3的倍数的特征

是3的倍数的特征
3的倍数的特征有以下几个方面：
1.整除性质：3的倍数具有整除3的性质，即一个数能够被3整除，那么它就是3的倍数。

例如，6除以3的结果是2，说明6是3的倍数。

2.数位和：一个数的各个位数之和如果能够被3整除，那么这个数也是3的倍数。

例如，123的各个位数之和是6，因为6能被3整除，所以123是3的倍数。

3.末尾为0：为0、3、6、9的数字都能被3整除，因此如果一个数的末尾是0、3、6、9中的一个，那么它就是3的倍数。

4.各位数字之和为3的倍数：如果一个数的各位数字之和能够被3整除，那么这个数也是3的倍数。

例如，624的各位数字之和是12，因为12能被3整除，所以624是3的倍数。

5.间隔为3的倍数：如果一个数的个位数和十位数的差能被3整除，那么这个数也是3的倍数。

例如，27的个位数为7，十位数为2，它们的差为5，5不能被3整除，所以27不是3的倍数；而30的个位数为0，十位数为3，它们的差为3，3能被3整除，所以30是3的倍数。

即个位数与十位数之差能被3整除。

6.整数规律：3的倍数的个位数如果是0、3、6、9，那么这个数还是3的倍数。

如果一个数的个位数是0、3、6、9，那么它一定能被3整除，并且这个规律也可以递归应用于数的每一位。

例如，231的个位数为1，因此它不是3的倍数；而234的个位数为4，因此可以通过判断234除以10后的结果是否是3的倍数来判断234是否是3的倍数。

这些都是3的倍数的特征，根据这些特征可以判断一个数是否是3的倍数。

同时，这些特征也可以用于解决一些与3的倍数有关的问题，例如编写算法求解3的倍数的个数或者求给定范围内3的倍数之和等。

3的倍数特征以及原因
分析
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3的倍数特征以及原因分析
我研究了一下3的倍数特征以及它的原因分析，首先，我画了一张百数图，然后把一百以内的3的倍数标了出来，它们分别是：3、6、9、12、15、18、21。

90、99。

然后慢慢地观察这些数，我就发现，如果用这些数上的每一位的数字加起来，就是3的倍数，他们分别是：3、6、9、3、6、9。

就这样一直循环下去，所以我得出了一个结论：“只要是3的倍数，无论多少位，所有位上的数字相加起来的和就一定是3的倍数。

如果加起来不是3的倍数，那这个数本身就不是3的倍数。

”后来我又研究，为什么3的倍数特征是这样的呢，我就拿三位数来举例。

一个三位数，假设它是ABC，那就是由100A+10B+C组成的，如果它能被3整除，又有99A+9B肯定能被3整除，所以它们的差A+B+C也就肯定是3的倍数，A+B+C就是所有位上的数字相加起来的和。

