下载文档原格式
高阶导数练习题一、基本概念题1. 若函数f(x)的二阶导数f''(x)存在，则f''(x)是______的导数。
2. 设y = f(x^2)，求y关于x的二阶导数。
3. 已知f(x) = x^3 + 3x^2 + 2x + 1，求f''(x)。
4. 若f(x) = e^(2x)，求f^(4)(x)。
二、计算题1. 已知f(x) = sin(x^2)，求f''(x)。
2. 设y = ln(x^2 + 1)，求y的第三阶导数。
3. 已知y = (x^2 + 1)^(1/2)，求y的第四阶导数。
4. 设f(x) = (x^3 3x)^5，求f''(x)。
5. 已知y = e^x cos(x)，求y的第三阶导数。
三、应用题1. 设物体在直线运动中的位移s关于时间t的函数为s = t^3 3t^2 + 2t，求物体在t = 2时的加速度。
2. 已知某曲线的方程为y = 3x^4 4x^3 + 2x^2，求该曲线在x = 1处的曲率。
3. 设某函数f(x)的二阶导数f''(x) = 6x 4，求f(x)在x = 0处的拐点。
4. 已知某函数的图像在点(x, y)处的切线斜率为y' = 2x + 1，求该函数在x = 2处的曲率半径。
5. 设某物体的速度v关于时间t的函数为v = t^2 2t + 3，求物体在t = 1时的加速度和减速度。
四、综合题1. 已知函数f(x) = arctan(x^2)，求f''(x)。
2. 设y = (x^2 + 1) e^x，求y的第四阶导数。
3. 已知y = x^3 ln(x)，求y的第三阶导数。
4. 设f(x) = (1 + x^2)^(1/2)，求f''(x)。
5. 已知y = (x^4 2x^2 + 1)^(1/3)，求y的第四阶导数。
高阶导数根号例题二阶以及二阶以上的导数，统称高阶导数高阶导数四大解法：变形成n阶四公式形式莱布尼茨公式（常需利用n阶四公式）泰勒公式化得多项式观察规律法首先，要想解高阶导数又快又准，n阶四公式绝对是基础中的基础，所以，请务必记住n阶四公式：{(^m)}^{(n)}=m(m-1)(m-2)\cdot(m-n+1)^{m-n}\quad(m\geq n){(a^)}^{(n)}=(\ln a)^{n}a^(\ln )^{(n)}=\frac{{(-1)}^{n-1}(n-1)!} {^n} （由(\ln )'=\frac{1} {} ，有 {(\frac{1} {})}^{(n)}=\frac{(-1)^nn!} {^{n+1}} ）{(\in )}^{(n)}=in (+\frac{n\pi} {2}) （ {(\co )}^{(n)}={co (+\frac{n\pi} {2})} ）所谓n阶四公式，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数最简单形式的n阶导数的值。
但是通常，题目不会直接让我们求这四个函数，一般我们要求的，都是 n 阶四公式形式的函数，比如说，求的是 {(a+b)}^{(n)} ，{[\ln(a+b)]}^{(n)} ， {[in (k+b)]}^{(n)}我们只要记住了形式简单的n阶四公式，就可以很快地推出n阶四公式形式的函数。
所以，现在，请立刻开始把n阶四公式记住，不要说留到后面再背，告诉自己，我现在就要记住n阶四公式，并且我不会忘了。
只有我们有坚定说要去记住，才真的更容易记牢，这是我自己的感受。
好，现在我们记住了n阶四公式。
因为是最简单的形式，所以记起来也还行。
ok，前面说了这么多，其实就讲了一样东西，叫 n 阶四公式。
为了检验你是否掌握，请你拿出纸笔，求：f()=\ln (1-) 的 n 阶导数。
（答案在文末，题号为① ）上面的问题你答对了吗？答对了就点个赞吧！好，现在，停下来，休息一下，放松地思考一下，下面两个问题：{[(a+b)^m]}^{(n)} ，{[\ln (a+b)]}^{(n)} ， {[in (k+b)]}^{(n)}上面的三个n阶导数求出来是什么？问题难度适中，相信你能思考出来。
