范围是( ) A ．(-∞51-- B ．51[-，)+∞ C ．(1,2)- D ．51[-，2) 【答案】D【解析】考察幂函数12y x =，它在[0，)+∞上是增函数， 11222(21)(1)m m m +>+-， 22110m m m ∴+>+-，解得，51[x -∈，2)． 故选D ．18．（2020•海南模拟）已知函数2()5f x x mx =-+在(2,)+∞上单调递增，则m 的取值范围为( ) A ．[4，)+∞ B ．[2，)+∞ C ．(-∞，4] D ．(-∞，2]【答案】C【解析】函数2()5f x x mx =-+的对称轴为2mx =， 函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，∴22m，解得4m ， 故选C ．19．（2019•西湖区校级模拟）若函数2()8f x x kx =+-在区间[2-，3]上是减函数，则( ) A ．6k - B ．6k - C ．4k D ．4k【答案】【解析】由2()8f x x kx =+-，抛物线开口向上，对称轴22b kx a =-=-， 若()f x 在区间[2-，3]上是减函数，则32k-，即6k -， 故选A ．20．（2019•西湖区校级模拟）二次函数2()y ax bx c x R =++∈的部分对应值如表：x3- 2-1- 0 1 2 3 4 y64-6-6-4-6则不等式20ax bx c ++>的解集是( ) A ．(-∞，6)(6--，)+∞ B ．(-∞，2)3-，)+∞ C ．(2,3)- D ．(6,)-+∞【答案】B【解析】由表格中的数据可得，122b a -=， 又(2)f f -=（3）0=，且在对称轴左边为减函数，右边为增函数，∴不等式20ax bx c ++>的解集是(-∞，2)3-，)+∞．故选B ．21．（2019•西湖区校级模拟）设函数22()f x x mx n =++，22()(4)24g x x m x n m =+++++，其中x R ∈，若对任意的t R ∈，()f t ，()g t 至少有一个为非负值，则实数m 的最大值是( )A ．1B 2C ．2D 5【答案】C【解析】222221()()24m f x x mx n x n m =++=++-， 2222241()(4)24()24m g x x m x n m x n m +=+++++=++-，根据二次函数的图象与性质可知，若对任意的n ，t R ∈，()f t 和()g t 至少有一个为非负值， 只需两个函数图象交点处的函数值大于等于0即可， 由()()f x g x =，可得22m x +=-， 所以22224()()0224m m m f g n ++--=-=+，解得222121n m n -++ 所以0n =时m 取得最大值为2． 故选C ．22．（2020•静安区二模）若幂函数()y f x =的图象经过点1(,2)8，则1()8f -的值为__________．【答案】2-【解析】设幂函数为：y x α= 幂函数的图象经过点1(8，2)，312()28αα-∴==；13α∴=-；13y x -∴=；则1()8f -的值为：113331()(2)28----=-=-．故答案为：2-．23．（2020•吉林模拟）93(,)42M 是幂函数()n f x x =图象上的点，将()f x 的图象向右平移2个单位长度，再向上平移32个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若点(n T n ，*)(m n N ∈，且2)n 在()g x 的图象上，则239||||||MT MT MT ++⋯+=__________． 【答案】30 【解析】由39()24n=，解得12n =．()f x x ∴=可得：3()22g x x -， 点(n T n ，*)(m n N ∈，且2)n 在()g x 的图象上，322m n ∴=-+． 23()22m n -=-，3()2m ．抛物线23()22y x -=-的焦点9(4M ，3)2，准线方程为17244x =-=．根据抛物线的性质可得：7||4n MT n =-， 则239777(29)87||||||23983044424MT MT MT +⨯++⋯+=-+-+⋯⋯+-=-⨯=． 故答案为：30．24．（2020•攀枝花模拟）已知幂函数(,)n y mx m n R =∈的图象经过点(4,2)，则m n -=__________． 【答案】12【解析】函数(,)n y mx m n R =∈为幂函数，则1m =； 又函数y 的图象经过点(4,2)，则42n =，解得12n =； 所以11122m n -=-=． 故答案为：12． 25．（2020•郑州二模）幂函数2()(33)m f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =__________． 【答案】2【解析】函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数， 2331m m ∴-+=，解得1m =或2m =；当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去；当2m =时，函数2y x =的图象关于y 轴对称；∴实数2m =．故答案为：2．26．（2019•西湖区校级模拟）如果幂函数221(33)mm y m m x --=-+的图象不过原点，则m 的值是__________． 【答案】1【解析】幂函数221(33)m m y m m x --=-+的图象不过原点，所以2210331m m m m ⎧--⎨-+=⎩解得1m =，符合题意． 故答案为：127．（2015•黄冈模拟）已知幂函数()f x k x α=的图象过点1(22，则()k f α+=__________．【答案】212+【解析】幂函数()f x k x α=的图象过点1(22，1k ∴=，112()()22f α==， 解得12α=，2()1k f α∴+=， 故答案为：212+． 28．（2020•松原模拟）幂函数()f x x α=的图象经过点1(2,)4，则α=__________．【答案】2-【解析】幂函数()f x x α=的图象经过点1(2,)4，21224α-∴== 2α∴=-故答案为：2-．29．（2019•西湖区校级模拟）已知函数223()(2,)nn f x x n k k N -++==∈的图象在[0，)+∞上单调递增则n =__________，f （2）=__________．【答案】0，2；8 【解析】函数223()n n f x x -++=的图象在[0，)+∞上单调递增，所以2230n n -++>， 即2230n n --<， 解得13n -<<； 又2n k =，且k N ∈， 所以0n =，2， 当0n =时，3()f x x =； 当0n =时，3()f x x =； 所以f （2）328==． 故答案为：0，2；8．30．（2019•西湖区校级模拟）若幂函数()f x 的图象过点(2,8)，则f （3）=__________． 【答案】27【解析】设()a f x x =，因为幂函数图象过(2,8)， 则有82a =，3a ∴=，即3()f x x =， f ∴（3）=（3）327=故答案为：27．31．（2019•西湖区校级模拟）幂函数()f x 的图象过点427)，则()f x 的解析式是__________． 【答案】34()f x x =【解析】由题意设()a f x x =， 幂函数()f x 的图象过点427)， f ∴（3）3443273a=， 34a ∴=， 34()f x x ∴=，故答案为：34()f x x =．32．（2020•浙江模拟）已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，对一切[1x ∈-，1]，都有|()|1f x ，则当[2x ∈-，2]时，()f x 的最大值为__________． 【答案】7【解析】由题意(1)(1)(0)f a b cf a b c f c =++⎧⎪-=-+⎨⎪=⎩，有得1[(1)(1)2(0)]21[(1)(1)]2(0)a f f f b f f c f ⎧=+--⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪⎩所以()f x f =（1）222()(1)()(0)(1)22x x x xf f x +-+-+-对一切[1x ∈-，1]，都有|()|1f x 所以当21x -<-时， 222222|()|(1)(1)(0)1)|12222x x x xx x x xf x f f f x x +-+-+-+-++- 2222()()(1)21722x x x xx x +-=++-=-当12x <时，222222|()|(1)(1)(0)1)|12222x x x xx x x xf x f f f x x +-+-+-+-++- 2222()()(1)21722x x x xx x +-=++-=-综上所述，当[2x ∈-，2]时，()f x 的最大值为7．33．（2020•余姚市校级模拟）已知2()f x x ax =-，若对任意的a R ∈，存在0[0x ∈，2]，使得0|()|f x k 成立，则实数k 的最大值是__________． 【答案】1282-【解析】设2()g x x =，()h x ax =，当[0x ∈，2]时，由|()|f x 可看作函数()g x 与函数()h x 的纵向距离，当切点与端点(2,4)到直线()h x ax =纵向距离相等时，|()|f x 取得最大值的最小值，由()2g x x a '==，得2ax =，则切线方程为24a y ax =-，过端点(2,4)的平行线为24y ax a =-+，当纵向距离2244a a -+=时，即442a =-+时，纵向距离有最大值的最小值，此时纵向距离22412824a a -+==-，即1282k -．故答案为：1282-．34．（2020•江苏一模）已知函数2()(2)(8)()f x m x m x m R =-+-∈是奇函数，若对于任意的x R ∈，关于x 的不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(,1)-∞【解析】由奇函数的性质可得，()()f x f x -=-恒成立， 即22(2)(8)(2)(8)m x m x m x m x ---=----，故20m -=即2m =，此时()6f x x =-单调递减的奇函数， 由不等式2(1)f x f +<（a ）恒成立，可得21x a +>恒成立， 结合二次函数的性质可知，211x +， 所以1a <． 故答案为：(,1)-∞．35．（2020•江都区校级模拟）函数2()2(3)1f x x a x =+-+在区间(,3)-∞-上递减，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】{|6}a a 【解析】2()2(3)1f x x a x =+-+在区间(,3)-∞-上递减，33a ∴--，解可得，6a 故答案为：{|6}a a ．36．（2019•西湖区校级模拟）已知函数223()()mm f x x m Z -++=∈为偶函数，且f （3）f <（5）．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()log [()](0a g x f x ax a =->且1)a ≠在区间[2，3]上为增函数，求实数a 的取值范围． 【解析】（1）()f x 为偶函数，223m m ∴-++为偶数，又f （3）f <（5），∴22232335mm mm -++-++<，即有：2233()15m m -++<，2230m m ∴-++>，312m ∴-<<，又m Z ∈，0m ∴=或1m =． 当0m =时，2233m m -++=为奇数（舍去）， 当1m =时，2232m m -++=为偶数，符合题意． 1m ∴=，2()f x x =（2）由（1）知：()log [()]log a a g x f x ax =-= 2()x ax - (0a >且1)a ≠在区间[2，3]上为增函数．令2()u x x ax =-，log a y u =；①当1a >时，log a y u =是关于u 的增函数，只需2()u x x ax =-在区间[2，3]上为增函数． 即：2122(2)420aa u a ⎧⎪⇒<<⎨⎪=->⎩②当01a <<时，log a y u =是关于u 的减函数，只需2()u x x ax =-在区间[2，3]上为减函数． 即：32(3)930a a u a ⎧⎪⇒∈∅⎨⎪=->⎩，综上可知：a 的取值范围为：(1,2)．。

