第8章 非线性控制系统分析优秀课件 (2)

t
4
0 2 y t sin
td
t
4 k
2 X sin t sin td t
t1
图8-12死区非线性和非线性特性曲线
10
其中
X
sint1,t1
arcsin X
代入上式得,
A1
2k X
2
arcsin X
X
1
2
X
NX A1 k 2k arcsin
图8-5
4
第二节 非线性元件的描述函数
一、描述函数
图8-6 非线性控制系统
图中G(s)为线性环节,N为非线性元件.若在N的输入端施加 一幅值为X频率为ω的正弦信号,即 e=Xsinωt，则其输出为：
y A 0 A 1 st i B 1 n ct o A 2 s s 2 i t B n 2 c 2 t o s
它的数学表达式为
k
θi
b
2
;
θ0
k
θi
b
2
;
θ
m
sgn
θ0
;
θ＞ 0 θ＜ 0 θ 0
b 齿轮间隙
1）回环非线性特性是多值的，对于一个给定的输入，究
竟取那一个值作为输出，应视该输入的“历史”决定。
2）系统中若有回环非线性元件存在，通常会使系统的输
出在相位上产生滞后，从而导致系统稳定量的减小、动
假设:
1）非线性元件的特性对坐标原点是奇对称的,即A0=0 2）r(t)=0
3）G(s)具有良好的低通滤波器特性，能把y中各项高次
谐波滤掉，只剩一次谐波项。
5
则 y 1 A 1 st i B 1 c n t o Y 1 s s t i 1 n

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自动控制原理
第八章
描述函数的基本概念
(1) 描述函数的定义 设非线性系统如图所示 其中线性部分的传递函数为：
C ( s) G ( s) = Y (s)
N
N 是非线性环节，它的输出 y 与输入 x 之间为非线性 函数：y=f (x) 当非线性环节的输入信号为正弦信号 x(t)=Asinωt ， 则其输出y(t)一般不是正弦信号，但仍是一个周期信 号，其傅里叶级数展开式为：
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第八章
非线性系统的简化
(3) 线性部分的等效变换
r (t ) = 0
−
G1
−
G2
y
c(t )
− −
G2 G1
x
c(t )
N
x
G3
y
N
G3
1 G3
−
y
G2 1 + G1G2
c(t )
x −
N
y
G2G3 1 + G1G2
c(t )
N
x
G3
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第八章
非线性系统稳定性分析的描述函数法
单值非线性的描述函数是实数,非单值非线性的描 述函数是复数
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非线性系统的简化
非典型结构形式 N 典型结构形式
原则：在r(t)=0的条件下，根据非线性特性的串、 并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节， 再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简 化线性部分。
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B1
= A 3 3 + A 2 16
B1 1 3 2 N ( A) = = + A A 2 16

8.2 常见非线性特性及其对系统运动的影响
在一个控制系统中,包含有一个以上的非线性元件，
就构成了非线性系统。 控制系统中的典型非线性特性有：
8.2.1 饱和特性 饱和非线性的输入输出关系及数学表达式如下：
xa ka y kx x a ka x a
对系统的影响：
y
上的斜率应大小相等，符号相同。
( x , x )
x
图8-15
相轨迹对称于原点
f ( x, x ) f ( x, x )
(8-14)
2.相平面上的奇点
由相轨迹的斜率方程
x dx dx f ( x, x) 可知,相上的
点
只要不同时满足x 0, f ( x, x ) 0 ( x, x )
例8-1.设系统的微分方程为：
x
x x 0 x
其相平面图如右图所示 （绘制方法在下节介绍）
D
0
E
C
图中的箭头表示系统的 状态沿相轨迹的移动方向。
1 A B
x
p
图8-9 例8-1的相平面图
18
由图可知： （1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说 明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。
f ( x, x )
x(t), 也可以写成以t为参变量的形式，用 这个 来表示。
x f (x )
x(t)
x
x
t 图8-8 方程的解
1.相轨迹：如果我们取 x 和 作为平面的直角坐标，则 x 系统在每一时刻的 均相应于平面上的一点。当 t 变化时， ( x, x ) 这一 点 x x 平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。 在 它描述系统的运动过程。 2.相平面: x 平面称为相平面。对于一个系统，初始条件 x 不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。 若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。

法求解有困难时，可用图解法绘制。
▪ 对于式（9.2-1）xf(x,x)，令 x1x、 x2x ，
▪
有 x 2f(x1、 x2)，所以 可得 dx2 f (x1、x2)
d d x t2d dx x1 2d d x t1x2d dx x1 2f(x1、 x2)
（9.2-5）
▪
dx1
x2
式（9.2-5）是关于
y
-b 0
k
x
b
a.
b.
图9.1-4 齿轮传动及其间隙特性
y(x)k[xs g x)n b](|y/kx|b y (x)0、 y(x)C |y/kx|b
▪ 系统中若有间隙特性元件，不仅会使系统的输出产生相位滞后，导致 系统稳定裕量的减小，使动态性能恶化，容易产生自振；而且间隙区 会降低定位精度、增大非系线统性控静制差系统。的分析课件
▪ 由于相平面只能表示 x(t ) 和 x(t ) 两个独立变量，所以相 平面法只能用来研究一、二阶线性或非线性系统。
▪ 2）相轨迹的绘制方法
▪ （1）二阶线性系统的相轨迹 ▪ （2）相轨迹的绘制
非线性控制系统的分析课件
j
[s]
2 1
0
a.
j 1 [s]
0
2
d.
x2
j
x2
1
[s]
x1
0
0
0
稳定 节点
x
(
t
)
和 x (t ) 的一阶微分方程，即二阶非线性
系统的相轨迹方程。
▪
由式（9.2-5），令
dx2 f (x1,x2)
dx1
x2
，即有
▪
f (x1, x2 )
（9.2-6）