1.3.2函数的极值与导数.ppt

知识点一 极值点与极值
1．极小值与极小值点 如图，若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a 附近的左侧 _f_′__(x_)_<_0_，右侧_f′__(_x_)>__0_，则把点 a 叫做函数 y＝f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
类型三 函数极值的综合应用
例 3 已知函数 f(x)＝13x3－12ax2，a∈R. (1)当 a＝2 时，求曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程； (2)讨论 f(x)的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
【解析】 (1)由题意 f′(x)＝x2－ax， 所以，当 a＝2 时，f(3)＝0，f′(x)＝x2－2x， 所以 f′(3)＝3， 因此，曲线 y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程是 y＝3(x－3)， 即 3x－y－9＝0.
∴f′(x)＝32x2－32.
由题意知，x＝±1 是 f′(x)＝0 的根．
根据 x＝±1 列表分析 f′(x)的符号，f(x)的单调性和极值点．
x (－∞，－1) －1 (－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值 1
极小值－1
由上表可以看出，
当 x＝－1 时，函数有极大值，且 f(－1)＝1；
解析：由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是 左负右正，又函数 f(x)，x∈R 有唯一的极值点，所以当 x∈(－∞， 1)时，f′(x)≤0；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.
答案：C
2．下图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，给出下列命 题：

复习课件
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C

一般地, 求函数y = f x 的极值的方法是:
解方程f x = 0.当f x 0 = 0 时 : （1 ） 如果在x 0附近的左侧f x > 0,右侧f x < 0, 那么f x 0 是极大值;
还记得高台跳水的例子吗？
h
最高点
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o
a
t
2.跳水运动员在最高处附近的情况： 在 t=a 附近， h(t) 先增后减， ′(t)先正后负， 那么下面图象的最高点 h（h a）代表什么意义呢？ (1) 当 t=a 时运动员距水面高度最大， (2) 当 t<a 时 h(t) 的单调性是怎样的呢？ 导数的符号有什么变化规律？ (3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢？ h这就是本节课研究的重点 ′(t)连续变化，于是有 h ′(a)=0,f(a) 最大. ——函数的极值 h(t) 在此点的导数是多少呢？
y
y f x
y
y f x
a o b
x
c d
e
o
f
g
h
x
图3.3 -10
图3.3 - 11
以a,b两点为例,我们可以发现, 函数 y = f x 在 点x = a的函数值f a 比它在点 x = a 附近其他 点的函数值都小 , f a = 0;而且在点 x = a 附 近的左侧f x < 0,右侧f x > 0.
2 当 f ' x < 0 ,即 - 2 < x < 2 时 .
当 x 变 化 时 ,f ' x ,f x 的 变 化 情 况 如 下 表 :

数y＝f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的 函数值都大， 0 f′(b)＝ ，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0， 右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函 数y＝f(x)的极大值. . 极值 (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为
又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0， 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a， 无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
解答
类型二 已知函数极值求参数
跟踪训练1 求下列函数的极值.
(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；
解答
8 (2)y＝2x＋x.
解 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
8 4 2 2 y′＝2－x2＝21－x2＝21－x1＋x，
令y′＝0，得x＝－2或x＝2. 当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0. 即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0. 即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8.
第1章 1.3 导数在研究函数中的应 用
1.3.2 极大值与极小值(一)
学习目标
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值 与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学

重难聚焦
(6)若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不是单调函数, 即在某区间内单调的函数没有极值.
(7)如果函数f(x)在[a,b]上有极值,那么它的极值点的散布是有规 律的.相邻两个极大值点之间必有一个极小值点,同样,相邻两个极 小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在[a,b]上连续且 有有限个极值点时,函数f(x)在[a,b]上的极大值点、极小值点是交 替出现的.
错因分析:函数在一点处的导数值为0是函数在这点取得极值的 必要条件,而非充分条件.错解中忽略了对得出的两组解进行检验 而出错.一般地,根据极值条件求参数值的问题时,在得到参数的两 组解后,应按照函数在这一点处取得极值所对应的条件进行检验, 考察每一组解所对应的函数在该点处是否能取得极值,从而进行取 舍.
知识梳理
【做一做 2-2】 函数 y=2-x2-x3 的极值情况是( )
A.有极大值,没有极小值
B.有极小值,没有极大值
C.既无极大值也无极小值
D.既有极大值也有极小值
解析:y'=-2x-3x2,令 y'=0,
得
x1=−
2 3
,
x2
=
0.
当x<−
2 3
时,y'<0;
当
−
2 3
<
x
<
0
时,y'>0;当
重难聚焦
(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系.在某一点的极小值 也可能大于另一点的极大值,即极大值不一定比极小值大,极小值也 不一定比极大值小.如图所示.
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极 值点.

