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结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加是指以系统无阻尼的振型（模态）为空间基底，通过坐标变换，使原动力方程解耦，求解n个相互独立的方程获得各阶模态振型，进而通过叠加各阶模态振型的贡献求得系统的响应。
在振型叠加法中，由于利用了振型的正交性，使得质量与刚度矩阵中的非对角项、耦合项得以消除，将联立的运动微分方程转换为N个独立的正规坐标方程，分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加原理得出用原始坐标表示的反应。
振型叠加法只适用于线性体系的动力分析，若体系为非线性，则可采用逐步积分法进行反应分析。
计算地震作用的方法地震作用计算可是个很重要又有点复杂的事儿呢。
一、底部剪力法。
这是一种比较简单的方法哦。
它主要适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。
就像是那种规规矩矩的小房子，不太复杂的建筑结构就可以用这个方法来计算地震作用。
它的基本思路呢，就是先算出一个总的底部剪力，这个剪力就像是整个建筑在地震时受到的一个总的“拉拽力”。
然后再根据一定的规则把这个总的力分配到各个楼层上去。
就好比是有一大袋糖果（底部剪力），要按照一定的方法分给每个小朋友（楼层）。
二、振型分解反应谱法。
这个方法就相对复杂一些啦。
它适用于比较高的建筑或者结构不规则的建筑。
它的理念是把结构在地震下的振动分解成好多不同的振型，每个振型都有自己的频率、周期和振型参与系数。
这就像是把一个复杂的舞蹈动作（建筑在地震中的振动）分解成一个个单独的舞步（振型）。
然后呢，根据反应谱曲线，算出每个振型对应的地震作用，最后再把这些不同振型的地震作用组合起来，得到结构总的地震作用。
这就像是把每个舞步的力量（每个振型的地震作用）合起来，才是这个舞蹈完整的力量（结构总的地震作用）。
三、时程分析法。
这个方法可就更酷啦。
它是直接输入地震波，就像真的让建筑去经历一场地震一样。
然后通过数值计算，一步一步地算出结构在地震过程中的反应。
不过呢，这个方法计算量超级大，就像要做一个超级复杂的大工程。
它一般用于特别重要的建筑或者是超高层、大跨度等复杂结构。
因为这些建筑结构太特殊啦，用前面两种方法可能不够准确，就像对待超级宝贝一样，得用最精细的方法来计算地震作用。
不管是哪种方法，都是为了让我们的建筑在地震的时候能够尽可能地安全。
建筑工程师们就像建筑的守护者，通过这些方法算出地震作用，然后设计出安全可靠的建筑结构，让大家在房子里住着安心、放心。
这也是对每一个生命的尊重和保护呢。
华中科技大学土木工程与力学学院《结构动力学》采用振型叠加法求地震作用下框架结构内力姓名：学号：班级：二O一五年四月二十一．设计任务与目的1、学习振型叠加法，并利用SRSS法求解多层框架结构的弯矩和剪力，并绘制内力图；2、通过设计的实践及其前后的准备与总结，复习、巩固和领会课堂上学习的知识，并结合新颁布《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）和《混凝土结构设计规范》（GB50010-2010）；二．设计资料与数据某两层钢筋混凝土框架（图1），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为G1=1350KN，G2=1150KN（图2），柱截面尺寸为b×h=400×400（mm×mm），梁刚度EI=∞，层高H=3.9m,混凝土强度为C40，裂度等级7，场地类别为Ⅱ、第二组，地震加速度为0.15g，E C=3.25×104N/mm2。
