当前位置：文档之家 › 物理问题中的等效法

物理问题中的等效法

  • 格式：doc
  • 大小：20.00 KB
  • 文档页数：6

物理问题中的等效法作者：高兴玉来源：《中学物理·高中》2015年第10期在一些物理问题中，一个过程的发展、一个状态的确定，往往是由多个因素决定的.在这一决定中，若某些因素所起的作用和另一些因素所起的作用相同，则前一些因素与后一些因素是等效的，它们便可以互相代替，而对过程的发展或状态的确定，最后结果并不影响，这种以等效为前提而使某些因素互相代替来研究问题的方法就是等效法.简言之，所谓等效法，是在保证效果相同的前提下，将陌生、复杂抽象的问题变换成熟悉、简单、形象的问题或模型进行分析和研究的思维方法.例1如图1中AC是东西走向的马车道，它的北面是一片沙土地带，人在上面步行速度为6 km/h，而车道上马车速度为10 km/h，已知BD=12 km，AD=16 km，则人要从A地到B地所需要的最短时间是多少？解本题是运动求极值问题，但通过类比，把AC看成两种介质的分界面，沿AC方向运动就是入射角为90°，当按光的折射定律运动时，所用时间最短.因此问可等效为逆向可看作恰好发生全反射的问题.如图，设AEB为所求的路径，则sin90°sinθ=v1v2，式中v1=10 km/h，v2=6 km/h分别为马车和人步行的速度，由上式可得sinθ=v2v1=35，tanθ=0.75，因此DE=BD·tanθ=12×0.75=9 （km），AE=AD-DE=7 km，BE=15 km.所以t=AEv1+BEv2=3.2 （h）.即从A地达B地所需最短时间是3.2小时.例2一列总质量为M的列车，沿平直铁路匀速行驶.某时刻，其质量为m的末节车厢脱钩，司机发觉时，车的前部自脱钩处又行驶了距离L，司机立即关闭发动机.设车所受的阻力与车重成正比，机车的牵引力恒定.求列车的两部分最后都停下来时，其间距s是多少？解设想在末节车厢脱钩的同时，司机当即发觉并立即关闭发动机，则最后车的前部分和脱钩车厢都停下来时，其间距为零.与前面的假设相比较，就可等效为牵引力多做的功，最后消耗在多走的路程s上.它多行驶这段就多克服阻力做了功为W1=μ（M-m）gs，而车前部多做这些功的能量来源于车发动机动力在距离L上对车做功的结果，这个功值为W2=μMgL，由于W1=W2，得s=MLM-m.例3如图2所示，小球从长为l的光滑斜面顶端自由下滑，滑到底端时与挡板碰撞并反向弹回.若每次与挡板碰撞后的速度大小为碰撞前速度大小的4/5.求小球从开始下滑到最终停止于斜面下端时，小球总共通过的路程.分析可分段列出l1，l2，…，ln的关系式，s=l+2（l1+l2+…+ln），用等比数列求和，但较繁.此题也可用递推法求解.下面用等效法求解.解我们假设小球与挡板碰撞不损失能量，其原来损失的能量可看作小球运动过程中克服阻力做功消耗掉了，最终结果是相同的.而阻力在整个运动过程中都有，就可利用摩擦力做功求出路程.设第一次碰撞前后小球的速分别为v、v1，碰撞后反弹的距离为l，则mglsinθ=12mv2（1）12mv21=mgl1sinθ（2）其中v1=45v，碰撞损失的动能ΔEk=12mv2-12mv21=12mv2（1-1625）=925·12mv2，根据等效性有f（l+l1）=ΔEk，解出等效摩擦力f=941mgsinθ.