七年级数学下册4.5利用三角形全等测距离课件新版北师大版

A
B
小明在上周末游览风景区时，看到了一 个美的池塘 ，他想知道最远两点A、B之间 的距离， 但是他没有船，不能直接去测。 手里只有一根绳子和一把尺子，他怎样才能 测出A、B之间的距离呢？
把你的设计方案在图上画出来，并与你的同 伴交流你的方案，看看谁是方案更便捷。
方案一：在能够到达A、 B的空地上取一适当点C， 们 的部 一落 声最 蔓大 延的 出侮 了辱 一大 丝森 丝部 的落 裂强 纹大 有于 用是 雕春 狞就 笑带 了着 下战 继士 续们 战在 士部 也落 不里 说等 话着 转但 过是 身为 一什 语么 不会 发在 的凛 抡冬 起行 拳动 头春 一想 下了 又很 一多 下她 的带 朝着一 已群 经战 有士 了跟 裂在 纹大 的森 石部 头落 捶的 下后 去面 他在 面隐 前隐 的约 石约 块看 裂到 纹草 越原 来的 越那 大一 也刻 跟春 着看 上到 前那 去雄 捶伟 石的 头城 有墙 问首 题领 的战 石士 块们 有也 两都 层准 也备 就好 说了 这雕 面走 有到 问原 题的身 墙边 壁低 一声 共说 两道 米她 长说 两辽 米都 宽部 一落 米的 厚战 但士 打刚 碎弄 也了 不食容物易回于来是昨再晚来一了起几吃个肉战喝士汤排原成没一有排回一话起城击墙打上雕没见有状丁他点自动己静则他回收到回原目的光身往边身低边声的说树道上马看上去就那好战了士两站人在正原说的着面前带首笑领容没的人快应速该低是声他说们道昨雕天大一人晚两上人吃一肉听喝原汤一留脸下凶的煞和冲一进颗去大前树面的大高森度部差落不的多战没士立刻带汹着涌战般士的冲朝进墙去壁辽涌都了部过落去虽原然也用到一了道墙城边墙也把要部跟落着围战起士来们原一谨起慎冲小进心去行在动他之的前肚必皮须上完弄全了确一定个情洞况然他而终原于到收达回墙看壁着他城指墙着的那视个线大喝洞道低第声7问3章到所你有们大把森这部一落片的墙战壁士都立打马碎弯了身然跟而在那了个原洞和破雕碎的身范后围再却过不了是几那分两钟层原石站板在应城该墙在面的前范围,在照他辽胸都膛部高落的传城出墙来那的里消伸息出应手该再在戳墙了壁戳中其间他出的现石一头个没两错米这长几一十米天宽来的大洞森那部个落洞的竟人然也从没上闲端着一确直保碎不到会了弄城错墙石最块底每下来雕一也次跟他在都原摸一下这城墙,今天听着声音要小,不准引起辽都部落的注意原放低了嗓音吩咐道是前面大森部落在说话,后面小河部落的人也没闲着大巫春诡谲一笑听着等大森部落的全部冲进去了再进去我们立马就跑但是具体哪里不对劲儿又说不上来又是几分钟过去原退后一步雕见原点头把它打碎立刻从战士堆里出来了一个人捏紧拳头只听见砰

答此题的关键就是构建全等三角形，并确定所要测量 的边的对应边．
例2 如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔A，B，隔
河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出 两座宝塔间的距离吗？说说你的方法和理由．
导引：因为没有过河的工具， 所以无法直接测量两塔 间的距离，所以，可通 过构建全等三角形，转 化到岸上来测量．
想一想
如图所示，A，B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用 绳子测量A，B 间的距离但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样 一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 点和B 点的点C，连 接AC 并延长到D，使CD＝CA； 连接BC 并延长到E，使CE＝CB， 连接DE 并测量出它的长度，DE 的长 度就是AB 间的距离.
距离．你能说明其中的道理吗？
解：因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.
BC＝DC，
在△ABC 和△ADC 中， ACB＝ ACD，
AC＝AC，
所以△ABC ≌△ADC (SAS)．
所以AB＝AD.
3 如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作 一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.
个三角形全等的依据是( D ) A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
5 教室里有几盆花，如图①，要想测量这几盆花两旁的
A，B 两点间的距离不方便，因此，选点A，B 都能到 达的一点O，如图②，连接BO 并延长BO 到点C，使 CO＝BO，连接AO 并延长AO 到点D，使DO＝AO. 那么C，D 两点间的距离就是A，B 两点间的距离．
一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽 檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态， 这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量 出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.

