2020年深圳市高三二模文科数学试卷(含答案和解析)

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|0<x <2}，B ={x|x ≥1}，则A ∩B =( )A. {x|0<x ≤1}B. {x|0<x <1}C. {x|1≤x <2}D. {x|0<x <2}2. 已知复数z 满足z(1+i)=(3+i)2，则|z|=( )A. √2B. √5C. 5√2D. 8 3. 已知a =2,b =log 132,c =log 1215，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 若x,y 满足约束条件{−3≤x −y ≤1,−9≤3x +y ≤3,则z =x +y 的最小值为( ) A. 1 B. −3 C. −5 D. −65. 已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中能推出α⊥β的是( )A. l ⊂α，m ⊂β，且l ⊥mB. l ⊂α，m ⊂β，n ⊂β，且l ⊥m ，l ⊥nC. m ⊂α，n ⊂β，m//n ，且l ⊥mD. l ⊂α，l//m ，且m ⊥β6. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1、F 2，点P 是双曲线C 上的一点，∠PF 1F 2=15°，∠PF 2F 1=105°，则该双曲线的离心率为( )A. √6B. √3C. √2+√62 D. √627. 执行如图的程序框图，若输入的k =9，则输出的S =( )A. 10B. 15C. 21D. 288. 函数f(x)=x 2−2x +1的图象与函数g(x)=3cosπx 的图象所有交点的横坐标之和等于A. 2B. 4C. 6D. 89. 以正方体各面中心为顶点构成一个几何体，从正方体内任取一点P ，则P 落在该几何体内的概率为( ) A. 18 B. 56 C. 16 D. 78 10. 函数y =sin x ⋅1+2x 1−2x的部分图像大致为( ) A. B.C. D.11. 下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 2412. 如图，在三棱锥A −BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，AD =AB =1，∠BCD =45°，且BD =DC =√2.给出下面四个命题：①AD ⊥BC ；②三棱锥A −BCD 的体积为√22； ③CD ⊥平面ABD ；④平面ABC ⊥平面ACD ．其中正确命题的序号是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.从甲、乙、丙、丁这4名学生中随机选派2人参加植树活动，则甲、乙两人中恰有1人被选中的概率为______．14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为b2+c2−a24，bsinC=csin A+C2，则角C=________．15.已知如下等式：2+4=6；8+10+12=14+16；18+20+22+24=26+28+30；……以此类推，则2018出现在第____________个等式中．16.过椭圆x24+y2=1的左焦点F1作直线l交椭圆于A，B两点，F2是椭圆右焦点，则△ABF2的周长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知各项都为正数的等比数列{a n}，a2=32，a3a4a5=8．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=log2a n，T n=|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b n|，求T n．18.为了比较两种治疗某病毒的药(分别称为甲药，乙药)的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．(1)根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；(2)为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间(单位：天)，统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；(3)标准差s除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(x−3s，x+3s)之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合(2)中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？⋅[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2]，参考公式：s=√1n参考数据：√2340≈48．19. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，AB =PC =2，PA =PB =√2．(Ⅰ)求证：平面PBA ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求点D 到平面APC 的距离．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F(1,0)，点A 在x 轴的非正半轴上运动，点B 和y 轴上运动，满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，A 关于点B 的对称点为M ，设点M 的轨迹为曲线C ． (1)求C 的方程；(2)已知点G(3,−2)，动直线x =t(t >3)与C 相交于P ，Q 两点，求过G ，P ，Q 三点的圆在直线y =−2上截得的弦长的最小值．21.已知f(x)=(x−1)e x−a(x2+1)，x∈[1,+∞)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥−2a+lnx，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.已知正实数x，y满足x+y=1．(1)解关于x的不等式|x+2y|+|x−y|≤52．(2)证明：(1x2−1)(1y2−1)≥9．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题主要考查了交集的运算，属于基础题.利用交集的定义求解即可．解：∵集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴A∩B={x|1≤x<2}，故选C．2.答案：C解析：本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由z(1+i)=(3+i)2，得z=(3+i)21+i =8+6i1+i，∴|z|=|8+6i1+i |=|8+6i||1+i|=√2=5√2．故选C．3.答案：C解析：本题主要考查对数函数图像与性质的应用，属于基础题．解：由题意得：b=log132<log131=0，c=log1215>log1214=2=a，则c>a>b．故选C．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|0<x ≤1}，B ={x|x 2<1}，则(∁R A)∩B =( )A. (0,1)B. [0,1]C. (−1,1]D. (−1,0]2. 若复数(x 2−1)+(x −1)i 对应的点在虚轴上，则实数x 的值为( )A. −1或1B. 0C. 1D. −13. 已知点(−3,−1)和点(4,−6)在直线3x −2y −a =0的两侧，则a 的取值范围为( )A. (−24,7)B. (−7,24)C. (−∞,−7)∪(24,+∞)D. (−∞,−24)∪(7,+∞)4. 已知函数f(x)={(1−2a)x ,x ≤1log a x +13,x >1，当x 1≠x 2时，f(x1)−f(x 2)x 1−x 2<0，则a 的取值范围是()A. (0,13]B. [13,12] C. (0,12] D. [14,13]5. 容量为20的样本数据，分组后的频数如下表所示：分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70)频数 2 3 4 5 4 2则样本数据落在[20,50)的频率为( )A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.756. 如图，在ΔABC 中，，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. √3B. √32C. √33 D. 2√37. cos50°cos20°+sin130°sin20°的值为( )A. 12B. 13C. √32D. √338.已知抛物线y2=4x，直线x+2y−1=0与该抛物线交于A，B两点，则弦AB的长为()A. 24B. 20C. 16D. 129.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在棱CC1上，且CE=2EC1，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. √72B. √52C. √132D. √13310.已知ω>0，|φ|<π2，若x=π6和x=7π6是函数f(x)=cos(ωx+φ)的两个相邻的极值点，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y=g(x)的图象，则下列说法正确的是()A. y=g(x)是奇函数B. y=g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π11.已知函数y=f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=x2−3x+1，则f(3)=()A. 17B. −17C. 19D. −1912.设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=60°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=ax3+2x−1在点(1,f(1))处的切线过点(3,4)，则a=______．14.已知数列{a n}的前n项积为T n=5n2，n∈N∗，则a2009=____。

⎨ 绝密★启用前 试卷类型：（A ）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学本试卷共 6 页，23 小题，满分 150 分．考试用时 120 分钟．一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 A ={x -1 < x < 2}， B = {x y = lg ( x -1)} ，则 AA ． [-1 ，2)B ． [2 ，+ ∞)C ． (-1,1]D ． [-1 ，+ ∞)2 ． 棣莫弗公式 (cos x + i sin x )n = cos nx + i sin nx (i 为虚数单位） 是由法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数(cos π + i sin π )6 在复平面内所对应的点位55于A ． 第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知点(3,1) 和(-4, 6) 在直线3x - 2y + a = 0 的两侧，则实数a 的取值范围是A ． a < 7 或a > 24B ． a = 7 或a = 24C ． - 24 < a < 7⎧(a - 1)x + 3a , x < 1,D ． - 7 < a < 244. 已知 f (x ) = ⎪⎪⎩2a x , x ≥ 1,是(-∞, +∞) 上的减函数，那么实数a 的取值范围是1 A. (0,1)B ． (0, ) 21 1 C.[ , )6 2 1 D ．[ ,1)65. 一个容量为 100 的样本，其数据分组与各组的频数如下表：组别 (0，10] (10, 20] (20,30] (30, 40](40,50] (50, 60] (60, 70]频数1213241516137则样本数据落在(10，40] 上的频率为A. 0.13B. 0.52C. 0.39D. 0.64(RB ) =6. 在∆ABC 中， D 是BC 边上一点， AD ⊥ AB ， BC = 3 BD ， AD = 1 ，则 AC ⋅ ADA. 2B. 2C.3 D ．37． sin 163︒sin 223︒ + sin 253︒sin 313︒ =A.- 12B.12C. - 3 2D.2 8.已知抛物线 y 2 = 8x ，过点 A (2, 0) )作倾斜角为 π 的直线l ，若l 与抛物线交于 B 、C 两点， 3弦 BC 的中垂线交 x 轴于点 P ，则线段 AP 的长为A. 163B.83C.16 3 3D. 89. 如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形，现有下列结论:① AC ⊥ BD③ AC = BD② AC ∥截面 PQMN④异面直线 PM 与 BD 所成的角为45其中所有正确结论的编号是A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④BQC10.已知函数 f (x ) = sin(ω x + ϕ)(ω > 0,| ϕ |< π) 的最小正周期是π ，若其图象向右平移 π个单位23后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是 A.