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24.2比例线段（2）上海市风华初级中学方忠平教学内容分析本课主要是两个部分.第一部分是线段的比例中项问题；第二部分是黄金分割及黄金数的有关知识.教学目标1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点重点：黄金分割的意义.难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题．教学用具准备投影仪、笔记本，预习本教学流程设计教学过程一、 情景引入1．观察（1） 请同学们欣赏一段芭蕾舞表演， 对学生视觉上形成美的冲击.师:“芭蕾舞在跳法上和其他舞种有什么区别吗？” 生:“要掂起脚尖.”师:“你们想知道这是为什么吗？”让学生有了强烈的求知欲.（2） 展示四个国家的国旗.中华人民共和国 朝鲜 新西兰 新加坡2．思考师：请问这四面国旗中有共同图案吗？若有，请指出来.师：为什么都会选择五角星这个图案呢？除了政治因素外，还有一个非常重要的原因就是：五角星是一个非常完美的图案. 古希腊数学家毕达哥拉斯有一句名言：“凡是美的东西，都具有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致.”下面就让我们从数学的角度来探究五角星中部分与部分以及部分与整体之间存在着怎样的一种关系.[说明] 通过创设情境“四个国家的国旗中都有五角星这个图案”，就会使同学们认识到五角星这个图案不一般，也就会非常想知道五角星中部分与部分以及部分与整体之间到底蕴涵着怎样的一种关系.有了探究的欲望，就会很乐意完成下面的做一做.3．讨论度量点C 到点A 、B 的距离，计算AB AC 和AC BC 的值，你发现了什么？[说明」（通过学生亲自动手操作、计算，最终发现了AB AC ＝ACBC ，即部分与部分之比等于部分与整体之比，符合毕达哥拉斯的审美观点，很自然地就引出了黄金分割的概念.）二、学习新课1．概念辨析例题1 如图，线段AB 的长度是l ，点P 为线段AB 上的一点，AB AP AP PB =，求线段AP 的长.如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点AP 与AB 的比值为215-，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割数（简称黄金数）.师：下面就让我们来解决刚才的问题，若由黄金分割点来看，理想身材的黄金分割点是肚脐，即一个人的上半身的长度与下半身的长度的比值或下半身的长度与整个身高的比值越接近0.618，就会越给別人有一种美的感觉.但是很可惜，一般人的这个比值大约只有0.58到0.60左右（腿长的人会有较高的比值），由此可见，芭蕾舞演员掂起脚尖跳舞是为了提高这个比值，增加美感.现实生活中这样的例子也很多，比如：女性穿高跟鞋，会让人体看起来更美些.黄金分割是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的，古希腊人把它广泛应用于艺术创作当中，其中最经典的作品就是雕像——维纳斯女神，她的上半身和下半身的比率正是0.618.[说明]当学生了解了黄金分割的概念之后，再来解决芭蕾舞演员跳舞要掂起脚尖的问题，并欣赏雕像-----维纳斯女神，能使学生感受到黄金分割的美学价值.2．例题分析 问题一（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？（2） 点D 应满足怎样的条件？（3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？（4） 你还发现了什么？ [说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，A P BD这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.）问题二师：下面我们再来了解黄金分割在现实生活中的应用.请同学们观察两幅照片，哪一更具有美感呢？师：你们知道这是为什么吗？因为绝对的对称会给人单调、静止、缺乏活力的感觉，为了打破这种感觉，我们在构图的时候，就需要灵活地运用黄金分割来构图，把画面的上下左右用黄金分割来做出4条线，人们发现4条线交汇的4个点是人们的视觉最敏感的地方，被反复证明的是当被摄主体处于或发布在这4个点附近最容易得到“眼球”，在摄影理论里把这4个点称为“趣味中心”.[说明]学生选择图（2）完全是一种直觉，并不明白其中的原因，当把上述道理讲给学生听时，他们对黄金分割的美学价值有更深的认识.问题三师：下面再来看看黄金分割在建筑上的应用.（展示巴黎埃斐尔铁塔、上海东方明珠电视塔、古埃及金字塔三幅图片，讲述其中蕴涵的黄金分割比例，体会黄金分割在建筑上的应用价值和人文价值.）问题四师：同学们已经了解到线段的黄金分割是完美的分割，事实上现实生活中还有另外一种有趣的黄金分割现象.