通过这个结果可以看出等效摩擦力与下滑的长度无关，所以在以后的运动过程中，等效摩擦力都相同，以整个运动为研究过程，则mglsinθ=fs=s·941mgsinθ，解得总路程s=41l/9.例4设湖岸MN为一直线，有一小船自岸边的A点沿与湖岸成α=15°角方向匀速向湖中驶去.有一人自A点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追船.已知人在岸上走的速度为v1=4 m/s，在水中游泳的速度v2=2 m/s.试求船速至多为多少，此人才能追上船？分析设人在B点刚好追上船，则人可能走多条路径如A→C→B、A→D→B等.在这些路径中费时最少对应着允许的最大船速.如图3在湖岸这边作∠NAP=30°，自C、D、E各点分别向AP引垂线CK、DH（设BDH刚好在一直线上）和EF.设想图中MN的下侧也变成了湖水区域，则人由K点游泳至C点的时间与人在岸上由A走至C点的时间是相等的（因v1=2v2，而AC=2KC）故人按题给情况经A→C→B所用的时和假想人全部在水中游过路径K→C→B等时.同理，与上述的另两条实际路径等时的假想路径是H→D→B和F→E→B.由于在这些假想路径中速度大小都一样，故通过路径最短费时少，显然是通过直线费时最少.解由以上分析知，人沿等效路径HDB刚好在B点追上船时，对应允许船速的最大值，设其速度为v则有AB/v=BH/v，由于△AHB为等腰直角三角形则AB=2，故v=22 m/s.例5如图4所示，R1、R2、R3为定值电阻，但阻值未知，Rx为Rx1=10 Ω时，通过的电流Ix1=1 A；当Rx为R x2=18 Ω时，通过的电流为Ix2=0.6 A；则当Ix3=0.1 A时，求Rx3.解将虚线框内的电路看成一个新电源，由（a）图可等效为（b），则ε′=1（10+r′），ε′=0.6（189+r′），ε′=0.1（Rx3+r′），解得ε′=12 V，r′=2 Ω，Rx3=118 Ω.例6A、B两站相距s，将其分成相等的n段，汽车无初速由A站出发向B站做匀加速直线运动.第一段的加速度为a，当汽车达到每一等份的末端时其加速度增加a/n，求汽车的末速度.解从A到B设汽车在第一段的加速度a1=a，第n段的加速度为an=a+n-1na，则全程的平均加速度=12（a1+an）=3n-12na，根据v2t-v20=2s，可得汽车达B时的速度vB=2s=（3n-1）asn.例7如图5所示，水平面上，有两个竖直的光滑墙壁A和B，相距为d.一小球以初速度v0从两墙壁之间的O点斜向上抛出，与A和B各发生一次弹性碰撞后，正好落回抛出点.求抛射角θ.解将弹性小球在两墙之间的运动等效为反弹，可知该运动可等效为一完整的斜抛运动（如图6所示），故可用解斜抛运动的方法求解.由题意2d=v0cosθ·t=v0cosθ·2v0sinθg，可求得抛射角θ=12arcsin2gdv20.例8如图7所示，一条长为l的细线，上端固定在O点，下端系一个质量为m的小球，将它们置于一很大的匀强电场中，电场强度大小为E，方向水平向右.已知当小球在A点平衡时，细线与竖直方向成α角.（1）要使悬线与竖直方向夹角为多少时才能使小球释放后细线到竖直位置时恰好速度为零？（2）当细线与竖直方向成α时，至少要给小球一个多大的、方向与细线垂直的速度才能使小球作圆周运动？