函数 f (x ) 的图象关于直线x = 2π 对称B ．函数 f (x ) 的图象关于点(11π, 0) 对称 312C ．函数 f (x ) 在区间⎡- π, -π ⎤上单调递减D ．函数 f (x ) 在⎡ π , 3π ⎤上有3 个零点 ⎣⎢ 212 ⎥⎦⎢⎣ 4 2 ⎥⎦11.已知函数 y = f (x ) 是 R 上的奇函数，函数 y = g (x ) 是R 上的偶函数，且 f (x ) = g (x + 2)，当0 ≤ x ≤ 2 时， g (x ) = x - 2 ，则 g (10.5) 的值为A ．1.5B ．8.5C ．－0.5D ．0.5333ANPDM7 3 x 2 y 212.已知双曲线C : - a 2 b 2= 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，O 为坐标原点，点 P是双曲线在第一象限内的点，直线 PO 、PF 2 分别交双曲线C 的左右支于另一点 M 、N ，若PF 1 = 2 PF 2 ，且∠MF 2 N =120 ，则双曲线的离心率为2 2A.B ．C ．D ． 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13. 已知 x 轴为曲线 f (x ) = 4x 3 + 4(a -1)x +1的切线，则a 的值为 ． 14. 已知 S n 为数列{a n } 的前n 项和， S n = 2a n - 2 ，则 S 5 - S 4 = . 15. 在∆ABC 中，若cos A = 1 ，则sin 2B +C + cos 2 A 的值为.3216.已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为.三 、 解答题： 共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．第 17 ～2 1 题为必考题， 每个试题考生都必须作答． 第 22 、 23 题为选考题，考生根据要求作答． (一 ) 必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分）已知数列{a }的首项a = 2，a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *) ．n13n +1 n n +1 nn1（1） 证明：数列{a n-1}是等比数列；（2） 数列{n} a n的前n 项和 S n ．2随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130 吨该商品．现以x （单位：吨，100 ≤x ≤ 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T 不少于57 万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．0.0300.0250.0200.0150.0100 100 110 120 130 140需求量(x/t)15019．（本小题满分12 分）如图所示，四棱锥S -ABCD 中，SA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BAD = 90︒，AB =AD =SA = 1，BC = 2 ，M 为SB 的中点．（1）求证：AM // 平面SCD ；（2）求点B 到平面SCD 的距离．B CSMDAx2 2已知椭圆C : +y4 = 1 ，F1、F2 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点.（1）求∠F1MF2 的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且k ∈(-1, -1) ，2 3求直线BM 的斜率的取值范围．21．（本小题满分12 分）已知函数f (x) = (1+a) e x（e 为自然对数的底数），其中a > 0 ．x（1）在区间( -∞, -a] 上，f (x) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明2理由．（2）若函数f (x) 的两个极值点为x , x（x<x ) ，证明：ln f (x2 ) - ln f (x1 ) >1+ 2 .1 2 1 2x -x a +22 1⎩ ⎩ （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy l ⎧x = t cos α（ t 为参数，0 < α < π ），曲线C⎧x = 2cos β，中，直线 1 ：⎨ y = t sin α21：⎨y = 4+2sin β（β 为参数）， l 1 与C 1 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2） 已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ：ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ，C 两点，记△ AOB262的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 123．（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当a =1 时，解不等式 f (x ) > 2x + 1 ；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +< m 有实数解，求实数m 的取值范围.2a -1n绝密★启用前试卷类型：（A ）2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试文科数学参考答案与评分标准一、选择题1. C2. C3. D4. C5. B6. D7. B8. A9. B10. C11. D12. B二、填空题：13.1 414. 3215. - 1 9 16.8πr 3 . 317．（本小题满分 12 分）已知数列{a } 的首项a = 2，a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *)．n13n +1 nn +1nn1（1） 证明：数列{a n-1}是等比数列；（2） 数列{n} a n的前n 项和 S n ．解：（1）a a + a = 2a (a ≠ 0, n ∈ N *) ，n +1 nn +1nn∴1 = a n +1 = 1 + 1 ⋅ 1 ， a n +1 2a n2 2 a n11 1 ∴ a n +1 -1 = (2 a n-1) ， .......................................... 4 分又 a = 2 ，∴ 1 -1 = 1，3a 12∴数列{ 1 a n-1}是以 1 21 首项， 2为公比的等比数列． ................... 6 分（2）由（1）知 1-1 = 1 ⋅ 1 = 1 ， a 2 2n -1 2n2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文数）参考答案第 1 页（共10页）11 1 n n + 1 12 { } nn2 0.030 0.025 0.0200.015 0.010需求量(x /t )即 = +1，a 2n∴ = + n ． ................................................ 9 分a 2n12 3 n 设T n = + 2 + … + n ， ①2 2 2 则 2 T n = 22 + 23 + … + 由① - ②得2 n -1 2n+ n ，② 2n +11 (1- 1 )1 T = 1 + 1 + … + 1 - n =2 2n - n = 1- 1 - n ， 2 n2 222n 2n +1 1- 122n +1 2n 2n +1 ∴ T n = 2 - 1 - n 2n -1 2n．又1+ 2 + 3 + … +n = n (n +1) ．2 ∴数列 n 的前n 项和 S = 2 - 2 + n + n (n +1) ． ……12 分n n n18．（本小题满分 12 分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示． 已知电商为下一个销售季度筹备了 130 吨该商品． 现以 x （ 单位： 吨， 100≤ x ≤ 150 ）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1） 将T 表示为 x 的函数，求出该函数表达式； （2） 根据直方图估计利润T 不少于 57 万元的概率；（3） 根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．2020 年深圳市普通高中高三年级第0二次线上统一测试（文数）参考答案第 2 页（共10页） 3a 2解:（1）当 x ∈ [100,130)时， T = 0.5x - 0.3(130 - x ) = 0.8x - 39 ； ……1 分当 x ∈ [130,150]时， T = 0.5 ⨯130 = 65 ， .............................. 2 分 所以，⎧0.8x - 39, 100 ≤ x < 130, T = ⎨⎩65, 130 ≤ x ≤ 150.（2）根据频率分布直方图及（1）知，………………………………………3 分当 x ∈[100,130) 时，由T = 0.8x - 39 ≥ 57 ，得120 ≤ x < 130 ， ......... 4 分 当 x ∈[130,150]时，由T = 65 ≥ 57 ，.................................... 5 分 所以，利润T 不少于57 万元当且仅当120 ≤ x ≤ 150 ，于是由频率分布直方图可知市场需求量 x ∈ [120,150]的频率为(0.030 + 0.025 + 0.015)⨯10 = 0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于 57 万元的概率的估计值为0.7 ， ....... 7 分 （3）估计一个销售季度内市场需求量 x 的平均数为x = 105⨯ 0.1+115⨯ 0.2 +125⨯ 0.3 +135⨯ 0.25 +145⨯ 0.15 = 126.5 由频率分布直方图易知，由于x ∈[100,120) 时，对应的频率为(0.01+ 0.02) ⨯10 = 0.3 < 0.5 ，（吨）……9 分而 x ∈[100,130) 时，对应的频率为 .................................. 10 分(0.01+ 0.02 + 0.3) ⨯10 = 0.6 > 0.5 ，因此一个销售季度内市场需求量 x 的中位数应属于区间[120,130) ，于是估计中位数应 为120 +(0.5 - 0.1- 0.2) ÷ 0.03 ≈126.7 （吨）………12 分19．(本小题满分 12 分)如图所示， 四棱锥 S - ABCD 中， SA ⊥ 平面 ABCD ， ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ，AB = AD = SA = 1， BC = 2 ， M 为 SB 的中点．（1） 求证： AM // 平面 SCD ； （2） 求点 B 到平面 SCD 的距离．BCSMDA2 2 62 3证明：（1）取 SC 的中点 N ，连结 MN 和 DN ， ∵ M 为 SB 的中点，∴ MN / / BC 且 MN = 1BC ， ................... 2 分2∵ ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ， AD =1，BC = 2 ， 1∴ AD / / B C 且 AD = BC ，................... 4 分 2∴ AD / /MN 且 AD = MN ， ∴四边形 AMND 为平行四边形，∴ AM / /DN ，…………………………5 分BC∵ AM ⊄ 平面 SCD ， DN ⊂ 平面 SCD ，∴ AM // 平面 SCD ． ......................... 6 分 （2）∵ AB = SA = 1 ， M 为 SB 的中点，∴ AM ⊥ SB ， ............................... 8 分 ∵ SA ⊥ 平面 ABCD ， ∴ SA ⊥ BC ， ∵ ∠ABC = ∠BAD = 90︒ ， ∴ BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 平面 SAB ， ∴ BC ⊥ AM ， ∴ AM ⊥ 平面 SBC ， 由（1）可知 AM / /DN ， ∴ DN ⊥ 平面 SBC ， ∵ DN ⊂ 平面 SCD ，∴平面 SCD ⊥ 平面 SBC ， ................... 10 分 作 BE ⊥ SC 交 SC 于 E ，则 BE ⊥平面 SCD ，在直角三角形 SBC 中，有1 SB ⋅ BC = 1SC ⋅ BE ， 2 2SB ⋅ BC ∴ BE == = ， SC 3 即点 B 到平面SCD 距离为 233 ..............................12 分（三棱锥体积法参照给分）20．(本小题满分 12 分)SEMNDAy 0 x 2 2已知椭圆C :+ y 4= 1 ， F 1 、 F 2 分别是椭圆C 的左、右焦点， M 为椭圆上的动点.（1） 求∠F 1MF 2 的最大值,并证明你的结论；（2） 若 A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线 AM 的斜率为k ，且k ∈(-1 , - 1) ，2 3求直线 BM 的斜率的取值范围.