请同学们在下面十个矩形中（请若干个同学来找出他认为最合乎美的矩形，最后大部分同学将目标锁定在第①、⑤、⑧和⑩这四个矩形上，此时告诉他们这四个矩形分别是5×8，8×13，13×21，21×34的矩形，请他们用计算器算出这四个矩形的宽与长的比值（结果保留3个有效数字），结果分别是：0.625，0.615，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩0.619，0.618，这时同学们惊奇地发现这四个矩形的宽与长的比值均接近于黄金比，从而引出黄金矩形的概念.[说明]黄金矩形的概念并不是直接告诉学生的，而是通过亲身经历这么一个活动过程，自己感悟到合乎美的矩形和黄金分割的内在联系.） 矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.师：古希腊人已经发现黄金矩形是最合乎美的矩形，他们将建筑物的门、窗的轮廓都设计成黄金矩形的形状，其中最著名的就是巴特农神庙.如果把巴特农神庙的轮廓抽象为矩形ABCD ，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇的发现，BC AB BE BC =，点E 是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD 的宽与长的比是黄金比吗？[说明]这里涉及到比例变形的一些技巧，要给学生时间进行充分的交流.最终发现巴特农神庙的轮廓为黄金矩形，展示了黄金分割的文化价值.师：黄金矩形之所以称为黄金矩形，并不仅仅因为它的宽与长的比等于黄金比，更重要的是：由上述方法作图后得到的新的矩形BCFE 也为黄金矩形（原因留给同学们课后思考）.巴特农神庙之所以神奇，并不仅仅因为它的的轮廓恰好为黄金矩形，它有更深层次的美.[说明]动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象. 通过动画演示巴特农神庙在构造上不断符合黄金矩形的神奇现象，同学们已经被巴特农神庙中所蕴涵的建筑艺术所折服，使学生再一次感受到了黄金分割和黄金矩形的美学价值.3．问题拓展例题2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AOD BOC S S ∆∆= 求证：OA CO OB DO =. 证略 尝试：（1）作顶角为036的等腰三角形ABC;（2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;OA B D C（3）作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ∆的底边CD 的长度.最后，分别求出ABC ∆与BCD ∆的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？所以我们把顶角为o 36的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：（1）618.0≈ABBC ; （2）设BD 是ABC ∆的底角的平分线，则BCD ∆也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点;（3）如再作C ∠的平分线，交BD 于点E ，则CDE ∆也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.巩固练习已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝555-，且AC ＞BC ，求线段AB 与BC 的长.课堂小结1、今天我们共同研究了什么数学知识？2、和以往的数学知识相比，今天的内容有什么不同？作业布置书后练习1、2、3，练习册24.2（2）教学设计说明本节课的研究对象是“黄金分割”，我采用从“美学”——“数学”的逻辑顺序去阐述这个课题，能够极大的提高学生探究的兴趣.并且引用了四个生活中的例子，使学生在不断享受“美”的过程中掌握知识，体验数学的社会功能.。
比例线段与黄金分割【知识要点】1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若dc b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dc b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项. 4．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 5．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：cd a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质：nn b a b a b a b a === 332211，则112121b a b b b a a a n n =+++++ 6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点；7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