图1 两层框架结构图2 集中质量模型三．设计计算过程1.基本数据计算各层刚度计算：I=bh3/12=400×4003/12=2.13×109mm4k1=k2=k=24EI/H3=24×3.25×104×2.13×109/39003=2.8×104N/mm柔度系数计算：δ11=1/k=3.57×10-8m/Nδ11=δ12=δ21=3.57×10-8m/Nδ22=1/k+1/k=7.14×10-8m/N质量：m1=G1/g=1350×103/9.8=1.38×105kgm2=G2/g=1150×103/9.8=1.17×105kg2.求频率和振型δ11m1+δ22m2=3.57×10-8m/N×1.38×105kg+7.14×10-8m/N×1.17×105kg=1.3 3×10-2(δ11δ22-δ12δ21)×m1m2=(3.57×10-8m/N×7.14×10-8m/N-3.57×10-8m/N×3.57×10-8m/N)×1.38×105kg×1.17×105kg=2.06×10-5λ=[(δ11m1+δ22m2)±(）δ11m1+（）） ]/2（δ22m2δ11m1-δ12δ21×δ11δ224-+δ22m2m1m2=(1.33×10-2±9.72×10-3)/2={0.001790.0115故频率为ω1=1/√λ1=9.3250rad/sω2=1/√λ2=23.6360rad/s振型为Y11/Y21=-m2δ12/(m1δ11-1/ω12)=-1.17×105×3.57×10-8/（1.38×105×3.57×10-8-1/9.32502)=0.6354/1Y12/Y22=-m2δ12/(m1δ11-1/ω22)=-1.17×105×3.57×10-8/（1.38×105×3.57×10-8-1/23.63602)=-1.3317/13.求振型参与系数γ1=Σm i Y i1/Σm i(Y i1)2=(1.38×105×0.6354+1.17×105×1)/(1.38×105×0.63 542+1.17×105×12)=1.1851γ2=Σm i Y i2/Σm i(Y i2)2=[1.38×105×(-1.3317)+1.17×105×1]/[1.38×105×(-1.3317)2+1.17×105×12]=-0.18464.求自振周期T1=2π/ω1=2π/9.3250=0.6738sT2=2π/ω2=2π/23.6360=0.2658s场地类别为Ⅱ、第二组，查表得特征周期T g=0.4s；5.求水平地震影响系数α根据地震裂度为7度，地震加速度为0.15g，查表得水平地震影响系数最大值αmax=0.12 （多遇地震）其中η1=0.02；η2=1；γ=0.9由T g<T1<5T g,α1=(T g/T1)γη2αmax=(0.4/0.6738)0.9×1×0.12=0.075 由0.1s<T2<T g,α1=η2αmax=0.126.求地震作用由F i j=αjγj Y i j G i，得前两阶水平地震作用：F11=α1γ1Y11G1=0.075×1.1851×0.6354×1350=76.24KNF12=α2γ2Y12G1=0.12×(-0.1846)×(-1.3317)×1350=39.82KNF21=α1γ1Y21G2=0.075×1.1851×1×1150=102.21KNF22=α2γ2Y22G2=0.12×(-0.1846)×1×1150=-25.47KN7.画内力图在图中(a),(b）两组作用下，分别作出每组地震作用下结构所对应的剪力图和弯矩图，由于跨度对研究问题影响不大，不妨设跨度为6m，那么内力图如下：其中Va图为第一组地震作用下的剪力图Ma图为第一组地震作用下的弯矩图Vb图为第二组地震作用下的剪力图Mb图为第二组地震作用下的弯矩图Va Vb。
结构动力学在建筑结构抗震设计中的应用结构动力学在建筑结构中的抗震分析杜方江（宁夏大学土木与水利工程学院宁夏银川 750021）摘要：结构动力学在建筑结构设计中起着重要作用，在抗震结构设计中两者是相互依存、缺一不可的整体。
本文针对结构动力学在建筑结构设计中的应用，分析建筑结构设计中不但要考虑建筑结构的使用功能、建筑结构的安全度、建筑使用年限等。
在建筑结构设计中要考虑到当地震来临时使建筑物小震不坏、中震可修、大震不倒的抗震原则。
关键词：结构动力学结构动力特性建筑结构设计结构安全度1. 动力学中的结构动力特性（1）结构动力特性与结构的刚度及结构的质量有关。
用表达式表示：ω=k m式中k 为刚度;m为质量。
结构动力学在建筑结构中反映抗震性质的微分方程：y?C1cos?t?C2sin?t 其中的系数C1和C2可以根据初始条件确定。
假设在初始时刻t=0质点有初始位移y0和初始速度?0，即：y(0)= y0，y（0）=?0。