第五节幂函数与二次函数[最新考纲] 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝1x的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 12y＝x－1图象性质定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增在R上单调递增在[0，＋∞)上单调递增在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减公共(1,1)点2.二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ＜0)图象定义域 RR值域⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈上单调递减；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性 函数的图象关于直线x ＝－b2a对称 [常用结论]1．幂函数y ＝x α性质研究的方法(1)先确定幂函数的定义域(分数指数幂先转化为根式)，若对称，判定其奇偶性；(2)研究幂函数在第一象限的图象与性质：①当α＞0时，函数y ＝x α恒经过(0,0)，(1,1)；在[0，＋∞)上为增函数； ②当α＜0时，函数恒经过(1,1)；在(0，＋∞)上为减函数； (3)结合函数的奇偶性研究其它象限的图象．(4)当x ∈(0,1)时，α越大，函数值越小；当x ∈(1，＋∞)时，α越大，函数值越大．2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．3．一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”； (2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( )(3)当α＜0时，幂函数y ＝x α是定义域上的减函数． ( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数． ( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )[答案](1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、教材改编1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 C [因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.]2.如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜bD[根据幂函数的性质，可知选D.]3．已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是( )A．a≥3 B．a≤3C．a＜－3 D．a≤－3D[函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，所以－2a≥6，解得a≤－3，故选D.]4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域是________．[－1,3] [∵g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，g(x)min＝g(1)＝－1，又g(0)＝0，g(3)＝9－6＝3，∴g(x)max＝3，即g(x)的值域为[－1,3]．]考点1 幂函数的图象及性质幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.1.幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( )A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数D [设幂函数f (x )＝x α，则f (3)＝3α＝3，解得α＝12，则f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．]2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( )A ．－2B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52B [因为函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数， 所以⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3＜0，解得m ＝1.]3．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜cD [因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b ＜a ＜c .]4．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23 [易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1＜3－2a ，解得－1≤a ＜23.]在比较幂值的大小时， 必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，如T 3.考点2 求二次函数的解析式 求二次函数解析式的策略[一题多解]已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．[解] 法一：(利用二次函数的一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用二次函数的顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n .∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12，又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值y max ＝8，即4a (－2a －1)－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，故所求函数解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同．1.已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________.19x 2＋49x －59[法一：(一般式)设所求解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ －b2a＝－2，4ac －b24a ＝－1，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝19，b ＝49，c ＝－59，所以所求解析式为f (x )＝19x 2＋49x －59.法二：(顶点式)设所求解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k . 由已知得f (x )＝a (x ＋2)2－1，将点(1,0)代入，得a ＝19，所以f (x )＝19(x ＋2)2－1，即f (x )＝19x 2＋49x －59.]2．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则函数的解析式f (x )＝________.x2－4x＋3[∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.]考点3 二次函数的图象与性质解决二次函数图象与性质问题时应注意2点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．二次函数的图象已知abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )A BC DD[A项，因为a＜0，－b2a＜0，所以b＜0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故A错．B项，因为a＜0，－b2a＞0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＜0，而f(0)＝c＞0，故B错．C项，因为a＞0，－b2a＜0，所以b＞0.又因为abc＞0，所以c＞0，而f(0)＝c＜0，故C错．D项，因为a＞0，－b2a＞0，所以b＜0，因为abc＞0，所以c＜0，而f (0)＝c ＜0，故选D.]识别二次函数图象应学会“三看”二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]D [当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足题意． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎨⎧a ＜0，3－a 2a≤－1，解得－3≤a ＜0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．][母题探究] 若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________.－3 [由题意知f (x )必为二次函数且a ＜0，又3－a2a＝－1，∴a ＝－3.]二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．[解] f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ＞1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min＝⎩⎨⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.图(1) 图(2) 图(3)[逆向问题] 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．－1或2 [函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1， 所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0， 所以a ＝1±52(舍去)． 当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.]二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )＞x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)(－∞，1) [(1)作出二次函数f (x )的草图如图所示，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0，则有⎩⎨⎧ f (m )＜0，f (m ＋1)＜0，即⎩⎨⎧ m 2＋m 2－1＜0，(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0，解得－22＜m ＜0. (2)由题意得x 2＋x ＋1＞k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1.∴k ＜1.故k 的取值范围为(－∞，1)．]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[教师备选例题]已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ＞0，－f (x )，x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．[解](1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b 2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，x ＞0，－(x ＋1)2，x ＜0.所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立． 又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．1.若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )A B C DC [因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图象开口向下，对称轴方程x ＝－b 2a＜0，只有选项C 适合．] 2．若函数y ＝x 2－3x ＋4的定义域为[0，m ]，值域为，则m 的取值范围为( )C [y ＝x 2－3x ＋4＝⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋74的定义域为[0，m ]，显然，在x ＝0时，y ＝4，又值域为，根据二次函数图象的对称性知32≤m ≤3，故选C.] 3．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．[0,2] [依题意a ≠0，二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 图象的对称轴是直线x ＝1，因为函数f (x )在区间[0,1]上单调递减，所以a ＞0，即函数图象的开口向上，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.]。

2021年高考数学复习 专题02 函数与导数 幂函数与二次函数考点剖析主标题：幂函数与二次函数副标题：为学生详细的分析幂函数与二次函数的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：幂函数，二次函数难度：3 重要程度：5考点剖析：1．了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.命题方向：高考对该部分的考查多与二次函数相结合综合命题，涉及函数零点问题，比较方程根的大小问题，函数值的求解，函数图象的识别等问题，考查学生分析、解决问题的能力．规律总结：1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．知 识 梳 理1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且x ≠0} 值域 R [0，＋∞)R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且y ≠0}奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增(－∞，0]减，[0，＋∞)增增增(－∞，0)减，(0，＋∞)减 定点 (0,0)，(1,1)(1,1)(1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象 a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a27187 6A33 樳xN26378 670A 朊BX;}€ #h| v。

