2-4高阶导数

(4)
3! (1 x ) 4
n 1 ( n 1)! (n) y ( 1) (1 x ) n
( n 1, 0! 1)
例4
设 y sin x , 求y ( n ) . 解 y cos x sin( x ) 2 y cos( x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 ( n) y sin( x n ) 2 (n) 同理可得 (cos x ) cos( x n ) 2
四、 下列函数的 n 阶导数： 1、 y e x cos x ； 1 x ； 2、 y 1 x x3 3、 y 2 ; x 3x 2
练习题答案
一、1、 2e t cos t ； 2、 2 sec 2 x tan x ；
2x x2 2 ； 4、 2 xe ( 3 2 x )； 3、 2 arctan x 2 1 x 5、 2 f ( x 2 ) 4 x 2 f ( x 2 ) ； 6、207360； 7、 n !； 5 3 2 二、1、 4 x 8 x 3 ； 4 2 sin 2 x cos 2 x 2、 2 cos 2 x ln x ； 2 x x x 3、 . 3
函数f ( x )的n阶导数, 记作
n n d y d f ( x) ( n) (n) . f ( x ), y , 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
相应地 , f ( x )称为零阶导数 ; f ( x )称为一阶导数 .
二、 高阶导数求法举例
直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
二、 求下列函数的二阶导数： 2x3 x 4 1、 y ； x 2、 y cos 2 x ln x ； 3、 y ln( x 1 x 2 ) .
三、验证函数 y c1 e x c 2 e x ( , c1 , c 2 是常数） 满足关系式 y 2 y 0 .
y (( 1) x 2 ) ( 1)( 2) x 3

y ( n ) ( 1) ( n 1) x n ( n 1)
若 为自然数 n, 则
y
(n)
( x ) n! ,
n (n)
y
( n 1)
练 习 题
一、 填空题： sin t 1、 设 y t 则 y =_________. e 2、 设 y tan x ,则 y =_________. 3、 设 y (1 x 2 ) arctan x ，则 y =________. x2 4、 设 y xe ,则 y =_________. 5、 设 y f ( x 2 ) , f ( x ) 存在，则 y =_________. 6、 设 f ( x ) ( x 10) 6 ,则 f ( 2) =_________. 7、 设 x n a1 x n1 a 2 x n 2 a n1 x a n ( a1 , a 2 , , a n 都是常数)，则 y ( n ) =___________.
( n! ) 0.
注意:求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并, 分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明) 例3 设 y ln(1 x ), 求y ( n ) . 1 1 y 解 y 1 x (1 x ) 2
2! y (1 x ) 3 y
2x f ( 0) (1 x 2 ) 2
x0
2( 3 x 2 1) 0; f (0) (1 x 2 ) 3
x0
2.
例2
设 y x ( R ), 求y

( n)
.
解 y x 1
y (x 1 ) ( 1) x 2
d3y . 二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x ), y, 3 dx 4 d y (4) (4) 三阶导数的导数称为四阶导数, f ( x ), y , . 4 dx
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ( x ), y , 2 或 2 dx dx
一般地, 函数f ( x )的n 1阶导数的导数称为
例1 设 y arctan x , 求f (0), f (0). 解
y 1 1 x2 y ( 1 2x ) 2 1 x (1 x 2 ) 2
2 2x 2 ( 3 x 1) y ( ) 2 2 (1 x ) (1 x 2 ) 3
一、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度.
设 s f ( t ), 则瞬时速度为 v ( t ) f ( t )
加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
a ( t ) v ( t ) [ f ( t )] .
定义 如果函数f ( x )的导数f ( x )在点x处可导, 即 f ( x x ) f ( x ) ( f ( x )) lim x 0 x 存在, 则称( f ( x ))为函数f ( x )在点x处的二阶导数.
(1 x 2 ) 2
四、1、 ( 2 ) e cos( x n ) ； 4 2 n! n 2、 ( 1) ； n1 (1 x ) 8 1 n 3、 ( 1) n![ ], ( n 2) ； n1 n1 ( x 2) ( x