解：（1）由椭圆的定义可知| MF 1 | + | MF 2 |= 4 ， 在∆F 1MF 2 中，由余弦定理，可得| MF |2 + | MF |2 - | F F |2co s ∠F 1MF 2 = 1 2 1 22 | MF 1 | ⋅ | MF 2 |( | MF | + | MF |)2 - | F F |2 -2 | MF | ⋅ | MF |= 1 21 2 1 22 | MF 1 | ⋅ | MF 2 |= 2- | MF 1 | ⋅ | MF 2 | = 2 -1 ≥ 2 -1 = - 1 ， ......... 4 分 | MF | ⋅ | MF | | MF | ⋅ | MF | ⎛ | MF | + | MF | ⎫2 21 2 1 21 2 ⎪∵0 < ∠F 1MF 2 < π ， ⎝ 2 ⎭∴ ∠F MF 的最大值为2π，此时| MF |=| MF | ，12312即点 M 为椭圆C 的上顶点时，∠F MF 取最大值，其最大值为 2π ....................5 分123根据椭圆的对称性，当点 M 为椭圆C 的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，其最大值为2π.3……………6 分（2）设直线 BM 的斜率为k ' ， M (x 0 , y 0 ) ，则k = y 0 x 0 + 2 ，k ' = y 0 ，x 0 - 22∴ k ⋅ k ' = 0 ，9 分 x 2- 4x 2 又 0+ y 2 = 1，∴ x 2 = 4 - 4y 2 ，40 0 0-a -∴ k ⋅ k ' = - 1，41 1∵ k ∈(- , - ) ，2 3 ∴ 1 < k ' < 3 ， 2 41 3故直线 BM 的斜率的取值范围为( , ) .…………………………………………………12 分2 421．(本小题满分 12 分)已知函数 f (x ) = (1+ a) e x （ e 为自然对数的底数），其中a > 0 ．x（1）在区间( - ∞, - a] 上， f (x ) 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，2请说明理由．（ 2 ） 若 函 数ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) > 1+ x 2 - x 1f (x )2 a + 2的 两 个 两 个 极 值 点.x 1, x （2x 1 < x 2 )， 证 明 ：解：（1）由条件可函数 f (x ) 在(-∞, 0) 上有意义，f '(x ) =' x 2 + ax - a x 2e x，令 f (x ) = 0 ，得 x 1 2， x 2 = ，因为a > 0 ，所以 x 1 < 0 ， x 2 > 0 .所以当 x ∈(-∞, x 1) 时， f '(x ) > 0 ， 当 x ∈(x 1 , 0) 上 f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在(-∞ , x 1) 上是增函数， 在(x 1 , 0) 是减函数 .................. 3 分 由 f (x ) = (1+ a )e x =x + a e x 可知，xx当 x = -a 时， f (x ) = 0 ，当 x < -a 时， f (x ) > 0 ，当-a < x < 0 时， f (x ) < 0 ，- 因 为 a - x 1= -a - 2= > 0 ， 2 所以 x 1 < -a < 0 ，-a +2 1 1 2 1 2 21 2 22又函数在(x 1 , 0) 上是减函数，且 x 1a < -a < - a< 0 ， 2a - a所以函数在区间( - ∞, - ] 上的有最小值，其最小值为 f (- 2 ) = -e 22................. 6 分（2） 由（1）可知，当a > 0 时函数 f (x ) 存在两个极值点 x 1 ， x 2 ，且 x ， x 是方程 x 2+ ax - a = 0 的两根，12所以 x 1 + x 2 = x 1x 2 = -a ，且 x 1 < x 2 < 1 ，a x x xf (x 1 ) = (1+ ) e 1 = (1- x 2 ) e 1， f (x 2 ) = (1- x 1) e 2 ，x 1所以ln f (x ) = ln(1- x ) e x 2 = ln(1- x ) + x ，ln f (x ) = ln(1- x ) e x 1 = ln(1- x ) + x ，所以ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) = ln(1- x 1 ) + x 2 - ln(1- x 2 ) - x 1 = ln(1- x 1 ) - ln(1- x 2 ) +1，x 2 - x 1 x 2 - x 1 （1- x 1)-(1- x 2 )又1+ = 1+= 1+， ................ 9 分a + 2-(x 2 + x 1 ) + 2(1- x 1 ) + (1- x 2 )由（1）可知1- x 1 > 1- x 2 > 0 ，设 m = 1- x 1 ， n = 1- x 2 ，则m > n > 0 ，故要证ln f (x 2 ) - ln f (x 1 ) > 1+2 ln m - ln n 成立，只要证 > 2 成立， x 2 - x 1a + 2 m - n m + n ln m - ln n 下面证明不等式> 2成立，m - n m + n 构造函数h (t ) = ln t - 2(t -1), (t ≥ 1)t +1'(t -1)2则 h (t ) =t (t +1)2 > 0 ，所以h (t ) 在t ∈(1, +∞) 上单调递增， h (t ) > h (1) = 0 ， 即ln t > 2(t -1)成立，t +1 令t = m ，即得不等式ln m - ln n > 2 ，n m - n m + n3 3 ⎩ ⎩ 1 ⎩⎩ 1 ⎩ 从而ln f (x 2 ) - ln f (x 1 )> 1+ x 2 - x 12 a + 2成立 ......................... 12 分22．（本小题满分 10 分）选修 4 ― 4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，直线l ： ⎧x = t cos α （t 为参数， 0＜α＜π），曲线C ： 1⎨ y = t sin α21⎧x = 2cos β，（β 为参数）， l 与C 相切于点 A ，以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为 ⎨ y = 4+2sin β 1 1极轴建立极坐标系.（1） 求C 1 的极坐标方程及点 A 的极坐标；（2）已知直线l ：θ = π(ρ ∈ R )与圆C ： ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 交于 B ， C 两点，记262△ AOB 的面积为 S ，△ COC 的面积为 S ，求 S 1 + S 2的值.1 2 2S 2 S 1解：（1）（法一）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将⎨ y = ρ sin θ 代入得C1 的极坐标方程为ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， .................2 分又l 的参数方程为⎧x = t cos α（t 为参数， 0＜α＜π）， 1⎨ y = t sin α2得l 1 的极坐标方程为θ =α（ρ ∈R ）， ...................................................................... 3 分 将θ =α 代入得 ρ2- 8ρ sin α +12 = 0 ，则∆ = (8sin α )2 - 4 ⨯12 = 0 ，又0＜α＜π ， 2 解得α = π ，此时 ρ=2 ，所以点 A 的极坐标为（2 3 π，............... 5 分 ，） 3 3（法二）由题意可知， C 的直角坐标方程为 x 2 + ( y - 4)2= 4 ，⎧x = ρ cos θ， 将 C 的极坐标方程为 ρ 2 - 8ρ sin θ +12 = 0 ， .......... 2 分 ⎨ y = ρ sin θ代入，得 1因为l 1 与C 1 相切于点 A ，所以在Rt △ OC 1 A 中，有| OA |= = 2 ， OC 2 - C A 2 1 12, ) 1sin ∠AOC =| C 1 A | = 1，所以∠AOC = π ， ............................4 分 | OC 1 | 2 6由极坐标的几何意义，可得 A （2 3π ...................................................................5 分 ，） 3 （2） 由C 2 的极坐标方程为 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，可得C 2 的直角坐标方程为(x - 2 3)2 + y 2 = 5 ，所以圆心C (2 3, 0) ， .............................6 分设 B (ρ , π) ， C (ρ , π) 将θ = π代入 ρ 2 - 4 3ρ cos θ + 2 = 0 ，1 323 6得ρ 2 - 6ρ + 2 = 0 ，所以 ρ + ρ = 6 ， ρ ρ = 2 ， ......................... 7 分 121 2又因为 S = 1 ρ .ρ sin( π - π) = 3 ρ ， S = 1 | O C | ⋅ρ .sin π = 3ρ8 分1 2 1 A 3 6 2 1 2 22 2 6 2 2S S ρ ρ (ρ + ρ )2 - 2ρ ρ 62 - 2 ⨯ 2所 以 1 + 2 = 1 + 2 = 12 1 2= = 16 ........................... 10 分 S 2 S 1 ρ2 ρ1 ρ1ρ2 223．（本小题满分 10 分）选修4－5：不等式选讲已知 f (x ) = x - 2a .（1） 当 a =1 时，解不等式 f (x )＞2x + 1；（2） 若存在实数 a ∈ (1, +∞) ，使得关于 x 的不等式 f (x )+ x +＜m 有实数解，求实数 m 的取值范围.解：（1）当 a =1 时，即解不等式 x - 2 ＞2x + 1 ，（法一）①当 x ≥ 2 时，原不等式等价于 x - 2＞2x +1，所以 x < -3 ， 所以不等式 f (x )＞2x + 1的解集为空集， ............................. 2 分 ②当 x ＜2 时，原不等式等价于2 - x ＞2x +1，解得 x ＜1 ， .............. 4 分3综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3.…………………………5 分（法二）①当 x <- 1时，不等式 x - 2 ＞2x + 1 显然成立； ............... 2 分2②当 x ≥- 1时，原不等式等价于(x - 2)2＞(2x +1)2 ，22a -11, ) 即3x 2 + 8x - 3＜0 ，解得- 1 ≤ x < 1 ， ................................4 分 23综上所述，不等式 f (x )＞2x + 1的解集为(-∞ 1 3.……5 分（2）因为 f (x )+ x += x - 2a + x + ≥ 2a + ，显然等号可取。

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班第二次线上统一测试(二模)数学(文)试题2020年4月11日本试卷共6页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|y ＝lg(x －1)}，则A∩(R ðB)＝RA.[－1，2)B.[2，＋∞)C.(－1，1]D.[－1，＋∞)2.棣莫弗公式(cosx ＋isinx)n ＝cosnx ＋isinnx(i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667－1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数(cos 5π＋isin 5π)6在复平面内所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧,则实数a 的取值范围是 A.a<7或a>24 B.a ＝7或a ＝24 C.－24<a<7 D.－7<a<244.已知1()3,1()2,1x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩是(－∞,＋∞)上的减函数,那么实数a 的取值范围是 A.(0,1) B.(0,12) C.[16,12) D.[16,1) 5.一个容量为100的样本,其数据分组与各组的频数如下表：则样本数据落在(10,40]上的频率为A.0.13B.0.52C.0.39D.0.646. .在△ABC 中,D 是BC 边上一点,AD ⊥AB,3BC =u u u r u u r ,AD u u u r ＝1,则AC AD ⋅u u u r u u u r ＝3 B.32 C.3337.sin163°sin223°＋sin253°sin313°＝A.－12B.12C.－2D.2 8.已知抛物线y 2＝8x,过点A(2,0)作倾斜角为3π的直线l ,若l 与抛物线交于B 、C 两点,弦BC 的中垂线交x 轴于点P,则线段AP 的长为A.163B.83C.3 9.如图,在四面体ABCD 中,截面PQMN 是正方形,现有下列结论：①AC ⊥BD ②AC ∥截面PQMN③AC ＝BD ④异面直线PM 与BD 所成的角为45°其中所有正确结论的编号是A.①③B.①②④C.③④D.②③④10.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,|φ|<2π)的最小正周期是π,把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数,则下列结论正确的是A.函数f(x)的图象关于直线x ＝23π对称 B.函数f(x)的图象关于点(1112π,0)对称 C.函数f(x)在区间[－2π,－12π]上单调递减 D.函数f(x)在[4π,32π]上有3个零点 11.已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数,函数y ＝g(x)是R 上的偶函数,且f(x)＝g(x ＋2),当0≤x ≤2时,g(x)＝x －2,则g(10.5)的值为A.1.5B.8.5C.－0.5D.0.512.已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,O 为坐标原点,点P 是双曲线在第一象限内的点,直线PO 、PF 2分别交双曲线C 的左右支于另一点M 、N,若|PF 1|＝2|PF 2|,且∠MF 2N ＝120°,则双曲线的离心率为A.3二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班第二次教学质量检测(二模)数学(文)试题注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。