这个结论：“只要是3的倍数，无论多少位，所有位上的数字相加起来的和就一定是3的倍数。

如果加起来不是3的倍数，那这个数本身就不是3的倍数。

”通过试验后，它是成立的。

3的倍数的特征当我们将一个整数除以3时，得到的余数只可能是0、1或2、如果余数是0，那么这个整数就是3的倍数；如果余数是1或2，那么这个整数就不是3的倍数。

以下是3的倍数的一些特征：1.数字和为3的倍数：一个整数的每位数字相加得到的和如果是3的倍数，那么这个整数也是3的倍数。

例如，108的每位数字相加得到的和是9，是3的倍数，所以108也是3的倍数。

2.末尾数字为0、3、6或9：如果一个整数的个位数字是0、3、6或9，那么它一定是3的倍数。

例如，90、27和42都是3的倍数。

3. 同余模运算：如果两个整数对3的余数相等，那么它们的差也是3的倍数。

例如，对于任意整数a和b，如果a ≡ b (mod 3)，那么a -b是3的倍数。

4.逆向思考：如果我们能够证明一个数不是3的倍数，那么它一定不是3的倍数。

例如，对于一个整数，如果它的个位数字之和不是3的倍数，那么这个整数肯定不是3的倍数。

5.数字位数之和不断相加：如果一个整数的所有位数之和不是3的倍数，那么这个整数也不是3的倍数。

我们可以将这个整数的所有位数相加，如果和大于9，再将和的各位数字相加，直到和小于10为止。

如果得到的最终和是3的倍数，那么这个整数也是3的倍数。

6.除法法则：当一个整数除以9的余数是0时，它一定是3的倍数。

因为3和9都是3的倍数，所以3的倍数也一定是9的倍数。

总结起来，判断一个数是否是3的倍数，可以使用以下方法：1.将整数的每位数字相加，如果和是3的倍数，那么这个整数也是3的倍数。

2.判断整数的个位数字是否是0、3、6或9，如果是，那么这个整数是3的倍数。

3.判断整数对3的余数是否相等，如果相等，那么这两个整数的差也是3的倍数。

4.判断整数的个位数字之和是否是3的倍数，如果不是，那么这个整数不是3的倍数。

5.判断整数的位数之和是否是3的倍数，直到和小于10为止。

如果最终和是3的倍数，那么这个整数也是3的倍数。

6.判断整数除以9的余数是否是0，如果是，那么这个整数是3的倍数。

《3的倍数特征》教学反思《3的倍数特征》教学反思1《3的倍数的特征》是学生在学习过2.5倍数特征之后的又一内容，因为2.5的倍数的特征仅仅体现在个位上的数，比较明显，容易理解。

而3的倍数的特征，不能只从个位上的数来判断，必须把其他各位上的数相加，看所得的和是否为3的倍数来判断，学生理解起来有一定的困难。

我决定在这节课中突出学生的自主探索，使学生猜想——观察——再观察——动手试验的过程中，概括归纳出了3的倍数特征。

1、找准知识冲突激发探索愿望。

找准备知识中冲纷激发探索，在第一环节中我先让学生复习2.5的倍数特征并对一些数据做出了判断而后我们“谁来猜测一下3的倍数特征”激发学生探究的愿望。

由于学生刚刚复习了2.5倍数的特征，知道只要看一个数的个位，因此在学习3的倍数特征时，自然会把“看个位”这一方法迁移过来。

但实际上，却不是这样，于是新旧知识间的矛盾冲突使学生产生了困惑，有了新旧知识的矛盾冲突，就能激发起学生探究的愿望，这样不反有利于学生对新知识的掌握，有效的将新知识纳入到原有的认知结构中去，还有利于培养学生深入探究的意识和能力。

2、激发学习中的困惑，让探究走向深入。

找准知识之间的冲突并巧妙激发出来，这是一节课的出彩之处，而我从孩子们的学号为入重点，让孩子们判断自己的学号是否是3的倍数，并再次探究3的倍数特征，并且发现3的倍数和数字排列顺序的有关系。

但和这个数的个位上的数字有关。

使之所探究的问题是渐渐完整而清晰，而后我又组织孩子们用摆小棒的方法来探究和验证，这种层层递进环环相扣的方法，促使探究活动走向深入，让学生获得更大的发展。

3、课后反思使之完美。

这节课结束后，我感觉最大的缺憾之处，最后点选了的倍数特征时，应放手让孩子们多说，说透，这样更有助于锻炼孩子的概括归纳能力。

而老练习题方面，也应形式面多样化，如用卡片练习判断，或通过打手势的方法或先听老师——这样效率更高，课堂氛围好，课堂不是同步，学生的发展始终是教学的落脚点。

特殊数的倍数的特征能被2整除的数，叫做偶数．2、4、6、8．10……是偶数．不能被2整除的数，叫做奇数．1、3、5、7、9……是奇数；总结：因为0能被2整除，所以也是偶数．2的倍数特征：是偶数；这个数的末位为偶数；3的倍数特征：这个数各个位上数字的和是3的倍数；一个数是3的倍数，这个数各位上的数的和一定是3的倍数；4的倍数特征：若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

5的倍数特征：这个数的末位是0或5；6的倍数特征：若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

7的倍数特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除；如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推；8的倍数特征：若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除；连除两次2，看末位（个位）是否是偶数；9的倍数特征：这个数各个位上数字的和是9或9的倍数；10的倍数特征：这个数的个位（末位）一定是0；11的倍数特征：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除（0或11的倍数）；11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1；12的倍数特征：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除13的倍数特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。

如果和太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止。

17的倍数特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。

3的倍数的特征是什么1.定义：一个数如果能被3整除，那么它就是3的倍数。

也就是说，存在一个整数k，使得3k等于这个数。

例如，6是3的倍数，因为2乘以3等于62.数字和位数的特性：一个数是否是3的倍数可以通过它的位数之和来判断。

如果一个数的各个位上的数字之和能够被3整除，那么这个数也能被3整除。

例如，123的各个位上的数字之和是1+2+3=6，6能够被3整除，所以123是3的倍数。

3.除法规则：一个数是否是3的倍数可以通过它的除数规则来判断。

如果一个数的各个位上的数字之和能够被3整除，那么这个数也能被3整除。

例如，123的各个位上的数字之和是1+2+3=6，6能够被3整除，所以123是3的倍数。

4.末位规则：一个数是否是3的倍数还可以通过它的末位数字来判断。

如果一个数的末位数字是0、3、6、9中的任意一个，那么这个数就是3的倍数。

因为3乘以任意一个末位数字得到的结果都能被3整除。

例如，72的末位数字是2，所以72不是3的倍数；而75的末位数字是5，所以75是3的倍数。

5.间隔法则：一个数是否是3的倍数还可以通过其间隔规则来判断。

如果一个数的各个数字之间的间隔（差值）综合能被3整除，那么这个数也能被3整除。

例如，540的各个数字之间的间隔是(5-4)+(4-0)=1+4=5，5不能被3整除，所以540不是3的倍数；而537的各个数字之间的间隔是(5-3)+(3-7)=2+4=6，6能够被3整除，所以537是3的倍数。