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：授课时间：2020 年8月日(星期)姓名年级性别教学课题 2.4二次函数与幂函数教学目标重点难点课前检查课堂教学过程2.4二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0<c<1，故a<c<b.答案：a<c<b2．(必修1P39B组T1改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________．解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x) 在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[－1，3]．答案：[－1，3][易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准；(2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a <0，b >0，所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0，故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0－12m ≤3，即m ≤－16.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－16 3．当x ∈(0，1)时，函数y ＝x m 的图象在直线y ＝x 的上方，则m 的取值范围是________． 答案：(－∞，1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，故选C.(2)易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1<3－2a，解得－1≤a<23.【答案】(1)C(2)⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m<0，故m＝1.答案：12．当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析：由f (x )是偶函数知f (x )的图象关于y 轴对称，所以－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，所以2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， 所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为 f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4，3)， 所以3a ＝3，a ＝1， 所以所求f (x )的解析式为 f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题；(3)二次函数的最值问题． 角度一 二次函数图象的识别问题已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D. 【答案】 D角度二 二次函数的单调性问题函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0](变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a－3－2a＝－1，解得a＝－3.角度三二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，当a<－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，当a>2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a，a<－1，1－a2，－1≤a≤2，5－4a，a>2，可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关解析：选 B.f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.2．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0，所以二次函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2， 使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立， 只需t ＝－10a时f (t ＋1)－f (t )≥8，即a (t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8， 即2at ＋a ＋20≥8，将t ＝－10a代入得a ≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )． (1)当a ＝－6时，函数f (x )的定义域和值域都是⎣⎡⎦⎤1，b2，求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方，试确定实数b 的范围． 【解】 (1)当a ＝－6时，函数f (x )＝x 2－6x ＋b ，函数对称轴为x ＝3，故函数f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．①当2<b ≤6时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎨⎧f （1）＝b2f ⎝⎛⎭⎫b 2＝1，无解；②当6<b ≤10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤3，b 2上单调递增，且f (1)≥f ⎝⎛⎭⎫b2，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1，解得b ＝10； ③当b >10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤3，b 2上单调递增，且f (1)<f (b 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫b 2＝b 2f （3）＝1，无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－x ＋b ，由题意可知x 2－x ＋b >2x ＋2b －1对x ∈[－1，1]恒成立， 化简得b <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1，1]，图象开口向上，对称轴为x ＝32，在区间[－1，1]上单调递减，则g (x )min ＝－1，故b <－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时，要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 所以3x 2＋a ≥0，2x ＋b ≥0或3x 2＋a ≤0，2x ＋b ≤0，①若2x ＋b ≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b ≥0，即b ≥－2a >0，此时当x ＝0时，3x 2＋a ＝a ≥0不成立， ②若2x ＋b ≤0在(a ，b )上恒成立，则2b ＋b ≤0，即b ≤0，若3x 2＋a ≤0在(a ，b )上恒成立，则3a 2＋a ≤0，即－13≤a ≤0，故b －a 的最大值为13.2．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)[基础题组练]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.2．若幂函数f (x )＝x mn(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象如图所示，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn>1解析：选C.由图知幂函数f (x )为偶函数，且mn <1，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；选C.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则以下结论中正确的是( ) A ．f (0)<f (－2)<f (5) B ．f (－2)<f (5)<f (0) C ．f (－2)<f (0)<f (5)D ．f (0)<f (5)<f (－2)解析：选A.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f (x )的图象的开口方向向上，则函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f (2)<f (4)<f (5)，又f (0)＝f (2)，f (－2)＝f (4)，所以f (0)<f (－2)<f (5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0，1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x(1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0，所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ， f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3， 所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3， 所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16 B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33解析：选B.因为当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝12(a2－x＋2a2－x －3a2)＝－x；当a2＜x＜2a2时，f(x)＝12(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝12(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，0≤x≤a2，－a2，a2＜x＜2a2，x－3a2，x≥2a2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66≤a≤66.3．已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c＞0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a＋b＋c＝________．解析：函数y＝x2＋ax＋b是二次函数，所以函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值M在端点处或x＝－a2处取得．若在x＝0处取得，则b＝±2，若在x＝－a2处取得，则|b－a24|＝2，若在x＝c处取得，则|c2＋ac＋b|＝2.若b＝2，则|b－a24|≤2，|c2＋ac＋b|≤2，解得a＝0，c＝0，符合要求，若b＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．可得a＋b＋c＝2.故答案为2.答案：2。