考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N|－3<x<3},B＝{－4,－2,0,2,4},则A∩B＝A.{－2,0,2}B.{0,2}C.{0}D.{2}2.若在复平面内,复数z＝2＋mi(m∈R)对应的点位于第四象限,且|z|＝4,则m＝A.－ C.23.已知函数f(x)的图象关于原点对称,当x>0时,f(x)＝2e x－3,则f(ln 13)＝A.－73B.73C.3D.－34.曲线y＝(x3－3x)·lnx在点(1,0)处的切线方程为A.2x＋y－2＝0B.x＋2y－1＝0C.x＋y－1＝0D.4x＋y－4＝05.2019年10月18日－27日,第七届世界军人运动会在湖北武汉举办,中国代表团共获得133金64银42铜,共239枚奖牌。

为了调查各国参赛人员对主办方的满意程度,研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查,所得数据如下所示：现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人,抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为12； ②在犯错误的概率不超过1%的前提下可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③没有99.9%的把握认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”。

2020年高考数学第二次模拟测试试卷（文科）一、选择题1．设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．（﹣1，1]D．[﹣1，+∞）2．棣莫弗公式（cos x+i sin x）n＝cos nx+i sin nx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+i sin）6在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣7或a＞24B．a＝7 或a＝24C．﹣24＜a＜7D．﹣7＜a＜244．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）5．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：组别（0，10]（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数1213241516137则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13B．0.52C．0.39D．0.646．在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥AB，＝，，则＝（）A．B．C．D．7．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．8．已知抛物线y2＝8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C 两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（）A．B．C．D．9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：①AC⊥BD②AC∥截面PQMN③AC＝BD④异面直线PM与BD所成的角为45°其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①②④C．③④D．②③④10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在区间[]上单调递减D．函数f（x）在[]上有3个零点11．已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，函数y＝g（x）是R上的偶函数，且f（x）＝g （x+2），当0≤x≤2时，g（x）＝x﹣2，则g（10.5）的值为（）A．1.5B．8.5C．﹣0.5D．0.512．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题13．已知x轴为曲线f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1的切线，则a的值为．14．已知S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n﹣2，则S5﹣S4＝．15．在△ABC中，若，则的值为．16．已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．18．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．20．已知椭圆，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．（1）求∠F1MF2的最大值，并证明你的结论；（2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．21．已知函数（e为自然对数的底数），其中a＞0．（1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：（t为参数，），曲线C1：（β为参数），l1与C1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程及点A的极坐标；（2）已知直线l2：与圆C2：交于B，C两点，记△AOB的面积为S1，△COC2的面积为S2，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣2a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞2x+1；（2）若存在实数a∈（1，+∞），使得关于x的不等式f（x）+＜m有实数解，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}，则A∩（∁R B）＝（）A．[﹣1，2）B．[2，+∞）C．（﹣1，1]D．[﹣1，+∞）【分析】求函数的定义域得集合B，再根据补集与交集的定义运算即可．解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，∴∁R B＝{x|x≤1}，∴A∩（∁R B）＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：C．2．棣莫弗公式（cos x+i sin x）n＝cos nx+i sin nx（i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数（cos+i sin）6在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】由题意可得（cos+i sin）6＝cos+i sin＝，再由三角函数的符号得答案．解：由（cos x+i sin x）n＝cos nx+i sin nx，得（cos+i sin）6＝cos+i sin＝，∴复数（cos+i sin）6在复平面内所对应的点的坐标为（，﹣sin），位于第三象限．故选：C．3．已知点（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣7或a＞24B．a＝7 或a＝24C．﹣24＜a＜7D．﹣7＜a＜24【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．解：∵点（3，1）与B（﹣4，6），在直线3x﹣2y+a＝0的两侧，∴两点对应式子3x﹣2y+a的符号相反，即（9﹣2+a）（﹣12﹣12+a）＜0，即（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24，故选：D．4．已知f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．解：∵f（x）＝是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴满足，即，解得，故选：C．5．一个容量为100的样本，其数据分组与各组的频数如表：组别（0，10]（10，20]（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]（60，70]频数1213241516137则样本数据落在（10，40]上的频率为（）A．0.13B．0.52C．0.39D．0.64【分析】由频率分布表计算样本数据落在（10，40]上的频率值．解：由频率分布表知，样本数据落在（10，40]上的频率为：＝0.52．故选：B．6．在△ABC中，D是BC边上一点，AD⊥AB，＝，，则＝（）A．B．C．D．【分析】将转化成（+），化简后得•，然后转化成•＝（﹣）•，再进行化简可得结论．解：∵在△ABC中，AD⊥AB，∴＝0＝（+）＝•+•＝•＝•＝（﹣）•＝•﹣•＝故选：D．7．sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．解：原式＝sin163°•sin223°+cos163°cos223°＝cos（163°﹣223°）＝cos（﹣60°）＝．故选：B．8．已知抛物线y2＝8x，过点A（2，0）作倾斜角为的直线l，若l与抛物线交于B、C 两点，弦BC的中垂线交x轴于点P，则线段AP的长为（）A．B．C．D．【分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程3x2﹣20x+12＝0，利用韦达定理，可求弦BC的中点坐标，求出弦BC的中垂线的方程，可得P的坐标，即可得出结论．解：由题意，直线l方程为：y＝（x﹣2），代入抛物线y2＝8x整理得：3x2﹣12x+12＝8x，∴3x2﹣20x+12＝0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），∴x1+x2＝，∴弦BC的中点坐标为（，），∴弦BC的中垂线的方程为y﹣＝﹣（x﹣），令y＝0，可得x＝，∴P（，0），∵A（2，0），∴|AP|＝．故选：A．9．如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，现有下列结论：①AC⊥BD②AC∥截面PQMN③AC＝BD④异面直线PM与BD所成的角为45°其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①②④C．③④D．②③④【分析】在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由AC∥MN，可得：AC∥截面PQMN．由AC∥PQ，BD∥QM，PQ⊥QM，可得AC⊥BD．进而判断出结论．解：在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，由AC∥MN，可得：AC∥截面PQMN．由AC∥PQ，BD∥QM，PQ⊥QM，∴AC⊥BD．＝，＝，BP+AP＝1，PN＝PQ，可得：+＝，AC与BD不一定相等．∵BD∥QM，PM与QM所成的角为45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°．其中所有正确结论的编号是①②④．故选：B．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数f（x）的图象关于点（，0）对称C．函数f（x）在区间[]上单调递减D．函数f（x）在[]上有3个零点【分析】函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，＝π，解得ω＝2．f（x）＝sin（2x+φ），若其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）为奇函数，g（x）＝sin（2x﹣+φ），可得g（0）＝sin（﹣+φ）＝0，可得φ，f （x）．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．解：函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴＝π，解得ω＝2．