由此解??0?，C2=y0，把C1和C2代入微分方程即得：y(t)=y0cos?t?0sin?t ??（2）采用一种能够处理重复变换加载的三维有限元方法分析钢筋混凝土柱在地震荷载作用下的非线性特性。
钢筋混凝土墙-框架体系的非弹性地震反应，主要考虑连续变化的轴向力和挠曲的相互作用以及剪切变形的影响，并且轴向力的变化对动力反应影响显著，而剪切变形影响不大。
分析钢框架建筑的非弹性地震反应，发现柱的轴向塑性变性在一个方向积累，会导致水平位移增加，加剧P-△效应。
轴向力将减小挠曲为主的振型的自振频率。
采用离散变量的方法，将整个体系加以处理，用拉格朗日方程进行分析，便于考虑结构的空间特性。
2．建筑结构的定义及设计优化建筑结构是在建筑中，由若干构件，即组成结构的单元如梁、板、柱等，连接而构成的能承受作用的平面或空间体系。
建筑结构因所用的建筑材料不同，可分为混凝土结构、砌体结构、钢结构、轻型钢结构、木结构和组合结构等。
简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤振型分解反应谱法是一种常用的求解地震作用的方法。
其基本思想是将结构的振型分解成若干个单自由度系统，并在每个单自由度系统上进行分析，最后将分析结果合成得到整个结构的反应谱。
具体步骤如下：
1. 确定结构的振型
通过结构的模态分析，得到结构的振型及对应的振动周期和阻尼比。
2. 将振型分解为单自由度系统
根据振型的特点，将其分解为若干个单自由度系统，并确定每个单自由度系统的振动周期和阻尼比。
3. 计算单自由度系统的反应谱
在每个单自由度系统上，按照地震加速度谱和单自由度系统的特性进行计算，得到该单自由度系统的反应谱。
4. 合成结构的反应谱
将各个单自由度系统的反应谱按照一定的规则进行合成，得到整个结构在不同周期下的反应谱。
5. 分析反应谱
根据结构的设计要求和反应谱的分析结果，确定结构在地震作用下的最大位移、最大加速度等参数，以便进行结构的设计和验算。
总之，振型分解反应谱法是一种简单有效的求解地震作用的方法，但其结果的精度受到结构的振型分解精度等因素的影响，需要结合实
际情况进行综合分析。
结构地震反应分析与抗震验算计算题3.1 单自由度体系，结构自振周期T=0.5S，质点重量G=200kN，位于设防烈度为8 度的Ⅱ类场地上，该地区的设计基本地震加速度为0．30g，设计地震分组为第一组，试计算结构在多遇地霞作用时的水平地震作用。
3.2 结构同题3．1，位于设防烈度为8度的Ⅳ类场地上，该地区的设计基本地震加速度为0.20g，设计地设分组为第二组，试计算结构在多遇地震作用时的水平地震作用。
3.3 钢筋混凝土框架结构如图所示，横梁刚度为无穷大，混凝土强度等级均为C25，一层柱截面450mm×450mm，二、三层柱截面均为400mm×400mm，试用能量法计算结构的自振周期T1。
3.4 题3．2的框架结构位于设防烈度为8度的Ⅱ类场地上，该地区的设计基本地震加速度为0.20g，设计地震分组为第二组，试用底部剪力法计算结构在多遇地震作用时的水平地震作用。
3.5 三层框架结构如图所示，横梁刚度为无穷大，位于设防烈度为8度的Ⅱ类场地上，该地区的设计基本地震加速为0.30g, 设计地震分组为第一组。
结构各层的层间侧移刚度分别为k1=7.5×105kN／m，k2=9.1×105kN／m，k3=8.5×105 kN／m，各质点的质量分别为m1=2×106kg, m2=2×106kg, m3=1.5×105kg，结构的自震频率分别为ω1＝9.62rad/s, ω2=26.88 rad/s, ω3=39.70 rad/s, 各振型分别为：要求：①用振型分解反应谱法计算结构在多遇地震作用时各层的层间地震剪力；②用底部剪力法计算结构在多遇地震作用时各层的层间地震剪力。
3.6 已知某两个质点的弹性体系（图3-6），其层间刚度为k1=k2=20800kN／m，，质点质量为m1=m2=50×103kg。
试求该体系的自振周期和振型。
采用振型叠加法求地震作用下框架结构内力一、作业数据某两层钢筋混凝土框架（图1）,集中于楼盖和屋盖出的重力荷载值为：Gi = HOOkN, G2 = 1300kNo 柱截面尺寸为b x h = 450mm x 450mm,结构层高H = 3.9m,结构采用C45混凝土，弹性模量E。
