河北省衡水市武邑中学2020届高三数学上学期期末考试试题理(含解析)

河北省武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试卷第Ⅰ卷一：选择题。

1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.设（为虚数单位），则（）A. B. C. D. 23.已知命题：N, ，命题：R , ，则下列命题中为真命题的是（）.A. B. C. D.4.若满足则的最小值为（）A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的值为( )A. B. C. D.6.在中，为的中点，，则（）A. B. C. 3 D.7.函数（其中）的图象如图所示，为了得到函数的图象，只需将的图象上所有点（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.已知某几何体的正视图、侧视图和俯视图均为斜边为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（）A. B. C. D.9.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则A. B. C. D.10.设函数，若，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.11.在三棱锥中，,是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.12.函数是定义在上的可导函数，为其导函数，若且，则不等式的解集为（）A. B. C. D.第II卷二、填空题.13.曲线恒过定点_______.14.已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为_____．15.已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且,则该三棱锥的外接球的体积为____．16.在正方体中, 分别为棱,的中点,则直线与所成角的余弦值为_____三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）17.已知向量，，函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）已知分别为内角的对边，其中为锐角，，且，求的面积．18.已知数列满足.（1）证明：数列是等比数列；（2）令，数列的前项和为，求.19.未了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查了100人，将这100人的年龄数据分成5组：，，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图.在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（1）由频率分布直方图，估计这100人年龄的平均数；（2）由频率分布直方图，若在年龄，，的三组内用分层抽样的方法抽取12人做问卷调查，求年龄在组内抽取的人数；（3）根据以上统计数据填写下面的列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？附：，其中.参考数据：20.已知抛物线上一点的纵坐标为6，且点到焦点的距离为7.（1）求抛物线的方程；（2）设为过焦点且互相垂直的两条直线，直线与抛物线相交于两点，直线与抛物线相交于点两点，若直线的斜率为，且，试求的值.21.已知椭圆,左右焦点分别为,且，点在该椭圆上.（1）求椭圆C的方程；（2）过的直线与椭圆C相交于两点，若的面积为, 求直线的方程.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）判断曲线，是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，，且的最小值为.若，求的最小值.河北省武邑中学2020届高三上学期期末考试数学（文）试卷参考答案第Ⅰ卷一：选择题。

河北武邑中学高三年级上学期期末考试数学试题（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位，复数1a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ． 1 B ． -1 C ．12D ．-2 2.设α为锐角，()()sin ,1,1,2a b α==r r，若a r 与b r 共线，则角α=（ ）A ． 15°B ． 30°C ．45°D ．60° 3.下列说法正确的是（ ）A ．命题“若2340x x --=，则4x =”的否命题是“若2340x x --=，则4x ≠ ”B ．0a >是函数ay x =在定义域上单调递增的充分不必要条件 C ．()000,0,34xx x ∃∈-∞<D ．若命题:,3500n P n N ∀∈>，则00:,3500nP x N ⌝∃∈≤4. 已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB u u u r 在CD uuur 方向上的投影为（ ）A ．2 B C. 2- D ． 5. 若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与直线1y =-所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为（ ）A D 6.《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（底面为矩形的屋脊的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何，下图网格纸中实线部分分为此刍甍的三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈，那么此刍甍的体积为（ ）A ．3立方丈B ．5立方丈 C.6立方丈 D ．12立方丈7. 从1，2，3，…，9这个9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于（ ） A ．57 B ．59 C. 27 D ．498. 将曲线1:sin 6C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π个单位长度，得到曲线()2:C y g x =，则()g x 在[],0π-上的单调递增区间是（ ） A ．5,66ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．2,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C. 2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 9.秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的《数书九章》中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为4，2，则输出v 的值为（ ）A ． 32B ． 64 C. 65 D ．13010. 若()()50,2a x y ax y <-+展开式中42x y 的系数为-20，则a 等于（ ）A ． -1B ． 32-C. -2 D ．52- 11. 已知三棱锥P ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，0,,60,2,2,3PA AB PA AC BAC PA AB AC ⊥⊥∠====，则球O 的表面积为（ ）A ．403π B ．303π C. 203π D ．103π 12.已知函数()213ln 2f x x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭在区间()1,3上有最大值，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1,52⎛⎫-⎪⎝⎭B ．111,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ C. 111,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,52⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为 ．14.已知实数,x y 满足2041x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2y x +的最小值为 ．15.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21xf xg x e x -=++，则函数()()()h x f x g x =+在点()()0,0h 处的切线方程是 ．16.已知a b c 、、是ABC ∆的三边，()4,4,6,sin 2sin a b A C =∈=，则c 的取值范围为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{}n a 满足221111,n n n n a a a a a ++=+=-，数列{}n b 的前n 项和n S 满足2n n S n a =+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列11n n a b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18.已知表1和表2是某年部分日期的天安门广场升旗时刻表： 表1：某年部分日期的天安门广场升旗时刻表3月22日 6：15 6月22日 4：46 9月20日 5：50 12月20日 7：31表2：某年1月部分日期的天安门广场升旗时刻表 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 日期 升旗时刻 2月1日 7：23 2月11日 7：13 2月21日 6：59 2月3日 7：22 2月13日 7：11 2月23日 6：57 2月5日 7：20 2月15日 7：08 2月25日 6：55 2月7日 7：17 2月17日 7：05 2月27日 6：52 2月9日7：152月19日7：022月28日6：49（1）从表1的日期中随机选出一天，试估计这一天的升旗时刻早于7：00的概率；（2）甲、乙二人各自从表2的日期中随机选择一天观看升旗，且两人的选择相互独立，记X 为这两人中观看升旗的时刻早于7：00的人数，求X 的 分布列和数学期望； （3）将表1和表2的升旗时刻化为分数后作为样本数据（如7：31化为31760），记表2中所有升旗时刻对应数据的方差为2s ，表1和表2中所有升旗时刻对应数据的方差为20s ，判断2s 与20s 的大小（只需写出结论）．19.如图，直角梯形BDFE 中，//,,22EF BD BE BD EF ⊥=，等腰梯形ABCD 中，//,,24AB CD AC BD AB CD ⊥==，且平面BDFE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AC ⊥平面BDFE ； （2）若BF 与平面ABCD 所成角为4π，求二面角B DF C --的余弦值．20. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23的椭圆过点72,⎭． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于,P Q 两点，连接PQ ，求BPQ ∆的面积的最大值．21. 已知函数()()22ln f x x x mx m R =+-∈．（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围； （2）若1752m <<，且()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()12f x f x -的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是26x ty t =⎧⎨=+⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρθ=． （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设(),M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x a =+++． （1）当4a =-时，求()f x 的最小值； （2）若2a >时，()7f x ≥对任意的,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5ABDAA 6-10 BCBCA 11、12：AB二、填空题13. 2 14.1515. 20x y +-=16. ( 三、解答题17.解：（1）因为2211n n n n a a a a +-+=-，所以，()()1110n n n n a a a a +++--=，因为10,0n n a a ->>，所以10n n a a -+≠，所以11n n a a --=， 所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n =， 当2n ≥时，12n n n b S S n -=-=， 当1n =时，12b =也满足，所以2n b n =； （2）由（1）可知()1111112121n na b n n n n -⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以()11111111222334121n n n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 18.