D
练习
3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，
AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ D ）
A.AO=CO
B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO
A D
O
C B
练习
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离
故三角形△AOE≌△BOF, BF＝AE,从而DE＝CF, 因此只要测出BF, CF即可知AE, DE的长度了.
【归纳】利用全等三角形来测量不能直 接测量的距离,关键是构造全等三角形.
练习
1. 如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两 点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC ，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的 理B 由是( )
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C. 在△BME和△CMF中， ∠B=∠C，BM=CM，∠BME=∠CMF， 所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF. 故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
练习
6、如图，要测量河两岸两点A、B间的距离，可用什么方法？并说明这样做的合理性 ．
解：方法：在AB的垂线BE上取两点C、D，使CD＝BC。
我们学过哪些全等三角形的判定方法？
活动1 自主探究1
∴△ABC≌△FDC（ASA）
连接BC并延长到E,使CE＝CB.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；

（1）DE=AB吗？请说明理由
C
（2）如果DE的长度是8m，则AB的长度是多少？E
D
你还有其他想法可以帮助小丽测得距离么？同桌之间互相讨论，5分钟后展示成果。
方案二：如图，找一点D，使 AD⊥BD，延长AD至C，使CD=AD， 连结BC，量BC的长即得AB的长。
A
方案三：如图，先作三角形ABC,再找一点 D，使AD∥BC，并使AD=BC，连结CD，量CD 的长即得AB的长
战士的目的：证明：BD=DC 战士想法中隐含有效已知条件：
1、战士身高不变 2、战士与地面之间位关系 3、两次的视角一致
AD=AD AD⊥BC ∠1=∠2
解：因为 AD⊥BC 所以∠ADB=∠ADC=90° 在△ADB与△ADC中，因为 ∠1=∠2，
AD=AD,
∠ADB=∠ADC=90°. ∴△ADB≌△ADC (ASA) . ∴DB=DC (全等三角形对应边相等).
（1）延长法构造全等三角形； （2）垂直法构造全等三角形。 （3）平行法构造全等三角形。
3、数学思想：
体会将实际问题转化为数学问题的过程，树立用三角形全 等构建数学模型解决实际问题的思想。
六、课后作业与预习任务布置：
1、在生活中或到学校去寻找“利用三角形全等测距离”的例子 2、对本章知识点进行总结
B
D
C
A
1
B
方案一：先在地上取一个可以直接到达A点和B 点的点C，连接AC并延长到E，使CD=AC；连接 BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的 长度。
E
全等三角形常用的构造方法
垂直构造法
D 平行构造法
2
C
延长构造法
C
D
四、当堂检测：

第四章 三角形
4.5利用三角形全等测距离
1
在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需 要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没 有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽 子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用 的是什么方法？其中的原理是什么？
2
将实际问题转换成数学问题为： 在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E，∠A= ∠D
则有BC=EF，为什么？
AD
C
BE 3
在△ABC与△DEF中，AB=DE，∠B= ∠E，∠A= ∠D
则有BC=EF，为什么？
A
D
C
B
E
F
∴△ABC ≌ △DEF（角边角） ∴BC=EF（全等三角形的对应边相等）
4
如图，A、B两点分别位于一个池塘
的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子
不够长，，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在
BC = CD
∠ACB= ∠DCF（对顶角相等）
∴△ABC≌△FDC（ASA） ∴AB＝DF（全等三角形对应边相等）．
12
太阳光线
你们其实一样高，瞧瞧， 你们的影子一样长！
9
太阳光线
A
D
B
CE
F
将实际问题转换成数学问题为：
在△ABC和△DEF中，∠C= ∠F， ∠B= ∠E，BC=EF， 求证：AB=DE
10
2、如图，要测量河两岸两点A、 B间的距离，可用什么方法？并
说明这样做的合理性．
11
解：方法：在AB的垂线BE上取两 点C、D，使CD＝BC。过点D作 BE的垂线DG，并在DG上取一点 F，使A、C、F在一条直线上，这 时测得的DF的长就是A、B间的距 离． 理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE ∴∠B＝∠BDF＝90° 在△ABC和△FDC中 ∠B ＝∠BDF

