第05讲 应力张量

应力张量分量引言应力张量分量是应力张量在一个特定的坐标系下的分量表示。

应力张量分量的理解对于材料科学和工程领域的应力分析具有重要意义。

在本文中，我们将了解应力张量的定义、表示方式、在不同坐标系下证明应力张量分量的变换规律以及一些应力分析方面的实际应用。

应力张量的定义应力张量是具有三个独立的分量的二阶张量，用于描述固体和液体中的应力状态。

应力可以理解为物体内部的力分布，因此应力张量可以表示为：σ = [σ11 σ12 σ13] [σ21 σ22σ23] [σ31σ32 σ33]其中，σ11、σ22 和σ33 表示沿着 x、y 和 z 轴的压力或拉力，σ12、σ13 和σ23 表示剪应力（或剪切应力）。

应力张量的表示方式为了确定应力张量的分量表示，我们需要选择一个参考坐标系。

在二维情况下，我们通常选择笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x 和 y。

在三维情况下，我们则使用三维笛卡尔坐标系，其中坐标轴为 x、y 和 z。

对于一个在一个给定坐标系下的应力张量，我们可以通过求解六个应力分量来表示它。

为了简化表示，通常使用下面的符号：σxx = σ11 σyy= σ22 σzz = σ33 σxy = σyx = σ12 σxz = σzx = σ13 σyz = σzy = σ23在这种表示方式下，σij 表示在 i 方向上对 j 方向的拉力或剪切力（也可以反过来表示）。

坐标系之间的转化当我们考虑不同的坐标系时，应力张量的表示会发生变化。

考虑两个不同的笛卡尔坐标系（原始坐标系和目标坐标系），它们的坐标轴可以写为以下矩阵的形式：[x'] [a11 a12 a13] [x] [y'] = [a21 a22 a23] [y] [z'] [a31 a32 a33] [z]其中，矩阵中的每个元素表示从目标坐标系中的一个坐标轴到原始坐标系中的相应坐标轴的投影。

为了推导出应力张量在不同坐标系下的表示，我们需要考虑以下事实：应力张量是下面这种形式的：σ = [ σxx σxy σxz] [ σxy σyyσyz] [ σxz σyz σzz]假设我们有一个 $n$ 维张量 $A$，其分量与坐标系之间的变换是 $A_{ij}^{'} = a_{ik} a_{jl} A_{kl}$。

应力张量和应变张量的关系在物理和工程的世界里，有两个小伙伴总是形影不离，那就是应力张量和应变张量。

就像老鼠和米饭，或者说是鱼和水，这俩家伙其实是相辅相成的，缺一不可。

今天咱们就来聊聊这两位的关系，顺便让这话题变得轻松有趣，让大家听了觉得“这还真有意思！”1. 应力张量——你能忍受多少压力？1.1 什么是应力张量？应力张量嘛，可以简单理解为“压力的图谱”。

想象一下，你在参加一场拔河比赛，另一边的人使劲拉，你的手臂就会感受到拉力。

这个拉力就是应力。

如果我们把这个感觉用一个数学对象来表示，那就是应力张量。

它可以告诉我们在一个物体内部，各个方向上受到了多大的压力。

1.2 应力的分类应力可不是单一的，它分成好几种，像是“拉应力”、“压应力”和“剪应力”。

拉应力就像你拉一根橡皮筋，越拉越长；压应力则像是在面团上用力按，面团就变扁了。

至于剪应力嘛，想象一下你在切水果，刀子刮过的地方就是受到剪应力的地方。

通过这些应力，我们就能感受到物体内部的变化和状态。

2. 应变张量——变形的小精灵2.1 应变张量的概念说到应变张量，它就像是应力张量的反应者，专门负责记录物体是如何变形的。

用个简单的比喻来说，假如应力是拉面师傅的力量，那么应变就是拉出来的面条。

面条在拉伸的过程中，变长了，变细了，这就是应变在作怪。

2.2 应变的种类应变同样有多种形式，比如“拉伸应变”、“压缩应变”和“剪切应变”。

拉伸应变就像你把橡皮筋拉得细细的，压缩应变就像把一个泡沫压扁，而剪切应变就像你用力划过一块巧克力，让它变得不平整。

这些变形的形式让我们对材料的性能有了更深的理解。

3. 应力与应变——亲密无间的关系3.1 他们是好朋友说到应力和应变的关系，其实就是一个因果关系。

就像是“打虎亲兄弟，上阵父子兵”，应力会导致应变的发生。

你想啊，当一个物体受到外力作用时，它肯定会有所反应，这个反应就是应变。

这就像你被朋友拉着走，脚步肯定要跟着他的节奏走，这样才能保持平衡。

cauchy应力张量
摘要：
1. Cauchy 应力张量的定义
2. Cauchy 应力张量的性质
3. Cauchy 应力张量的应用
正文：
Cauchy 应力张量是连续体力学中的一个重要概念，它是描述物质内部应力分布的张量。

Cauchy 应力张量的定义为：在一个特定的点上，作用在微小面积上的力除以这个面积的大小。

Cauchy 应力张量具有一些重要的性质，包括：1）它是一个对称张量，即应力张量的转置等于它本身；2）它是一个正定张量，即应力张量的任意主轴上的元素都是正的。

Cauchy 应力张量在连续体力学中有广泛的应用，包括：1）在固体力学中，它可以用来描述固体的应力分布，从而可以用来预测固体的形变和破裂；2）在流体力学中，它可以用来描述流体中的应力分布，从而可以用来预测流体的运动和压力分布。

第1章 应 力1. 1 应力矢量物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。

为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。

对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。

如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。

考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。

设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为∆S ，作用在微面上的内力合力为∆F ，则该微面上的平均内力集度为∆F /∆S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为T (n ) =SFs ∆∆∆0lim→B∆SACPn ∆Fxyz图1.1 应力矢量定义在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z（1.1）式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。

8 τzyσzσyσxτxyτxz除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x 、T y 和T z 。

实际应用中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。

显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P 点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n 有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。

所有这些应力矢量构成该点的应力状态。

由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n 微面上的应力矢量为：T (-n )= -T (n )（1.2）1.2 应力张量人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P 点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。

在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。