【典型例题】例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( ) A.dc b a = B.c c bd d a +=+ C.c d b a =22 D.d a cd ab = 例5. 已知dc b a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b=c 2∶d 2 B. a ∶d=c ∶bC. a ∶b=（a+c ）∶（b+d ）D. a ∶b=（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
⼀⽐例及⽐例线段是系年103888488加2A B58101连地连等设k法⽅法iCcikbiksk⻮⼒⼆灵⼗成⼆Ík64i了红⽓b⼆号⼆华ai bi C当i j i I6i4i381215x y z2345-81215i b⼆4k ci5kat b t E Nk224k-2以设a c-2k o a 6b8C10a t b7k20c b k3040ABC为直⻆三⻆形i o_o30得a3k⼆⽐例及⽐例线段1基本性质⼀吐⾎2个⼭动加11-8a48-y xty It动⼗⼆038⼆可加td另⼆号718⼏⼗⼏1⼏⼗1m t I18⼏⼗m8mntfmtn2tn8mnt8ntmtmllmtuj mtElmtnjlm nsim tnim⼗⼏⼆7年216冲①1为⽐例中项14⽐12a②a为⽐例中次i⼼从4a2③4为⽐例中项i和k a a16-2-186万吃A CBD751-16-8⼒动-601加3加上0Xi3倽加22合⽐性质b彘了等地性质i台⼆柒⼆年⼆章⼆千⼆步⼆三故原⾮主城1 datbtbtctl.tnfatbtc.HR⼆zlatbat btc to k2at btc⼆0k其⼆1丝55 4千⼆为千⼆千⼆k年⼆k 团箱性质有abtbzctz34⼆⼈⼆9k则以23k b21k源或是c ˇˇˇ1aty lt会mbtdm⼀⼆1⼗号mㄡi元fi a bjt三⻩⾦分割a railA l p B不妨设AB l AT则叩⼆1-ai f答N1-a any⼆0u-12㐀或a严倽1x XH 器器型f l titiXX 步骤0作的中垂线交1扔于川点②延⻓AB⾄17点使131213川③作MD中重线截⽐⼆BM④连AC截CH⼆CB⑤在AB上截取那⼆AH60下结论如图点P即为所求Bi d设A Bi2K则⾮你顺A P BPB⼆A BPA13万⽔器⽿器等76⽶x-型281万-1120⼒1万11X201万-D x20-8-errors 加30-10万p吓6mD1C a2lb aslb cjxlb ailb aJIb a xlb ayxib ailb aj xlb ajli51-XX4-10X⼆⼗等加⼆严倒四⻩⾦三⻆形1定义若⼀个三⻆形以底和膀之地为⻩⾦分割地则称这个三⻆形为⻩⾦三⻆形A器型AB CB C器型D0136OCD NBC360 BCE.li3CD.oABDOAECOABC72072036张36A器⼆兵D Z⼆⼗㐙36l i Tx360噐⼆架piABPBGSnpisrPBABI.SI⼆名不1-1匹C1BE⼆吓⼆厅箭⼆箭⼋⽉下洲⼆所i tl为AB⻩⾦分割点ig i AH TBH AB即952五平⾏线分线段成⽐例B器等⼀吓冷z13⾄ˇˇ11器ˇ12毙⼆千⾏43⼈杀了⼆⽅⼒38解得xgi.BE2。
比例线段和黄金分割一．比例线段：[基本概念]比例:如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例。
比例的基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc；如果ad=bc，且bd≠0，那么a/ b=c/d；如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。
比例线段：1.两条线段的长度比叫做这两条线段的比。
2.在同一单位下，四条线段长度为a、b、c、d，其关系为a:b=c:d，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
3.一般的，如果三个数a,b,c满足比例式a:b=b:c,则b就叫做a,c的比例中项。
4.d为第四比例项。
若a:b=c:d(b.d≠0)，则有1）ad=bc2）b:a=d:c （a.c≠0）3）a:c=b:d ; c:a=d:b4）(a+b):b=(c+d):d5）a:(a+b)=c:(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)6）(a-b):(a+b)=(c-d):(c+d) ( a+b≠0,c+d≠0)二．黄金分割：介绍把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是5^/2-1/2或二分之根号五减一，取其前三位数字的近似值是0.618。
另一侧则是3-5^/2。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。