= 3.35 x 104N/m2o场地类别为II第三组，地震加速度为0. 15g,地震影响按多与地震考虑，烈度为7级。
试采用振型叠加法求解结构的地震内力，并绘制内力图。
计算步骤1.基本数据计算各层刚度计算：I = ^ = 45Q^5°3 = 3.417 x 109mm4】 1 ] 24E1 24X3.35X104- “4“/k t = k2 = k = = —— = 4.632 x 104N/mm柔度系数计算：5ii = J = = 2.159 x 10-8 m/N812 = S2i = 8n = 2.159 x 10-8 m/N822 =- + - = 4.318 x IO-8 m/N K K 质量: u Gi图2集中质量模型H3390034.632X104Gi 1100X103 mi = 7 = ^^ 1.122 x 105kg2. 求频率和振型Sum! + 622m 2 = 2.159 x 10~8 x 1.122 x 105 + 4.318 x 10~8 x 1.327 x 105 =8.152 x KT?(§i 』22 — 5i252i)m 1m 2 = (2.159 x 10~8 x 4.318 x 10~8 — 2.159 x IO"8 x 2.159 x IO -8) x 1.122 xl05 x1.327 xlO 5=6.940 x 10-61 ( 8 ]]旳 + 5 221叱)± 7(( 5 u mi + 5 22m 2)2 - 4(8^622 - 512621)m 1m 2)A 9 = --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------228.152 x 10~3 ± J (8.152 x 10~3) 2 - 4 x 6.940 x 10~6= 2_ r 0.0072一 t 0.0010故频率为： 1 1 , 1 1 z (JL )X= —= = -7 ------------------------------------------------------------------ = 11.785 rad/s, a )2 = —= = -7 = 31.623rad/s庆 V0.0072/馮 VO.OOIO振型为：丫扌 _ m 2S 12 _ 1.327 xl05 x 2.159 xlO -8 _ -0.600 可=_ = - 1.122 x 105 x 2.159 x 10~8 - 0.0072 = 1.000 2mi%-苗 Yf _m 2512 _ 1.327 x 105 x 2.159 x IO -8 _ 3.484_= - 1.122 x 105 x 2.159 x IO"8 - 0.0016 = 1.00025%-時3. 求振型参与系数1.327 x 105kg1300x103 9.8_ {Y}⑴_ nhYf + gY 孑 _ 1.122 x ( - 0.6) + 1.327 x 1 Y1{Y}(1)T[M]{Y}(1)mi(Y 打2 + m2(Y 孑)2i.i22 x ( - 0.6) ? + 1.327 x 1=0.378,_ {Y}⑵T[M ]{1} _ mi Yf + m 2Y^ _ 1.122 x 3.484 + 1.327 x1丫2 = {Y }(2)T [M ]{Y}⑵=mi(Yf)2 + m2(Y 夕尸=1.122 x 3.4842 + 1.327 x1=0.3504. 求自振周期及特征周期2TT T I =—= 2nT 2 =——二2TT 二 =0.533S11.785 21T =———=0.199S 场地类别为II 第三组，查表知T g = 0.45s表5. 1- 4-2特征周期值(s)5. 求水平地震影响系数a 19 a 2地震影响烈度为7度，地震加速度为0. 15g,按多遇地震考虑，查下表得：a max = 0.12表5. 1.4-1水平地雀影响系数最犬值的地区。
2 抗震设计（水平地震作用下框架结构的内力计算）2.1抗震计算单元及动力计算简图取整个房屋或抗震缝区段（设防震缝时）为计算单元，动力计算简图为串联多自由度体系。
即将各楼层重力荷载代表值集中于每一层楼盖或屋盖标高处。
多自由度体系的抗震计算可采用振型分解反应谱法和底部剪力法。