解：（1）记事件A 为“从表1的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00”，在表1的20个日期中，有15个日期的升旗时刻早于7：00，所以()153204P A ==； （2）X 可能的取值为0，1，2，记事件B 为“从表2的日期中随机选出一天，这一天的升旗时刻早于7：00” 则()()()512;11533P B P B P B ===-=；()()()409P X P B P B ===g ；()1211411339P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()()()129P X P B P B ===g ， 所以X 的分布列为：()44120129993E X =⨯+⨯+⨯=，（注：学生得到12,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，所以()12233E X =⨯=，同样给分）； （3）220s s <．19.解：（1）∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，BE BD ⊥，平面BDFE I 平面ABCD BD =， ∴BE ⊥平面ABCD，又AC ⊂平面ABCD ，∴AC BE ⊥， 又∵AC BD ⊥，且BE BD B =I ，∴AC ⊥平面BDFE ； （2）设AC BD O =I ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，,242DOC AB CD π∠===，∴OD OC OB OA ====，∵//OB FE ，∴四边形BOFE 为平行四边形，∴//OF BE ， 又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ， ∴FBO ∠为BF 与平面ABCD 所成的角，∴4FBO π∠=，又∵2FOB π∠=，∴OF OB ==以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为轴，建立空间直角坐标系，则()()(()()0,22,0,0,2,0,0,0,22,2,0,0,22,0,0B D F C A --，()2,22,2,2,0DF CD ==-u u u r u u u r，∵AC ⊥平面BDFE ，∴平面BDF 的法向量为()1,0,0，设平面DFC 的一个法向量为(),,n x y z =r，由00DF n CD n ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r rg u u u r r g 得220220z x +=-=⎪⎩，令2x =得，()2,2,1n =-r ， 2222cos ,31221n AC ==++r u u u r g ，∴二面角B DF C --的余弦值为23． 20.解：（1）由题意可设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，则222232719c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 故31a b =⎧⎨=⎩，所以，椭圆方程为2219x y +=； （2）由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为0，故可设直线BP 的方程为1y kx =+，由对称性，不妨设0k >， 由221990y kx x y =+⎧⎨+-=⎩，消去y 得()2219180k x kx ++=，则2218119k BP k k =++0k >换成1k-，得：221819k BQ k +=+， ()222222222222118111811811181119221992191116211621191191829APQ k k kk S BP BQ k k k k k k k k k k k k ∆++===++++++⎛⎫=++=+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g g设1k t k+=，则2t ≥，故2162162276496489BPQ t S t t t∆==≤=++，取等条件为649t t =，即83t =， 即183k k +=，解得k =时，BPQ S ∆取得最大值278． 21.解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()22f x x m x'=+-， ()f x 的定义域内单调递增，则()220f x x m x'=+-≥， 即22m x x≤+在()0,+∞上恒成立， 由于224x x+≥，所以4m ≤，实数m 的取值范围是(],4-∞； （2）由（1）知()22222x mx f x x m x x -+'=+-=，当1752m <<时()f x 有两个极值点，此时12120,12mx x x x +=>=，∴1201x x <<<， 因为1111725,2m x x ⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得11142x <<，由于211x x =，于是()()()()22121112122ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+ ()()()222121212112112ln ln 4ln x x m x x x x x x x =---+-=-+， 令()2214ln h x x x x=-+，则()()222210x h x x --'=<，∴()h x 在11,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1124h h x h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()()()121141ln 2161ln 2416f x f x --<-<--， 故()()12f x f x -的取值范围为152554ln 2,16ln 2416⎛⎫--⎪⎝⎭．22.解：（1）由26x ty t =⎧⎨=+⎩，得26y x =+，故直线l 的普通方程为260x y -+=，由ρθ=，得2cos ρθ=，所以22x y +=，即(222x y -+=，故曲线C的普通方程为(222x y +=；（2）据题意设点)Mθ，则2sin 4x y πθθθ⎛⎫-+=+ ⎪⎝⎭，所以x y +的取值范围是2⎡-++⎣．23.解：（1）当4a =-时，()124f x x x =++-， 当1x ≤-时，()12433f x x x x =---+=-+； 当12x -<<时，()1245f x x x x =+-+=-+； 当2x ≥时，()12433f x x x x =++-=-；即()33,15,1233,2x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩，又因为()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，如图所示，所以当2x =时，()f x 有最小值3；（2）因为,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以10,20x x a +≤+≥，则()()()1217f x x x a x a =-+++=+-≥， 可得8a x ≥-+对任意,12a x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦恒成立，即82a a ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，解得16a ≥， 故a 的取值范围为[)16,+∞.。