这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：1/0.618=1.618(1-0.618)/0.618=0.618这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
让我们首先从一个数列开始，它的前面两个数是：1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和。
例如：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做“斐波那契数列”，这些数被称为“斐波那契数”。
斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？经研究发现，相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：24.2 比例线段（2）—黄金分割教学目标：1、会运用同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，进行三角形的面积比与线段比的转化；2、在比例线段性质的证明与运用过程中，体会方程思想的作用；3、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点；4、经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法。
教学重点：黄金分割的意义。
教学难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题。
教学过程：一、问题引入，获得感悟问题1：如图，点D 是BC 边的中点，则ABD ∆与ACD ∆的面积比是多少？ 分析：过点A 作AE BC ⊥于点E ， 则11,22ABD ADC S BD AE S CD AE ∆∆=⋅=⋅， 因为点D 是BC 的中点，所以BD=CD ，所以12112ABD ACDBD AES BD S CD CD AE ∆∆⋅===⋅。
板书：1、等底（同底）等高（同高）的两个三角形面积相等。
问题2：如图，点D 是BC 边上的一点，且:1:2DC BD =，则ABD ∆与ACD ∆的面积比是多少？ABD ∆与ABC ∆的面积比呢？ABC ∆与ACD ∆的面积比呢？ 分析：过点A 作AE BC ⊥于点E ， 则11,22ABD ADC S BD AE S CD AE ∆∆=⋅=⋅， 所以12212ABDACDBD AES BDS CD CD AE ∆∆⋅===⋅。
同理23ABD ABC S S ∆∆=，3ABCACDS S ∆∆=。
板书：2、等高（同高）的两个三角形面积比等于对应底边之比。
问题3：如图，点D 是BC 边上的一点，若32ABC ABD S S ∆∆=，则BDBC的值为多少？ 分析：由问题2，可知32ABC ABD S BCS BD∆∆==， 所以23BD BC =。
解析：课前预习第1、2题。
1、已知线段4,9a cm c cm ==，则线段a 和c 的比例中项b = ； 第2题图AB D E AB DE2、如图，在ABC ∆中，点D 在AB 上，若3ABC ACD S S ∆∆=，则:BD AD = ； 问题4：如果两个三角形的一边相同或相等，则它们的面积比与什么有关？板书：3、等底（同底）的两个三角形面积比等于对应高之比。
黄金分割点比例公式初中初三数学黄金分割公式：b2=a（a-b）=a2-ab；（√5-1）÷2。
公式中a为线段AB的长度，C点在靠近B点的黄金分割点上，b为AC的长度，b与a的比值就是黄金分割。
黄金分割线是一种古老的数学方法，黄金分割的创始人是古希腊的毕达哥拉斯，在当时十分有限的科学条件下大胆断言：一条线段的某一部分与另一部分之比，如果正好等于另一部分同整个线段的比即0.618。
黄金分割点AB÷a=a÷b=1.618拓展资料：1.条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是一个无理数。
2.这个分割点就叫做黄金分割点，通常用Φ表示。
这是一个十分有趣的数字，以0.618来近似表示。
3.黄金分割点美学价值：因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割。
4.舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。
5.就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。
在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。
6.正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。
黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。
应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。