2.4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义:形如(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是,α是.(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.(2)二次函数的图象和性质1.幂函数y=xα的图象在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x∈(0,1)时,α越大,函数值越小;当x∈(1,+∞)时,α越大,函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n](m<n)上的单调性与值域时,分类讨论-b2a 与m或n的大小.3.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=m,当a>0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)>f(x2);当a<0时,若|x1-m|>|x2-m|,则f(x1)<f(x2).4.一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的实根分布:(1)方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)<0或{p2-4q≥0,-p2>m;考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.() (2)幂函数的图象经过第四象限,当α>0时,幂函数y=xα是定义域上的增函数.()(3)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0),当x=-b 2a 时,y 取得最小值4ac -b 24a. ( ) (4)幂函数的图象不经过第四象限.( ) (5)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的函数值恒为负的充要条件是{a <0,b 2-4ac <0.( )2.如图是①y=x a ;②y=x b ;③y=x c 在第一象限的图象,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b3.(2020湖北荆州质检)若对任意x ∈[a ,a+2]均有(3x+a )3≤8x 3,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.(-∞,0]D.[0,+∞)4.(2020河南新乡三模,理3)若抛物线x 2=ay 的准线与函数y=-x 2-2x+1的图象相切,则a= .关键能力学案突破考点幂函数的概念【例1】(1)已知幂函数f (x )=k ·x α的图象经过点(12,√22),则k+α=( )A.12B.1C.32D.2(2)幂函数f (x )=(m 2-4m+4)x m 2-6m+8在(0,+∞)上单调递增,则m 的值为( ) A.1或3 B.1 C.3 D.2解题心得1.幂函数y=x α的特点:①系数必须为1,②指数必须为常数.2.幂函数中底数是自变量,指数是常数,而指数函数中底数是常数,指数是自变量. 对点训练1(1)在函数y=12,y=2x 2,y=x 2+x ,y=3x 中,幂函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3(2)已知幂函数f (x )=x α(α是常数)的图象过点2,12,则函数f (x )的值域为( )A.(-∞,0)B.(0,+∞)C.(-∞,0)∪(0,+∞)D.(-∞,+∞)考点幂函数的图象【例2】(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是()(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)·x n2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则n的值为()A.-3B.1C.2D.1或2解题心得探讨幂函数图象的分布规律,应先观察图象是否过原点,过原点时α>0,否则α≤0;若α>0,再观察第一象限的图象是上凸还是下凸,上凸时0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1时,在第一象限内α的值按逆时针方向依次增大得出结论.对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应的是()A.①y=x13;②y=x2;③y=x12;④y=x-1B.①y=x3;②y=x2;③y=x12;④y=x-1C.①y=x2;②y=x3;③y=x12;④y=x-1D.①y=x13;②y=x12;③y=x2;④y=x-1(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)x b的图象上,则函数f(x)是()A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数考点幂函数的性质及应用【例3】(1)若(a+1)12<(3-2a)12,则实数a的取值范围是.(2)设a=3525,b=2535,c=2525,则a,b,c的大小关系是.解题心得1.幂函数的主要性质(1)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;(2)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.对点训练3(1)已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围是.(2)已知a=243,b=323,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b考点求二次函数的解析式【例4】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:变式发散1将本例中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且∀x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.考点二次函数的图象与性质(多考向探究)考向1二次函数的单调性及应用【例5】(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-∞,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是单调递减的,则实数a的取值范围是()A.[-3,0)B.(-∞,-3]C.[-2,0]D.[-3,0]解题心得二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.对点训练5(1)已知函数f(x)={lnx,x≥1,-x2+ax-a2+1,x<1在R上为增函数,则a的取值范围是()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,2]D.[2,+∞)(2)函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是()A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定考向2二次函数的最值问题【例6】(1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),x∈R,则函数f(x)的最小值是.(2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在[1,2]上有最大值4,则a的值为.解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.对点训练6(1)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈[-2,-12]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为()A.13B.12C.34D.1(2)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=.考向3与二次函数有关的恒成立问题【例7】设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为()A.(-∞,0]B.0,57C.(-∞,0)∪0,57D.-∞,57解题心得由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是:a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.对点训练7已知函数f(x)=x2+2(a-2)x+4,若∀x∈[-3,1],f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是.考向4二次函数中的双变量问题【例8】已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),对任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1∈[a,b]都存在x0∈[c,d],使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在[a,b]上的值域是f(x0)在[c,d]上的值域的子集.对点训练8(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1∈(0,+∞),存在x2∈(-∞,-1],使f(x1)≤g(x2),则实数a的最大值为()A.6B.4C.3D.2考点二次函数、方程、不等式的关系(多考向探究)考向1一元二次方程与一元二次不等式【例9】关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,1),则p+q的值为()A.-2B.-1C.1D.2考向2二次函数与一元二次方程【例10】已知函数f(x)=3x2-2(m+3)x+m+3的值域为[0,+∞),则实数m的取值范围为()A.{0,-3}B.[-3,0]C.(-∞,-3]∪[0,+∞)D.{0,3}考向3二次函数与一元二次不等式【例11】已知f(x)是R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=|x2-3x|,则不等式f(x)≤2的解集为.解题心得对于二次函数f(x)=ax2+bx+c>0(a≠0),f(x)>0的x的范围即为一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.对点训练9(1)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为()A.x|-1<x<12B.x|x<-1,或x>12C.{x|-2<x<1}D.{x|x<-2,或x>1}(2)若关于x的不等式x2-ax+1≤0的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为()A.2,52B.2,52C.2,52D.2,52(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,则实数a的取值范围为()A.-2,65B.-2,65C.-2,65D.-2,65∪{2}1.幂函数y=xα(α∈R)的图象的特征:当α>0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升;当α<0时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限内从左到右图象逐渐下降.2.求二次函数的解析式时,应根据题目给出的条件,选择恰当的表示形式.3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系,即【例1】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.(1)有两个正根;(2)有两个负根;.(1)(2)(3),都是判断两根的符号,那么如何利用韦达定理给出判断?由题意得{Δ=(m-3)2-4m≥0,3-m>0,m>0,解得0<m≤1.故m的取值范围为(0,1].(2)由题意得{Δ=(m-3)2-4m≥0,3-m<0,m>0,解得m≥9.故m的取值范围为[9,+∞).(3)由题意得{Δ>0,m<0,解得m<0.故m的取值范围为(-∞,0).【例2】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(0,2)内.,韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合题意的不等式?f(x)=x2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-2<0,解得m<1.故m的取值范围为(-∞,1).(2)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内,则{f(-2)=-m+10>0,f(0)=m<0,f(4)=5m+4>0,解得-45<m<0.故m的取值范围为-45,0.(3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则{f(2)=3m-2<0,f(4)=5m+4<0,2<-m-32<4,解得-5<m<-1.故m的取值范围为(-5,-1).(4)若方程x2+(m-3)x+m=0的两个根都在(0,2)内,则{f(2)=3m-2>0,f(0)=m>0,0<-m-32<2,Δ=(m-3)2-4m≥0,解得2<m≤1.故m的取值范围为23,1.【例3】将例2的问题一般化,即关于x的方程ax2+bx+c=0(a>0)满足下列条件,请画出方程对应函数的图象,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n),另一根在(p,q);(m,n).f(x)=ax2+bx+c(a>0),满足题意的图象如图,则(1){f(m)·f(n)<0,f(p)·f(q)<0.(2){Δ≥0,m<-b<n,f(m)>0,f(n)>0.归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a≠0)2.4 幂函数与二次函数必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)y=x α 自变量 常数 (3)R R R[0,+∞) {x|x ∈R ,且x ≠0} R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ∈R ,且y ≠0}增 x ∈[0,+∞)时,增,x ∈(-∞,0)时,减 增 增 x ∈(0,+∞)时,减,x ∈(-∞,0)时,减2.(1)f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0) f (x )=a (x-h )2+k (a ≠0) (h ,k ) f (x )=a (x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) x 1,x 2 (2)①x=-b2a考点自诊1.(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.D 根据幂函数的性质,可知选D .3.B 因为y=x 3在R 上是增函数,由(3x+a )3≤8x 3,得3x+a ≤2x ,即x ≤-a ,所以对任意x ∈[a ,a+2],x ≤-a 恒成立.所以a+2≤-a ,因此a ≤-1.4.-8 抛物线x 2=ay 的准线方程为y=-a4,抛物线y=-x 2-2x+1的顶点为(-1,2),则-a4=2,故a=-8.关键能力·学案突破例1(1)C (2)B (1)由幂函数的定义知k=1.又因为f 12=√22,所以12α=√22,解得α=12,从而k+α=32,故选C .(2)由题意,可知{m 2-4m +4=1,m 2-6m +8>0,解得m=1.故选B .对点训练1(1)B (2)C (1)显然,根据幂函数定义可知,只有y=1x 2=x -2是幂函数.故选B .(2)由题意得12=2α,∴α=-1.∴f (x )=x -1=1x ≠0,∴f (x )的值域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选C .例2(1)C (2)B (1)令f (x )=x α,则4α=2,∴α=12,∴f (x )=x 12.所以其图象为选项C . (2)由于f (x )为幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,所以{n 2+2n -2=1,n 2-3n <0,解得n=1,所以f (x )=x -2,f (-x )=f (x ),即f (x )关于y 轴对称.故选B . 对点训练2(1)B (2)A (1)y=x2为偶函数,对应②;y=x 12的定义域为x ≥0,对应③;y=x -1为奇函数,且图象与坐标轴不相交,对应④;y=x 3与y=x 13均为奇函数,在第一象限内,y=x 3的图象下凸,y=x 13的图象上凸,故①对应y=x 3.故选B .(2)∵函数f (x )=(a-1)x b 是幂函数,∴a-1=1,解得a=2.又点a ,12在该函数的图象上,∴2b =12,∴b=-1,∴f (x )=x -1,∴函数f (x )是定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)的奇函数,且在每一个区间上单调递减.故选A . 例3(1)-1,23(2)a>c>b (1)易知函数y=x 12的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,所以{a +1≥0,3-2a ≥0,a +1<3-2a ,解得-1≤a<23.(2)∵y=x 25(x ≥0)为增函数,∴a>c. ∵y=25x(x ∈R )为减函数,∴c>b.∴a>c>b. 对点训练3(1)(3,5) (2)A (1)∵f (x )=x -12=√x(x>0)为减函数,又f (a+1)<f (10-2a ),∴{a +1>0,10-2a >0,a +1>10-2a ,解得{a >-1,a <5,b >3, ∴3<a<5. (2)因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=x 23在[0,+∞)上单调递增,所以323<423<523,即b<a<c.故选A .例4解(方法1)(利用一般式)设f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0).由题意得{4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a=8,解得{a =-4,b =4,c =7.∴所求二次函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x+7. (方法2)(利用顶点式) 设f (x )=a (x-m )2+n (a ≠0).∵f (2)=f (-1),∴抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12.∴m=12.又根据题意函数有最大值8,∴n=8. ∴y=f (x )=a x-122+8. ∵f (2)=-1,∴a 2-122+8=-1,解得a=-4,∴f (x )=-4x-122+8=-4x 2+4x+7. (方法3)(利用两根式)由已知f (x )+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f (x )+1=a (x-2)(x+1)(a ≠0),即f (x )=ax 2-ax-2a-1.又函数有最大值f (x )max =8,即4a (-2a -1)-a 24a=8. 解得a=-4或a=0(舍去).∴所求函数的解析式为f (x )=-4x 2+4x+7.变式发散1解设f (x )=ax (x+2).因为函数f (x )的最大值为8,所以a<0,且f (x )max =f (-1)=-a=8,所以a=-8, 所以f (x )=-8x (x+2)=-8x 2-16x.变式发散2解因为f (2-x )=f (2+x )对x ∈R 恒成立,所以f (x )的对称轴为直线x=2.又f (x )的图象在x 轴上截得的线段长为2,所以f (x )=0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )=a (x-1)(x-3)(a ≠0). 又f (x )的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.所以f (x )的解析式为f (x )=(x-1)(x-3),即f (x )=x 2-4x+3. 例5(1)[4,+∞) (2)D (1)f (x )=-x 2+2ax+3对称轴方程为x=a ,f (x )在区间(-∞,4)上单调递增,所以a ≥4.故a 的取值范围为[4,+∞). (2)当a=0时,f (x )=-3x+1在[-1,+∞)上单调递减,满足题意.当a ≠0时,f (x )的对称轴为x=3-a2a,由f (x )在[-1,+∞)上单调递减知{a <0,3-a2a≤-1,解得-3≤a<0.综上,a 的取值范围为[-3,0].对点训练5(1)D (2)A (1)若函数f (x )在R 上为增函数,则在两段上都应单调递增,当x<1时,f (x )=-x 2+ax-a 2+1,对称轴为x=a2,所以a2≥1,且在x=1处,二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,即a-a 2≤0,所以{a≥1,a -a 2≤0,解得{a ≥2,a ≤0,或a ≥1,所以a ≥2.故选D .(2)由题意知,函数f (x )的图象关于直线x=1对称,∴b=2.又f (0)=3,∴c=3,则b x =2x ,c x =3x .易知f (x )在区间(-∞,1)上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.若x ≥0,则3x ≥2x ≥1,∴f (3x )≥f (2x );若x<0,则3x <2x <1,∴f (3x )>f (2x ).∴f (3x )≥f (2x ),即f (b x )≤f (c x ).故选A . 例6(1)-16 (2)38 (1)令x+2016=t ,则f (t-2016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t 4-10t 2+9=(t 2-5)2-16,当t 2=5时,有最小值-16,故f (x )的最小值是-16.(2)对函数f (x )=a (x+1)2+1-a ,①当a=0时,f (x )在区间[1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;②当a>0时,f (x )在区间[1,2]上单调递增,最大值为f (2)=8a+1=4,解得a=38;③当a<0时,f (x )在区间[1,2]上单调递减,最大值为f (1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意.综上可知,a 的值为38.对点训练6(1)D (2)1 (1)设x<0,则-x>0.有f (-x )=(-x-1)2=(x+1)2.又∵f (-x )=f (x ),∴当x<0时,f (x )=(x+1)2,∴该函数在[-2,-12]上的最大值为1,最小值为0,依题意,n ≤f (x )≤m 恒成立,则n ≤0,m ≥1,即m-n ≥1,故m-n 的最小值为1.(2)因为函数f (x )=x 2-ax-a 的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f (0)=-a ,f (2)=4-3a ,所以{-a >4-3a ,-a =1或{-a ≤4-3a ,4-3a =1,解得a=1.例7D 由题意,f (x )<-m+4对于x ∈[1,3]恒成立,即m (x 2-x+1)<5对于x ∈[1,3]恒成立.∵当x ∈[1,3]时,x 2-x+1∈[1,7],∴不等式f (x )<-m+4等价于m<5x 2-x+1.∵当x=3时,5x 2-x+1取最小值57,∴若要不等式m<5x 2-x+1对于x ∈[1,3]恒成立,则必须满足m<57,因此,实数m 的取值范围为-∞,57,故选D .对点训练7-12,4 因为f (x )=x 2+2(a-2)x+4,其图象的对称轴为x=-(a-2),∀x ∈[-3,1],f (x )>0恒成立,所以讨论对称轴与区间[-3,1]的位置关系得{-(a -2)<-3,f (-3)>0或{-3≤-(a -2)≤1,Δ<0或{-(a -2)>1,f (1)>0,解得a ∈⌀或1≤a<4或-12<a<1,所以a 的取值范围为-12,4. 例80,12 对任意的x 1∈[-1,2]都存在x 0∈[-1,2],使得g (x 1)=f (x 0)⇔在[-1,2]上g (x )的值域⊆f (x )的值域,g (x )=ax+2(a>0)在[-1,2]上的值域为[2-a ,2+2a ],因为f (x )=x 2-2x 在[-1,2]的最小值为f (1)=-1,最大值为f (-1)=3,即f (x )在[-1,2]的值域为[-1,3].所以{2-a ≥-1,2a +2≤3,解得a ≤12.故实数a 的取值范围是0,12.对点训练8A 问题可转化为在给定区间上f (x )的值域是g (x )值域的子集,即f (x )max ≤g (x )max .f (x )=-x 2+ax-6=-x-a 22+a 24-6,当x=a2≤0,即a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上单调递减,f (x )<f (0)=-6; 当x=a2>0,即a>0时,f (x )max =f a2=a 24-6.而g (x )=x+4在(-∞,-1]上单调递增,故g (x )max =g (-1)=3.故{a ≤0,-6≤3,或{a >0,a 24-6≤3,解得a ≤6,所以a 的最大值是6,故选A .例9B 依题意,得q ,1是方程x 2+px-2=0的两根,q+1=-p ,即p+q=-1,故选B . 例10A 因为函数f (x )的值域为[0,+∞),所以f (x )=0有两个相等的实数根,所以Δ=[-2(m+3)]2-4×3×(m+3)=0,解得m=-3或m=0,所以实数m 的取值范围为{0,-3},故选A . 例11-3+√172,-2∪[-1,1]∪2,3+√172x ≥0时,f (x )=|x 2-3x|,当0≤x ≤3时,f (x )=-x 2+3x ,f (x )≤2即-x 2+3x ≤2,解得x ≤1或x ≥2,∴0≤x ≤1或2≤x ≤3. 当x>3时,f (x )=x 2-3x ,f (x )≤2即x 2-3x ≤2,解得3-√172≤x ≤3+√172,∴3<x ≤3+√172. ∴当x ≥0时,f (x )≤2解集为0≤x ≤1或2≤x ≤3+√172. ∵f (x )是R 上的偶函数,∴当x<0时,f (x )≤2解集为-3+√172≤x ≤-2或-1≤x<0.∴f (x )≤2的解集为-3+√172,-2∪[-1,1]∪2,3+√172.对点训练9(1)A (2)A (3)B (1)由题意,知x=-1,x=2是方程ax 2+bx+2=0的根,由根与系数的关系,得{-1+2=-ba ,(-1)×2=2a ,解得{a =-1,b =1. ∴不等式2x 2+bx+a<0,即2x 2+x-1<0.解得-1<x<12,故选A . (2)令f (x )=x 2-ax+1,则f (0)=1>0,由题意可得{f (1)≤0,f (2)>0,解得2≤a<52.(3)当a=2时,不等式变为4x-1≥0,解得x ≥14,不符合题意;当a=-2时,不等式的解集为空集;当a ≠±2时,不等式(a 2-4)x 2+(a+2)x-1≥0的解集是空集,等价于二次函数y=(a 2-4)x 2+(a+2)x-1的图象在x 轴的下方,所以{a 2-4<0,Δ=(a +2)2+4(a 2-4)<0,解得-2<a<65.故选B .。