∴f（x）＝sin（2x+φ），若其图象向右平移个单位后得到的函数g（x）为奇函数，∴g（x）＝sin（2x﹣+φ），可得g（0）＝sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，取k＝﹣1，可得φ＝﹣．∴f（x）＝sin（2x﹣），验证：f（）＝0，f（）＝﹣1，因此AB不正确．若x∈[]，则（2x﹣）∈[﹣，﹣]，因此函数f（x）在区间[]上单调递减，正确．若x∈[]，则（2x﹣）∈[，]，因此函数f（x）在区间x∈[]上只有两个零点，不正确．故选：C．11．已知函数y＝f（x）是R上的奇函数，函数y＝g（x）是R上的偶函数，且f（x）＝g （x+2），当0≤x≤2时，g（x）＝x﹣2，则g（10.5）的值为（）A．1.5B．8.5C．﹣0.5D．0.5【分析】根据函数y＝f（x）是R上的奇函数，并且f（x）＝g（x+2），得到g（﹣x+2）＝﹣g（x+2）．结合g（x）是R上的偶函数，得到g（x+2）＝﹣g（x﹣2），进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．解：由题意可得：因为函数y＝f（x）是R上的奇函数，并且f（x）＝g（x+2），所以f（﹣x）＝﹣f（x），即g（﹣x+2）＝﹣g（x+2）．又因为函数y＝g（x）是R上的偶函数，所以g（x+2）＝﹣g（x﹣2），所以g（x）＝﹣g（x﹣4），所以g（x﹣4）＝﹣g（x﹣8），所以g（x）＝g（x﹣8），所以函数g（x）是周期函数，并且周期为8．所以g（10.5）＝g（2.5）＝﹣g（﹣1.5）＝﹣g（1.5）＝0.5．故选：D．12．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P是双曲线在第一象限内的点，直线PO，PF2分别交双曲线C的左、右支于另一点M，N，若|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由∠MF2N ＝120°，可得∠F1PF2＝120°，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即可求出双曲线C的离心率．解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|＝2a，可得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N＝120°，可得∠F1PF2＝120°，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，即有4c2＝20a2+8a2，即c2＝7a2，可得c＝a，即e＝＝．故选：B．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x轴为曲线f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1的切线，则a的值为．【分析】先对f（x）求导，然后设切点为（x0，0），由切线斜率和切点在曲线上得到关于x0和a的方程，再求出a的值．解：由f（x）＝4x3+4（a﹣1）x+1，得f'（x）＝12x2+4（a﹣1），∵x轴为曲线f（x）的切线，∴f（x）的切线方程为y＝0，设切点为（x0，0），则①，又②，由①②，得，，∴a的值为．故答案为：．14．已知S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n﹣2，则S5﹣S4＝32．【分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论．解：因为S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n﹣2，①则a1＝2a1﹣2⇒a1＝2；则S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，②①﹣②得：a n＝2a n﹣2a n﹣1⇒a n＝2a n﹣1⇒数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列；故a n＝2n；∴S5﹣S4＝25＝32．故答案为：32．15．在△ABC中，若，则的值为﹣．【分析】在△ABC中，若，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为+2cos2A﹣1，运算求得结果．解：在△ABC中，若，则＝＝+cos2A＝+2cos2A﹣1＝+﹣1＝﹣，故答案为﹣．16．已知球O的半径为r，则它的外切圆锥体积的最小值为【分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，利用三角形相似可得R，h，r的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值．解：作出截面图如图，设圆锥的高为h，圆锥的底面半径为R，OC＝OD＝r，∠SCB＝∠SDO＝90°，又∠OSD＝∠BSC，∴△SOD∽△SBC，∴，即，∴R＝．∴圆锥体积V＝，V′＝．令h′（r）＝0，得h＝4r．∴．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的首项，a n+1a n+a n+1＝2a n．（1）证明：数列是等比数列；（2）数列的前n项和S n．【分析】（1）由a n+1a n+a n+1＝2a n，变形为，可得，即可证明；（2）由（1）可得：＝，．设T n＝+…+，利用“错位相减法”可得T n，即可得出数列{}的前n项和S n＝T n+．【解答】（1）证明：∵a n+1a n+a n+1＝2a n，∴，∴，又，∴＝．∴数列{﹣1}为等比数列；（2）解：由（1）可得：＝，化为＝，∴．设T n＝+…+，＝++…++，∴+…+﹣＝﹣＝，∴T n＝，∴数列{}的前n项和S n＝T n+＝﹣．18．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（2）根据直方图估计利润T不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【分析】（1）计算x∈[100，130）和x∈[130，150]时T的值，用分段函数表示T的解析式；（2）计算利润T不少于57万元时x的取值范围，求出对应的频率值即可；（3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数，根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．解：（1）当x∈[100，130）时，T＝0.8x﹣39；…（1分）当x∈[130，150]时，T＝0.5×130＝65，…所以，T＝…（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当x∈[100，130）时，由T＝0.8x﹣39≥57，得120≤x＜130，…当x∈[130，150]时，由T＝65≥57，…所以，利润T不少于57万元当且仅当120≤x≤150，于是由频率分布直方图可知市场需求量x∈[120，150]的频率为（0.030+0.025+0.015）×10＝0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57万元的概率的估计值为0.7；…（3）估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为＝105×0.1+115×0.2+125×0.3+135×0.25+145×0.15＝126.5（吨）；…由频率分布直方图易知，由于x∈[100，120）时，对应的频率为（0.01+0.02）×10＝0.3＜0.5，而x∈[100，130）时，对应的频率为（0.01+0.02+0.03）×10＝0.6＞0.5，…因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间[120，130），于是估计中位数应为120+（0.5﹣0.1﹣0.2）÷0.03≈126.7（吨）．…19．如图所示，四棱锥S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD ＝SA＝1，BC＝2，M为SB的中点．（1）求证：AM∥平面SCD；（2）求点B到平面SCD的距离．【分析】（1）取SC的中点N，连结MN和DN，可证明得到四边形AMND是平行四边形，进而AM∥平面SCD；（2）先证明得到AM⊥平面SBC，进而得到平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离解：（1）取SC的中点N，连结MN和DN，∵M为SB的中点，∴MN∥BC，且MN＝BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝1，BC＝2，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴AD平行且等于MN，∴四边形AMND是平行四边形，∴AM∥DN，∵AM⊄平面SCD，DN⊂平面SCD，∴AM∥平面SCD．（2）∵AB＝AS＝1，M为SB中点，∴AM⊥SB，∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC，∵∠ABC＝∠BAD＝90°，∴BC⊥AB，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面SBC，由（1）可知AM∥DN，∴DN⊥平面SBC，∵DN⊂平面SCD，∴平面SCD⊥平面SBC，作BE⊥SC交SC于E，则BE⊥平面SCD，在直角三角形SBC中，SB•BC＝SC•BE，∴BE＝＝＝，即点B到平面SCD的距离为．20．已知椭圆，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，M为椭圆上的动点．（1）求∠F1MF2的最大值，并证明你的结论；（2）若A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，设直线AM的斜率为k，且，求直线BM的斜率的取值范围．【分析】（1）由题意可知|MF1|+|MF2|＝4，在△F1MF2中，利用余弦定理可得：cos∠F1MF2＝﹣1，再利用基本不等式得到cos∠F1MF2≥﹣，当且仅当|MF1|＝|MF2|时等号成立，再结合0＜∠F1MF2＜π以及余弦函数的图象，即可得到∠F1MF2的最大值；（2）设直线BM的斜率为k'，M（x0，y0），则，再根据k的范围即可得到k'的范围．解：（1）由椭圆的定义可知：|MF1|+|MF2|＝4，在△F1MF2中，由余弦定理可得：＝＝＝﹣1﹣1＝﹣，∵0＜∠F1MF2＜π，∴∠F1MF2的最大值为，此时|MF1|＝|MF2|，即点M为椭圆C的上、下顶点时∠F1MF2取最大值，其最大值为；（2）设直线BM的斜率为k'，M（x0，y0），则，，∴，又，∴，∴，∵，∴，故直线BM的斜率的取值范围为（，）．21．已知函数（e为自然对数的底数），其中a＞0．（1）在区间上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数f（x）的两个极值点为x1，x2（x1＜x2），证明：．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．解：（1）由条件可知，函数在（﹣∞，0）上有意义，，'a＞0，令f′（x）＝0可得，＜0，＞0，x＜x1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x1＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，由，可得f（﹣a）＝0，当x＜﹣a时，f（x）＞0，当﹣a＜x＜0时，f（x）＜0，因为﹣a﹣x1＝﹣a+＝＞0，所以x1＜﹣a＜0，又函数在（x1，0）上单调递减且＜0，所以f（x）在（]上有最小值f（﹣）＝﹣e，（2）由（1）可知a＞0时，f（x）存在两个极值点为x1，x2（x1＜x2），故x1，x2是x2+ax﹣a＝0的根，所以x1+x2＝x1x2＝﹣a，且x1＜x2＜1，因为＝，同理f（x2）＝（1﹣x1），∴lnf（x2）＝ln（1﹣x1）+x2，lnf（x1）＝ln（1﹣x2）+x1，∴＝＝，又1＝，由（1）知，1﹣x1＞1﹣x2＞0，设m＝1﹣x1，n＝1﹣x2，令h（t）＝lnt﹣，t≥1，则＞0，所以h（t）在（1，+∞）上单调递增，h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞，令t＝则从而．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：（t为参数，），曲线C1：（β为参数），l1与C1相切于点A，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1的极坐标方程及点A的极坐标；（2）已知直线l2：与圆C2：交于B，C两点，记△AOB的面积为S1，△COC2的面积为S2，求的值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C1：（β为参数），转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．将代入得到ρ2﹣8ρsinθ+12＝0．直线l1：（t为参数，），转换为极坐标方程为θ＝α（ρ∈R）．将θ＝α代入ρ2﹣8ρsinθ+12＝0得到ρ2﹣8ρsinα+12＝0，由于△＝（8sinα）2﹣4×12＝0，解得，故此时，所以点A的极坐标为（2）．（2）由于圆C2：，转换为直角坐标方程为．所以圆心坐标为（2）．设B（），C（），将代入，得到ρ2﹣6ρ+2＝0，所以ρ1+ρ2＝6，ρ1ρ2＝2．由于＝，＝．所以＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣2a|．