河北武邑中学2019-2020学年上学期高三12月月考数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A. {}1,3- B. {}1,0C. {}1,3D. {}1,5【答案】C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.已知复数12312z bi z i =-=-，，若12z z 是实数，则实数b 的值为 ( ) A. 0 B. 32-C. 6D. 6-【答案】C 【解析】 试题分析：()()()()1231232631255bi i b b i z bi R z i -+++--===∈-,所以606b b -=⇒=.故C 正确. 考点：复数的运算.3.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，是下列命题正确的是（ ） A. 若//m α，//n α，则//m nB. 若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC. 若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则n β⊥D. 若m α⊥，//m n ，n β⊂，则αβ⊥【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线，线面，面面位置关系，逐项判断即可得出结果.【详解】A 选项，若//m α，//n α，则,m n 可能平行、相交、或异面；故A 错； B 选项，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则,m n 可能平行或异面；故B 错；C 选项，若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，如果再满足αβ⊥，才会有则n 与β垂直，所以n 与β不一定垂直；故C 错；D 选项，若m α⊥，//m n ，则n α⊥，又n β⊂，由面面垂直的判定定理，可得αβ⊥，故D 正确. 故选D【点睛】本题主要考查空间的线面，面面位置关系，熟记位置关系，以及判定定理即可，属于常考题型.4.若直线2y x =-的倾斜角为α，则sin 2α的值为（ ） A.45B. 45-C. 45±D. 35-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得：tan 2α=-，所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tan 2α=-代入计算即可求出值． 【详解】由于直线2y x =-的倾斜角为α，所以tan 2α=-， 则22222sin cos 2tan 224sin 22sin cos sin cos tan 1(2)15ααααααααα-⨯=====-++-+故答案选B【点睛】本题考查二倍角的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及直线倾斜角与斜率之间的关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若m α⊂，n β⊂，αβ∥，则m n PB. 若m α⊂，αβ∥，则m βPC. 若n β⊥，αβ⊥，则n αPD. 若m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，且m l ⊥，n l ⊥，则αβ⊥ 【答案】B 【解析】【详解】两个平行平面中的两条直线可能异面，A 错；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行，B 正确；C 中直线n 也可能在平面α内，C 错；任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D 错.故选B. 6.已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan2α=（ ） A. 43- B. 3C. 43D.3【答案】A 【解析】 【分析】用和差角公式展开sin ,cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求得tan α后再算tan2α即可. 【详解】由有sin coscos sin3(cos cossin sin )3366ππππαααα-=-+,故13333sin cos sin 2222αααα-=--,合并同类型有2sin 3αα=-, 显然cos 0α≠,所以3tan 2α=-,故22tan 3tan 2431tan 14ααα-===---故选A【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换,包括和差角公式与二倍角公式等,属于中等题型.7.函数12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-的单调递减区间是（ ） A. 5(,),88k k k Z ππππ++∈B. 3(,],88k k k Z ππππ++∈C. 3[,),88k k k Z ππππ-+∈D. 35[,),88k k k Z ππππ++∈【答案】B 【解析】分析：首先利用差角公式将解析式化简，应用复合函数单调性法则，结合对数式的底数是12，从而得到应该求sin(2)4u x π=-的增区间，并且首先满足真数大于零的条件，从而得到22242k x k ππππ≤-<+，化简，最后求得其结果为3[,),88k k k Z ππππ++∈，从而确定选项.详解：根据题意有12log (sin 2coscos 2sin )44y x x ππ=-12log sin(2)4x π=-，所以要求sin(2)04x π->，结合复合函数单调性法则，实则求sin(2)4y x π=-的增区间，所以有22242k x k ππππ≤-<+，解得388k x k ππππ+≤<+，所以函数的单调减区间是3[,),88k k k Z ππππ++∈，故选B.