高中数学第一讲不等式和绝对值不等式滚动训练新人教A版选修4_5

和． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，则 (|x − 4| + |x − 3|)min > a ，因为 (|x − 4| + |x − 3|)min = 1 ，所以 a < 1．
高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学选修4-5(人教A版)知识点总结含同步绝对值不等式
一、知识清单
绝对值不等式的解法
二、知识讲解
1.绝对值不等式的解法 描述： 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义、几何意义及不等式的基本性质． （1）|f (x)| > |g(x)| ⇔ f 2 (x) > g 2 (x)； （2）|f (x)| > g(x)(g(x) > 0) ⇔ f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x)； （3）|f (x)| < g(x)(g(x) > 0) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x)； （4）含两个及两个以上绝对值符号的不等式可用零点分段法求解，也可用图象法去求解． 例题： 解不等式 1 < |x + 1| < 3 ． 解：原不等式等价于
x − 3 < 2x − 1 < 3 − x,
解得 −2 < x <
4 ，故原不等式的解集为 3 4 ∣ {x ∣ − 2 < x < } . ∣ 3
解不等式 |x − 1| + |x + 2| ⩾ 5 ． 解：当 x < −2 时，原不等式化为 1 − x − x − 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩽ −3； 当 −2 ⩽ x ⩽ 1 时，原不等式化为 1 − x + x + 2 ⩾ 5 ，不等式无解； 当 x > 1 时，原不等式化为 x − 1 + x + 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩾ 2． 综上，原不等式的解集为 {x | x ⩽ −3或x ⩾ 2}． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：由绝对值的几何意义可知，|x − 4| + |x − 3| 表示的是数轴上点 x 到 3 和 4 的距离之

1
年销售收入为 150% 32 3- t+1 + 3 + 2t.
首 页
探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
探究三
由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,
由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费,
-t2 +98t+35
得年利润 y=
(t≥0).
2(t+1)
-t2 +98t+35
1 2x+y 2
1
(x,y∈R+)中,用的是不等式链中的
其变形去解题,如 xy= ×(2x)y≤
2
2
2
2
1 (2x+y)
1
a+b 2
(x,y∈R+)也可以,这两种解法比较,
.但是 xy= ×(2x)y≤ ×
ab≤
2
2
2
2
可以发现,求得的最值不一样,这说明选择不同的重要不等式的变形形式,求
得的值或范围是不同的,所以我们在选择重要不等式的变形形式时,要使
论有关的不等关系,得出有关理论参数的值.
(4)作出问题结论:根据③中得到的理论参数的值,结合题目要求得出问
题的结论.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
1
1.下列各式中,最小值等于 2 的是(
x
A.
y
y
+
x
B.
1
C.tanθ+θ
2
3
S 随堂练习
1
的最大值,转化为求 (2x)y 的最大值,即

第一讲 不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法A 级 基础巩固一、选择题1．不等式|x －2|>x －2的解集是( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：原不等式同解于x －2<0，即x <2. 答案：A2．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：B3．(2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，所以－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立．故⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A. 答案：A4．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D ．－8解析：原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4. 又因为－1＜x ＜2，所以验证选项易知a ＝－4适合． 答案：C5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确解析：由|x －2|＜a ，得－a ＋2＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤5，－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，无解． 答案：B 二、填空题6．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集是∅，则a 的取值范围是________________．解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ≤3. 答案：(－∞，3]7．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋4a 对任意的实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，显然成立；因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋4a ≤4.所以a ＝2，综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}． 答案：(－∞，0)∪{2}8．设函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________________．解析：f (x )≤5⇔|2x －1|＋x －2≤0，①⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＋x －2≤0，解得12≤x ≤1.②⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，－2x ＋1＋x －2≤0，解得－1≤x <12.综上可得－1≤x ≤1.答案：[－1，1] 三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，，解得a ＝2.(2)由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|，于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立，则m ≤g (x )min . 即实数m 的取值范围是(－∞，5]．10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设g (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|2x －1|≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．B级能力提升1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a 的取值范围为()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1，2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1.综上可知，实数k的取值范围为[0，1]．答案：[0，1]3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，分别求出满足以下条件的m的取值范围．(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为∅.解：法一因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1，m的取值范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m<－1，m的取值范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1，m的取值范围为[1，＋∞)．法二由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|≤|(x ＋3)－(x＋2)|＝1，可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，则m∈(－∞，1)．(2)若不等式解集为R，则m∈(－∞，－1)．(3)若不等式解集为∅，则m∈[1，＋∞)．。