本工程总高不超过40m，以剪切变形为主，且质量和刚度沿高度分布比较均匀，近似于单质点体系，故采用底部剪力法。
此法是先计算出作用于结构的总水平地震作用，然后将其按一定规律分配给各质点。
计算简图2—1 如下示：图2—12.2重力荷载代表值根据抗震规范1.0.2 抗震设防烈度为6度及以上地区的建筑，必须进行抗震设计。
根据抗震规范5.1.3 计算地震作用时，建筑的重力荷载代表值应取结构和构配件自重标准值和各可变荷载组合值之和。
各可变荷载的组合值系数，应按表2—1采用。
重力荷载代表值计算：1）屋面及楼面的永久荷载标准值1．屋面（上人）苏J01—2005：a. 10厚防滑地砖铺面，干水泥擦缝，每3—6m留10宽缝0.55kN/m2b. 20厚1:2.5水泥砂浆加建筑胶结合层找平层20×0.02=0.4 kN/m2c.40厚C20细石混凝土，内配Φ4＠150双向钢筋25×0.04=1.0 kN/m2d.隔离层/e. 三粘四油沥青油毡防水层0.4kN/m2f. 冷底子油一道/g. 20厚1:3水泥砂浆找平层20×0.02=0.4 kN/m2h.保温层5×0.15=0.75 kN/m2i.20厚1:3水泥砂浆找平层20×0.02=0.4 kN/m2j.现浇或预制钢筋混凝土屋面25×0.1=2.5 kN/m2 合计 6.4 kN/m2 2．1~4层楼面苏J01—2005a. 15厚1:2白水泥白石子磨光打蜡0.65 kN/m2b.耍素水泥浆结合层一道/c. 20厚1:3水泥砂浆找平层20×0.02=0.4 kN/m2d.现浇钢筋混凝土楼面25×0.1=2.5 kN/m2合计 3.55 kN/m22）屋面及楼面的可变荷载标准值上人屋面均布荷载标准值 2.0 kN/m2楼面活荷载标准值 4.0 kN/m2屋面雪荷载标准值S k=μr×S o=1.0×0.35= 0.35 kN/m2式中：μr为屋面积雪分布系数，取μr=1.03）梁、柱、墙、窗、门重力荷载计算：a．梁、柱可根据截面尺寸、材料容重及粉刷等计算出的单位长度上的重力荷载;对墙、门、窗等可计算出单位面积上的重力荷载，计算结构如表2—2梁、柱重力荷载标准值b．墙、门、窗重力荷载标准值：外墙体为200mm厚的粘土空心砖，外墙面贴马赛克（0.5 kN/m2）,内墙面为20mm 厚的抹灰，则外墙的单位墙面重力荷载为：0.5＋15×0.20＋17×0.02=3.84 kN/m2内墙为200mm厚的粘土空心砖，两侧均为20mm厚抹灰，则内墙单位面积重力荷载为：15×0.20＋17×0.02×2=3.68 kN/m2电梯井墙为240mm粘土空心砖，两侧均为20mm厚抹灰，则电梯井墙单位面积重力荷载为：15×0.24＋17×0.02×2=4.28 kN/m2木门单位墙面重力荷载为0.2 kN/m2，钢铁门单位墙面重力荷载为0.4 kN/m2铝合金单位墙面重力荷载为0.4 kN/m2门、窗、雨棚重力荷载代表值：一层门窗：0.2×(2×2.4×2＋1.8×2.4×2＋0.9×2.1×3＋1.8×2.4×1＋0.9×2.4×2)＋0.4×(4.5×2.4×13＋2.1×1.5×1＋1.8×1.5×2＋1.8×1.8×2＋1.5×1.2×3＋2.1×0.9×2) ＋0.4×(4.5×3.6×2)=98.92kN二~四层门窗：0.2×(1.8×2.4×2＋0.9×2.1×3)＋0.4×(4.5×2.4×16＋2.1×2.4×2＋1.8×1.5×2＋1.8×1.8×2＋1.5×1.2×3＋2.1×4.2×2)=89.98 kN五层门窗：0.2×(1.8×2.4×2＋1.8×2.4)＋0.4×(1.8×1.8×3＋2.1×2.4×2)=10.51 kNA轴的雨蓬：25×(2×11.8×0.1＋1.8×0.8×0.1×3＋11.8×0.8×0.1) ×2=186.80 kN 9轴雨蓬：25×1.5×7.6×0.1=28.5 kN五层雨蓬：25×2.5×0.1×3=18.75 kN楼梯重力荷载代表值：一层：25×0.1×2.8×3.8×2＋25×0.1×3.4×3.8＋25×0.164×0.3×1.95×10＋25×0.15×0.3×9×2=129.74 kN二~四层：25×0.1×2.8×3.8×2＋25×0.162×0.3×12＋25×0.161×0.3×12=82.27 