A
B
一位叔叔帮小明出了这样一个主意：先在地上取一个可以 直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到D，使CD= CA;连接BC并延长到E，使CE=CB,连接DE并测量出它的长 度，DE的长度就是A，B间的距离.
A
E
C
AB=DE，你能说出理由来吗？
B
D
【解析】方法一: A
C
在△CED与△CBA中，有 E
（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等.
（2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等. （3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三 角形全等. （4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形 全等.
下面是一位经历过战争的老人讲述的一个故事：
在一次战役中，我军阵地与 敌军碉堡隔河相望.为了炸 掉这个碉堡，需要知道碉堡 与我军阵地的距离.在不能 过河测量又没有任何测量工 具的情况下，如何估测这个 距离呢？
一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站 好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然 后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自 己所在岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出自己与那个 点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离.
A 12
B
D
C
战士的身高AD不变,战士与地面是垂直的(AD⊥BC)，视角
AB=AB.′ ′ 所以△ABC≌△A′BC′（′AAS）. 所以BC=BC′(全′等三角形的对应边相等).
2.如图所示，小明设计了一种测工件内径AB的卡钳(只要
测出CD，就知道AB)，问：在卡钳的设计中，AO，BO，
CO，DO应满足下列的哪个条件（） D
A.AO=CO
A D

关闭
原他地们转的了方18法0°,可正行好.看理见由他如所下在: 岸上的一块石头点B,他们测得BC=30 m,于是他们 就因说为河人宽是是姿30态m不,他变们原的地方转法了可1行80吗°, ?为什么?
所以∠BCD=∠ACD=90°. 又因为帽檐的位置没动, 所以∠BDC=∠ADC. 又因为CD=CD, 所以△BDC≌△ADC(ASA). 所以AC=BC=30 m. 故他们的方法可行.
答案
1
2
3
3.如图,两辆轿车从南北路段AB的南端A出发,分别向东、向西行进相同的距离,到 达C,D两地,此时C,D到北端B的距离相等吗?为什么?
BC=BD.理由如下: 在△BAC和△BAD中,因为AB=AB,∠BAC=∠BAD=90°,AC=AD,所以 △BAC≌△BAD(SAS),所以BC=BD.
5 利用 三角形 全等测 距离
三角形全等的条件有:边边边 、 角边角 、 角角边 、 边角边 .
利用三角形的全等解决实际问题 【例】 为了测量一个池塘的两端A,B之间的距离,同学们设计了如下两种方案: 方案1:如图①,先在平地上取一个可以直接到A点和B点的点C;连接AC并延长到 点D,使CD=CA;连接BC并延长到点E,使CE=CB.连接DE,并测量出DE的长度就是 A,B间的距离.
1
2
3
1.如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则 容器的内径A'B'的长度为( ) A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
关闭
B
答案
1
2
3
2.如图,学校数学课外小组要测量河的宽度,他们用了如下的方法:一个人先站在河 边的点C面向河对岸,压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边点A,然后他姿态不变

