第1课时 二次根式的概念与性质

3 24； 4 xy
2
2 答案： 98； 2 ； 1 15
把式子 ③ a a 02 a 反过来，得到什么？
2

a
a a 0

2
根据式子a 总是什么数？0 可以将 这里a a a 非负数
2
0 说明什么？ a a 一个数平方的形式。 一个非负数写成 由a
x2 当x取x 2且x 0的实数时，式子 有意义。 x 式子 5x有意义。
a0 a有意义的条件？
4 x 0,
x 1 0
当x取任何实数时，式子 x 1都有意义。
a有意义的条件______ a0
注意：当分母中有字母时，字母的取
值不能使分母为0
x2 如 有意义的条件是x 2 0且x 1 0 x 1 x 2, 且x 1
2
1、二次根式的概念
⑴定义：形如
a
(a≥0)的式子叫做二次根式。
⑵特点①根指数为 2；②被开方数必须是非负数。
2、根号内字母的取值范围 3、二次根式的性质
a 中a0
①
a 0 a 0
②

a

2
a a 0 a
③ a


2
a 0
1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ）. A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0 2.下列各式中，是二次根式的有 __________________________?.
解： 1
2
2
2
7

2
9 7 63
2
4
a5

2

二次根式的概念及性质对于大多数人来说，学习数学常常会遇到许多难题，其中包括二次根式。

在本文中，我们将会详细探讨二次根式的概念及性质，以便更深刻地理解这一数学概念。

一. 二次根式概念二次根式，也就是平方根式，是指表达式中含有平方根的式子。

例如，我们可以将$\sqrt{2}$看做二次根式。

二次根式是一种特殊的无理数，也就是说它不能写成分数形式。

二次根式具有以下一些重要特征：1. 二次根式中的数值通常是无理数，因此不能表示为分数形式。

对于非完全平方数，无法化约，只能用$\sqrt{a}$表示。

2. 满足乘方的指数法则:$\sqrt{i} \times \sqrt{j} = \sqrt{ij}$。

3. 满足加减的公式:$\sqrt{i} \pm \sqrt{j}$是不能合并的。

二. 二次根式性质在接下来的内容中，将讨论二次根式的乘法、开方以及化简。

乘法我们来看一下下面这个式子:$(a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})$。

这是二次根式的乘法公式，可以化简为$ac+2bd+(ad+bc)\sqrt{2}$。

简易的乘法公式可概述为:$$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$同理，$$(a-b)\times \sqrt{c} = a\sqrt{c}-b\sqrt{c}$$开方当对一个平方根求值时,我们要找到它的平方是多少。

找到它的平方根就是简单的数学操作。

举个例子，如果是$\sqrt{9}$，平方是9，所以它的平方根就是3.而如果是$\sqrt{a^2 + b^2}$，则无法化简。

直接求这个平方根是十分困难的，所以我们往往采取近似求解或其他算法将其化简为另一个更容易求解的式子，在此不做详细讲解。

化简化简二次根式是化简至最简二次根式的过程。

例如，$\sqrt{8}$可以被化简为$2\sqrt{2}$。

我们可以通过合理运用乘法公式，将含有多个平方根的式子简化为最简的形式。

1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法

章节复习知识精讲与综合训练专题01 二次根式的概念及性质知识点01 二次根式的概念1（10a ³）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数．（2）二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．即两个特性（双重非负性）⎩⎨⎧³³00a a 【典例分析】1．下列式子一定是二次根式的是（）ABCD2是整数，则a 能取的最小整数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33a 的取值范围为（ ）A ．1a ³-B ．2a ¹C ．1a ³-且2a ¹D ．1a >-4．若2m =+，则m n -=（ ）A ．425B ．254C ．254-D ．425-5=-a 的取值范围是（ ）A ．20a -££B ．0a £C ．a<0D ．2a ³-知识点02 二次根式的性质1、二次根式的性质（1性质1(0)a a³；性质22；性质3=0a ³，0b ³）；知识精讲性质4（0a ³，0b >）．（2与a的关系：(0)0(0)(0)a a a a a >=-<⎩．【典例分析】6．观察下列式子：====…．请你按照规律写出第n （1n ³）个式子是( )A(n =-B=C(n =+D=7．实数a 、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简b ）A ．2a b -+B ．2b a -C ．a D ．B 8．已知xy ＞0，化简二次根式- ）ABC．D．9．实数a 、b的结果是（ ）A ．- 2a B ．2（a +b ）C ．2b D ．- 2b 10．实数a，b）A ．2b -B ．2a -C ．22ba -D ．0123x =+，则x 取值范围为（ ）A ．2233x -££B ．203x -££C ．203x ££D ．23x £-或23x ³2．当1a <- ）A ．1-B ．1C ．21a +D ．12a--3．已知0xy <）．AB．CD ．4．实数a，b ||a b ++化简的结果为（ ）A ．a B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b-+5．在下列各式中，计算正确的是（ ）A9=-B ．3=C ．(22=-D1=-6，3，…，3，；L ；若()14，，()23， ）A ．()64，B ．()53，C ．()52，D ．()65，7．若实数a 、b 、cA ．a c -B ．2a b c --+C ．a c --D ．a c -+8．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）综合训练A B C D9．x ）A ．0B ．1-C ．2-D ．3-10．下列各式中，正确的是（）A 5=±B 142=C =D 210-=-二、填空题11．对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种运算※如下：a b =※，例如23==※62=※____________．12．实数a ，b 化简的值是___________．13)12x <<=___________．14a 的取值范围是_____________________．15．已知等腰三角形ABC 0BC =，则此三角形的周长为___________.16．如果2、5、m _____．17＝_____．18．若22m n x y --与423m n x y +是同类项，则3m n -的平方根是____________．19a =，则a =_____________．20．若3y =，则xy =________．三、解答题21．求代数式a 的值，其中2022a =-．如图，小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题．(1)___________的解法是错误的；(2)求代数式a+的值，其中4a=22．已知关于x、y的二元一次方程组325342x y ax y a+=⎧⎨+=-⎩①②的解互为相反数．(1)求a的值；(2)若b为3c23．当2022a=时，求a的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)__________的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：____________________；(3)当3a>|1|a-的值．。