连续型随机变量函数的密度函数

续：
(2)ξ2 密度不为0的区间是(0,π ),y=sinx在该区间内分段单调， 当0 ≤ x ≤ π /2,y=sinx单调上升,反函数为x1 =arcsiny； 当π /2 ≤ x ≤ π ,y=sinx单调下降,反函数为x2 =π －arcsiny； 于是当0 ≤ y ≤ 1是，η2的密度函数为：
y 1 e 2 = 2π y y )2
1 1( e 2 + 2π
y )2
]
y 1 e 2, y >0 故η＝ξ 2的密度函数fξ ( y ) = 2π y y≤0 0, η服从自由度为1的χ 2分布。
Y=x2分段单调如右图：
π π π 2 2 ( x + ), ≤ x ≤ （1）设ξ1的密度函数:fξ1 ( x) = π 2 2 2 其它 0, 2x 2 ,0 ≤ x ≤ π （2）设ξ 2的密度函数:fξ2 ( x) = π 0, 其它 π π 8 2 ( x + ), ≤ x ≤ π （3）设ξ3的密度函数:fξ3 ( x) = 9π 2 2 其它 0,
3.3.2
多维随机变量函数的密度函数
1、和的分布
设(ξ ,η )的联合密度函数为f (x, y )， 则ζ ＝ξ＋η的分布函数为： Fζ ( z ) = P{ζ ≤ z} = P{ξ + η ≤ z} =
+∞ x+ y≤ z
∫∫
f ( x, y )dxdy
fζ ( z ) = Fζ' ( z ) =
1 x 2 ( ) 1 2 σ e 它的密度函数 fξ ( x) = 2π σ 因而 η = kξ + b 的密度函数
y b 1 1 fη ( y ) = fξ ( ) = e k |k| 2π σ | k |
2 2
1 x ( k +b ) 2 ( ) 2 |k |σ
所以 η ~ N (k + b, k σ ) ，即服从正态分布的随机变量， 它的线性函数也服从正态分布。
π
2
]
1 1 y2
16 9π 1 y 2
续：
当-1 ≤ y ≤ 0是，η3的密度函数为： fη3 ( y ) = fξ3 (arcsin y ) | (arcsin y ) |=
'
8 9π
2
(arcsin y +
π
2
)
1 1 y2
当y < 1或y ≥ 1时，fη3 ( y )＝0 16 ，当0 ≤ y ≤ 1 9π 1 y 2 8 π 1 综上，fη3 ( y ) = 2 (arcsin y + ) ，当-1<y<0 2 1 y2 9π 0，其它y
当z > 0时，fξ ( yz ) fη ( y ) = λ e λ yz e y = λ e y ( λ z + ) fζ ( z ) = λ ∫
+∞ 0
ye
y (λ z + )
λ dy = 2 (λ z + )
0， z≤0 ∴ζ 的密度函数fζ ( z ) = λ ， 2 z >0 (λ z + )
aiξi = a1ξ1 + ... + anξ n ~ N (∑ ai i , ∑ aiσ i 2 ) ∑
i=1 i=1 i=1 n n n
即任意有限个独立的服从正态分布的随机变量的线性组合 仍服从正态分布。
例3.17、设ξ 、η 独立，ξ 和η的密度函数分别为 3e 3 x , x ≥ 0 2e 2 y , y ≥ 0 fξ ( x ) = fη ( y ) = 0, x < 0 0, y < 0 求ζ ＝ξ＋η的密度函数。
推论：如果 η 是 ξ 的线性函数 η = kξ + b ，那么η y b 1 的密度函数为 fη ( y ) = fξ ( )
k |k|
η = kξ + b ，则η ~ N (k + b, k 2σ 2 ) 例3.13 设ξ ~ N ( ,σ ) ，
2
证：由 ξ ~ N ( ,σ 2 )
2、ζ=ξ2+η2的分布 例3.18 设ξ、η 独立，且都服从N(0,1)分布，求 ζ=ξ2+η2的密度函数。 解：先求ζ的分布函数Fζ(z)=P{ξ2+η2≤ z} 当z<0时，{ξ2+η2≤ z}是不可能事件，故Fζ(z)＝0； 当z≥0时, Fζ ( z ) =
x2 + y 2 ≤ z
∫∫
f ( x, y )dxdy =
续： 于是当0 ≤ y ≤ 1是，η3的密度函数为：
fη3 ( y ) = fξ3 (arcsin y ) | (arcsin y )' | ＋fξ3 (π arcsin y ) | (π arcsin y )' | = 8 9π + =