§ 2.4二次函数和幂函数1.幂函数(1)定义:形如①y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x-1.(2)性质a.幂函数在(0,+∞)上都有定义;b.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;c.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式a.一般式:②f(x)=ax2+bx+c(a≠0);b.顶点式:③f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);c.两根式:④f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[4ac-b2,+∞)(-∞,4ac-b2]单调性在[-b2a,+∞)上单调递增,在-∞,-b2a 上单调递减在-∞,- b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)顶点坐标(-b,4ac-b2)对称性图象关于直线x=-b2a对称(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直线⑤x=x1+x22对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+m)=f(-x+n),则图象关于直线⑥x=m+n2对称.1.(教材习题改编)下图是①y=x a;②y=x b;③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b1.答案 D2.函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )A.-1B.2C.3D.-1或22.答案 B3.(2018浙江温州高三月考)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0, f(p)<0,则必有( )A. f(p+1)>0B. f(p+1)<0C. f(p+1)=0D. f(p+1)的符号不能确定 3.答案 A4.(教材习题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22),则此函数的解析式为 ;在区间上递减.4.答案 y=x -12;(0,+∞)5.已知函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a 的取值范围是 . 5.答案 (-∞,1]∪[2,+∞)考点一 二次函数的解析式典例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试求出此二次函数的解析式.解析 解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0). 由题意得{4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得{a =-4,b =4,c =7. ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x=2-12=12,∴m=12.又函数有最大值8,∴n=8,∴f(x)=a (x -12)2+8, ∵f(2)=-1,∴a (2-12)2+8=-1, 解得a=-4,∴f(x)=-4(x -12)2+8=-4x 2+4x+7. 解法三:(利用“两根式”解题)由已知可得f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax 2-ax-2a-1.又函数有最大值8, ∴4a (-2a -1)-(-a )24a=8.解得a=-4或a=0(舍).∴所求函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.1-1 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且截x 轴所得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求二次函数 f(x)的解析式.解析 ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R 恒成立, ∴f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又∵f(x)的图象截x 轴所得的线段长为2, ∴f(x)=0的两根为x=1和x=3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0), ∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1.∴二次函数f(x)的解析式为f(x)=(x-1)·(x -3), 即f(x)=x 2-4x+3.考点二 二次函数的图象与性质命题方向一 二次函数图象识别问题典例2 (2019镇海中学模拟)一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,则一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,对于选项B,由一次函数的图象可知a>0,b>0,则-b2a故应排除B,故选C.方法指导识别二次函数图象应学会“三看”2-1 函数y=1-|x-x2|的图象大致是( )答案 C 当x=-1时,y=1-|-1-1|=-1,所以排除A,D,当x=2时,y=1-|2-4|=-1,所以排除B,故选C.命题方向二二次函数的单调性问题典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a=-a,2要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3={x2+2x+3=(x+1)2+2,x≤0, x2-2x+3=(x-1)2+2,x>0,其图象如图所示.∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.◆探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.解析∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,∴-a≤-4,即a≥4.◆探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),求a为何值.解析∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),∴-a=-4,即a=4.方法技巧研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.(2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆(-∞,-b2a](A⊆[-b2a,+∞)).2-2 (2019浙江模拟)已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( )A.[-√2,√2]B.[1,√2]C. [2,3]D.[1,2]答案 B 对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤2转化为f(x)max -f(x)min ≤2. 由f(x)在(-∞,1]上是减函数,得--2t 2≥1,即t≥1,从而有t-0≥t+1-t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t 2,故有1-(1-t 2)≤2,解得-√2≤t≤√2,又t≥1,所以1≤t≤√2.故选B.命题方向三 二次函数的最值问题典例4 (2019浙江名校新高考研究联盟高三第一次联考)设函数f(x)=|x 2+a|+|x+b|(a,b∈R),当x∈[-2,2]时,记f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .答案258解析 去绝对值得f(x)=±(x 2+a)±(x+b),根据二次函数的性质可得,f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-2), f(2),f (-12)或f (12),所以M(a,b)≥f(-2)=|4+a|+ |-2+b|,M(a,b)≥f(2)=|4+a|+|2+b|, M(a,b)≥f (12)=|14+a|+|12+b|, M(a,b)≥f (-12)=|14+a|+|-12+b|, 上面四个式子相加可得4M(a,b)≥2(|4+a |+|14+a|)+|2-b|+|2+b|+|12+b|+|12-b| ≥2×|4-14|+(|2+2|+|12+12|)=252, 即M(a,b)≥258,所以M(a,b)的最小值为258. 方法点拨二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点指区间的两个端点和顶点,一轴指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可解决.变式练(2019台州中学月考)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为( )A.{-3,-1}B.{-1,3}C.{-3,3}D.{-1,-3,3}答案 C f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,故函数图象的对称轴是x=1.因为f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,所以当1≤a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3,当a+2≤1,即a≤-1时,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3,当a<1<a+2,即-1<a<1时,ymin=f(1)=0≠4,不符合题意.故a的取值集合为{-3,3}.深化练已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.解析由题可知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当a=0时,符合题意;当a≠0时,x=0时,有-3<0恒成立;x≠0时,a<32(1x-13)2-16,因为1x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当1x =1,即x=1时,不等式右边取最小值12.所以a<12,且a≠0.综上,实数a的取值范围是(-∞,12).命题方向四一元二次不等式恒成立问题典例5 已知a∈R,函数f(x)={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 .答案 [18,2]解析 ①当x∈[-3,0]时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以x 2+2x+a-2≤-x,参变量分离得a≤-x 2-3x+2,令y=-x 2-3x+2=-(x +32)2+174,所以当x=0或x=-3时,y 取得最小值,为2,所以a≤2.②当x∈(0,+∞)时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以-x 2+2x-2a≤x,参变量分离得a≥-12x 2+12x,令y=-12x 2+12x=-12(x -12)2+18,所以当x=12时,y 取得最大值,为18,所以a≥18.由①②可得18≤a≤2. 规律总结由不等式恒成立求参数的取值范围的思路1.一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max ;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min .2-3 已知函数f(x)={x 2+2x +a -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x -a ,0<x ≤3.当a=0时, f(x)的最小值等于 ;若对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案 -3;[14,1] 解析 当a=0时,f(x)={x 2+2x -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x ,0<x ≤3.-3≤x≤0时, f(x)=(x+1)2-2, 得当x=-1时, f(x)有最小值-2, 0<x≤3时, f(x)=-(x-1)2+1, 得当x=3时, f(x)有最小值-3, 所以,当a=0时, f(x)的最小值等于-3.由对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立, 知 ①-3≤x≤0时,x 2+2x+a-1≤-x 恒成立, 即a≤-x 2-3x+1恒成立, 令g(x)=-x 2-3x+1=-(x +32)2+134,则-3≤x≤0时,g(x)的最小值为g(0)=g(-3)=1, 所以a≤1.②0<x≤3时,-x 2+2x-a≤x 恒成立, 即a≥-x 2+x 恒成立, 令h(x)=-x 2+x=-(x -12)2+14,则当0<x≤3时,h(x)的最大值为h (12)=14, 所以a≥14.综上,实数a 的取值范围是[14,1].考点三 二次函数的综合问题典例6 (2019鄞州中学高三月考)已知函数f(x)=x 2+ax+3. (1)当a=-4时,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)对任意x∈R 都有f(1+x)=f(1-x)恒成立,求函数f(x)的解析式; (3)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-3,求实数a 的值. 解析 (1)当a=-4时, f(x)=x 2-4x+3=(x-1)(x-3), 由f(x)=0可得x=1或x=3, 所以函数f(x)的零点为1和3.(2)由于f(1+x)=f(1-x)对任意x∈R 恒成立,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,即-a2=1,解得a=-2,故函数f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x+3.(3)函数f(x)=x 2+ax+3图象的对称轴为直线x=-a2, 当-a2≥1,即a≤-2时, f(x)在[-1,1]上单调递减, 所以f(x)min =f(1)=a+4=-3,解得a=-7,符合题意;当-1<-a2<1,即-2<a<2时, f(x)在[-1,-a2]上单调递减,在(-a2,1]上单调递增, 所以f(x)min =f (-a2)=4×3-a 24=-3,解得a=±2√6,与-2<a<2矛盾,舍去;当-a2≤-1,即a≥2时, f(x)在[-1,1]上单调递增, 所以f(x)min =f(-1)=4-a=-3,解得a=7,符合题意. 综上所述,a=-7或a=7. 规律总结二次函数的综合问题中,最典型的就是二次函数与不等式的综合问题,其中又以三个“二次”问题最为典型,也就是二次函数、二次方程和二次不等式的综合问题.它们常结合在一起,而二次函数又是其核心,所以,利用二次函数的图象(数形结合)是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手处理.3-1 (2018浙江杭州第二中学热身)已知函数f(x)=x 2-2mx+m+2,g(x)=mx-m,若存在x 0∈R,使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立,则实数m 的取值范围是 .答案 (3,+∞)解析 当m>0,x<1时,g(x)<0, 所以f(x)<0在(-∞,1)有解, 则{f (1)<0,m ≥1或{0<m <1,Δ>0, 即m>3或{0<m <1,m 2-m -2>0(无解),故m>3.当m<0,x>1时,g(x)<0,所以f(x)<0在(1,+∞)有解, 所以{f (1)<0,m <0,此不等式组无解.综上,m 的取值范围是(3,+∞).考点四 幂函数的图象与性质典例7 已知幂函数f(x)=x -m 2-2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,则f(2)的值为 .答案 16解析 根据幂函数的性质可得-m 2-2m+3>0,即m 2+2m-3<0,解得-3<m<1,又m∈Z,故m 的可能取值为-2,-1,0.当m=-2时,-m 2-2m+3=3,不符合题意;当m=-1时,-m 2-2m+3=4,符合题意;当m=0时,-m 2-2m+3=3,不符合题意.所以f(x)=x 4,所以f(2)=24=16. 方法指导研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x α(α∈R)的相关性质,再辅之以数形结合的方法,这类问题就会迎刃而解.如果不是基本的幂函数,那么通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式),然后根据得到的根式(分式)研究幂函数的性质.幂函数的定义域就是使这些根式或分式有意义的自变量的集合,直接利用定义判断其奇偶性和单调性.4-1 若函数f(x)是幂函数,则f(1)= ,若满足f(4)=8f(2),则f (13)= . 答案 1;127解析 设f(x)=x α(α∈R), 则f(1)=1.由f(4)=8f(2)得4α=8×2α, 则2α=α+3,∴α=3,则f(x)=x 3,则f (13)=127.A 组 基础题组1.幂函数f(x)的图象过点(2,√22),则f(8)=( )A.14 B.√24 C.12D.√21.答案 B2.函数f(x)=2x 2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=( ) A.10 B.14 C.19 D.20 2.答案 C3.函数y=√2的值域为( ) A.[0,4] B.(-∞,4]C.[0,+∞)D.[0,2]3.答案 D4.已知a∈{-1,2,12,3,13},若f(x)=x a 为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的值是( ) A.-1或3B.13或3C.-1,13或3 D.13,12或3 4.答案 B5.已知函数f(x)=x 2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b 的值为( ) A.-2 B.3C.-3D.25.答案 A 依题意,知-1,4为方程x 2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以{-1+4=-(a +1),-1×4=ab ,解得{a =-4,b =1,所以a+2b 的值为-2,故选A. 6.(2019绍兴一中月考)命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3 C.a<0或a>3D.0<a<36.答案 A 若ax 2-2ax+3>0恒成立,则a=0或{a >0,Δ=4a 2-12a <0,可得0≤a<3,故当命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.7.二次函数f(x)=x 2+2ax+b 在[-1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 7.答案 [1,+∞)解析 二次函数f(x)=x 2+2ax+b 的图象的对称轴为直线x=-a,∵f(x)在[-1,+∞)上单调递增,∴-a≤-1,即a≥1.8.幂函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 的图象关于y 轴对称,则实数m= . 8.答案 2解析 ∵函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 是幂函数,∴m 2-3m+3=1, 解得m=1或m=2.当m=1时,函数f(x)=x 的图象不关于y 轴对称,舍去; 当m=2时,函数f(x)=x 2的图象关于y 轴对称, ∴实数m=2.9.(2019浙江台州高三上期末)已知f(x)={x +3,x <0,x 2+x -1,x ≥0,则f(2)= ;不等式f(x)>f(1)的解集为 . 9.答案 5;(-2,0)∪(1,+∞) 解析 f(2)=22+2-1=5.f(x)>f(1)等价于{x <0,x +3>1或{x ≥0,x 2+x -1>1,解得-2<x<0或x>1,故不等式的解集为(-2,0)∪(1,+∞).10.对于定义在R 上的函数f(x),若实数x 0满足f(x 0)=x 0,则称x 0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x 2+ax+1没有不动点,则实数a 的取值范围是 . 10.答案 (-1,3)解析 问题等价于方程x 2+ax+1=x 无解,即x 2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a -1)2-4<0⇒-1<a<3. 11.设二次函数f(x)=ax 2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),且与直线y=-a 有交点. (1)求证:0≤ba <1;(2)若直线y=-a 与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D 四点,且线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形,求b a 的取值范围.11.解析 (1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a, 所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13<b a <1.因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a 有交点, 所以方程ax 2+2bx+c+a=0有实根, 故Δ=4b 2-4a(c+a)=4b 2+8ab≥0, 所以4(b a )2+8·ba ≥0, 解得ba ≤-2或ba ≥0, 综上可得,0≤ba <1.(2)易知A,D 关于对称轴对称,B,C 关于对称轴对称, 所以|AB|=|CD|, 设|AB|=|CD|=m,|BC|=n,因为线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形, 所以{m +m >n ,m 2+m 2<n 2,解得n<2m<√2n,故 2n<2m+n<(√2+1)n,所以2|BC|<|AD|<(√2+1)|BC|.设x 1,x 2是方程ax 2+2bx+c+a=0的两个根, 所以|x 1-x 2|=|BC|=√4(b a )2+8·ba . 设x 3,x 4是方程ax 2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x 3-x 4|=|AD|=√4(b a )2+8·ba +8. 所以2√4(b a )2+8·ba<√4(b a )2+8·ba +8<(√2+1)√4(b a )2+8·ba ,解得-1+√24<ba <-1+√153. B 组 提升题组1.设函数f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x 1,x 2,若|x 1|+|x 2|≤2,则( ) A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤21.答案 B 由根与系数的关系知b=x 1x 2,所以|b|=|x 1||x 2|≤(|x 1|+|x 2|2)2≤1(当且仅当|x 1|=|x 2|时,等号成立),故选B.2.设抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴有两个交点A,B,顶点为C,设Δ=b 2-4ac,∠ACB=θ,则cos θ= ( ) A.Δ-4Δ+4 B.√Δ-√Δ+2 C.Δ+4Δ-4 D.√Δ+2√Δ-22.答案 A 如图所示.∵|AB|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-b a )2-4·c a =√Δa , ∴|AD|=√Δ2a ,而|CD|=|4ac -b 24a |=Δ4a ,∴|AC|2=|AD|2+|CD|2=Δ4a 2+Δ216a 2=Δ2+4Δ16a 2, ∴cos θ=|AC |2+|BC |2-|AB |22|AC |·|BC |=1-|AB |22|AC |2=1-Δa 22·Δ2+4Δ16a 2=Δ-4Δ+4,故选A.3.下图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b 2>4ac;②2a -b=1;③a -b+c=0;④5a<b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③3.答案 B 因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac,①正确;因为图象的对称轴为直线x=-1,即-b2a =-1,所以2a-b=0,②错误;由题图可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确,故选B.4.若f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b= . 4.答案 -32 解析 由题意可知,{ |f (-1)|≤12,|f (0)|≤12,|f (1)|≤12,即{ |1-a +b |≤12,|b |≤12,|1+a +b |≤12,而|1-a+b|+|1+a+b|≥2|1+b|, 所以2|1+b|≤1,解得-32≤b≤-12,又|b|≤12等价于-12≤b≤12, 所以b=-12, 所以{|12-a|≤12,|12+a|≤12, 解得a=0. 故4a+3b=-32.5.(2019镇海中学月考)已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a>1). (1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a 的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围;(3)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a 的取值范围. 5.解析 (1)易知f(x)在[1,a]上单调递减, 所以{f (1)=a ,f (a )=1,所以a=2.(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,则a≥2,所以当x∈[1,a+1]时, f(x)min =f(a)=5-a 2,f(x)max =f(1)=6-2a, 因为对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4, 即f(x)max -f(x)min ≤4,即6-2a-5+a 2≤4, 所以a 2-2a-3≤0,得-1≤a≤3. 所以2≤a≤3.(3)f(x)=x 2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点, 即x 2-2ax+5=0在[1,3]上有解, 所以2a=x+5x 在[1,3]上有解,令h(x)=x+5x ,易知h(x)=x+5x 在[1,√5]上是减函数,在[√5,3]上是增函数, 因为h(1)=6,h(√5)=2√5,h(3)=143,所以2√5≤h(x)≤6,所以2√5≤2a≤6,所以√5≤a≤3.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案 43解析 |f(t+2)-f(t)|≤23⇔|a(t+2)3-(t+2)-(at 3-t)|≤23⇔|6at 2+12at+8a-2|≤23⇔|3at 2+6at+4a-1|≤13⇔-13≤3at 2+6at+4a-1≤13⇔23≤a(3t 2+6t+4)≤43, ∵3t 2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,∴若存在t∈R,使不等式成立,则需a>0, 故a(3t 2+6t+4)∈[a,+∞),∴只需[a,+∞)∩[23,43]≠⌀即可,∴0<a ≤43, 故a 的最大值为43.。