7.黄金分割有着很多的应用。
如：最完美的人体：肚脐到脚底的距离/头顶到脚底的距离=0.618；最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的距离/头顶到脖子的距离=0.618。
线段黄金分割点公式
线段黄金分割点公式，也被称为黄金分割比或黄金分割比例，是一种常用的数学工具，可用于寻找线段中的黄金分割点。
黄金分割，又称为黄金比例，是指将一条线段分割成两段，使整条线段的长度与较长部分的长度之比等于较长部分与较短部分之比。
这个比值约等于1.618，常用希腊字母φ（phi）表示。
根据线段黄金分割点公式，我们可以计算出黄金分割点在
线段上的位置。
设线段的长度为L，黄金分割点距离线段起点
的距离为x，则根据公式：
L / x = x / (L - x) = 1.618
将上述公式进行简化，我们可以得到二次方程：
x^2 - 1.618xL + L^2 = 0
通过解这个二次方程，我们可以得到黄金分割点在线段上
的位置。
常见的求解方法包括配方法、求根公式或者使用计算机软件进行数值计算。
使用黄金分割点公式可以帮助我们在绘画、摄影、设计等
领域中进行构图的优化。
人眼往往更喜欢黄金比例所呈现的比例关系，因此在布局和设计中使用黄金分割点可以创造出更具吸引力和美感的作品。
值得注意的是，黄金分割点公式只是一种计算工具，并不
意味着黄金分割点一定是最优解。
在实际应用中，我们可以根据需求和审美来灵活运用，以达到最佳的效果。
线段黄金分割点公式是一种能够帮助我们找到黄金分割点
的数学工具。
了解这个公式可以帮助我们在艺术创作和设计中更好地运用黄金分割的美学原理。
九年级数学黄金分割知识点黄金分割是一种美学原则，也是一种数学概念。
它源自古希腊艺术与建筑，被广泛应用于文化和设计领域。
黄金分割是一种比例关系，其比值约为1:1.618。
在九年级数学中，黄金分割也是一个重要的知识点，它与数列、图形等内容密切相关。
一、黄金分割比例黄金分割比例是指一个线段一分为二时，较长部分与整体的比值等于整体与较短部分的比值。
即如果将一个线段分成两部分，较长部分与整体的比值约等于1.618，而较短部分与整体的比值约等于0.618。
这个比例是无限不循环小数，被简化为1.618。
二、黄金分割的应用黄金分割在几何学和自然科学中有广泛的应用。
在几何学中，一些特殊的图形，如黄金矩形和黄金三角形，具有黄金分割的性质。
黄金矩形是指长和宽之比为黄金分割比例的矩形。
黄金三角形是一个直角三角形，其两条腰的比例接近黄金分割。
这些图形在建筑和设计中被广泛使用，给人一种美感和和谐感。
黄金分割还与数列和斐波那契数列有密切关系。
斐波那契数列是一个无限序列，每个数字是前两个数字之和。
斐波那契数列的前两个数字是1，1，然后依次为2，3，5，8等等。
当我们计算斐波那契数列中相邻数字的比值时，会发现它们逐渐接近黄金分割比例。
例如，5/3≈1.667，8/5≈1.6，13/8≈1.625。
这种关系在数学中被广泛探讨，可以通过递归公式定义斐波那契数列。
三、黄金分割与美学黄金分割被认为是一种美学原则，用于艺术和设计中。
在绘画、摄影、雕塑等艺术形式中，黄金分割被用来划分画面，使得画面更加平衡和美观。
例如，在绘画中，艺术家可以将水平和垂直线分为黄金分割比例的两部分，以创建一种独特的视觉效果。
黄金分割也被应用于肖像摄影和建筑设计中，以达到更好的组合和比例感。
四、黄金分割的历史黄金分割作为一个数学概念，最早由古希腊数学家欧几里得提出。
在欧几里得的《几何原本》中，他给出了一种构造黄金分割比例的方法。
随后，黄金分割在文艺复兴时期再次受到重视，成为艺术和建筑中的一个重要原则。
学科教师辅导讲义六．三角形重心的定义：证（解）题规律、辅助线1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
⑴)(,为中间比nm n m d c n m b a == ⑵'',,n n nm d c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。
例题分析：例1：如图 4－85． AB ⊥于l. CD ⊥l 于 C,E 为 AD 中点．求证：△EBC 是等腰三角形．例2：如图4－86，CB ⊥AB ，DA ⊥AB ，M 为CD 中点．求证：∠MAB ＝∠MBA ．例3：若25a c eb d f ===，求ac bd --，234234a ce b df +-+-4.已知：如图20□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
5.已知：E 是正方形ABCD 的AB 边延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN ∥AE ，求证：MN =MB6、已知线段AB 长为1cm ，P 是AB 的黄金分割点，则线段PA= ;7、已知：M 是线段AB 的黄金分割点，AM>BM. 求证：AMAB AB AB AM =+。