点睛：该题考查的是有关复合函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要首先化简函数解析式，之后根据复合函数单调性法则同增异减的原则，得到其结果，在解题的过程中，需要时刻注意定义域优先原则，得保证函数有意义，之后列出相应的式子，求得结果. 8.α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，则下列结论正确的是（ ） A. αβ>B. 0αβ+>C. αβ<D.22αβ>【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造()sin f x x x =形式，则()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又Q ()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考查构造函数法，考查利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题.9.若函数()212ln 2f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a >B. 10a -<<C. 1a <D.01a <<【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】()f x 的定义域是（0，+∞），()222a x x af x x x x-+'=-+=， 若函数()f x 有两个不同的极值点，则()22g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，故144024402a ax ∆=->⎧⎪⎨-=>⎪⎩，解得：01a <<， 故选D ．【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题． 10.定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A. (49)(64)(81)f f f <<B. (49)(81)(64)f f f <<C. (64)(49)(81)f f f <<D. (64)(81)(49)f f f << 【答案】A 【解析】试题分析：因为(3)()f x f x -=-，所以()(6)(3)f x f x f x -=--=，及()f x 是周期为6的函数，结合()f x 是偶函数可得，()()()()()(49)1,(64)22,(81)33f f f f f f f f ==-==-=，再由12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，1212()()0f x f x x x ->-得()f x 在[0,3]上递增，因此(1)(2)(3)f f f <<，即(49)(64)(81)f f f <<，故选A ．考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合．11.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》（1261年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1……．记作数列{}n a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则47S =（ ）A. 265B. 521C. 1034D. 2059【答案】B 【解析】 【分析】先计算出杨辉三角中第47个数在第几行，然后根据每行规律得到这一行的和，然后再求其前47项的和.【详解】根据题意杨辉三角前9行共有12345678945++++++++= 故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9， 所以前47项的和47S =0128222219+++⋅⋅⋅+++92119521=-++=故选B 项.【点睛】本题考查杨辉三角的特点，等比数列求和，属于中档题.12.已知奇函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，其导函数是()f x '，当0x >时，()2()f x f x '<恒成立，则下列不等关系一定．．正确的是 A. 2(1)(2)e f f >-B. 2(1)(2)e f f ->-C. 2(1)(2)e f f -<-D.2(2)(1)f e f -<--【答案】C 【解析】构造函数2()()x f x g x e =，所以2()2()()0xf x f xg x e-''=<，即函数在(0,)+∞上单调递减，又()f x 为奇函数，所以(1)(2)g g >即2(1)(2)e f f >，所以()()212e f f -<-，故选C .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若45cos ,cos ,1513A B a ===，则b =__________．【答案】2013【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得sin ,sin ,A B 再根据正弦定理求结果.【详解】45312cos ,cos ,,(0,)sin ,sin ,513513A B A B A B π==∈∴==Q 由正弦定理得12sin 602013,3sin 39135a Bb A ==== 故答案为2013【点睛】本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析与求解能力，属基础题.14.已知向量()()3,2,6,a x b x ==r r满足a b a b =-r r r r gg ，则x =__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】把已知式a b a b =-r r r rgg 用坐标表示出来即可解得x ． 【详解】∵a b a b =-r r r r g g ，∴221829436x x x x +=-++解得2x =-（舍去2x =）．故答案为2-．【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查模的坐标运算．属于基础题． 15.在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径2SCγ=．在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R =__________．【答案】3V S【解析】试题分析：若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径3vr s=”证明如下： 设三棱锥的四个面积分别为：1234,,,S S S S ， 由于内切球到各面的距离等于内切球的半径 ∴12341111133333V S r S r S r S r Sr =+++= ∴内切球半径3Vr S= 考点：类比推理16.