解（1）此问题也可将重力场和电场等效为一混合场，场力F=（mg）2+（qE）2=mgsecα，F的方向与竖直方向成α，摆球在这个混合场中振动，平衡位置就是与竖直方向成α角的位置，两边振幅相等，直接可得=2α.（2）同样用混合场的观点来解决第二问题.能越过混合场中的“最高点”的必要条件是小球过最高点需要的向心力恰好等于混合场力F，此时细线上的张力为零，根据动能定理及向心力公式有F·2l=12mv2A-12mv2B，F=mv2Bl，将F=mgsecθ代入解得vA=5glsecα.例9在空间有相互垂直的场强为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场如图8所示，一电子从原点静止释放，求：电子在y轴方向前进的最大距离ym（电子电量为e、质量为m）.解虽然电子在O点速度为零，但也可以设想为具有沿x方向的速度+v和-v，其中v满足Bev=eE.照此设想，电子在其后的运动过程中将受到三个力.注意到电子沿-y方向所受的洛伦兹力和它所受电场力相平衡.故电子的运动可等效成速度为v沿x轴正向的匀速直线运动和一个速率为v的匀速圆周运动的合成，对匀速圆周运动有evB=mv2/R，其中R=ym/2.易得ym=2mEeB2.例10如图9所示，一个质量为m、带电荷量为q的点电荷，约束在一个很大的固定金属板上方很近的位置，当它们之间的距离为d时释放点电荷，试问这个带电质点到达金属板需要多长时间？（重力不计）解用“电像法”，板上感应电荷-q等效于放在像点，则点电荷受的库仑力为Fe=kq2/（2d）2.与引力场类比，释放后的电荷在与d的平方成反比的力作用下，等效为沿退化为直线的椭圆轨道运动，释放点为“远地点”，像电荷为“近地点”，运动到金属板用时t=T4=π2md2kq2.例11如图10所示，是一种记录地震装置的水平摆，摆球m固定在边长为L质量可忽略不计的等边三角形的顶点A上，它的对边BC跟竖直线成不大的夹角α，摆球可绕固定轴BC 摆动，求摆球作微小摆动的周期.解摆球处于平衡位置时，过A作一铅垂线，延BC交于D如图11即等效摆长为DA，其长度l=CA·sin60°sinα=3L2sinα.故周期为T=2πlg2=π3L2sinα.另解也可等效为悬点为D点的单摆，l=DA=Lcos30°=3L2，g′=gsinα，如图12所示，故单摆振动的周期为T=2πlg′=2π3L2sinα.例12一个质量为m2的光滑滑轮由劲度系数为k的轻弹簧吊在天花板上，一根轻绳一端悬挂一个质量为m1的重物，另一端竖直固定在地板上如图13所示，试求重物沿竖直方向振动的周期.解从能量的观点来考虑振动周期，也是一条较简单的解题思路.我们把滑轮和重物看成一个体系，这个体系在弹簧的拉力作用下振动，这个体系的动能Ek=12m1v21+12m2v22，因为v1=2v2，所以Ek=12（4m1+m2）v22和Ek=12m′v22比较，可知这个体系的等效质量m′=4m1+m2，故振动周期T=2πm′/k=2π（4m1+m2）/k.通过以上的实例，我们不难发现等效方法思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此，应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，使问题得到简化而便于求解.。