6.九法规则：一个数是否是3的倍数还可以通过九法规则来判断。

将一个数的各个位上的数字相加，如果得到的结果大于9，那么再将这个结果的各个位上的数字相加，继续这个过程，直到得到的结果小于或等于9、如果得到的结果等于3、6或9，那么这个数就是3的倍数。

例如，927的各个位上的数字之和为9+2+7=18，18大于9，再将18的各个位上的数字相加得到1+8=9，所以927是3的倍数。

综上所述，以上是3的倍数的特征。

2、5、3的倍数的特征一、倍数的特征：2的倍数的特征：个位数字是0，2，4，6，8； 5的倍数的特征：个位数字是0或5；同时是2、5倍数的特征：个位数字是0；3的倍数的特征：各个数位的数字之和是3的倍数；9的倍数的特征：各个数位的数字之和是9的倍数。

同时是2、3和5倍数的特征：个位数字是0，并且各个数位的数字之和是3的倍数二、偶数与奇数：是2的倍数的数叫偶数，个位数字是0，2，4，6，8的数都是偶数。

不是2的倍数的数叫奇数，个位数字是1，3，5，7，9的数都是奇数。

最小的偶数是2，（因为小学阶段在除0外的自然数范围内研究倍数和因数）最小的奇数是1。

偶数+偶数=偶数，奇数+奇数=偶数，偶数+奇数=奇数。

偶数-偶数=偶数，奇数-奇数=偶数，偶数－奇数=奇数。

100以内所有的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97例题讲解例1 能同时被２、３和５整除的最小三位数是_ _，最大两位数是_ _，最小两位数是_ __，最大三位数是_ _。

例2 3个人分一组，现在有22人，至少还要来多少人？分多少组？例3 100以内同时是3和5的倍数的最小偶数是（），最大奇数是（）。

例4、判断是否是3的倍数。

2、3、5的倍数的特征过关练习一、填空。

（共50分，每空1分）1、自然数中，是2的倍数的数叫做（），0也是（），不是2的倍数的数叫做（）。

2、个位上是（）的数是2的倍数；个位上是（）或（）的数是5的倍数；个位上是（）的数同时是2和5的倍数。

3、一个数（）上的数的（）是3的倍数，这个数就是3的（）。

4、把列数归类。

92 11 6 28 15 30 33 70 58 125 50 110 810 108 632的倍数：（），5的倍数：（）即是2的倍数，又是5的倍数的数有：（）3的倍数：（），9的倍数：（）既是3的倍数也是9的倍数：（），2、3和5的倍数：（）5、想一想（1）29---39之间所有的偶数是（）（2）自然数1----100内，偶数有（）个，奇数有（）个。

4、“三倍数特征”教案一等奖一、学习目标(一)学习内容《义务教育教科书数学》（人民教育版）五年级第二册第10页的例子2。

例子2是探索3的倍数特征。

教科书仍然使用百数表，让学生先圈数，然后观察和思考。

(二)核心能力在探索三倍特征的过程中，学会从不同的角度观察和思考，进一步积累观察、猜测、验证和归纳的思维活动经验。

(三)学习目标1.借助百数表，通过探索三倍数特征的过程，了解三倍数特征，可以正确判断一个数是否为三倍数，解决生活中的实际问题。

2.在探索三倍数特征的过程中，学会从不同的角度观察和思考，发展合理推理的能力，积累数学思维活动的经验。

(四)学习重点探索三倍数的特征。

(五)学习难点总结证据3倍数的特征(六)配套资源百数表，计算器二、教学设计(一)课前设计(1)回忆我们研究过的2、五倍数的特点是什么？并且可以向学生解释如何探索。

