8、1比例线段与黄金
分割
比例线段与黄金分割
【知识要点】
1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d c
b a =，则称线段d
c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a d
c
b a =⇔=⇔=::，其中d
c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第
四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。 3．
n
1
=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一
单位
4．比例性质：①基本性质：
bc ad d
c
b a =⇔=；②反比性质：c
d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：
a
b
c a
d c b a =⇔=； ④合比性质：d b
c b b a
d c b a ±=
±⇔=； ⑤等比性质：
n n b a b a b a b a === 332211，则1
12121b a
b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若a
c b =2，则称b 是ac 的比例中项
6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点； 7．
2
1
5,215--=
=较长线段
较短线段
整条线段较长线段叫做黄金比值。 相似多边形
相似多边形 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个或多个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。
相似多边形性质
相似多边形性质定理1：相似多边形周长比等于相似比。
相似多边形性质定理2：相似多边形对应对角线的比等于相似比。
相似多边形性质定理3：相似多边形中的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。
相似多边形性质定理4：相似多边形面积的比等于相似比的平方。 相似多边形性质定理5：若相似比为1，则全等
相似多边形的性质定理主要根据它的定义：对应角相等，对应边成比例。 相似多边形的判定
对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形. 所有对应边成比例，那么这两个多边形相似
练习：
1、若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c 的值等于（ ） 2.若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :________ 3.若3:2:1::=c b a ，则c
b a c
b a +---的值为________
4.已知
8
75c
b a ==，且20=++
c b a ，则=-+c b a 2________ 5.若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是________
6.如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-5
1
b a b a
7.在Rt △ABC 中，斜边AB ＝205，40
9
=
BC AC ，试求AC ，BC 的值。 8.在△ABC 中，AB ＝12，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE ＝6，EC ＝4，且EC
AE
DB AD =
。 （1） 求AD 的长；
（2） 试问AC
EC
AB DB =
能成立吗？请说明理由。
9.若6
54
3
2+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c .
10.（1）已知b
a a
b b a x +=
+=+=2
22，求x 的值 （2）已知5
24232x
z z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值
11、已知a b a -=32，求b
a b
a +-34的值。
黄金分割：
1、若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2. 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3. 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求AB
BC
的值 。
4. 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？
5. 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：
（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅
6. 如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC
AE
BD AD =
, (1)你能说明AC
EC
AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。 (3)若3
===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。 A C B
精品资料
E
A
B
D
C
F
E D
C
B
A
7. 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点， DC
BD
AC AB =
,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。
相似多边形：
1．如图1－4－13，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，将梯形ABCD 分成两个相似的梯
形，梯形AEFD 和梯形EBCF ，若AD=3，BC=4，则EF 的长为__________.
2、如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．
（1）求证：∠AED =∠ADC ，∠DEC =∠B ； （2）求证：AB 2＝AE •AC ．
3、如图，在△ABC 中，BC ＞AC ，点D 在BC 上，且DC=AC ，∠ACB 的平分线CF 交AD 于点F ．点E 是AB 的中点，连结EF ． （1）求证：ＥＦ∥ＢＣ；
（2）若△ABD 的面积是6．求四边形BDFE 的面积
A
B D C