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞2x+1；（2）若存在实数a∈（1，+∞），使得关于x的不等式f（x）+＜m有实数解，求实数m的取值范围．【分析】（1）由绝对值的定义，讨论x＜2，x≥2，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得f（x）+的最小值，由题意可得m大于这个最小值，解不等式可得所求范围．解：（1）当a＝1时，即解不等式|x﹣2|＞2x+1，当x≥2时，原不等式等价为x﹣2＞2x+1，所以x＜﹣3，则原不等式的解集为∅；当x＜2时，原不等式等价为2﹣x＞2x+1，解得x＜，综上可得原不等式的解集为（﹣∞，）；（2）f（x）+＝|x﹣2a|+≥|2a+|，显然等号可取，由a＞1，故原问题等价为关于a的不等式2a+＜m在（1，+∞）有解，又因为2a+＝2（a﹣1）++2≥2+2＝6，当且仅当a＝2取得等号，即m＞6，即m的范围是（6，+∞）．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a =C ．247a -<<D ．724a -<<4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.646．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u ur u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g )A ．B CD7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( ) A ．12-B ．12C ．D 8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83CD ．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论：①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.512．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )A 22B 7C 3D 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为 ． 14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= ．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B CA ++的值为 ．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．20．（12分）已知椭圆22:14xC y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}B x y lg x ==-，则()(R A B =⋂ð ) A ．[1-，2)B ．[2，)+∞C ．(1-，1]D ．[1-，)+∞【思路分析】求函数的定义域得集合B ，再根据补集与交集的定义运算即可． 【解析】：集合{|12}A x x =-<<，{|(1)}{|10}{|1}B x y lg x x x x x ==-=->=>， {|1}R B x x ∴=„ð，(){|12}(1R A B x x ∴=-<=-I „ð，2]．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了求函数的定义域和集合的运算问题，是基础题．2．棣莫弗公式(cos sin )cos sin (n x i x nx i nx i +=+为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗(16671754)-发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【思路分析】由题意可得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，再由三角函数的符号得答案．【解析】：由(cos sin )cos sin n x i x nx i nx +=+，得666(cos sin )cos sin cos sin 555555i i i ππππππ+=+=--，∴复数6(cossin )55i ππ+在复平面内所对应的点的坐标为(cos 5π-，sin )5π-，位于第三象限．故选：C ．【归纳与总结】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数值的符号，是基础题．3．已知点(3,1)和(4,6)-在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．7a <-或24a > B ．7a = 或24a = C ．247a -<< D ．724a -<<【思路分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，以及两点在直线两侧，建立不等式即可求解．【解析】：Q 点(3,1)与(4,6)B -，在直线320x y a -+=的两侧，∴两点对应式子32x y a -+的符号相反，即(92)(1212)0a a -+--+<， 即(7)(24)0a a +-<， 解得724a -<<， 故选：D ．【归纳与总结】题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用两点在直线的两侧得对应式子符号相反是解决本题的关键．4．已知1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩…是(,)-∞+∞上的减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．1?(0,)?2C ．1[6，1)?2D ．1[6，1?)【思路分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求解即可得到结论．【解析】：1()3,1,()2,1,x a x a x f x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪⎩Q …是(,)-∞+∞上的减函数， ∴满足01102132a a a a a ⎧⎪<<⎪⎪-<⎨⎪⎪-+⎪⎩…，即011216a a a ⎧⎪<<⎪⎪<⎨⎪⎪⎪⎩…，解得1162a <„，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查函数的单调性的应用，根据复合函数单调性的性质是解决本题的关键．A ．0.13B ．0.52C ．0.39D ．0.64【思路分析】由频率分布表计算样本数据落在(10，40]上的频率值． 【解析】：由频率分布表知，样本数据落在(10，40]上的频率为： 1324150.52100++=．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了利用频率分布表计算样本数据的频率问题，是基础题．6．在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，AD AB ⊥，BC =u u u r u u r，||1AD =u u u r ，则(AC AD =u u u r u u u r g)A ．23B ．3C ．3D ．3【思路分析】将AC AD u u u r u u u r g 转化成()AB BC AD +u u u r u u u r u u u r ，化简后得BC AD u u u r u u u rg ，然后转化成33()BD AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g ，再进行化简可得结论．【解析】：Q 在ABC ∆中，AD AB ⊥， ∴0AB AD =u u u r u u u rg ()AC AD AB BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g AB AD BC AD =+u u u r u u u r u u u r u u u r g g BC AD =u u u r u u u r g3BD AD =u u u r u u u r g3()AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r g33AD AD AB AD =-u u u r u u u r u u u r u u u r g g 3=故选：D ．【归纳与总结】本题主要考查了向量在几何中的应用，以及平面向量数量积的运算，同时考查了转化的思想，属于中档题．7．sin163sin223sin253sin313︒︒+︒︒等于( )A ．12-B ．12C ．3D 3 【思路分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果． 【解析】：原式sin163sin223cos163cos223=︒︒+︒︒g cos(163223)=︒-︒ cos(60)=-︒ 12=． 故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了正弦函数的两角和与差．要熟练掌握三角函数中的两角和公式．8．已知抛物线28y x =，过点(2,0)A 作倾斜角为3π的直线l ，若l 与抛物线交于B 、C 两点，弦BC 的中垂线交x 轴于点P ，则线段AP 的长为( )A ．163B ．83C 163D ．3【思路分析】先表示出直线方程，代入抛物线方程可得方程2320120x x -+=，利用韦达定理，可求弦BC 的中点坐标，求出弦BC 的中垂线的方程，可得P 的坐标，即可得出结论． 【解析】：由题意，直线l 方程为：3(2)y x =-， 代入抛物线28y x =整理得：2312128x x x -+=，2320120x x ∴-+=，设1(B x ，1)y 、2(C x ，2)y ，12203x x ∴+=， ∴弦BC 的中点坐标为10(3，43)，∴弦BC 的中垂线的方程为43310()3y x -=--，令0y =，可得223x =，22(3P ∴，0)，(2,0)A Q ，16||3AP ∴=．故选：A ．【归纳与总结】本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理．9．如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，现有下列结论： ①AC BD ⊥②//AC 截面PQMN③AC BD =④异面直线PM 与BD 所成的角为45︒ 其中所有正确结论的编号是( )A ．①③B ．①②④C ．③④D ．②③④【思路分析】在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，可得AC BD ⊥．进而判断出结论．【解析】：在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形， 由//AC MN ，可得：//AC 截面PQMN ．由//AC PQ ，//BD QM ，PQ QM ⊥，AC BD ∴⊥．PQ BP AC AB =，AP PNAB BD =，1BP AP +=，PN PQ =，可得：111AC BD PQ +=，AC 与BD 不一定相等．//BD QM Q ，PM 与QM 所成的角为45︒，∴异面直线PM 与BD 所成的角为45︒．其中所有正确结论的编号是①②④． 故选：B ．【归纳与总结】本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则下列结论正确的是( )A ．函数()f x 的图象关于直线23x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点11(12π，0)对称C ．函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减D ．函数()f x 在3[,]42ππ上有3个零点【思路分析】函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，2ππω=，解得2ω=．()sin(2)f x x ϕ=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，2()sin(2)3g x x πϕ=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，可得ϕ，()f x ．利用三角函数的图象与性质即可判断出结论．【解析】：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的最小正周期是π，∴2ππω=，解得2ω=． ()sin(2)f x x ϕ∴=+，若其图象向右平移3π个单位后得到的函数()g x 为奇函数， 2()sin(2)3g x x πϕ∴=-+，可得2(0)sin()03g πϕ=-+=，23k πϕπ∴-+=，k Z ∈，取1k =-，可得3πϕ=-．()sin(2)3f x x π∴=-，验证：2()03f π=，11()112f π=-，因此AB 不正确．若[,]212x ππ∈--，则4(2)[33x ππ-∈-，]2π-，因此函数()f x 在区间[,]212ππ--上单调递减，正确．若3[,]42x ππ∈，则(2)[36x ππ-∈，8]3π，因此函数()f x 在区间3[,]42x ππ∈上只有两个零点，不正确．故选：C ．【归纳与总结】本题考查了三角函数的图象与性质、方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，函数()y g x =是R 上的偶函数，且()(2)f x g x =+，当02x 剟时，()2g x x =-，则(10.5)g 的值为( ) A ．