薄板弯曲的变分原理及有限元素法

第三章 薄板弯曲的变分原理及有限元素法3.1 基本问题基本认识：板作为承力的结构元件，主要通过弯曲起作用。

如果垂直于板面的挠度与板的厚度相比很小的话1<<Hw，则由弯曲而引起的板中面的拉伸作用就可以忽略不及，这是所谓的小挠度问题，一般认为4.0<H w以下。

反之，Hw越大，弯曲引起的中面拉伸的影响越来越大，就不能忽略不计，导致所谓大挠度问题。

除板的弯曲变形之外，还伴随有剪切变形，剪切作用的影响一方面取决于材料的剪切模量，另一方面取决于厚度/跨度（l H ）之比，即横向剪切随l H 的增大而增大。

通常把不考虑剪切作用（横向剪应变无穷大）的板理论叫做薄板理论，把考虑剪切作用的板理论叫做厚板理论。

本章仅考虑小挠度薄板问题。

基本假设：取板的中面为xy 平面，取z 轴与y x ,轴垂直，设板的厚度为h ，可以是()y x ,的函数。

① 变形假设：变形前垂直于中面的直线段在变形后没有伸缩，并且继续垂直变形后的中面。

由此得： ② 内力假设：板内应力的6个分量的大小不是同一量级，一般xy y x τσσ,,最大，yz xz ττ,约小一个量级，而z σ又小一个量级；在静力学分析中，0=z σ。

控制方程（内力平衡方程及物理方程）① 由弹性力学方法，对于均质材料构成的薄板，应力分量yz xz xy y x τττσσ,,,,可用5个内力()()()()()y x Q y x Q y x M y x M y x M y x xy y x ,,,,,,,,,表示，即：x x zM h 312=σ y y zM h 312=σ xy xyzM h 312=τ （矩定义为单位宽度上的矩） Note ：上述的弯距及剪力代表单位宽度上的，而不是整个板侧面的。

② 用内力表示的平衡方程：0=+∂∂+∂∂p yQ x Q yx ()y x p p ,= 分布的横向载荷 在薄板理论中，内力y x Q Q ,不产生应变，因而也不做功，可在以后的分析中不计算它们，在上式中消去y x Q Q , 即得：③ 几何关系： ④ 物理关系：（各向同性体）点应力应变关系：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧xy y x xy y x v v v v E εεετσσ2100010112内力与应变关系：注意： ()v E G +=12 ()23112v Eh D -=⑤ 单位面积上的应变能及余应变能（密度）应变能密度（曲率作为自变量）变分：[]xy xy y y x x k M k M k M U δδδδ2++= ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=x w x k x (单位长度上转角的变化) ∴ x x k UM ∂∂=y y k U M ∂∂= xyxy k U M ∂∂=21（这也是一种物理关系） 代入关于内力矩的物理关系，有：注意：上式中都是关于曲率的二次项，而且从物理上对于任意的曲率U >0，故U 称为正定的二次齐次函数。

余应变能密度：（可看作是内力矩的函数） 当板的变形由一种状态变到相邻的另一种状态时， V 的变分为：在以前的研究中，我们把内力表示成变形的函数，从而构造和研究关于变形的泛函；在这里，我们把体系中的两类量都看成独立可变的，故有上式V δ，（上式中由于V 的表达式，变分的结果又可只认为只有内力矩变化）。

这是一种认识观点，对于后面理解广义变分原理有利的。

当然，还应当注意这两类变量之间存在着物理关系的约束。

由V δ的表达式可知： x x M Vk ∂∂=y y M V k ∂∂= xyxy M V k ∂∂=2（研究其中一项时，让其它两项的变分为0） 代入内力矩关系，可知V 是xy y x M M M ,,的正定二次齐次函数。

⑥ 用挠度表示的平衡关系：把内力矩的物理关系及曲率的几何关系代入原平衡方程，即得：p w D p y w y x w x w D =∇⇔=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂444224442 （双调和方程）坐标旋转引起的变换在研究板问题时，经常用到不同坐标系表示的包括法向导数等，因此在不同坐标系下，板弯曲的基本量之间有什么联系是我们经常要遇到的计算。

取两个不同的坐标系，如右图 ① 坐标变换关系： ② 函数的方向导数：对于一个函数()()()[]ηξηξ,,,,y x F y x F = 由求导的链式规则：同理：θθθθη222222222cos sin cos 2sin yF y x F x F F ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ ③ 只要将F 换成w 即得曲率在不同坐标系下的转轴公式。

④ 弯、扭矩的转轴规律应注意到y xy x M M M ,,是单位宽度上的矩，推导时要依据平衡关系。

由此得：剪力的转轴规律符合矢量投影规律，即： 典型的边界条件 （如右图）Ω：板在xy 平面上所占区域；c ：板的边界； n ：边界外法线；s ：边界切线方向；s n ,符合右手定则典型边界条件有三种：① 固支边：如在1c 上，w w =，n nwψ=∂∂ 这里，n w ψ,为1c 上已知的关于弧长s 的函数。