第一讲 不等式和绝对值不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |y ＝log 2(4－2x －x 2)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3x ＋1≥1，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <5－1} B ．{x |－3<x ≤2} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1－5<x <－3或5－1<x ≤2} 解析： 不等式4－2x －x 2>0可转化为x 2＋2x －4<0，解得－1－5<x <－1＋5，∵A ＝{x |－1－5<x <－1＋5}； 不等式3x ＋1≥1可转化为x －2x ＋1≤0， 解得－1<x ≤2，∴B ＝{x |－1<x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |－1<x <5－1}． 答案： A 2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A ．{x |0<x <1}∪{x |x >1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0}解析： 方法一：特值法：显然x ＝－1是不等式的解，故选D. 方法二：不等式等价于|x ＋1|<|x －1|， 即(x ＋1)2<(x －1)2，解得x <0，故选D. 答案： D3．设a ，b 是正实数，以下不等式 ①ab >2aba ＋b，②a >|a －b |－b ， ③a 2＋b 2>4ab －3b 2，④ab ＋2ab>2恒成立的序号为( ) A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析： 2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，即ab ≥2ab a ＋b ，故①不正确，排除A 、B ；∵ab ＋2ab≥22>2，即④正确．答案： D4．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．5解析： ∵a >b ，b >0，∴1a ＋1b≥2ab，当且仅当a ＝b 时取等号，∴1a ＋1b＋2ab ≥2ab ＋2ab ≥22ab·2ab ＝4.当且仅当a ＝b ＝1且2ab＝2ab 时成立，能取等号，故1a ＋1b＋2ab 的最小值为4，故选C.答案： C5．设|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( ) A ．|a ＋b |＋|a －b |＞2 B ．|a ＋b |＋|a －b |＜2 C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2 D ．不可能比较大小解析： 当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2， 当(a ＋b )(a －b )＜0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2. 答案： B6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32 C ．1D.12解析： ∵a x＝b y＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3， ∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3a ＋b24＝log 33＝1，故选C.答案： C7．0<a <1，下列不等式一定成立的是( ) A ．|log 1＋a (1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|>2 B ．|log 1＋a (1－a )|<|log (1－a )(1＋a )|C ．|log (1＋a )(1－a )＋log (1－a )(1＋a )|<|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|D ．|log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )|>|log (1＋a )(1－a )|－|log (1－a )(1＋a )| 解析： 令a ＝12，代入可排除B 、C 、D.答案： A8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值是( ) A ．18 B ．6 C ．2 3D.43解析： 3a＋3b≥23a·3b＝23a ＋b＝232＝6.答案： B9．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析： ∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |， ∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n .答案： D10．某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，第四年比第三年增长的百分率为p 3，则年平均增长率p 的最大值为( )A.3p 1p 2p 3 B.p 1＋p 2＋p 33C.p 1p 2p 33D ．2＋p 1＋p 2＋p 33解析： ∵(1＋p )3＝(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)， ∴1＋p ＝3＋p 1＋p 2＋p 3≤1＋p 1＋1＋p 2＋1＋p 33，∴p ≤p 1＋p 2＋p 33.答案： B11．若a ，b ，c >0，且a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝12，则a ＋b ＋c 的最小值是( ) A ．2 3 B ．3 C ．2D. 3解析： a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝a (a ＋2c )＋2b (a ＋2c ) ＝(a ＋2c )(a ＋2b ) ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋2c ＋a ＋2b 22，∴(a ＋b ＋c )2≥12，又a ，b ，c >0， ∴a ＋b ＋c ≥2 3. 答案： A12．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2xsin 2x 的最小值为( )A ．2B ．2 3C ．4D ．4 3解析： 方法一：f (x )＝2cos 2x ＋8 sin 2x 2sin x cos x ＝1＋4tan 2xtan x＝4tan x ＋1tan x≥4. 这里tan x >0，且tan x ＝12时取等号．方法二：f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2x sin 2x ＝5－3cos 2xsin 2x (0<2x <π)．令μ＝5－3cos 2xsin 2x ，有μsin 2x ＋3cos 2x ＝5.μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5, ∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9. ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5μ2＋9≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0. 答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知－π2≤α＜β≤π2，则α－β2的取值范围是________．