数学(理)卷·2010届北京市东城区高三第一学期期末教学目标检测(2010-01)word版

北京市东城区2009—2010学年度高三第一学期期末教学目标检测数学试题（理）考生须知1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页，满分150分。

考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4．答题卡上，选择题，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5．考试结束，请将本试卷，答题卡和草稿纸一并收回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在等比数列}{n a 中，若84=a ，2-=q ，则7a 的值为 （ ）A ．-64B ．64C ．-48D ．48 2．下列四个命题中的真命题为（ ）A ．Z x ∈∃0，1340<<xB ．Z x ∈∃0，0150=+xC ．R x ∈∀，012=-xD ．R x ∈∀，022>++x x3．在平面直角坐标系中，若点),2(t -在直线042=+-y x 的上方，则t 的取值范围是（ ）A ．（-∞，1）B ．（1，+∞）C ．（-1，+∞）D ．（0，1） 4．“4π=x ”是“函数x y 2sin =取得最大值”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，如果C A sin 3sin =，30=B °，那么角A 等于（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°6．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直； ③若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是 （ ） A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．②和④ 7．若0)12()2()(2=+++-=m mx x m x f 的两个零点分别在区间（-1，0）和区间（1，2）内，则m 的取值范围是（ ）A ．（21-，41） B ．（41-，21） C ．（41，21） D ．]21,41[8．如图（1）所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为和半径为1cm 和半径为3cm 的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图（2）水平放置时，液面高度为20cm ，当这个几何体如图（3）水平放置时，液面高度为28cm ，则这个简单几何体的总高度为 （ ）A ．29cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在答题卡相应位置的横线上。

9．计算复数ii-+13= ． 10．已知直线0125=++m y x 与圆0222=+-y x x 相切，则=m．11．右图是某个函数求值的程序框图，则满足该程序的函数解析式为 _________． 12．已知向量a ，b 满足3||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为60°，则a ·b =______，若)(mb a -⊥a ，则实数=m _________．13．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且||3||21PF PF =，则该双曲线离心率e 的取值范围是 ．14．定义在R 上的)(x f 函数满足⎩⎨⎧>---≤=-0),2()1(0,2)(1x x f x f x x f x 则)1(-f =______，=)33(f ______．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）已知函数)1(log )1(log )(x x x f a a --+=，0>a 且a ≠1．（Ⅰ）求)(x f 的定义域；（Ⅱ）判断)(x f 的奇偶性并予以证明；（Ⅲ）当1>a 时，求使0)(>x f 的x 的取值范围．16．（本小题满分12分）已知向量)1,(cos α=a ，)sin ,2(α-=b ，)23,(ππ∈a ，且a ⊥b ． （Ⅰ）求αsin 的值； （Ⅱ）求)4tan(πα+的值．17．（本小题满分14分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ．SD=2，2=AD ，E 是SD 上的点．（Ⅰ）求证：AC ⊥BE ；（Ⅱ）求二面角C —AS —D 的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数2)1()1ln()(+++=x x a x f 在1=x 处有极值．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）令)(')(x f x g =，若曲线)(x g 在))1(,1(g 处的切线与两坐标轴分别交于A ，B 两点（O 为坐标原点），求△AOB 的面积．19．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F （0，2），且长轴长与短轴长的比是1:2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB ，分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值．20．（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ．已知)3(1>=a a a ，*1,3N n S a n n n ∈+=+，．（Ⅰ）设n n n S b 3-=，求数列}{n b 的通项公式； （Ⅱ）若)(13log 3*2N n a b c nn ∈+-=，证明对任意的*N n ∈ ，不等式 32113)11).....(11)(11(+>+++n c c c n恒成立．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．A 5．D 6．D 7．C 8．A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．i 21+10．8或-1811⎩⎨⎧≥-<-=0,450,32)(x x x x x f ．12．3 3 13．e <1≤2 14．-2注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）)1(log )1(log )(x x x f a a --+=，则⎩⎨⎧>->+0101x x 解得11<<-x ．故所求函数)(x f 定义域为}11|{<<-x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的定义域为}11|{<<-x x ， 且)1(log )1(log )(x x x f a a +-+-=-,)]1(log )1([log x x a a --+-=)(x f -=故)(x f 为奇函数．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（Ⅲ）因为当1>a 时，)(x f 在定义域}11|{<<-x x 内是增函数， 所以1110)(>-+⇔>xx x f .． 解得10<<x ．所以使0)(>x f 的x 的取值范围是}10|{<<x x ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分16．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由向量)1,(cos α=a ，)sin ,2(α-=b ，且a ⊥b ．可得a ·b =)1,(cos α·0)sin ,2(=-α．即0sin cos 2=+-αα． 所以ααsin 21cos =．……………………………………………………………3分 因为1cos sin 22=+αα，所以54sin 2=α． 因为)23,(ππ∈a ，所以552sin -=α…………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得55cos -=α． 则2tan =α……………………………………………………………………………8分3tan 11tan )4tan(-=-+=+ααπα………………………………………………………12分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：连结BD ． 因为底面ABCD 是正方形， 所以AC ⊥BD ．因为SD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC ⊥SD ．………………………3分 又因为SD BD=D ，所以AC ⊥平面BDS ．………………5分 因为BE ⊂平面BDS ，所以AC ⊥BE ．……………………7分 （Ⅱ）因为SD ⊥平面ABCD ， 所以SD ⊥CD ．因为底面ABCD 是正方形， 所以AD ⊥CD ．又因为SD AD=D ，所以CD ⊥平面SAD ，所以CD ⊥AS ．………………………10分过点D 在平面SAD 内作DF ⊥AS 于F ，连结CF ． 由于，DF CD=D所以AS ⊥平面DCF 。