② 简支边：如在2c 的部分边界上简支，则有：n M w ,为2c 上已知的关于弧长的函数。

③ 自由边：在自由边上(指无位移限制)已知作用在边界上的力（即所谓的自然边界条件）。

从内力和内力矩角度看，边界上能反映出来的有n ns n Q M M ,,三个，但不能取：n n M M =，ns ns M M =，n n Q Q =因从做功角度讲，ns M 和n Q 并不完全独立，分析如下：给自由边界3c 上的挠度有一变分w δ，则n ns Q M ，在w δ上所作的功为： 可见，ns M 相当于sM ns∂∂线分布载荷以及作用在自由边两端的集中载荷ns M ±。

由于在自由边两端总是有支持的，所以在该两端上的ns M 对板变形不产生影响，所以分析时略去不计。

∴wds Q sM U c n ns δδ⎰⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=3 由上分析，n nsQ sM +∂∂是与w δ相应的广义力，故自由边的边界条件应为： 在3c 上，n n M M =，n n nsq Q sM =+∂∂（与点应力的力边界条件相似） ()s q n 是已知作用在3c 上的线布载荷。

若在自由边界的某一点0s s =上有一集中载荷p ，那么有：()()p s M s M ns ns =--+0000 p 表示单位宽度上的力。

若没有集中载荷，ns M 应是s 的连续函数，ns M 的跳跃量相应于集中载荷。

﹡自由边界上有尖角的情况： -n 为A 点前面一段终点的法向量；+n 为A 点后面一段起点的法向量。

命两个法向量与x 轴的夹角为+-θθ,。

在A 点前后的两个扭矩：由于要求ns M 连续，即+-=nsns M M 由此得：当A 点尖角的两条边平行于y x ,轴，0,90==-+θθ 故得： 0=xy M 3.2最小势能原理考虑如图的板受载系统：1c 上：n nww w ψ=∂∂=,2c 上：n n M M w w ==,3c 上：q Q sM M M n nsn n =+∂∂=, 整个系统的势能包括两部分：C 2 3① 板的应变能⎰⎰Ω=∏Udxdy 2 U 为应变能密度，是曲率的二次函数；② 外载荷（包括边界力）的势能： ds nwM wds q pwdxdy c c c n∂∂+--=∏⎰⎰⎰⎰Ω+332'(一次泛函，固支边界位移变分为0） 令w 是问题的精确解，k w 是可能的挠度（在1c 上满足n nww w ψ=∂∂=,；在2c 上满足w w =） 最小势能原理指出：与精确解w 相应的总势能()w ∏达到最小值，即小于任何其它可能位移k w 相应的总势能。

证明的过程与梁的步骤全同。

令：w w w w w w k k ∆+=-=∆,w ∆满足齐次的边界条件：⎪⎩⎪⎨⎧=∆=∂∆∂=∆0,0,0,21w c nww c 上上 与k w 相应的总势能可以证明：()0,''=∆∏w w ，且若w ∆不是刚体运动，则()02>∆∏w 。

因此有， ()()w w k ∏>∏将最小势能原理写成变分形式：0=∏δ (留给同学自己完成)()022322222=∂∂--⎪⎭⎫⎝⎛-+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-∂∂∂-∂∂-⇒⎰⎰⎰⎰Ωds n w M M wds q Q s M wdxdy p y M y x M x M c n n c n ns yxy x δδδ（这里是Galerken 虚功的形式）⇒平衡方程： 0222222=+∂∂+∂∂∂+∂∂p yM y x M x M y xy x3c 上q Q sM n ns=+∂∂ 2c 上 n n M M = 3.3最小余能原理① 概说余能原理是一个数学原理，并不对应物理上的保守势场中的能量守恒原理。

它的着眼点是固定位移，看可能的力系统变化（这些力系统一定满足平衡关系和力边界条件，这是一种狭义理解方式）。

那么从此观点上看，显然只有满足位移协调关系的那一个力系才是精确解。

余能原理：在满足平衡关系的所有力系中，只有满足位移协调关系的那组力系，使系统余能取极值。

如果这个系统是稳定的，则取最小值。

② 数学证明：考虑与上小节相同的一块薄板弯曲问题，命y x xy y x Q Q M M M w ,,,,,是问题的精确解；再取sys x s xy s y s x Q Q M M M ,,,,为一组可能的内力。

按要求可能的力系满足：a ． 平衡条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂+∂∂=-∂∂+∂∂=-∂∂+∂∂000p y Q xQ Q y M x M Q y M x M s ys x sy sy s xy s x s xys x b ． 力边界条件：在2c 上：n sn M M =在3c 上：q Q sM M Msn sns n s ns=+∂∂=,首先，要做的工作是分别给出精确解和可能的内力的余能大小。

系统余能包括两部分，一部分是域内的余应变能2Γ；另一部分是已知位移的部分边界上的余能1Γ。

xy xy y y x x k M k M k M V 2++= （在线性应力应变关系下） 整个系统的总余能： ds M ds w Q s M Vdxdy n c n c c n ns ψ⎰⎰⎰⎰+⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂-=Γ+Γ=ΓΩ+12121(边界上已知力变分为0) 固定了某种位移形态，则自变函数即为{},,,,,M =y x xy y x Q Q M M M 与精确解相应的余能记为：()()()M M M 321,,ΓΓΓ；与可能内力相应的余能为：()()()s s s M M M 321,,ΓΓΓ。