合集下载

论物理学中的等效法及其在解高考题中的应用

论物理学中的等效法及其在解高考题中的应用

论物理学中的等效法及其在解高考题中的应用作者：唐冬梅来源：《中学物理·高中》2014年第08期1等效法实质等效法是物理学中常规思维方法之一，在物理教学和科学研究中都有着广泛的应用.按照形式上的不同，等效法大致可以分为作用等效法、过程等效法、效应等效法和表述等效法几种类型1.（1）作用等效法.作用等效法是指从不同事物在物理过程中的作用相同出发，来研究事物的本质和规律的方法.例如：做功和热传递对改变物体的内能具有相同的作用，功和热量都可用来量度内能的变化，它们之间有确定的数量关系，根据做功和热传递在改变物体内能上的等效性，焦耳通过反复多次的实验，测出了热功当量，在此基础上，建立热力学第一定律. （2）过程等效法.过程等效法是指从同一事物不同形式的物理过程出发，来研究和处理问题的方法.例如：在变速运动中引入“平均速度”的概念，即把变速运动等效为匀速运动.又如平抛运动可以等效分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动.一切复杂的振动都可等效为若干振幅、频率不同的简谐振动的合振动.（3）效应等效法.效应等效法是指从不同事物产生相同的物理效应出发，来研究事物的特性及内在联系的方法.例如：人们从交流电流和直流电流通过电阻都产生热效应的事实出发，让交流电电流在一定时间内通过电阻的发热量，等效于直流电电流在同一时间内通过同一电阻的发热量，而引入交流电流的“有效值”的概念，从而为交流电的计算和测量提供了基础.（4）表述等效法.表述等效法是指利用等效性来描述物理量、表述物理规律的方法.例如，爱因斯坦运用“等效法”，研究并认识了在一切彼此相对作匀速直线运动的惯性系中，做任何物理实验都具有完全相同的效果，即一切惯性系对于描述自然现象（表述普遍的自然定律）都是等效的，从而提出了狭义相对性原理.后来他又根据物体的引力质量与惯性质量相等这一实验事实，认识到引力场与加速场等效，即“处在无引力场区域内的加速系等效于静态引力场中一个给定无限小区域内的静止系”，从而建立了“等效原理”.综上所说，等效法就是在某种特定意义上，在得证结果相同的前提下把实际复杂的物理现象、物理过程或物理问题，转化为理想的、简单的、等效的物理现象、物理过程或物理问题来研究和处理的方法.它既是一种常用的科学思维方法，也是分析物理问题和解决物理问题的一种有效途径.2等效法在解高考题中的应用等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法.若能将此方法渗透到解物理高考题的中，不仅可以使问题的分析和解答变得简捷，而且对知识的灵活运用、能力的提升都会有很大的帮助.下面以近些年的几个高考题为例来谈谈等效法的具体应用.2.1等效法在运动学中的应用。

等效法

等效法


mv02

mg(R
R cos )
1 2
mvB2
将 g 、 vB 分别代入上式，解得给小球的初速度为 v0 2( 3 1)gR
【分析】场是可以叠加的，且遵循平行四边形法则，因此我们可以 图 5-2 通过等效重力来将多个场叠加成一个等效的重力场，这样物体就只受一个等效重力的作用， 大大简化了问题。
空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为 3 mg ，方向水平向右，现给小球一个水 3
平向右的初速度 v0 ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求 v0 。
解析：小球同时受到重力和电场力作用，这时也可以认为小球处在等效重 力场中。
小球受到的等效重力为 G (mg)2 ( 3 mg)2 2 3 mg
们可以直接用简谐运动的周期公式T 2 l 来求解，从而大大简化了问题的求解过程。 g
【例 4】等效（折合）质量：
质量分别为 m1 和 m2 的两木块 A 和 B，用一根劲度系数为 k 的轻弹簧联接
起来，放在光滑的水平桌面上（图 4）。现在让两木块将弹簧压缩后
A
B
由静止释放，求系统振动的周期。
图4
由题意得： 2d

v0
cos
t

v0
cos

2v0 sin g
图2
可解得抛射角


1
2gd
arcsin 2
v02
【分析】运用等效抛射点的方法，巧妙地解决了物体抛射的问题。这就属于等效法在运动 学中的运用。
【例 3】等效摆长（等效重力加速度）：
如图 3 所示，用两根等长的轻质细线悬挂一个小球，设 L 和 已知，当小
K q 3 2K 4K (r2 h2 )2
“等效法”在物理中的应用举隅

“等效法”在物理中的应用举隅

“等效法”在物理中的应用举隅等效替代法是物理学中常用的研究方法。

比如：合力与分力的等效替代关系；用平均速度将变速直线运动等效变换为匀速直线运动；平抛、斜抛曲线运动等效为两个直线运动；用电流场等效替代静电场；交流电的有效值；等效单摆等等。