2
(arcsin y + 8
π
2
)
1 1 y2
9π
2
[π arcsin y +
∞
∫
1 2π σ 1
e
1 x 1 2 ( ) 2 σ1
2π σ 2
dx
ζ ~ N ( 1 + 2 , σ 12 + σ 2 2 )
利用数学归纳法，设ξ1 , ξ 2 ,...,ξ n为n个相互独立的随机变量，
ξi ~ N ( i , σ 2 ), i = 1, 2,3,..., n, 那么它们的线性组合
Fζ ( z ) = P{ζ ≤ z} = = ∫ [∫
∞
0
x ≤z y
∫∫
f ( x, y ) dxdy
+∞
yz
+∞
yz
f ( x, y )dx]dy + ∫ [ ∫
0
∞
f ( x, y )dx]dy
作变换x = ty, dx = ydt Fζ ( z ) = ∫ [ ∫
∞ 0 ∞ z
f (ty, y ) ydt ]dy + ∫ [ ∫
∞
∫
+∞
f ( x, z x)dx =
∞
∫
f ( z y, y )dy
若ξ 、η 相互独立，f ( x, y ) = fξ ( x) fη ( y ), 则ξ＋η的密度函数为：
+∞
fζ ( z ) =
∞
∫
+∞
fξ ( x) fη ( z x)dx =
∞
∫
fξ ( z y ) fη ( y ) dy
f (ty, y ) | y | dy
例3.19 设ξ、η独立，且分别服从指数分布
λ e λ x , x > 0 e y , y > 0 和 fη ( y ) = fξ ( x ) = 0, x < 0 0, y < 0
求ζ=ξ/η的密度函数。
λ eλ yz , y、z同号 解：fξ ( yz ) = 0, y、z异号 当z≤0时，fζ(z)=0;
续：
(3)ξ3 密度不为0的区间是(-π / 2,π ), y=sinx在该区间内分段单调， 当-π /2 ≤ x ≤ π /2,单调上升, 反函数为x1 =arcsiny, y ∈ (1,1)； 当π /2 ≤ x ≤ π ,单调下降, 反函数为x2 =π －arcsiny, y ∈ (0,1)；
上式称为fξ 与fη的卷积公式，记成fξ fη
例3.16、设ξ 、η 相互独立，ξ ~ N ( 1 , σ 12 ),η ~ N ( 2 , σ 2 2 )， 求ζ ＝ξ＋η的密度函数。
+∞
∫
fξ ( x) fη ( z x)dx = 1 e
1 z x 2 2 ) ( σ2 2
x2 + y 2 ≤ z
∫∫
ξ ( x)η ( y )dxdy
1 1 ( x2 + y 2 ) = ∫∫ e 2 dxdy 2π x2 + y 2 ≤ z
续： 把直角坐标改为极坐标，令x=rcosθ , y=rsinθ, 于是，
1 z r2 z 1 2π 1 1 r2 Fζ ( z ) = ∫∫ e 2 rdrdθ = ∫ dθ ∫ e 2 rdr = 1 e 2 0 0 2π 2π 2 r ≤z
1. y = g ( x) 是严格单调且可导的函数
定理3.1 设ξ 的密度函数为 fξ ( x), y = g ( x) 严格单调 且有一阶导数存在，设 x = h( y ) 为y = g ( x) 的反函数， 则 η = g (ξ ) 也是一个连续型随机变量，它的密度函 数 fη ( y ) = fξ (h( y )) h' ( y ) , a < y < b 式中 a = min{g (ξ )}, b = max{g (ξ )}
0 +∞ 0
+∞
z
∞ z
f (ty, y ) ydt ]dy f (ty, y ) | y | dt ]dy
= ∫ [∫
∞ z
0
z
∞ +∞
f (ty, y ) | y | dt ]dy + ∫ [ ∫ f (ty, y ) | y | dy ]dt
' +∞ ∞
∞
= ∫ [∫
∞
∞
故ζ 的密度函数fζ ( z ) = Fζ ( z ) = ∫
2. y = g ( x) 分段严格单调且可导
定理3.2 设随机变量 ξ 的密度函数为 fξ ( x), y = g ( x) 在不相重叠的区间 I1 , I 2 ,..., I k 上分段严格单调且可导， 它们的反函数分别为 h1 ( y ), h2 ( y ),..., hk ( y ) ，那么η = g (ξ ) 仍为连续型随机变量，它的密度函数