1.5B ．8.5C ．0.5-D ．0.5【思路分析】根据函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+，得到(2)(2)g x g x -+=-+．结合()g x 是R 上的偶函数，得到(2)(2)g x g x +=--，进而推出函数的周期为8，再结合函数的奇偶性与解析式可得答案．【解析】：由题意可得：因为函数()y f x =是R 上的奇函数，并且()(2)f x g x =+， 所以()()f x f x -=-，即(2)(2)g x g x -+=-+． 又因为函数()y g x =是R 上的偶函数， 所以(2)(2)g x g x +=--， 所以()(4)g x g x =--，所以(4)(8)g x g x -=--，所以()(8)g x g x =-，所以函数()g x 是周期函数，并且周期为8． 所以(10.5)(2.5)(1.5)(1.5)0.5g g g g ==--=-=． 故选：D ．【归纳与总结】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即奇偶性，单调性，周期性等性质．12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点P 是双曲线在第一象限内的点，直线PO ，2PF 分别交双曲线C 的左、右支于另一点M ，N ，若12||2||PF PF =，且2120MF N ∠=︒，则双曲线的离心率为( )AB C D 【思路分析】由题意，12||2||PF PF =，12||||2PF PF a -=，可得1||4PF a =，2||2PF a =，由2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒，由余弦定理可得2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即可求出双曲线C 的离心率． 【解析】：由题意，12||2||PF PF =， 由双曲线的定义可得，12||||2PF PF a -=， 可得1||4PF a =，2||2PF a = 由四边形12PF MF 为平行四边形， 又2120MF N ∠=︒，可得12120F PF ∠=︒， 在三角形12PF F 中，由余弦定理可得 2224164242cos120c a a a a =+-︒g g g ，即有2224208c a a =+，即227c a =， 可得c =，即ce a==．故选：B ．【归纳与总结】本题考查双曲线C 的离心率，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x 轴为曲线3()44(1)1f x x a x =+-+的切线，则a 的值为14． 【思路分析】先对()f x 求导，然后设切点为0(x ，0)，由切线斜率和切点在曲线上得到关于0x 和a 的方程，再求出a 的值．【解析】：由3()44(1)1f x x a x =+-+，得2()124(1)f x x a '=+-，x Q 轴为曲线()f x 的切线，()f x ∴的切线方程为0y =，设切点为0(x ，0)，则200()124(1)0f x x a '=+-=①， 又3000()44(1)10f x x a x =+-+=②， 由①②，得012x =，14a =，a ∴的值为14．故答案为：14．【归纳与总结】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．14．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54S S -= 32 ． 【思路分析】根据数列的递推关系，求出数列的通项公式，然后即可求解结论． 【解析】：因为n S 为数列{}n a 的前n 项和， 若22n n S a =-，① 则111222a a a =-⇒=； 则1122n n S a --=-，②①-②得：11222n n n n n a a a a a --=-⇒=⇒数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 故2n n a =；554232S S ∴-==． 故答案为：32．【归纳与总结】本题主要考查利用数列的递推关系求解通项公式，属于基础题目．15．在ABC ∆中，若1cos 3A =，则2sin cos22B C A ++的值为 19- ．【思路分析】在ABC ∆中，若1cos 3A =，利用诱导公式、二倍角公式把要求的式子化为21cos 2cos 12AA ++-，运算求得结果． 【解析】：在ABC ∆中，若1cos 3A =，则22221cos 221sin cos2cos2cos cos22cos 112222399B C A A A A sin A A A π+-++=+=+=+-=+-=-，故答案为19-．【归纳与总结】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．16．已知球O 的半径为r ，则它的外切圆锥体积的最小值为383r π 【思路分析】由题意画出截面图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，利用三角形相似可得R ，h ，r 的关系，写出圆锥的体积公式，再由导数求最值． 【解析】：作出截面图如图，设圆锥的高为h ，圆锥的底面半径为R ，OC OD r ==， 90SCB SDO ∠=∠=︒，又OSD BSC ∠=∠， SOD SBC ∴∆∆∽，∴BC SCOD SD =，即22()R r h r r =--， 222()2R h r rh hr∴==---．∴圆锥体积222133(2)r h V R h h r ππ==-，22(4)3(2)r h h r V h r π-'=-g ． 令()0h r '=，得4h r =． ∴38(4)3min V v r r π==．故答案为：383r π．【归纳与总结】本题考查球外接圆锥体积最值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用导数求最值，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{}n a 的首项123a =，*112(0,)n n n n n a a a a a n N +++=≠∈． （1）证明：数列1{1}na -是等比数列； （2）数列{}nna 的前n 项和n S ．【思路分析】（1）由112n n n n a a a a +++=，变形为1121n n a a ++=，可得11111(1)2n na a +-=-，即可证明；（2）由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，2n n n n n a =+．设231232222n n nT =+++⋯+，利用“错位相减法”可得n T ，即可得出数列{}n n a 的前n 项和(1)2n n n n S T +=+．【解答】（1）证明：112n n n n a a a a +++=Q ，∴1121n n a a ++=， ∴11111(1)2n na a +-=-， 又123a =，∴11112a -=．∴数列1{1}na -为等比数列；（2）解：由（1）可得：111111()()222n n n a --=⨯=，化为111()2n n a =+， ∴2n n n nn a =+． 设231232222n n nT =+++⋯+， 234111*********n n n n nT +-=+++⋯++， ∴2311111(1)11111222112222222212n n n n n n n n n T +++-+=+++⋯+-=-=--， 222n n nT +∴=-，∴数列{}n na 的前n 项和2(1)22222n n n n n n n n S T +++=+=+-．【归纳与总结】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法”，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．（12分）随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150)x 剟表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润． （1）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式； （2）根据直方图估计利润T 不少于57万元的概率；（3）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小（保留到小数点后一位）．【思路分析】（1）计算[100x ∈，130)和[130x ∈，150]时T 的值，用分段函数表示T 的解析式；（2）计算利润T 不少于57万元时x 的取值范围，求出对应的频率值即可； （3）利用每一小组底边的中点乘以对应的频率求和得出平均数， 根据中位数两边频率相等求出中位数的大小．【解析】：（1）当[100x ∈，130)时，0.839T x =-；⋯（1分） 当[130x ∈，150]时，0.513065T =⨯=，⋯（2分） 所以，0.839,10013065,130150x x T x -<⎧=⎨⎩„剟 ⋯（3分）（2）根据频率分布直方图及（Ⅰ）知，当[100x ∈，130)时，由0.83957T x =-…，得120130x <„，⋯（4分） 当[130x ∈，150]时，由6557T =…，⋯所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x 剟，于是由频率分布直方图可知市场需求量[120x ∈，150]的频率为 (0.0300.0250.015)100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7； ⋯（7分） （3）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.21250.31350.251450.15126.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（吨)；⋯（9分）由频率分布直方图易知，由于[100x ∈，120)时， 对应的频率为(0.010.02)100.30.5+⨯=<，而[100x ∈，130)时，对应的频率为(0.010.020.03)100.60.5++⨯=>，⋯（10分）因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[120，130)， 于是估计中位数应为120(0.50.10.2)0.03126.7+--÷≈（吨)．⋯（12分）【归纳与总结】本题考查了分段函数以及频率、平均数和中位数的计算问题，是基础题目． 19．（12分）如图所示，四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，90ABC BAD ∠=∠=︒，1AB AD SA ===，2BC =，M 为SB 的中点．（1）求证：//AM 平面SCD ； （2）求点B 到平面SCD 的距离．【思路分析】（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，可证明得到四边形AMND 是平行四边形，进而//AM 平面SCD ；（2）先证明得到AM ⊥平面SBC ，进而得到平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形中利用等面积法即可求出距离 【解析】：（1）取SC 的中点N ，连结MN 和DN ，M Q 为SB 的中点，//MN BC ∴，且12MN BC =， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ，1AD =，2BC =，//AD BC ∴，且12AD BC =，AD ∴平行且等于MN ， ∴四边形AMND 是平行四边形，//AM DN ∴，AM ⊂/Q 平面SCD ，DN ⊂平面SCD ，//AM ∴平面SCD ．（2）1AB AS ==Q ，M 为SB 中点， AM SB ∴⊥，SA ⊥Q 平面ABCD ，SA BC ∴⊥， 90ABC BAD ∠=∠=︒Q ， BC AB ∴⊥， BC ∴⊥平面SAB ， BC AM ∴⊥，AM ∴⊥平面SBC ，由（1）可知//AM DN ，DN ∴⊥平面SBC ， DN ⊂Q 平面SCD ，∴平面SCD ⊥平面SBC ，作BE SC ⊥交SC 于E ，则BE ⊥平面SCD ，在直角三角形SBC 中，1122SB BC SC BE =g g ，22236SB BC BE SC ∴===g ，即点B 到平面SCD 的距离为23．【归纳与总结】本题考查线面平行的证明，考查求点到平面距离，数形结合思想，转化思想，等面积法，属于中档题20．（12分）已知椭圆22:14x C y +=，1F 、2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点．（1）求12F MF ∠的最大值，并证明你的结论；（2）若A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，设直线AM 的斜率为k ，且11(,)23k ∈--，求直线BM 的斜率的取值范围．【思路分析】（1）由题意可知12||||4MF MF +=，在△12F MF 中，利用余弦定理可得：12122cos 1||||F MF MF MF ∠=-g ，再利用基本不等式得到121cos 2F MF ∠-…，当且仅当12||||MF MF =时等号成立，再结合120F MF π<∠< 以及余弦函数的图象，即可得到12F MF ∠的最大值；（2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则14k k '=-g ，再根据k 的范围即可得到k '的范围．