第五讲幂函数与二次函数ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测错误!错误!错误!错误!知识点一幂函数函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1图象定义域R R R ｛x|x≥0｝{x｜x≠0}值域R ｛y|y≥0｝R{y|y≥0｝{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(－∞，0)上单调在R上单调递增在［0，＋∞）上单调在（－∞,0）和（0,递减，在（0,＋∞)上单调递增递增＋∞）上单调递减公共点（1，1)知识点二二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a〉0)f(x）＝ax2＋bx＋c(a〈0）图象定义域R R值域[错误!，＋∞）(－∞，错误!]单调性在(－∞，－错误!）上单调递减，在［－错误!，＋∞）上单调递增在（－∞,－错误!）上单调递增，在［－错误!,＋∞）上单调递减1．二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：f（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）；（2）顶点式：f(x)＝a(x－m）2＋n（a≠0）；（3)零点式：f（x)＝a(x－x1)(x－x2）(a≠0）．2．一元二次不等式恒成立的条件：（1）“ax2＋bx＋c>0(a≠0）恒成立"的充要条件是“a>0，且Δ〈0”．（2)“ax2＋bx＋c<0（a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．错误!错误!错误!错误!题组一走出误区1．(多选题)下列结论中不正确的是（ABD )A．y＝x0的图象是一条直线B．若幂函数y＝x n是奇函数,则y＝x n是增函数C．二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是奇函数D．当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数题组二走进教材2．（必修1P79T1改编)已知幂函数f（x）＝k·xα的图象过点(错误!,错误!),则k＋α＝（ C ）A．错误!B．1C．32D．2［解析］由幂函数的定义知k＝1.又f（错误!）＝错误!，所以（错误!）α＝错误!,解得α＝错误!，从而k＋α＝错误!。