已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ①//BN 平面1A DM ，且BN 5 ②三棱锥N DMC -的最大体积为223； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】取AD 的中点E ，连接EM 、EN ，证明四边形BMEN 为平行四边形，得出//BN EM ，可判断出命题①的正误；由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，并由平面1A BM ⊥平面BCDM ，得出三棱锥1A DMC -体积的最大值，可判断出命题②的正误；取DM 的中点F ，连接AF ，由1A E DM ⊥，结合1AC DM ⊥得出DM ⊥平面1A CF ，推出DM CF ⊥得出矛盾，可判断出命题③的正误. 【详解】如下图所示：对于命题①，取1A D 的中点E ，连接EM 、EN ，则112A D A M ==，11A E =，190MA E ∠=o ，由勾股定理得22115EM A E A M =+=易知//BM CD ，且12BM CD =，E Q 、N 分别为1A D 、1A C 的中点，所以，1//2EN CD ， ∴四边形BMEN 为平行四边形，5BN EM ==//BN EM ，BN ⊄Q 平面1A DM ，EM ⊂平面1A DM ，//BN ∴平面1A DM ，命题①正确；对于命题②，由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，当平面1A BM ⊥平面BCDM 时，三棱锥1A DMC -体积取最大值， 取DM 的中点F ，则1A F DM ⊥，且11122222A F DM ==⨯=， Q 平面1A DM ⊥平面BCDM ，平面1A DM ⋂平面BCDM DM =，1A F DM ⊥，1A F ⊂平面1A DM ，1A F ∴⊥平面BCDM ，DMC∆的面积为1142422DMC S CD BC ∆=⋅=⨯⨯=， 所以，三棱锥1A DMC -的体积的最大值为111424233DMC S A F ∆⋅=⨯=， 则三棱锥N DMC -的体积的最大值为23，命题②正确； 对于命题③，11A D A M =Q ，F 为DM 的中点，所以，1A F DM ⊥，若1AC DM ⊥，且111A C A F A ⋂=，DM ∴⊥平面1A CF ， 由于CF ⊂平面1A CF ，CF DM ∴⊥，事实上，易得22CM DM ==4CD =，222CM DM CD ∴+=，由勾股定理可得CM DM ⊥，这与CF DM ⊥矛盾，命题③错误.故答案为①②.【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.第17～21题为必考题，第22、23题为选考题. （一）必考题：共60分17.设函数233()sin sin 3,234f x x x x x R ππ⎛⎫⎛⎫=--⋅++∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称中心； （Ⅱ）若函数()4g x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值． 【答案】（Ⅰ）π， ,026k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）max 1()2g x =，min 1()4g x =-.【解析】 【分析】（Ⅰ）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由23x k ππ-=求得x 值，可得函数的对称中心；（Ⅱ）求出()g x 的解析式，得到函数在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性，则最值可求．【详解】（Ⅰ）由已知，有()2133cos sin 3cos 2f x x x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭ )2133133sin cos sin21cos224x x x x x =⋅+=-++ 13sin24x x =- 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 最小正周期为T π=，由23x k ππ-=，得26k x ππ=+，k Z ∈． ∴对称中心为(,0)26k k Z ππ+∈； （Ⅱ）由()()4g x f x π=+，得1()sin(2)26g x x π=+，当[,]66x ππ∈-时，2[66x ππ+∈-，]2π，可得()g x 在区间[,]66ππ-上单调递增，当[,]63x ππ∈时，2[62x ππ+∈，5]6π，可得()g x 在区间[,]63ππ上单调递减．∴1()()62max g x g π==．又11()()6434g g ππ-=-<=，∴1()4min g x =-．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查sin()y A x ωϕ=+型函数的图象和性质，是中档题．18.设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足424S S =，917a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a +++=-…，求数列{}n b 的通项公式 【答案】(1) 21n a n =-．(2) 212n nn b -= 【解析】 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a d 的形式列方程组，解方程组求得1,a d ，进而求得数列{}n a 的通项公式.（2）利用“退1作差法”求得nnb a 的表达式，进而求得数列{}n b 的通项公式.【详解】（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．由已知得11914684817a d a d a a d +=+⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩．于是12(1)21n a n n =+-=-．（2）当1n=时，1111122ba=-=．当2n≥时，1111(1)(1)222nn n nnba-=---=，当1n=时上式也成立．于是12nnnba=．故12122n nn nnb a-==．【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式的计算，考查“退1作差法”求数列的通项公式，属于基础题.19.如图，菱形ABCD的边长为12，60BAD∠=o，AC与BD交于O点．将菱形ABCD 沿对角线AC折起，得到三棱锥B ACD-，点M是棱BC的中点，62DM=．（I）求证：平面ODM⊥平面ABC；（II）求二面角M AD C--的余弦值．