所以AS ⊥CF ．故∠CFD 是二面角C —AS —D 的平面角．………………………………………12分 在Rt △ADS 中，2=SD ，2=AD ，可求得332=DF ． 在Rt △CFD 中，332=DF ，2=CD ，可求得330=CF ．所以510cos ==CF DF CFD ． 即二面角C —AS —D 的余弦值为510．…………………………………………14分 解法（二）（Ⅰ）如图以D 为原点建立空间直角坐标系xyz D -．则D （0，0，0），A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），E （0，0，2），S （0，0，2），)0,2,2(-=AC ，BE =)2,2,2(--…………………3分 ·=2-2+0=0所以⊥．即AC ⊥BE ．…………………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得SA =(2，0，-2)， SC =（0，2，-2）． 设平面ACS 的法向量为),,(z y x n =， 则由n ⊥，n ⊥得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n SA n 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-022022z y z x 取2=z ，得．)2,2,2(=n ……………………………………………………11分易知平面ASD 的一个法向量为=(0,2,0)． 设二面角C —AS —D 的平面角为θ． 则510||||cos ==DC n θ．即二面角C —AS —D 的余弦值为510．…………………………………………14分 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为2)1()1ln()(+++=x x a x f ，所以221)('+++=x x ax f ．………………………………………………2分 由0)1('=f ，可得0222=++a，8-=a ．经检验8-=a 时，函数)(x f 在1=x 处取得极值，所以8-=a ．………………………………………………………………5分 （Ⅱ）2)1()1ln(8)(+++-=x x x f ，1)3)(1(22218)('++-=+++--=x x x x x x f ．………………………………7分 而函数)(x f 的定义域为（-1，+∞），当x 变化时，)('x f ，)(x f 的变化情况如下表：由表可知，)(x f 的单调减区间为（-1，1），)(x f 的单调增区间是（1，+∞） (10)分（Ⅲ）由于2218)(')(+++-==x x x f x g ， 所以2)1(8)('2++=x x g ，当1=x 时，4)1('=g ，0)1(=g ． 所以切线斜率为4，切点为（1，0），所以切线方程为)1(4-=x y ，即044=--y x ．………………………………13分 令0=x ，得4-=y ，令0=y ，得1=x ． 所以△AOB 的面积21|4|21=⨯-⨯=S ．………………………………………14分 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ． 由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=21:2:222c b a c b a ………………………………2分解得42=a ，22=b ． 所以椭圆C 的方程为12422=+x y ．…………………………4分 （Ⅱ）由题意知P （1，2），两直线PA ，PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为k ， 则PB 的直线方程为)1(2-=-x k y ． 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-124)1(222x y x k y 得 04)2()2(2)2(222=--+-++k x k k x k．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分设),(A A y x A ，),(B B y x B ，则2222221kk k x x B B +--=⋅=， 同理可得222222kk k x A +-+-=， 则2224k k x x B A +=-，228)1()1(k k x k x k y y B A B A +=----=-． 所以直线AB 的斜率2=--=BA B A AB x x y y k 为定值．……………………………8分 （Ⅲ）设AB 的直线方程为m x y +=2．由⎪⎩⎪⎨⎧=++=124222x y m x y 得0422422=-++m mx x ． 由△0)4(16)22(22>--=m m ，得82<m ．………………………………10分 此时22m x x B A -=+，442-=m x x B A ． P 到AB 的距离为3||m d =， 22)()(||B A B A y y x x AB -+-=12232+-=m 则3||231221||212m m d AB S PAB ⋅-==∆ 2282121)8(21212222=+-⨯≤+-=m m m m ． 因为42=m 使判别式大于零，所以当且仅当2±=m 时取等号，所以△PAB 面积的最大值为2． (13)分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，n n n n n S a S S 311+==-++，即n n n S S 321+=+，由此得)3(2311n n n n S S -=-++．因此，所求通项公式为12)3(3--=-=n n n n a S b ，*N n ∈．……………………5分 （Ⅱ）证明：由已知231)3(2)3(log 313log 3122-=+--=+-=-n a a a b c n n n ， 则231111-+=+n c n ，所以)11).....(11)(11(21nc c c +++=（1+1）)2311()411(-+---+n ．……………………7分下面用数学归纳法证明不等式)11).....(11)(11(21nc c c +++=（1+1）)2311()411(-+---+n 313+>n 成立．①当1=n 时,左边=2,右边=34,因为2>34,所以不等式成立．…………………8分 ②假设当k n =时不等式成立,即)11).....(11)(11(21nc c c +++=（1+1）)2311()411(-+---+n 313+>n 成立． 则当1+=k n 时，左边=)11)(11).....(11)(11(121+++++k k c c c c =（1+1）]2)1(311)[2311()411(-++-+---+k k 313+>k ·]2)1(311[-++k =313+>k ·（1323++k k ） 323)13()23(++=k k ……………………………………………………………………………11分 要证323)13()23(++=k k >31)1(3++>k 成立， 只需证23)13()23(++k k >43+k 成立， 由于0)13(2>+k ，只需证23)13)(43()23(++>+k k k 成立，只需证427542783654272323+++>+++k k k k k k 成立，只需证049>+k 成立，由于*N k ∈，所以049>+k 成立．即)11)(11).....(11)(11(121+++++k k c c c c =（1+1）]2)1(311)[2311()411(-++-+---+k k 31)1(3++>k 成立． 所以当1+=k n 时,不等式也成立．由①，②可得不等式恒成立．……………………………………………………14分。