131 第二篇 函数及其性质 专题2.04 幂函数与二次函数【考试要求】1.通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题． 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)132 图象 (抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增函数 在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增函数； 在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减函数 【微点提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )【教材衍化】2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B.1C.32D.23.(必修1P44A9改编)若函数f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是单调函数，则实数k的取值范围是________. 【真题体验】4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝243，b＝323，c＝2513，则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是()A.f(x)＝x2－2x＋1B.f(x)＝x2－1C.f(x)＝2xD.f(x)＝2x＋16.(2019·菏泽检测)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)·x m2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为________.13 3134【考点聚焦】考点一 幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是()(2)若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <c B.c <a <b C.b <c <aD.b <a <c【规律方法】 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 【训练1】 (1)(2019·洛阳二模)已知点⎝⎛⎭⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( ) A.奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数(2)(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.考点二二次函数的解析式【例2】(一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【规律方法】求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.13 5考点三二次函数的图象及应用)【例3】(1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是((2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0【规律方法】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.)【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(13 6考点四二次函数的性质角度1二次函数的单调性与最值【例4－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.角度2二次函数的恒成立问题【例4－2】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]【规律方法】 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键13 7(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.【反思与感悟】1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.【易错防范】1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，13 8要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是()A.y＝x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定3.(2019·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A.1B.0C.－1D.213 913104.(2019·岳阳一中)已知函数y ＝ax 2＋bx －1在(－∞，0]是单调函数，则y ＝2ax ＋b 的图象不可能是()5.已知p ：|m ＋1|<1，q ：幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 在(0，＋∞)上单调递减，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________.7.(2019·泉州质检)若二次函数f(x)＝ax2－x＋b(a≠0)的最小值为0，则a＋4b的取值范围是________.8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________.三、解答题9.已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k.(1)求m的值；(2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围.10.已知奇函数y＝f(x)定义域是R，当x≥0时，f(x)＝x(1－x).(1)求出函数y＝f(x)的解析式；(2)写出函数y＝f(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·武汉模拟)幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝x a，y＝x b的图象三等分，即13 1113 12 有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A.0B.1C.12D.212.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，若存在非零实数t ，使得f (t )＋f ⎝⎛⎭⎫1t ＝－2成立，则a 2＋4b 2的最小值为( )A.165B.145C.16D.413.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫23＝________.14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.【新高考创新预测】15.(思维创新)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关13 13。