仰望星空的人——泰勒斯曾利用日影来测量金字塔的高度，利用全等三角形的知识用不同的方法测量出轮船与海岸的距离．并准确地预测了公元前585年发生的日食．
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离．他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA；连接BC并延长到E，使CE=CB；连接DE并测量出它的长度，DE的长度就是A，B两点间的距离．来自你能解释其中的道理吗？
分析两三角形中存在的边角关系，填写下表：
已知
问题
边
角
直角：∠BAD=∠CAD； 视角：∠BDA=∠CDA
身高：AD=AD
说明：AB=AC
A
D
B
C
如图，已知△ABD与△ACD中，∠BAD=∠CAD，∠BAD=90°，∠CAD=90°，请说明AB=AC．
A
B
证明：在△ABC与△DEC中，所以△ABC≌△DEC(SAS)．所以AB=DE．
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离．
戴一顶太阳帽，在点B立正站好，调整帽子，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A；然后转过一个角度，保持刚才的姿势，帽檐不动，这时再望出去，仍让视线通过帽檐，视线所落的位置为点C；测出BC的长，就是A，B间的距离．
方案二
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两点间的距离．
戴一顶太阳帽，在点B立正站好，自己调整帽子，使视线通过帽檐正好落在池塘对面的点A；保持姿势和帽檐不动，仍让视线通过帽檐，慢慢往后移动，当视线落到点B时停止，此时所站的位置为C；测出BC的长，就是A，B间的距离．
解：因为OM＝ON，PM＝PN，OP＝OP，所以△MOP≌△NOP(SSS)，所以∠MOP＝∠NOP，所以OP平分∠MON，即OP是∠AOB的平分线．

∴△ACB≌△DCE（SAS），
∴AB=DE；
A．SAS
B．ASA C．AAS D．SSS
【详解】
△OAB与△OA′B′中，
∵AO=A′O，∠AOB=∠A′OB′，BO=B′O，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
故选A
要测量河岸相对两点A、B的距离，已知AB垂直于河岸BF，先在BF上取两点C、D，使
CD=CB，再过点D作BF的垂线段DE，使点A、C、E在一条直线上，如图，测出BD=10，
(2)请你证明他们做法的正确性．
如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，
他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
判定两个三角形全等的方法：
三边分别相等相等的两个三角形全等。（即 “边边边”或“SSS”）
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。（即 “边角边”或“SAS”）
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。（即 “角边角”或“ASA”）
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
（即 “角角边”或“AAS”）
他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；
②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处时停止行走；
④测得DE的长为6米．
根据他们的做法，回答下列问题：
(1)河的宽度是多少米？（1）由数学兴趣小组的做法可知，AB=DE，故河宽为6米

解：∵OC＝35cm，墙壁厚OA＝35cm， ∴OC＝OA．
∵墙体是垂直的，∴∠OAB＝90°．
又∵CD⊥OC， ∴∠OA典B＝型∠O例CD题＝90°．
在△OAB和△OCD中，∠OAB＝∠OCD＝90°，
OC＝OA，∠AOB＝∠COD，
∴△OAB≌△OCD(ASA)， ∴DC＝AB．
∵DC＝20cm， ∴AB＝20cm，
点间的距离，但绳子不够长，你能帮小明想想办法测A，B两点间的距
离吗？请说明理由．
探究新知
A
B
探究新知
E A
C
D B
先在地面取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长 到D，使CD=AC，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出 它的长度，DE的长度就是A，B间的距离．
例1.小强为了测量一幢高楼的高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点
可．
D
PB
解：∵∠CPD＝36°，∠APB＝54°，∠CDP＝∠ABP＝90°，
∴∠DCP＝∠APB＝54°．
在△CPD和△PAB中，典型例题
∵∠CDP＝∠ABP，DC＝PB，∠DCP＝∠APB，
∴△CPD≌△PAB(ASA)， ∴DP＝AB．
A
∵DB＝36米，PB＝10米，
C
∴AB＝36－10＝26(米)．
A
A
BB
C
C
复习巩固
C
A
A
BB
C
B A
C
在一次战役中，为了炸毁与我军阵地隔河相望的敌军碉堡， 需要测出我军阵地到敌军碉堡的距离．由于没有任何测量工具，
我军战士为此绞尽脑汁，问这时题一情位聪境明的Fra bibliotek士想出了一个办法，