第五章导数和微分4 高阶导数定义1：若函数f的导数f’在点x0可导，则称f’在点x0的导数为f在点x0的二阶导数，记作f”(x0)，即lim x→x0f′(x)−f′(x0)x−x0= f”(x0)，同时称f在点x0为二阶可导.若f在区间I上每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶可导函数，记作f”(x), x∈I，或简单记作f”.二阶以及以上的导数称为高阶导数，f在点x0处的n阶导数记作：f(n)(x0)，y(n)|x=x0或dn ydx n|x=x相应地，n阶导函数记作：f(n)，y(n)或d n ydx n.例1：求幂函数y=x n(n为正整数)的各阶导数。
解：y=x n(n为正整数)的各阶导数分别为：y’=nx n-1,y”=n(n-1)x n-2,…,y(n-1)=(y(n-2))’=n(n-1)(n-2)…[n-(n-2)]x n-(n-1)=n(n-1)(n-2)…2x=n!x, y(n)=(y(n-1))’=n(n-1)(n-2)…[n-(n-1)]x n-n=n!,y(n+1)= y(n+2)= 0例2：求y=sinx和y=cosx的各阶导数.解：y=sinx 的各阶导数分别为：y ’=cosx=sin(x+π2), y ”=-sinx=sin(x+π), …, y (n)=sin(x+nπ2),….(n ∈N +)y=cosx 的各阶导数分别为：y ’=-sinx=cos(x+π2), y ”=-cosx=sin(x+π), …, y (n)=cos(x+nπ2),….(n ∈N +)例3：求y=e x 的各阶导数. 解：y ’=y ”=…=y (n)=e x .一阶导数的运算法则可移植到高阶导数。
有[u ±v](n)= u (n)±v (n) . y ’=(uv)’=u ’v+uv ’，y ”=(u ’v+uv ’)’=(u ’v)’+(uv ’)’=u ”v+u ’v ’+uv ”+u ’v ’=u ”v+2u ’v ’+uv ”， y ”’=(u ”v+2u ’v ’+uv ”)’=u ”’v+u ”v ’+2u ”v ’+2u ’v ”+u ’v ”+uv”’ =u ”’v+3u ”v ’+3u ’v ”+uv ”’，…， 莱布尼兹公式：(uv)(n)=u (n)v (0)+C n 1u (n-1)v (1)+C n 2u (n-2)v (2)+…+C n k u (n-k)v (k)+…+u (0)v (n) =∑C n k n k=0u(n-k)v (k).例4：设y=e x cosx ，求y (5).解：令u=e x, v=cosx ，则u (n)=e x, v (n)=cos(x+nπ2),∴y (5)=u (5)v+5u (4)v (1)+10u (3)v (2)+10u (2)v (3)+5u (4)v (1)+uv (5) =e x (cosx-5sinx-10cosx+10sinx+5cosx-sinx)= 4e x (sinx-cosx).例5：研究函数f(x)={x2 x≥0−x2 x<0的高阶导数.解：当x>0时, f’(x)=2x，f”(x)=2，f(n)(x)≡0 (n≥3).当x<0时，f’(x)=-2x，f”(x)=-2，f(n)(x)≡0 (n≥3).当x=0时，f’+(0)=f’-(0)=f’(0)=0，而当n≥2时，f(n)(0)不存在.∴f’(x)={2x, x>0 0, x=0−2x, x<0，f”(x)= {2, x>0不存在, x=0−2, x<0当n≥3时，f(n)(x)=0 (x≠0)，f(n)(0)不存在.设φ, ψ在[α,β]上都是二阶可导，则由参量方程{x=φ(t)y=ψ(t)所确定的函数的一阶导数dydx =ψ′(t)φ′(t)，它的参量方程是{x=φ(t)dydx=ψ′(t)φ′(t)，由此可得d2y dx2=ddx(dydx)=ddt(ψ′φ′)dxdt=(ψ′(t)φ′(t))′φ′(t)=ψ′′(t)φ′(t)−ψ′(t)φ′′(t)[φ′(t)]3.例6：试求由摆线参量方程{x=a(t−sint)y=a(1−cost)所确定的函数y=y(x)的二阶导数.解：dydx =(a(1−cost))′(a(t−sint))′=sint1−cost=cot t2.d2y dx2=(cot t2)′(a(t−sint))′=−csc2t22a(1−cost)=−csc4t24a.