初三数学第2讲：比例线段与黄金分割教学内容一、知识要点：1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果a、b、c、d是比例线段，即（或），那么线段a、d是比例外项，线段b、c是比例内项。
3、比例线段有以下性质：（1）基本性质如果，那么（2）合比性质如果，那么，；（3）等比性质如果，那么。
等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
例如：如果，那么小试牛刀：一、填空题1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果，那么=_____________。
4、等比性质：如果，且_____________，那么__________=5、若4x=5y，则x：y=____________6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______7、下列各组线段成比例的是（）A、1cm、3cm、2cm、4cmB、1m、20cm、5cm、25cmC、cm、cm、cm、4mD、4cm、8cm、6m、12cm8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB 的值为（）A、13B、19.5C、78D、1309、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）A、6.4厘米B、64分米C、0.4厘米D、4厘米二、典型例题：例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：（1）a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；（2）a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。
试判断它们是否成比例。
一、知识要点：
1、两条线段长度的比叫做两条线段的比。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
如果a、b、c、d是比例线段，即
段b、c是比例内项。
3、比例线段有以下性质：
（1）基本性质
如果ac，那么线段a、d是比例外项，线=（或a:b=c:d）bdac=，那么ad=bc bd
aca+bc+da-bc-d，； =，那么==bdbdbd
aca+cac=，那么===k。
bdb+dbd
a1a2a3===k，那么 b1b2b3（2）合比性质如果（3）等比性质如果等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情形。
例如：如果
a1+a2+a3a1a2a3====k b1+b2+b3b1b2b3
小试牛刀：
一、填空题
1、两条线段x、y的长度的比叫做这两条线段的____________，记作
____________。
2、在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比____________，那么这四条线段叫做成比例线段，简称____________。
3、合（分）比性质：如果aca±b=_____________。
=，那么bdb
4、等比性质：如果aceace== =，且_____________，那么__________=(== =) bdfbdf
5、若4x=5y，则x：y=____________
6、已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，则d为_______
7、下列各组线段成比例的是（）
A、1cm、3cm、2cm、4cm
B、1m、20cm、5cm、25cm
C
cm
cm、4m D、4cm、8cm、6m、12cm
8、已知点C是AB延长线上一点，且AC:CB=5:3,AB=52,则CB的值为（）
A、13
B、19.5
C、78
D、130
9、在比例尺为40:1的图纸上，一零件的长度为16厘米，则该零件的实际长度为（）
A、6.4厘米
B、64分米
C、0.4厘米
D、4厘米
二、典型例题：
例1、有两组线段，每组分别有四条，长度如下：
（1） a=16厘米，b=18厘米，c=5厘米，d=10厘米；
（2） a=10厘米，b=0.5厘米，c=0.6分米，d=12厘米。
试判断它们是否成比例。
分析：判断四条线段是否成比例，可以先把它们按从小到大的顺序排列，由比例的基本性质可知，即如果第一、四两个数之积等于第二、三两数之积，则四条线段成比例，否则不成比例。
ADAE A =DBEC
ABACADAE求证：（1）（2） ==DBECABAC例2、如图：已知
例3、三条线段的长分别为2cm、3cm、4cm，再添一条线段，使这四条线段成比例线段。
例4、已知：x：y=2:3，求(2x-y):(x+2y)的值。
例5、(4x-3y):(x+4y)=3:2，求x：y的值。
例6、已知
例7、已知x、y、z为三个互不相同的正数，且
x+yy+zz+x===k，(xyzk≠0)求k的值 zxyyx+yx==。
求x：y x-zzy
