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高中数学选修2-2教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2选修2-2教案第一章 导数及其应用§1.1.1变化率问题教学目标：1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π=如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--3⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =，所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:41．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3．则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?直线AB三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，5∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
数学选修2-2第一章导数及其应用1．一质点的运动方程是253s t =-，则在一段时间[11]t +∆，内相应的平均速度为（ ） Ａ．3()6t ∆+ Ｂ．3()6t -∆+ Ｃ．3()6t ∆- Ｄ．3()6t -∆-2．下列说法正确的是（ ）Ａ．函数的极大值就是最大值 Ｂ．函数的极小值就是函数的最小值 Ｃ．函数的最值一定是极值 Ｄ．闭区间上的连续函数一定存在最值3．抛物线214y x =在点(21)Q ，处的切线方程（ ） Ａ．10x y -++= Ｂ．30x y +-= Ｃ．10x y -+= Ｄ．10x y +-=4．设21()(1)f x x =-，则(0)f '等于（ ） Ａ．2-Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．25．0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( )A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件 (D ）非充分非必要条件6．曲线y=x 3+x-2 在点P 0处的切线平行于直线y=4x ，则点P 0的坐标是（ ） A ．(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或（1,0） D.(-1,-4)7．函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A .5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -168．已知201()212x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，，，， ≤≤ ≤则20()f x dx =⎰（ ）Ａ．56 Ｂ．76 Ｃ．43 Ｄ．53 9．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是（ ）10．设313y x ax c =-+在()-+，∞∞上单调递增，则（ ） Ａ．0a <且0c = Ｂ．0a >且c 是任意实数 Ｃ．0a <且c 是任意实数 Ｄ．0a <且0c ≠11．从边长为10cm 16cm ⨯的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为（ ） Ａ．312cmＢ．372cmＣ．3144cmＤ．3160cm12．如图，由曲线32y x x =-与2y x =所围图形的面积为（ ） Ａ．512Ｂ．3712Ｃ．94 Ｄ．8313．若对于任意x ，有3()4(1)1f x x f '==-，，则此函数解析式为 ． 14.函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为__________________； 15.函数()323922y x x x x =---<<有极大值 ，极小值 ；16.若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于 ；17、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 18.设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ； 19．计算下列定积分。
（1）dx x x )sin 3(202+⎰π（2）34|2|x dx -+⎰20．已知点A为曲线33=-上的点，过点A与曲线相切的直线平行于x轴，求点A的y x x坐标．y=-4与直线y=0，x=0，x=4所围图形的面积．21．求由曲线2x22．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：3138(0120).12800080y x x x =-+<≤已知甲、乙两地相距100千米。
（I ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？23.已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间.5.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.6.设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围．7.画出由2241,x y x y ==及1=x 三条曲线所围成的图形，并计算其面积.9、 (重庆卷)曲线y x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x 所围成的三角形的面积为_____。
10．22(3)10,x k dx k +==⎰则 ； 8-=⎰___________.三、解答题：解：设00()A x y ，，233y x '=-∵，020330x x y x ='=-=∴|，01x =±∴，代入得(12)A -，或(12)A -，．18．求定积分11(1)x x dx -+⎰．解：原式01221()()1x x dx x x dx -=--++=⎰⎰．19．已知32y x ax bx c =+++的增区间为(1)(1)--+，，，∞∞；减区间为(11)-，，且过点(00)，，求a b c ，，的值．解：32y x ax bx c =+++∵过点(00)，，0c =∴． 又232y x ax b '=++，函数的增区间为(1)(1)--+，，，∞∞）； 减区间为(11)-，（ (1)0(1)0f f '-=⎧⎨'=⎩，，∴解得03a b ==-，．20．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元作为维修费，求房租定为多少时可获得最大收入？解：设x 为没有租出去的公寓套数，则可获得的收入函数为()(100050)(50)100(50)(90050)(50)F x x x x x x =+---=+-，050x ≤≤，()1600100F x x '=-∴，∴当16x =时，()F x 取最大值，即把租金定为1800元时，收入最大．1．下列导数运算正确的是（ ） Ａ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭Ｂ．21(log )ln 2x x '=Ｃ．3(3)3log x x e '=Ｄ．2(cos )2sin x x x '=-2．若0()0f x '=，则0x 是()f x 的（ ） Ａ．极大值点 Ｂ．极小值点 Ｃ．极大或极小值点 Ｄ．可能的极值点7．π23012sin 2d θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12二、填空题13．已知函数()y f x =，且()f x '的值域为(02)，，写出符合条件的函数()y f x =的解析式 ．