kN外墙的重力荷载代表值：一层：3.84×[(59×2－0.6×11×2－0.2×14)×4.1＋(27.1－0.6×4)×3.9＋(23.5－0.6×4)×3.9－4.5×2.4×13－2.1×1.5×1－1.8×1.5×2－1.8×1.8×2－1.2×1.5×3－2.1×0.9×2－4.5×3.6×2－2×2.4×2－1.8×2.4×1－2.4×0.9×2－0.55×0.9]= 1463.33kN二~四层：3.84×[(59×2－0.6×11×2－0.2×14)×3.5＋(27.1－0.6×4)×3.3＋(23.5－0.6×4)×3.3－4.5×2.4×16－2.1×2.4×2－1.8×1.5×2－1.8×1.8×2－1.2×1.5×3－2.1×4.2×2]=1114.91 kN五层(包括女儿墙)：3.84×[(8.1×4＋8.4×2) ×2.7＋4×3.2×3.2＋3.4×3.2×1－2.1×2.4×2－1.8×1.8×3－1.8×2.4×3]＋25×[8.9＋59＋9＋9+(7.4－4.5－0.2×2)×2＋(7.2－4.5－0.2×2)×5]×1.2×0.2＋25×[4×4＋8.9×4＋9×2]×0.6×0.2= 1407.17kN内墙的重力荷载代表值：一层： 3.68×[(4×2＋3.2×2)×4.4＋(8.1+8.2)×3.9－1.8×2.4＋(3.5＋2.6＋5.8＋8.1)×3.9－0.9×2.1－1.8×2.4＋4×3×4.6－0.9×2.1×2]=895.79 kN二~四层：3.68×[(3.5＋2.6＋5.8＋8.1)×3.3＋4×3×3.8－0.9×2.1×3－1.8×2.4＋3.2×3.8＋8.1×3.3－1.8×2.4]=501.14 kN五层： 3.68×4×3.2=47.10kN电梯井墙重力荷载代表值：一层： 4.28×[(3.6＋1.9－0.6)×3.9＋(4＋3.2)×4.4]=217.38 kN二~四层： 4.28×[(3.6＋1.9－0.6)×3.3＋(4＋3.2)×3.8]=186.31 kN屋顶装饰架重力荷载代表值：25×(7.2×5+7.4×2)×1.2×0.1=129.6 kN总的重力荷载代表值：恒荷载取全部，活荷载取50%（按均布等效荷载计算），则集中于各楼层的标高出的重力荷载代表值为：G i的计算过程：一层： 3.55×(59×27.1－8.9×4×2－4×3.6)＋6977.87＋98.92＋186.80＋28.5＋129.74＋1463.33＋895.79＋217.38＋0.5×4×59×27.1=18568.35 kN二~三层： 3.55×(59×27.1－4×8.9×2－4×3.6)＋6766.59＋89.98＋82.27＋1114.91＋501.14＋186.31＋0.5×4×59×27.1=15208.597 kN四层： 3.55×9×4＋6059.42＋89.98＋82.27＋1114.91＋501.14＋186.31＋6.4×(59×27.1－8.9×4×2－9×4)＋0.5×4×(9×4＋8.9×4×2)＋0.5×0.35×(59×27.1－8.9×4×2－9×4)=18184.16 kN五层： 6.4×(8.9×4×2＋9×4)＋783.56＋10.51＋18.75＋1407.71＋47.10＋152.4＋0.5×0.35×(9×4＋8.9×4×2)=3124.87 kN故G1=18568.35kNG2=17311.22 kNG3=17311.22 kNG4=18184.16 kNG5=3124.87kN图2—2如下：G5=3124.87kNG4=18184.16kNG1=17311.22kNG2=17311.22kNG5=18568.35kN图2—2 各质点的重力荷载代表值2.3框架侧移刚度计算梁线刚度：i b=E c I b/l，I b=2.0I o（中框架梁），I b=1.5I o（边框架梁）。
采用振型叠加法求地震作用下框架结构内力
一、作业数据
某两层钢筋混凝土框架（图1），集中于楼盖和屋盖出的重力荷载值为：G1= 1100kN，G2=1300kN。
柱截面尺寸为b×h=450mm×450mm，结构层高H=3.9m，结构采用C45混凝土，弹性模量E c=3.35×104N m2
⁄。
场地类别为Ⅱ第三组，地震加速度为0.15g，地震影响按多与地震考虑，烈度为7级。