解析： 利用不等式的性质进行求解．由－π2≤α＜β≤π2可得．答案： －π2≤α－β2＜0.14．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是____________．解析: ∵|x －2|>3， ∴x －2>3或x －2<－3， ∴x >5或x <－1， 即S ＝{x |x >5或x <－1}． 又∵T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴画数轴可知a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5，∴－3<a <－1.答案： －3<a <－1 15．设x >－1，求函数y ＝x ＋x ＋x ＋1的最小值为________．解析： ∵x >－1，∴x ＋1>0，y ＝x ＋x ＋x ＋1＝x ＋＋x ＋＋1]x ＋1＝(x ＋1)＋5＋4x ＋1≥2·x ＋4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴y 的最小值是9. 答案： 916．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝105x －2，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为____________元．解析： 设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得利润y 元，则：y ＝(x －50)·P ＝105x －x －2，设x －50＝t ，则0<t ≤30， ∴y ＝105tt ＋2＝105tt 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500.当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500. 答案： 60三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知30＜x ＜42,16＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y ，x y的取值范围． 解析： ∵30＜x ＜42,16＜y ＜24， ∴46＜x ＋y ＜66. ∵16＜y ＜24， ∴－48＜－2y ＜－32， ∴－18＜x －2y ＜10. ∵30＜x ＜42， ∴124＜1y ＜116. ∴54＜x y ＜218. 18．(12分)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解析： ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ayx≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18 ① 又a ＋b ＝10②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2.19．(12分)解不等式|x ＋1|＋|x |<2. 解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法． 当x ≤－1时，－x －1－x <2，解得－32<x ≤－1；当－1<x <0时，x ＋1－x <2，解得－1<x <0； 当x ≥0时，x ＋1＋x <2，解得0≤x <12.因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方法二：利用方程和函数的思想方法．令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2 ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x ，－－1≤x，－2x －x <－作函数f (x )的图象(如图)，知当f (x )<0时，－32<x <12.故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.方法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2. 作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.方法四：利用等价转化的思想方法． 原不等式⇔ 0≤|x ＋1|＜2－|x |， ∴(x ＋1)2＜(2－|x |)2，且|x |＜2， 即0≤4|x |＜3－2x ，且|x |＜2. ∴16x 2＜(3－2x )2，且－2＜x ＜2. 解得－32＜x ＜12.故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜12. 20．(12分)求函数y ＝3x ＋4x2(x >0)的最值．解析： 由已知x >0， ∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2≥333x 2·3x 2·4x2＝339，当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时，取等号．∴当x ＝2393时，函数y ＝3x ＋4x2的最小值为339.21．(12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长s (m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s (m)，且车速为50 km/h 时车距恰为车身长s ，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q 最大？解析： 由题意，知车身长s 为常量，车距d 为变量．且d ＝kv 2s ，把v ＝50，d ＝s 代入，得k ＝12 500，把d ＝12s 代入 d ＝12 500v 2s ，得v ＝25 2.所以 d ＝⎩⎪⎨⎪⎧12s v ≤252，1 2 500v 2s v >252则车流量Q ＝1 000vd ＋s ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 000v32s v ≤252，1 000vs＋v 22 500v >252当0<v ≤252时，Q 为v 的增函数，所以当v ＝252时，Q 1＝1 000v 32s ＝50 00023s . 当v >252时，Q 2＝ 1 000v s ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋v 22 500＝ 1 000s ⎝ ⎛⎭⎪⎫1v ＋v 2 500 ≤1 000s ·21v ·v2 500＝25 000s .当且仅当1v ＝v 2 500，即v ＝50时，等号成立．即当v ＝50时，Q 取得最大值Q 2＝25 000s .因为Q 2>Q 1，所以车速规定为50km/h 时，该地段的车流量Q 最大．22．(14分)已知函数f (x )＝ax 2－4(a 为非零实数)，设函数F(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x x －fxx.(1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F (x )|≤2； (3)设mn <0，m ＋n >0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0? 解析： (1)∵f (－2)＝0，∴4a ＋4＝0， 得a ＝－1，∴f (x )＝－x 2＋4，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x x 2－x.(2)∵|F (－x )|＝|F (x )|， ∴|F (x )|是偶函数， 故可以先求x >0的情况． 当x >0时，由|F (2)|＝0， 故当0<x ≤2时，解不等式1≤－x 2＋4≤2，得2≤x ≤3；x >2时，解不等式1≤x 2－4≤2，得5≤x ≤6；综合上述可知原不等式的解集为{x |2≤x ≤3或5≤x ≤6或－3≤x ≤－2或－6≤x ≤－5}． (3)∵f (x )＝ax 2＋4，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋4x －ax 2－x，∵mn <0，不妨设m >0，则n <0. 又m ＋n >0，∴m >－n >0，∴m 2>n 2， ∴F (m )＋F (n )＝am 2＋4－an 2－4 ＝a (m 2－n 2)，所以：当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0， 当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0.。