等效替代的实质是利用事物之间存在的等同性，将实际事物转换为等效的、简单的、易于研究的物理事物。

就等效方法而言，等效法有三种：模型的等效、过程的等效、作用的等效。

下面分别举例说明。

一、模型的等效模型的等效是指用简单的、易于研究的物理模型代替复杂的物理客体，使问题简单化。

例1．如图1所示电路，R1为定值电阻，R2为可变电阻，E为电源电动势，r为电源内阻。

则当R2的阻值为多少时，R2消耗的功率最大？解析：电源内阻恒定不变时，电源的输出功率随外电阻的变化不是单调的，存在极值：当外电阻等于内阻时，电源的输出功率最大。

在讨论R2的功率时，由于R2不是整个外阻，因此不能直接套用上述结论。

但如果把电源与R1的串联等效成一个新电源，R2就是这个等效电源的外电阻，而等效电源的内阻为R1+r，如图2。

很显然，当R2的阻值等于等效电源的内阻R1+r时，R2消耗的功率即等效电源的输出功率将达到最大。

例2．如图3所示，把轻质导线圈用绝缘细线悬挂在磁铁N极附近，磁铁的轴线穿过线圈的圆心且垂直于线圈平面。

当线圈中通入如图所示的方向的电流时，判断导电线圈如何运动。

解析：本题中研究的是磁体对环形电流的作用，我们可以利用安培定则把环形电流等效为一个小磁针，如图4，从而把本题转换为我们所熟知的磁极与磁极之间的作用。

由磁极间作用规律可推知，线圈将向磁铁靠近。

二、过程的等效过程的等效是指用一种或几种简单的物理过程来替代复杂的物理过程，使物理过程得到简化。

例3．如图5所示，空间存在水平向右的匀强电场E，直角坐标系的y轴为竖直方向，在坐标原点O有一带正电量q的质点，初速度大小为v0，方向跟x轴成45°，所受电场力大小质点的重力相等。

高中物理总复习 物理学中等效法

高中物理总复习 物理学中等效法

物理学中等效法【高考展望】等效的思想方法几乎渗透于整个高中物理教材的各个部分之中。

比如：力的合成就是把几个力等效为一个力；在研究变速直线运动时，引入了平均速度，将变速直线运动等效变换为匀速直线运动处理；在研究抛体运动时，将抛物线运动等效变换为两个直线运动的合成；计算变力所做的功，可以等效变换为计算物体能量的变化量；计算变力的冲量，可以等效变化为计算动量的变化量；在研究气体的性质时，利用等效假设可以把变质量问题转换为恒定质量问题处理；在电路问题计算中，把几个电阻构成的部分电路等效变换为一个电阻；在计算曲线导体切割磁力线产生的感应电动势时，可将曲线导体等效变换为直线导体；在求交流电热量时可将交流电等效为直流电处理等等。

可见等效法是高中物理中处理物理问题的常用方法和重要方法。

【知识升华】所谓“等效法”就是在特定的某种意义上，在保证效果相同的前提下，将陌生的、复杂的、难处理的问题转换成熟悉的、容易的、易处理的一种方法。

等效法是常用的科学思维方法，在物理解题中有广泛的应用。

【方法点拨】等效思维的实质是在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律.因此应用等效法时往往是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。

在应用等效法解题时，应知道两个事物的等效不是全方位的，只是局部的、特定的、某一方面的等效。

因此在具体的问题中必须明确那一方面等效，这样才能把握住等效的条件和范围。

【典型例题】类型一、力的等效合力与分力具有等效性，关于这一点在力的合成和分解中得到充分的体现。

如果物体受到多个恒力作用时，也能够充分应用等效的观点，把多个恒力等效为一个力，就可以将较复杂的模型转化为较简单的物理模型，然后再去应用我们熟知的规律去列方程，这样将大大降低解题的难度，更有利于对问题的正确解答。

实际上力的等效法与力的平行四边形法则（即合成法）是一样的。

例1、质量为m的物体，受到六个共点力大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相互间夹角均为60°，2F的力方向水平向右，5F的力方向水平向左，如图所示。