对于可导函数，极值点的导数必为0.
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．

成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
导数及其应用
第一章
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数
1
自主预习学案
2
Hale Waihona Puke 典例探究学案3巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
1.掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件． 2．会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值 ，及其他简单函数的极值．
2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含 x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函 f(x)<f(xf0()x)的一个 数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数 __________；如果都有 __________，则称函数f(x)在点x0处取 极大值 得________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值 f(，极大值点与极小值点统称为 x)>f(x0) 极大值点 与极小值统称为______ 极小值 极小值点 ________． 极值 极值点
重点：函数极值的概念与求法． 难点：函数的单调性与极值的综合应用．
函数的极值与导数的关系 思维导航 在函数的图象上，有的点左、右两侧函数的单调性相同，有 的点左、右两侧的单调性相反，有些情形下左增右减，在些 情况下左减右增，这些点对研究函数有何特殊意义？
新知导学
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近 的左侧f(x)单调 ．．
极大值 极小值 － 0 4e 2 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 4 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝e2.

A、a 3, b 3或a 4, b 11 B、a 4, b 1或a 4, b 11
C、a 4, b 11
D、以上 都不 对
解:由题设条件得：
f f
(1) 10 '(1) 0
1 a b a2 10
3 2a b 0
解之得
a3 b 3
或， ab
4 11
注意代
f'(x) +
0
-
f(x) ↗ 极大值-2a ↘
-
0
+
↘ 极小值2a ↗
故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x) 有极小值f(a)=2a.
练习2、求函数y 6x 的极值 1 x2
解：
y
1
6x x2
，
y
6(1 x2 ) (1 x 2 )2
.
令y 0，解得x1 1，x2 1
因此，当x=-1时函数取得极大值，且极大值为f(-1)=10;当 x=3时函数取得极小值，且极小值为f(3)=-22
(2)函数f ( x) ln x 的定义域为(0, )，且f '( x) 1 ln x
x
x2
令f '( x) 0，得x e
当x变化时，f '( x)与f ( x)的变化情况如下表：
故f(x)在(-∞,1)和(2,+∞)上递增，在(1,2)上递 减，因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1
O
1
(2)∵ f '( x)＝3ax2 2bx c
2x
由f '(1) 0，f '(2) 0，f (1) 5得
3a 2b c 0
12a 4b c 0,解得a 2,b 9,c 12

或 即 k<－4 或 k>4.∴k 的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．
当堂检测
1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝
f(x)在这点取得极值”的
(B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0， 不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.
解：(1)∵f(x)＝aln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，
∴a＋2b＋1＝0 且2a＋4b＋1＝0， 解方程组得，a＝－23，b＝－61.
(2)由(1)可知 f(x)＝－32ln x－16x2＋x. f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－(x－13)(xx－2). 当 x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当 x∈(1,2)时，f′(x)＞0； 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；
【解析】y′＝ex＋a，由y′＝0得x＝ln(－a)． 由题意知ln(－a)>0，∴a<－1.
5．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点， 则a的取值范围是_－__2_<_a_<_2_．
【解析】f′(x)＝3x2－3， 令f′(x)＝0可以得到x＝1或x＝－1， ∵f(1)＝－2，f(－1)＝2，∴－2<a<2.
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跟踪训练 1 求函数 f(x)＝3x＋3ln x 的极值． 解：函数 f(x)＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x32＋3x＝3(xx－2 1).令 f′(x)＝0，得 x＝1.