【答案】(I)详见解析；（II393【解析】试题分析：（Ⅰ）利用菱形的性质与勾股定理推出OD⊥平面ABC，从而利用面面垂直的判定求证即可；（Ⅱ）以O为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面MAD与ACD的法向量，进而利用空间夹角公式求解即可．（Ⅰ）证明：ABCDQ是菱形，AD DC∴=,OD AC⊥ADC∆中，12,120AD DC ADC==∠=o, ∴6OD=又M是BC中点，16,622OM AB MD∴===222,OD OM MD DO OM+=∴⊥Q,OM AC⊂面,,ABC OM AC O OD⋂=∴⊥面ABC又Q OD⊂平面ODM∴平面ODM⊥平面ABC（Ⅱ）由题意，,OD OC OB OC⊥⊥, 又由（Ⅰ）知OB OD⊥建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知()()()6,0,0,0,63,0,0,33,3D A M-故()()0,93,3,6,63,0AM AD==u u u u r u u u r设平面MAD的法向量(),,m x y z=r，则·0{·0m AMm AD==u u u u rru u u rr即330{630zx+=+=令3y=-3,9x z==所以，()3,3,9m=-r由条件易证OB⊥平面ACD，故取其法向量为()0,0,1n=r所以，·393cos,31m nm nm n〈〉==r rr rr r由图知二面角M AD C--为锐二面角，故其余弦值为39331点睛：高考对二面角的考法主要是以棱柱和棱锥为载体进行考查，通常可采用两种方法求解，一是传统法，即通过作出二面角的平面，然后计算，其过程体现“作、证、求”；二是利用几何体的垂直关系建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量所成角来求解．20.如图，在平面四边形ABCD中，4260120AB AD BAD BCD∠︒∠︒＝，＝，＝，＝.(1)若22BC =CBD∠的大小；(2)设△BCD 的面积为S ，求S 的取值范围. 【答案】(1) 15CBD ︒∠=. (2) 3] 【解析】 【分析】（1）在△ABD 中，由余弦定理可求BD 的值，进而在△BCD 中，由正弦定理可求sin ∠CDB 2=CDB ，即可得解∠CBD ＝60°﹣∠CDB ＝15°． （2）设∠CBD ＝θ，则∠CDB ＝60°﹣θ．在△BCD 中，由正弦定理可求BC ＝4sin （60°﹣θ），利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S ＝3（2θ+30°）3-围0°＜θ＜60°，利用正弦函数的性质可求S 的取值范围． 【详解】（1）在ABD △中，因为4,2,60AB AD BAD ︒==∠=，则22212cos 164242122BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，所以23BD =在BCD V 中，因为120,22,23BCD BC BD ︒∠===，由sin sin BC BD CDB BCD =∠∠，得sin 222sin 223BC BCD CDB BD ︒∠∠===，则45CDB ︒∠=.所以6015CBD CDB ︒︒∠=-∠=. （2）设CBD θ∠=，则60CDB θ︒∠=-.在BCD V 中，因为()4sin120sin 60BC BDθ︒︒==-，则()4sin 60BC θ︒=-. 所以()131sin 4360sin 43sin sin 222S BD BC CBD θθθθθ︒⎫=⋅⋅∠=-=-⎪⎪⎭23sin 2233sin 23(1cos 2)3sin 2323θθθθθθ=-=-=+-()232303θ︒=+因为060θ︒︒<<，则()130230150,sin 23012θθ︒︒︒︒<+<<+≤，所以03S <≤故S 的取值范围是3]【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 21.已知函数2()(1)()x f x xe a x a R =++∈ (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)见解析；(2) (0,)+∞ 【解析】 【分析】（1）先求导数，再讨论导函数零点，最后根据区间导函数符号确定单调性， （2）结合函数单调性以及零点存在定理分类讨论零点个数，即得结果 【详解】解（1）()(1)2(1)(1)(2)x xf x x e a x x e a =++=++'+（ⅰ）0a ≥时，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x <；当(1,)x ∈-+∞时，'()0f x >， 所以f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增； （ⅱ）0a <时 ①若12a e=-，则1()(1)()x f x x e e -=-'+，所以f (x )在(,)-∞+∞单调递增； ②若12a e>-，则ln(2)1a -<-，故当(,ln(2))(1,)x a ∈-∞-⋃-+∞时，'()0f x >， (ln(2),1)x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减；③若12a e<-，则ln(2)1a ->-，故当(,1)(ln(2),)x a ∈-∞-⋃-+∞，'()0f x >， (1,ln(2))x a ∈--，'()0f x <；所以f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；综上：0a ≥时，f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增； 12a e=-时，f (x )在(,)-∞+∞单调递增； 12a e >-时，f (x )在(,ln(2)),(1,)a -∞--+∞单调递增，在(ln(2),1)a --单调递减； 12a e <-时，f (x )在(,1),(ln(2),)a -∞--+∞单调递增，在(1,ln(2))a --单调递减；（2）（ⅰ）当a >0,则由（1）知f (x )在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增，又1(1)0e f -=-<，(0)0f a =>，取b 满足1b <-，且2ln 2ab -<， 则223(2)(2)(1)()022a fb b a b a b b ->-+-=->，所以f (x )有两个零点（ⅱ）当a =0,则()xf x xe =，所以f (x )只有一个零点 （ⅲ）当a <0,①若12a e≥-,则由（1）知，f (x )在(1,)-+∞单调递增．又当1x ≤-时，()0f x <，故f (x )不存在两个零点 ②12a e<-，则由（1）知，f (x )在(1,ln(2))a --单调递减，在(ln(2),)a -+∞单调递增，又当1x ≤-，f (x )<0,故f (x )不存在两个零点 综上，a 取值范围为(0,)+∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线1C 的参数方程为23x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM ：()2πθααπ=<<与曲线1C 交于点M ，射线ON ：4πθα=-与曲线2C 交于点N ，求2211OMON+的取值范围．