【解析】：（1）由椭圆的定义可知：12||||4MF MF +=， 在△12F MF 中，由余弦定理可得：22212121212||||||cos 2||||MF MF F F F MF MF MF +-∠=2212121212(||||)||2||||2||||MF MF F F MF MF MF MF +--=g g12122||||||||MF MF MF MF -=g g2121222111||||||||2()2MF MF MF MF =--=-+g …，120F MF π<∠<Q ，12F MF ∴∠的最大值为23π，此时12||||MF MF =， 即点M 为椭圆C 的上、下顶点时12F MF ∠取最大值，其最大值为23π； （2）设直线BM 的斜率为k '，0(M x ，0)y ，则002y k x =+，002y k x '=-，∴20204y k k x '=-g ，又220014x y +=，∴220044x y =-，∴14k k '=-g ，Q 11(,)23k ∈--，∴1324k '<<， 故直线BM 的斜率的取值范围为1(2，3)4．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆的定义，考查了余弦定理和基本不等式的应用，是中档题．21．（12分）已知函数()(1)(x af x e e x=+为自然对数的底数），其中0a >．（1）在区间(,]2a-∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．（2）若函数()f x 的两个极值点为1x ，212()x x x <，证明：2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【思路分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系可求函数的单调性，进而可求最值；（2）由极值存在的条件及方程的根与系数关系，把不等式的左面式子进行变形后构造函数，结合导数研究新函数的范围可证．【解析】：（1）由条件可知，函数在(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，0a >，令()0f x '=可得，10x =<，20x =>， 1x x <时，()0f x '>，函数单调递增，当10x x <<时，()0f x '<，函数单调递减，由()(1)x af x e x=+，可得()0f a -=，当x a <-时，()0f x >，当0a x -<<时，()0f x <，因为10a x a --=-+=>，所以10x a <-<，又函数在1(x ，0)上单调递减且1102x a a <-<-<，所以()f x 在1(,]2a -∞-上有最小值121()2a f a e --=-，（2）由（1）可知0a >时，()f x 存在两个极值点为1x ，212()x x x <，故1x ，2x 是20x ax a +-=的根， 所以1212x x x x a +==-，且121x x <<，因为11121()(1)(1)x x af x e x e x =+=-，同理221()(1)x f x x e =-，212()(1)lnf x ln x x ∴=-+，121()(1)lnf x ln x x =-+， ∴2112212121()()(1)(1)lnf x lnf x ln x x ln x x x x x x --++--=-- 1212(1)(1)1(1)(1)ln x ln x x x ---=+---，又121222211122()(1)(1)a x x x x +=+=++-+-+-， 由（1）知，12110x x ->->， 设11m x =-，21n x =-，令2(1)()1t h t lnt t -=-+，1t …，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()h t 在(1,)+∞上单调递增，()h t h >（1）0=，即2(1)1t lnt t ->+，令m t n =则2lnm lnn m n m n ->-+ 从而2121()()212lnf x lnf x x x a ->+-+． 【归纳与总结】本题主要考查了导数与函数性质的综合应用，还考查了考生的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），1l 与1C 相切于点A ，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求1C 的极坐标方程及点A 的极坐标； （2）已知直线2:()6l R πθρ=∈与圆22:cos 20C ρθ-+=交于B ，C 两点，记AOB ∆的面积为1S ，2COC ∆的面积为2S ，求1221S S S S +的值． 【思路分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．（2）利用三角形的面积公式的应用求出结果．【解析】：（1）曲线12cos :(42sin x C y βββ=⎧⎨=+⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得到28sin 120ρρθ-+=． 直线1cos :(sin x t l t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0)2πα<<，转换为极坐标方程为()R θαρ=∈． 将θα=代入28sin 120ρρθ-+=得到28sin 120ρρα-+=， 由于△2(8sin )4120α=-⨯=，解得3πα=，故此时ρ=所以点A的极坐标为)3π．（2）由于圆22:cos 20C ρθ-+=，转换为直角坐标方程为22(5x y -+=．所以圆心坐标为．设1(,)3B πρ，2(,)3C πρ，将6πθ=代入2cos 20ρθ-+=，得到2620ρρ-+=， 所以126ρρ+=，122ρρ=．由于1111sin()236A S ππρρ=-g g g，22221||sin()236S OC ππρ=-=g g g ．所以2212121212212112()2622162S S S S ρρρρρρρρρρ+--⨯+=+===． 【归纳与总结】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知()|2|f x x a =-．（1）当1a =时，解不等式()21f x x >+；（2）若存在实数(1,)a ∈+∞，使得关于x 的不等式2()||1f x x m a ++<-有实数解，求实数m 的取值范围．【思路分析】（1）由绝对值的定义，讨论2x <，2x …，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）运用绝对值不等式的性质可得2()||1f x x a ++-的最小值，由题意可得m 大于这个最小值，解不等式可得所求范围．【解析】：（1）当1a =时，即解不等式|2|21x x ->+，当2x …时，原不等式等价为221x x ->+，所以3x <-，则原不等式的解集为∅；当2x <时，原不等式等价为221x x ->+，解得13x <， 综上可得原不等式的解集为1(,)3-∞；（2）222()|||2||||2|111f x x x a x a a a a ++=-+++---…，显然等号可取，由1a >，故原问题等价为关于a 的不等式22a m +<在(1,)+∞有解，又因为2222(1)22611a a a a +=-++=--…，当且仅当2a =取得等号，即6m >， 即m 的范围是(6,)+∞．【归纳与总结】本题考查绝对值不等式的解法，以及不等式有解的条件，考查分类讨论思想和转化思想，以及运算能力、推理能力，属于中档题．。

2020年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|15}A x x =-<<，{1B =，3，5}，则(A B =I ) A ．{1，3} B ．{1，3，5} C ．{1，2，3，4} D ．{0，1，2，3，4，5}2．（5分）设21(1)iz i +=-，则||(z = ) A ．12BC ．1 D3．（5分）已知22ln a =，22log b e=，22e c =，则( )A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<4．（5分）设x ，y 满足约束条件130x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩„„…，则2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．1C ．2D ．35．（5分）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，有下列四个命题： ①若//m α，//n α，则//m n ； ②若n α⊥，m β⊥，//m n ，则//αβ； ③若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m n ； ④若//αβ，m α⊂，m n ⊥，则n β⊥． 其中，正确的命题个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．06．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点分别为1(5,0)F -，2(5,0)F ，P 为C 上一点，12PF PF ⊥，123tan 4PF F ∠=，则C 的方程为( )A ．22124y x -=B ．22124x y -=C ．221916x y -= D ．221169x y -= 7．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的0.4k =，则输出的(n = )A ．5B ．4C ．3D ．28．（5分）函数2()21f x x x =-+的图象与函数()3cos g x x π=的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．89．（5分）已知正方体的六个面的中心可构成一个正八面体，现从正方体内部任取一个点，则该点落在这个正八面体内部的概率为( ) A ．12B ．13C ．16D ．11210．（5分）函数(14)sin ()2x xxf x -=的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．11．（5分）下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则(AB CD =u u u r u u u rg)A ．32B ．28C ．26D ．2412．（5分）在三棱锥P ABC -中，平面PBC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，2BC PC ==，若AC PB =，则三棱锥P ABC -体积的最大值为( )A 42B 163C 163D 323二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁4名医生志愿者中，随机选取2名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 ．14．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224b c a +-，sin sin 2A Cb Cc +=，则角C = ． 15．（5分）《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只．以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a = ．16．（5分）已知A ，F 分别是椭圆2222:(0)x y C l a b a b+=>>的下顶点和左焦点，过A 且倾斜角为60︒的直线l 分别交x 轴和椭圆C 于M ，N 两点，且N 点的纵坐标为35b ，若FMN∆的周长为6，则FAN ∆的面积为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知各项都为正数的等比数列{}n a ，232a =，3458a a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，123||||||||n n T b b b b =+++⋯+，求n T ．18．（12分）为了比较两种治疗某病毒的药（分别称为甲药，乙药）的疗效，某医疗团队随机地选取了服用甲药的患者和服用乙药的患者进行研究，根据研究的数据，绘制了如图1等高条形图．（1）根据等高条形图，判断哪一种药的治愈率更高，不用说明理由；（2）为了进一步研究两种药的疗效，从服用甲药的治愈患者和服用乙药的治愈患者中，分别抽取了10名，记录他们的治疗时间（单位：天），统计并绘制了如图2茎叶图，从茎叶图看，哪一种药的疗效更好，并说明理由；（3）标准差s 除了可以用来刻画一组数据的离散程度外，还可以刻画每个数据偏离平均水平的程度，如果出现了治疗时间在(3x s -，3)x s +之外的患者，就认为病毒有可能发生了变异，需要对该患者进行进一步检查，若某服用甲药的患者已经治疗了26天还未痊愈，请结合（2）中甲药的数据，判断是否应该对该患者进行进一步检查？ 参考公式：222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-g 234048≈．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，12AA =，M ，N 分别为AB ，1AA 的中点．（1）求证：平面1B NC ⊥平面CMN ；（2）若2AB =，求点N 到平面1B MC 的距离．。