答案：2(01)y x x =∈，，14．A B ，两地相距25千米，甲以速度1()3V t t =千米／小时由A 向B 直线行驶，同时乙以速度2()(5)V t t =+千米／小时从B 向A 直线行驶，则甲，乙两人从出发到相遇所用的时间为 小时．答案：2.515．已知连续函数πsin 02()π2π2x x f x ax x ⎧⎪⎪=⎨⎪+<⎪⎩，，，，≤≤ ≤则平面区域{}()|0π0()x y x y f x ，，≤≤≤≤的面积是 ．答案：π14+16．设曲线y =上有点()P x y ，，与曲线切于点P 的切线为m ．若直线n 过P 且与m 垂直，则称n 为曲线在P 处的法线，设n 交x 轴于Q ，又作PR x ⊥轴于R ，则RQ 的长是 ． 答案：12三、解答题17．已知函数y ax =与by x=-在区间(0)+，∞上都是减函数，确定函数325y ax bx =++的单调区间．解：∵函数y ax =与by x =-在(0)+，∞上都是减函数，00a b <<，∴． 由325y ax bx =++，得232y ax bx '=+， 令0y '<，即2320ax bx +<，203bx a-<<∴． 因此，函数在203b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，上为减函数． 令0y '>，即2320ax bx +>，23bx a<-∴或0x >． 因此，函数在23b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞，(0)+，∞上为增函数．18．已知()sin cos f x a x b x =+，ππ2600()4()f x dx f x dx ==⎰⎰，a b ，的值．解：πππ2220()(sin cos )(sin cos )f x dx a x b x dx b x a x b a =+=-=+⎰⎰， 4a b +=∴． ①ππ6601()(sin cos )2f x dx b x a x b a =-=+⎰|，(27a b +=-∴ ②由①，②解得31a b ==，．19．函数()y f x =在区间(0)+，∞上的导函数()f x '是减函数，且()0f x '>，设0(0)x ∈+，∞，y kx m =+是曲线()y f x =在点00(())x f x ，处的切线方程，并设函数()g x kx m =+． （1）用000()()x f x f x '，，表示m ；（2）证明：当(0)x ∈+，∞时，()()g x f x ≥．解：（1）000()()m f x x f x '=-．（2）令()()()h x g x f x =-，则0()()h x f x ''=()f x '-，0()0h x '=，因为()f x '递减，所以()h x '递增．因此，当0x x >时，()0h x '>；当0x x <时，()0h x '<． 所以0x 是()h x 唯一的极值点，且是极小值点，可知()h x 的最小值为0，因此()0h x ≥，即()()g x f x ≥．20．设抛物线2y ax bx c =++满足如下两个条件：①通过(00)，和(12)，两点且0a <；②与抛物线22y x x =-+围成的图形面积最小．试求此抛物线方程．解：因为抛物线2y ax bx c =++通过点(00)，，故0c =． 又因为抛物线过点(12)，，于是有2b a =-． 由22(2)2y ax a x y x x ⎧=+-⎪⎨=-+⎪⎩，，解得1201a x x a ==+，． 当1x =时，22y x x =-+上对应的纵坐标为1，而2(2)y ax a x =+-过点(12)，， ∴在区间01a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，内，曲线2(2)y ax a x =+-在22y x x =-+上方． 又0a <，知两抛物线都是开口向下的，因此两抛物线所围成的图形面积为 32232110201[(2)(2)]326(1)aa a a a a a S ax a x x x dx x x a +++⎛⎫=+---+=-=- ⎪+⎝⎭⎰|．由题设条件②得，23(3)06(1)a a S a +'=-=+， 0a =∴或30a a =-=，不合题意，3a =-∴，2(3)5b =--=∴．故235y x x =-+．21．已知函数21()2f x ax x =-，(]01x ∈，． （1）若()f x 在(]01x ∈，上恒为增函数，求a 的取值范围； （2）求()f x 在区间(]01，上的最大值．解：（1）32()2f x a x '=+． ()f x ∵在(]01，上恒递增，且在1x =处连续，∴当(]01x ∈，时，()0f x '≥成立，即31a x -≥在(]01，上恒成立． 1a -∴≥．（2）由（1）知1a -≥时，()f x 递增，故1a -≥时，max [()](1)21f x f a ==-． 当1a <-时，令32()20f x a x '=+=，得x =． 由01<<， ∴当0x <<时，()0f x '>；1x <≤时，()0f x '<．即当1a <-时，max [()]f x f ==-．故对于(]01x ∈，，当1a -≥时，max [()]21f x a =-； 当1a <-时，max [()]f x =-22．设某物体一天中的温度T 是时间t 的函数：32()(0)T t at bt ct d a =+++≠，其中温度的单位是℃，时间单位是小时，0t =表示12:00，t 取正值表示12:00以后．若测得该物体在8:00的温度是8℃，12:00的温度为60℃，13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8:00和16:00有相同的变化率．（1）写出该物体的温度T 关于时间t 的函数关系式；（2）该物体在10:00到14:00这段时间中（包括10:00和14:00），何时温度最高，并求出最高温度；（3）如果规定一个函数()f x 在区间1212[]()x x x x <，上的平均值为21211()x x f x dx x x -⎰，求该物体在8:00到16:00这段时间内的平均温度． 解：（1）根据条件，得(0)60T =，(4)8T -=，(1)58T =，(4)(4)T T ''-=， 则60013d b a c ====-，，，， 3()360T t t t =-+∴．（2）2()333(1)(1)T t t t t '=-=+-，当(21)(12)t ∈--，，时，()0T t '>；当(11)t ∈-，时，()0T t '>． ()T t ∴在区间(21)(12)--，，，上单调递增，在(11)-，上单调递减，即1t =-是极大值点．(1)62(2)62T T -==，∵，∴在10:00到14:00这段时间中，11:00和14:00时，该物体的温度最高，最高温度为62℃． （3）按规定，平均温度为4434044011()(360)15604(4)8T t dt t t dt t --=-+==--⎰⎰|， 即该物体在8:00到16:00这段时间的平均温度为60℃．二、填空题(每小题5分，共20分)11.若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是_________ 12.若函数y=x 3－32x 2－a 在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是13.函数y=(1－sinx)2的导数是14.设有长为a，宽为b的矩形，其底边在半径为R的半圆的直径所在的直线上，另两个顶点正好在半圆的圆周上，则此矩形的周长最大时，ab=高二选修2-2测试题(导数及其简单应用)班级____________学号_____________姓名____________成绩______________二、填空题(每小题5分，共20分)11.___________________________ 12._________________________13．__________________________ 14._________________________三、解答题：本大题6小题，共80分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)。