【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 26ρθρ+=，2C 的直角方程为20x y -+=；（2）13()32，. 【解析】 【分析】(1)利用三种方程的互化方法求出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程即可； （2）设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<，可得2OM ，2ON 的值，代入2211OMON+可得其取值范围.【详解】解：（1）由曲线1C 的参数方程23x cos y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 123ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y += 又cos ,sin x y ρθρθ==，曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+= 曲线2C 的极坐标方程可化为sin cos 2ρθρθ-=故曲线2C 的直角方程为20x y -+=（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<则22126cos 2OMρα==+，2222211cos sin 2ON ρπαα===⎛⎫- ⎪⎝⎭于是2222211cos 27cos 2cos 66OM ONααα+++=+= 由2παπ<<，得1cos 0α-<<故2211OMON+的取值范围是1332，⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化为普通方程及极坐标方程的简单应用，需熟练掌握三种方程的互化方法.23.已知函数()223f x x a x =-++，()12g x x =-+． （1）解不等式()5g x <．（2）若对任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,4-（2）1a ≥-或5a ≤-． 【解析】 【分析】（1）利用||x ﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x ﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y |y ＝f （x ）}⊆{y |y ＝g （x ）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可． 【详解】（1）由125x -+<，得5125x -<-+<， ∴713x -<-<，得不等式的解为24x -<<． 故解集为：()2,4-（2）因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以()(){|}{|}y y f x y y g x =⊆=，又()()()2232233f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()122g x x =-+≥，所以32a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-．【点睛】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．高考资源网（）您身边的高考专家。

河北省武邑中学2020届高三12月月考数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本题 12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．B ．C ．D ．2.若复数z 满足，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ． 12i +B ． 12i -C ． 12i -+D ． 12i --3.已知向量)()(,0,1,a b c k ==-=rr r,若()2a b c -⊥r r r ，则k 等于( )A ． 3-B ． 1-C ． 1D ． 24．等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，己知S 2＝3，S 4＝15，则S 3＝ A ．7 B ．－9 C ．7或－9 D ．6385．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各棱中，最长棱的长度为A B ．1 6.已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－α等于( )A.223B.13C.－13D.－2237．知11617a =，16log b =，17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >>8．已知函数()cos ,(0)f x x x ωωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，关于函数()g x ，下列说法正 确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1-9、正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 14a =，且6542a a a =+，则14m n+的最小值是( ) A ．32B ．2C ．73D ．25610、已知函数()cos()sin 4f x x x π=+⋅, 则函数()f x 的图象（ ）A. 最小正周期为T=2πB. 关于点直线(,8π对称 C. 关于直线8x π=对称 D. 在区间(0,)8π上为减函数11.已知函数()f x 的导数为()f x '，()f x 不是常数函数，且()()()10x f x xf x '++≥对[)0,x ∈+∞恒成立， 则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()122f ef <B ．()()12ef f <C ．()10f <D ．()()22ef e f <12.已知函数1(),()ln 22x x f x e g x ==+，对任意a R ∈，存在(0,)b ∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值 为（ ）A ．1B ．212e - C.2ln2- D ．2ln2+第Ⅱ卷二、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分。