三、课堂练习：
1、在1:500000的某地图上，量得甲地到乙地的距离约为60厘米，那么甲地到乙地的实际
距离约为________________千米。
2、已知：x+yx-yy的值为__________ =，则y137
3、若x-y+zy+z-xxyz:=__________ ==，则yx345
三、解答题
4、已知线段x、y的长度满足3x-4y=0，求
x+y的值。
x-y
5、已知
6、如图：已知abc==，a+b+c=36，求a、b、c的值。
345ADAEADAEABAD。
求证：（1）；（2） ===BDCEABACACAE
ED
A
BC
7、在△ABC和△EFG中，已知
的周长？
ABBCCA1===，且△EFG的周长是15，求△ABCEFFGGE2
8、已知a、b、c是△ABC的三边长，且
（1）求：abc==。
2343a-b； 2c
（2）若△ABC的周长为63厘米，求△ABC各边的长。
黄金分割
一、知识要点：
1、如果比例的两个内项（或两个外项）相同，那么这个相同的项叫做比例中项。
如a：b=b：c（或b：a=c：b）时，b叫做a和c的比例中项，这时b=ac。
2、黄金分割
如果点P把线段分割成AP和PB（AP>PB）两段，其中，AP是AB和PB的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点。
AP与AB
割数，它的近似值为0.618。
2称为黄金分
小试牛刀1：
1、16和9的比例中项是__________
2、线段a=6cm，b=24cm，则a、b的比例中项是___________
3、b是a、c的比例中项，a：b=5:3，则c：b=______
4、已知a:b=c:d，求证：ab+cd是a+c与b+d的比例中项 2222
二、典型例题
1、已知线段AB的长为2厘米，点P是AB的黄金分割点，AP>BP，求AP的长？上题中，若条件“AP>BP”没有，AP结果会怎样？
2、已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=+1，求AC的长？
3、已知线段AB=10，C、D是AB上的两个黄金分割点，求线段CD的长？
三、课堂练习
1、线段m、n、p的第四比例项是（）
A、mmnnpmp
B、
C、
D、 nppmn
2、已知1a和3a则它的比例中项是。
2
3、线段b是线段a、c的比例中项，已知a=4，c=6，求b=_______
4、已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列比例式能成立的是（）
A、ABBPBPABAPBPABBP
B、
C、
D、 ====APABAPBPABAPAPPA
5、已知线段AB=2，点P是AB的黄金分割点，则较长的线段。
6、如图AB=1，P1 、P2是线段AB的两个黄金分割点，
（1）AP2= AP1= A P1 P2 B
（2）点P1是线段AP2的黄金分割点吗？证明之
8、如图在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM=3-，求AD的长？
N
AD
BMC
9、如图在直角△ABC中∠B=900，AB=2，BC=1，在CA上截取CD=CB，在AB 上截取AE=AD，求证:点E是线段AB的黄金分割点
C
D
A E B
学生姓名：
一、填空题
1、若(x+y):y=8:3，则x:y=____________
2、若b3a=，则=________ ba+b5
3、等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是
__________
4、已知：△ABC和△A1B1C1,ABBCCA3===，且A1B1+B1C1+C1A1=16厘米，A1B1B1C1C1A12
则AB+BC+AC=____________厘米。
5、已知xyzx+y+z==，则= 345z
6、若a=8厘米，b=6厘米，c=4厘米，则a、b、c的第四比例项d=___________厘米；a、c
的比例中项x=__________厘米。
二、解答题
1、在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，
长为12，求△ADE的周长？
2、已知线段a=1,b=
3、设z≠0，x、y、z满足4x-7y-5z=0，2x-y-z=0，求x：y。
ABBCCA3===且△ABC的周ADDEEA25-13-5,c=，求证：线线b是a、c的比例中项 22
4、已知
aca+bc+d =≠1，求证=bda-bc-d
5、如图，正方形OABC、ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点B、E在函数y=的图象上，点F在AB上。
y
（1）求正方形ADEF的边长。
（2）求点E的坐标。
（3）点F是线段AB的黄金分割点吗？
（4）点A是线段OD的黄金分割点吗？
拓展训练：
已知a、b、c是非零实数，且满足
的值。
1(x>0)xa+b-ca-b+c-a+b+c(a+b()bc+()ca)+。
求==cbaabc。