试采用振型叠加法求解结构的地震内力，并绘制内力图。
二、计算步骤
1.基本数据计算
各层刚度计算：I=b×h 3
12=450×4503
12
=3.417×109mm4
k1=k2=k=24EI
H3=24×3.35×104
39003
=4.632×104N mm
⁄
柔度系数计算：δ11=1
k =1
4.632×104
=2.159×10−8m N
⁄
δ12=δ21=δ11=2.159×10−8m N
⁄
δ22=1
K +1
K
=4.318×10−8m N
⁄
质量：
m1=G1
g =1300×103
9.8
1.327×105kg
2.求频率和振型
δ11m1+δ22m2=2.159×10−8×1.122×105+4.318×10−8×1.327× 105
=8.152×10−3
(δ11δ22−δ12δ21)m1m2=(2.159×10−8×4.318×10−8−2.159×10−8×2.159×10−8) ×1.122×105×1.327×105
=6.940×10−6
λ21=(δ11m1+δ22m2)±√((δ11m1+δ22m2)2−4(δ11δ22−δ12δ21)m1m2)
2
=8.152×10−3±√（8.152×10−3）2−4×6.940×10−6
2
={0.0010
0.0072
故频率为：
ω1=
1
√λ1
=
1
√0.0072
=11.785rad s，ω2=
1
√λ2
=
1
√0.0010
=31.623
⁄rad s⁄
振型为：
Y11 Y21=−
m2δ12
m1δ11−
1
ω12
=−
1.327×105×
2.159×10−8
1.122×105×
2.159×10−8−0.0072
=
−0.600
1.000
Y12 Y22=−
m2δ12
m1δ11−
1
ω22
=−
1.327×105×
2.159×10−8
1.122×105×
2.159×10−8−0.0016
=
3.484
1.000
3.求振型参与系数
γ1=
{Y}(1)T[M]{1}
{Y}(1)T[M]{Y}(1)
=
m1Y11+m2Y21
m1(Y11)2+m2(Y21)2
=
1.122×（−0.6）+1.327×1
1.122×（−0.6）2+1.327×1
=0.378
γ2=
{Y}(2)T[M]{1}
{Y}(2)T[M]{Y}(2)
=
m1Y12+m2Y22
m1(Y12)2+m2(Y22)2
=
1.122×3.484+1.327×1
1.122×3.4842+1.327×1
=0.350
4.求自振周期及特征周期
T1=2π
ω1
=
2π
11.785
=0.533S
T2=2π
ω2
=
2π
31.623
=0.199S
场地类别为Ⅱ第三组，查表知T g=0.45s
5.求水平地震影响系数α1，α2
地震影响烈度为7度，地震加速度为0.15g，按多遇地震考虑，查下表得：αmax=0.12
由特征周期以及下图地震应先系数曲线求得地震影响系数。
α1=(T g T 1)γη2αmax =(0.450.533
)0.9
×1.0×0.12=0.103
α2=η2αmax =1.0×0.12=0.12
6.
求内力，画内力图第一层：
F 11=α1γ1Y 11
G 1=0.103×0.378×(−0.6)×1100=−25.70 kN
F 12=α2γ2Y 12
G 1=0.12×0.35×3.484×1100=161.0 kN
第二层： F 21=α1γ1Y 21
G 2=0.103×0.378×1×1300=50.61 kN
F 22=α2γ2Y 22
G 2=0.12×0.35×1×1300=54.6kN
A. 结构作用F 11和F 21
时，由结构力学求解器。
求出的内力如下：
图表2第一主震型剪力图（KN）
图表3第一主震型弯矩图（KN*M）
22
图表4第二主震型轴力图（KN）
图表5第二主震型剪力图（KN）
图表6第二主震型弯矩图（KN*M）
注：受地震影响，轴力剪力和弯矩的最大值已用大黑体标识出来。
三、作业总结
这次作业是对这学期结构动力学课程学习成果很好的复习和检验，是一次非常有意义的学习过程，提升了我们对课程知识的理解和认知，明白了结构动力学在结构防震方面的重要作用。
感谢土木工程与力学学院结构力学教研室，感谢李黎老师对我们的悉心教导！。