(2)自制百数表。

(二)课堂设计1.复习引入老师:谁来介绍给大家？2、5的倍数特征是什么？我们是怎么研究出来的？学生自由发言，重点引导学生回忆知识形成的过程。

总结:我们先用百数表找数，然后观察猜测，最后验证归纳，得到2、5倍数的特征。

老师:本课我们来研究一下“三倍数特征”。

(板书题目)[设计意图：通过复习2、5倍数特征和探索方法唤醒学生的记忆，为探索3倍数特征铺平道路。

]2.问题探究(1)找3倍数老师:你打算如何研究“三倍数特征”？自由发言。

老师:你要用百数表，用研究2、研究三倍数特征的方法是五倍数特征，现在拿出你准备的百数表。

先找出同桌合作的三倍数，然后观察圈数，看看发现了什么。

(2)全班交流讨论①发现问题学生展示圈好的百数表。

老师：谈谈你的发现？预设：不能只看个位。

老师：为什么不呢？横着看：个位上有0-9个数字，竖着看：个位上也有0-9个数字。

②分析问题老师：学生们发现，在百数表（课件显示）中，水平和垂直观察是三倍，只看位置上的数量，没有规则可循。

水平和垂直观察，看不到规则，从另一个角度思考，我们还能看到什么？我们还能看到什么？学生可以自由发言，引导学生斜视。

3的倍数的特征3的倍数的特征比较隐蔽，学生一般想不到从“各位上数的和”去研究，本课注重引导学生经历探索的过程。

上课开始先让学生回顾旧知，2的倍数和5的倍数有什么特征，学生们发现都只要看一个数个位上的数就行了，于是很顺地设下了陷阱：同学们，那猜猜看3的倍数有什么特征呢？猜测是一种常用的数学思考方法，让学生猜测3的倍数有什么特征，能较好地调动学生的学习积极性。

由于受2的倍数和5的倍数的特征的影响，有学生很自然猜测到：“个位上是0，3，6，9的数一定是3的倍数”，还有学生猜测：“各位上的数字加起来是3，6，9一定是3的倍数”，能想到这点应该说是了不起的。

本课到这里都很顺利，因为完全在我的预设之中。

下面进入验证环节，先学生判断自己的学号是不是3的倍数，再在这些学号中挑出个位上是0，3，6，9的数，通过交流这些数不一定都是3的倍数。

学生初步发现了3的倍数的特征与2和5的倍数不同，不表现在数的个位上，那3的倍数究竟与什么有关系呢。

于是进入到动手操作环节，在此基础上，利用计数器转移探索的方向，让学生用3颗算珠在计数器上任意摆数，得出结果：摆出的数都是3的倍数，到这里有几个学生显得很兴奋。

随后用5颗算珠实验，发现摆出的数都不是3的倍数，到这里学生中已经有一些议论，他们都有了发现。

为了让更多的学生看出其中的神奇，我将自主权交给了学生们，自己选择算珠的颗数进行了第三次实验，然后板书出每组的实验结果，从结果的数据中，学生们都很兴奋地发现了所用算珠的颗数是3颗，6颗，9颗，拨出的数都是3的倍数，每个数所用算珠的颗数，也是每个数各位上数的和。

把算珠颗数抽象成各位上数的和，是理解3的倍数特征的关键。

“试一试”是教学的第三步，如果一个数不是3的倍数，那么这个数各位数的和不是3的倍数。

利用反例进一步证实3的倍数的特征，体现了数学的严谨性和数学结论的确定性。

可惜在这一点上，我很仓促地指着黑板上算珠颗数是4颗，5颗，7颗，8颗时，所摆出的数都不是3的倍数，直接告诉了学生，而没有让学生自己举出反例。

“3的倍数的特征”教学反思
“3的倍数的特征”是在学习了“2、5的倍数的特征”后学习的。

可以像探索“2、5的倍数的特征”的教学方法一样，在多个3的倍数中去发现3的倍数的特征。

但正由于学习了“2、5的倍数的特征”，学生很容易受知识迁移的影响去研究各个数位上的数的特征，但都无法发现。

在备课时，我就想，如果课本上没有提示，或者老师没有点破，学生想破头也难想出方法来。

事实上我私底下调查过成绩特别好的学生，也是如此。

这个时候我当然想到这样引导学生：当我们凭经验来研究新事物的时候，如果不能取得成果，那么就要求我们要改变策略，换换思路了。

但改变策略也很难发现规律，所以我就想如何能够引导学生来发现3的倍数的特征是从各个数位上的数字之和去考虑，但没找到方法，就只好让学生自学课本，按照小博士的点拨去发现规律了。

不过心中还留着这种念想，也算是一种遗憾吧。

我为什么会想到不让学生看课本提示来找规律呢？因为我想：告诉学生走哪条路不如让学生自己去找路。

这课上完后的几天，我与备课组的同事们说起这回事，田德珍老师说了一个方法，我觉得还可以，她是这样说的，可以写几个这样的数，如：129、219、921、291、192、912.很容易验证这些都是3的倍数，然后让学生观察，思考，应该就容易发现3的倍数的特征了。

又是遗憾早没想到这种方法，不过以后教学这课的时候我就要用这种方法了。