第四节二次函数与幂函数【知识重温】一、必记2个知识点1．幂函数（1)定义:形如①________________的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x,y＝x2，y＝x3,y ＝12x，y＝x－1.（2）性质(ⅰ）幂函数在（0，＋∞)上都有定义；(ⅱ）当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和（0，0），且在（0,＋∞)上单调递增；(ⅲ)当α<0时，幂函数的图象都过点（1,1），且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数（1)二次函数解析式的三种形式(ⅰ）一般式：f(x）＝②________________________;(ⅱ）顶点式:f(x)＝③________________________；（ⅲ)零点式：f(x）＝④________________________。

(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞）二、必明2个易误点1．研究函数f（x)＝ax2＋bx＋c的性质，易忽视a的取值情况的讨论而盲目认为f（x)为二次函数．2．形如y＝xα(α∈R)才是幂函数，如y＝123x不是幂函数．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”）．（1）函数y＝132x是幂函数．（)（2）当n〉0时，幂函数y＝x n在（0,＋∞）上是增函数．(）（3)二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R)不可能是偶函数．（）（4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（）(5）二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈［a,b］的最值一定是错误!。

（)二、教材改编2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点(2，错误!），则函数y＝f(x)的解析式为________．3．函数y＝ax2－6x＋7a（a≠0)的值域为［－2，＋∞)，则a 的值为（）A．－1 B．－错误!C．1 D．2三、易错易混4．函数y＝2x2－6x＋3,x∈［－1,1]，则y的最小值是() A．－1 B．－2 C．1 D．25．若四个幂函数y＝x a，y＝x b,y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（)A．d>c〉b>a B．a>b〉c〉dC．d〉c〉a〉b D．a〉b〉d〉c四、走进高考6．[2020·江苏卷]已知y＝f（x)是奇函数,当x≥0时,f(x）＝23x，则f（－8）的值是________．考点一幂函数的图象及性质[自主练透型］1．已知点错误!在幂函数f（x)的图象上,则f(x）是（）A．奇函数B．偶函数C．定义域内的减函数D．定义域内的增函数2．幂函数y＝xm2－2m－3（m∈Z）的图象如图所示，则m 的值为（)A．－1 B．0C．1 D．23．[2021·江西九江联考］已知a＝0.40.3,b＝0.30。

二次函数与幂函数精讲【核心素养分析】1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 0.5，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】 知识点一 幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 知识点二 二次函数(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点. (2)二次函数的图象和性质【特别提醒】1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.【典型题分析】高频考点一 幂函数的图象与性质例1.(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.【方法技巧】(1)幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【变式探究】（2020·福建福州三中模拟）幂函数y ＝f(x)的图象经过点(3，3)，则f(x)是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 高频考点二 求二次函数的解析式例2.（2020·辽宁大连八中调研）已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【方法技巧】求二次函数解析式的策略（1）已知三点坐标，选用一般式（2）已知顶点坐标、对称轴、最值，选用顶点式（3）已知与x轴两点坐标，选用零点式【变式探究】（2020·湖南湘潭二中模拟）已知二次函数f(x)有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f(x)的解析式为f(x)＝．高频考点三二次函数的图象及应用例3.（2020·吉林长春实验中学模拟）如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1。

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2．4 二次函数与幂函数［基础送分提速狂刷练］一、选择题1．(2017·江西九江七校联考)幂函数f(x）＝(m2－4m＋4)x错误!在（0，＋∞）上为增函数，则m的值为（) A．1或3 B．1 C．3 D．2答案B解析由题意知m2－4m＋4＝1且m2－6m＋8〉0⇒m＝1，故选B.2．(2018·吉林期末）如果函数f(x）＝ax2＋2x－3在区间（－∞，4）上是单调递增的，则实数a的取值范围是（）A．a>－错误!B．a≥－错误!C．－错误!≤a<0 D．－错误!≤a≤0答案D解析①当a＝0时，函数f(x)＝2x－3为一次函数，是递增函数;②当a>0时，二次函数开口向上，先减后增，在区间（－∞，4)上不可能是单调递增的，故不符合;③当a<0时，函数开口向下，先增后减，函数对称轴－错误!≥4,解得a≥－错误!，又a<0,故－错误!≤a<0。

综合得－错误!≤a≤0.故选D。

3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的实数x,都有f（1＋x)＝f(－x)，那么（）A．f(－2）〈f（0）〈f（2）B．f（0)<f(－2）<f（2）C．f（2）<f（0）<f（－2) D．f(0）<f（2)<f（－2）答案D解析由f（1＋x）＝f（－x）知f(x)图象关于x＝错误!对称，又抛物线开口向上，结合图象可知f(0)〈f(2)<f(－2)．故选D.4．(2018·聊城检测)若二次函数f(x）满足f（x＋1）－f（x）＝2x,且f（0)＝1,则f(x)的表达式为（)A．f(x)＝－x2－x－1 B．f（x)＝－x2＋x－1C．f（x)＝x2－x－1 D．f(x）＝x2－x＋1答案D解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得错误!故错误!解得错误!则f(x)＝x2－x＋1.故选D.5．(2018·雅安诊断)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分,图象过点A（－3，0）,对称轴为x＝－1。

姓名，年级：时间：第四节二次函数与幂函数命题导航考试要点命题预测(1)了解幂函数的概念.(2)结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=1x，y=x12的图象,了解它们的变化情况。

1。

考向预测：幂函数一般不单独命题，常以幂函数、二次函数为载体,与指数函数、对数函数交汇命题,考查函数的单调性、求参数值或取值范围.二次函数的图象与性质及三个二次的关系是考查的热点.2.学科素养:主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。

1.二次函数(1)二次函数的定义:形如①f（x）=ax2+bx+c（a≠0)的函数叫做二次函数.(2）二次函数的三种表示形式：(i）一般式： f（x)=ax2+bx+c（a≠0）;（ii）顶点式： f（x）=a（x—m)2+n（a≠0）;（iii)两根式： f（x)=a(x-x1)(x—x2)(a≠0）.（3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象和性质:a>0a〈0图象定义域 RR值域 ② [4ac -b 24a,+∞)(-∞,4ac-b 2]对称轴 x=③ —b2a顶点 坐标 (-b 2a ,4ac-b 24a) 奇偶性b=0⇔y=ax 2+bx+c （a≠0)是偶函数单调性在(-∞,-b2a )上是④ 减 函数;在(-b2a ,+∞)上是增函数在(-∞,-b2a )上是⑤ 增 函数;在(-b2a ,+∞)上是减函数最值当x=—b2a 时, y min =⑥4ac -b 24a当x=-b2a 时， y max =4ac -b 24a▶提醒 注意二次项系数对函数性质的影响,经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论. 知识拓展一元二次不等式恒成立的条件（1)“ax 2+bx+c>0(a≠0)恒成立"的充要条件是“a〉0且Δ<0”。

（2)“ax 2+bx+c<0（a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ〈0”. 2。

幂函数(1）幂函数的定义：形如⑦ y=x α 的函数称为幂函数，其中x 是⑧ 自变量 ,α为⑨ 常数 .（2)幂函数的性质：（i)当α〉0时，幂函数y=xα有下列性质：a.图象都经过点⑩(0,0) 、（1,1）.b。