习题1、求下列函数在指定点的高阶导数：(1)f(x)=3x3+4x2-5x-9，求f”(1)，f”’(1)，f(4)(1)；(2)f(x)=√1+x 2，求f ”(0)，f ”(1)，f ”(-1).解：(1)∵f ’=9x 2+8x-5，f ”=18x+8，f ”’=18，f (4)=0. ∴f ”(1)=26，f ”’(1)=18，f (4)(1)=0. (2)∵f ’=√1+x 2−2√1+x 21+x 2=√1+x 21+x 2=√1+x 2(1+x 2)2，f ”=22√1+x 22)√1+x 2(1+x 2)4=−3x√1+x 2(1+x 2)3.∴f ”(0)=0，f ”(1)= −3√28，f ”(-1)=3√28.2、设函数f 在点x=1处二阶可导. 证明：若f ’(1)=1，f ”(1)=0，则在x=1处，有ddx f(x2)= d 2dx2f 2(x). 证：当x=1时，d dxf(x 2)=(f(x 2))’=f ’(x 2)·(x 2)’=2xf ’(x 2)=2f ’(1)=2.d 2dx2f 2(x)=(f 2(x))”=(2f(x)f ’(x))’=2[(f ’(x))2+f(x)f ”(x)]=2[(f ’(1))2+f(1)f ”(1)]=2. ∴在x=1处，ddxf(x2)= d 2dx2f 2(x).3、求下列函数的高阶导数： (1)f(x)=xlnx ，求f ”(x)；(2)f(x)=e−x 2，求f ”’(x)；(3)f(x)=ln(1+x)，求f (5)(x)；(4)f(x)=x 3e x ，求f (10)(x). 解：(1)f ”(x)=(xlnx)”=(lnx+1)’=1x .(2)f ”’(x)=(e−x 2)”’=(−2xe−x 2)”=(-2e−x 2+4x 2e−x 2)’=4xe −x 2+8x e −x 2-8x 3e −x 2=4x e −x 2(3-2x 2). (3)f (5)(x)=(ln(1+x))(5)=(11+x)(4)=(−1(1+x)2)(3) =(2(1+x)3)(2)=(−6(1+x)4)’=24(1+x)5.(4)∵(x 3)’=3x 2，(x 3)(2)=6x ，(x 3)(3)=6，(x 3)(4)=(x 3)(5)=…=(x 3)(10)=0. (e x )’=(e x )(2)=…=(e x )(10)=e x .∴f (10)(x)=(x 3)(10)e x +10(x 3)(9)(e x )’+45(x 3)(8)(e x )(2)+120(x 3)(7)(e x )(3)+210(x 3)(6)(e x )(4)+252(x 3)(5)(e x )(5)+210(x 3)(4)(e x )(6) +120(x 3)(3)(e x )(7) +45(x 3)(2)(e x )(8)+10(x 3)’(e x )(9)+x 3(e x )(10)=e x (720+270x+30x 2+x 3).4、设f 为二阶可导函数，求下列各函数的二阶导数. (1)y=f(lnx)；(2)y=f(x n ), n ∈N +；(3)y=f(f(x)). 解：(1)y ”=(f(lnx))”=(f ’(lnx)(lnx)’)’=(f ′(lnx)x)’=x(f ′(lnx ))′−f ′(lnx)x 2=xf ′′(lnx )(lnx)′−f ′(lnx)x 2=f ′′(lnx )−f ′(lnx)x 2.(2)y ”=(f(x n ))”=(f ’(x n )(x n )’)’=(nx n-1f ’(x n ))’=n(n-1)x n-2f ’(x n )+ nx n-1(f ’(x n ))’ = n(n-1)x n-2f ’(x n )+ nx n-1 f ”(x n )(x n )’=n(n-1)x n-2f ’(x n )+ (nx n-1)2f ”(x n ). (3)y ”=(f(f(x)))”=(f ’(f(x))f ’(x))’=(f ’(f(x)))’f ’(x)+f ’(f(x))f ”(x) =f ”(f(x))(f ’(x))2+ f ’(f(x))f ”(x).5、求下列函数的n 阶导数。