4 2 2 2 解: f ( x) 5ax 3bx x (5ax 3b). 由题意, f ( x ) 0应有根 x 1 ,故5a=3b,于是: f ( x) 5ax2 ( x 2 1). (1)设a>0,列表如下:
4,极小值为0.试确定a,b,c的值.
x
f ( x )
的一个极大值。
2. 如 果 x0 是 f′(x)=0 的 一 个 根 ， 并 且 在 x0 的 左 侧 附 近 的一个极小值。
f′(x)<0，在x0右侧附近f′(x)>0，那么是 f(x0)函数f(x)
导数值为0的点一定是函数的极值点吗?
导数值为0为函数是极值点的必要条件。
课堂练习
练习1:下列函数中，x=0是极值点的函数是( A.y=－x3 B.y=x2 C.y=x2－x
(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到. 4.确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利 用导数判断函数极值的基本方法.
例1:已知函数 f(x)满足条件:①当x>2时, f ( x ) 0 ;②当 x<2时, f ( x ) 0 ;③ f (2) 0. 求证:函数y=f(x2)在 x 2 处有极小值. 证:设g(x)=f(x2),则 g( x) f ( x 2 ) 2 x. 2 故当 x 2 时,x2>2,由条件①可知 f ( x ) 0 ,即 :
f (b) 0
极大值点
y
f ( x ) >0
f ( x )<0
f ( x ) <0 a
f (a) 0
f ( x) >0
o 极小值点 b
x

下 分 种 况 论 面 两 情 讨 :
'
(1当 (x) >0即 >2或 <− 时 ) f , x , x 2 ; (2)当' (x) <0即 2<x<2时 f , − . 当变 时 ' (x),f(x)的 化 况 下 : x 化 ,f 变 情 如 表 x (− ∞,−2) − 2 (− 2,2) 2 (2,+∞ ) f ' (x ) + 0 0 − + 28 4 f (x ) 单调递增 单调递减 − 单调递增
我们把点 a叫做函数 y = f (x )的极小值点 , f (a )叫做函数 y = f (x ) 的极 值 小 ; 点b叫做函数 y = f (x ) 的极大值点 , f (b )叫做 函数y = f (x )的极 值 大 ;
y
y = f (x )
a
o b
x
图1.3 − 10
极小值点、 极小值点、极大值点统 称为极 点.极大值和 值 极小值统称极 (extreme value ). 值
3 3
因此,当x = −2时, f (x )有极大 28 值, 并且极大值为f (− 2) = ; 3 当x = 2时, f (x )有极小值, 并且 [
y
1 3 f (x ) = x − 4 x + 4 3
o
−2
2
x
极小值为f (2) = − . 图1.3 − 12 3 1 3 函数f (x ) = x − 4 x + 4的图象如图1.3 − 12所示. 3
极 值 定 于 小吗 大 一 大 极 极?
果 用 数 方 出 述 数 极 值 ?试 试 较 下 有 么 会 吗 一! 比 一 ,你 什 体 ?

【解析】(1)选D. f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2) ,令 f′(x)=0,得x=-2或x=2,易知f(x)在(-2,2)上单调递减, 在 (2,) 上单调递增,故f(x)的极小值为f(2),所以a=2.
(2)因为f(x)在x=-1时有极值0,
且f′(x)=3x2+6ax+b,
类型二:利用函数极值求参数的值 同p21例题4
类型二:利用函数极值求参数的值
【典例2】(1)(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-
12x的极小值点,则a= ( )
A.-4
B. -2
C.4
D.2
(2)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,求常数
a,b的值.
【解题指南】(1)求出f′(x),解出方程f′(x)=0的根, 再根据不等式f′ (x)>0,f′(x)<0的解集得出函数的 极值点. (2)利用函数在点x=-1有极值0得出条件,极值点处的导 数为0,取极值的点的坐标满足函数列出条件.
y′=2- 8 ,令y′=0,得x=±2.
x2
当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,0) (0,2) 2 (2,+∞)
y′
+
0
-
-
0+
y 单调递增 -8 单调递减 单调递减 8 单调递增
由表知:当x=-2时,y极大值=-8; 当x=2时,y极小值=8.
2.设函数f(x)=x3+ax2-9x的导函数为f′(x),且 f′(2)=15.(1)求函数f(x)的图象在x=0处的切线方 程.(2)求函数f(x)的极值.