第二讲2.3圆的切线的性质及判定定理

第二讲直线与圆的位置关系
2.3 圆的切线的性质及判定定理
A级基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．垂直于切线的直线必经过圆心
C．圆的切线垂直于经过切点的半径
D．垂直于切线的直线必经过切点
解析：A垂直于半径且经过半径外端的直线是圆的切线，B显然不正确，C
正确，D显然不正确．
答案：C
2.如图所示，AP为圆O的切线，P为切点，OA交圆O于点B，若∠A＝40°，
则∠APB等于( )
B．20°
A．25°
D．35°
C．40°
解析：如图所示，连接OP.
因为AP为圆O的切线，
所以∠OPA＝90°.
因为∠A＝40°，
所以∠AOP＝90°－40°＝50°.
因为OP ＝OB ，
所以∠OPB ＝1
2
×(180°－50°)＝65°.
所以∠APB ＝∠OPA －∠OPB ＝90°－65°＝25°.
答案：A
3.如图所示，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA ＝4，OA ＝
3，则cos ∠APO 的值为( )
A.34
B.35
C.45
D.43
解析：因为PA 为⊙O 的切线， 所以OA ⊥PA ，在Rt △OAP 中， OP ＝OA2＋AP2＝32＋42＝5.
故cos ∠APO ＝PA OP ＝4
5
.
答案：C
4．AB 是⊙O 的切线，在下列给出的条件中，能判定AB ⊥CD 的是( )
A ．A
B 与⊙O 相切于直线CD 上的点C
B ．CD 经过圆心O
C ．C
D 与⊙O 相交
D ．AB 与⊙O 相切于C ，CD 过圆心O
解析：由圆的切线性质定理，可选D.
答案：D
5.如图所示，在Rt
△
ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心的圆与斜边AB 相切于点D
，则⊙C 的半径为( )
A ．5 B.75 C.125
D ．1
解析：连接CD (如图)，
则CD ⊥AB .
由三角形面积公式，
得S △ABC ＝12AB ·CD ＝1
2
AC ·BC .
所以CD ＝
BC·AC
AB
. 又因为AB ＝AC2＋BC2＝32＋42＝5，
所以CD ＝12
5
.
答案：C
二、填空题
6．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，BC 与⊙A 相切于点
D ，与AB 相交于点
E ，则∠BDE ＝________．
解析：因为BC 与⊙A 相切于点D ，
所以AD ⊥BC .
且∠BAD ＝∠CAD ＝1
2
∠BAC ＝60°，
又因为AD＝AE，所以△ADE为等边三角形，
即∠ADE＝60°.
所以∠BDE＝90°－∠ADE＝30°.
答案：30°7．如图所示，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA、OB.若∠A
BC＝70°，则∠A等于________．
解析：因为BC与⊙O相切于点B，
所以OB⊥BC.
所以∠OBC＝90°.因为∠ABC＝70°，
所以∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝90°－70°＝20°.
因为OA＝OB，所以∠A＝∠OBA＝20°.
答案：20°8．如图所示，AB为半圆O的直径，CB是半圆O的切线，B是切点，AC交半圆O于点D，已知CD＝1，AD＝3，那么cos∠ACB＝________．
解析：连接BD(如图)，
因为AB为半圆的直径，
所以∠ADB＝90°，
即BD⊥AC.
又因为BC为半圆的切线，
所以AB⊥BC.所以Rt△BDC∽Rt△ADB.
所以CD
BD＝
BD
AD，即BD
2＝AD·CD＝3.
所以BD＝3.
所以Rt△ADB中，AB＝AD2＋BD2＝23.
所以cos∠ACB＝cos∠ABD＝BD
AB＝
3
23
＝
1
2.
答案：
1
2三、解答题
9．如图所示，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，点P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于点R，求证
：RP＝RQ.
证明：连接OQ(如图)．
因为QR是⊙O的切线，
所以OQ⊥QR.
因为OB＝OQ，
所以∠B＝∠OQB.
因为BO⊥OA，
所以∠BPO＝90°－∠B＝∠RPQ，
∠PQR＝90°－∠OQP，
所以∠RPQ＝∠PQR，
所以RP＝RQ. 10．如图所示，已知AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE
＝BE，E在BC上，试证明PE是⊙O的切线．
证明：如图所示，连接OP、BP，
因为AB是⊙O的直径，
所以∠APB＝90°.
所以∠BPC＝90°.又因为BE＝CE，
所以PE＝BE.所以∠3＝∠1.
又因为OP＝OB，则∠4＝∠2.
由BC切⊙O于B，知∠1＋∠2＝90°.
所以∠3＋∠4＝90°.即OP⊥PE.
所以PE是⊙O的切线．
B级能力提升
1.如图所示，AB为⊙O的直径，MN切⊙O于点C，AC＝1 2
BC，则sin∠MCA等于( )
A.12
B.22
C.32
D.55
解析：连接OC (如图)．
因为MN 切⊙O 于点C ，
所以OC ⊥MN ，
所以∠MCA ＋∠ACO ＝90°.
因为OC ＝OA ，所以∠ACO ＝∠CAO .
因为AB 是⊙O 的直径，
所以∠ACB ＝90°， 所以∠CAO ＋∠B ＝90°，
所以∠MCA ＝∠B .
因为AC ＝1
2
BC ，即BC ＝2AC ，
所以AB ＝AC2＋BC2＝ AC2＋4AC2＝5AC ，
所以sin B ＝
AC AB ＝AC 5AC ＝55
. 所以sin ∠MCA ＝5
5
.
答案：D
2．如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使BC ＝CD ，
过C 作圆O 的切线交AD 于E .若AB ＝6，ED ＝2，则BC ＝________．
解析：连接OC(如图)．O、C为AB、DB中点，
则OC∥AD.
又OC⊥CE，
则CE⊥AD.
又AC⊥BD，BC＝CD.
所以AB＝AD＝6.
由射影定理，有CD2＝AD·ED＝12，
所以BC2＝CD2＝12，即BC＝23.
答案：23 3．如图所示，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥
BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P.
(1)求证：BF＝EF；
(2)求证：PA是圆O的切线．
证明：(1)因为BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，
所以EB⊥BC.
又因为AD⊥BC，所以AD∥BE.
易证△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC.
所以BF
DG＝
CF
CG，
EF
AG＝
CF
CG.
所以
BF
DG＝
EF
AG.
因为G是AD的中点，
所以DG＝AG.
所以BF＝EF.
(2)连接AO，AB(如图)．
因为BC是圆O的直径，
所以∠BAC＝90°.
在Rt△BAE中，
由(1)，知F是斜边BE的中点，
所以AF＝FB＝EF.
所以∠FBA＝∠FAB.
又因为OA＝OB，所以∠ABO＝∠BAO.
因为BE是圆O的切线，
所以∠EBO＝90°.因为∠EBO＝∠FBA＋∠ABO＝∠FAB＋∠BAO＝∠FAO＝
90°，
所以PA是圆O的切线．。