第7章 高阶导数 一、一阶导数和二阶导数∙ 函数y=f(x) （一）一阶导数xx f x x f dx dy x f x ∆-∆+=='→∆)()(lim )(0（二）二阶导数∙ 若函数y=f(x)的导数)(x f '仍为可导函数，则称)(x f '的导数为函数y=f(x)的二阶导数，记为)(x f ''，即dx dx dyd dxyd x x f x x f x f x )()()(lim )(220==∆'-∆+'=''→∆【例题】126)(9123)(496)()1(223-=''+-='∴++-=x x f x x x f x x x x f【练习】P122的例8.1 （三）高阶导数∙ 二阶以上的导数都称为高阶导数。
∙3322)(dxyd dx dx y d d =【例】求高阶导数∙ )(ln )(x f x x x f ''=，求【xx f 1)(=''】∙)()(2x f e x f x ''=-，求【)24()(22-=''-x e x f x 】【例】求n 阶导数∙)1ln()(x x f +=【nn n x n x f )1()!1()1()(1)(+--=-】∙ xex f =)(【x n ex f=)()(】∙ x x f ln )(=【n n n x n x f)!1()1()(1)(--=-】∙)1,0()(≠>=a a a x f x【x n n a a x f )(ln )()(=】【例8.4】P130。
二、高阶导数的数学应用——了解函数的性质（一）单调性若函数y=f(x)在闭区间【a ，b 】内连续，在开区间（a ，b ）内可导，那么 1. 若x ∈（a ，b ），恒有)(x f '＞0，则f （x ）在【a ，b 】内单调增加； 2. 若x ∈（a ，b ），恒有)(x f '＜0，则f （x ）在【a ，b 】内单调减少； 3. 若x ∈（a ，b ），有)(x f '=0，则称x 为函数f （x ）的驻点。
高阶导数考研题目及答案### 高阶导数考研题目及答案题目一：给定函数 \( f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x^2 + 7x - 6 \) ，求 \( f(x) \) 的三阶导数。
解答一：首先，我们求一阶导数 \( f'(x) \)：\[ f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 10x + 7 \]接着，求二阶导数 \( f''(x) \)：\[ f''(x) = 36x^2 - 12x + 10 \]最后，求三阶导数 \( f'''(x) \)：\[ f'''(x) = 72x - 12 \]题目二：已知 \( g(t) = \ln(t) + \sin(t) \) ，求 \( g(t) \) 的四阶导数。
解答二：首先，我们求一阶导数 \( g'(t) \)：\[ g'(t) = \frac{1}{t} + \cos(t) \]接着，求二阶导数 \( g''(t) \)：\[ g''(t) = -\frac{1}{t^2} - \sin(t) \]然后，求三阶导数 \( g'''(t) \)：\[ g'''(t) = \frac{2}{t^3} - \cos(t) \]最后，求四阶导数 \( g''''(t) \)：\[ g''''(t) = -\frac{6}{t^4} + \sin(t) \]题目三：设 \( h(u) = e^{u^2} \) ，求 \( h(u) \) 的五阶导数。
解答三：首先，我们求一阶导数 \( h'(u) \)：\[ h'(u) = 2ue^{u^2} \]接着，求二阶导数 \( h''(u) \)：\[ h''(u) = 2e^{u^2} + 4u^2e^{u^2} \]然后，求三阶导数 \( h'''(u) \)：\[ h'''(u) = 8u^3e^{u^2} + 12ue^{u^2} \]接着求四阶导数 \( h''''(u) \)：\[ h''''(u) = 24u^2e^{u^2} + 48ue^{u^2} + 8e^{u^2} \]最后，求五阶导数 \( h'''''(u) \)：\[ h'''''(u) = 96u^3e^{u^2} + 192u^2e^{u^2} + 96ue^{u^2} + 8e^{u^2} \]注意：以上解答中，我们假设 \( t > 0 \) 以保证 \( \ln(t) \) 有定义，且 \( u \) 为实数。
